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La historia que vivieron los matemticos por Isabel Ortega

La falta de dudas lleva al hombre a una falta de

curiosidad y entonces no existe la inquietud. Luego,

no hay matemtica.

Leopoldo Varela

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A mis hijas Fernanda y Ana Ins

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Introduccin

La historia de los matemticos parece desarrollarse al margen de la vida de todos los

das porque no tienen que tomar partido por alguna versin de los hechos, como el

historiador, ni tienen que apreciar las tendencias de las pocas, como el literato, ni siquiera

tiene que vrselas con la realidad fsica, como el gegrafo. Tampoco necesitan aprender otras

lenguas porque una demostracin puede ser comprendida por cualquier colega mientras est

escrita con las notaciones convencionalmente admitidas y, si quiere cambiarlas, bastar que lo

aclare para que el lector acomode su forma de pensamiento y siga adelante con los nuevos

cdigos sin que ello sea un impedimento para entender de qu se trata y hasta para construir

nuevas conclusiones derivadas de ese trabajo. Como esta comunicacin se da aunque los dos

matemticos no se conozcan personalmente, aunque uno sea argentino y el otro francs y

aunque no sean contemporneos, el trabajo tiene la apariencia de estar aislado del contexto

social que lo gener.

La mayora de la gente no acierta a determinar con qu trabaja concretamente el

matemtico a menos que sea con la regla y el comps. Como no tiene laboratorio como el

fsico, ni hace excursiones como el antroplogo, al matemtico se lo asocia con los

razonamientos lgicos que hace y se lo rodea con una fantasa en la que "el demostrador de

teoremas" aparece aislado en su lugar de trabajo, pensando en cosas abstractas y difciles y,

fundamentalmente, aislado de lo que pas, de lo que pasa y de lo que pasar. Y los

matemticos refuerzan esa idea cuando afirman que crean entes arbitrarios, que establecen

definiciones convencionales y que los smbolos los eligen mediante acuerdos, con lo que todo

parece un trabajo de unos pocos elegidos, que obtienen aisladamente conclusiones que

despus se intercambian pero slo pueden ser entendidas por otros matemticos,

conclusiones que luego ser n usadas por toda la gente (aunque no las comprendan) por

aquello de que "las matemticas gobiernan al mundo".

Ms an, a veces desarrollan teoras cuyos principios contradicen abiertamente

nuestros sentidos (por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas en el plano) y

tampoco as dejan de ser vlidas. Estas particularidades dan la impresin de que las

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producciones matemticas son independientes del desarrollo histrico-social y que los

matemticos, que afirman su desinters por las aplicaciones prcticas estn ms all de las

influencias del momento histrico que les toca vivir.

Esta es una visin parcial del problema que no repara en que los matemticos son

seres humanos y que sus producciones deben estar inspiradas fuertemente en la realidad para

que sean las que, en ltima instancia, resuelvan el problema del ingeniero, del mdico y hasta

del almacenero. Justamente por esa omnipotencia que tiene la matemtica en el quehacer

humano es que sus creadores necesariamente deben ser gente comprometida con las cosas de

todos los das. Apelar a la historia de la matemtica para encontrar nexos entre lo social y lo

matemtico.

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Breve historia de la matemtica

Lo que sigue pretende ser una visin de la evolucin del pensamiento matemtico a travs de

los siglos con vistas a mostrar la manera en que los hechos han influido a los matemticos

que, a su vez, han respondido interpretndolos desde su manera de ver las cosas. Los

descubrimientos ( o inventos ) matemticos resultan ser un reflejo del pensamiento del

hombre en su evolucin, de modo que la historia influye a los matemticos ofrecindole

nuevos problemas o condicionando su accionar y ellos, con sus respuestas, van mostrando los

avances en el pensamiento humano, en la manera que el hombre tiene de procesar la

realidad.

La historia de la matemtica tiene perodos en los que una idea totalmente innovadora toma

cuerpo a travs de las creencias de los matemticos y modifica los cimientos mismos de la

ciencia. Su filosofa cambia no porque niegue lo anterior sino porque ampla de tal forma lo

que se considerada terminado que da comienzo a una "nueva matemtica". No se trata, como

podra pensarse, que las nuevas conclusiones demuestran algn error en lo anterior sino que

la nueva teora toma a la anterior como caso particular. Dar un ejemplo: en el juego del ta-

te-ti no hay contradicciones, se lo puede jugar porque sus principios y reglas son lgicamente

coherentes. Pero cuando, en vez de nueve casilleros, usamos veinticinco, es decir, jugamos al

ta-te-ti-to-tu, no contradecimos al viejo y querido ta-te-ti, ni siquiera estamos probando que

es contradictorio, lo que hacemos es trabajar en una dimensin ms amplia y ambos juegos

coexisten, uno como caso particular del otro. Esto es lo que pasa con la matemtica. Como

confiamos en que sus conclusiones son "exactas" ( dos ms dos son siempre cuatro ) es fcil

creer que se trata de algo terminado, quin va a sospechar que el teorema de Pitgoras no

dice todo lo que tiene que decir? Pero la evolucin de la matemtica no tiene el sentido de

aproximarse ms y ms a la realidad como lo hace la ciencia natural sino que, recrea las ideas

y las ampla con cada descubrimiento. Cuando se descubri que la Tierra gira al rededor del

Sol, hubo que abandonar la idea de que la tierra era el centro. En matemtica, en cambio, la

demostracin del teorema de Pitgoras asegura la validez total de la propiedad enunciada para

cualquier tringulo rectngulo, y un gran salto de imaginacin puede llevar a plantear un

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teorema anlogo en tres, cuatro, cinco dimensiones del espacio sin que se contradiga lo ya

demostrado.

Por eso la historia de la matemtica tiene momentos especiales donde se logra un grado de

abstraccin que rompe con todos los lmites que en la mente de los hombres se tenan por

inamovibles, y tambin tiene perodos de gestacin y de consolidacin de esos momentos.

El pensamiento matemtico primitivo

El primer matemtico fue seguramente un pastor genial que obligado a saber si su rebao,

tras ir al pastoreo y volver, tena la misma cantidad de animales, ide un sistema con el que a

cada animal le haca corresponder una piedrita y as se aseguraba de tener tantas piedras

como animales. Mientras conservaba las piedras en bolsillo poda establecer una

correspondencia que le permita saber si tena todos sus animales.

Una economa agrcola, aunque rudimentaria, necesita datos numricos sobre las estaciones y

as se inici la confeccin de los calendarios. Las cuestiones de la cronologa, el paso del

tiempo, dio lugar a la astronoma. Pero la geometra no exista porque mientras las

comunidades fuesen nmades no necesitaban medir terrenos ni construir edificios. A medida

que evolucionaban estas comunidades tuvieron que hacer frente a problemas de clculo que

tenan que ver con sus rudimentarios intercambios comerciales.

Los pueblos antiguos

En Sumer los recursos necesarios para la organizacin econmica se acumularon en los

templos y fueron administrados por los sacerdotes. Estos administradores no estaban aislados

sino que constituan corporaciones permanentes. Por su parte los templos tampoco eran entes

aislados porque las deidades generalmente no eran exclusivas de una ciudad as que

posiblemente los sacerdotes, parecido a lo que sucedi con los clrigos medievales tenan una

influencia que no estaba limitada a una ciudad sino que se extenda a todo el territorio. Esta

soberana de las mismas deidades sobre todo el territorio seguramente fue el factor que

determin la correlacin teolgico-poltica de la uniformidad de la cultura material en la regin

de Sumer y que luego hered toda Babilonia.

