Historia y Evolución del concepto de Anillo

ConsideracionesEstructurales

RUBENDARIO LARAESCOBAR

ConsideracionesEstructuralesLos Axiomas dePeano-DedekingLos Axiomas dePeano-Dedeking(II)Consideraciones(I)Consideraciones(II)Abstracción(I)Abstracción(II)De�nición deAnilloEstructura de laDe�nición deAnilloEstructura de laDe�nición deAnillo (II)Lady of theRings: EmmyNoetherEmil ArtinEmil Artin (II)ConsideracionesFinales(I)Anillo de EnterosConsideracionesFinales(I)Anillo dePolinomiosAnillo de EnterosGaussianos(I)Anillo d EnterosGaussianos(II)IdealesIdeales (II)ConclusionesReferencias

HISTORIA Y EVOLUCIÓN DEL CONCEPTODE ANILLO

The Lady of The Rings: Emmy Noether

RUBEN DARIO LARA ESCOBAR1

MÓDULO DE EPISTEMOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICASMECEN (II)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

August 27, 2012

1Matemático; Universidad Nacional De Colombia




Consideraciones Estructurales

El estructuralismo es una visión de las matemáticas deacuerdo a la cual, lo fundamental son las relacionesestructurales abstraidas de la naturaleza intrinseca de losobjetos relacionados, es decir explora las posibilidadesestructurales, mediante la formación de conceptos,postulados y la deducción.

No hay énfasis en los objetos que forman la estructuraparticular, sino las relaciones que estos satisfacen bajociertas condiciones generales, usualmente de�nidos comoaxiomas, los cuales describen la estructura en cuestión.





El estructuralismo es una visión de las matemáticas deacuerdo a la cual, lo fundamental son las relacionesestructurales abstraidas de la naturaleza intrinseca de losobjetos relacionados, es decir explora las posibilidadesestructurales, mediante la formación de conceptos,postulados y la deducción.No hay énfasis en los objetos que forman la estructuraparticular, sino las relaciones que estos satisfacen bajociertas condiciones generales, usualmente de�nidos comoaxiomas, los cuales describen la estructura en cuestión.




Consideraciones EstructuralesLos axiomas de Peano-Dedekind

Analicemos lo planteado anteriormente mediante unejemplo, que presenta cuales son condiciones para de�nirun sistema in�nito.

Los axiomas de Peano-Dedekind

Axioma 0. Hay un conjunto N, no vacío, a cuyoselementos se les llama números Naturales.Axioma 1. A uno de los elementos de N lo llamamos elnúmero 1(primer elemento)Axioma 2. Hay una representación funcional uniforme δ,que asocia, a cada número natural n, otro número naturalnδ, que se denomina el inmediato o siguiente de n.







Axioma 0. Hay un conjunto N, no vacío, a cuyoselementos se les llama números Naturales.

Axioma 1. A uno de los elementos de N lo llamamos elnúmero 1(primer elemento)Axioma 2. Hay una representación funcional uniforme δ,que asocia, a cada número natural n, otro número naturalnδ, que se denomina el inmediato o siguiente de n.







Axioma 0. Hay un conjunto N, no vacío, a cuyoselementos se les llama números Naturales.Axioma 1. A uno de los elementos de N lo llamamos elnúmero 1(primer elemento)

Axioma 2. Hay una representación funcional uniforme δ,que asocia, a cada número natural n, otro número naturalnδ, que se denomina el inmediato o siguiente de n.







Axioma 0. Hay un conjunto N, no vacío, a cuyoselementos se les llama números Naturales.Axioma 1. A uno de los elementos de N lo llamamos elnúmero 1(primer elemento)Axioma 2. Hay una representación funcional uniforme δ,que asocia, a cada número natural n, otro número naturalnδ, que se denomina el inmediato o siguiente de n.




Los axiomas de Peano-Dedekind (II)

Axioma 3.1 (de in�nitud). Cualquiera que sea n 2 N , nδ6= 1. Es decir, el número 1 no es el inmediato siguiente deotro número natural.Axioma 3.2 (de in�nitud). Jamás son idénticos losinmediatos siguientes de dos números diferentes.Axioma 4 (de inducción). Que un conjunto numérico M esinductivo, quiere decir que está cerrado respecto aloperador secuencial δ; es decir, que n 2 M implica quetambién nδ 2 M. Se postula ahora que si un conjuntoinductivo contiene al 1, contiene a todos los númerosnaturales.





