Historia de La Lógica (Fragmentos)

7/24/2019 Historia de La Lgica (Fragmentos)

1/24

INICIOS

La Retrica nace con la discusin pblica, con la democracia nace el arte deconvencer mediante el discurso (la Retrica) y nuevos maestros encargados deensearla para convencer en las asambleas: los sofistaso retores. A los retores se les

llama sofistas ( no son sabios sino que dominan el arte de la persuasin, capaz deprovocar en el interlocutor la ilusin de que saben todas las cosas). Hasta Aristteles, nohay un desarrollo serio de lo que llamamos lgica (como teora de la consecuencia).

No obstante, hay ciertos autores, como Platn, que tienen una influencia decisiva en elestagirita.

PLATONHay tres aspectos destacables en Platn:

1) En el Timeose expone la preocupacin fundamental que debe guiar a la lgica: lanocin de validez universal(hoy da decimos que las leyes lgicas poseen este carcterdebido a que son verdaderas en virtud de su forma). Bochenski1nos cuenta que en la

India, por ejemplo, un mundo cultural muy distinto del nuestro, se necesit siglos parallegar al hecho de que esta nocin era capital para su desarrollo.2) Platn pelea en sus escritos, con esacasa fortuna, por aclararse con algunas leyeslgicas plenamente desarrolladas por Aristteles y los medievales, como son las leyesde conversin.3) Otra aportacin es el mtodo de la divisin de los conceptos, sin llegar a efectuarningn proceso demostrativo. Esta nocin constituye el origen del silogismo. Un gnerose divide en dos especies, se encuentra cul pertenece al sujeto, se divide sta de nuevoy as sucesivamente.

ARISTTELESFrente a la Retrica, a la que dedica un tratado, y la Dialctica, que estudia en

los Tpicos, Aristteles aade un nuevo mtodo ms riguroso, el analtico, al que dedicados tratados. En los Primeros Analticos estudia las demostraciones cientficas ydesarrolla la Silogstica. En los Segundos Analticosse ofrece un estudio de la teora dela demostracin y por tanto de la metodologa de las Ciencias. En el tratado De lainterpretacin, Aristteles nos ofrece nociones que usar en la Silogstica y queconstituyen el primer anlisis lgico del lenguaje. Se ha interpretado que el trminolgica recibe en Aristteles el apelativo de analtico o lo que se sigue de las

premisas, mientras que lgico es lo mismo que probable o analgico. ParaAristteles, el objeto de la lgica es formar silogismos. Este es un logos que consta de

proposiciones compuestas por trminos.Aristteles es el fundador de la sintaxis y semntica lgicas.*Respecto de la Sintaxis:Clasifica las entidades lingsticas en :-nombres y verbos(las ms simples). Por nombre entiende Aristteles un sonido queconvencionalmente significa algo, sin inclusin de tiempo, y cuyas partes no tienensignificacin aisladamente. Por verbo, una palabra que indica el tiempo, cuyas partesno significan aisladamente y es siempre un signo de lo que se expresa de otra cosa. Unejemplo de esto ltimo -nos dice Aristteles- es que el verbo es signo de cosas que estn

1Historia de la lgica formal, Gredos, Madrid, 1985.


2/24

en un sujeto (sentido atributivo o copulativo) o se dicen de un sujeto (sentido existencialdel verbo).-oraciones: sonido que convencionalmente significa algo y cada una de sus partessignifica algo en cuanto simple locucin (enunciacin), no en cuanto afirmacin onegacin. Por ejemplo, hombre significa algo, pero no significa que esta cosa sea o

no sea. No habr negacin o afirmacin mientras no se aada algo.Dentro de las oraciones enumera las que son susceptibles de ser verdaderas o falsas, lasimperativas, las interrogativas, etc.Entre las oraciones o enunciados hay que distinguir adems: los ms simples (ningunade sus partes significativas son enunciados), los compuestos o moleculares (constituidos

por enunciados simples unidos en conjuncin, disyuncin, etc.). A estas partculaslingsticas que sirven de nexo para formar los enunciados complejos las llama trminos

sincategoremticos. Por s solos no significan nada.

*Respecto de laSemntica:Aristteles presenta una teora semitica estableciendo ciertas relaciones entre cosas,

signos e ideas.Distingue los siguientes tipos de expresiones atendiendo al significado:Homnimas: cosas que tienen el mismo nombre con distinto contenido para ese nombre,o lo que es igual, palabras iguales por su forma pero con distinta significacin (e.g.animal referido a un animal y a un hombre embrutecido). Aristteles seala que debenexcluirse las expresiones homnimas en las demostraciones porque conducen asofismas (e.g. Para levantar un coche se necesita un gato, un gato es un mamfero,luego para levantar un coche se necesita un mamfero).Sinnimas: cosas que tienen el nombre en comn y el mismo contenido correspondienteal nombre (e.g. animal referido a un hombre y a un toro; "y", "pero", partculas con elmismo oficio lgico)Parnimas: cosas que se denominan siguiendo a otras por flexin (e.g. gemetra degeometra, valiente de valenta)

Definicin de verdad(una teora semitica de la verdad):Los captulos introductorios delDe Interpretationeparecen hallarse muy vinculados a ladiscusin platnica sobre la verdad y la falsedad. Al igual que Platn, lo verdadero ylo falso no se halla en las cosas sino en el pensamiento e igualmente en el lenguaje.

No toda oracin expresa algo, sino slo aqulla que en la cual se da verdad o error (lasplica, por ejemplo, no es ni verdadera ni falsa).Decir de lo que es, que es, es lo verdadero; decir de lo que es que no es, es lo falso

(adecuacin lenguaje-mundo).Proposiciones y trminos

Una proposicin es un logos que afirma o niega algo de algo, lo cual esuniversal, particular o indeterminado, y un trmino, lo que se predica y aquellos de loque se predica en una proposicin con la adicin de ser o no ser (e.g. Toda virtud essaludable, algn ave no es canora, la calle es estrecha),Aristteles no enumera las proposiciones singulares (e.g. Scrates es un filsofogriego) y parte del hecho de que toda proposicin simple tiene la forma lgica S es P(Pedro pasease transforma enPedro es un ser que pasea).Distingue adems entre un sentido absoluto de la particula es (existe) y un sentido o uso

copulativo (el es de la verdad de la proposicin).


3/24

El trmino menor o sujeto de la proposicin puede ser singular (nombre propio) ouniversal (nombre comn). En este caso puede ser considerado universalmente (contodo) o particularmente (con algn). El sujeto siempre se toma de una maneradeterminada. El predicado se toma particularmente en las afirmativas y universalmente

en las negativas. Se rechaza, por tanto, la cuantificacin del predicado. Tengamos en

cuenta que la extensin del sujeto nunca es mayor que la del predicado. En otraspalabras, en Todo hombre es mortal se sobreentiende que todos los sujetos singularesde los que se dice hombre son algunos de los que son mortales. En cambio, en Algnhombre no es sabio, se entiende que estamos considerando la totalidad de los seressabios y excluyendo de ella algunos hombres. O sea algn hombre no es ninguno delos seres que son sabios (no se puede identificar con alguno dentro de dicha extensin).

Proposiciones categricasEn las Categoras, Aristteles hace hincapi en la substancia primera como sujetofundamental de la predicacin, lo que contribuye a enfatizar la estructura Sujeto-Predicado de la proposicin simple. Si S y P son nombres comunes, es posible construir

cuatro proposiciones categricas. Una proposicin categricaes aqulla en la que unpredicado se afirma niega de un sujeto mediante alguna variante del verbo ser. Esteverbo hace de cpula. Por ejemplo, algn ave es canora, ningn europeo essenegalso algunos piratas eran ingleses. Podemos admitir igualmente bajo esteesquema proposiciones en las que no aparezca el verbo ser, como algunas avesvuelan, si utilizamos algn tipo de perfrasis, por ejemplo, algunas aves sonvoladoras.