Los templos en Sumer tenan grandes propiedades de terreno, animales y enormes

rentas que aumentaban constantemente empleando las riquezas para ayudar a los adeptos

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con prstamos que, por supuesto, eran devueltos incrementados. Los sacerdotes eran los

encargados de administrar estos bienes con la consigna de protegerlos y hacerlos crecer

dando cuenta a su divino seor del enriquecimiento logrado. Nunca antes la humanidad haba

tenido entre manos riquezas semejantes concentradas bajo un poder unitario y los sacerdotes

tuvieron que enfrentar el problema de dar cuentas de ella a su dios. Obviamente ya no podan

confiar en su memoria para guardar celosamente tanto detalle, tenan que tener en cuenta

que su vida iba a terminar pero no as la de la empresa y la del dios al que servan, y que

adems cualquier otro sacerdote tena que estar al tanto de las transacciones para cuando

llegara el momento de cobrar las deudas que seguiran vigentes an despus de que el

sacerdote muriera. Para registrar los tributos del dios y sus transacciones ya no se poda

confiar en los artificios mnemotcnicos, como nudos en el pauelo, que no resolvan el

problema. El ministro de dios tena a su cargo el registro de cuntas vasijas de granos, de qu

calidad y a quin se las haba dado como anticipo. Cosas por el estilo deban estar a

disposicin de todos los sacerdotes para que estuviera garantizado el cumplimiento de los

compromisos. As las cuentas del templo dieron origen a la escritura como sistema

socialmente reconocido de registro que al principio fue solamente un sistema de anotacin

numrica.

Los documentos ms primitivos sobre matemtica son de los babilonios y de los

egipcios. No quiere decir que sean los nicos pueblos que tenan conocimientos de matemtica

pero s fueron los nicos que dejaron escritos matemticos que llegaron a nuestros das. Los

babilonios, por ejemplo, y en general todos los pueblos que se ubicaron en la Mesopotamia,

tenan el sistema de escritura sobre tablillas de barro cocido, lo que hizo que perduraran hasta

nuestros das. Los egipcios escriban sobre piedra y papiro. Tales papiros fueron utilizados

para rellenar algunas momias, ha permitido que esos documentos llegaran a nuestros das. El

papiro ms antiguo que ha llegado hasta nosotros es el llamado Papiro Rhind.

Otros pueblos, como los indes por ejemplo, escribieron sobre bamb ha hecho que

desapareciera la documentacin por lo que no se tiene constancia de sus conocimientos a

cerca de la matemtica.

El primer pueblo que habit la Mesopotamia fue el sumerio cuya civilizacin apareci

all en el quinto milenio a c y termin en el tercer milenio a c que es el momento en que ellos

introdujeron el sistema sexagesimal, sistema que ha perdurado a travs de los siglos y ha

llegado a nuestros das.

Al rededor del tercer milenio a c los acadios fueron los antecesores de la cultura

babilnica. Aproximadamente en el siglo XIV a c vivieron los asirios que luego tuvieron

importancia en matemtica, importancia que culmina con la creacin de la Biblioteca de Nnive

en el siglo VII a c. La traduccin de las tablillas, que comenz en el siglo pasado demostr que

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tenan una cultura matemtica importante y en algunos casos hasta sorprendente. Se han

encontrado depsitos de tablillas, aparentemente en bibliotecas, e inclusive una de las

colecciones perteneca a una escuela en la que se dictaban distintas materias y esas tablillas

bien podran ser textos que utilizaban para la enseanza de la matemtica. En las tablillas se

nota un inters didctico en el desarrollo. En ellas se encontraron tablas de suma, de

multiplicar, de dividir, tablas de cuadrados y races cuadradas, de cubos y races cbicas y

hasta sumas de cuadrados y cubos de un mismo nmero. Esto ltimo lo hacan porque les

permita resolver algunos casos especiales de ecuaciones cbicas y sistemas de ecuaciones

lineales a veces con 5 o ms incgnitas. Esto tiene mucha importancia porque en occidente

aparecen en el 1500 y estamos hablando de varios miles de aos antes de Cristo. Comparando

con lo que saban en Europa en el 1400, los babilonios saban ms de matemtica.

Seguramente no saban ms que los griegos de la poca de oro porque Europa olvid el

trabajo de los griegos durante muchos siglos. En las tablillas aparecen tambin resoluciones

de problemas de progresiones aritmticas y geomtricas, regla de tres, inters simple y

compuesto. Por ejemplo: Cunto tiempo deber estar depositado un capital a una tasa dada

para que se duplique? Los intereses que oscilaban entre el 20% y 30% segn el prstamo se

devolviera en dinero o productos y hay intereses anuales y semestrales. En geometra

calculaban reas de rectngulos, tringulos, trapecios y posiblemente conocan el rea del

crculo.

Los egipcios hicieron de la matemtica una forma eficaz de resolver problemas

prcticos. Las inundaciones peridicas del Nilo los obligaba a dominar mtodos de determinar,

temporada a temporada, la divisin de las tierras. En el Papiro Rhind, el documento egipcio

ms antiguo que trata de matemtica, es una coleccin de unos 85 problemas sobre

fracciones, ecuaciones simples, progresiones, medicin de reas y de volmenes. Las

matemticas de los egipcios eran sobre todo primitivas y complicadas. En el papiro Rhind se

observan sus procedimiento de clculo engorrosos y tambin la tenacidad que ponan al

resolverlos, pero en ningn caso muestran una imaginacin notable ni inters alguno por las

generalizaciones. Estos hombres fundamentalmente prcticos y nada inclinados al logro

cientfico consiguieron de todos modos escribir un papiro all por el 1700 a c plantear y

resolver una coleccin de problemas que un contemporneo nuestro de cultura media tendra

dificultades para resolver.

A pesar del avance en el clculo y la resolucin de problemas, toda esta elaborada

herencia de los pueblos antiguos, no pasa de ser una coleccin de recetas sin intensin alguna

de sistematizacin cientficai.

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El milagro griego

Los griegos fueron los inventores de la ciencia. Aunque no hay acuerdo entre los

historiadores sobre la importancia relativa de cada uno de los aportes que recibieron los

griegos, ninguno duda en referirse al "milagro griego" al considerar la obra sistemtica sobre

la base de los conocimientos heredados de Egipto y Oriente. Los griegos eran dados a los

viajes y algunos fueron criados por magos encargados de su instruccin. El milagro griego

consisti en ese salto que dieron entre la tcnica utilitaria que recibieron y la matemtica

cientfica sistematizada, que nos entregaron. Ellos consiguieron que el pensamiento humano

obtuviera el primer grado de abstraccin matemtica.

Los pueblos antiguos calcularon reas de tringulos pero los griegos generalizaron esos

clculos para "cualquier" tringulo, aunque sea el determinado por tres estrellas, o an los que

todava no se han dibujado nunca; se ocuparon de definir los entes geomtricos con conceptos

puramente abstractos y de usar exclusivamente la lgica para obtener las conclusiones lo cual

garantiz la validez general de las demostraciones. Pero ms an, Euclides, en Los Elementos,

se ocup de encontrar la mnima cantidad de principios necesarios y suficientes para definir

toda su geometra en forma coherente.

Sera interesante estudiar a travs de las obras griegas este paso del hombre de la

experiencia a la sistematizacin lgica pero han quedado muy pocos documentos, se ha

perdido la mayora de los textos y algunos los conocemos slo por citas o referencias.

Las nociones matemticas son, para los griegos, puras abstracciones. Las figuras o los

nmeros son ideas que existen slo en el pensamiento y el dibujo es slo una imperfecta

representacin. Valoran extremadamente la simplicidad y la armona de las ideas. La recta y la

circunferencia son para ellos las lneas perfectas. Pero lo ms notable, lo que inaugura una

etapa en la concepcin matemtica es que todas las conclusiones son seguidas de una

escrupulosa demostracin lgica.

