MACS 2-. SESIÓN DÍA 03/11/2010. hoja 5

1.

a) Si aplicamos el método de Gauss a esta matriz, tendremos:

Como la última fila nos sale 0 0 0 indica que esta matriz no tiene inversa.

b)

c)

2.

Calculamos

La expresión anterior puede escribirse

Operando, tendremos

Para que estas dos matrices sean igules, tiene que ser:

cuyas soluciones son:

3.

Hacemos la comprobación:

De la igualdad anterior se desprende que

4.

La comprobación se hace fácilmente (queda para vosotros). Asumimos que Para demostrar que la matriz es la matriz inversa de , tenemos que demostrar que su producto es la matriz unidad (definición de matriz inversa) Como

ya lo tenemos demostrado. (En lo anterior hemos sustituido por la matriz nula

5.

Si calculamos los potencias sucesivas de A, tendremos:

Podemos hacer la siguiente conjetura

En Matemáticas, para poder demostrarlo necesitamos el método de inducción, que dice:

1. Comprobamos que la conjetura es cierta para n=1 2. Suponiendo que es cierta para n, comprobamos que es cierta para n+1

En nuestro caso es cierta para n1, trivialmente Suponemos que es cierta para n=1, calculemos

Luego es cierta para n+1. Por tanto hemos demostrado que

6.

Sea

, plantemos la ecuación,

que nos conduce al siguiente sistema de ecuaciones:

siendo a, b cualesquiera números reales.

Luego, cualquier matriz de la forma

conmuta con la matriz A, en particular si hacemos

a=b=1, tendremos la propia matriz A

Para el apartado siguiente, calculamos

Así

7.

Os dejo que comprobéis la afirmación. Si despejamos, tenemos