HºAº
100
TEORÍA DEL HORMIGÓN ARMADO PANDEO EDGARDO LUIS LIMA
Transcript of HºAº
TEORA DEL HORMIGN ARMADO
Edgardo Lima PANDEO
TEORA DEL HORMIGN ARMADO
PANDEO
EDGARDO LUIS LIMA
2003
PRLOGO
El pandeo o si se prefiere el fenmeno de inestabilidad constituye un problema de difcil solucin en la Resistencia de los Materiales en general o en la aplicada a los distintos materiales.
El hormign armado no escapa a esta complejidad agregando, incluso, la que resulta propia de su heterogeneidad, de su manifiesta no linelidad y de la variacin de sus principales parmetros en funcin del tiempo.
Es por ello que es conveniente encarar el estudio del fenmeno del pandeo de la estructuras de hormign armado, a la vista de las soluciones generales de la Resistencia de Materiales e incorporando los aspectos que son propios de este material. Por esa razn se ha considerado oportuno incluir una primera parte referente a la inestabilidad dentro de la Resistencia de Materiales Clsica y de los avances posteriores, particularmente aquellos referentes a la no linelidad del material (incumplimiento de la ley de Hooke).
La inestabilidad del equilibrio se puede presentar en muy diversas situaciones tales como la compresin, la flexin, la torsin e incluso en la traccin o, si se prefiere, en las estructuras traccionadas. No obstante la inmensa mayora de los problemas de pandeo que se presentan en la ingeniera civil corresponden a elementos comprimidos, a ellos estn dedicadas estas notas.
Los ejemplos incluidos han tenido por objeto ilustrar la forma de calcular elementos de ha y permitir algunos comentarios sobre los distintos procedimientos que proponen los reglamentos. Han sido elaborados por la ingeniera Isabel Luparia, a quien agradezco profundamente su desinteresada colaboracin.
NDICE
1. Introduccin
2. Pandeo de una barra biarticulada
2.1) Barra biarticulada
2.2) Barra de eje recto y carga centrada
2.3) Material linealmente elstico (Ley de Hooke)
3. Carga excntrica
4. Material no linealmente elstico
5. El pandeo en el hormign estructural
6. Solucin general La estructura completa
7. Solucin aproximada La columna aislada
7.1) La columna aislada de hormign armado
7.2) La excentricidad accidental
7.3) El planteo de Faessel
7.4) Efectos de las cargas de larga duracin
7.5) El pandeo por rotura de seccin
a) Mtodo del momento complementario o de la excentricidad complementaria
b) Mtodo de la amplificacin del momento
7.6) La columna como parte de una estructura
7.7) Asimilacin a columna aislada
8. Resolucin de los problemas prcticos
8.1) Los mtodos aproximados
a) CIRSOC 201/02 ACI 318/02
b) EHE Espaa Hormign Estructural 1998
c) CIRSOC 201/82 DIN 1045
d) Cdigo modelo CEB78 Manual Pandeo CEB
e) Eurocdigo 2 EC2 Cdigo Modelo CEB90
9. El pandeo como problema tridimensional
10. Ejemplos de aplicacin
NOTACIN
M:momento flector
E:mdulo de elasticidad del hormign
I:momento de inercia de la seccin
Fk:carga crtica de Euler
l:longitud de la barra biarticulada
1/r:curvatura de la barra
A:rea de la seccin transversal de la barra
i:radio de giro de la seccin transversal de la barra
(:esbeltez de la barra
(k:tensin crtica
P:carga aplicada en la barra
y0:deformacin inicial de la barra
y2:incremento en la deformacin de la pieza por efectos de segundo orden
a0:deformacin mxima (flecha) de primer orden.
a2:deformacin mxima (flecha) de segundo orden
Et:mdulo de elasticidad tangente
W:mdulo resistente de la seccin transversal
h :altura de la seccin transversal
ER:mdulo de elasticidad reducido
Ed:mdulo de elasticidad para la descarga.
Fp:mxima fuerza que soporta el elemento suceptible de pandear
Fsp:mxima fuerza para el mismo elemento sin tener en cuenta el pandeo
fc:resistencia a compresin del hormign
Ig:momento de inercia de la seccin total o bruta del elemento de hormign, con respecto al eje baricntrico
Ag:rea total o bruta de la seccin
(d:a) para prticos indesplazables: relacin entre la mxima carga axial mayorada que acta en forma permanente y la mxima carga axial mayorada asociada a la misma combinacin de cargas
b) para prticos desplazables: excepto en el caso indicado en c), (d es la relacin entre el mximo corte mayorado que acta en forma permanente en un entrepiso y el corte mximo mayorado en ese entrepiso
c) en la verificacin de la estabilidad de prticos desplazables: es la relacin entre la mxima carga axial mayorada que acta en forma permanente y la mxima carga axial total mayorada
Ec:mdulo de elasticidad del hormign
(:coeficiente de fluencia
Wi:fuerza adicional en cada piso por los efectos de segundo orden
(Pi:sumatoria de los esfuerzos normales en todas las columnas del piso i
(i:desplazamiento total del piso i
Hi:altura del piso i
(Pu:carga total del piso de la estructura
(0:desplazamiento relativo entre ambos extremos de la columna en primer orden y debidos a Vu
Vu:esfuerzo de corte en el piso considerado
lc:longitud de la columna medida entre los ejes de los nudos
(b:esbeltez equivalente del elemento arriostrador
(1:esbeltez lmite
Htot:altura total de edificio
n:nmero de pisos del edificio
(P:sumatoria de todas las cargas, de servicio, en el piso (columnas y elementos rgidos)
Vsd:esfuerzo normal relativo
ea:excentricidad accidental
e0:excentricidad de 1er. orden
e2:excentricidad de 2do. orden
Pc:resultante de las compresiones en el hormign
Ps1:fuerza en la armadura traccionada
Ps2:fuerza en la armadura comprimida
(c1:deformacin del hormign, cara traccionada
(s1:deformacin de la armadura traccionada
(c2:deformacin del hormign, cara comprimida
(s2:deformacin de la armadura comprimida
Mc:momento ampilficado
Cm:coeficiente que tiene en cuenta los momentos flectores de primer orden en ambos extremos de la columna
M1:el menor momento mayorado de primer orden en uno de los extremos de la columna
M2:el mayor momento mayorado de primer orden en uno de los extremos de la columna
Pu:carga axial mayorada para una excentricidad dada
Es:mdulo de elasticidad del acero de la armadura
Is:momento de inercia de la armadura, con respecto al eje baricntrico de la seccin transversal del elemento
e1:excentricidad equivalente de 1er. orden
eA:excentricidad en uno de los extremos de la barra de mayor valor absoluto
eB:excentricidad en uno de los extremos de la barra de menor valor absoluto
Q:ndice de estabilidad de un piso de un edificio
ig:radio de giro de la seccin bruta de hormign
ey:deformacin del acero para la tensin de fluencia minorada (=fyd / Es)
(:parmetro que tiene en cuenta los efectos de la fluencia
(:parmetro que tiene en cuenta el tipo de armadura de la seccin
ex:excentricidad de primer orden en el eje x
ey:excentricidad de primer orden en el eje y
1. INTRODUCCIN
En general denominamos pandeo al fenmeno resultante de la inestabilidad del equilibrio de elementos comprimidos. Esto es, a un equilibrio existente que se pierde y produce el colapso del elemento estructural o de la estructura en su conjunto.
Recordemos, entonces los conceptos de equilibrio estable, inestable e indiferente.
Se tienen tres situaciones bien diferenciadas que podemos resumir en el equilibrio de una esfera sobre una superficie (figura 1).
En el primer caso (figura 1a), la esfera se encuentra sobre una superficie cncava, si se la retira de su posicin de equilibrio se genera un sistema de fuerzas desequilibrado que hace que la esfera tienda a volver a su posicin original una vez cesadas las causas que provocaron su salida de la posicin de equilibrio; se dice que el equilibrio es estable.En el segundo caso (figura 1b), la esfera est sobre un plano horizontal; retirada de su posicin de equilibrio, no se generan fuerzas de ningn tipo por lo que cesada la causa perturbadora que la retir de la posicin de equilibrio original, la esfera quedar en la nueva posicin, tambin de equilibrio; decimos que el equilibrio es indiferente.
Finalmente en el tercer caso (figura 1c), la esfera est ubicada sobre una superficie convexa, cuando la esfera es retirada de su posicin de equilibrio se generan fuerzas que la hacen apartarse an ms de la posicin de equilibrio original; el equilibrio es inestable.
Analicemos ahora el caso en que la magnitud de la fuerza tiene incidencia sobre el tipo de equilibrio. Imagnese una barra sin peso que puede girar libremente alrededor del punto O (figura 2), si P1 = 0 y P2 ( 0 el equilibrio es estable. Si P1 ( 0 y P2 = 0 el equilibrio es inestable. Quiere decir que si P2 es distinta de cero y se hace crecer el valor de P1, habr un momento en que el equilibrio pasar de estable a indiferente (P1(l1 = P2(l2) y luego a inestable. Quiere decir que, en este caso, el tipo de equilibrio depende de las magnitudes de las fuerzas en juego.
Como se ve el pandeo no es un problema de la resistencia de los materiales que constituyen la estructura sino de la estabilidad (o inestabilidad) del equilibrio de los sistemas de fuerzas activas y reactivas que se ponen en juego en la estructura, claro que dentro de las fuerzas reactivas la resistencia del material constituye un lmite mximo para dichas fuerzas.
Podra pensarse que el equilibrio inestable no puede materializarse en la prctica. es como pretender parar un cono de punta. Sin embargo cualquiera de nosotros a construido, alguna vez, un castillo de naipes; hemos logrado con gran esfuerzo tres pisos!!!, estaba all, evidentemente en equilibrio pero de repente se cay; y decimos se cay y no, se rompi; y de inmediato responsabilizamos a alguien por haber provocado esta desgracia. Esto es, el castillo estaba en equilibrio y alguna causa perturbadora hizo que ese equilibrio desapareciera, el equilibrio era inestable. Con esto queda claro que somos capaces de construir estructuras en equilibrio inestable, somos capaces de parar un cono de punta simplemente recurriendo al mismo artificio que le permiti a Cristbal Coln deslumbrar a los Reyes Catlicos parando un huevo de punta, en nuestro caso truncando la punta del cono. Podra decirse que para muy pequeas causas perturbadoras el equilibrio sera estable. Consideremos que las causas perturbadoras tendrn que tener una magnitud compatible con las que se puedan producir durante la vida til de la estructura.
Hasta aqu hemos mencionado el equilibrio entre fuerzas activas y reactivas reales pero hay otro aspecto que es trascendental, proyectamos y calculamos las estructuras resistentes mediante modelos que simulan con distinta precisin a dichas estructuras, sus materiales y las fuerzas que actan sobre ellas (ms propiamente la historia de cargas) y, en este caso, puede ocurrir que el modelo se encuentre en equilibrio (inestable, indiferente o estable) y la estructura real no. Esto es, en la resolucin del modelo, a travs de hiptesis simplificativas, hemos ignorado efectos (causas perturbadoras) que no son despreciables, por ejemplo los efectos de segundo orden es decir las deformaciones que sufrir la estructura real conforme se le aplican las cargas. En este ltimo caso el equilibrio no existir en la estructura real slo existe en los papeles. La estructura no podr soportar los esfuerzos que resultan de un clculo poco aproximado. Tambin puede ocurrir lo contrario.