La ciencia griega debe mucho al ideal de la armona y belleza del genio griego. Sus

geniales ideas, su preferencia por la ciencia terica y sin aplicacin y su rigor pero tambin sus

maneras artificiales de exponer las cosas, su restringido campo de estudio y el prejuicio por el

infinito que desacredit a los procedimientos de Arqumedes y obstruy los de Pitgoras,

creando un lmite artificial para el desarrollo de la matemtica que slo seguir su desarrollo

despus de muchos siglos.

Los griegos valoraron el orden, la claridad, el rigor, pero se volvieron esclavos de ellos

y esto los cerr caminos que podran haber sido fecundos. As y todo el paso dado es tan

monumental que se ha dicho que slo "Los Elementos" de Euclides hubiera bastado para

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asegurar la gloria de esa cultura. Los pueblos de esa poca tenan esclavos y si bien es cierto

que entre los griegos la esclavitud era ms tenue, de todos modos se reservaba a los esclavos

toda la actividad manual y artesanal. El concepto que los griegos tenan de los esclavos se

nota en Aristteles cuando analizaba las necesidades de los esclavos y deca que son las que

impiden que muera y deje de producir. Lo cierto es que todo esto influy para que la filosofa

de la matemtica tuviera un acentuado valor negativo por las aplicaciones prcticas de la

matemtica y hasta se puede decir, sin exagerar, que en la escuela platnica hay una

verdadera repugnancia por todo lo que fuera instrumental y operat ivo. A esta tradicin se

debe an en nuestros das la resistencia de algunos profesores de matemtica para vincular

esta ciencia con las aplicaciones.

Los romanos, la Edad Media Cristiana y Musulmana, el Renacimiento

Los griegos haban dado el gran paso que le dio el carcter de ciencia a la matemtica.

Con sus principios generales y sus demostraciones lgicas haban conseguido el primer pase

de abstraccin del pensamiento matemtico. Para el segundo avance hubo que esperar ms

de diez siglos, a la poca de Descartes. Pero, qu sucedi en todo ese tiempo?

La decadencia empieza con la dominacin romana y, poco a poco, se va acentuando

hasta que desaparece totalmente la matemtica en la Edad Media. Los romanos, mezcla de

abogados y militares no se ocuparon de la ciencia porque su actitud no era contemplativa sino

prctica.

La Edad Media Cristiana, con su rigidez, no tiene dudas de que el mundo fue creado

para el hombre y el hombre para Dios. Esta falta de duda provoca la falta de curiosidad, de

inquietudes, imprescindible para el desarrollo de la ciencia. As no slo se desconoci a los

griegos sino que los matemticos saban menos que el escriba Ahms, autor del Papiro Rhind

del siglo -XVII.

De la geometra lo nico que queda en los libros de textos son los cinco postulados de

Euclides y el enunciado de unos pocos teoremas. La matemtica se refugia en los conventos

en donde, por la necesidad de determinar el Da de Pascuas se exige que haya siempre un

fraile capaz de calcular el calendario. Cuando Carlo Magno busca formar cierto centro cultural

invita a su corte al sabio ms distinguido de la poca que haba escrito un libro "dedicado al

cultivo del genio de los caballeros" cuyo contenido puede compararse a un manual de ingreso

a la escuela secundaria de nuestra poca.

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Pero en Oriente se produce una eclosin a travs de los hindes y de los rabes. El

pueblo hind no tena los prejuicios de los griegos as que se lanzaron a desarrollar la

aritmtica y el lgebra dejando de lado la geometra. Se preocuparon por la practicidad de las

conclusiones y no teman al infinito ii as que operaron en forma ms simple que los helenos

pues no se ocupaban tanto de la justificacin como de los resultados. Hicieron un

descubrimiento aparentemente modesto, el cero, que les dio la posibilidad de manejar un

sistema de numeracin posicional y hacer cuentas de modo diferente. iii

Esto, que parece slo un detalle hizo avanzar enormemente al clculo y la aritmtica

empez a perder la desventaja que en Grecia haba tenido con la Geometra.

Los musulmanes, que gozaban por entonces de gran poder, tuvieron el mrito de

sintetizar los descubrimientos de los sabios griegos y de los calculadores hindes. En la Alta

Edad Media tuvo lugar el pasaje de la ciencia del mundo rabe al cristiano. Los rabes crean

firmemente en lo que Mahoma predic. El Corn dice que conseguiran el paraso si moran en

el campo de batalla, pero tambin dice que es tan importante la sangre del guerrero que

muere en la guerra como la tinta con la que escribe el sabio. As, mostraron un profundo

respeto por la ciencia que les permiti trasvasar la cultura de los pueblos que conquistaban.

Dice la leyenda que un Califa despus de haber sometido a un pueblo, pidi como botn todos

los libros griegos que haba en la ciudad. A comienzos del siglo XI prcticamente no haba

matemticos en el Occidente cristiano y hasta los de la Espaa musulmana eran de escasa

importancia. Pero a comienzos del siglo XIII Occidente ya tena por lo menos un matemtico

original.

Los rabes fueron ciertamente los iniciadores del lgebra aportndole, para empezar,

su nombre. Se dedicaron a resolver problemas prcticos y quisieron obtener resultados

rpidos. A menudo descuidaron el rigor y comprendieron rpidamente que para tener xito no

es necesario tener siempre ante los ojos la significacin de los entes con los que se opera, es

decir que se manejaban cmodamente con los smbolos matemticos. Se comprende entonces

la dificultad de los griegos para recorrer el camino que llev a los rabes al desarrollo del

lgebra y el desprecio que sintieron por sus propios calculadores, como Diofanto, por

ejemplo. El lgebra de los rabes culmina su mxima perfeccin con Omar Khayyam en el

siglo XI. El hombre que inicia la matemtica occidental en el mundo cristiano es Fibonacci en

el siglo XII

Cuando el mundo cristiano, en los siglos XIV y XV, descubri esta nueva disciplina, no

tena la audacia de los rabes ni la de los hindes y no puedo desembarazarse de los

prejuicios tericos heredados de los griegos as que el perodo de maduracin continu.

El sello renacentista se advierte en la matemtica del siglo XVI: ese mundo de

transicin, de enriquecimiento a travs de la revalorizacin de los viejos saberes cientficos.

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Los grandes seores mantuvieron a artistas y cientficos en sus cortes, empezaron a

popularizarse las ciencias y toda la cultura. Las lenguas romances permitieron una mayor

comunicacin. Las ciudades tomaban partido por sus matemticos que enviaban, respaldados

por sumas de dinero, carteles de desafo pblico a los matemticos de otra ciudad. La ciencia

se preparaba para una nueva etapa.

La era cartesiana

Era necesario reformar las base del lgebra para que adquiriera su independencia y la

obra de Descartes fue la que lo consigui. Plante al lgebra como un mtodo que ayuda a

razonar con cantidades abstractas e indeterminadas. Era fundamentalmente un filsofo y

aunque su libro se llama "Geometra" lo que hizo fue usar desarrollar un lgebra que us para

plantear la geometra. Es el creador de la Geometra Analtica en la que, con nmeros y

ecuaciones se obtienen las propiedades de las figuras. iv Para Descartes el objeto de la

matemtica no tiene valor porque no colabora en la explicacin del universo. Consigue que la

matemtica se haga mecnica, fcil y no requiera esfuerzo del espritu. La produccin se

vuelve automatizada, industrializada, slo es necesario combinar elementos entre s todo lo

que se quiera. Para l, el lgebra es el mtodo de la ciencia universal. Al aplicar el mtodo

algebraico a la geometra prev el importante papel del lgebra y del clculo en el desarrollo

cientfico.

