Hoja de Trabajo 27

Ondas y Rotaciones Oscilaciones I

Jaime Feliciano Hernández

Universidad Autónoma Metropolitana - Iztapalapa México, D. F. 15 de agosto de 2012

INTRODUCCIÓN. Cualquier movimiento que se repita en intervalos de tiempo iguales se llama movimiento periódico. Este tipo de movimiento puede ser descrito en términos de funciones seno y coseno. Por el uso de estas funciones armónicas, el movimiento también se llama movimiento armónico. Cuando el movimiento periódico describe el movimiento de ida y vuelta sobre la misma trayectoria decimos que el movimiento es oscilatorio o vibratorio. En la naturaleza se encuentran muchos ejemplos de lo que podría ser llamado movimiento oscilatorio, por ejemplo:

a) Las vibraciones de las cuerdas en los instrumentos musicales como las guitarras, los pianos, los violines.

b) Masas sujetas a la acción de resortes.

c) Los átomos y las moléculas en cristales.

d) El latido del corazón la circulación de la sangre en el cuerpo, el movimiento de

los pulmones en la respiración.

e) Las ondas de radio, las microondas, los campos eléctricos y magnéticos del espectro de los fenómenos luminosos, etcétera.

Muchos movimientos oscilatorios cesan o es frenado por los límites impuestos o por las condiciones externas al sistema, y entonces el movimiento es armónico amortiguado, y ello puede ser causado por efectos de la fricción. A. DEFINICIONES. En esta sección vamos a hacer algunas definiciones importantes para la Cinemática de las oscilaciones. El PERIODO T de un movimiento armónico es el tiempo requerido para completar un viaje redondo del movimiento, es decir una oscilación completa o ciclo. Por ejemplo el tiempo que tarda en dar una vuelta completa en un movimiento circular o el tiempo que tarda un péndulo en ir de un extremo al otro y de regreso al punto inicial. La FRECUENCIA ν del movimiento es el número reoscilaciones o ciclos por unidad de tiempo que realiza el sistema. Por lo tanto, la frecuencia es el recíproco del periodo:

T1

=ν

En el sistema Internacional de Unidades, las unidades de la frecuencia es el ciclo por segundo o hertz (hz), mientras que las unidades del periodo son las de tiempo, es decir segundos, minutos, horas, etc.

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Si una partícula oscila respecto a un punto y no actúan fuerzas sobre él se dice que ese es un punto de equilibrio. Las siguientes figuras muestran posibles ejemplos de movimientos oscilatorios:

(A) Movimiento alrededor de un punto en

una dimensión. (B) Movimiento alrededor de un punto

mínimo

(C) Movimiento causado por la fuerza de un

resorte (D) Movimiento oscilatorio de un

péndulo. Para la descripción de un movimiento armónico, se pueden emplear las funciones seno y coseno. La gráfica de estas funciones nos ayuda a identificar y a entender los parámetros definidos:

2

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En la imagen se muestra la gráfica de una función seno )()( φω += tAsentF y una función coseno )cos()( φω += tAtF . Si las vemos de cerca podemos identificar cada elemento. Por ejemplo:

Que también se puede escribir como:

La amplitud de una función armónica determina el valor máximo que se puede alcanzar. El factor )( φω +t se llama la fase.

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Pensemos que estamos en el mar, con el agua llegando a nosotros hasta las rodillas. Por el efecto de las mareas, hay un movimiento oscilatorio. Todos los que hemos observado las olas y su vaivén, estamos viendo la frecuencia con la que las ondas nos golpean. Si pudiéramos contar las ondas que recibimos estamos midiendo justamente la frecuencia de ese movimiento periódico. El periodo es el tiempo que transcurre entre dos puntos máximos o dos puntos mínimos, o entre cualquier par de puntos equivalentes.

