Historia de La Lógica. Robles J. a.
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NCICLOPEDIA
MERICANA
ILOSOFfA
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7/23/2019 Historia de La Lgica. Robles J. a.
2/12
b
49
HISTORIA
DE
LA
LGICA
los
A.
Robles
Garca
En las
siguientes
pginas
se
presenta
un
sucinto
panorama
histrico
de
la lgicaividido
en-las
siguiintes
secciones:
I.
Lgica
griega;
II.
Lgica
medi"eval;
IIL
La
lgica
ates de Frege;
IV.
La
lgica
de
Frege;
V'
Des-
pus
de
Frege.
'
Ci..t"*.tte
muchas
cosas
quedarn
fuera
de este
panorama
y
el
deta-
lle
de
algunos
de
los
diferentes
ie*rs
qo.
aqu
presentar
o
a
los
que slo
t"irio
encontrar
el lector
en
los-diveisos
artlculos
de
esta
enciclo-
pedia
dedicados
precisamente
a
esa
tarea.
'
El
tema
de
la^lgica
medieval,
aun
cuando
p-er
-se
es de
gran
i*pqt-
t"rr.i,
por la varied
y riqueza
de
tratamiento
de
diversos
tipos
de
infe-
renclas,
me veo
p.e.rtrdo-,
bosquejarlo
tan solo'
tomando
tres temas
centrales,
pocostiemplos
y menos autores
y
matices.
I. LGICA
GRIEGA
1.
Aristteles
con
el trabaio
de
Aristteles
(384-322
a.C.)
surge
la lgica
en_ el
mundo.
ir.oU
lateoa
del
silogismo,
ala
que
s
alude
cuando
se
habla
de
la
lgica
aristotlica
como
un
antecedente
remoto
de
la lgica con-
tempornea.
En el
despliegue
de
la
parte
central
de
su
teora,
Aristteles
slo
con-
sidera
cuatro
tips
diferentes
de
enunciados
o
proposiciones
partir de
los
cuales
formula
sus
propuestas
de
argumentacin
vlida.
Los
cuatro
enunciados
(o,
melor,/nias
enunciatius,
esto
es,
expresiones
en
las
que
ficuran
variables
q"
s"
convierten
en
enunciados
una vez
qu estas
vriables
sc
suStityen
por
las
expresiones
adecuadas
correspondientes)
.
cu.iiiOn
son el
universal
afirmativo,
'Todo
S
es
P'
(A),
el
universal
-
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IOSE
A.
ROBI.ES GARCIA
negarivo,
,Ningn
s
es
P'
(E), el
Particulaf
afirmativo,
'Algn
s
es
P'(I)
., el
nrricul",
.r.gu,r-
'Algn
S
no
es
P'(O)'
E donde
las letras
'S'y
h:r5;;;;i;ti.r
p-i.rtivas
que toman
como
valores
sustantivos
gene-
rales.
de
talmanerag.r.
r*
fotryS
enunciativa
del tipo
(I),
'Algn S es
;1'?;;;;."
a
nunciado.'Algn
hombre
es
mortal
al sustituir'S'
;
.'pf"#il;J;,
;;r'mo131',
respectivamente.
Finalmente es
preciso
Ii,;'";;;ri"1.i*
tambin
consider
otra
clase
de enunciados,
los
i;ii;tj":i;;."--("rrtes
es
mortal',que comentaristas
posteriores
asi-
;il;;;;;i;:
.rr.,.triot
universales
afirmativos,
creando
bastante con-
ill'r1ffi;i,
pi.i.riin
tiene
caractersticas
diferentes
en
ambos
casos.
La
manera
grtrca,
postaristotlica.
de representar
las
relaciones
lgi-
.r,
ii
r.-f,o,
..rra"dr
(formas
enunciativas)
categricos
aristotlicas
(A,
E,
I,
O),
se.orott
con
el
nombre
de cuadrado
de
oposicin
y
es
el
siguiente:
S
u
b
a
I
t
e
r
n
a
S
o
A
S
u
b
a
I
t
e
n
a
s
subcontrarias
Las relaciones
lgicas
que
se dan
entre
estos
enunciados
son:
los con-
,r r rir
ir"
i i'.E
".
ri
.
rl
t"
r
enunci
ado
s
univers
ales
),
_pueden
set am
b o
s
f
l'
K'il;:1r"L*uot
iu,rdoderos;
los
subcontrarios.(r'
o;
e.st9
es' los
enun-
li[lr#;ir..rl,
."
cambio,
pueden ser
ambos
uerdaderos,
pero
no
ambos falsos;
por
otra
parte'
con
respecto
a
la
subalternacin'
de la
ver-
ili'."i;i'";;
.lo'i
contrariol(4,.E):
se
sigue
la
verdaddel subcon-
;;;;;;ondiente
(I,
O)
y.de
la falsedad
de
cualquiera.de
los. subal-
;;;
;-l:
ie
sigue.la
falsedad
del
contrario correspondiente
(A,
E).
Finalmente,
los
enuncados
contradictorlos
tieen
siempre
valores
verita-
;*;;;
os:
si
wno
de
ellos
es
uerdadero,
el otro
es
falso
y
a
la
inuersa.
T.a
silosstica
artstotlica
folqa
parte
de
la que
hoy se
considera
la
,.rr'r;;;".Hi'.
lrfrr.ncia
deducliva.
Conforme
a
sta, se define
lo
que
es
un
argumento
deductivo
ulido
(y
aqul tendremos
que
apelar
a
contrarias
dc
i
dc
.50
.51
HISTORIA DE
LA I-GICA
las
formas enunciativas,
sin
entrar en
demasiados
detalles)
como
un
con-
junto
de
enunciados,
et,
e'2,...,
e.,
tales
que
stos
prouienen
de
formas
enunciatiuas
tales
que
es imposible
que
haya una sustitucin
(de
las varia-
bles
por
predicados)
en
la que los
enunciados
resultantes,
e
(1
(
j
-
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JOSE
A.
ROBLES
GARCA
men el
silogismo.
De
acuerdo
con
esto, las
figuras
del
silogismo
aristot-
lico
son:
13 figura
2?
figura
33 figura
C-D
C-B
B.D
B-D
B-D
Y los
modos
en
cada
una
de
las
figuras
anteriores,
son:
C-D
D-C
B.C
B-C
13
figura
A, A/A
E,
A/E
A,
I/I
E, I/O
mayor
menor
conclusin
2? figura
E,
A/E
A, E/E
E,
I/O
A, O/O
33
figura
A,
A/I
A,l/l
E,
A/O
E,l/o
,
A/l
o,
A/o
lo
que
muestra
el
esquema
anterior
es
el
tipo de
premisas
y
de.conclu-
sin
que pueden
figurar
en
esquemas
vlidos
(cf.
supra,
p.
51)
de
silogismo
en
cada
una
de
las tres
figuras. s,
el
caso
A,
A/A
de
la
primera figura
seala
que
en
esa
figura
es vlid"o
un silogsmo
cuyas
dos
premiias y conclusin
sean
enunciados
universales
afirmativbs
(A).
En la
segunda
figura la conclusin
siempre
es
negativa (E
u O)y,
por
esto, una
de
las
premisas debe se
negativa.
En
la
tercera
figura
todas
las
conclusiones
son
particulares
(I
u O).
Las
reglas
de construccin de
los
silogismos
determinan
cules
son
las
formas
vlidas
posibles
dentro
de
cada
una
de las
figuras.