Como no se interesa por la belleza y la armona de lo que estudia y se concentra slo

en un mtodo abstracto de combinaciones lgicas de elementos indeterminados. Ren

Descartes rompe claramente con el ideal griego y as abre nuevas perspectivas a las

matemticas del futuro. Queda atrs el ideal de la ciencia contemplativa para dar paso al ideal

de la ciencia constructiva. Esto no quiere decir que el cambio fue de un da para otro. An

matemticos de la talla de Fermat y Newton permanecieron fieles al espritu griego y an en

nuestros das se observan influencias griegas en la enseanza elemental.

El otro aspecto importante del cambio de mentalidad de esta poca es el nacimiento del

Clculo Infinitesimal. Aunque en pocas palabras sera imposible explicar este avance

matemtico, sealar un aspecto que evidencia lo novedoso del descubrimiento. As como

entre dos puntos de una recta existen infinitos puntos, son necesarios infinitos nmeros para

ponerle un nombre a cada uno de ellos, es decir, una coordenada. Trabajar con ese "infinito

hacia adentro" de la recta requiere perder el prejuicio que los griegos tenan por los

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irracionales. Como sucedi para tantos otros contenidos, cuando el pensamiento humano

estuvo listo, surgi ms de un matemtico que lo manifest. Newton y Leibniz son los

protagonistas de este avance que dio origen a la Cinemtica y a la Dinmica.

En esta etapa se da comienzo a una nueva poca en la que el lgebra sistematizada

por Descartes se efecta con combinaciones finitas y el anlisis sistematizado por Leibniz lo

hace con combinaciones infinitas, aunque ambos derivan de un mismo espritu.

En el siglo XVIII se consolidan las nuevas ramas de la matemtica y se construyen

nuevas teoras pero lentamente se haba llegado a cuestiones cada vez ms complicadas que

carecan un poco de alcance. El trabajo matemtico evidencia la necesidad de cosas nuevas.

Esta manera diferente de trabajar provoca a fines del siglo XVIII la aparicin de las

matemticas modernas.

Las matemticas modernas

No debe pensarse en un cambio brusco ni en el abandono de viejas tendencias. El

espritu griego an influye en ciertos aspectos de la matemtica y la sntesis algebraico-lgica

todava sobrevive y produce resultados. Pero el espritu bien diferente que anima a los

matemticos modernos hace que ya no traten de construir expresiones ni forjar nuevos

medios de clculo, sino que analicen conceptos considerados hasta entonces como intuitivos.

La originalidad de estos trabajos no consiste solamente en haber estudiado

crticamente algunas nociones conocidas o reformular sus demostraciones sino en haber

involucrado en la ciencia nociones diferentes que mostraron enseguida ser muy ricas. Una

cosa es calcular un resultado y otra bien distinta es demostrar, en un teorema, que ese

resultado efectivamente existe y es nico. Una cosa es usar la lgica en las demostraciones y

otra darle carcter matemtico con axiomas y demostraciones que garanticen que esa lgica

es confiable. Dibujar una curva continua como representacin de una ecuacin es una cosa, y

otra es demostrar con un teorema que para recorrerla punto a punto no hay necesidad de

levantar el lpiz. Una cosa es contar objetos y partir de los nmeros para hacer los clculos y

otra muy diferente es considerar a los conjuntos como entes matemticos y trabajar con ellos

para deducir los nmeros. El conjunto se lo pasa a considerar una nocin primitiva con una

cantidad finita o infinita de elementos y precede en el encadenamiento lgico de los temas a

todos los otros conceptos. El germen de la matemtica moderna es el crtico espritu

unificador. Es por esto que la poca moderna consigue el tercer grado de abstraccin en la

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historia del pensamiento matemtico con una variada cantidad de ramas, la matemtica

muestra una gran diversificacin, pero tambin muestra los contactos entre sus temas ms

frecuentes y profundos de todos los tiempos.

Este breve anlisis de la historia de la matemtica desmiente as la idea del matemtico

aislado de su contexto social. El pastor que descubre el nmero, motivado por su necesidad de

conservar el rebao; los sacerdotes sumerios preocupados por dar cuenta fiel de las riquezas

del templo; los egipcios investigando la geometra para resolver el tema de sus tierras

inundadas peridicamente por el Nilo; los esclavos griegos asegurando a los matemticos,

ciudadanos libres y desocupados, el desinters por las cosas prcticas; el descubrimiento de

Amrica urgiendo a resolver problemas de navegacin, entre otros, son ejemplos de cmo

evoluciona la mente humana en funcin de las necesidades de su poca para crear teoras

matemticas.

Tambin es de destacar que a mediada que las tcnicas se desarrollaron y se hicieron

ms complejas, fueron quedando reservadas para los especialistas que detentaron por eso un

determinado poder. Segn la expresin del escriba Ahms, en el Papiro Rhind, los hombres

detentaron los secretos de las "cosas oscuras" as que las matemticas tomaron en ciertos

momentos un carcter esotrico convirtindose en una actividad para iniciados, y los

matemticos dispusieron de un monopolio del saber que conllevaba el poder. Hoy en da

apenas hemos comenzado a romper ese monopolio y a asegurar la democrtica difusin de la

ciencia.

Lejos est todo esto del matemtico encerrado con sus deducciones y que pontifica

sobre cosas que nadie comprende. Ms bien creo en el hombre, de genio s, pero muy

enganchado con su realidad que es capaz de expresarla con su pensamiento en forma de

frmulas y demostraciones.

Los personajes que siguen no pretenden mostrar, ni mucho menos agotar, la evolucin

de la matemtica. Fueron elegidos para representar lo tpicamente humano que tienen los

creadores de la matemtica en relacin con el tiempo que les toc vivir.

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Pitgoras y los pitagricos Pitgoras es sin duda el matemtico ms famoso, y con esto no quiero decir que sea el ms

grande sino el ms conocido: casi todo el mundo recuerda su nombre aunque no sepa

matemtica.

Era natural de Samos y naci en el ao -569. La historia lo ubica en la poca del milagro

griego junto a Euclides, Apolonio, Arqumedes y tantos otros genios de la matemtica que

produjeron el primer grado de abstraccin de esta poca.

Samos es una isla griega del Mar Egeo frente a las costas de Turqua. Pitgoras recibi una

fuerte influencia oriental ya que, con el espritu viajero tan propio de los griegos, estuvo en

Egipto y estudi con sus sacerdotes las ciencias exotricas como as tambin los secretos del

esoterismo que determinaron, especialmente estos ltimos, la modalidad ms acentuada de

todo lo que hizo posteriormente. Sus actividades en Samos no eran slo cientficas sin

tambin religiosas y polticas y, por este motivo, fue perseguido y posteriormente desterrado

por el tirano Polcrates as que fue a refugiarse a Crotona, en el sur de Italia.

En el ao -529, en esta ciudad, fund una escuela en la que se observa la modalidad

esotrica de su formacin oriental. En ella se estudiaba gimnasia, matemtica y msica. Era

en realidad una secta religiosa con reglas incuestionables que, al estilo babilonio, tena una

especie de secreto de ctedra. Pitgoras fue el nico griego que transmita la matemtica bajo

juramento a sus seguidores. En ella los pitagricos iniciados tenan permitido discutir, opinar y

hasta dar clases, pero los nefitos solamente podan escuchar y observar.

Esta enigmtica sociedad pretenda, en realidad, que sus adeptos se purificaran por

medio de la ciencia matemtica y del arte de la msica. Muchas leyendas han llegado hasta

nuestros das que hablan de los pitagricos como hombres atados a supersticiones que van

desde negarse a vestir ropa de lana hasta considerar un verdadero tab el acto de levantar del

piso una miga de pan para comerla. Lo ms probable es que todas estas historias hayan sido

inspiradas por ese carcter enigmtico que tenan. Debido a ese ostracismo en que vivan

tampoco tenemos noticias ciertas sobre los autores de las obras matemticas que produjeron.