Estas proposiciones se dividen por la cantidad (universales y particulares), segn que seconsidere toda la extensin del sujeto o slo una parte de ste, y por la cualidad(afirmativas y negativas), segn que el predicado se afirme o niegue del sujeto. Haycuatro tipos de proposiciones categricas y son:

Universal afirmativa (Todo S es P) Todos los delfines son mamferosUniversal negativa (Ningn S es P) Ningn delfn es un mamferoParticular afirmativa (Algn S es P) Algunos delfines son mamferosParticular negativa (Algn S no es P) Algunos delfines no son mamferos

Los medievales pusieron las letras A, E, I, O respectivamente a estos cuatro tipos deproposiciones.Por otro lado, Aristteles considera equivalentes las formas:

A se predica de BA conviene a BA pertenece a BB es A

Las letras S y P denotan respectivamente el sujeto y el predicado de la proposicin.La extensin de un trmino es una clase. En nuestro ejemplo, S representa la clase delos delfines y P la de los mamferos. Desde este punto de vista, la proposicin deltipo A indica que cada miembro de la clase S pertenece tambin a la clase P. La

proposicin del tipo E indica que no hay un solo miembro de la clase S que est

incluido en la clase P. La proposicin del tipo I seala que S y P poseen miembros encomn. Se limita a afirmar que algn miembro de S tambin lo es de P, sin excluir la


4/24

posibilidad de que todo miembro de S lo sea igualmente de P. Por ltimo, la proposicindel tipo O indica que la clase S y la complementaria de P poseen algn miembro encomn; es decir, hay algn miembro de S que no se halla en la clase P. Tampoco seexcluye la posibilidad de que, en realidad, todo miembro de S se halle fuera de la claseP.

En las proposiciones categricas podemos tener trminos negados, como no hombre;por ejemplo: algunos no hombres son seres alados, que quiere decir que hay cosas queno son hombres que en cambio poseen alas. Al negar un trmino, como hombre, loque estamos haciendo es formar un nuevo trmino, no hombre en este caso, de modoque la extensin de no hombre es la clase complementaria de la clase de los hombres,es decir, la clase compuesta por todo lo que no es hombre.

Cuadrado de oposicin aristotlicoDecir que dos proposiciones se oponen es decir que una afirma un predicado que la otra

niega del mismo sujeto, e.g. Toda virtud es buena y Alguna virtud no es buena. Laoposicin puede darse entre universales entre s, particulares entre s o bien universalescon particulares.El cuadrado lgico que establece las relaciones entre las proposiciones categricas es el

siguiente:

Todo S es P Ningn S es P

Algn S es P Algn S no es P

!"#$%"& $&()*+$,$- ,.$-()& /-"/.$#)#$& #$-.0)#)& #$ $&()& -$+),."1$& ,"%" &.23$4-La contrariedades una relacin que se da entre Ay E. Dos proposiciones contrarias

pueden ser simultneamente falsas pero no simultneamente verdaderas. Ejemplo: todoespaol es carpintero, ningn espaol es carpintero.5$ +)& #$1"%.1) !"#$%&%'&()6La contradiccinse da entre una proposicin y su negacin, i.e. entre Ay Opor unlado y entre E e I por otro. Dos proposiciones contradictorias no pueden sersimultneamente verdaderas ni simultneamente falsas. Una tiene que ser verdadera y laotra falsa. Ejemplo: todo buey es un rumiante y algn buey no es rumiante soncontradictorias. Tambin lo son ningn caballo es carnvoro y algn caballo escarnvoro. Se denominan contradictoriasen ambos casos.6 La subcontrariedadse da entre Iy O. Ambas pueden ser verdaderas pero no ambasfalsas. Ejemplo: algunos hombres son rubios y algunos hombres no son rubios. 5$+)& #$1"%.1)(+,!"#$%&%'&(7

- La subalternacin se da entre entre cada universal y su particular correspondiente.Entre Ae Ipor un lado, y Ey O, por otro, La particular es la subalternay la universalse denomina superalterna. Ejemplo: La subalterna de todos los mamferos sonanimales de sangre caliente es algunos mamferos son animales de sangre caliente yla subalterna de ningn tringulo es rectangular es algn tringulo no esrectangular.

Es de notar que en el caso de la subalternacin no hay oposicin en sentido estricto.


5/24

Teora de la conversinConvertir una proposicin es intercambiar sujeto y predicado de forma que la

proposicin resultante (la conversa) tenga el mismo valor de verdad que la original,e.g. Ningn hombre es pjaro y Ningn pjaro es hombre. Aristteles distingue los

siguientes tipos de conversin:SIMPLE (no se hace cambiar la cantidad de la proposicin). Vale para E, ISe intercambian sujeto y predicado sin alterar ni la cualidad ni la cantidad de la

proposicin original. Este tipo de inferencia vale para E(por ejemplo, se permite pasarde ningn planeta es un cometa a ningn cometa es un planeta) y para I (porejemplo, se permite pasar de algn estudiante es brasileo a algn brasileo esestudiante). Pero no es vlida para A (por ejemplo, de todos los hombres sonmortales no se sigue todos los mortales son hombres) ni para O (por ejemplo, dealgunos hombres son europeos no se sigue algunos europeos no son hombres).PER ACCIDENS (cambia la cantidad de la proposicin). Aristteles slo define laconversinper accidensde Aen I, aunque este tipo de conversin vale igualmente para

la E en O.Se intercambian sujeto y predicado alterando la cantidad pero no la cualidad. de

la proposicin original. Vale para A(por ejemplo, se permite pasar de toda ciudad esun lugar divertido a algn lugar divertido es una ciudad) y para E(por ejemplo, se

permite pasar de ningn guila es un halcn se puede pasar a algn halcn no es unguila). Pero este tipo de conversin no vale para I(por ejemplo, de algn ingenieroes americano no se sigue todo americano es ingeniero) ni para O(por ejemplo, dealgunos pjaros no son papagayos no se sigue ningn papagayo es un pjaro).POR CONTRAPOSICION (se aade la partcula negativa a los extremos sin cambiar lacantidad de la proposicin). Vale para A, O.

Se intercambian sujeto y predicado anteponiendo a ambos la partcula negativa.Vale para A(por ejemplo, de todo animal es capaz de sentir se pasa a todo lo que noes capaz de sentir no es un animal) y para O (por ejemplo, de algn poltico no essueco se pasa a algn no sueco no es no poltico, es decir, algn no sueco es

poltico). En cambio no vale para E(por ejemplo, de ningn europeo es americanono se sigue ningn no americano es no europeo. Lo que quiere decir esta ltima frasees que cualquier no americano es europeo) ni para I(por ejemplo, de alguna persona eseuropea no se sigue algn no europeo es (una) no persona, es decir, algn noeuropeo no es (una) persona. Entindase que al decir no europeo se refiere ya a una

persona).Aristteles considera, adems, la obversin: se define como una operacin

consistente en cambiar la cualidad de la proposicin y negar el predicado. Laproposicin resultante se denomina obversa. El resultado de aplicar esta operacin a loscuatro tipos de proposicin categrica conduce en todos los casos a proposicioneslgicamente equivalentes a las originales. Las cuatro proposiciones categricas sonobvertibles.