A la
muerte
de
Aristteles se
aade,
a las
tres
figuras
aristotlicas,
una cuarta
figura
(atribuida
falsamente
-segn
los
Kneale*
a Galeno,
siglo II
de
nuestra
era),
con seis
modos
vlidos.
Esta cuarta
figura
invierte
la
estructura
de las premisas
de la
13 figura:
premlsa
mayor
premlsa
menof
conclusin
4?
fgura
...
B-D
D-C
C-B
modos
A,
A/I
A, E/E
l, A/r
E,
A/O
E,
I/O
A, E/O
2.
Megricos
y
estoicos
En el caso
de los
megricos y
de
los estoicos
poco
podemos decir,
ya
que
hay
escaso
material
conservado acorca
de su
trabajo.
Los
megricos, sea-
lan los
Kneale,
hicieron
tres
aportaciones
a
la
lgica
en lo
relativo a
las
paradojas,
a
una
destacada revisin
de
los conceptos
modales
y
comen-
zaron
un importante
debate con
relacin
a
los enunciados
condiciona-
les. En
lo
que
sigue
algo
se
dir
aceca
de la
tercera
propuesta
y
muy
poco
acerca de
las dos primeras.
52
53
HISToRIA
DE
I.A
I.GIcA
De
las paradojas
megrico-estoicas
que
hasta
nosorros
han
llegado hay
que
subrayar
la muy conocida
del mentiroso,
atribuida a
Eublides:
Si
alguien
dice'estoy mintiendo',
es
verdadero
o falso
esto
que
dice? Aqul
vale
recordar
mnimamente
las
alternativas:
si lo
que
dice
esierdad,
enton-
ces,
est
mintiendo,
por
tanto, lo
que
dice
es
falso,
entonces
no
est
min-
tiendo; por
otra
parte,
sl
lo
que
dice es
falso,
entonces
no
est mintiendo,
esto
es, est diciendo
la
uerdad,
a saber,
est
mintiendo. La
conclusin
es,
entonces, que
si
est
mintiendo
est
diciendo
la
verdad
y
si est
diciendo
la
verdad,
entonces
est mintiendo.
Esto
muestra
que
el
sujeto
,
a la
uez,
miente
y
no miente.
Pero
los
dos
enunciados no
pueden
ser verdaderos
dentro
de
una
lgica
bivaluada
en la
que
vale
una
ley
equivalente
a
la
sea-
lada
para
los enunciados
contradictorios
(c/.
supra,
pp.
50-51).
Con respecto
a la naturaleza
de
los
enunciados
condicionales,
los
pri-
meros
en
estudiarlos,
de
acuerdo
a los Kneale,
fueron Diodoro
Crno
y
su
discpulo
Filn. Lo que
nos
dicen acerca
de esto es
que
.Sexto
Empl-
rico,
al resear
la disputa
sobre los
condicionales,
seala
que
Filn
sos-
tiene que
un
condicional
correcto
(tys
ovvrrtvov)
es uno
que
no
comienza con
una verdad
y concluye
con
una
falsedad; pero
Diodoro
dice
que
un condicional
as
es uno
que
no
comienza
ni
pude
comenzar
con una verdad
y
acabar
con una
falsedad...r. En
el
prlmer
caso, el
de
Filn,
tenemos
la
que Russell
denomin'implicacin
material';
conforme
a la
caracterizacin
de
Filn,
un condicional
como
"si
ahora
es
de
dfa
entonces 2+2=
5 ser verdadero
si se dice de noche,
en
tanto
que
nunca
ser
verdadero,
de acuerdo
ala
caracterizacin
de Diodoro,
ya
que puede
comenzar
con una
verdad, si
el condicional
se dice
de
da, y
contluir
con
una falsedad.
De acuerdo
a la
propuesta
de
Diodoro, entonces,
un
condicional
ser verdadero
con
slo
que
su antecedente
(o
la
parte
que
viene
despus
de'si'y antes
de'entonces')
sea
siempre falso
o
que
su con-
secuente
(o
la parte
que
viene
despus de
'entonces') sea siempre
verda-
dero; de
esta
manera,
se cumple con la
exigencia
de
que
nunca
se d
el
caso
de
que
el
antecedente
sea
uerdadero
y
el
consecuente
falso.
, ,La
implicacin
de
Filn
(implicacin
material)
es la implicacin
de
la lgica
clsica
contempornea,
en
tanto
que el
ltimo
tipo
de
implica-
cin, la
de
Diodoro,
es la
relacin
de implicacin
lgica
o impliccin
estricta que
adopt C. I. Lewis
en su
lgica
modal.
II. LGICA
MEDIEVAL
Los
lg:icos
medievales
no llegan
a formular una
teora lgica
tan
plena-
mente
f.ormalizada como
la
que
tenemos hoy
en
da
por
l
razn
de
que
su
inters
se centraba en
estudiar y
formular las
leyes
lgicas
de
una lengua
natural,
el latfn, a diferencia
de la
prctica
de
los
lgicos
contempor-
neos,
cuyo inters
es,
ms
bien,
el estudio
y
la construccin
de
lenguajes
simblicos
(artificiales),
que
tengan
cierras
propiedades que
se
cosie-
ran tiles
teniendo en cuenta ciertos
propsits a
la
visia.
-
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5/12
JOSE A. ROBTES
GARCfA
Sin embargo, un
rasgo
bsico
que
establece una fuerte liga
entre
los
lgicos
medievales
y
el
trabajo
contemporneo
en esta disciplina,
es la
clara conciencia que tenan los
primeros
de
que
la misma
es
un
estudio
de estructuras formales y que precisamente
era
por
medio de la forma
de las
proposiciones
como
se
podran
evaluar los
argumentos
y
determi-
nar los casos
de
consecuencias
lgicas
correctas.
Para
poner
lo
anterior de
relieve sigo,
en
parte,
a
Philoteus Bhner
y
sealo las que
l
considera las
principales aportaciones
de
esta
poca.
Los
encabezados
bajo los
que
las
rene,
son:
'Trminos
sincategorem-
ticos',
'Teora de la suposicin'
y
'Teora
de
las
consecuencias'.
1.. Trminos
sincategoremticos
Sobre
los trminos
sincategoremticos
o
palabras
cosignificantes, Bh-
ner
seala
que
hay una fuerte
relacin
entre el uso
escolstico
y
el
estoico
de las mismas. En
ambos casos
se
usa
la misma palabra y
se le da
el
mismo
significado. Bochenski
tambin encuentra una
fuerte
relacin
con los estoi-
cos
y
seala,
por
su
parte
(1961,189),
que la
teora
de las consecuencias
es
"esencialmente
un avance
de
la
lgica proposicional
estoica,
aun
cuando,
quiz,s,
no hubo ninguna influencia
estoica directa
en
la
cons-
truccin
medieval.
Los trminos
sincategoremticos
se
contrastan con los categoremti-
cos; stos, segn lo
seala
Alberto
Magno,
son
los
eue,
tomados
signi-
ficativamente,
pueden ser
sujetos
o
predicados
-o
parte
del
sujeto
o
parte
del
predicado
distribuido- de
una
proposicin
categrica;
por
ejemplo,
los
trminos'hombre','animal','piedra',
se
llaman
categoremticos por-
que
tienen
una significacin definida
y
cierta
(Perutilis
logica,
44).
Los
trminos
sincategoremticos,
en
cambio,
son los
qtJe
no
pueden
ser suje-
tos
ni
predicados
de
una
proposicin
(a
menos que
se tomen material-
mente,
como en
..'Y'es
una conjuncin") y,
en el caso
preciso
de
la
lgica,
esos trminos son los
"signos
universales o
particulares" (como
los llama
Alberto:
ibid.),
que
son nuestros
cuantificadores, as como las
conecti-
vas lgicas: negacin,
conjuncin, disyuncin,
etc.