En definitiva el equilibrio inestable puede ocurrir porque no es valorada adecuadamente la magnitud de la causa perturbadora o bien porque hemos resuelto una estructura mediante un modelo demasiado simplificado. En cualquiera de los casos las consecuencias son las mismas y la causa tambin es la misma, el modelo que hemos utilizado para representar la estructura y sus esfuerzos no es lo suficientemente ajustado.
2. PANDEO DE UNA BARRA BIARTICULADA
Quien primero resolvi el problema del pandeo de una barra biarticulada fue Leonard Euler que en 1744 propuso un mtodo racional para determinar la carga crtica de pandeo (la que produce un estado de equilibrio indiferente) de una barra sometida a una fuerza de compresin.
Supngase una barra biarticulada (figura 3a) de eje recto, constituida por un material que cumpla con la ley de Hooke (linealmente elstico) de seccin constante en toda su longitud y que se encuentra sometida a una fuerza de compresin centrada tal que produzca el equilibrio indiferente.
Introducida una causa perturbadora la pieza se deforma (figura 3b); como se trata de una situacin de equilibrio indiferente la pieza quedar en esta posicin an despus de haber cesado la causa perturbadora (figura 3c).
La curva representativa de la estructura deformada responder a la ecuacin diferencial:
Al menos siempre que se admita la simplificacin 1/r = y para la curvatura, aceptable cuando se trata de curvaturas pequeas como es el presente caso.
El momento flector en cada punto ser M = Fk ( y , es decir el valor de la fuerza a la izquierda de la seccin multiplicada por su brazo de palanca igual a la ordenada de la curva.
Obsrvese que la hiptesis de las deformaciones pequeas, equivalente a despreciar los efectos de segundo orden, no es aplicable en este caso en que los esfuerzos en la estructura deformada no pueden considerarse iguales a los de la estructura sin deformar.
Entonces:
Ecuacin diferencial de segundo orden con coeficientes constantes ya que Fk es constante y E e I, lo son por hiptesis. De modo que llamando:
Resulta:
La solucin general de la ecuacin diferencial (dada por Euler) es:
Donde C1 y C2 son las contantes de integracin. Para determinar la solucin particular aplicamos las condiciones de borde:
Para x = 0 es y = 0 ( 0 = C1sen0 + C2cos0 ( C2 = 0
Para x = l es y = 0 ( 0 = C1sen(l
Esta ltima condicin se verifica si C1 es igual a cero lo que conduce a y(0 que es la ecuacin de la elstica de la estructura original (recta) y no de la estructura deformada que queremos hallar. Deber ser, entonces,
sen(l = 0
lo que se verifica para:
(l = 0, (, 2(, 3(, ..., n((l no puede ser cero pues sera Fk = 0, si (l = ( entonces:
( = ( / l ; (2 = Fk / E(I = (2 / l2(
que es la carga crtica de Euler, es decir la carga que produce el equilibrio indiferente.
Obsrvese que de acuerdo a la expresin de Euler, la carga crtica no depende de la resistencia del material sino solamente de las dimensiones de la pieza (longitud y seccin transversal) y del mdulo de elasticidad.
La ecuacin de la elstica ser entonces:
La elstica es una curva sinusoidal. Si se quisiera determinar el valor de C1 habra que plantear la condicin, por ejemplo, que para x = l/2 debe ser y = 0, sin embargo resulta:
Que se verifica para cualquier valor de C1 que es, justamente, la flecha de la columna, pues es el valor de y cuando x = l/2 (lgico si tenemos en cuenta que estamos frente a un caso de equilibrio indiferente).
Si se profundiza en la solucin encontrada aparecen algunas contradicciones que no hacen variar el valor de la carga crtica y que son debidas a haber considerado que la curvatura 1/r era igual a la derivada segunda de la funcin (1/r = y) en lugar de su valor correcto:
Planteando la ecuacin diferencial correctamente desaparecen las contradicciones pero el desarrollo es mucho ms laborioso y el resultado es el mismo.
Las otras soluciones (l = 2(, 3(, ..., n(. Conducen a valores de la carga crtica Fk mayores que carecen de inters y que corresponden a otras configuraciones de pandeo (figura 4).
Repasemos brevemente las hiptesis que permitieron a Euler determinar la carga crtica:
2.1) Barra biarticulada.
Esta hiptesis no significa limitacin alguna ya que si las condiciones de vnculo de la barra fueran otras la carga crtica podra obtenerse en la misma forma para cada caso.
Si, por ejemplo, en lugar de una barra articulada en ambos extremos se tuviera una barra empotrada en un extremo y libre en el otro (figura 5) podra demostrarse, en la misma forma, que su carga crtica ser igual a la de una barra, de las mismas caractersticas, biarticulada y con una longitud doble. La longitud a colocar en la frmula de Euler es la de la semionda de sinusoide.
Para otras condiciones de apoyo ocurre algo similar y la relacin entre la longitud real de la pieza (L) y la de la pieza biarticulada con igual carga crtica para los casos ms frecuentes se indican en la figura 6.
2.2) Barra de eje recto y carga centrada.
Consideramos conjuntamente estas dos hiptesis pues podran reducirse a una nica que fuera coincidencia entre el punto de aplicacin de la carga y el centro de gravedad de la seccin a lo largo de toda la pieza. Evidentemente cualquier barra real tendr imperfecciones que alejarn en mayor o menor medida la realidad a la hiptesis de eje recto. Adems si el material no es absolutamente homogneo el problema no es de construccin de la pieza pues habra que definir el eje que no es una tarea sencilla. Algo similar ocurre con la hiptesis de carga centrada sobre todo en los casos de compresin donde los efectos de una excentricidad, por pequea que sea, tendern a aumentarla (lo contrario ocurre en la traccin en que el esfuerzo tiende a centrarse). En definitiva por cualquiera de los dos motivos o por ambos, en elementos reales, la carga es excntrica.
2.3) Material linealmente elstico (ley de Hooke).
En realidad interesa para el desarrollo de Euler la constancia del producto E(I. No obstante nos detendremos particularmente en el mdulo de elasticidad (E) del material.
La expresin de la carga crtica de Euler puede modificarse dividiendo ambos miembros de la expresin por el rea de la seccin transversal de la pieza:
Llamando al primer miembro (k = Fk/A y teniendo en cuenta que I/A=i2 puede transformarse en:
La tensin crtica de Euler (k es una funcin de ( cuya grfica correspondiente a una hiprbola cbica (figura 7).
Es evidente que a medida que la esbeltez disminuye cosa que ocurre cuando disminuye l o aumenta i es decir a medida que la columna se hace ms corta y/o robusta, el valor de (k aumenta.
Para cualquier material real la hiptesis de validez de la ley de Hooke comienza a apartarse excesivamente de la realidad a partir de un cierto valor de la tensin ( que podemos llamar (p (tensin de proporcionalidad o lmite de proporcionalidad) a partir de este punto la tensin crtica de Euler comienza, entonces, a perder representatividad. Adems cuando la esbeltez tiende a cero la tensin crtica de Euler tiende a infinito y superar el valor de la resistencia del material.
3. CARGA EXCNTRICA
Un razonamiento similar al de Euler para una pieza de eje recto puede realizarse para una la pieza con una deformacin inicial (figura 8a).
Supongamos que la deformada debida a los efectos de primer orden (yo, figura 8a) responde a una ley sinusoidal (en realidad esta hiptesis no es estrictamente necesaria, slo se hace para simplificar el razonamiento):
La deformada total (figura 8a) tendr ecuacin:
donde y2 es el incremento en la deformacin inicial debido al incremento en las solicitaciones que la deformacin inicial produce(efectos de segundo orden).
El momento flector en un punto genrico ser:
y entonces la ecuacin diferencial de la deformada, de segundo orden ser:
la solucin general de la ecuacin, con (2 = P/EI, es:
para satisfacer la condicin de que y2 = 0, para x = 0 y para x = l con cualquier valor de ( (es decir de P) debern ser C1 = C2 = 0 de modo que:
y la deformada total:
donde Fk , recordemos, es la carga crtica de Euler.
Entonces la deformada final resulta:
quiere decir que la flecha inicial se incrementa, como consecuencia de los efectos de segundo orden, en un factor 1 / (1-P/Fk).
Cuando la carga actuante P alcanza el valor de la carga crtica de Euler, el denominador se anula y la flecha se hara infinita no alcanzndose un estado de equilibrio.
El momento flector mximo ser:
M = P ( a0 ( 1 / (1-P/Fk)
Con un razonamiento similar se resuelve la situacin correspondiente a una carga excntrica (figuras 8b y 8c) de la que resulta la expresin:
M = P ( e0 ( (1+0.25 P/Fk) / (1-P/Fk)
que numricamente apenas difiere de: M = P ( e0 ( 1 / (1-P/Fk)
4. MATERIAL NO LINEALMENTE ELSTICO
Cuando el material que constituye la pieza no cumple con la ley de Hooke el razonamiento de Euler para la determinacin de la carga crtica de pandeo quedara invalidado.
Sin embargo Engesser propuso, en 1889, mantener la expresin de la tensin crtica de Euler, pero utilizando el mdulo de elasticidad tangente (figura 9) dado que el problema del equilibrio indiferente, planteado por Euler, corresponde a una dada tensin, que hemos denominado crtica, y pequeas variaciones de la deformacin en su entorno podran ser representadas por el mdulo de elasticidad tangente Et.
Efectivamente el momento producido por la carga crtica:
y considerando que (( = Et ((( y adems (( / h = 1 / r y 1 / r = d2y/dx2 se tiene:
expresin exactamente igual a la de Euler pero para el mdulo de elasticidad tangente Et.
El mismo Engesser propuso algunos aos ms tarde (1895) la solucin para un material no elstico, es decir que se carga con un cierto mdulo y se descarga con otro (figura 10). Tambin en este caso es vlida la frmula de Euler, considerando un mdulo de elasticidad reducido ER.
Para el caso de una seccin rectangular puede deducirse que:
Tambin debe tenerse en cuenta que los materiales reales, adems de no tener un comportamiento elstico y mucho menos lineal, presentan resistencias limitadas. Quiere decir que para determinados valores de la tensin normal se produce la rotura del material. Como hemos visto en las piezas cortas, es decir con esbelteces pequeas la tensin crtica adquiere valores muy grandes pudiendo superar la resistencia del material. Evidentemente esta circunstancia debe ser tenida en cuenta.
Varios autores [Tredgold, Gordon, Rankine (1898)] propusieron la utilizacin de una frmula emprica del tipo:
donde FP es la mxima fuerza que puede soportar el elemento suceptible de pandear, Fsp es la mxima fuerza para el mismo elemento pero sin tener en cuenta el pandeo y C es una constante que depende del material.