Por ejemplo, la obversa de todo hombre es mortal es ningn hombre es nomortal o, ms coloquialmente, ningn hombre es inmortal. La obversa de ningnave de corral es capaz de volar es todo ave de corral no es capaz de volar. La obversade algn mdico es psiquiatra es algn mdico no es no psiquiatra. Finalmente, laobversa de algn mdico no es estomatlogo es algn mdico es no estomatlogo.Podemos plantear esto en forma de esquemas como sigue:


6/24

Proposicin original ObversaA: Todo S es P E: Ningn S es no PE: Ningn S es P A: Todo S es no P

I: Algn S es P I: Algn S no es no PO: Algn S no es P O: Algn S es no P

Principios aristotlicosPrincipio de identidad

Principio de no-contradiccin

Principio del tercero excluido

-Al principio de identidad alude de pasada. No aparece formulada explcitamente enAristteles, pero hay un comentario de Alejandro de Afrodisia a los primeros Analticossobre esta ley que podemos formular como sigue: A pertenece a todo A.

-Considera al principio de contradiccin como el ms importante de todos (Metafsica)Ofrece varias formulaciones del mismo. Demos dos de ellas:

1. Lo mismo no puede a la vez convenir y no convenir a lo mismo bajo elmismo respecto.

2. Es imposible afirmar y negar a la vez con verdad.- Formula el principio del tercero excluido diciendo que es necesario que una de las

partes de la contradiccin sea verdadera (si es necesario afirmarla o negarla, esimposible que ambas partes sean falsas a la vez).Aristteles lo pone en duda con relacin al problema de los enunciados sobre futuroscontingentes (e.g. maana habr una batalla naval o maana no habr una batallanaval).

LA SILOGSTICA DE ARISTOTELES

El silogismo aristotlico

En los Tpicos la palabra silogismo es un trmino empleado para designar cualquierargumento en el que se extrae una conclusin de ms de una premisa. En losAnalticos,en cambio, se exigen dos premisas con tres trminos.

1. El verdadero silogismo aristotlicoSea el silogismo siguiente:

Todos los hombres son mortalesPedro es hombre

Por consiguiente, Pedro es mortal

Esto no es un silogismo aristotlico, pues posee proposiciones singulares y estformulado en trminos de regla. En cambio:

Si animal conviene a todo hombre y hombre no conviene a ningn barco, entonces

animal no conviene a ningn barco,

s lo es (es el modo Celarent). Puesto de otra forma, lo que dice es lo siguiente:

Si todo hombre es animal y


7/24

ningn barco es hombre,

entonces ningn barco es animal

Resumiendo, el silogismo aristotlico:-Es una ley, no una regla (recurdese la distincin entre ley y regla). Tiene la forma:

Si p y q, entonces rlas letras p, q, y r son siempre proposiciones categricas. Desde la Edad Media la formaadoptada es, en cambio:

p, q, luego r (en forma de regla)

-Carece de trminos singulares (Scrates, Juan, Atenas, etc).

2. El uso de variablesAristteles utiliza variables como R, S, P y a veces A, B y C para denotar a lostrminos. Una variable es, en general, una expresin que est destinada a ser sustituida

por una clase de entidades previamente especificada. En el caso del silogismoaristotlico, las variables sustituyen a nombres comunes (trminos universales).As, podramos generalizar el ejemplo anterior, poniendo:

Si todo A es B y

ningn C es A,

entonces ningn C es B

Con esto lo que hacemos es resaltar su forma lgica, abstrayendo su contenido. Lapreocupacin de Aristteles al desarrollar la silogstica es la creacin de una lgicaformal. La lgica formal se ocupa de los razonamientos desde el punto de vista de su

forma o disposicin de los materiales con los que estn construidos. Su objetivo es darreglas para la validez o correccin de los argumentos. Por contra, la lgica materialestudia las condiciones materiales de la Ciencia y analiza los razonamientos desde el

punto de vista de los materiales con los que estn construidos o contenido de losmismos para que la conclusin se siga por la forma y adems sea verdadera. En los

Primeros Analticos se ocupa Aristteles de la Lgica formal, mientras que en losSegundos Analticosse ocupa de la lgica material.

3. El concepto de consecuenciaAristteles utiliza la expresin tiene que en la conclusin muy a menudo, cosa quenosotros hemos omitido en nuestra presentacin. Lo hace para indicar que laimplicacin (en la que consiste todo silogismo) es verdadera para todo valor de lasvariables. Aristteles pretende recalcar con ello que la conclusin se sigue de las

premisas de manera necesaria.

4. las constantes lgicas en el silogismoLas expresiones y, si, pertenece a todo, no pertenece a ninguno, no pertenecea alguno representan relaciones entre trminos universales. Son constantes lgicas.

5. TrminosLos trminos son los extremos de la proposicin. Se denominan mayor, medio y menor:

Esta denominacin se debe a su extensin. Aristteles trata al predicado de laconclusin como el trmino mayor y al sujeto como trmino menor. Sin embargo,


8/24

Lukasiewicz2 ha mostrado que esto es un error. Esto slo puede ser aplicado asilogismos enBarbara con premisas verdaderas. Pero en el ejemplo siguiente:

Si todos los cuervos son pjaros y

todos los animales son cuervos,

entonces todos los animales son pjaros

El trmino cuervo ya no es el trmino medio en extensin, es el menor. Aqu laspremisas son falsas, pero el modo de razonar es correcto, que es lo que importa a lalgica formal.

Ms tarde, Juan Filopn resolvi este asunto de una vez por todas utilizando lasiguiente convencin:se construye un silogismo de modo que el trmino mayor sea el

predicado de la conclusin y el trmino menor sea el sujeto de la misma.

6. Orden de las premisasNo es fijo en Aristteles. Es un prejuicio de los filsofos que han comentado a

Aristteles el pensar que la premisa mayor debe ir en primer lugar.Premisa mayor: en la que aparece el predicado de la conclusin.Premisa menor:en la que aparece el sujeto de la conclusin.

7. Las figuras silogsticasAristteles divide los silogismos de acuerdo con figuras y modos. A cada figura lecorresponden una serie de modos. La figura viene determinada por la posicin deltrmino medio en las premisas y el modo por la cualidad y cantidad de las proposicionesen el silogismo.Aristteles establece tres figuras, reconocidas por la posicin que ocupa el trminomedio en las proposiciones. No obstante, en los Primeros Analticos cita modossilogsticos correctos o vlidos que no pertenecen a ninguna de las tres figurasanteriores, por lo cual Aristteles est reconociendo una cuarta figura. Ejemplo: Siningn C es B y algn B es A, entonces algn A no es C (Fresison).Segn Bochenski, Aristteles compuso los captulos 1 del libro II y 7 del libro I dondeaparecen estos modos despus de la exposicin sistemtica que hizo de la silogstica enlos captulos 4 y 6 del libro I.

En total, las cuatro figuras poseen la siguiente disposicin

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

M-P P-M M-P P-M

S-M S-M M-S M-SS-P S-P S-P S-P

8. Silogismos perfectos e imperfectosSilogismo perfecto:evidente por s mismo (son axiomas). No necesitan demostracin.Silogismo imperfecto:Ha de ser probado por medio de una o ms proposiciones queresultan de sus premisas, pero diferentes de stas.Aristteles acepta como perfectos a los silogismos de la 1 figura.

2La silogstica de Aristteles desde el punto de vista de la lgica formal moderna,Tecnos, Madrid, 1977.