Lo que
Bhner
seala
acerca
de
estos
trminos
es
que
la
importancia
que
los
escolsticos
les
dieron seala con claridad que
tenan muy
en
cuenta
el carcter
formal
de
sus
investigaciones.
Los
trminos
sincategoremticos
que
aqu
hemos
sealado son los
pertinentes
para
el estudio de la lgica, ya que
influyen
directamente en la
verdad
o
en
la
falsedad
de
las proposiciones.
Para
mostrar
cmo
entendan
los
autores medievales la
funcin de
los trminos sincategoremticos,
vuelvo
a citar a
Alberto
de Sajonia quien,
al
responder la
objecin de
que,
aparentemente,
-
7/23/2019 Historia de La Lgica. Robles J. a.
6/12
JOSE
A. ROEtES
GARCfA
Aqu-slo
menciono
la doctrina
y
algunas
de los
importantes
autores
q_ue
escribieron
sobre
ella:
Guillermo
de
Shyreswood,
foms
de
Aquino,
Vicente
Ferrer,
Talter Burleigh,
Guillermo
de
Ocham,
etc.
3.
Teora
de las
consecuencias
Una doctrina
en
la
que
puedo
detenerme
ms, ligada con
mayor clari-dad
a nuestra
lgica
formal
contempornea,
es
l-a
teora
de las
conse-
cuencias.
E
origen de
una docrina
clara Bochenski
(1961,
199-200)lo
atribuye
a Buri-dn,
a Ockham
e
incluso
a
Pedro
Hispano.
La
doctrina,
fuertemente
influenciada
por
Buridn,
aparece
con piecisin
enla
peru-
tilis
logica
de_Alberto
{vI1gno,
la
que
Filteo
Bhnei
considera
una pie-
dra miliar
en
la
teora
de la
consecuencia
y,
afirma,
estamos
firmemente
convencidos
de
qu9,
en muchos
respectos,
es superior
ala Summa
Logi-
cae
de
Ockham,
(Bhner,
70). Al6erto,
en
el
libro
mencionado,
luego
de
considerar
diversas
definiciones
de
antecedente
y
consecuente,
frmu"la
la
siguiente
caracterizacin
de estas
expresiorres.r,
una
relaci
de
con-
secuencia:
...
una
proposicin
es antecedente
de
otra
si
se
relaciona de
tal
manera con ellaque
es
imposible que las cosas
sean
como,
del
modo
que
sea, las
significa
la pri-
mera
-siempre
que
se
mantenga fiio
el
uso
de los
trminos:,
sin
que
sean como
las
significa
la
otra.
(IV,
i,
e62)
(versin
modificada,
siguiendo las
sugerencias
de
Bhner y de
Bochenski,
de
la
traduccin
de ngel
Muoz).
_ o
quepropone
Alberto,
entonces,
de manera
muy
similar
a la
de
Diodoro
(cf.
supra,
p.
53), es afirmar que
una
proposicin
es
antecedente
de otra
(se
refiere
al objeto que
sea y-siempr
qe
los
trminos
se
apli-
quen
de igual
manera)_li
no
es
posible
qu
la
primera
sea
verdadera y
no
lo
sea la
segunda.
(Vase
la
fustificacin
qui
da Bhner
de
esta
lec-
tura
en
Bhner, 71-72.) Vale la
pena
aadir-aqu,
que
esta
lectura
de
Alberto
no
convierte
en_modal
la-proposicin
d
consecuencia, pues
la
imposibilidad (necesidad)
no se predica
de
la proposicin
misma,
sino
del
valor
de
verdad
de
tal
coneiin
(cf.
ibid.i.
Tal
como Bhner
analiza
el
condicional
de Alberto,
llega
a la
con-
clusin
de
qu-e,
para
ste,
se
trata
de
una
implicacin
formal
necesaria,
no
del tipo
de
implicacin
material,
a la
manera
de
Filn.
Ms
adelante,
en
la misma
Perutilis
logica,
Alberto
hace
una
distin-
cin entre
implicaciones
o
consecuencias
frmal
y
material;
as,
en ibid.
975,
seala
(ya
citado,
en
parte
en
supra, pp.
S+-SS,
De las
consecuencias,
una es formal y
otra material.
consecuencia
formar se
llama
a
toda
proposicin
semejante
en
la
forma
a
la que,
si se formara,
fuese
buena
con-
secuencia,
como
aqu:
'B
es
A; luego,
lo que
es A
es B,.
i,
56
57
HISfORIA
DE
LA
I.GICA
Y, en la siguiente
seccin,
seala:
976.
Consecuencia
material es
aquella
tal
que no
toda
proposicin
semejante
a
ella
en la forma
es
buena consecuencia
[...]
y
[...]
se
entiende
por
materia de
la
proposicin o de la
consecuencia,
los
trminos
puramente categoremticos
-como
son
los
sujetos
y los
predicados-, prescindiendo de
los
sincategoremas
que
los
acom-
paan..,
Con
la
cita anterior
cierro
esta breve
incursin
por
el
mundo
de
la
lgica medieval, en el
que
pudimos
atisbar
intuiciones
muy lcidas
que,
en muchos casos,
tuvieron
muy amplio
desarrollo
posterior gracias
ala
creacin
de
lenguajes
simblicos
adecuados
que
fueron
vehculos
ms
gi-
les
para
el
manejo
lgico
que
los lenguajes
naturales
en
los
que
se
formu-
laba
anteriormente
la
argumentacin.
III. LA LGICA
ANTES DE
FREGE
1,.
Leibniz
y
su idea
de
un lenguaje
uniuersal
Tras
la
propuesta
de
Ramn
Llull
(1235-13L5),
en su
Ars Magna,
de
formular
un
lenguaje
universal
de
razonamiento, fundado
en el
supuesto
de
que
todo el
conocimiento
no
es sino
un complejo
que
se
forma
a
par-
tir
de
la unin
de
ideas bsicas, simples,
muchos
intentos se hicieron
por
formular
un
lenguaje
de esta naturaleza.
En el siglo
xvII
diversos
pensa-
dores hacen
propuestas ms claras
y precisas que las
de
Lulio; entre ellos,
Descartes formul una
propuesta
a
este
respecto
(carta
a
Mersenne
del
20 de noviembre de
1,629), en la
que
alude
al
orden numrico
y
a la for-
macin
de
nuestros
pensamientos a
partir de
pensamientos
simples.
En
Inglaterra
tambin
se
hicieron
propuestas
(John
Tilkins
11.61.4-L672l
y
George
Dalgarno
11,626-1,687))
de construir
un
lenguaje
en
base
a
prin-
cipios
simples
y
con
una
gramtica regular.
Lo
que
esto
dara como resul-
tado
sera
facilitar
la
comunicacin
y
hacer,
por
esto,
ms
rpida la difu-
sin
de
las
ideas.
Vale
la
pena
destacar aqu
la aparicin,
en1,662, de
uno
de los libros
ms
influyentes de la poca,
La logique ou
I'art
de
penser
(conocida
como
la Lgica de Port
Royal), de
los
pensadores
jansenistas
de Port Royal,
Antoine Arnauld
y Pierre Nicole. Este
libro se sigui
imprimiendo
hasta
el siglo
xx.