Decimos comnmente "el teorema de Pitgoras" pero la verdad es que no se sabe si fue l o

alguno de sus discpulos quien lleg a probarlo. Y a propsito del famoso teorema de los

tringulos rectngulos, se ha conjeturado que era conocido por los babilonios en tiempos

anteriores a la poca de los pitagricos y que probablemente stos ltimos hayan sido los

primeros en demostrarlo.

En lo poltico la sociedad tena como objetivo luchar contra la democracia y esto le vali

serias persecuciones. Pero lo que realmente le daba carcter a la hermandad eran las

actividades religiosas. Pitgoras se pregunt por el principio fundamental que a cada cosa le

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hace ser lo que es iniciando as la filosofa idealista. Afirm que los conceptos fundamentales

slo existen en el pensamiento y que pueden obtenerse sin la ayuda de la experiencia; el

universo es imperfecto porque las cosas no son la realidad de los nmeros sino su imitacin.

Pitgoras distingui en el hombre un aspecto divino y otro terrenal: el primero, el alma,

trascendente, y el segundo, el cuerpo que lo concibi corruptible. Con su creencia en la

transmigracin de las almas, en la idea de que el muerto es un victorioso al que representa

apareciendo en un carro arrastrado por caballos alados, tiene gran influencia sobre la religin

etrusca, que es la anterior a la romana, pero eso le vale ser tomado por supersticioso. Esa

conjuncin de poltica y religin hizo crecer contra los pitagricos toda clase de sospechas y

las persecuciones determinaron que el crculo pitagrico se disgregara. Pero tan fuerte fue su

influencia que an despus de varios siglos se haca sentir la tendencia pitagrica y una

muestra de ello es que el emperador Augusto, en el ao 30 a. c., acusando de prctica de la

brujera, es decir, de invocacin a los muertos, expuls a los magos que se identificaban con el

pitagorismo.

Con este marco, la matemtica para los pitagricos no era ciertamente lo que es para

nosotros. Parece que Pitgoras no soaba con obtener frmulas para construir mquinas o

resolver problemas, ni tampoco le interesaba dominar alguna lgica sin aplicacin como podra

ser el ajedrez. No, para ellos la matemtica, la ciencias de los nmeros, era la manera de

comprender las cosas: sacar alguna conclusin sobre los nmeros tena por finalidad "probar"

especulaciones metafsicas. Segn Pitgoras los nmeros constituyen la sustancia de las

cosas, como una especie de tomos, como partculas indivisibles pero, de alguna manera, no

como algo abstracto sino con corporeidad ya que, para ellos, cada cosa guardaba una relacin

numrica que la distingue de las dems, y una ciencia exacta slo puede obtenerse por medio

de los nmeros. Pero hay ms, para los pitagricos los nmeros no eran entes abstractos sino

que les atribua un carcter antropomrfico as que les asignaba virtudes y defectos como a

los humanos. De ah que a los pares los considerara terrenales y solubles y a los impares

divinos e indisolubles. Por esta razn dijo que los pares eran femeninos y los impares

masculinos ( no olvidemos que entre los pitagricos no haba mujeres! ) v

En esta poca se origin la gematra inspirada por esta filosofa de la matemtica. Se

trata de un curioso estudio en el que a cada letra se le asigna un valor numrico y que a cada

palabra tambin le corresponde un nmero que se obtiene sacando cuentas con los valores de

las letras que la forman. La idea es que cada palabra termina por tener un poder singular que

le confiere ese valor calculado aritmticamente. Por ejemplo cada persona tiene un destino

propio que est determinado por el valor que deriva del valor de su nombre. La gematra fue

muy popular tambin en el primer siglo de la era cristiana y continu interesando a la gente

en la Edad Media y la Reforma.

17

Pero volvamos al tema del carcter humano con que concibieron los pitagricos a los

nmeros. Se dice que una vez le preguntaron a Pitgoras cmo entenda l la amistad y

contest: "Un amigo es un segundo yo", y puso como ejemplo dos nmeros: 284 y 220 y

explic que eran amigos entre s porque la suma de los divisores propios de cada uno de ellos,

da por resultado el otro. vi Tambin calific de "perfectos" a ciertos nmeros vii y primos a

otros viii, siempre teniendo en cuenta las propiedades aritmticas.

Para ellos el elemento que forma todas las cosas es el nmero y llegaron a esta

conclusin por diversos motivos. En primer lugar se atribuy a Pitgoras el descubrimiento de

que el sonido de las cuerdas de la lira tiene cierta relacin numrica con la longitud de las

cuerdas. Para nosotros, acostumbrados a la msica con aparatos electrnicos y hasta con las

computadoras, ese descubrimiento no puede ser tan especial, pero para los griegos de esa

poca que consideraban la belleza, la verdad y la virtud casi como sinnimos, el hecho de

poder "medir" los sonidos musicales lo interpretaron como una prueba irrefutable de que los

nmeros eran la esencia de todo; que el nmero era, por decirlo as, anterior a todo. Otro

descubrimiento vino a corroborar esta hiptesis: el descubrimiento de la seccin urea. Se

trata de una proporcin muy particular que se puede obtener al cortar un segmento, de ah el

nombre de seccin que significa corte. Esta seccin, de la cual se deduce un nmero muy

particular, no es nada sencilla de calcular para los no matemticos, como podra ser cortar por

la mitad, y curiosamente es muy frecuente en la naturaleza y muy usada, a veces

intuitivamente, por los artistas en arquitectura, pintura, escultura, msica. Es llamada la

divina proporcin y est asociada explcitamente con la belleza. Y esto de que hubiera un

nmero que expresara "lo bello" fue a confirmar la idea de los pitagricos que no dudaron en

afirmar que todo cuanto existe obedece a una ley, a una belleza, a una armona cuya forma y

medida es el nmero".

Esta escuela griega asignaba a cada cosa un nmero:ix el uno era la fuente de todos los

nmeros, era la creacin y la razn; el cinco, como era la suma del primer par: 2 y del primer

impar: 3,representaba el matrimonio como unin de lo femenino y de lo masculino. Si bien

algunas de estas cuestiones ya haban sido estudiadas por civilizaciones anteriores, Pitgoras

fue quien les confiri ese carcter filosfico y hasta mstico con el descubrimiento del teorema

de los tringulos, los pitagricos dieron con el conflicto que puso a prueba todos sus teoras. El

famoso teorema afirma que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la

hipotenusa. En el caso de un cuadrado, al trazar la diagonal se forman tringulos rectngulos

que tienen dos lados iguales, y en ellos el cuadrado de la hipotenusa resulta contener

exactamente dos veces al cuadrado de un lado, de lo que resulta la sorprendente conclusin

que la cantidad de veces que la hipotenusa contiene al cateto no es nmero entero ni tampoco

una fraccin y as encontraron los pitagricos un hecho que no poda medirse con ninguno de

18

los nmeros conocidos y, lo que es peor, si ese nmero se inventara, debera tener una

cantidad infinita de cifras decimales y no se podra predecir cules seran todas ellas. El

planteo matemtico as expuesto podra haber abierto un nuevo camino que ampliara el

concepto de nmero pero la desconfianza griega por el infinito llev a los pitagricos a

suponer que la solucin del problema los llevara a aceptar la existencia de un ente que no era

un verdadero nmero. Y como esto pona en tela de juicio la enseanza fundamental del

maestro: las cosas son nmeros, les sobrevino algo as como una angustia csmica al

constatar en hecho tan escandaloso y optaron por considerar "irracional" a este nmero loco

que no se comportaba como los que ya conocan: lo rodearon de misterio y lo tuvieron por un

saber esotrico sujeto al secreto de ctedra. Pero Hipassos, al ser expulsado de la orden por

haberse atribuido la construccin del dodecaedro que para ellos era un smbolo csmico, ya

sea por que quiso vengarse de Pitgoras o porque no crea en esta cosa esotrica de los

nmeros, public el descubrimiento en su obra Logos Mstico junto con otras cuestiones

internas de la orden que estaban reservadas a los iniciados y atribuyndose, adems, el

liderazgo de la secta de los acuticos que rivalizaban con los pitagricos en ser poseedores de

la verdadera doctrina pitagrica.