Esta frmula tambin puede ser expresada como:
en la que para esbelteces pequeas 1/Fk ( 0 y entonces FP ( Fsp y para esbelteces grandes 1/Fk (( 1/Fsp y entonces FP ( Fk.
A principios del siglo XX investigaciones de varios autores (Tetmajer entre otros) permitieron observar que para las grandes esbelteces la frmula de Euler resolva adecuadamente el problema mientras que para las esbelteces pequeas, piezas cortas, se deban aplicar expresiones empricas para determinar la mxima tensin en la pieza. estos trabajos dieron origen al conocido mtodo ( propuesto por la norma alemana (DIN 4114) en 1925 que resulta de aplicacin en la actualidad para las estructuras metlicas o de madera y que se utiliz en las columnas de hormign armado hasta alrededor de 1965. El mtodo consiste en definir la mxima carga que puede soportar una columna como la que puede soportar dicha columna en compresin simple, sin pandeo, dividida por un coeficiente (:
el coeficiente ( se determina empricamente siendo una funcin de la esbeltez (() y del material; adems incorpora un coeficiente de seguridad variable con la mencionada esbeltez. En general se obtiene de tablas an cuando puede ser aproximado por expresiones numricas.
5. EL PANDEO EN EL HORMIGN ESTRUCTURAL
El proyecto, el clculo y el dimensionamiento de las estructuras en general, y las de hormign estructural en particular se desarrolla, como ya dijimos, a partir de modelos que las representan. Es muy frecuente que la determinacin de los esfuerzos en la estructura se realice a travs de un clculo lineal que supone la constancia de la geometra de la estructura, la proporcionalidad entre cargas deformaciones y la permanencia de esos valores a lo largo del tiempo.
Este clculo, que solemos denominar clculo elstico o clculo de primer orden, puede conducirnos a situaciones de inestabilidad del equilibrio. El modelo podr estar en equilibrio pero la estructura real que est procurando representar no lo estar. Los efectos de segundo orden, despreciados en el clculo lineal o elstico, hacen que dicha situacin de equilibrio resulte inexistente o que existiendo en un determinado momento, se pierda con el correr del tiempo.
Pareciera, entonces, sencilla la solucin del problema: calculemos las estructuras teniendo en cuenta sus efectos de segundo orden, su no linealidad.
En el hormign estructural -algo similar ocurre con los otros materiales- se presentan tres aspectos fundamentales que hacen a la no linealidad del comportamiento estructural:
La no linealidad geomtrica. Esto es la estructura deformada (cargada) no es igual a la estructura sin deformar. Adems la geometra real de la estructura deformada depende de la historia de cargas es decir de la secuencia en que se aplicaron las cargas.
La no linealidad de la relacin entre los esfuerzos y las deformaciones del material. Esta no linealidad es debida, a su vez, a dos aspectos: por un lado la no linealidad entre los esfuerzos y las deformaciones de los materiales que consituyen el hormign estructural, hormign (simple) y acero que como es sabido distan bastante de comportarse de acuerdo a la ley de Hooke y por otro lado la fisuracin del hormign que introduce una modificacin localizada y aleatoria de la deformabilidad del conjunto hormign-armadura.
La variacin, en el tiempo, de la relacin cargas-deformaciones como consecuencia de los efectos reolgicos que afectan al hormign estructural (fluencia lenta y retraccin por secado del hormign y relajacin del acero).
Puede imaginarse la enorme complicacin que un clculo de estas caractersticas significa con el agravante que para realizarlo se necesita conocer con toda precisin las dimensiones y secciones transversales de cada uno de los elementos que constituyen la estructura cuando este es, en realidad, el objetivo del clculo (Para qu hacer el clculo si ya tenemos la solucin?).
Este altsimo nivel de complejidad hace que para resolver los problemas prcticos del pandeo en las estructuras de hormign se recurra a distintos procedimientos simplificados. Lgicamente cuanto mayor es la simplicidad del procedimiento menor es la aproximacin que se logra.
Bsicamente podemos distinguir dos tipos de procedimientos simplificados para resolver el problema del pandeo. Por un lado la consideracin de los efectos de segundo orden mediante algn procedimiento de clculo simplificado para la estructura en su conjunto. Por otro la consideracin de cada columna como un elemento aislado con condiciones de borde que procuran representar su comportamiento dentro de la estructura completa.
6. SOLUCIN GENERAL LA ESTRUCTURA COMPLETA
A partir de la dcada de 1970 se incorpora en la reglamentaciones, tanto del Comit Euro-Internacional del Hormign (CEB) como del American Concrete Institute (ACI), el requerimiento de la consideracin del pandeo -o si se prefiere de las estructuras esbeltas- a traves de un clculo de las solicitaciones que tenga en cuenta la no linealidad de su comportamiento. Teniendo en cuenta las dificultades que este clculo presenta para las estructuras de hormign armado se permiten algunas simplificaciones. Una de ellas es la consideracin de una rigidez (EI) equivalente para los distintos elementos. Esto significa asignar a EI un valor arbitrario y adems suponerlo constante a lo largo de todo el elemento estructural.
El Cdigo ACI 318/02 indica los siguientes valores para el clculo de dichas rigideces:
Mdulo de Elasticidad (E)4700 (fc (MPa)
Momento
de Inercia
(I)Vigas0.35 Ig
Columnas0.70 Ig
Tabiques no fisurados0.70 Ig
Tabiques fisurados0.35 Ig
Placas y losas planas0.25 Ig
rea de la seccin (A)1.0 Ag
Los momentos de inercia se deben dividir por (1+(d) cuando actuen cargas horizontales permanentes y para tener en cuenta los efectos de la fluencia.
Una expresin ms sencilla para recordar es {10}:
donde (eff = ( Mg / M(g+p) siendo ( el coeficiente de fluencia.
En el caso de elementos sin fisurar puede duplicarse el valor de la rigidez.
Obsrvese que eso significa reducir la rigidez de la seccin bruta de hormign a un tercio.
El clculo de los esfuerzos debe realizarse para las cargas mayoradas dado que se est suponiendo la no linealidad del comportamiento es decir la no validez del principio de superposicin. En general se podr recurrir a programas de computadora que permiten calcular en segundo orden, Caso contrario se podr resolver la estructura, por ejemplo, mediante el mtodo P-( (es el que utilizan muchos programas comerciales para considerar los efectos de segundo orden) y que consiste en sustituir los efectos de segundo orden por cargas ficticias que produzcan las mismas deformaciones. Por ejemplo para un prtico sencillo como el de la figura 11a sometido a cargas verticales P y horizontales W. La deformada, calculada en primer orden con la rigidez ficticia conduce a un desplazamiento de la parte superior ( (figura 11b) este a su vez generar un momento de segundo orden igual, en este caso a 2P( [en general ((P)(] dicho momento puede representarse mediante una fuerza horizontal ficticia W1 a la altura del piso superior y de magnitud W1 = 2P(/ H [en general ((P)(/H] donde H es la altura del piso. Para la fuerza horizontal W + W1 (figura 11c) se producir una nueva deformacin (1 que permite repetir el procedimiento iterando hasta que la deformacin utilizada y calculada resulten aproximadamente iguales ((i+1 ( (i).
En un prtico de ms de un piso vale lo anterior considerando los esfuerzos normales P que actuan en cada piso y las deformaciones ( relativas entre cada piso y el inmediato inferior para determinar, a su vez, las fuerzas horizontales ficticias de cada piso (figura 12). Entonces la fuerza horizontal ficticia (a sumar a la fuerza aplicada inicial) en cada piso resulta:
Donde:
Wi: es la fuerza adicional en cada piso por los efectos de segundo orden
(Pi : Es la sumatoria de los esfuerzos normales en todas las columnas del piso i.
(i : es el desplazamiento total del piso i.
Hi : es la altura del piso i.
No se profundiza ms en el clculo de los efectos de segundo orden pues no corresponden a la teora del hormign armado sino a la teora de las estructuras; tampoco en la definicin de las ecuaciones constitutivas del hormign armado que s se encuentran dentro de su teora pero fuera del alcance estas notas.
7. SOLUCIN APROXIMADA LA COLUMNA AISLADA
En la gran mayora de los casos la columna considerada aislada forma parte de una estructura mas compleja. Se presenta entonces la dificultad de definir cules deberan ser los vnculos ms adecuados de la columna considerada aislada para reproducir su comportamiento real en la estructura. Aparece entonces una divisin entre columnas con nudos indesplazables y columnas con nudos desplazables o si se prefiere columnas pertenecientes a estructuras con nudos indesplazables o intraslacionales y columnas pertenecientes a estructuras con nudos desplazables o translacionales.
Las primeras, columnas con nudos indesplazables, son aquellas que presentan vnculos en sus extremos que impiden el desplazamiento (figura 13) o bien que la estructura a la que pertenecen dispone de elementos con una rigidez mucho mayor (estructuras contraviento, tabiques de ascensores, etc.) que la de la columna (figura 14) como para poder restringir significativamente el desplazamiento lateral de los extremos de esta.
Con ms precisin se suele decir que la columna presenta nudos indesplazables cuando los momentos flectores en sus extremos no aumentan (o no lo hacen considerablemente) como consecuencia de los efectos de segundo orden (figura 15).
El Cdigo ACI 318/02 permite considerar como indesplazables a aquellas columnas cuyos momentos extremos de segundo orden no excedan el 5% de los momentos de primer orden, el Cdigo CEB-90 admite para dicho exceso un lmite del 10%; en ambos casos los efectos de segundo orden deben calcularse para las condiciones de no linealidad mencionadas anteriormente o mediante las rigideces equivalentes. Claro est que la determinacin de esta diferencia implica haber resuelto la estructura en segundo orden y entonces no interesa resolver el problema como columna aislada; por eso se definen lmites ficticios que permitan determinar si los nudos son idesplazables a partir de expresiones sencillas, segn ACI 318/02:
Donde:
(Pu : Carga vertical total del piso de la estructura.
(0 : Desplazamiento relativo entre ambos extremos de la columna en primer orden y debidos a Vu.
Vu : Esfuerzo de corte en el piso considerado.
lc : longitud de la columna medida entre los ejes de los nudos.
El CEB 90 define una esbeltez equivalente para los elementos rgidos que arriostran a la columna de manera que la columna se podr considerar con nudos indesplazables si la esbeltez equivalente del elemento arriostrador (b no excede la esbeltez lmite (1 que permite despreciar los efectos de segundo orden.
Donde:
Htot : Altura total del edificio (n pisos).
n : Nmero de pisos.
(P : Sumatoria de todas las cargas, de servicio, en el piso (columnas y elementos rgidos)
EIg : Suma de las rigideces a flexin de los elementos rgidos.
(Sd : Esfuerzo normal relativo [P / (Ag fc)].
7.1) La columna aislada de hormign armado
Supongamos una columna de hormign armado como la indicada en la figura 16. La seccin transversal est absolutamente definida en sus dimensiones (seccin, armaduras, recubrimientos) y materiales y en consecuencia tendr un diagrama de interaccin en flexin compuesta recta (se supone a la deformada en el plano del dibujo) y estado lmite de rotura como el de la figura 17.