Los temas
que
trata, sin
embargo,
no
son
lo
que
hoy
en da
reconoceramos
como
temas
de
lgicay,
segn lo sealan
los Kneale,
...
es
la fuente
de
la
rhala
costumbre
de confundir
la lgica
con
la
epis-
temologlar.
Sin embargo,
hay
que
sealar
que,
entre otras cosas, en
el
libro
se
hace
la
distincin
entre extensin
y
comprensin
de un trmino.
Uno de
los
grandes
filsofos
de
la
poca
moderna
que
ms
se inte-
res
por
la lgica
y
por
la creacin
de
un lenguaje
simple de
razonamiento,
fuc G. fl. Leibniz
(1646-171,6)
quien,
a
los 19 aos,
lleg a acaiciar
-
7/23/2019 Historia de La Lgica. Robles J. a.
7/12
:IA
el
proyecto
de construir
una
lingua
philosophica
o characteristica
uniuer-
salis,
esto es,
un_lenguaje
que
reflejara
la
estructura
del pensamiento
y
que,-por
su medio,
se
pudiera
llevar
a
cabo un clculo
que
permitiera
decidir
todas las
cuestiones
relacionadas
de
consistencia
y
coniecuencia.
La propuesta_d_e
Lelbniz,
segn
se
ha
sealado
aqu, no
fue la
primera
pero
s
ms
elaborada
que
las que
se hicieron
previamente.
Leibniz
for-
mula
su
proyecto
en
su
rexto De
Arte
Combinitoria
de L666.
La manera
como
l vislumbraba
este
nuevo
lenguaje
era en
trminos
de
una analo-
ga con
la construccin
de
los enteros:
as
como todos
los nmeros ente-
ros
o.bien so_n
primos
o
bien
pueden
obtenerse
como productos
de pri-
r-nos
(2,
3,
5,7,1,1,,1,3,
1,7,23,
etc. o bien
4=2r,6=2x3,8;2.,
9=3',
t0=?x5, L2=2'x3,
etc.),
as,
en
este
nuevo
lenguaje leibni-
ziano,
se
podran
expresar
las ideas
simples
(el
equivalente
de los nme-
ros primos)
y
las
ideas
complejas
(que
seran
un
compuesto
de ideas
simples).
Leibniz
intenta
reflejar
la
complejidad
de
nuestro pensamiento
en
la
simplicidad
de
la
estructura
matemtica;
el
problema
qu es que,
junto
con la
estructura,
se requiere
dar un
anlisis
de los
contenidos
de los
pen-
samientos
y
esto
va ms
all
de lo
que
se
puede
hacer
con
slo
un
anli-
sis del lenguaje,
en
caso de que
esto fueri
todo lo que
Leibniz
deseara
hacer.
.Sin
embargo,
para
que surgieran realmente cambios
y
se
avanzara
en lgica
habra
que
esperar
hasta el
siglo
xx.
Como
.i bi.,
sabido,
Kant,
en
el
'Prefacio'a la
segunda
edicin
(1787)
de
su
Crtica
de la razn
pura
(B
viii),
dej
sentado que
la lgica,
desde Aristteles,
no haba
avan-
zado
naday,.as,.seala
que'...
tiene
toda la
apariencia
de
ser
perfecta
y
estar
completa'.
2.
Antecedentes
matemtico-geomttricos
de
la
lgica
actual
Para
llegar a
presenciar
los cambios
en la
visin
de
la
lgica que
surgen
en
el
siglo xrx,
es
preciso
tener en
cuenta
los avances
en
ia
investigaJn
en matemticas
qxe
dan
origen,
entre
otras
cosas,
al
surgimiento
dJl
atge-
bra
abstracta,
de las
geometras
no
eucldeas
y
a
la preocripacin
por
der-
minar
la
consistencia de
la
matemtica misma.
_Co:r
respecto
al
lgebra
abstracra, los
trabajos
en el siglo Xx,
de
pea-
cock, Hamilton,-Abel,
Galois,
Cayley,
etc.
muestran qri
las
operacio-
nes
aritmticas,
hasta
entonces
usadas
con
un
solo
significado, podan
redefinirse
s.egn
diversas
necesidades;
de esta
manera, una
opracin
como la
multiplicacin,
x,
por
ejemplo, podra
no
ser conmuiatiya
en
el caso
de
los
cuaternios
hamiltonianos
o de los
vectores.
Con respecto_al
surgimiento
de
las geometras
no
eucldeas,
el siglo
IIT
p_rgs-enli
el desenlace
de
la
larga historia
con respecto
a
si el
postu-
lado
V
de Euclides,
el
postulado
de las paralelas,
era
no
indepeniente
delos
otros postulados
delos
Elements.
Decir'qu.
,,
.rrrrciado
e,
es
independiente,
de
otros
enunciados
ts
2,...,
e", ei
decir
que
e
no
es una
.8
59
HISfoRIA
DE
LA
IGIcA
conclusin
deductiva de
los
enunciados
,
(1(j(n)
o bien
que
no es
contradictorio
aadir al conjunto
de
enunciados
et
la
negacin del enun-
cado e,
-e.Los
resultados
que
se obtienen en el siglo
xtx
son de
geo-
metras en las
que por un
punto
p,
exterior a una
recta r,
puede
trazarse
o
bien
ms de
una recta)
r', paralela
a
r
(Lobachevsky)
o
ben
ninguna
recta r'paralela
a
r
(Riemann).
Recordemos
que,
en
la
geometra
de Eucli-
des,
por
un
punto
p,
exterior a
una recta
r, podatrazarce
exactamente
una recta r'parulela
a
r.
Los resultados anteriores,
y
algunos ms, hacen
que
los
matemticos
de
la poca se
preocupen
por
la
consistencia
de su
herramienta de
tra-
bajo.
Tambin en el siglo xtx se comienza
a
elaborar
la
axiomatzacin
de
los nmeros reales
y
a adquirir conciencia
de las
relaciones
entre
los
diversos tipos de
nmeros
que
hasta entonces se
haban estado usando
sin
preocuparse
por
las
posibles relaciones
que
entre ellos
pudieran
existir.
Lo que
ahora
es importante sealar, en
base a
lo
que
hasta aqu
se
ha
dicho,
es
que
todos
los
anteriores avances
ayudaron
a
que
los mate-
mticos tomaran conciencia
de que
podan modificar, negar o
rechazar
principios
asumidos
que
slo
la
costumbre
haba hecho
que
parecieran
inamovibles. Los
resultados
que podan
obtener seran
no
slo
consis-
tentes, sino tambin
interesantes, teniendo
en cuenta las
posibles aplica-
ciones
de los
nuevos
sistemas
recin formulados o bien
incluso
por
s mis-
mos, por
las
relaciones que
mostraban
que
se
daban entre
sus
elementos.
En el campo de
la
lgica los
avances en
lgebra
influyen de
manera
impor-
tante
la
labor
de
George Boole.
3.
Boole
y
el lgebra
de la lgica
El trabajo de
Boole tiene como antecedente
inmediato
la labor de
De Mor-
gan y
de Hamilton con
relacin a los viejos enunciados
aristotlicos
A,
E,
I,
O. Si
en
la tradicin
aristotlica
anterior,
el sujeto
y
el
predicado
de
los
enunciados
se
vean
como
signos
de
cualidades,
De
Morgan
y
Hamilton
los
ven
como signos
de las
cosas
que
tienen
esas
cualidades.