Axioma 3.1 (de in�nitud). Cualquiera que sea n 2 N , nδ6= 1. Es decir, el número 1 no es el inmediato siguiente deotro número natural.

Axioma 3.2 (de in�nitud). Jamás son idénticos losinmediatos siguientes de dos números diferentes.Axioma 4 (de inducción). Que un conjunto numérico M esinductivo, quiere decir que está cerrado respecto aloperador secuencial δ; es decir, que n 2 M implica quetambién nδ 2 M. Se postula ahora que si un conjuntoinductivo contiene al 1, contiene a todos los númerosnaturales.





Axioma 3.1 (de in�nitud). Cualquiera que sea n 2 N , nδ6= 1. Es decir, el número 1 no es el inmediato siguiente deotro número natural.Axioma 3.2 (de in�nitud). Jamás son idénticos losinmediatos siguientes de dos números diferentes.

Axioma 4 (de inducción). Que un conjunto numérico M esinductivo, quiere decir que está cerrado respecto aloperador secuencial δ; es decir, que n 2 M implica quetambién nδ 2 M. Se postula ahora que si un conjuntoinductivo contiene al 1, contiene a todos los númerosnaturales.





Axioma 3.1 (de in�nitud). Cualquiera que sea n 2 N , nδ6= 1. Es decir, el número 1 no es el inmediato siguiente deotro número natural.Axioma 3.2 (de in�nitud). Jamás son idénticos losinmediatos siguientes de dos números diferentes.Axioma 4 (de inducción). Que un conjunto numérico M esinductivo, quiere decir que está cerrado respecto aloperador secuencial δ; es decir, que n 2 M implica quetambién nδ 2 M. Se postula ahora que si un conjuntoinductivo contiene al 1, contiene a todos los númerosnaturales.





Todos estos sistemas, así formados, son estructuralmenteidenticos, y precisamente la estructura compartida porestos es lo que investiga las matemáticas.

Esta visión estructuralista de la aritmética, por ejemplocontrasta con la visión absolutista de Frege y Russell,en lacual los números naturales, son objetos de�nidos, como las"clases" u otro tipo de conceptos.





Durante el Siglo XX, el estructuralismo es abanderado porel grupo Bourbaki, quienes establecen una versión delestructuralismo basada en la teoría de conjuntos.

Casi cualquier estructura matemática, puede modelarsecomo un conjunto de objetos junto con ciertas relacionesy/o operaciones sobre el conjunto, dado que la teoría deconjuntos posee una amplia riqueza para describir la grancantidad de interrelaciones entre las estructuras, las cualesson centrales en esta nueva idea de la matemática..




Abstracción

"In these days the angel of topology and the devil ofabstract algebra �ght for the soul of each individualmathematical domain". Hermman Weyl

Todo ente en matemáticas se puede considerar comoabstracto, dando un salto a la imaginación desde losobjetos observados, hasta un objeto mental que puedeobservarse por sí mismo.

Un segundo acto puede considerarse el uso del simbolismoliteral, es decir el uso de letras para representar númerosarbitrarios o desconocidos.Para las primeras decadas del siglo XX, se cuenta ya condos teorías sobre anillos se habían establecido, anillosconmutativos y no-conmutativos, (esta última trata sobrelas álgebras) y su correspondiente teoría de Ideales.




Abstracción


Todo ente en matemáticas se puede considerar comoabstracto, dando un salto a la imaginación desde losobjetos observados, hasta un objeto mental que puedeobservarse por sí mismo.Un segundo acto puede considerarse el uso del simbolismoliteral, es decir el uso de letras para representar númerosarbitrarios o desconocidos.

Para las primeras decadas del siglo XX, se cuenta ya condos teorías sobre anillos se habían establecido, anillosconmutativos y no-conmutativos, (esta última trata sobrelas álgebras) y su correspondiente teoría de Ideales.




Abstracción


Todo ente en matemáticas se puede considerar comoabstracto, dando un salto a la imaginación desde losobjetos observados, hasta un objeto mental que puedeobservarse por sí mismo.Un segundo acto puede considerarse el uso del simbolismoliteral, es decir el uso de letras para representar númerosarbitrarios o desconocidos.Para las primeras decadas del siglo XX, se cuenta ya condos teorías sobre anillos se habían establecido, anillosconmutativos y no-conmutativos, (esta última trata sobrelas álgebras) y su correspondiente teoría de Ideales.