T

Así, la frecuencia y el periodo están relacionados por medio de: T1

=ν

Así, la frecuencia angular ω se relaciona con la frecuencia con πνω 2= , por lo que se tiene: T

ππνω 22 ==

La constante de fase φ determina el desplazamiento de la función con respecto al origen, y se puede entender como una especie de “retraso” o “adelanto” de la función con respecto a una que empezara “a tiempo”. Cuando estamos observando dos ondas, la constante de fase determina la separación, o el “retraso” o una respecto a la otra, y en este caso se le llama diferencia de fase. A1. ACTIVIDAD INDIVIDUAL. En las siguientes funciones identificar los parámetros y responder a las preguntas.

Función Amplitud Frecuencia Periodo Frecuencia angular Constante

de fase a) )52(3)( += tsentF 3 b) )23(10 −−= tseny

c) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

31

31

23)( tsentz

31

d) )23.2cos(5. += tD π 23.0 e) )3.2cos(.003.0 −= ty

( )7.13.1cos01.4)( += ttF f) πνω 23.1 ==

207.02

3.1==

πν

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A2. ACTIVIDAD INDIVIDUAL. En las siguientes gráficas determine los parámetros que se requieren.

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A3. ACTIVIDAD INDIVIDUAL. En esta sección veremos algunos casos especiales que general un movimiento armónico, y que son particularmente importantes en la Física y en las aplicaciones a diversas áreas del conocimiento. EL OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE. Consideremos la siguiente función de energía potencial:

2

21)( kxxU =

Donde es una constante. Si calculamos la fuerza asociada a este potencial: k

kxxkdxdxkkx

dxd

dxxdUF −=−=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−= 2

21

21

21)( 22

kxF −= (A)

Esta se conoce como la Ley de Hooke, y se aplica a todos los sistemas que tienen asociada una energía potencial que es proporcional al cuadrado de la distancia. Por ejemplo, una masa unida a un resorte, un péndulo o átomos en una red cristalina. En las siguientes gráficas se muestra el comportamiento del potencial y de la fuerza asociada.

Potencial 221)( kxxU = Fuerza kxxF −=)(

Una partícula que se mueve con una fuerza como la de la ecuación (A) se llama oscilador armónico simple, y su movimiento es un movimiento armónico simple. Usando la segunda ley de Newton, podemos rescribir la ecuación (A) como sigue:

2

2

dtxdmmakxF ==−=

022

=+∴ kxdt

xdm

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022

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ x

mk

dtxd

(B)

La ecuación (B) es una ecuación diferencial de segundo orden, cuya solución, es una función que, al derivarla dos veces, nos da la misma función, excepto, tal vez, por un factor constante. Hay varias funciones que pueden servir como solución. Por ejemplo las funciones seno y coseno o las funciones exponenciales. Veamos tres ejemplos:

022

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ x

mk

dtxd

022

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ x

mk

dtxd

022

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ x

mk

dtxd

(A)

xmk

dtxd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=2

2

xmk

dtxd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=2

2

xmk

dtxd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=2

2

(A’)

Si )()( φω += tAsentx Si )cos()( φω += tAtx Si )()( φω += tiAetx ( )

dttAsend

dttdx )()( φω +=

( )dt

tAddt

tdx )cos()( φω += ( )

dtAed

dttdx ti )()( φω +=

)cos()( φωω += tAdt

tdx )()( φωω +−= tsenA

dttdx

)()( φωω += tieAi

dttdx

( )dt

tAddt

txd )cos()(2

2 φωω +=

( )dt

tsenAddt

txd )()(2

2 φωω +−=

( )dteAid

dttxd ti )(

2

2 )( φωω +=

)()( 222

φωω +−= tsenAdt

txd )cos()( 22

2

φωω +−= tAdt

txd )(222

2 )( φωω += tieAidt

txd

)()( 222

txdt

txd ω−= )()( 222

txdt

txd ω−= )()( 222

txdt

txd ω−= (B’)

Si comparamos esta expresión con la ecuación

(A’), vemos que son iguales excepto por el factor

constante:

Si comparamos esta expresión con la ecuación

(A’), vemos que son iguales excepto por el factor

constante:

Si comparamos esta expresión con la

ecuación (A’), vemos que son iguales

excepto por el factor constante:

