EJERCICIOS DE MATEMATICAS I - Curso 2009 10

HOJA 9

Funciones de varias variables

1. Sea f :R2 R dada por f(x, y) =

xyx2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0) ,

0 si (x, y) = (0, 0) .

Sabemos que f es continua en R2. Prueba que existen las derivadas parciales en(0, 0), y calcula su valor. Prueba que en cambio, si a 6= 0 y b 6= 0, no existen las derivadasdireccionales segun (a, b). Puede f ser diferenciable en (0, 0)?

2. Sea f :R2 R dada por f(x, y) =

x3

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0) ,

0 si (x, y) = (0, 0) .

Prueba que f es continua en (0, 0) y existen todas las derivadas direccionales de f en(0, 0), y que sin embargo f no es diferenciable en dicho punto.

3. Prueba que no existe el lmite

lm(x,y,z)(0,0,0)

xy z2x2 + y2 + z2

.

4. Sea f la funcion dada por f(x, y) = x2 + y2

x+ y.

Halla el lmite de f en (0, 0) a traves de las rectas y = x (con 6= 1) y de la curvay = senx. Existe el lmite de f en (0, 0)?

5. Halla la derivada direccional de la funcion f :R3 R, con f(x, y, z) = x22xy+ z3,en el punto (1,1, 2) segun la direccion definida por el vector (1, 3, 1). En quedireccion (v R3 con v2 = 1) es maxima la derivada direccional de f en (1,1, 2)?Cual es este valor maximo?

6. Halla el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto P en cada caso:a) f(x, y) = x2 + y2, P = (3, 4, 25);

b) f(x, y) =x

x2 + y2, P = (3,4, 3/5);

c) f(x, y) = sen(xy), P = (1, pi, 0);

d) f(x, y) = e2yx, P = (2, 1, 1).

7. Sea f :R2 R definida por

f(x, y) =

{ y senx x sen yx2 + y2

, si (x, y) 6= (0, 0);0, si (x, y) = (0, 0).

a) Prueba que existen fxy(0, 0) y fyx(0, 0), y que su valor es distinto.b) Prueba que f es de clase C(1 en R2 (ayuda: usar el teorema de Taylor en una

variable para las funciones sen y cos). Puede ser de clase C(2?

8. Sean u, v, w Rn. Halla x Rn tal que

f(x) = x u2 + x v2 + x w2

toma el mnimo valor posible.Cual sera la respuesta si en lugar de 3 vectores tomamos m?

9. Para que valores (x, y) R2 esta definida la funcion f(x, y) = x(log x)2 + y2? Hallasus extremos relativos.

10. Halla los extremos relativos de las siguientes funciones:

a) 9x2 + 6xy + y2 + 12x+ 4y; b) x2 2xy2 + y4 y5;c) (x+ y 1)(x4 + y4); d) x3 + y3 9xy + 27;e) (x2 2y2)exy; f) x2y2(1 x y);

11. Halla los extremos absolutos, si existen, de las siguientes funciones en los conjuntosque se indican:

a) f(x, y) = x2 + 4y2 + 2x, sobre el disco unidad cerrado;

b) f(x, y) = x2 + y2 xy + x+ y, en K = {(x, y) R2; x, y 0, x+ y 3}.