9/24

9. Tipos de demostracin y axiomatizaciones de la silogsticaQu es demostrar para Aristteles? Para Aristteles la demostracin es un silogismocon premisas especiales, en el cual se expresa la propiedad de un gnero en laconclusin.Adems, en todo sistema ha de haber axiomas y reducirse todo saber a premisas

evidentes y necesarias. Hay, por tanto, tres elementos en una demostracin:-los axiomas-el gnero (en cuanto sujeto)-la conclusin (que conviene al gnero), ha de presentar una propiedad de un gnero

Solamente los modos de la 1 figura cumplen estos requisitos para Aristteles.Aristteles utiliza tres mtodos de demostracin:

demostracin directa

demostracin indirecta

ctesis

Hay 64 modos en cada figura y por tanto 256 (64 x 4) combinaciones posibles. De lascuales nicamente 24 son modos vlidos y el resto invlidos. Aristteles formula unsistema silogstico con 24 modos vlidos (6 en cada figura). De ellos trat 19 y -porextenso- unos 14. Pero conoca todos estos modos.

DEMOSTRACION DIRECTA:Es la ms frecuente en Aristteles.Se convierten las premisas para obtener los silogismos imperfectos a partir de los

perfectos.Ejemplo : ObtenemosFestino(2 figura) a partir deFerio(1 figura).La prueba se realiza por la ley de conversin de E y la utilizacin deFerio.Si M no pertenece a ningn N y M pertenece a algn X, entonces N no pertenece aalgn X (Festino)Puesto de una forma ms accesible:

Ningn N es MAlgn X es MAlgn X no es N

Aristteles emplea adems las siguientes tesis de CP (clculo proposicional)L1. (p!q)!((q!r)!(p!r))L2. (p!q)!(p "r!q "r)

El proceso de demostracin es como sigue. Sea:p: Ningn N es Mq: Ningn M es Nr: Algn X es Ms: algn X no es N

1. (p!q)!(p "r!q "r) L22. p!q Conversin de E3. p "r!q "r MP 1, 24. (p "r!q "r)!((q "r!s)!(p "r!s)) L15. (q "r!s)!(p "r!s) MP 3, 46.

q "r!s Ferio7. p "r!s MP 5, 6


10/24

Dado que Barocoy Bocardono se pueden reducir por este mtodo Aristteles empleatambin el siguiente tipo de demostracin:

DEMOSTRACION INDIRECTA (per impossibile)

En los Primeros Analticos, Aristteles emplea el siguiente mtodo:Da por sentada una de las premisas y la negacin de la conclusin y de aqu llegarazonando a una contradiccin con la otra premisa.Las leyes CP usadas son:L3 (p "q!r)!(q "r!p)L4 (p "q!r)!(p "r!q)

La forma de probarBarocosera la siguiente. Sea:p: Todo N es Mq: Todo X es Nr: Todo X es M

El antecedente de L4 es ahora el modo Barbara y por separacin obtenemos elconsecuente de L4 que es el modoBaroco:

Todo N es MAlgn X no es MAlgn X no es N

Cualquier modo se reduce a uno de la primera figura por este mtodo.

Sin embargo, una autntica reduccin al absurdo -tal y como hoy la entendemos-operara de otra forma, operara suponiendo el antecedente y negando el consecuente,esto es:

Dado: Todo N es MAlgn X no es MTodo X es N

(premisas y negacin de la conclusin del modoBaroco)

Acto seguido, se opera porBarbaracon Todo N es M y Todo X es N obteniendo TodoX es M, lo cual contradice Algn X no es M; es decir, se obtiene una proposicin de la

forma A "A, que es lo que requiere una prueba moderna de reduccin al absurdo.

ECTHESISLas pruebas por ctesis o exposicin son utilizadas por Aristteles por ejemplo para

probar la conversin de I. Dicha prueba procede -siguiendo las aclaraciones deLukasiewicz- como sigue:Aceptamos las tesis (que Aristteles no formul explcitamente):(1) Si Algn A es B, entonces existe un trmino C que es tanto A como B (en este casoC es el trmino expuesto), es decir, existe un C tal que todo C es A y todo C es B.

pero tambin vale la recproca, es decir:(2) Si existe un C tal que todo C es A y todo C es B entonces algn A es B.


11/24

Esto se justifica con un ejemplo sencillo: si algunos griegos son filsofos, es cierto quehay seres que son a la vez griegos y filsofos, a saber los filsofos griegos, este es eltrmino C comn buscado. Es igualmente claro la conversa de lo dicho.Ahora la prueba de Si algn A es B entonces algn B es A es trivial.

Axiomatizaciones de la Silogstica:1) los 4 modos de la 1 figura junto con las leyes de conversin de E e I como axiomas yla regla de separacin2) los dos primeros modos de la 1 figura y otras leyes.Con silogismos de cualquier figura como axiomas

10. Formas recusadas.Recusar es refutar. Aristteles muestra formas silogsticas no vlidas. Para ello

procede a mostrar contraejemplospara tales formas.Ejemplo: Si todo B es A y ningn C es B, entonces algn C no es A.

Hay valores de las variables A, B, y C que hacen verdaderas las premisas y falsa laconclusin, i.e. existe un contraejemplo para tal forma argumentativa.Sea: A = Animal; B = Caballo; C = ToroTenemos, entonces:Si todo caballo es un animal y ningn toro es un caballo, entonces algn toro no es

animal.

Otras formas recusables:Si todo B es A y ningn B es C, entonces algn C es ASi todo B es A y ningn C es B, entonces todo C es ASi ningn N es M y algn X no es M, entonces algn X no es NSi ningn N es M y ningn X es M, entonces algn X no es NSi todo B es A y todo C es A, entonces algn C es BSi ningn B es A y ningn C es A, entonces algn C es B

EL SILOGISMO MEDIEVAL

-Amplan la teora de la conversin (la conversin accidental no aparece en Aristteles)-Los silogismos no son leyes, son reglas de inferencia-Se admiten trminos singulares-Aparecen 4 figuras desde el principio

-Empleo de reglas nemotcnicasTeora de la conversin:SIMPLE para E, IPER ACCIDENS E en O, A en IPOR CONTRAPOSICION para A, O

Empleo de reglas nemotcnicas:

Para designar los 24 modos vlidos se emplean 24 palabras nemotcnicas:

Barbara, Celarent, Darii, Ferio; (1 figura)Cesare, Camestres, Festino, Baroco; (2 figura)

Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison; (3 figura)Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison. (4 figura)


12/24

A estos modos hay que aadir los modos subalternos, denominados as por ofreceruna conclusin particular a partir de premisas universales. Estos son los siguientes:

Barbari, Celaront (1 figura);Cesaro, Camestrop(2 figura); y

Camenop(4 figura).

Significado de las letras en las palabras nemotcnicas:Las vocalesdenotan el tipo de proposicin categrica que corresponde en cada palabra -y por orden- a la premisa mayor, la menor y la conclusin.las consonantes se relacionan con el modo o manera de reducir un silogismo imperfectoa uno perfecto. Las consonantes son claves que indican cmo llevar a cabo talreduccin:

- la consonante inicial indica que el modo puede ser reducido al modo de la 1figura con esa misma inicial.