Muchas son las leyendas sobre el segmento "que se negaba a ser medido". Una de ellas

seala que tras descubrir este nmero con infinitas cifras decimales Pitgoras mand matar

una cantidad muy grande de bueyes, cosa notable ya que los pitagricos eran vegetarianos

debido a sus creencias sobre la transmigracin de las almas que obtuvieron de los hindes. En

otra historia se cuenta que Hipassos termin sus das miserablemente vctima de un naufragio.

Lo cierto es que en Crotona se desat una revuelta poltica contra Pitgoras que lo oblig a

huir a Mataponte donde muri hacia el ao -500.

19

Platn

"Que no entre nadie que no sepa geometra."

Esta frase estaba a la vista en la entrada de la Academia de Platn y muestra el valor

que este hombre asignaba a la matemtica a pesar de ser fundamentalmente un estudioso de

la filosofa.

Cmo expresar la importancia de la filosofa de Platn? Ricardo Baeza ha escrito en el

prlogo de una edicin de La Repblica: "Entre los libros del mundo, solamente Platn tiene el

derecho al fantico cumplido hecho por Omar al Corn, cuando dijo: "Quemad las bibliotecas,

pues lo que hay de valor en ellas se encuentra en este libro". Verdaderamente sus pginas

contienen la cultura de las naciones.

La vida de Platn no es muy conocida. Las personas que se han dedicado a hacer su

biografa lo han hecho lejos en el tiempo y sus datos hay que tomarlos con prudencia porque

se deben a referencias de terceros, muchas veces de segunda mano y mezcladas con

leyendas. Ni siquiera se sabe con certeza si naci en Atenas o en Egina pero la fecha se da por

cierta entre los aos -428 y -427. Descenda de la ms nobles familias atenienses. La

ascendencia de Aristn, su padre, se poda remontar hasta el dios Poseidn. La de su madre,

Perictiona, se entroncaba con la familia de Soln. Parece que Perictiona se cas en segundas

nupcias con Pirilampo que fue partidario y amigo allegado de Pericles. Por este motivo se cree

que Platn pas bastante tiempo en su casa durante su niez y adolescencia. Pero adems

Critias y Carmides, que eran respectivamente primo y hermano de Perictiona, figuran entre los

dirigentes del movimiento terrorista del ao -404. Supuestamente a este ambiente familiar y

al haber nacido en la clase privilegiada, se debe su concepcin de la democracia.

20

Dice Aristteles que la filosofa de Platn sigui las ms de las veces a la de los

pitagricos pero que tiene tambin sus ideas propias que lo separan de la escuela itlica. Su

primer maestro fue Cratilo, un ateniense partidario de Herclito.

El acontecimiento espiritual quizs ms importante en la vida de Platn fue su

encuentro con Scrates. De todos modos queda claro que no perteneci nunca al crculo de

sus amigos ms ntimos ni se consideraba un verdadero discpulo de Scrates ya que se

refera a l como a su "amigo" y no a su "maestro".

Se cree que despus de la muerte del maestro los socrticos se reunieron en Megara y

que all Platn fue alumno de Euclides, el gemetra ms grande de la antigua Grecia, quien

influy notablemente en su pensamiento.

Por los aos -387, -386 fund una institucin para dedicarse a la investigacin de la

filosofa y de la ciencia. Presidi esa Academia hasta su muerte y a juzgar por la leyenda que

estaba a la entrada del edificio Platn daba una importancia capital al estudio de la

matemtica. En ese lugar se hicieron trabajos importantsimos de matemtica de los cuales

basta mencionar la fundacin de la Geometra del Espacio x que logr Teletetes y los primeros

estudios sobre las secciones cnicas xi. Eudoxio de Gnido, famoso gemetra y astrnomo;

Arquitas, inventor de la ciencia de la Mecnica, y muchos otros, se cuentan entre los

estudiosos de la Academia que constituy de esta forma el eslabn entre la matemtica de los

pitagricos y la de Alejandra.

En La Repblica, Platn propone, como se sabe, la formacin ideal del ciudadano, y le

asigna un valor importante a la enseanza de la matemtica, la geometra y la astronoma.

"Hay acaso, dice, a tu parecer, una ciencia ms necesaria al guerrero que la de los nmeros y

del clculo?". Problemas de administracin y de distribucin de bienes, presupuestos en

tiempo de paz o de guerra, determinacin de la formacin de las tropas y cosas por el estilo

son trabajos de los encargados del gobierno. Pero aclara que hay otro motivo por el cual hay

que ensear matemtica al futuro magistrado:

"No puedo menos que admirar cun hermosa en s es la ciencia del clculo, y cun til

al designio que nos proponemos, cuando se estudia slo por conocerla y no para degradarla

aplicndola a la granjera.

Nadie, pues, que tenga el menor conocimiento de geometra nos negar que el objeto

de esta ciencia es directamente contrario a los discursos que de ella tienen los que la

manejan.

El lenguaje de que se valen es muy ridculo, aunque ellos no pueden dejar de usarlo.

Ellos no hablan sino de cuadrar, prolongar, aadir, y as de lo dems, como si hiciesen algo y

todas sus operaciones se dirigiesen a la prctica. Siendo as que en la realidad esta ciencia se

termina en la pura especulacin.

21

As expone Platn su filosofa de la matemtica que caracteriza al ideal griego que

tuviera tanta influencia y al que tantas veces aludo en estas pginas.

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Arqumedes

Arqumedes es considerado entre los matemticos ms importantes de todas las

pocas. El historiador de la matemtica Gino Loria dice que su genio fue el mayor de toda la

historia no pudiendo igualarse a Newton, Gauss, ni ningn otro. Quizs exagera un poco,

llevado por su marcado nacionalismo, ya que Arqumedes era siracusano, pero de cualquier

modo es indiscutible que fue un matemtico excepcional, si no el mayor de todo

evidentemente est en la primera lnea. Adopt una actitud que se sala del modelo griego ya

que no tuvo prejuicios en estudiar curvas que no fueran la recta, la circunferencia y las

engendradas por ellas. Como adems era fsico, no mostraba desprecio por el clculo y trabaj

sin prejuicios con aproximaciones con lo que su tratamiento de los nmeros irracionales xii fue

totalmente opuesto al pitagrico. Por esto, as como la postura de Pitgoras desencaden el fin

de su trabajo con esos nmeros, la de Arqumedes le abri fecundos caminos de creacin.

Arqumedes naci en el ao -287 y vivi ms de 70 aos. Era hijo de un Astrnomo y

quizs eso haya influido en sus inquietudes cientficas. Estudi en Alejandra pero

posteriormente regres a Siracusa. Era pariente y amigo del tirano Hiern y estuvo a su

servicio. Goz de una fama incomparable entre sus contemporneos hasta tal punto que es

una de los pocas personas de quien se sabe que se le hizo una biografa mientras viva.