Por otra
parte,
en
la tradicin
aristotlica,
los enunciados
afirmativos,
A, I, se explicaban
como
relacionando el sujeto con slo
parte
del
predi-
cado;
as,'Todo
S
es
P'se
entenda
como
afirmando
que
la
cualidad
de
ser P
era
parte
de
la cualidad de ser S
pero,
adems,
no
se agotaba
P
en ser S; en
terminologa
tradicional, en
los enunciados
afirmativos
no
estaba
distribuido el
predicado.
A diferencia
de esto,
en los
enunciados
negativos el
predicado s estaba
distribuido.
Hamilton, adems
de intro-
ducir
una manera diferente
de ver los
trminos
de los enunciados,
consi-
dera
la posible
cuant?ficacin
del
predicado
y,
as, es
posible tener dos
enunciados
de tipo
A:
'Todos
los S son todos
los P' as
como 'Todos
los
S son algunos
P'.
Con
todos estos
elementos
a
la mano, es
posible
dar
una
interpretacin
de los
enunciados
como
afirmando relaciones
entre
clases de
objetos
y,
entonces,
formular
las relaciones
entre
stas
en tr-
minos de un lgebra
de
clases.
-
7/23/2019 Historia de La Lgica. Robles J. a.
8/12
JOSE
A,
ROBI.ES
GARCiA
Boole
desarrolla
sus propuestas
en
su
primer
ribro,
The
Matbemati-
cal
Analysis.
of Logic,
being
n
essay
towaids
a carcului
of
dediciie
rea-
soning
(1847)
en el que
propone
un
anlisis
de
los
enuniados
tradicio-
nales,
A,
E, I,
o,
en
trminos
de ecuaciones
y
donde
demuestra
la
validez
de
un
silogismo
mediante
manejos
algebiaicos:
,i
d; i;;
;;.irrr,
mediante
manejos
algebraicos,
se-puede"
obtener
la
.or.lrri'r,-.rr,orr-
ces,
el. silogismo
es vlido.
El
manejo
que
se
da
de
Ios
trminos
de
losenunciados
es
mediante una interprtaci., como
trminor
d.
cl"s.r;
la
siguiente
tabla
muestra
Ia
interprtacin
de Boole:
A:
Todo
X
es Y
E:
Ningn
X
es Y
I:
Algn
X
es Y
O:
Algn
X no
es
Y
x(1-y)=Q
{r=
0
xy
+0
x(1-v)+o
en
donde.la
expresin.'(1
-
cy)' representa
el complemento
de la
clase
,o,.
As,.Ia
primera
expresin
se
puede
interpretar
como
que
es vaca
la
inter-
seccin
de la
clase
de
las
x
y
el complemento
de l
dase
de las
y;
la
lggulrdl
expresin
seala
que
es
vac
la
interseccin
de
la
ilase
de'las
X y
la
clase.
de las
Y;
la
tercira
expresin
seala
que
no
",
,oriio-l^1n
rr-
seccin de
la
clase de
las
X
y
la
lase
de
las
y
y,
finalmente, la
cuarta
expresin
seala que
no
es
uaca
la
intersecci'de
la clase
e las
x y
el
complemento
de
Ia
clase
de
las
y.
.
9r
siguientes
ejemplos
de silogismos
vridos
muestran,
de manera
intuitiva,
cmo
se
podran.emplear
las
ecuaciones
(y
las
desgualdades,
junto
con
razonamiento
alge6raico
t
p,,ra
obtener'ias
.o".liti"".,
d-
seadas:
Todo
C
es D
Todo
B
es C
Primera
figura
(bArbArA):
c(1-d)-O.'.
c=O
v 1-d=O
b(1-c)=O.'.
b=O
v 1-c=O
pero
o
bien
c=O
1-d=O:
si
c=O,
entonces
1-c*O,
...
b=O
v
b(1-d)
=O
si
1-d=O,
enronces
b(1_d)=O
.'. en
ambos
casos,
b(1
-
d)
=
O
esto
es: Todo
B
es D
rodo
B
es
c
b(l
-
c)=
o
T*;:t
tiT.(3ffo'o)'
Algn
D
no
es
C d(1-c)
+
O
... 1
-cfO,
d*O
y
b=O
.'.
Algn
D
no
es
B
pues
d(1-b)
*O,yaque d(1-
b)=d(t
_O)=d+O
,
Primera
figura
(dArII):
c(1-b)-O
.'.
c=O
v
1-b=O
d.+O.'.
c*O,
d+Oy
1-b=O...
b=1*O
.'.
Algn
D
es
B
pues db =
d
*O
Todo
C
es
B
Algn
D
es
C
60
6L
HISToRIA
DE tA
LGIcA
Las
lneas
anteriores hacen
claro
que
mediante
los
manejos
algebrai-
cos de
Boole
no
slo se
puede
validar
un argumento
de
form
silo[stica,
sino
que
tambin se
puede
obtener
una
conclusin
vlida
si slo
temos
a
la
mano
las dos premisas
del silogismo.
Sin
embargo,
no
es
posible
validar
el silogismo
aristotlico
de
la
ter-
cera figura
(dArAptI),
pues
Slo
si
cf
O,
entonces:
TodoCesB
c(1-b)=O.'.
c=Ov
L-b=O
/
b=l
Todo
C es D
c(1-d)-O
.'.
c=O
v 1-d=
O
/
d=l
.'.
Algn
D
es B
db*O
... bd=1x1*O
Aqu
nos
enfrentamos
a una
interpretacin
de los
enunciados
uni-
ver,qales
que
no les
confiere contenido
o carga existencial.
Expresar,
como
lo hace
Boole,
que
un enunciado
universl
afirmativo
(A),
,Todo
B
es
C',
es algebraicamente
representable
como b(1
-
c)
=
0 o
que
uno uni-
versal negativo
(E),'Ningtin
B es
C',
es
representable
como
bc=0,
es
expresar que
la
interseccin
de dos
clases
es vacla
o
que
no
existen
indi-
uiduos
quetengan,
conjuntamente,
laspropiedades
by 1-c
o
bien
by
c, respectivamente..Pero,
de esto
zo
se
puede
inferir que
hay individuos
que
sean
c
o
miembros de
la
clase
c.
Conforme
a esta interpretacin,
que
es
la que
se adgpta
en la
lgica
contempornea,
el que
hemos
presentado
como cuadro
de oposicin
iris-
totlico
(cf.
supra,
p.
50),
pierde
las
aristas larerales,
esto
es,
si los
enun-
ciados
universales;
A
y
E,
no tienen
contenido
existencial, pero
s
lo
tie-
nen
-los-
enunciados particulares,
I,
0
pues,
en
la
versin
lgebraica
de
Boole,
la representacin
de
estos
enunciados
es mediante
una
desigual-
da_d
que
seala
que
no es
uaca la
interseccin
de dos
clases,
"rto.i,
1I
'Algunos B
son
C',
que
se
representa
iomo
bc+0
y
(O)
'Algunos
Bno
son
C',
que
se
representa
como
b(1.
-
c)
*0,
entonces
de
la
verdad
de
los
enunciados
universales zo
se sigue
la
verdad
de los particulares
corres-
pondientes,
esto
es,
desaparece
la relacin
de
subalteinacin.
pero,
ade-
ms,
si
la
clase
b es
vaca, entonces
es
verdadero
tanto
que
b(1-c) =0
como
que
bc
=
0,
y
ser
falso
tanto
que b(1
-
0)f
0
como
que
bc
*0.
De
esto
se
sigue
que,
a diferencia
del
cuadro
de
oposicin
aristotlico,
ahora
podrn
ser uerdaderos
a
la uezlos
enunciados
universales,
A
y
E,
y
falsos
a la
uez los
enunciados particulares,
I y
O, por
lo
que ya
no habr
ms
enunciados
contrarios
ni enunciados
subcontrarios,
asi
como
tampoco
valdr la relacin
de
subalternacin.