Si se desprecian los efectos de segundo orden el momento flector en la columna es constante a lo largo de toda su extensin y de valor P.e, es decir el momento crece linealmente con la carga, la representacin grafica de esta relacin es la recta OA indicada en la figura 17; evidentemente al alcanzarse el punto A se produce la rotura de la seccin ya que dicho punto pertenece al diagrama de interaccin de la seccin transversal de la columna.
Si se tienen en cuenta los efectos de segundo orden, la pieza se deforma, como consecuencia, la excentricidad de la carga aumenta y en la seccin central (mxima flecha) se producir el momento mximo que ser mayor que el momento P.e siguiendo una curva como podra ser la indicada OB en la figura 17; vemos que en este caso en el punto B se alcanza la rotura de la seccin pero para un esfuerzo normal P menor y un momento flector mayor que en el caso anterior. Tambin podra ser que para un cierto valor de P el momento aumentara an ms rpidamente curva OC (recordemos que en carga excntrica cuando P tiende a la carga crtica el denominador tiende a infinito y no se logra el equilibrio) y la pieza no logre un estado de equilibrio entre la solicitacin externa y la resistencia.
Este razonamiento nos permite visualizar cmo el pandeo, es decir los efectos de segundo orden, pueden producir, para una dada carga, la inestabilidad del equilibrio (en realidad existe una carga para la que el equilibrio es indiferente) o la rotura de la seccin en este ltimo caso la falta de equilibrio habra sido entre el modelo (1er orden) y la realidad (2do orden).
7.2) La excentricidad accidental
No es sencillo, como es sabido, definir la excentricidad de la carga. Efectivamente para definir la excentricidad deberamos conocer el centro o punto de referencia de dichas excentricidades. En las secciones de hormign armado esta definicin se complica an ms que para otros materiales. Podra definirse, al centro de la seccin, como el centro de gravedad de la seccin homogeneizada pero esta definicin tiene varios inconvenientes que la hacen impracticable. Por un lado el material hormign no es homogneo y en consecuencia su eje resistente puede no coincidir con el eje geomtrico (figura 18a), adems ninguno de los materiales (hormign y acero) cumplen con la ley de Hooke por lo tanto la homogeneizacin depende del nivel de solicitaciones, o dicho de otro modo el centro de la seccin se mueve a medida que se carga o descarga la pieza. Por otra parte, tanto la seccin de hormign como la de acero presentarn en la realidad diferencias con la seccin terica proyectada (figura 18b).
Podra definirse el centro como el punto de aplicacin de un esfuerzo normal que produzca deformaciones uniformes en la seccin. Tambin en este caso dicho punto depender de la magnitud del esfuerzo normal.
Quiere decir que por los motivos expuestos en cada seccin de una pieza el centro podr variar dentro de un cierto rango. Adems su posicin no coincidir para las distintas secciones a lo largo de la pieza y es prcticamente imposible conocer su posicin (figura 18c). S podr acotarse su ubicacin dentro de un cierto entorno.
Frente a la conveniencia de definir un eje de la pieza de referencia se hace necesario considerar una excentricidad accidental mnima que tenga en cuenta estos factores y que permita considerar sus efectos.
El Cdigo ACI 318/02 fija un valor mnimo para la excentricidad de primero orden:
exc.1er orden = e ( 15 mm + 0.03 h
donde h: altura dela seccin transversal
Mientras que el CEB-90 al igual que la norma espaola EHE, el CIRSOC 201/82 y el Eurocdigo 2 fijan una excentricidad accidental a adicionar a la excentricidad de primer orden y que puede indicarse englobando a todas ellas mediante:
( l / 300
exc. acc. = ea ( ( h / 20
( 20 mm
7.3) El planteo de Faessel
Faessel realiz un anlisis del pandeo de una columna aislada de hormign armado que permite una representacin geomtrica muy interesante e ilustrativa para la comprensin del fenmeno. En el manual de pandeo del CEB {1} se lo denomina mtodo de la columna modelo.
Supongamos, en primer lugar, una columna como la de la figura (19) sometida a un esfuerzo normal P con una cierta excentricidad no nula eo. Admitamos que la pieza tiene un plano de simetra, que las cargas actan dentro de ese plano y que la deformada tambin se ubica dentro del plano de simetra, en pocas palabras supongamos que se trata de un problema plano. Supongamos, tambin que bajo la mxima carga que la pieza podr soportar la deformada puede representarse mediante una funcin sinusoidal (recordemos que para un material elstico lo es). Entonces la excentricidad de la carga en cada seccin ser:
Admitiendo que la curvatura, cuando es pequea, es igual a la derivada segunda de la funcin:
y su mximo valor absoluto (en x = l / 2) valdr:
y entonces la mxima excentricidad de la carga respecto de la seccin ser:
Si se representa esta funcin en una terna ( P, 1/r , e ) se obtendr un plano S (figura 20) paralelo al eje P ya que se trata de una funcin lineal en la que falta, justamente, la variable P.
Es importante recordar las hiptesis que dieron lugar a esta ltima expresin:
Problema plano (simetra).
Deformada sinusoidal para carga mxima.
1 / r ( d2y / dx2.
No se han hecho suposiciones sobre el material que constituye la pieza ni la forma de la seccin transversal ni la constancia de ambos a lo largo de la pieza.
Es fcil ver (figura 21) que siendo la excentricidad e0 de la carga la ordenada al origen cuanto mayor sea su valor mayor ser la altura del plano S respecto al plano horizontal. En la misma forma un aumento de la longitud (L) de la pieza producir una mayor pendiente del plano S.
Supongamos en segundo lugar, y con absoluta independencia de los visto anteriormente, una seccin de hormign armado perfectamente definida en sus dimensiones y materiales y que presente un plano de simetra (figura 22). Imaginemos, permtase la expresin, aplicar a esta seccin un estado de deformaciones genrico como el indicado mediante la recta T-T en la figura 22. Frente a este estado de deformaciones la seccin reaccionar con un esfuerzo que podr calcularse a partir de conocer los diagrama tensiones-deformaciones del hormign y del acero. Integrando el volumen de tensiones del hormign se podr determinar su resultante Pc y con las tensiones en las armaduras superior e inferior, determinadas a partir de sus deformaciones, y sus secciones se podrn conocer las fuerzas en ellas Ps1 y Ps2. Sumando (algebraicamente) las fuerzas normales en el hormign y acero se tendr el esfuerzo normal resultante:
P = Pc + Ps1 + Ps2 tomando momentos respecto a un eje de referencia (por ejemplo la mitad de la altura de la seccin) de las fuerzas en el hormign y las armaduras, se tendr el momento flector resultante M. Finalmente es posible calcular la curvatura mediante:
Entonces para el estado definido por la recta T-T se tiene una terna de valores P, M, 1/r que puede representarse en un sistema de ejes cartesianos. Repitiendo este procedimiento para distintos estados de deformacin definidos por rectas similares a la T-T se tendr un conjunto de ternas P, M, 1/r que representadas grficamente darn lugar a una superficie en el espacio como la indicada en la figura 23 como superficie resistente R. Evidentemente existirn planos de deformacin que coincidirn con un estado lmite de rotura bajo solicitaciones normales y que darn origen a un borde de la superficie R ms all de la cual la seccin es incapaz de resistir y consecuentemente la superficie R no podr existir.
Repasemos las hiptesis que permitieron determinar la superficie resistente R:
Problema plano (simetra de la seccin transversal).
Las secciones planas se conservan planas (la deformacin de la seccin es una recta).
Los diagramas (-( del acero y del hormign son conocidos
Los estados de deformacin que conducen a la rotura por esfuerzos normales estn definidos.
No se han hecho suposiciones sobre la longitud de la pieza ni sobre su forma de vinculacin.
Si imaginamos una columna de las caractersticas de la de la figura 20 construida con una seccin de hormign armado como la de la figura 22 y si representamos en un mismo grfico (figura 24) a las superficies solicitante (S de la figura 20) y resistente (R de la figura 23) quedar determinada una curva en el espacio como resultado de la interseccin de ambas superficies. Esta curva representa los infinitos puntos posibles donde la solicitacin (determinada por el plano S) es igual a la resistencia (determinada por la superficie R) es decir donde existe equilibrio entre la solicitacin y la resistencia. Todos los dems puntos de ambas superficies no corresponden a situaciones de equilibrio por lo que carecen de inters para nosotros.
La forma de la curva interseccin depender, lgicamente, de las caractersticas de las superficies S y R pero podemos distinguir dos situaciones bien diferenciadas. En un caso la mxima ordenada P que alcanza la curva corresponde a un punto del borde de la superficie R (figura 25a) , es decir a un estado de rotura. Decimos, entonces, que para la carga mxima nos encontramos frente a un problema de rotura de seccin. En el otro caso la ordenada mxima no corresponde a un punto del borde de rotura sino a un punto interior a la superficie (figura 25b), la carga mxima corresponde a un problema de inestabilidad del equilibrio o rotura del equilibrio; un aumento de la curvatura requerira para mantener el equilibrio una disminucin de la fuerza de compresin P.
Para ayudar a visualizar el problema puede resultar conveniente representar ambas superficies mediante proyecciones acotadas en planos paralelos a los planos de coordenadas. Si cortamos las superficies S y R mediante planos paralelos al plano 1/r , e se tendrn curvas como las de la figura 26a correspondiente a un problema de rotura de seccin o la figura 26b correspondiente a un problema de rotura de equilibrio.
Como puede verse el planteo de Faessel permite una interpretacin del fenmeno del pandeo introduciendo relativamente pocas hiptesis (deformada sinusoidal, mecanismo resistente de la seccin conocido) y una interpretacin grfica muy ilustrativa para poder distinguir los fenmenos de rotura del equilibrio y rotura de seccin que resultan fundamentales a la hora de dimensionar las estructuras de hormign armado.
Si en lugar de la hiptesis de deformada sinusoidal se supusiera que la deformada es una parbola de segundo orden se obtendra, para la expresin de la excentricidad de segundo orden:
7.4) Efecto de las cargas de larga duracin
Si consideramos los efectos reolgicos en el hormign armado, fundamentalmente la retraccin por secado y la fluencia (en general la relajacin del acero resulta despreciable) se tendr, que el plano T-T de la figura 22 que dio origen a un esfuerzo normal (P) y a una excentricidad (e) correspondiente a cargas de corta duracin, se habr desplazado como consecuencia del transcurso del tiempo adoptando una nueva posicin T-T (figura 27).
Este desplazamiento producir una nueva redistribucin de esfuerzos entre acero y hormign por lo que tendr lugar una pequea modificacin en los valores de P y e. La que se modifica en forma no despreciable es la curvatura. Por efecto de la fluencia la curvatura aumenta en la misma proporcin que lo hace la deformacin de la fibra ms comprimida es decir ( veces siendo ( el coeficiente de fluencia.
La retraccin por secado producir incrementos de curvatura en los casos de armadura asimtrica dado que es la armadura que se opone al acortamiento de la retraccin la que origina las curvaturas las que por otra parte son de mucha menor magnitud que las originadas por la fluencia.