- m: mutar el orden de las premisas

- s: la proposicin denotada por la vocal que la preceda est afectada por unaconversin simple

- p: la proposicin denotada por la vocal que la preceda est afectada por unaconversin accidental (per accidens)

- c: reduccin indirecta del modo (no hay otra posible)

Ejemplos:1)

Di Algn ofidioes un ser venenoso Da Todo ofidio es un reptilsa Todo ofidioes un reptil ri Algn ser venenoso es un ofidiomis Algn reptil es un ser venenoso i Algn ser venenoso es un reptil

2)Bo Algn C noes Bcar Todo C es Ado Algn A no es B

Todo A es B (contradictoria de la conclusin)Todo C es A (2 premisa)Todo C es B (porBarbara; contradiccin con la 2 premisa)


13/24

LA LOGICA DE LOS ESTOICOS

El creador de la escuela estoica fue Zenn, quien recibi el influjo de los cnicosy los megricos. De los primeros tom su doctrina moral y de los segundos, su lgica.La escuela megrica fu fundada por Euclides, seguidor de Scratesy contemporneo

de Platn. Una rama importante de la escuela estoica fu la formada por Ictias, sucesorde Euclides en la escuela, Apolonio Crono, Diodoro Crono y Filn. De estos dosltimos tendremos ocasin de hablar.

Sintaxis y semntica estoicas

Segn los estoicos, en el signo hay tres cosas en conexin:1) el significante o signo (es el sonido)2) el significado (lo que aprehendemos en nuestro pensamiento, el lektn)3) lo que existe (el objeto, que diramos hoy)

1) Entre los signos (objetos fsicos) hay:-nombres propios(una parte del discurso que significa una cualidad que pertenece a losumo a un individuo. Ej. Oviedo)-nombres de clases(parte del discurso que significa una cualidad comn: caballo)-verbos(parte del discurso que significa un lektn no compuesto: andar, correr deprisa,i.e. lo que podemos llamar hoy un predicado)

2) Los estoicos dividen los lekten dos especies:- deficientes: aqullos cuya enunciacin es incompleta (ej. escribe)- completos: poseen una enunciacin completa

A su vez, los lektdeficientes se dividen en dos clases:-sujetos

-predicados (un predicado es un lektndeficiente que se combina con un sujeto, en casonominativo, para formar una proposicin (Digenes))

Por su parte, los lektcompletos se subdividen en diferentes clases:proposiciones (constituyen los lekt ms importantes. Una proposicin es un lektnasertrico en s mismo, esto es, verdadero o falso, pero no ambas cosas a la vez)otros(preguntas, imperativos, saludos, etc.)

Proposiciones y teora de la verdad

Proposicin: lektn completo asertrico por s mismo (Escipin destruy Numancia, elplacer no es ni bueno ni malo, etc.) Toda proposicin es -de acuerdo con los estoicos-verdadera o falsa: En esto se oponen a Aristteles y a los epicreos, para quienes las

proposiciones que versen sobre futuros contingentes no son ni verdaderas ni falsas (e.g.maana habr una batalla naval).

Divisin de las proposiciones :-atmicas: no tienen partes que sean a su vez proposiciones (se componen de un sujeto yun predicado sin conectivas lgicas).

-moleculares.


14/24

Proposiciones atmicasHay tres tipos (Sexto) de proposiciones atmicas:-definidas-indefinidas-intermedias

Las definidas se aseveran decticamente, con el hablante indicando al objeto aludido:Este (hombre) andaLas indefinidas caen bajo el alcance de una partcula indefinida: Alguien andaLas intermedias (ni indefinidas ni definidas: Scrates anda)

Relaciones entre estos tipos de proposiciones:-Una proposicin indefinida no puede ser verdadera a menos que la correspondiente

proposicin definida sea verdadera(e.g. si esta persona anda no fuera verdadera dealguien en particular, la indefinida alguien anda no sera tampoco verdadera).-Si una proposicin intermedia es verdadera, entonces la correspondiente proposicin

definida es verdadera para algn objeto en particular (no obstante, en esto hayexcepciones).

Digenes enumera otros tipos de proposiciones atmicas, a saber:-denegaciones-privaciones-negaciones

Una denegacin est compuesta por la partcula denegativa y un predicado. NingunopaseaUna privacin est formada a partir de otra proposicin atmica invirtiendo el

predicado: este hombre es intratableUna negacin es una proposicin a la que se antepone la partcula no. Negar es deda y es de noche es poner no: es de da y es de noche.

No hay lugar para las proposiciones universales afirmativas (que comiencen portodo).

Proposiciones moleculares

Hay presencia de conectivas en ella. Los estoicos definen una conectiva como una parteindeclinable de la oracin que une las partes del enunciado correspondiente.

Distinguen, entre otras:-el condicional-la conjuncin-la disyuncinAlgunas proposiciones no veritativo-funcionales son:-las causales (construidas con la conectiva porque): Porque es de da, hay luz.En estas se considera el antecedente como si fuera una causa del consecuente-proposiciones que indican probabilidad: Con mayor probabilidad es de da que es denoche (de mayor probabilidad). Con menor probabilidad es de da que es de noche(de menor probabilidad)


15/24

La nocin de la Verdad

Los estoicos aplican la palabra verdadero en varios sentidos diferentes. Al menos encuatro:1) respecto de proposiciones ( una proposicin es verdadera cuando la cosa nombrada

por el sujeto posee la cualidad expresada por el predicado)

2) respecto de funciones proposicionales (verdaderas para algunos o todos los valoresde sus variables)3) respecto de representaciones4) respecto de argumentos (un argumento es verdadero si y slo si es vlido y con

premisas verdaderas)

Pero los estoicos distinguen el vocablo verdadero del de verdad de tres modos:-en esencia: lo verdadero es incorpreo (es un lektn) y la verdad es un cuerpo (esconocimiento asertrico de las proposiciones verdaderas, y el conocimiento es la partedel alma en un cierto estado. A su vez, el alma era considerada por los estoicos como unaliento; en suma, un cuerpo. El conocimiento es, pues, el alma en un cierto estado)

-en constitucin:la verdad supone conocimiento de muchas verdades, mientras que loverdadero es algo simple.-ensignificacin:la verdad pertenece al conocimiento y lo verdadero no.

Lo necesario y lo posible

De acuerdo con la interpretacin de Benson Mates3, Diodoro Crono consideraba lasproposiciones como si fueran acompaadas de variables de tiempo. Los ejemplo quepone as parecen indicarlo: Es de da, es de noche, proposiciones que sonverdaderas en unas ocasiones y falsas en otras. Esto corresponde a lo que llamaramoshoy funciones proposicionales, de acuerdo con Russell, y cuya forma lgica autnticasera es de da en t, es de noche en t. Si queremos establecer una proposicinautntica, esto es, un enunciado cuyo valor de verdad no est sujeto a variacionestemporales, podemos cuantificar la variable temporal, e.g. #t (t0< t "es de da en t).la definicin diodrica de lo posible se da en trminos temporales como sigue:

Es posible aquello que es o ser verdadero

Podemos completar nuestras nociones modales estableciendo:lo imposiblees lo que siendo falso, no ser verdaderolo necesarioes lo que siendo verdadero, no ser falsolo no necesario(contingente) es lo que no es o no ser verdadero

Podemos poner esto como sigue:p es posible en t pt$#t (t < t "pt)p es imposible en t pt"%t (t < t!pt)p es necesario en t pt"%t (t < t!pt)p es no-necesario (contingente) en t pt$#t (t < t "pt)

Diodoro entenda que estas definiciones dependen de la primera e intent establecer unargumento para justificarla. Este argumento fue bautizado como el Soberano. Sobredicho argumento han corrido ros de tinta y ha estado sometido a diversasinterpretaciones.

3La lgica de los estoicos, Tecnos, Madrid, 1985.