El
cuadro,
as,
se ve reducido'a
sus
dos
grandes
diagonales,
esto es,
sigue
habiendo
enunciados
contradicto-
rios:
A y
O,
por
una
parte,
y
E e
I
por
la
otra:
-
7/23/2019 Historia de La Lgica. Robles J. a.
9/12
JOSE
A.
ROBTES
GARCfA
E
dc
i
dc
Io
En
la
segunda
mitad
del siglo xrx
hubo
una
gran
proliferacin
de
nombres
importantes
para
el desarrollo
de la lgic.
Poi
razones
obvias
de
espacio,
no
podemos
detenernos
a considerr
mnimamente
a
estos
|gi.cgs.
Un
pensador,
sin
embargo,
debe
mencionarse pues
con
l
surge
la lgica
en_su
versin
contemporZnea:
Gottlob Frege.
qu
sealaremos
algunas
de las
aportaciones
centrales
de este hombre qu
cre
la lgica
de
nuestros
das.
IV.
LA LGICA
DE
FREGE
Gottlob Frege
(1848-1,925),
desarrolla
un
primer
sistema
axiomtico,
ple-
namente
simbolizado,
consistente y
completo,
de
lgica
de 11.
ordtn,
an
antes
de
que
se tuvieran
las
herramientas
lgicas
aecuadas
para
lls-
v^ar a cabo la prueba
de la completud
de
un
sistema
deductivo
cuaiquiera.
99*o
es bien sabido,
el
trabajo
de Frege
qued,
por
un
tiempo,
fuera
del
cauce
principal del desarrollo
de
la
lg1ca
debido,
princip-almente,
a.su muy
rgico y
estorboso
sistema
de notacin.
Por
otra
parie,
el
inte-
rs
que
tuvo Russell por
su
obra,
con muchos
puntos
deiontacto
con
la
suya propia, y
la
difusin
que
de
ella hizo, la pusieron
en el
primer
plano
de la atencin
filosfico-m
atemtica
de la Eropa
de
los
primeros
aos de este
siglo
y
tal
atencn an
sigue fija
en su
labor
ahora
a
casi
setenta
aos
de
su
muerte.
,
El inters que
se tiene
por
la obra
de Frege
no
slo se
refiere
a
su
trabajo
tcnico matemtico,
sino
tambin, y
muy
especialmente,
a
sus
formulaciones
filosfico-matemricas
acerca
de
diverss
problemai
tanto
epistmicos
como
nticos
que
rebasan
el terreno
relacinado
con sola-
mente
los
fundamentos
de las matemticas.
Aqu
vale la
pena
mencionar
62
63
HISToRIA
DE tA
LGICA
su importante
discusin
de
la distincin
semntica
entre
sentido
y
refe'
renci
que,
a
partir de
la
atencin
que le prestaron Carnap
y
Church,
ha sido studida
con
cuidado
por
un sinnmero
de
filsofos
posteriores.
E/ Begriffsschrift
y
el origen
de
la
lgica contempornea
En 1,879,Frege
publica una breve
obra,
la
primera que
dedica
al
campo
de
la
lgica, u
Begriffsschrift
(1.879),
que
se convertir
en
la obra
que
mafca
e-i
comienzo de
la lgica
formal
contempornea.
En
ella,
como
ya lo
seal,
Frege
formula un
sistema
de
lgica
de
primer
orden
en el
qr. ru autor
intrduce
una
modificacin
radical
en el
anlisis de
las
pro-
posiciones,
ya que, en lugar
de analizarlas
como si
fueran
de
la forrna
iujeto-predicado,
propone verlas bajo
la
forma
de
funcin
y
argumento
y, adems, en
su escrito
las pruebas
se
llevan a cabo
de
una
manera estric-
iamente
formal. Hay
que
aadir
que
el
trabajo de
Frege tambin
se carac-
teriza
por
el
rigor en
l presentacin
de sus
dernostraciones,
que_ no,figura
en
obias posteriores
como
los
Principia
Matbematic
de
Russell
y
'hite-
head, por ejemplo.
La
preocupacin
de Frege
y
el
propsito de su trabajo
se,encuentran
claramnte
expresados
en
el 'Prefacio'
del
Begriffsschrift
Al
considerar
cul sea
la forma
mejor de establecer
la verdad
de
una
proposicin,
nos
dice
lo
siguiente:
Obviamente,
la manera
ms
confiable
de
llevar
a
cabo una
prueba
es seguir
I ilgir
pura;
sta es
una
forma
que,
al deiar
de
lado las caractersticas
particulares
de
los
sujetos, depende
tan
slo de
las leyes en
las
que
se
funda
todo
conocimiento.
Con-
forme
a
"sio,.tosottot
dividimos
en dos tipos
todas
las verdades
que
requieren
de
una
justificacin,
a saber,
aquellas
para
las
que la prueba
puede llevarse a cabo
de
manera
puramente lgica
y
aquellas
que
deben apoyarse
en
hechos de
la
expe-
riencia.
Ms
adelante
nos sigue diciendo:
Para
impedir que cualquier
cosa
intuitiva
penetrase
aqu
desapercibida,
tuve
que
poner
todo
mi
esfuerzo
en
mantener
la cadena
de
inferencias
libre
de
huecos...
y,
para superar
los obstculos
que le
impona el
lenguaje
natural,
nos
sigue
diciendo
que
eso
lo
...
llev a
la
idea de
la
presente ideografa
lBegriffsschriftl.
Su
primer
propsito
es,
pues,
proporcionarnos
la
prueba
ms
confiable
de
la validez de
una cadena
de
inferencias
y sealar toda
presuposicin
que intente colarse
desapercibida,
de tal
manera
que se
pueda investigar su origen.
Otra
virtud
que Frege
encuentra
en
su lenguaje
simblico
es
que,
Para
los
propsitos
ciintficos
para los
que
fue creado,
el
mismo
facilitar el
proies
de anlisis
y,
si
esio es asf
,
de ello se
seguir
una
mayor facilidad
-
7/23/2019 Historia de La Lgica. Robles J. a.
10/12
JOSE
A.
ROBTES GARCIA
para
descubrir
nuevas verdades,
esto es,
propiciar
un
mayor
avance
de
la
ciencia.
Frege
mismo
seala
la relacin que
su
nuevo lenguaje
puede
tener
con
el
lenguaje
universal
-la
characteristica
uniuersalis-
de
Leibniz,
aun
cuando considera
que
el
entusiasmo
de ste
fue
demasiado
y que,
por
esto, subestim
las
dificultades
a las
que
habra
de
enfrentarse
la tarea
de crear
un
lenguaje
as.
Si, ciertamente,
la
bsqueda
de
un
lenguaje
simple,
que
facilite
las
pruebas
lo acerca a
Leibniz,
la
idea
general
del mtodo
tiene claras remi-
niscencias
cartesianas de
las Reglas
para
la
conduccin
del
espritu.
Por
otra
parte
,
adems
de lo
que
anteriormente
he
sealado
con
res-
pecto
al sistema de
Frege, es
preciso
recordar
que,
en el
mismo,
se
puede
xpresar,
de manera clara,
la cuantificacin
mltiple.
El
sistema de
Frege
contiene,
como sus
conectivas
bsicas,
la
nega-
cin
y
el
condicional,
definido
a
la
manera de
Filn,
y
el
cuantificador
que
usa como
primitivo es el
universal.