Los fenmenos reolgicos producen entonces, adems de la pequea modificacin de P y e, un fuerte aumento de la curvatura 1/r. El resultado es, adems de una ligera modificacin de la forma, un desplazamiento de la superficie R hacia las mayores curvaturas. Quiere decir que cuando la carga permanente (que es la que origina la fluencia) es imporatntes frente a la carga total la superficie resistente R sufrir un desplazamiento no despreciable que podr transformar una situacin de equilibrio en una de inestabilidad o directamente de rotura de la seccin (figura 28).
7.5) El pandeo por rotura de seccin
Como se indic en la figura 17 y se puede apreciar en la representacin de Faessel, cuando la esbeltez no es muy grande el pandeo se alcanza por la rotura de la seccin de hormign. En esos casos es posible resolver el pandeo, al menos en forma aproximada, reducindolo a un problema de flexin compuesta utilizando un momento flector mayor que el que corresponde a los efectos de primer orden. Para obtener la magnitud de este momento flector mayor aparecen dos criterios:
El momento (o la excentricidad) complementario, a adicionar al momento de primer orden.
La amplificacin del momento de primer orden mediante un factor mayor que la unidad. Si bien conceptualmente difieren, sus resultados prcticos coinciden sensiblemente.
a) Mtodo del momento complementario o de la excentricidad complementaria.
Fue introducido por A. Aas Jackobsen en 1959 e incorporado al Cdigo CEB de 1964. Hasta esta fecha las reglamentaciones consideraban el efecto del pandeo a travs de una mayoracin del esfuerzo normal que solicitaba la columna (mtodo ().
Consiste en asumir la hiptesis de que el pandeo es un problema de rotura de seccin y a partir de all determinar cual es el incremento, en el momento flector, que producen los efectos de segundo orden. De esta manera se pueden dimensionar las armaduras de la seccin como en flexin compuesta.
La deduccin de la expresin de la excentricidad complementaria (puede verse en Lima o Robinson) requiere la introduccin de una cantidad de simplificaciones muchas de ellas algo groseras que hacen forzada la obtencin de la expresin de la excentricidad complementaria independientemente de la magnitud del esfuerzo normal y del momento flector total resultante. Segn Jakobsen la excentricidad de segundo orden o excentricidad complementaria es:
el propio Jakobsen propuso, sin fundamento y por razones de seguridad:
esta ltima expresin fue adoptada en el ao 1964 por el CEB y por el Proyecto de Reglamento Argentino de Estructuras de Hormign. Posteriormente, hasta la actualidad, y con algunas variantes se la encuentra en normas como EHE, CIRSOC 201/82, CEB-90.
En el grfico de la figura 29 pueden observarse los valores de la excentricidad complementaria relativa (e2 / h) en funcin de la esbeltez (() para los distintos reglamentos o recomendaciones y para situaciones medias ya que muchos de ellos incorporan una cantidad mayor de variables. Puede apreciarse una dispersin significativa producto, sin duda, del elevado nivel de simplificacin que requiere. Aunque tambin debe destacarse su sencillez.
b) Mtodo de la amplificacin del momento
Fue propuesto por J. A. MacGregor en 1970 e incluido en el Cdigo ACI 318 de 1971. Consiste en mayorar el momento flector de primer orden mediante un factor mayor que la unidad. debe prestarse atencin que en este caso al momento de primer orden se lo multiplica por un coeficiente mientras que en el caso anterior, del momento complementario, se le suma un trmino adicional. A travs de distinto camino se llega en ambos casos a un aumento del momento flector respecto del obtenido en un anlisis de primer orden permitiendo la resolucin del problema del dimensionamiento de las armaduras como uno de flexin compuesta . Lgicamente tambin este mtodo est apoyado en la hiptesis de que el pandeo es un problema de rotura de seccin.
El factor a multiplicar por el momento de primer orden es, a menos de algn coeficiente de ajuste, el mismo que hemos deducido para la frmula de Euler aplicada a una columna con carga excntrica (1 P/Pk).
Efectivamente el momento total es:
Donde:
Cm : Es un coeficiente que tiene en cuenta los momentos flectores de primer orden en ambos extremos de la columna
con M1 y M2 momentos de primer orden y M1 ( M2Pu: es la carga axil mayorada para una excentricidad dada.
Pc : Es la carga crtica de Euler
con L : longitud de la columna biarticulada equivalente (semionda de sinusoide) y EI se obtiene de alguna de las expresiones siguientes:
( (0.2 Ec Ig + Es Is) / (1+(d)
E I = ( 0.4 Ec Ig / (1+(d)
en las que (d es la relacin entre la solicitacin permanente y la total.
El factor 0.75 que afecta a la carga crtica de Euler (Pc), que no figuraba en el trabajo original de MacGregor, se lo incluye como factor de reduccin de rigidez aunque en realidad es un coeficiente de ajuste para obtener valores algo ms conservadores. Fue introducido por el ACI en el ao 1989.
Si bien, como se dijo, el mtodo de la amplificacin del momento y el del momento complementario resuelven el problema a travs de distinto mecanismo, en el primero es un factor y en el segundo un trmino aditivo, en los casos prcticos sus resultados no difieren excesivamente (( 20%) al menos para aquellos casos en que ((( ( 30 ((: esfuerzo axil relativo) en los que puede ser esperable la rotura de seccin.
7.6) La columna como parte de una estructura
En general la columna o el elemento comprimido forma parte de una estructura ms compleja que podemos suponer, sin perder generalidad, como un prtico.
Ya hemos visto el anlisis de la estabilidad de la estructura, en este caso prtico, en su conjunto a travs de la consideracin de los efectos de segundo orden debidos a la no linealidad tanto geomtrica como resistente y ambas en funcin del tiempo.
Una forma simplificada de resolver el problema de la estructura en su conjunto es mediante la consideracin de cada uno de sus elementos (columnas) en forma aislada. Una de las dificultades de este proceder es establecer cul es la columna aislada que tendr un comportamiento equivalente al del elemento en consideracin dentro de la estructura completa.
Existen distintos procedimientos para resolver el problema pero el ms difundido, aunque con distintas variantes, es el de dividir a las estructuras o prticos en: translacionales (o desplazables) e intranslacionales (o no desplazables). Lgicamente no es sencillo establecer un procedimiento que permita decidir en que categora se encuentra cada estructura o cada elemento comprimido.
Existen distintos criterios, por ejemplo el cdigo ACI 318-02 (CIRSOC 201/02), como se vi en el punto 7, indica que una columna de una estructura se puede suponer indesplazable cuando el incremento de los momentos en los extremos (nudos) debido a los efectos de segundo orden no exceden el 5% de los de primer orden. Claro que para poder verificar este lmite sera necesario resolver la estructura en segundo orden y entonces el problema del pandeo ya estara resuelto. Para permitir una separacin entre desplazables e indesplazables el mismo cdigo propone: Un entrepiso de una estructura es indesplazable cuando se verifica:
Donde:
(Pu : Es la carga (esfuerzo normal) mayorada total en el piso (todas las columnas).
Vu : es el esfuerzo de corte total en el piso considerado.
(0 : Es el desplazamiento relativo de primer orden entre extremos de la columna debido a Vu
(horizontal).
lc : Longitud del elemento comprimido.
Esta expresin surge de limitar (ver figura 11) al 5% el incremento en los momentos, debido a las deformaciones de primer orden ((0), y para todo el entrepiso. Para el clculo de las deformaciones de primer orden deben utilizarse las rigideces correspondientes al elemento de hormign armado (por ejemplo las de la tabla 1).
Cuando la estructura no verifica la condicin planteada se supondr traslacional o desplazable.
Otro criterio es el del CEB-90 (similar al EC-2), en l se distinguen las estructuras arriostradas y no arriostradas. En las primeras se encuentran aquellas munidas de algn elemento de rigidez transversal importante como tabiques, cajas de ascensores o escaleras que impiden la deformacin horizontal del resto de los elemento. Se supone que un elemento es capaz de arriostrar la estructura cuando puede soportar el 90% del esfuerzo horizontal en cada piso y sin fisurarse bajo cargas de servicio.
En este caso las columnas se pueden calcular como columnas aisladas de nudos indesplazables. El, o los, elementos arriotradores se calculan como mnsulas (columnas aisladas) con una longitud igual a la total del edificio y sometidas a todas las cargas horizontales ms las reacciones, tambin horizontales, producidas por las columnas arriostradas en ella (figura 30).
Las segundas (no arriostradas) se subdividen a su vez en estructuras intraslacionales o indesplazables y traslacionales o desplazables. Son indesplazables aquellas para las que el incremento de los momentos en los nudos por los efectos de segundo orden es menor que 10% (valor que parece ms razonable que el exigente 5% del ACI). Tambin en este caso los elementos comprimidos se pueden analizar como columnas aisladas.
Para las estructuras traslacionales o desplazables se debe realizar el clculo de los efectos de segundo orden a partir del anlisis no lineal de la estructura admitindose, como simplificacin, un clculo P-(.
7.7) Asimilacin a columna aislada
Hemos visto que las reglamentaciones permiten, en algunos casos, resolver los elementos comprimidos de una estructura de hormign armado como si fueran columnas aisladas. Claro que en estos casos es necesario, para asimilar dichos elementos de la estructura a una columna aislada, definir cul ser la longitud de columna (biarticulada) equivalente y en algunos casos, cul ser la excentricidad, tambin equivalente, de la carga.
La longitud de la columna equivalente (k x lc) la podremos definir como la distancia entre los puntos de inflexin de su deformada en forma similar a la que se plante en hoja 6.
En las estructuras con nudos indesplazables (figura 31) dicha distancia entre puntos de inflexin no ser mayor que la longitud de la pieza (k(1) dependiendo de la rigidez relativa entre las columnas y las vigas (o entrepisos) como surge de la figura 31 para los casos lmite en que la rigidez de las vigas es nula o infinita y para una rigidez (EI) constante para las columnas; en esos casos la distancia entre puntos de inflexin de la deformada son las mismas mencionadas en la hoja 6 y resultan del planteo de Euler.
En el caso de la estructuras reales la relacin de rigideces entre las columnas y vigas adopta valores finitos (y no nulos) de manera que la determinacin de la longitud equivalente requiere un estudio detallado de la estructura. Para evitar la complicacin de este anlisis se ha desarrollado el nomograma de Jackson y Moreland (figura 32) que permite obtener el coeficiente k en funcin de las rigideces relativas de los elementos que concurren a cada nudo de la columna.
Este nomograma, conjuntamente con el de nudos desplazables, han sido elaborados originalmente para las columnas metlicas y adoptados por una gran cantidad de normas de hormign armado (ACI, DIN, EC2); otras {23} incluyen expresiones matemticas. Se indican a continuacin las adoptadas por el cdigo ACI 318/02 para estructuras con nudos indesplazables:
( 0.7 + 0.05 ((A + (B) ( 1
k ( ( ( 0.85 + 0.05 (min ( 1
Siendo (min en menor valor entre (A y (B.