Heracleides fue el bigrafo pero esta obra no ha llegado a nuestros das. Los detalles de su

vida de todos modos se pueden conocer por los historiadores generales. As se sabe que

estudi matemtica en Alejandra; que construy una especie de planetario en miniatura: una

esfera que simulaba el movimiento del Sol, la Luna y los planetas; que escribi un libro sobre

mecnica; que incendi los barcos romanos usando una serie de espejos y cristales; que

dedic muchos esfuerzos a la observacin astronmica; que descubri la distancia entre los

planetas; que una vez corriendo por las calles desnudo grit Eureka al descubrir un dato

importante; que no le gustaba baarse y sola escribir, usando ceniza con el dedo sobre su

cuerpo, frmulas mientras cavilaba sus descubrimientos, y otras ancdotas por el estilo. Las

leyendas sobre Arqumedes son muchas y, probablemente la mayora de ellas no sean del todo

ciertas, pero en todo caso muestran lo mucho que se ocuparon de l sus contemporneos.

23

Sus obras pueden ser consideradas del tipo moderno en cuanto a la ilacin. No son

textos sino ms bien memorias del tipo de las que actualmente se presentan a las academias

de ciencias: en ellas se da por supuesto que se conoce todo lo anterior publicado sobre el

tema y slo constan de aportes personales nuevos, escritos en un lenguaje sinttico, slo para

profesionales en la materia. Algunas de sus obras son sumamente oscuras por este motivo.

Hubo matemticos de los siglos XVII y XVIII que renunciaron a entenderlas y, algunos, al no

poder llegar a los resultados indicados, consideraron que haba errores, pero la geometra

analtica y el anlisis matemtico permitieron verificar los resultados. Esto aumenta la gloria

de Arqumedes que, con herramientas muy primitivas lleg a los resultados que obtuvieron

otros matemticos veinte siglos despus. Tuvo algunos disgustos con los sabios oficiales de

Alejandra. Como dije, sus trabajos eran sintticos, muy complicados y, por lo general,

Arqumedes no daba demasiadas explicaciones de cmo los haba obtenido y los alejandrinos

casi nunca contestaban a sus envos de trabajos y cuando lo hacan decan que "eso ya lo

conocan". Como en una oportunidad, posiblemente por error, les haba enviado resultados

que no eran exactos, Arqumedes se refiri a estos cientficos en el prlogo de una de sus

obras, irnicamente, como "esos sabios que son capaces de demostrar hasta lo que no tiene

demostracin".

Al igual que Apolonio, Arqumedes no se dedic a sistematizar y perfeccionar las

nociones ya conocidas sino que se ocup de descubrir y desarrollar teoras nuevas y teniendo

en cuenta sus logros, a ambos se los puede considerar los ms grandes investigadores de la

Antigedad.

Contrariamente a la tendencia griega clsica, Arqumedes era un inventor. Alternaba

los trabajos de fsica y de matemtica con los de ingeniera dedicndose a la construccin de

mquinas a las que no consideraba como producto digno de destacarse sino ms bien como un

pasatiempo derivado de su geometra. En realidad Platn haba descalificado a la mecnica

como ciencia porque, afirmaba, echaba a perder lo ms puro de la geometra que era,

justamente, esa particularidad de desenvolverse exclusivamente en el mundo de las ideas.

Pero mientras la tendencia general de los matemticos griegos era mantener a la

geometra apartada de todo lo que fuera material, y algunos como Arqumedes osaban

disfrutar con las aplicaciones prcticas, al rey Hiern lo nico que le preocupaba era lograr que

un sabio con tanta popularidad como Arqumedes dedicara un poco de su tiempo a mostrar

alguna aplicacin prctica que consiguiera ilustrar a la multitud.

As que cuando el matemtico le cont que estaba en conocimiento de una mquina

que con un pequeo peso consegua mover algo enorme, el rey le pidi una demostracin y

Arqumedes dispuso a muchos hombres para que remolcaran a tierra una nave real de tres

palos y adems la hizo llenar con la carga ordinaria y una multitud de personas. Despus

24

cmodamente desde tierra accion una suerte de aparatos con poleas que consigui que el

barco se deslizara cmodamente. De ah la clebre frase: Dadme un punto de apoyo y mover

al mundo. Tan impresionado qued el rey que se dedic a convencer al matemtico para que

construyera mquinas de ataque y de defensa para la guerra. Lo consigui pero los inventos

de Arqumedes estuvieron guardados mucho tiempo porque la fiesta continua no haca pensar

precisamente en las contiendas blicas. Pero cuando las tropas romanas atacaron la ciudad

desplegando todo su podero blico las esperanzas se depositaron en Arqumedes que,

poniendo en funcionamiento sus mquinas consigui efectos que debieron fascinar a sus

contemporneos. Se cuenta que por efecto de ellas algunos barcos enemigos se elevaron en el

aire cayendo hasta hundirse en las aguas provocando que los tripulantes se tiraran por la

borda; otros eran levantados por la proa consiguiendo despus hundirlos por la popa. Haba

tambin cuerdas que accionadas por un mecanismo enlazaban una embarcacin y hacindola

girar la estrellaban contra las rocas mientras que grandsimas piedras llegaban desde atrs de

la muralla de la ciudad hasta destrozar las plataformas que sostenan las armas de los

romanos. Es de imaginarse la perplejidad de Marcelo, sus soldados y tambin la de los

siracusanos al ser espectadores de semejante demostracin del poder de la geometra de

Arqumedes que consegua semejantes efectos "sobrenaturales". Pero como el jefe romano

pens que el poder de las maquinarias estaba en que consegua que las cuerdas actuaran a

distancia, calcul que la situacin se le poda volver favorable si el ataque lo haca cerca de la

muralla as que se repleg y esper. Cuando consigui acercarse secretamente atac de nuevo

pero Arqumedes tena tambin inventos que a corta distancia y sin ser vistos por el enemigo

producan disparos cortos, persistentes y efectivos.

Los siracusanos que no haban usado todava sus armas estaban pendientes slo de las

mquinas de Arqumedes y los soldados romanos terminaron por aterrorizarse de tal forma

ante cualquier seal que viniera de Siracusa que con slo ver una cuerda por encima de la

muralla pensaban que Arqumedes preparaba algn ataque contra ellos y huan despavoridos

sin intentar siquiera defenderse. As que Marcelo decidi esperar y que el tiempo definiera el

sitio de Siracusa.

En tanto Marcelo conquist Megara, una de las ms antiguas ciudades de Sicilia y en

ella mat cerca de 8000 hombres. Sigui con sus conquistas sin que nadie pudiera vencerlo

hasta que un lacedonio, Damipo, intentando salir por el mar de Siracusa pero es tomado

prisionero. Los siracusanos ofrecen un rescate por este hombre as que Marcelo tuvo con ellos

varios encuentros para discutir las condiciones y as tuvo la oportunidad de observar una torre

que eventualmente poda ser un punto vulnerable para los siracusanos porque la muralla era

de fcil acceso en ese lugar. Marcelo aprovech esta circunstancia en las entrevistas y,

pacientemente, calcul el alto de las escaleras que necesitaba para que sus soldados

25

ingresaran en la ciudad. La oportunidad esperada la dio una fiesta en honor de Artemisa en

que los siracusanos bebieron y se relajaron lo suficiente como para que los romanos ocuparan

la torre, entraran en la ciudad y al amanecer, en cuanto los siracusanos notaron el movimiento

Marcelo hizo sonar las trompetas desde distintos puntos dando la ilusin de que el ataque era

mayor de lo que era y as en realidad consigui despertar el terror y tomar por fin la ciudad.