16/24

El Argumento Soberano

Diodoro estableci lo siguiente:

1) Toda proposicin verdadera sobre el pasado es necesaria.2) Una proposicin imposible no puede seguirse de una proposicin posible.3) Hay una proposicin que es posible, pero que no es ni ser verdadera.

Diodoro entenda que estas proposiciones eran conjuntamente incompatibles. SegnEpicteto, a Diodoro le pareci que las dos primeras proposiciones eran ms plausiblesque la tercera; de ah que la negacin de 3) se siguiera de 1) y 2); lo cual justifica sudefinicin de lo posible como lo que es o ser verdadero fundamentado a partir de lasdos primeras proposiciones. La responsabilidad ahora recae sobre stas, lo que hay quediscutir es su validez. No obstante, hay serias dificultades. Cleantes, por ejemplo,aceptaba 2) y 3) pero rechazaba 1). Crisipo aceptaba 1) y 3) pero rechazaba 2). Lo que

nadie ha discutido es que dichas proposiciones son conjuntamente incompatibles. Unproblema grave es cmo se entiende la expresin no puede seguirse en 2). hay quienlo ha entendido como consecuencia lgica, esto es, una proposicin imposible no sesigue lgicamente de una posible (Prior, por ejemplo). Otros (e.g. Rescher y Urquhart4),siguiendo una interpretacin de Zeller, la han interpretado como una sucesin temporal,es decir, una proposicin posible no puede convertirse -con el paso del tiempo- enimposible.

Conectivas enunciativas o proposicionales

Los estoicos dieron definiciones veritativo-funcionales de las principalesconectivas proposicionales.

Implicacin:El condicional es una proposicin molecular con la conectiva si (e.g. Si es de da,hay luz)La conectiva si expresa que lo segundo se sigue lgicamente de lo primero. El

problema que surge aqu es explicitar qu significa se sigue. A este respecto, Filnsostena que un condicional verdadero es aqul que no tiene antecedente verdadero yconsecuente falso. Esta nocin coincide con la usual en lgica, recogida por elcondicional material. Todo lo que se pide en una tabla de verdad para que el condicional

sea verdadero es que no se d la combinacin VF. Los estoicos dieron ejemplos decondicionales con todos los casos posibles de combinacin de valores de verdad. Peroesta definicin sonaba paradjica entonces. Diodoro sostena, en cambio, que uncondicional es verdadero si no es ni fu nunca posible que el antecedente sea (fuera)verdadero y el consecuente sea (fuera) falso. Sexto ofrece tres ejemplos crticos paradistinguir ambas posturas:

1) Si es de da, entonces estoy conversando2) Si es de noche, entonces estoy conversando3) Si es de noche, entonces es de da

4Temporal logic, Chapter XVII, Springer, Berlin, 1971.


17/24

Supongamos que es de da y estoy conversando.De acuerdo con Filn, los tres condicionales seran verdaderos. Segn Diodoro, los tresseran falsos. De acuerdo con Diodoro, es posible que el antecedente de 1) seaverdadero y su consecuente falso. Basta con pensar en un tiempo en el que era de da

pero an no haba empezado a conversar. es decir, el condicional 1) es falso porque no

vale para todos los momentos. respecto de 2) podemos decir algo parecido. Pensemoscuando la noche ha llegado pero ya he dejado de conversar. Y lo mismo cabe decir de3), cuando la noche haya llegado. Expresemos esto mediante un sencillo diagrama:

1 2 3es de da es de da es de nocheno estoy conversando estoy conversando no estoy conversando

Para comprender esto mejor sigamos la exposicin de Benson Mates sobre este asunto:Una implicacin es verdadera en el sentido de Diodoro si y slo si es verdadera

en todo instante en el sentido de Filn.

i.e. (F&G)'%t(Ft!Gt)

Ejemplo:Si es de da, entonces hay luz es verdadera en sentido diodrico si y slo sipara todo momento del tiempo t se da el caso que el condicional filnico si es de da ent , entonces hay luz en t es verdadero.La verdad de la implicacin diodrica requiere pues de la verdad de una implicacinfilnica referida a todo momento del tiempo. Se trata de un tipo especial de lo queRussell llama implicacin formal.

La discusin estoica acerca de la implicacin no se acaba aqu. Sexto llega a establecercuatro tipos distintos de implicacin reconocidas por los estoicos. Su disposicin demenor a mayor fuerza es la siguiente:1) implicacin filnica2) implicacin diodrica3) implicacin de Crisipo (introduce conexin o coherencia): un condicional esverdadero cuando la negacin del antecedente es incompatible con el antecedente (e.g.si es de da, es de da, es verdadero; pero son falsos los condicionales siguientes: sies de da, estoy conversando, reconocido como verdadero por Filn, y si no existenelementos atmicos de las cosas, entonces existen elementos atmicos de las cosas,reconocido como verdadero por Diododoro)4) un condicional es verdadero si el consecuente est efectivamente incluido en el

antecedente (si es de da, entonces es de da es falso, pues es imposible que una cosaest contenida en s misma). Con esto se elimina las duplicaciones.

Disyuncin:Hay recogidas dos tipos de disyuncin: inclusiva y exclusiva.Esta ltima fue la msusada y la nica que aparece en los esquemas de inferencia propuestos por los estoicos.Hay al menos dos opiniones sobre la definicin que dieron los estoicos a la disyuncinexclusiva:1) una disyuncin exclusiva es verdadera si y slo si exactamente un miembro suyo esverdadero (Sexto). Esto es una definicin veritativo-funcional. De la verdad (falsedad)

del primer miembro se infiere la falsedad (verdad) del segundo (e.g. Pedro est vivo omuerto)


18/24

2) una disyuncin es verdadera si y slo si sus miembros son incompatibles (en elsentido de que es imposible la verdad conjunta de ambos).

Los estoicos conocieron la disyuncin inclusiva, pero no tenemos una definicin clarade esta conectiva veritativo-funcional. Comentaristas como Galeno la llaman casi-

disyuncin. Otro comentarista, Apolonio de Alejandra, reconoce su propiedadconmutativa: Es de da o es de noche es lo mismo que es de noche o es de da.

Conjuncin:Una conjuncin es -para los estoicos- una proposicin compuesta por la conectiva y.Una conjuncin es considerada como verdadera sii sus dos partes son verdaderas. Estaes la definicin habitual veritativo-funcional. Sin embargo, hay en la Antigedadquienes no consideraban una conjuncin como falsa si slo contaba con un miembrofalso. Pero los estoicos reaccionaron contra esto.

Interdefinibilidad de las conectivasEl descubrimiento de que unas conectivas pueden definirse en funcin de otras

se atribuye a veces a los medievales y en otras ocasiones a Leibniz. Pero lo cierto es quelos estoicos ya posean una nocin de esto.

Condicional y disyuncin: Respecto del condicional material, Crisipo nos diceque si uno ha nacido bajo Sirio, no se ahogar en el mar puede expresarse igualmentemediante una conjuncin negada: No: uno ha nacido bajo Sirio y se ahogar en elmar. Este pasaje es un testimonio del reconocimiento de la definicin (en trminos deequivalencia):

A!B'(A "B)

Bicondicional y disyuncin: Segn Benson Mates es probable que algunosestoicos conocieran la siguiente definicin:

A $B'(A'B)

ArgumentosPara los estoicos un argumento es un sistema compuesto de premisas y

conclusin. El trmino general para argumento es logos, el cual se usaba tambin paraenunciado. las premisas son las proposiciones que se ponen para establecer la

conclusin. Los estoicos tenan claro que a un argumento le corresponde unadeterminada forma condicional, a saber, aqulla que consta como antecedente laconjuncin de sus premisas y como consecuente la conclusin del argumento.