En el clculo de las rigideces de los elementos que concurren al nudo deben tenerse en cuenta la no linealidad del material y la fisuracin del hormign, por ejemplo a travs de los valores de la rigidez indicados en la tabla 1.
En cualquiera de los casos no debe perderse de vista que su determinacin requiere una gran cantidad de hiptesis simplificativas y consecuentemente presenta un elevado grado de incertidumbre.
Contrariamente, en las estructuras con nudos desplazables (figura 33) la distancia entre puntos de inflexin no ser menor que la longitud de la pieza (k(1) dependiendo, tambin, de la rigidez relativa entre las columnas y las vigas.
Tambin para este caso de nudos desplazables existen un nomograma de Jackson y Moreland (figura 34) y expresiones para el clculo del coeficiente k, entre otras:
Para elementos con ambos extremos restringidos (continuos):
Si (m ( 2 ( k = (20-(m) (1+(m)1/2 / 20
Si (m ( 2 ( k = 0.9 (1+(m)1/2
En ambos casos (m es el promedio entre (A y (B.
Expresiones que se podran escribir, para ser coherentes con las anteriores, como:
( (20-(m) (1+(m)1/2 / 20
k ( ( ( 0.9 (1+(m)1/2
y que dan valores de k mayores o iguales que la unidad en todos los casos.
Para elementos con un solo extremo restringido (el otro extremo articulado):
k = 2.0 + 0.3 (( es el valor correspondiente al extremo no articulado.
que, como es fcil de ver, arroja siempre valores mayores que dos.
Es importante tener en cuenta que las longitudes equivalentes obtenidas mediante el nomograma tienen un nivel de incertidumbre bastante mayor que para las estructuras indesplazables; adems en este caso la longitud equivalente es altamente sensible a pequeas rotaciones que pudieran presentar los apoyos considerados como empotramientos.
Con respecto a la excentricidad equivalente de la carga, para la columna aislada equivalente correspondiente a una estructura indesplazable (figura 35) existe un criterio generalizado e incorporado por la mayora de las normas que consiste en suponer una excentricidad igual en ambos extremos de valor:
e1 = 0.6 eA + 0.4 eB ( 0.4 eADonde:
e1 : Es la excentricidad equivalente de primer orden.
eA : Es la excentridad en el extremo de la barra y de mayor valor absoluto.
eB : Es la excentricidad de menor valor absoluto (con signo negativo cuando es opuesta a eA)
En el caso de las estructuras desplazables no tiene sentido el concepto de excentricidad equivalente dado que en estos casos los efectos de segundo orden justamente incrementan los momentos flectores en los extremos de la columna.
8. RESOLUCIN DE LOS PROBLEMAS PRCTICOS
La elevada complejidad que presenta la resolucin prctica, ya sea en la verificacin y ms an en el dimensionamiento, de las estructuras de hormign armado teniendo en consideracin la no linealidad, tanto geomtrica como resistente, hace que sea necesario considerar soluciones simplificadas que permitan abordar la resolucin de los problemas mediante un mecanismo acorde con la importancia estructural del elemento considerado y con la incidencia que en l puedan tener los efectos de segundo orden. Con mecanismo acorde se quiere significar el equipamiento requerido (computadora, software, bacos, calculadora, etc) y el tiempo que en cada caso puede dedicarse a la solucin del problema.
Es as como las distintas reglamentaciones imponen o sugieren lmites dentro de los cuales se pueden ignorar o despreciar los efectos de segundo orden, se pueden calcular los efectos del pandeo por mtodos simplificados como por ejemplo la amplificacin del momento o el momento complementario, se deben calcular mediante mtodos rigurosos y debe evitarse su construccin. En el cuadro anterior (tabla 2) se indican estos lmites para los distintos cdigos.
Como puede verse, en muchos casos aparece definiendo los lmites, la esbeltez (. Esto es por un lado un resabio del mtodo de los coeficientes de pandeo (() de Euler-Engesser donde a partir de un cierto valor de la incidencia de los efectos de pandeo que se quiere considerar, aparece inmediatamente el valor de ( asociado. Adems es, sin duda, un parmetro fcil de recordar y manejar. En la figura 36 se han representado las longitudes de las columnas biarticuladas de seccin cuadrada de 20 cm de lado para cada una de las esbelteces lmites fijadas por la norma espaola EHE que, por su sencillez, resultan fciles de recordar.
Tambin debe considerarse que en las columnas de hormign armado la rotura se produce por agotamiento de la seccin y en consecuencia variables como el momento flector (de primer orden) y el esfuerzo normal son importantes a la hora de definir los lmites mencionadaos. As
aparecen acompaado a ( en la definicin de algunos lmites, las excentricidades de primer orden como en CIRSOC 201/82 y 201/02, o el esfuerzo normal relativo (() como en CEB-90.
En el primer grupo, correspondiente a las esbelteces pequeas, puede aceptarse que los efectos de segundo orden son despreciables frente a los de primer orden y por lo tanto y para simplificar el clculo, pueden ignorarse los efectos del pandeo.
En el segundo grupo, correspondiente a las esbelteces moderadas, puede suponerse que el pandeo se produce por rotura de seccin y en consecuencia los mtodos simplificados de reduccin a flexin compuesta pueden resultar suficientemente aproximados. Volveremos enseguida sobre ellos.
Algunos cdigos (CEB) prohiben el clculo mediante estos mtodos (slo se permiten para predimensionar) pero debe tenerse presente que para calcular una columna elemental (por ejemplo de una vivienda de una planta) obliga a recurrir a distinto tipo de ayudas de clculo como bacos o programas de computadora que lo pueden hacer impracticable en algunos casos.
El tercer grupo corresponde a las esbelteces elevadas de manera que es razonable recurrir a las mejores herramientas disponibles y resolver los problemas mediante algn mtodo que permita evitar hiptesis previas sobre el tipo de rotura (equilibrio o seccin) que tendr lugar. Hemos dicho recurrir a las mejores herramientas disponibles y no como indican la mayora de las reglamentaciones tener en cuenta todas las no linealidades. Como ya hemos dicho esto ltimo es prcticamente imposible en el estado actual del desarrollo de los procedimientos numricos. Las ecuaciones constitutivas del hormign armado son sumamente complicadas y requieren, para su aplicacin, un altsismo grado de definicin de la estructura tanto de la geometra de las secciones como de las cantidades de armadura su ubicacin y su desarrollo a lo largo de la pieza. Parece necesario permitir el clculo de los efectos de segundo orden a travs de mtodos tipo P-(, disponibles en gran cantidad de software accesible, utilizando una rigidez equivalente para los elementos de hormign armado. La expresin:
E(I = 0.4 Ec Ig / (1+(d)
parecera razonable para los casos prcticos en elementos que bajo cargas de rotura se encuentren en estado II (fisurados) en los que no presenten fisuras puede utilizarse el doble de dicho valor. Estos valores no difieren sustancialmente de los indicados en la tabla 1.
Finalmente algunas normas limitan la esbeltez mxima de los elementos comprimidos. Si bien esto puede parecer inconveniente y arbitrario, no debe perderse de vista que las normas deben velar por la seguridad de las personas y bienes procurando evitar audacias innecesarias.
8.1) Los mtodos aproximados
Hemos estudiado el comportamiento de la columna aislada de hormign armado, tambin hemos visto cmo, en algunos casos, puede reducirse el anlisis del pandeo de una estructura en su conjunto, al anlisis de una columna equivalente. Hemos mencionado, tambin, la gran dificultad que presenta un clculo riguroso de los efectos de segundo orden. Esta elevada dificultad hace necesario aceptar en el clculo de los efectos de pandeo mtodos simplificados que puedan resolver el dimensionamiento o la verificacin de la capacidad portante de una estructura o de sus elementos con ayudas de clculo razonables y en tiempos compatibles con la magnitud del problema.
Existen distinos mtodos simplificados -algunos ya se han mencionado- que las reglamentaciones incorporan permitiendo su uso. An admitiendo que puede resultar reiterativo se ha considerado oportuno incluirlos respetando lo indicado en cada una de las normas dado que, como es sabido, es sumamente peligroso mezclar los contenidos de distintos cdigos.
a) CIRSOC 201/02 ACI 318/02
Se utiliza el mtodo de los momentos amplificados es decir la mayoracin de los momentos de primero orden a travs de un coeficiente. Para ello es necesario diferenciar en estructuras con nudos no desplazables y estructuras con nudos desplazables. Una estructura es indesplazable cuando se verifica:
Donde:
(Pu : Es la carga (esfuerzo normal) mayorada total en el piso (todas las columnas).
Vu : es el esfuerzo de corte total en el piso considerado.
(0 : Es el desplazamiento relativo de primer orden entre extremos de la columna debido a Vu
(horizontal).
lc : Longitud del elemento comprimido.
caso contrario la estructura es desplazable.
Momento amplificado Estructura no desplazable
Las armaduras de la columna se calculan en flexin compuesta para el esfuerzo normal mayorado y un momento flector, tambin mayorado, determinado por la expresin:
Donde
para elementos sin cargas transversales entre los apoyos y con M1 y M2 momentos de primer orden con M1 ( M2 y M2 ( Pu (15 mm + 0.03 h).
Cuando existen cargas transversales entre los apoyos Cm = 1
Pu: es la carga axial mayorada para una excentricidad dada.
Pc : Es la carga crtica de Euler
con L : longitud de la columna biarticulada equivalente (semionda de sinusoide) y EI se obtiene de alguna de las expresiones siguientes:
( (0.2 Ec Ig + Es Is) / (1+(d)
E I = ( 0.4 Ec Ig / (1+(d)
en las que (d es la relacin entre la solicitacin permanente y la total.
Para determinar la longitud de la columna biarticulada equivalente (L) se pueden utilizar el nomograma de la figura 32 o bien la expresin:
( 0.7 + 0.05 ((A + (B) ( 1
k ( ( ( 0.85 + 0.05 (min ( 1
Siendo (min el menor valor entre (A y (B.
Momento amplificado Estructura desplazable
En este caso se calculan los momentos en los extremos del elemento comprimido o columna mediante:
M1 = M1ns + (s M1sM2 = M2ns + (s M2sDonde:
M1 y M2 : son los momentos mayorados en los extremos de la columna.
M1ns y M2ns : son los momentos mayorados de primer de orden debidos a cargas que
no producen un desplazamiento lateral apreciable (non sway).
(s M1s y (s M2s : son los momentos mayorados de segundo de orden debidos a las
cargas que producen un desplazamiento lateral apreciable (sway).
Para calcular los momentos de segundo orden ((s M1s y (s M2s) se puede resolver la estructura en su conjunto, por ejemplo con las rigideces de la tabla 1 o bien a partir de alguna de las expresiones:
Si en la primera, 1 /(1-Q) resulta mayor que 1.5, los momentos se deben determinar mediante el clculo de segundo orden o bien con la segunda expresin.
Q: Es el mismo ndice de estabilidad utilizado para determinar si la estructura es desplazable
o no.
(Pu : Es la sumatoria de los esfuerzos normales de todas las columnas del piso.