2ω=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

mk

2ω=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

mk

2ω=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

mk

Con esto, tenemos una nueva manera de conocer la frecuencia angular:

mk

=ω (C)

Y por la relación entre la frecuencia y el periodo:

22 2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Tmk πω

Despejando la constante : k2

24T

mk π=

O bien el periodo: kmT π2=

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Recordemos la identidad:

tsensentt ωφωφφω −=+ coscos)cos(

Si la constante de fase es…constante, entonces podemos definir:

tbsentat ωωφω +≡+ cos)cos(

Esto significa que si )cos( φω +t es una solución de la ecuación diferencia, entonces cualquier combinación lineal de las funciones armónicas tωcos y tsenω también lo será. De hecho, se puede ver que , por lo que en la última columna de la tabla anterior, se definió la función exponencial como imaginaria, para que en la derivación se pudiera recuperar el resultado correcto, pues

)()cos()( φωφωφω +++=+ tisente ti

( ) 11 22 −=−=i . En otras palabras, las funciones tωcos y tsenω actúan como los vectores unitarios del espacio euclideano donde se describe la Cinemática, y se hacen corresponder a los vectores. Es como si tωcos fuera una especie de vector unitario en un eje “horizontal”, y tsenω fuera el otro vector unitario en el eje “vertical”. Así que si las funciones fueran vectores, y tωcos y tsenω fueran vectores unitarios, entonces cualquier función podría escribirse como una combinación lineal de esos vectores unitarios. Más aún, existen grupos de funciones (muchos) que cumplen con estas características. Por ejemplo, los polinomios de Lagrange, los polinomios de Hermite, los polinomios de Laguere, etcétera. Unos muy especiales son las funciones armónicas que señalamos y que son la base del famoso análisis de Fourier. En este sistema, cualquier función (con ciertas restricciones) puede ser escrita como una combinación lineal de funciones armónicas, cuya expresión más general es:

∑∞

=

+++=1

)cos()(()(n

nxbnxasenxF θφ

Ejemplo. Si aplicamos la identidad tsensentt ωφωφφω −=+ coscos)cos( cuando

2πφ = :

( ) tsensentt ωπωππω )2/(cos2/cos)2/cos( −=+

tsentt ωωπω )1(cos)0()2/cos( −=+

tsent ωπω −=+ )2/cos( En palabras, diremos que la función coseno es igual a la función seno, excepto por

una diferencia de fase de 90 grados o de 2πφ = radianes.

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Todo esto nos dice que las coordenadas de una partícula pueden variar armónicamente con el tiempo, pero como hemos visto, también la fuerza puede variar así pues:

)cos()( φω +−=−= tkAtkxF

)cos( φω +−= tkAF Pero también la energía tiene una representación similar. Recordemos que la energía mecánica se puede escribir como:

.constEEE PC =+=

22

21

21 kxmvE += (D)

Si )cos()( φω += tAtx entonces )()( φωω +−= tAsentv , por lo tanto, si calculamos el cuadrado de y tenemos y . Sustituyendo estas expresiones en la relación de la energía:

)(tx )(tv )(cos)( 22 φω += tAtx )()( 2222 φωω += tsenAtv

( ) ( ))(cos21)(

21 22222 φωφωω +++= tAktsenAmE

Como ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

mk2ω podemos escribir

( ))(cos21)(

21 2222 φωφω ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += tAktsenA

mkmE

Cancelando la masa:

( ) ( ))(cos21)(

21 2222 φωφω +++= tAktsenkAE

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Factorizando ( )221 kA :

{ })(cos)(21 222 φωφω +++= ttsenkAE

2

21 kAE =∴ (E)

.21

21

21 222 constkAkxmvE ==+= (F)

¡¡¡SSSaaabbbeeemmmooosss qqquuueee lllaaa eeennneeerrrgggíííaaa mmmeeecccááánnniiicccaaa eeesss cccooonnnssstttaaannnttteee pppooorrr lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn (((DDD))),,, yyy eeennn eeesssttteee

cccaaasssooo sssaaabbbeeemmmooosss cccuuuááánnntttooo vvvaaallleee eeesssaaa cccooonnnssstttaaannnttteee... VVVaaallleee ppprrreeeccciiisssaaammmeeennnttteee 2