Los estoicos dividan los argumentos, por un lado, en:-Vlidos-No vlidos

Por otro en:-Verdaderos-Falsos

Finalmente en:-Demostrativos

-No demostrativos


19/24

Los argumentos vlidosson aqullos en los que la proposicin condicional compuestapor la conjuncin de sus premisas como antecedente y la conclusin como consecuentees diodricamente verdadero.

Ejemplo: Si es de da, estoy conversandoEs de da

Luego, estoy conversando

Los no vlidos no cumplen tal condicin.Dentro de los no validos tenemos dos subclases: los argumentosverdaderosson

vlidos y tienen premisas verdaderas (luego la conclusin no puede ser falsa) y losfalsos son no vlidos o bien poseen premisas falsas. Por tanto, un argumento verdaderoes un tipo especial de argumento vlido. El anterior argumento es verdadero cuandoresulta que es de da y estoy conversando y es falso en caso contrario.

Por su parte, los argumentosdemostrativosson una subclase de los verdaderos.Un argumento demostrativo es aqul tipo de argumento verdadero cuyas premisas sonno evidentes.

Ejemplos: Si es de da hay luz Si Din anda, Din se mueveEs de da Din andaLuego hay luz Luego Din se mueve

Se pretende que hay luz es evidente si ocurre que se da es de da y que Din andamotiva que lo sea Din se mueve.En cambio, el siguiente argumento no tiene una conclusin evidente para los estoicos:

Si el sudor fluye a travs de la superficie, la piel tiene poros inteligibles

El sudor fluye a travs de la superficieLuego la piel tiene poros inteligibles

Se pretende que las premisas sirven de algn modo para descubrirnos la conclusin.Digenes pretende darnos una idea ms exacta de un argumento demostrativo: elargumento que, mediante lo que se aprehende ms claramente, concluye lo que seaprehende menos claramente.

Los estoicos piensan adems que los diferentes argumentos vlidos puedenorganizarse en un sistema deductivo. Es decir, ofrecen un conjunto primitivo deargumentos vlidos a partir de los cuales pueden probarse los dems. Este conjunto deargumentos primitivos son indemostrables o indemostrados, que no significa lomismo que demostrativo. El trmino indemostrado se emplea en dos sentidos

distintos. Se usa tanto para argumentos que no han sido demostrados como paraaqullos que no necesitan ser demostrados debido a que son claramente vlidos.Adems, los argumentos indemostrados son simples o no simples. En los simples, laconclusin se sigue inmediatamente de las premisas; los no simples, se componen desimples y han de ser analizados en sus componentes para dejar ver de modo claro suvalidez.

Hay 5 esquemas de inferencia que los estoicos consideran indemostrables, esto es,aceptados al modo de axiomas, mientras que el resto se reducen a stos. Se le atribuye aCrisipo el establecimiento de estos esquemas:

I. Si lo primero, entonces lo segundo; lo primero; luego lo segundo.II. Si lo primero, entonces lo segundo; no lo segundo: luego no lo primero.


20/24

III. No a la vez lo primero y lo segundo; lo primero; luego no lo segundo.IV. O lo primero o lo segundo; lo primero; luego no lo segundo.V. O lo primero o lo segundo; no lo segundo; luego lo primero.

Por el cuarto silogismo puede verse que la disyuncin considerada es la excluyente.

Para la inclusiva este esquema es claramente invlido.

Podemos poner esto con metavariables como hacemos hoy da como sigue:

I. A!B, A |- BII. A!B, B |- AIII. (A "B), A |- BIV. A $B, A |- BV. A $B, B |- A

Tenemos varios ejemplos de la tcnica demostrativa de los estoicos que nosofrecen los comentaristas:

1) Sexto nos muestra cmo reducir el esquema: Si lo primero y lo segundo, entonces lotercero; no lo tercero; es as que lo primero; luego no lo segundo. Si utilizamosmetavariables A, B y C podemos reflejar esto como sigue: A "B!C, C, A |- B.

Prueba:

Por II, obtenemos (A "B) a partir de las dos primers premisas. A partir de aqu juntocon la tercera obtenemos la conclusin aplicando el esquema III.2) Sexto ofrece tambin el esquema: A !(A!B), A |- B.3) Orgenes nos cita el siguiente esquema: (A !B), (A!B) |- A.

El ejemplo que nos ofrece es el siguiente: Si sabes que ests muerto, entonces estsmuerto (porque nada falso puede saberse); si sabes que ests muerto, entonces no estsmuerto (porque los muertos no saben nada); luego no sabes que ests muerto.

Algo muy importante es que los estoicos pensaban que su clculo era completo.

Argumentos no vlidos y paradojas

Los estoicos distinguan cuatro clases de argumentos no vlidos, que no seexcluan mutuamente, a saber:1. ARGUMENTOS INCOHERENTES: son no vlidos porque no hay en ellos conexinlgica entre premisas y conclusin.

Ejemplo: Si es de da, hay luzSe vende trigo en el mercadoLuego Din anda

2.ARGUMENTOS REDUNDANTES: contienen una premisa no necesaria para obtenerla conclusin.

Ejemplo: Si es de da, hay luzEs de daDin andaLuego hay luz


21/24

3. ARGUMENTOS CUYO ESQUEMA NO ES VALIDO: son argumentos invlidos encuanto a la forma argumental.

Ejemplo: Si es de da estoy conversandoNo es de daLuego no estoy conversando

cuyo esquema es el siguiente:Si lo primero entonces lo segundo

No lo primeroLuego no lo segundo

4. ARGUMENTOS DEFICIENTES: contienen una premisa que no es completa.Ejemplo: La riqueza es buena o es mala

No es malaLuego es buena

Se dice que es deficiente porque la primera premisa debera decir:La riqueza es buena o mala o ni una cosa ni la otra

PARADOJAS:La ms famosa fue la del mentiroso. La paradoja se propuso de varios modos.

Alejandro la expone como sigue: Quien dice estoy mintiendo est diciendo la verdady mintiendo. Modernamente se expone de otras maneras, como la siguiente:

Este enunciado es falso

hay otras variantes como la paradoja de la tarjeta postal. En una cara de la tarjeta sedice:

El enunciado que hay en la otra cara de esta tarjeta es falso

y en la otra cara pone:El enunciado que hay en la otra cara de esta tarjeta es verdadero

Ntese que si atribuimos la verdad a cualquiera de los dos enunciados concluimos quees falso a la vez y recprocamente. Sobre las paradojas en general, y sus posiblessoluciones, puede consultarse Las paradojas de la lgica, de E.W. beth, CuadernosTeorema, 1975 yFilosofa de las lgicas, de Susan Haack, Ctedra, Madrid, 1978.

Lgica estoica versus lgica aristotlicaLa lgica estoica es una lgica de proposiciones mientras que la lgica deAristteles es una lgica de trminos.

Los silogismos aristotlicos son tesis lgicas mientras que los silogismosestoicos son reglas de inferencia.

El silogismo aristotlico es categrico; el estoico es hipottico.Lukasiewicz5ha sealado que desde el punto de vista lgico, la lgica estoica es

anterior o ms bsica que la lgica aristotlica, pues es la forma antigua de lamoderna lgica proposicional.

5Estudios de lgica y filosofa, Biblioteca de la revista de Occidente, Madrid, 1975,pp.83-86.