(Pc : Es la sumatoria de las cargas crticas de todas las columnas del piso que soportan los
desplazamientos laterales.
Pc : Es la carga crtica de cada columna calculada en la misma forma que para las estructuras
no desplazables pero con el valor de k correspondiente a la estructura desplazable.
Con los momentos amplificados se dimensionarn las armaduras en flexin compuesta. Salvo en aquellos casos en que:
es decir columnas esbeltas con esfuerzos de compresin importantes en las que el momento de segundo orden mximo ocurrir entre los extremos y entonces el momento flector mayorado (Mc) se calcular como en las estructuras indesplazables en la que el momento mximo no coincide con los extremos de la barra. Para los momentos extremos M1 y M2 mayorados por los efectos de segundo orden se utilizan los correspondientes a las estructuras desplazables (como se vi en esta seccin).
b) EHE Espaa Hormign Estructural 1998
Para columnas aisladas de esbeltez moderada (((100) y armadura constante se puede utilizar el mtodo del momento complementario o de la excentricidad complementaria.
La excentricidad total de la carga ser:
etot = e1 + e2e1: es la excentricidad de primer orden equivalente
para estructuras no desplazables e1 = 0.6 eA + 0.4 eB ( 0.4 eApara estructuras desplazables e1 = eA
eA : Excentricidad mxima (en valor absoluto) de primer orden tomada
como positiva.
eB : Excentricidad de primer (con el signo que le corresponda).
e2 : Es la excentricidad ficticia de segundo orden o complementaria dada por:
h: es la altura total de la seccin transversal
ig : es el radio de giro de la seccin bruta de hormign
l : es la longitud de la columna biarticulada equivalente.
(y : es la deformacin del acero para la tensin de fluencia minorada (fyd / Es).
( : Parmetro para tener en cuenta los efectos de la fluencia
( = 0.003 cuando Ng ( N total
( = 0.004 cuando Ng > N total( : un factor que tiene en cuenta el tipo de armadura en la seccin
( = (d-d)2 / 4 isEl criterio es similar al incluido por el Comit Europeo del Hormign en su Cdigo Modelo de 1978 y en el manual de pandeo (Bull N123) para el predimensionamiento de secciones. Puede verse fcilmente que para situaciones normales (seccin rectangular, doble armadura, etc) la excentricidad complementaria se encuentra alrededor de 5 x 10-5 (2 incluyndose en la frmula factores que toman en cuenta la fluencia, la excentricidad inicial de primer orden y el tipo de armadura en la seccin.
c) CIRSOC 201/82 DIN 1045
La actual norma vigente en la Argentina permite el clculo simplificado de los efectos de segundo orden mediante una excentricidad complementaria en aquellos casos en que la esbeltez se mantenga menor que setenta (( ( 70). Las expresiones, vlidas para elementos con seccin de hormign y armadura constantes, son las siguientes:
En estas expresiones, adems de la esbeltez ((), tiene una incidencia muy importante sobre el valor de la excentriciad complementaria, la excentricidad debida a los efectos de primer orden (e1). El valor de la excentricidad complementaria incluye el de la excentricidad accidental.
d) Cdigo Modelo CEB 78 Manual de Pandeo CEB
En ambos casos se indica como mtodo aproximado para la consideracin de los efectos del pandeo al Mtodo de la columna modelo. No es otra cosa que el planteo de Faessel, es decir la suposicin de que la deformada en el instante de la rotura responde a una ley sinusoidal y en consecuencia la excentricidad mxima debida a los efectos de segundo orden ser:
lgicamente la curvatura de la seccin depende de las deformaciones especficas en ambos bordes de la seccin transversal;
esto genera una gran complicacin operativa. efectivamente para conocer la excentricidad de segundo orden e2 es necesario conocer la curvatura (1/r), para conocer la curvatura es necesario disponer de las deformaciones especficas en los bordes de la seccin y estas dependern de las solicitaciones actuantes (en segundo orden) y de las armaduras. En definitiva el problema es sumamente laboriosos an para soluciones por aproximaciones sucesivas.
Para permitir la resolucin de los casos prcticos se agregan en el Manual de Pandeo tablas (tablas 4 y 5) que permiten resolver algunos pocos casos concretos.
Evidentemente el mtodo de la columna modelo dista mucho de ser un mtodo simple, requiere la utilizacin de tablas o en su defecto de algn programa de computadora y ha exigido que en cdigos posteriores se incorporaran variantes ms accesibles.
Para un clculo rpido puede aplicarse la excentricidad complementaria estimndose la curvatura mediante la expresin {27}:
1/r = 5 x 10-3 / d
o con algo ms de precisin {2}:
1/r = (0.0035 + fy/Es) / h para ( ( 0.5
1/r = (0.0035 + fy/Es) / (2 ( h) para ( > 0.5
e) Eurocdigo 2 EC2 Cdigo Modelo CEB 90
En ambas normas se permite, para aquellos casos que no requieran gran exactitud, la utilizacin de una excentricidad complementaria y consecuentemente el dimensionamiento de las armaduras mediante la resolucin de un problema de flexin compuesta.
La excentricidad total del esfuerzo normal ser:
etot = e1 + ea + e2e1: es la excentricidad de primer orden equivalente
e1 = 0.6 eA + 0.4 eB ( 0.4 eAeA : Excentricidad mxima (en valor absoluto) de primer orden tomada
como positiva.
eB : Excentricidad de primer (con el signo que le corresponda).
ea: es la excentricidad accidental dada por :
l : Longitud de la pieza (en metros).
e2 : Es la excentricidad ficticia de segundo orden o complementaria dada por:
eyd : Es la deformacin specfica de fluencia del acero
minorada (fyd/Es)
d : Es la altura til de la seccin.
l : es la longitud de la columna biarticulada equivalente.
(se han sustitudo algunos coeficiente por su valor ms desfavorable).
9. EL PANDEO COMO PROBLEMA TRIDIMENSIONAL
En todos los casos hemos considerado el pandeo como un problema plano, la pieza tiene un plano de simetra y en l estn contenidas la solicitacin y la deformada. En las estructuras reales los elementos comprimidos presentarn, en general, asimetras en su geometra y en sus solicitaciones que los alejan de la hiptesis de simetra. Esta situacin muchas veces mal llamada pandeo en dos direcciones (el pandeo se producir en una direccin lo que ocurre es que no sabemos cul ser) es de un enorme nivel de complejidad. Tiene mucha incidencia la rigidez y resistencia a la torsin de la pieza ya que de ellas depende la suceptibilidad de la misma a orientar su mnima inercia en coincidencia con la mxima excentricidad produciendo as los mayores efectos de segundo orden.
El problema no est resuelto para los elementos de hormign armado ni existe software que lo tenga en consideracin.
Muchas de las normas, procurando una solucin prctica, permiten la verificacin sucesiva y como problema plano en las dos direcciones principales para secciones rectangulares, armadura constante y siempre que se cumpla alguna de las dos condiciones siguientes:
( ( 1/5 (En algunos casos )
ex/b ( ey/h (
( ( 5 (En algunos casos 4)
El cumplimiento de alguna de las condiciones significa que la excentricidad relativa en una direccin es mucho mayor que en la otra como puede apreciarse en el grfico de la figura 37 en el que la zona rayada representa la posible ubicacin del esfuerzo normal en esos casos.
Tambin se indica en algunas normas aunque sin mayor fundamento que para el caso de excentricidades relativas no muy pequeas (e/h > 0.2) puede realizarse la verificacin en la misma forma que en el pandeo plano pero en flexin compuesta oblicua utilizando los momentos de segundo orden en las dos direcciones.
10. EJEMPLOS DE APLICACIN
1) Calcular la armadura de la siguiente columna:
Datos:
Ng = 154 kN ; Nq = 195 kN
L = 7.20 m
h = 0.50 m
b = 0.50 m
d1 = d2 = 0.05 m
fck = 17 MPa
fyk = 420 MPa
a) Resolucin por el Mtodo del momento complementario (CEB-78):
Materiales:
Hormign:fcd = 17 MPa / 1.50 = 11.3 MPa
f*c = 0.85 x 17 MPa / 1.50 = 9.6 MPa
Acero:
fyd = 420 MPa / 1.15 = 365.2 MPa
Nd = 1.35 x Ng + 1.50 x Nq = 1.35 x 154 kN + 1.50 x 195 kN = 500 kN
Esbeltez:
( = lo / idonde:
lo: longitud de pandeo = 7.20 m
i: radio de giro = ((Ic / Ac) = b / (12
( = 7.20 m x (12 = 50 > 25
0.50m
por lo tanto se deben considerar los efectos del pandeo
Clculo de la excentricidad total:
e total = eo + ea + e2
donde:
eo: excentricidad de 1er. orden
ea: excentricidad accidental
e2: excentricidad de 2do. orden
eo: debido a que las excentricidades son diferentes en ambos extremos de la columna, a los efectos del pandeo se las reemplaza por una nica excentricidad igual a:
eo = 0.60 x eo2 + 0.40 x eo1 ( 0.40 x eo2 ; (eo2( > (eo1(
eo = 0.60 x 0.80 + 0.40 x 0.70 = 0.76 m > 0.40 x 0.80 = 0.32 m
ea ( mx. (l / 300 ; h / 20 ; 20 mm) = mx. (7200/300 ; 500/20 ; 20mm)
ea = 500 mm / 20 = 25 mm = 0.025 m
e2 ( = lo^2 / 10 x (1/r)
donde la curvatura 1/r la podemos suponer como:
Si ( ( 0.50 ( 1/r = (0.0035 + fy/Es) / h
Si ( > 0.50 ( 1/r = (0.0035 + fy/Es) / (2x(xh)
en este caso:
( = Nd / (b x h x fcd) = 500 kN / (50 x 50 x 1.13 kN/cm2) = 0.18
por lo tanto:
1/r = (0.0035 + 420MPa / 210000MPa) / 0.50m = 0.011
e2 ( (7.20m)^2 / 10 x 0.011 1/m = 0.057 m
Por lo tanto se tiene:
e total = 0.76m + 0.025m + 0.057m = 0.842 m
Debemos dimensionar la armadura de la columna para las siguientes solicitaciones:
Nd = 500 kN
Md = e total x Nd = 0.842 m x 500 kN = 421 kNm
Entrando al diagrama de interaccin correspondiente a una armadura distribuida uniformemente en todo el permetro de la columna, se tiene:
( = Nd / (b x h x fcd) = 500 kN / (50cm x 50cm x 1.13 kN/cm2) = 0.18
( = Md / (b x h^2 x fcd) = 421 kNm / (0.50m x (50)^2 x 1.13kN/cm2) = 0.30
( = 0.75 ( As total = 0.75 x50cm x50cm x 1.13 kN/cm2 / 36.52 kN/cm2
As total = 58.00 cm2
Si utilizamos el diagrama de interaccin correspondiente a una seccin con armadura simtrica, se obtiene:
( = 0.575 ( Astotal = 0.575x50cmx50cm x 1.13 kN/cm2 / 36.52 kN/cm2
As total = 44.50 cm2
El mismo procedimiento ,con ligeras diferencias en algunos coeficientes, presentan otros reglamentos para los cuales las excentricidades complementarias valen:
CEB-90:
e2 ( 0.10 x 1 x l2 x 1.23 x 2 x (yd / ds = 0.10 x (7.20m)2 x 1.23 x 2 x 0.0018 / 0.40 m =
e2 = 0.057 m
Fib Practical Design:
e2 = l2 / 8 x 1 x 1 x 2 x (yd / ds = (7.20m)2 / 8 x 2 x 0.0018 / 0.40 m = 0.058 m
EHE:
e2 = (1 + 0.12() x ((y + () x (h + 20 e1) / (h + 10 e1) x lo2 / (50 x h/(12)
e2 = 1.12 x (0.0018 + 0.003) x 1.94 x (7.20m)2 / (50 x 0.50m/(12) = 0.075 m
b) Resolucin por el Mtodo de la amplificacin del momento (ACI-318):
Materiales:
Hormign:fc = 17 MPa
Acero:
fy = 420 MPa
Pu = 1.20 x D + 1.60 x L = 1.20 x 154 kN + 1.60 x 195 kN = 497 kN
M1 = Pu x eo1 = 497 kN x 0.70 m = 348 kNm
M2 = Pu x eo2 = 497 kN x 0.80 m = 398 kNm
Suponiendo que se trata de un prtico con nudos indesplazables, veremos si tenemos que considerar los efectos de 2do. orden:
k x lu / r ( 34 12 x (M1 / M2)
donde:
k = 1 para prticos indesplazables
lu: distancia libre entre nudos del prtico = 7.20 m
r: radio de giro, puede suponerse = 0.30 x b = 0.30 x 0.50 m = 0.15 m
(k x lu / r = 1 x 7.20 m / 0.15 m = 48 > 34 12 x (348 kNm / 398 kNm) = 23.5
por lo tanto debemos considerar los efectos de 2do. orden.