Presento algunas expresiones
formales
en el simbolismo
de
Frege
junto
con su
traduccin al simbolismo
de
Peano:
F-----f-
A
,B
expresa,
segn
lo
seala
Frege,
el
juicio
de
que
no
sucede
que
A se
niegue y B se
afirme
(esto
es,
que
no
es el
caso
que
B
sea verdadera
y
A
falsa).
l-lsr=l-
A
(o)
L-
9-
B
(o,
e)
En
la notacin de
Peano,
la expresin
anterior de
Frege se
convierte
en el
condicional
(B:A).
Frege
Peano
(B)
-A)
(x) ((y)
B(x,y):Ax)
(x)
((gy)
-B(x,y))Ax)
F- r=r
A
lg
F1qr-r
A
(o)
LrLe-J-
B
(o,
e)
En
el sistema
de
Frege
(usando
la notacin de
Peano) figuran,
junto
con
la regla de
derivacin
modus
ponens:
e)1,
=
.\/
los siguientes
nueve
axiomas
que
cubren
tanto
los
clculos
proposicio-
nal
y de predicados,
as
como
la
teora
de la identidad:
1.
(e>
W>d)
2.
((x=
ll,,>e))
>
((x>)
)
(x)p)))
8.
((x>
llDe))
)
()
(x>p)))
64
65
28.
((>d
>
(-e>
-))
s2.
((a
=
b)
>
(f(a)
r
f(b)))
HISTORIA
DE I.A
IGICA
31.
(e>
-
-d)
41..
(-
-p)e)
54.
(a=a)
58.
(x)f(x)
f(y)
La
numeracin
que
aqu aparece
es la que
usa
Frege
en
su escrito.
. f..gq,
con_su Begriffsschrift
unifica lo que
autores
anreriores,
a
par-
tir
de
Aristteles
haban propuesto
por
separado, la
lgica
de enuncia-
dos y
la
lgica
de trminos;
por
otra
partc,
introduce
ua
teora
general
de
la
cuantificacin
que resuelve muchos
problemas
a
los
que
seiaban
enfrentado
los lgicos
medievales
y,
junro
Con las
otras
aporticiones sea-
ladas
con
anterioridad,
da
nacimiento
a la
lgica
contmpornea.
Des-
pus
de 1, se
intensifica
la investigacin
en
la
ieora lgicy
se
diversifi-
9q
l-os
sistemas lgicos que
toman como punro
de partida
la'lgicaclsica
bivaluada,
que
Frege genera
con
su
trabajo.
_
Aqu
tan'slo
apunto el
bien conocido
inters de Frege
por
fundar
la
matemtica
en la lgica,
aspiracin que
con
l
comparie
Russell.
Lamentablemente,
en 1903, Frege publica
el
volumen II de
sus
Grundge,
setze
der
Arithmetik
al
que
aade
un
Postscriptum
en el
que
anunciila
paradoja,
descubierta por
Russell, que
surge
de sus sistemas,
a saber,
la
paradoja
de
bs
clases
que
no son
miembros
de s
mismas,
lo
que
le
produce
un
profundo
pesar,
ya
que
la misma muestra
que
su
trabajo
no
se
puede
proponer
como
una fundamentacin
adecuada
de la
matem-
tica.
No es
posible,
sin
embargo,
que
aqu
ampliemos
estas
breves
obser-
vaciones,
ya
que
las
mismas
rebasan
propiamente
el
campo
de la
lgica
elemental que
es el
tema
que
nos ocupa.
Finalmente,
menciono
que
Frege mismo y
otros
pensadores,
entre
ellos
Boole y Peirce,
proponen
la
idea de
una matriz d
evaluacin
para
los
enunciados
del clculo
proposicional
y,
ms
adelante,
la
idea l
elabo-
ran
con
mayor
precisin Lukasiewicz,
Post
y
Tittgenstein.
V. DESPUS
DE
FREGE
1,.
Russell, Whitehead
y
/os
Principia
Mathematica
La obra
monumental
de Russell y
lhitehead
,
Principia
Mathematica,
cuyos
tres volmenes
se
publicaron,
respectivamente,
en
los
aos
19L0,
191,2 y
1913,
puede
verse
como
la
conclusin de
una
de las propuestas
centrales
de Frege
en
su
labor
en
fundamentos
de la
matemtic, mos-
trar
que
la
matemtica
puede
fundarse
en
la
lgica. Russell y
Thitehead
intentan
evitar
la paradoja
en
el sistema
de Frege y
llevar a cabo la
tarea
de-mostrar
que
es posible
derivar
toda
la
matemtica
de la
lgica. Rus-
sell,
para
enfrentarse ala paradoja
mencionada,
desarrolla
su
teora
de
los
tipos
lgicos.
Sin
embargo,
Io
que
Russell
roma como el
fundamento
lgico,
primeramente,
va
ms
all
de lo
que
es la lgica
elemental
o
lgica
de
primer
orden
y, por
otra
parte,
KuriGdel
mostr
que
es
impoiible
dcrivar toda la
matemtica de
una
base
axiomtica.
-
7/23/2019 Historia de La Lgica. Robles J. a.
11/12
IOSE
A.
ROBTES
GARCiA
2.
Kurt
Gdel
En
el
ao
de
1930,
un
joven
austriaco,-Kurt
Gdel
(1',9,06-t,978)'de
24
,.,..r..r.r,ra.
como
disertacin
doctoral
(que
luego
publtcara),
la
demos-
;;;;16;,
sobr
un
coniunto
de
axiomas
de
lgica
elemental'
de
que
a
par-
ii,
.
.r.
coniunto
es
posible
derivar
todaJ(completud)
y
slo
(-correc-
cin)
las verdades
leilas.
Esto
pareca
apoyar
l
propuesta
de
Hilbert
H;#il;;;i;-."rr':;;;".*
'
i"
*'t'-iicas'
puei
de
la
correccin
del
sistema
se
sigue
#;;;b"
st"o"'isttncia'
pero
el
mismo
Gdel'
un
ao
despus,
en
1931,
muestra
que
una
axio"'aiiz'cin
lo suficiente-
mente
fuerte.o*o
pr., ii*,
d.
elia
1a
aritmtica
elemental
de
los.nme-
;;;;;;;s,
ri
l
misma
es
consistente,
entonces
ser
esencialmente
i"."",piirui,
.r,o
.t;h;bt
*.tdades
mtemticas
-que
no
ser
posible
obtener
como
teoremri,-.ti
.t,
lo
que muestra
Gdel
s
que
no'son
equi-
valentes
las
nociones
J
t..ar
maiemtica
y la.de.teorela
9
ie1'
lue
;;h;;;;
.riurl.rr.iu
entre
los
aspectos
semntico
y-
sintctico
de
la
'"riiliaiii.
Hi[6;del
demuestia
que
ser
imposible
demostrar
la
consistencia
de
ese
sistema.
3.
La
lgica
y
los
fundamentos
de la
matemtica
Parafnalizarestabrevevisinhistricadelalgica,va|elapenasealar
ir';;;;;i#;"
t,
Jir.iptina
ocupa
dentro
de
las diferenres
doctrinas
que
se
propusieron
para
$;;;;t;de
los
fundamentos
de
la matemtica'
Llneas
atrs
se
d;it;i.rs
de
Frege,
que
Russell
comparte,
de
mostrar
que la
matemtica
se
funda
directamnte
en
Ia
to8191,o,gmanera
q"]r?t-pt..iru,
qri.