21 kA , lllaaa c ccooonnnssstttaaannnttteee

eeexxxppprrreeesssaaadddaaa pppooorrr lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn (((EEE)))!!! EEEnnn oootttrrraaasss pppaaalllaaabbbrrraaasss,,, sssiii lllaaa eeennneeerrrgggíííaaa mmmeeecccááánnniiicccaaa tttoootttaaalll eeesss uuunnnaaa c ccooonnnssstttaaannnttteee,,, yyy hhhaaayyy cccooonnntttrrriiibbbuuuccciiiooonnneeesss dddeee lllaaa eeennneeerrrgggíííaaa pppooottteeennnccciiiaaalll yyy lllaaa eeennneeerrrgggíííaaa ccciiinnnééétttiiicccaaa,,, eeennntttooonnnccceeesss eeessstttaaasss dddooosss dddeeebbbeeennn cccooommmbbbiiinnnaaarrrssseee pppaaarrraaa ppprrroooddduuuccciiirrr aaalllgggooo qqquuueee nnnooo cccaaammmbbbiiiaaa... CCCooommmooo ssseee tttrrraaatttaaa dddeee uuunnn mmmooovvviiimmmiiieeennntttooo ooosssccciii lllaaatttooorrriiiooo,,, eeesss pppooosssiiibbbllleee qqquuueee cccuuuaaannndddooo lllaaa eeennneeerrrgggíííaaa ccciiinnnééétttiiicccaaa ssseeeaaa mmmáááxxxiiimmmaaa lllaaa eeennneeerrrgggíííaaa pppooottteeennnccciiiaaalll ssseeeaaa mmmííínnniiimmmaaa yyy vvviiiccceeevvveeerrrsssaaa;;; eee iiinnncccllluuusssooo pppuuueeedddeee ooocccuuurrrrrriiirrr qqquuueee eeennn aaalllgggúúúnnn pppuuunnntttooo ttteeennngggaaannn eeelll mmmiiisssmmmooo vvvaaalllooorrr... Si hacemos la gráfica de los tres términos que componen la ecuación (F) tenemos:

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Vemos que, cuando ocurre el desplazamiento máximo, como en un péndulo, en ese justo momento, la energía potencial es máxima y la energía cinética es cero porque el objeto se detiene y la velocidad es nula. En este punto la energía potencial contribuye completamente a la constante total. Por el contrario, en el punto más bajo del movimiento la energía potencial es cero, porque la altura es cero, y la energía cinética es máxima porque la velocidad adquiere su valor más alto. En los puntos

y las contribuciones son iguales, mientras que en cualquier otro par de puntos hay una oscilación en las contribuciones.

0x+

0x−

Por otra parte, podemos despejar la velocidad de la ecuación (F):

222

21

21

21 kAkxmv =+ 222 kxkAmv −= ( )222 xAkmv −=

∴ ( )22 xAmkv −±= ( )222 xA

mkv −=

Esto significa que cuando entonces Ax = 0=v y si 0=x entonces la velocidad

adquiere un valor máximo negativo o uno máximo positivo AAmkv ω±=±= .

Al escribirla como

( )22 xAmk

dtdx

−±=

Podemos interpretarla como que la variación de la posición también tiene máximos y mínimos. Podemos graficar esta:

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Lo que hemos descrito aquí aplica para todos los sistemas que cumplen con la Ley de Hooke, es decir la ecuación (A), y entre ellos se encuentran, como ya lo dijimos, los péndulos, los osciladores unidos a resorte, moléculas y átomos en cristales, etcétera. B. ACTIVIDAD INDIVIDUAL. Entregar un reporte virtual al correo electrónico del profesor y del ayudante, conteniendo la integración de los conocimientos construidos en esta actividad, que consiste en:

a) El mapa conceptual Individual, los elementos que se han ido agregando en cada punto.

a) El mapa conceptual del equipo. b) Las respuestas personales. c) Las aportaciones del equipo.

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