Abstracción

La primera de�nición abstracta de anillo fue dada porFraenkel2, la de�nición intentaba abarcar tanto anillosConmutativos como No-Conmutativos, como ejemplospresenta los enteros módulo n (Z [n]), los enterosp-ádicos, matrices el ssitema de números hipercomplejos.

Grupo: Es un conjunto no vacio G con las siguientespropiedades: Dos elementos a y b se pueden combinar deacuerdo a la operación �

(1) a � (b � c) = (a � b) � c para todo a, b, c 2 G(2) G contiene un elemento e (identidad) tal quee � a = a � e = a para todo a 2 G ;(3) para todo a 2 G existe un elemento a�1 tal quea � a�1 = a�1 � a = e (inverso)(4) Si la operación � es conmutativa, a � b = b � a elgrupo es Abeliano

2En el marco de la teoría de conjuntos, en un articulo de 1914 llamado�On zero divisors and the decomposition of rings�




Abstracción



(1) a � (b � c) = (a � b) � c para todo a, b, c 2 G

(2) G contiene un elemento e (identidad) tal quee � a = a � e = a para todo a 2 G ;(3) para todo a 2 G existe un elemento a�1 tal quea � a�1 = a�1 � a = e (inverso)(4) Si la operación � es conmutativa, a � b = b � a elgrupo es Abeliano





Abstracción



(1) a � (b � c) = (a � b) � c para todo a, b, c 2 G(2) G contiene un elemento e (identidad) tal quee � a = a � e = a para todo a 2 G ;

(3) para todo a 2 G existe un elemento a�1 tal quea � a�1 = a�1 � a = e (inverso)(4) Si la operación � es conmutativa, a � b = b � a elgrupo es Abeliano





Abstracción



(1) a � (b � c) = (a � b) � c para todo a, b, c 2 G(2) G contiene un elemento e (identidad) tal quee � a = a � e = a para todo a 2 G ;(3) para todo a 2 G existe un elemento a�1 tal quea � a�1 = a�1 � a = e (inverso)

(4) Si la operación � es conmutativa, a � b = b � a elgrupo es Abeliano





Abstracción



(1) a � (b � c) = (a � b) � c para todo a, b, c 2 G(2) G contiene un elemento e (identidad) tal quee � a = a � e = a para todo a 2 G ;(3) para todo a 2 G existe un elemento a�1 tal quea � a�1 = a�1 � a = e (inverso)(4) Si la operación � es conmutativa, a � b = b � a elgrupo es Abeliano





De�nición De Anillo

Un anillo es un triple (R,+, �) donde R es un conjunto novacío y +, � : R � R ! R son dos operaciones binariassobre R, llamadas suma y multiplicación repectivamente,tales que : ;

(1) (R,+) es un grupo abeliano(2) Vale la propiedad asociativa para la operación demultiplicación, es decir, para r , s, t 2 R se tiener � (s � t) = (r � s) � t(3) Para r , s, t 2 R vale la propiedad distributiva :r � (s + t) = r � s + r � t (r + s) � t = r � t + s � t






(1) (R,+) es un grupo abeliano

(2) Vale la propiedad asociativa para la operación demultiplicación, es decir, para r , s, t 2 R se tiener � (s � t) = (r � s) � t(3) Para r , s, t 2 R vale la propiedad distributiva :r � (s + t) = r � s + r � t (r + s) � t = r � t + s � t






(1) (R,+) es un grupo abeliano(2) Vale la propiedad asociativa para la operación demultiplicación, es decir, para r , s, t 2 R se tiener � (s � t) = (r � s) � t

(3) Para r , s, t 2 R vale la propiedad distributiva :r � (s + t) = r � s + r � t (r + s) � t = r � t + s � t






(1) (R,+) es un grupo abeliano(2) Vale la propiedad asociativa para la operación demultiplicación, es decir, para r , s, t 2 R se tiener � (s � t) = (r � s) � t(3) Para r , s, t 2 R vale la propiedad distributiva :r � (s + t) = r � s + r � t (r + s) � t = r � t + s � t




Estructura de la de�nición de Anillo

Esta deni�ción, consiste de un sistema con dosoperaciones abstractas, a las cuales les dio el nombre deadición y multiplicación, bajo una de estas operaciones elsistema forma un grupo.

La segunda operación es distributiva y asociativa conrespecto a la primera, dos axiomas que garantizan que elsistema es cerrado con las operacines de�nidas.