22/24

LA LOGICA DE LOS MEDIEVALES

1. Contribuciones fundamentales de los medievales a la lgica-En el campo de la semitica, realizan un estudio de la lgica partiendo del latn,

intentando abstraer leyes y reglas de carcter sintctico y semntico de los signos

-Propiedades de los trminos-Teora de las consecuencias-Tratamientos novedosos de las paradojas-Amplio uso del metalenguaje, con una clara distincin entre ley y regla-Reformulan la silogstica-Distincin en la lgica modal entre modalidad de re y de dicto

2. Objeto de la lgicaLa lgica se concibe comnmente como teora de las segundas intenciones (son entes

de razn, no entes naturales). Citemos dos doctrinas que van en la misma lnea:-Ockham, por ejemplo, distingue entre signo de la cosa, la cual no es el signo, o

primera intencin , e.g. la intencin de la mortalidad que es predicable de todos los hombres;

este hombre es un hombre, etc. Otra es la segunda intencin, que es signo de las primerasintenciones, como gnero, especie, etc. (e.g. animal es un gnero).-En Alberto de Sajonia, la primera intencin es un trmino que designa a los objetos no

en cuanto signos y la segunda intencin es un trmino que representa a las cosas en cuantosignos (designa trminos a su vez), como verbo, gnero, caso del verbo, etc.

Adems, podemos distinguir trminos categoremticos y sincategoremticos. Lasconstantes lgicas o trminos sincategoremticos son segundas intenciones en el sentidoexpresado ms arriba y constituyen objeto de estudio medieval.

Por tanto, tenemos dos estudios diferenciados de la lgica: uno referido a los trminosen general, con el estudio de la doctrina de la suposicin, la ampliacin y la apelacin (planosemntico), y otro dedicado a las conexiones de los trminos sincategoremticos comoresponsables de la forma lgica (teora de la demostracin).

3. Teora de la SuposicinMaterialFormal Impropia

Propia SimplePersonal Singular

Comn ColectivaParticular indeterminadaParticular determinadaDistributiva Completa

IncompletaExceptiva

Podemos entender la suposicin como la acepcin de un trmino en lugar de una cosa de modoque la substitucin sea legtima con respecto a la cpula. Aclararemos seguidamente esto. Porejemplo: en mi amigo Antonio tiene un coche, la expresin Antonio conviene a un objetocon respecto al tiempo presente. Pero en Napolen ser emperador, el trmino Napolen nosuple, porque dicho trmino no se refiere a una cosa existente a la que le convenga ser. Lomismo ocurre si decimos: Csar es epilptico.Esto da lugar a una regla:REGLA I: Una afirmativa es falsa si el sujeto no suple.

Si la proposicin es negativa no ocurre lo mismo. Por ejemplo: Richelieu no es calvo. Estaproposicin es verdadera porque Richelieu no existe actualmente.


23/24

Sin embargo, slo tiene sentido preguntarse si el sujeto suple o no cuando el predicado esaccidental al sujeto, porque en este caso la cpula indica existencia en el tiempo. Si el predicadoes esencial al sujeto no ocurre as. Por ejemplo:

hay un tringulo dibujado en la pizarra (se da en el tiempo)un tringulo es un polgono de tres lados (el uso de es es atemporal)

Luego de ver si el sujeto suple o no suple, hay que determinar en relacin a qu tipo deexistencia se refiere la suplencia (real o ideal).

Por ejemplo: Lo que es animal existeEl centauro es un animal

Luego, el centauro existe.

Aqu hay un doble uso de la partcula es. En la segunda premisa centauro suple por relacina la existencia ideal mientras que en la conclusin centauro suple en relacin a la existenciareal.

Esta distincin evita sofismas conocidos, como el no ser es porque es el no ser (de los sofistasantiguos) y el argumento ontolgico de Descartes:

El ser perfecto existe necesariamente

Dios es el ser perfecto

Luego, Dios existe necesariamente

Descartes parte de la idea de ser perfecto (no de algo real) y concluye algo con esa propiedad(Dios) existe realmente.

Restriccin, ampliacin, apelacin y analoga

REDUCCION: restriccin del trmino comn de una suposicin mayor a otra menor(Pedro Hispano)

Ejemplo: En un hombre blanco corre, el trmino comn blanco restringe lasuposicin de hombre slo a los blancos.

AMPLIACION: extensin del trmino de una suposicin menor a otra mayor (PedroHispano).

Ejemplo: Un hombre puede ser el AnticristoAlberto de Sajonia (s. XIV) nos ofrece una serie de reglas al respecto:1) Todo trmino que supone respecto de un verbo en pasado se ampla de forma quesupone por lo que es o fue.

Ejemplo: todo hombre fue niohombre no se refiere slo a los actuales sino a los que han sido tambin.2) Todo trmino que supone respecto de un verbo en futuro se ampla de forma quesupone por lo que es o ser.

Ejemplo:3) Todo trmino que supone respecto del verbo puede se ampla de forma que supone

por lo que es o puede ser.Ejemplo: lo blanco puede ser negro


24/24

4) Todo trmino que supone respecto del verbo es contingente se ampla de forma quesupone por lo que es o puede ser contingentemente.

Ejemplo:5) Todo trmino que en un enunciado sea sujeto respecto de un participio pasado seampla de forma que supone por lo que es o fu.

Ejemplo: un hombre ha muertoEl sujeto supone por lo que ha sido.6) En un enunciado con la cpula en tiempo presente y el predicado en tiempo futuro, elsujeto se ampla de forma que supone por lo que es o ser.Ejemplo: Un hombre es un ser que ha de ser engendradoSe dice que el que ahora es un hombre o el que lo sea en el futuro tiene que serengendrado.7) En un enunciado con la cpula en tiempo presente y un predicado que incluya elverbo puede, el sujeto se ampla de forma que supone por lo que es o puede ser.Ejemplo: el hombre puede ser engendrado8) Todos los verbos que puedan por su naturaleza extenderse a un objeto presente,

futuro, pasado o posible, amplan los trminos a cualquier tiempo, al presente, al pasadoy al futuro.Ejemplo: entiendo, conozco, significo.9) El sujeto de un enunciado modal de necesidad en sentido dividido se ampla deforma que supone por lo que es o puede ser.Ejemplo:10) Si en un enunciado no hay ningn trmino ampliable, su sujeto no se ampla sinoque supone por lo que es actualmente.

Rescher y Urquhart ofrecen -a modo de ejemplo- la siguiente simbolizacin de lasreglas primera, segunda y octava:1) AlgnA eraB: #x{(Rn(Ax) $Rp(Ax)) "Rp(Bx)}

TodoA eraB: %x{Rn(Ax) $Rp(Ax)!Rp(Bx)}

2) AlgnAser B: #x{(Rn(Ax) $Rf(Ax)) "Rf(Bx)}TodoAserB: %x{Rn(Ax) $Rf(Ax)!Rf(Bx)}

8) AlgnA esB: #x#t{(Rt(Ax) "Rt(Bx)}TodoA esB: %x%t{Rt(Ax)!Rt(Bx)}

APELACIN: empleo de un trmino por una cosa existente. El inexistente no tiene

apelacin. A diferencia de la suposicin slo se refiere a cosas existentes. As,Anticristo no apela y hombre apela a los actuales.

ANALOGA: Hay tres clases de nombre, a saber, unvocos, equvocos y anlogos.Estos ltimos lo son por proporcin o por proporcionalidad.Se trata de una relacin de semejanza entre dos relaciones.

TEMA A DESARROLLAR: Teora de las consecuencias

Historia de La Lógica (Fragmentos)

Documents

Transcript of Historia de La Lógica (Fragmentos)