,o
h'y
ttittg"t'
diferencia
esencial
entre
lgica
v matemtica.
ya
que
sta
es una
contlnuacin
de
la.
primera'
Aqu
es
-p.,"*
selar'la
visin
ontolgica
de
esta
posicin::::::':'
t""
el
nombre
de
logickmo,
iu
*'t"*iitu
tt
un
estudio
descriptivo
de
una
;;li.;*tp"iir"-t.l
p1
t
g
q."..to
enunciado
s
m atemtico
s
deben
;;;;;;Jrd;ro's
Je
dich
iealida.
As
pues,la
matemtica
es
una cofr-
iitu".i"
de
la
lgica
que
se
funda
en
un
coniun"to
verda.dero
d:11tomas'
'-^";;
;;;ru.t
dif:;;rt.
;
i;
logicista
esla
formalisra'.
enunciada
por
Dr;jit"#';rf.;;;.llr,
r."*unriene
una
visin
similar
a
la
logi-
cista
en
tanto
que
""-;;;;;t"Ctiu
q"
haya
urra
diferencia
esencial
entre
lsica v matemtica,
ir.t tlo
qur-
io
se
mantiene
una
posicin
reduccio-
"ii,
ia
matemtica
con
respecto
a
la
lgica,
sino
que se
propone
que
,*ut
se
desarrollen
conjuntamente
a
fin
de
mostrar
que
el slstema
con-
iunro
esr
libre
de
.on,-r-rA.n.
eqr
se
deian
de
lado
los
aspectos
semn-
iil;;;;d;J.
for
,"i"*"r
y.i criterio
bsico
de
correccin
es
uno
sintctico,
esto
es,
d;;;i,;ibie
d.rivrr
en
el
sistema
tanto
una
fr-
mula,
9,
como
su
.o"itrp".t
sintctica,
-
.p'
Que
se
interpretarla
como
la
negacin de 9.
Hilbert
propuso un programa
que
procediera
de
menera gradual
(el
e
rr;)li
"
ir'
lliiri-
pi,
?.*or,i"r
ia
consistenci
a
de
l
matemtica
66
67
HtsfoRtA
DE tA
tGtcA
pero,
segn lo
seal lneas
atrs,
su cumplimiento
se ve frustrado
con
la
demostracin
de Gdel
de que
esto
eslmposible.
Finalmente,
la posicin
intuicionista,
cuyo piincipal
defensor
fuera
Luit-
zen Egbertus
Jan
Brouwer
(1881-1967),
considera
que
lalgica
surge
de
un
proceso
rle
abstracci
que
se
lleva
a
cabo en
basi
a cierta-s
regula"rida-
des que
se observan
en
el
prpceso
mismo
de
desarrollar
la
malemtica.
As, lgica
y
matemrica
son dos
disciplinas
que
claramente
se
distinguen
i.lfg
de.la perspectiva
intuicionista.
Aqu
eJimportante
hacer
notar
que
lalgica
intuicionista
se desvja
de la
lgica
clsica
en
tanto que
aquila
no
acepta)
como
una verdad
lgica,
el
principio
r-
(p)
-
-,p)-de
la
lgica
clsica.
4.
Otras
lgicas
Segn
lo seal
con respecto
alalgica
intuicionista,
sta
se
separa
de
la lgica
clsica
al no
aceprar
todas ls
tesis que
figuran
en sra.
o,
otm
pafte,
tambin
se distingue
de
la
lgica
clsica
en
tanto
qve
acepta
tres
valores
de
verdad,
en
lugar
de
los
dos nicos
valores,
caricterstlicos
de
la
tradicin
clsica.
De
esta manera,
tenemos
un aumento
en
valores
de
verdad y.esto
es
algo
que Lukasiewicz
elabora,
a
partir
de'1,9L7,
esto
es,
ua
lgica
mu_ltiualuada
y,
de esta manera,
se
abre
la
posibilidad
de
ampliar
y
generalizar-el
estudio
de
estas lgicas
hasta
llegar
a
sugerir
el
estudio
de lgicas
infinitamente
valuadas.-
En 1918,
C.
I. Lewis
introduce
una nocin
de implicacin
ms
fuerte
gu1l.a
material,
la
implicacin
estricta,
relacionadicon
la implicacin
de
Diodoro,
segn
se seal
en su momento
y,
con
ello,
presenia
un sis-
tema
de lgica
_modaf
que
ampla
el repertorio
de
la
lgica clsica.
Por
el ao
de 1956
Gregorio
Klimovski
y,
ms
adelant,
Hctor
Neri
Castaeda,
Carlos
Alchourrn
y
Andrs
Raggio
comienzan,
en
Amrica
[.atina,
a hacer
uso
de
lalgica
de manera
irativa,
en el caso
de
la
teo-
ra
de
los
conjuntos,
el
primero,
en el caso
de lgica
dentica,
Castaeda
y
Alchourrn
y
en el estudio
de funciones
recurJivas y pruebas
construc-tivas
el ltimo.
_
En 1.963,
Newton
C. A.
da Cosra
crea
un nuevo
sisrema
de
lgica,
denominado
actualmente
lgica
paraconsistente,
que
ha
despertado
el inte-
rs
de muchos
lgicos
contemporneos.
En
estos
avances
de
la lgica,
post
Principia
Mathematica,
se
puede
lrircer
la distincin
sealada pbr
suian Haack
entre lgicas
qu
son
riva-
lcs
o las que
son ampliacions
de
la lgica
clsica.
El lector'e
nconttar)
ctr lrs
otras
selecciones
de
este
volume,
material que
le
permitir
preci-
snr
y
ampliar
las brevesnotas
que
figuran
en esta
historia
mnima
de la
I t1ica.
Antes
de
terminar y
sabiendo
de antemano que
no
es
posible
dar
una
crrurneracin
mlnimamente
satisfadoria
de los
estudiosoi
a.
r,
iJji."
."
rruestros palses,
me
atrevo
a
mencionar
a
algunas
de las
figuras
dstaca-
rlts
ir
lrs que
no
he
aludido anteriormentel
-
7/23/2019 Historia de La Lgica. Robles J. a.
12/12
JOSE
A.
ROBTES
GARCfA
Me
referir
aqu
a
vicente
Ferreira
da silva
como
el
primer
autor
de
un
lib.o
e
lgica
moderna
editado
en
Latinoamtica,Elementos
de
lgica
-rir*alii
t
p".rlo,
1"940)
y
a
Francisco
Mir
Quesa.t4
como
el
ini
;i;;;
d.
los estudios
e 1gic
simblica
en
el
Per
y
en
lberoamrica,
con
la
publicacin
de
su
Lgica
(L946)'
E;
i4*i.o,
Javier
SnchzPozosha
realzado
trabajos
iqPortantes
en
lsicas
no
csicas,
especialmente
en
lgicas
relevantes;
Adolfo
Gar-
.i,
1,
Si.nra
ha
hecho
aplicaciones de
Ia
lgica
a teoras
econmicas
,
nrJf
iryen,
adems
de edicarse
atrabaiar
en
la
enseanza
y la inves-
i;g*ir
.
tOgi.,
ha
publicado
un
importante
libro
de teora
lgica.
-''-f,,
rprna"es
posibie
mencionar
nombres
destacados
del
pasado
inme-
dir;
t;
pr.r.ri.
que dedican
su
atencin
a
esta
disciplina;
entre
ellos
.rij"
er.,io
Deao
(t),
Jestis
Mostern,
Manuel
Sacristn,
Lorenzo
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tambin
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su
trabajo
en
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