Además no se requiere la existencia de la identidad para lasegunda operación en la de�nición de anillo. (Si tieneidentidad se llama anillo unitario)




Estructura de la de�nición de Anillo

Anillo conmutativo: aquel en el que el producto esconmutativo, esto es, a � b = b � a para todos a y b. De locontrario el anillo es no-conmutativo.

Anillo de división: es el anillo en el cual todo elemento, aexcepción del 0, tiene inverso.

Dominio de integridad: si un anillo no posee divisores delcero, es un dominio de integridad (a menudo se suele exigirque además se trate de anillos conmutativos y unitarios,pero esta exigencia no es aceptada por todos los autores).





De la mano de Noether y Emil Artin, el estudio de estasestructuras se transformaría en una teoría abstracta muypoderosa durante los años 20 del siglo XX.Noether muestra en 1921, en un articulo llamado �Idealtheory in rings,�que los resultados obtenidosanteriormente por Hilbert, Lasker y otros, sobre ladescomposición de primaria en anillos de polinomios secumplen para cualquier anillo con la condición de cadenaascendente.Estos resultados están conectados con las propiedades delos anillos de polinomios, donde a continuación en otroarticulo de 1927 �Abstract development of ideal theory inalgebraic number �elds and function �elds,�muestra,siguiendo un sólo axioma, que la descomposición de deIdeales en un anillo se puede ver como producto único deideales primos.





Un resultado particular de esto es que Noether caracterizalos anillos conmutativos, en los cuales todo ideal distintode cero es producto único de ideales primos, este tipo deanillos se llaman dominios de Dedekind.

El uso sistematico de los ideales como una herramientaabstracta le permitio uni�car el análisis de factorización incampos númericos y en sistemas de polinomios, este pasocrucial, para la uni�cación de las dos ramas de la teoría deanillos, sería el trabajo más importante de Emmy Noetheralgunos años más tarde.




Emil Artin (II)

Con Fraenkel y otros vimos como nace el concepto deanillo, Noether y Artin dan origen a la teoría abstracta deanillos, ubicando en un marco abstracto los teoremasfundamentales mediante el uso de nociones fundamentalescomo ideal, módulo y condiciones de cadena, formando�nalmente una teoría abstracta de anillos bien establecida,que junto a la teoría de grupos y campos constituye unode los pilares del álgebra abstracta moderna.




Emil Artin

Otro de los aportes importantes inspirado por el trabajo deNoether, sobre la condición de cadena ascendente, esdebido a Emil Artin, generaliza los teoremas de estructurade Wedderburns, sobre algebras, en un articulo de 1927�On the theory of hypercomplex numbers,� a los anillosNo-Conmutativos con condición de cadena descendente,en particular muestra que los anilllos con Radical Cero(anillos Artinianos) se pueden descomponer en sumadirecta de anillos simples (anillos de matrices sobre unanillo de división).




Consideraciones Finales

Un anillo es una estructura algebraica un poco mascomplicada que la de un grupo, pero a la vez es menoscomplicada que la de un campo, esto hace que suinteresante estructura interna le permita un ampliavariedad de aplicaciones.

El concepto clave en un anillo es el de Ideal, el cual sehalla en centro de la moderna teoría de la geometríaalgebraica, la cual es una de las fuentes de las ideas másdesa�antes y profundas en álgebra moderna.




El anillo

Z

Sabemos que el conjunto de los números enteros Z,consta de todos los números negativos y positivos y cero:. . . ,�5,�4,�3,�2,�1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, .... Sabemosque puede sumar, restar y multiplicar libremente en esteconjunto.

sin embargo, la división no simpre funciona, si dividimos-16 por 4, la respuesta será otro número entero. Sidividimos -16 por 7 la respeuesta no es un entero. Noobstante, aunque no podamos trabajar con la división,podemos hacer cosas interesantes con las demásoperaciones, se pueden explorar temas como lafactorización, primalidad o la propiedad de estructuras quese comportan igual a los números primos.

Z es un dominio de fatorización única (DFU)




Consideraciones Finales

Un anillo es una estructura algebraica un poco mascomplicada que la de un grupo, pero a la vez es menoscomplicada que la de un campo, esto hace que suinteresante estructura interna le permita un ampliavariedad de aplicaciones.

El concepto clave en un anillo es el de Ideal, el cual sehalla en centro de la moderna teoría de la geometríaalgebraica, la cual es una de las fuentes de las ideas másdesa�antes y profundas en álgebra moderna.