Clculo del momento amplificado:
Mc = (ns x M2
donde:
(ns = Cm . ( 1
1 Pu / (0.75 x Pc)
M2 = 497 kN x 0.80 m = 398 kNm ( M2mn. = Pu x (15 mm + 0.03 x h)
= 497kN x (0.015m + 0.03x0.5m) = 15 kNm
398 kNm > 15 kNm ; verifica.
Ahora calculamos los distintos trminos del coeficiente (ns;
Cm = 0.60 + 0.40 x M1 / M2 ( 0.40 : coeficiente que tiene en cuenta los momentos flectores de 1er. orden en ambos extremos de la columna.
Cm = 0.60 + 0.40 x 348 kNm / 398 kNm = 0.95 > 0.40
Pc = (2 x E x I / L2 : carga crtica de Euler
E x I se obtiene de la siguiente expresin:
E x I = 0.40 x Ec x Ig / (1 + (d) (
Ec = 4700 x (fc MPa = 4700 x (11.3
= 15800 MPa
Ig = b x h^3 / 12 = (50 cm)^4 / 12
= 520833 cm4
(d = 1.20D / (1.20D + 1.60L) = 0.37
E x I = 0.40 x 15800 kN/cm2 x 520833 cm4 / 1.37 = 24027 kNm2
Por lo tanto Pc queda:
Pc = (2 x E x I / L2 = (2 x 24027 kNm2 / (7.20m)^2 = 4574 kN
( (ns = 0.95 . = 1.11 > 1
1 497 kN / (0.75 x 4574 kN)
Mc = 1.11 x 398 kNm = 442 kNm
Debemos dimensionar la armadura de la columna para las siguientes solicitaciones:
Pu = 497 kN
Mc = 442 kNm
Entrando al diagrama de interaccin (Esfuerzo nominal Carga-Momento) correspondiente a una armadura simtrica en cada cara, se tiene:
n = Pn / (b x h x fc) = 497 kN / (50cm x 50cm x 1.7 kN/cm2) = 0.12
m = Mc / ( b x h^2 x fc) = 442 kNm / (0.50m x (50cm)^2 x
1.7kN/cm2) = 0.21
( = 0.0186 ( As total = 0.0186 x 50cm x 50cm = 46.6 cm2Utilizando la misma proporcin de armaduras obtenidas en el clculo anterior (Mtodo momento complementario CEB78) podemos estimar una armadura uniformemente distribuida en el permetro de la columna:
Atotal CEB (permetral) / Atotal CEB (arm. simtrica) = 58 cm2 / 44.5 cm2 = 1.30
(As total ACI = 46.6 cm2 x 1.30 = 60.6 cm2
c) Resolucin con el Reglamento CIRSOC 201:
Materiales:
Hormign:(bk = 17 MPa
(r = 0.85 x 17 MPa = 14.4 MPa
Acero:
(s = 420 MPa
Ns = 154 kN + 195 kN = 349 kN
Nd = 1.75 x (154 kN + 195 kN) = 610.8 kN
Esbeltez:
( = lo / idonde:
lo: longitud de pandeo = 7.20 m
i: radio de giro = ((Ic / Ac) = b / (12
( = 7.20 m x (12 = 50 < 70
0.50m
Clculo de la excentricidad:
e = eo + ea
donde:
eo: excentricidad de 1er. orden
ea: excentricidad accidental
eo: debido a que las excentricidades son diferentes en ambos extremos de la columna, a los efectos del pandeo se las reemplaza por una nica excentricidad igual a:
eo = 0.60 x eo2 + 0.40 x eo1 ( 0.40 x eo2 ; (eo2( > (eo1(
eo = 0.60 x 0.80 + 0.40 x 0.70 = 0.76 m > 0.40 x 0.80 = 0.32 m
ea ( mx. (l / 300 ; h / 20 ; 20 mm) = mx. (7200/300 ; 500/20 ; 20mm)
ea = 500/20 = 25 mm = 0.025 m
Por lo tanto:
e = 0.76 m + 0.025 m = 0.785 m
Puede prescindirse de la consideracin del pandeo si ( < 70 y e/d > 3.50, en nuestro caso ( = 50 < 70 y e/d = 0.785 m / 0.50 m = 1.57 < 3.50, por lo tanto debemos considerar los efectos de 2do. orden.
Debemos calcular una excentricidad adicional f que se calcula de la siguiente manera:
Para 0.30 ( e/d ( 2.50( f = d x (( - 20) / 160 ( 0
f = 0.50 m x (50 20) / 160 = 0.094 m
por lo tanto la excentricidad total ser:
e total = 0.785 m + 0.094 m = 0.879 m
Debemos dimensionar la armadura de la columna para las siguientes solicitaciones:
Ns = 349 kN
Ms = e total x Ns = 0.879 m x 349 kN = 307 kNm
Entrando al diagrama de interaccin correspondiente a armadura simtrica , se tiene:
n = Ns / (b x h x (R) = 349 kN / (50cm x 50cm x 1.44 kN/cm2) = 0.10
m = Ms / (b x h^2 x (R) = 307 kNm / (0.50m x (50)^2 x 1.44kN/cm2) = 0.17
( = 0.29 ( As1 = As2 = 0.29 x 50 x 50 x 1.44 / 42.0 = 24.8 cm2
As total = 2 x 24.8 cm2 = 49.6 cm2
Utilizando la misma proporcin de armaduras obtenidas en el clculo anterior podemos estimar una armadura uniformemente distribuida en el permetro de la columna:
Atotal CEB (permetral) / A total CEB (arm. simtrica) = 58 cm2 / 44.5 cm2 = 1.30
(As total CIRSOC = 49.6 cm2 x 1.30 = 64.5 cm2
d) Resolucin mediante programa de computacin Avwin98:
Se calcula la columna aislada con los siguientes datos:
Nd = 1.20 x 154 kN + 1.60 x 195 kN = 497 kN
eo1 = 0.70 m
eo2 = 0.80 m
E x I = 0.40 x Ec x Ig = 0.40 x 1580 kN/cm2 x 520833 cm4 / 1.37 = 24027 kNm2
(ver clculo s/ ACI)
Si dejamos fija la seccin transversal de la columna (50 x 50) para reproducir el producto E x I debemos utilizar un mdulo de elasticidad ficticio que vale:
E = 240270000 kNcm2 / 520833 cm4 = 462 kN/cm2
Resolviendo la columna en 2do. orden se obtiene las siguientes solicitaciones mximas:
Nd = 497 kN
Md = 419 kNm
e) Cuadro comparativo:
Para el caso particular del ejemplo resuelto se presenta el siguiente cuadro comparativo:
Como puede verse las solicitaciones obtenidas no presentan una gran diferencia (< 5%), en cambio las armaduras calculadas tienen una mayor dispersin pero que como mximo es del 10%, valor tambin aceptable.
f) Verificacin mediante tabla Bulletin CEB N 123:
Utilizamos los resultados obtenidos en la resolucin del ejemplo mediante el Mtodo de momento complementario (CEB-78):
Nd = 1.35 x Ng + 1.50 x Nd = 1.35 x 154 kN + 1.50 x 195 kN = 500 kN
( = Nd / (b x h x fcd) = 500 kN / (50cm x 50cm x 0.96 kN/cm2) = 0.21
As total = 58 cm2 ( ( = As total / 2 x fs / (Ac x fc)
( = (58 cm2 / 2) x 36.52 kN/cm2 / (2500 cm2 x 0.96) = 0.44
Como puede verse en el grfico la interseccin de las curvas resistente y solicitante se da para un momento: M = 42.9 tm = 429 kNm.
Valor similar al obtenido en el clculo por el Mtodo de momento complementario:
M = 421 kNm.
2) Calcular la armadura de la siguiente columna:
Datos:
Ng = 855 kN ; Nq = 565 kN
L = 7.20 m
h = 0.50 m
b = 0.50 m
d1 = d2 = 0.05 m
fck = 17 MPa
fyk = 420 MPa
a) Resolucin por el Mtodo del momento complementario (CEB-78):
Materiales:
Hormign:fcd = 17 MPa / 1.50 = 11.3 MPa
f*c = 0.85 x 17 MPa / 1.50 = 9.6 MPa
Acero:
fyd = 420 MPa / 1.15 = 365.2 MPa
Nd = 1.35 x Ng + 1.50 x Nq = 1.35 x 855 kN + 1.50 x 565 kN = 2000 kN
Esbeltez:
( = lo / idonde:
lo: longitud de pandeo = 7.20 m
i: radio de giro = ((Ic / Ac) = b / (12
( = 7.20 m x (12 = 50 > 25
0.50m
por lo tanto se deben considerar los efectos del pandeo
Clculo de la excentricidad total:
e total = eo + ea + e2
donde:
eo: excentricidad de 1er. orden
ea: excentricidad accidental
e2: excentricidad de 2do. orden
eo = 0.10 m
ea ( mx. (l / 300 ; h / 20 ; 20 mm) = mx. (7200/300 ; 500/20 ; 20mm)
ea = 500 mm / 20 = 25 mm = 0.025 m
e2 ( = lo^2 / 10 x (1/r)
donde la curvatura 1/r la podemos supo