Anillo de Polinomios

Hay otros objetos matemáticos que permiten la suma,sutracción y multiplicación y tienen problemas para ladivisión; por ejemplo los polinomios. Dados dospolinomios, digamos, x5 � x and 2x2 + 3x + 1, podemossumarlos, y tener otro polinomio ( x5 + 2x2 + 2x + 1), orestarlos ( x5 � 2x2 � 4x � 1), incluso multiplicarlos (2x7 + 3x6 + x5 � 2x3 � 3x2 � x).No necesariamente permiten la división, como es el caso,aunque en ocasiones si es posible:(2x2 + 3x + 1)� (x + 1) = (2x + 1). Igual que en losenteros.Esta clase de objetos matemáticos, que comparten estaestructura es lo que consideramos como un anillo, dondeclaramente la división presenta algunas di�cultades, adiferencia de los campos que poseen toda la capacidadpara realizar divisiones.




Anillo de Enteros Gaussianos

los enteros Gaussianos, formado por números complejos dela forma �17+ 22i , cuya parte real e imaginariapertenecen ambos a Z; este conjunto forma un anillo conel producto, la suma y la resta de complejos.

Dado que es fundamental desarrollar una buena teoríasobre factorización y primos, existen algunos anillos quepresentan serias di�cultades para esto, una de estas escuando la factorización de un número en factores primosno es única.




Anillo de Enteros Gaussianos (II)

Los enteros Gaussianos tienen cuatro unidades:1,�1, i ,�i . en este anillo, el número 6 se puede factorizarde dos formas: 2� 3 y (1+

p5i) (1�

p5i), esto se

hace más complicado aún si consideramos que los cuatrofactores de 6 en este anillo son primos, una pena paramuchos pero de gran interés para los matemáticos elhecho de que existan tales estrcuturas. No es entonces undominio de fatorización única.




Ideales

En primer lugar un ideal es un subanillo de un anillo, esdecir un anillo dentro de otro anillo. Se considera entoncesque es una "familia de números," (o polinomios, ocualquier elemento del anillo), cerrado bajo adición,sustracción y multiplicación.

si tomamos un elemento del Ideal, y multiplicamos esteelemento por otro dentro del anillo, el resultado estadentro del Ideal; si tomamos el anillo Z, entonces, un idealpodría ser, todos los multiplos de un número dado.Tomemos por ejemplo el número 15 un ideal es:. . . ,�60,�45,�30,�15, 0, 15, 30, 45, 60, 75, . . .




Ideales en

Z

El ideal consta de todos los enteros de la forma 15m,donde m es cualquier entero. si multiplicamos cualquierelemento del ideal, digamos 30 por un entero cualquiera,digamos 2 el resultado esta en el ideal: 60.

si tomamos ahora enteros y formamos todas lascombinaciones lineales de estos, digamos 15 y 22, lascombinaciones lineales serían de la forma: 15m+ 22n conm, n 2 Z; estos no forman un ideal, pero es equivalente atodo el anillo, dado que m y n toman todos los valoresposibles en Z.

Si tomamos enteros con un factor común, sea 15 y 21,tendríamos el ideal generado por 3. Así que la forma delideal mostrado anteriromente en Z, es la única clase deideal en Z




Conlusión

En conclusión, antes del siglo XIX, el álgebra eraesencialmente el estudio de ecuaciones polinomicas,durante el siglo XX se transformo en el estudio sistemasabstractos como los grupos, anillos y campos. Latransición de la llamada álgebra clásica, al álgebramoderna surge durante el siglo XIX, en tanto losproblemas que surgieron ya no pudieron resolverse a travésdel álgebra clásica, al construir conceptos como grupo,anillo y campo para poder resolver tales problemas.




Kleiner,Israel; " A History of Abstract Algebra "; Ed.Birkhäuser, Berlin.

Gallian,Joseph A.; "Contemporary Abstract Algebra"; 7a.Edición; 2006 Brooks/Cole, Cengage Learning Eds.

"The Britannica guide to the history of mathematics";edited by Erik Gregersen.� 1st ed. New York, 2011.

Cooke, Roger; "Classical algebra : its nature, origins, anduses"; John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey,2008.

Hankel, Hermann. Zur Geschichte der Mathematik imAlterthum und Mittelalter. Leipzig, 1874. citado en Cajori,Florian "A History of Mathematics", The ProjectGutenberg EBook.

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