Lo que sigue es historia de guerra: la toma de la ciudad. Se cuenta que Marcelo llor al

contemplar la bella ciudad que momentos despus iba a ser saqueada porque los oficiales no

negaban el pillaje a los soldados. Pero lo que hizo famoso este episodio de la Segunda Guerra

Pnica fue la muerte de Arqumedes a manos de un soldado romano a pesar de que la orden

impartida era respetar la vida del gran matemtico. La leyenda cuenta que estaba tan absorto

en la solucin de un problema matemtico que no escuch al soldado cuando le orden que le

siguiera hasta donde se encontraba Marcelo, y entonces el soldado lo lance por la espalda y

lo mat. Y desde ese momento se instituy la vida de Arqumedes como un smbolo de la

actitud del cientfico en el sentido de una persona totalmente absorta y alejada de su realidad

ms inmediata. Aunque son varias las leyendas sobre este episodio, posiblemente sean todas

falsas ya que cuesta imaginar a un cientfico de la talla de Arqumedes, y ciudadano amante

de su patria desenganchado de la realidad de esa manera tan infantil. Tampoco hay razn

para creer esas historias en las que se dice que viva absorto, que se olvidaba hasta de comer

y de baarse.

Arqumedes pidi que pusieran en su tumba un cilindro conteniendo una esfera con la

inscripcin que mostrara la proporcin entre un slido y el otro.

La misma cultura que gener la matemtica griega, fiel al ideal platnico que se

desarroll en un estricto marco terico despreciando las aplicaciones, dio lugar tambin a

Arqumedes que personifica la conveniente y razonable reaccin que reivindica la actividad

tcnica, aunque l mismo seale el carcter deleznable y vil de las aplicaciones. Con su

"mtodo de exhaucin" avanza por nuevos caminos de clculo que trascienden los lmites

alcanzados hasta ese momento. Pero la tendencia de la poca era reconocer como

matemticamente vlido todo lo que estaba acabadamente demostrado al estilo eucldeo.

Como adems esta tendencia perdur por siglos, la obra de clculo de Arqumedes, que

hubiera adelantado el Clculo Infinitesimal, no fue reconocida y hubo que esperar la poca de

Galileo para seguir avanzando.

Quizs el detalle que engloba toda su obra sea que nunca public nada que explicara

en qu consistan sus mquinas. Justamente lo que le proporcion esa fama no humana sino

divina, para l era la menos importante de sus teoras matemticas.

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Hipatya

El papel que tradicionalmente se ha asignado a las mujeres en la historia de la

matemtica es bien pobre y no es ste el caso de hacer un anlisis de las razones que han

llevado a las mujeres a ser colaboradoras de las creaciones de los hombres y han pasado a la

historia, en el mejor de los casos, como excelentes alumnas o colaboradoras perfectas. Lo

cierto es que la primera matemtica que consta en la historia es una mujer griega de

Alejandra que vivi en el siglo VI de nuestra era.

Naci en esa ciudad en el ao 370 y era hija de Then de Alejandra. Se dedic

enteramente a la ciencia y fue muy famosa por su sabidura, su elocuencia y tambin por su

belleza. Fund una escuela en su ciudad natal y en ella enseaba la filosofa de Platn y

Aristteles. Esta concepcin neo-platnica de la ciencia hizo que se dedicara a la matemtica xiii, trabaj las obras de Diofanto, las secciones cnicas xiv de Apolonio de Perga y tambin hizo

algunos aportes personales.

Sus actividades de jefe de la secta que floreca en la tierra de los faraones no eran bien

vistas por la Iglesia. Era el tiempo en que el cristianismo intentaba sentar las bases de sus

dogmas y luchaba constantemente contra lo que se consideraban herejas y por esa poca

Cirilo, sucesor de Tefilo en el patriarcado de Alejandra luchaba contra las teoras de Nestorio

que tenan gran repercusin. Nestorio era un telogo sirio que sostena que haba en Cristo

dos naturalezas y dos personas, una divina y otra humana, unidas de modo psicolgico, o sea

por la voluntad, y no de manera hiposttica. Un snodo romano lo conden en 430. Por su

parte el emperador Teodosio II convoc un concilio para condenar la doctrina de Nestorio. Este

concilio se reuni en feso, ciudad situada en el oeste del Asia Menor entre Esmirna y Mileto,

durante los aos 431, 432 y 433. Finalmente el concilio depuso a Nestorio por sus doctrinas y

Teodosio II lo desterr en el ao 435, confisc sus bienes y quem sus escritos, de los cuales

se conservan fragmentos.

Tal era la atmsfera en la poca en que Hipatya trabajaba en su academia y daba

conferencias sobre la filosofa griega y el arte de razonar de las matemticas. Aunque no se

sabe con precisin la razn que llev a Cirilo, hombre que dedic su vida a luchar contra

27

Nestorio, a instigar a sus monjes en contra de nuestra matemtica, lo cierto es que los monjes

consiguieron exaltar a la multitud en contra de ella y terminaron arrojndola bajo un carruaje.

Y as muri trgicamente a los cuarenta y cinco aos la primera matemtica que

consigna la historia a manos de fanticos que no soportaron la libertad que Hipatya tena para

divulgar su ideologa platnica.

Adems del hecho humano que conmueve en la desaparicin trgica de esta eminente

pensadora, el acontecimiento marca el fin de la gloriosa escuela de Alejandra.

28

Los rabes

Despus de los griegos antiguos que hicieron matemtica de veras por primera vez en

la historia, axiomatizando la ciencia de los nmeros y las figuras, recin despus del

Renacimiento el pensamiento humano alcanza el segundo grado de abstraccin matemtica y

en el tiempo intermedio pasaron muchas cosas para que la matemtica quedara olvidada

primero y fuera rescatada y reelaborada despus. En todo ese proceso tuvieron mucho que

ver los rabes que supieron valorar el saber griego, aprovechar la influencia de los hindes y

llevar a Europa todo eso que sera la base del movimiento del siglo de Descartes.

No hay entre los rabes grandes creadores comparables con un Euclides o un Leibniz

pero el pueblo rabe tuvo ciertas caractersticas peculiares que le permitieron trasvasar la

cultura de los griegos.

Los primitivos rabes eran un pueblo nmade que viva en la pennsula que estaba

limitada por Egipto, el Golfo Prsico, el ocano Indico y el Mar Rojo. Se dedicaban al cultivo en

los campos de Yemen, al cuidado de sus rebaos en las estepas de Hedjaz y tambin al pillaje

en las fronteras, ya que la ubicacin geogrfica les daba ventajas comerciales y polticas. El

nico nexo entre las tribus era el idioma y por lo dems tenan cada una un lder diferente,

adoraban astros distintos y poco antes de aparecer Mahoma ni siquiera conocan la escritura.

Si no fuera por las costas del golfo Prsico y del Mar Rojo, los rabes estaban incomunicados

con los otros pueblos pero lo ms importante es que no tenan demasiado inters en ellos

porque sus preocupaciones, si las tenan, se limitaban a la bebida, los placeres y, en todo

caso, a pelear entre ellos.

Durante el siglo VI apareci un hombre que, con su personalidad original, consigui

despertar en los rabes un destino bien diferente que los sac de la inactividad en que vivan.

Mahoma predicaba la existencia de un dios nico: Alah y afirmaba ser su profeta. Impuso la

oracin, el ayuno en el mes de ramadn, la limosna y la peregrinacin a la Meca. Prometa un

cielo despus de la muerte, estableci leyes jurdicas y en base a todo eso sent las bases de

una nacionalidad que consigui en el siglo VI transformar al pueblo cambiando su inactividad e

29

indolencia por un espritu de unidad y que canaliz su belicosidad hacia la conquista

organizada que los llev a expandirse hasta lograr un imperio.

A la muerte de Mahoma sus enseanzas fueron recopiladas en el Corn que no slo era

un libro religioso sino tambin un cdigo y una verdadera constitucin. Se lanzaron as los

musulmanes a la conquista. La revolucin religiosa y poltica que se produjo se ve claramente

al observar que an no haba terminado el siglo VII y ya dominaban el reino de Kabul, las

provincias de Kaschgar y el Pendjab y llegaron al extremo occidental de las costas de Africa

para encarar la conquista de Espaa.

Inspirados en el Corn y esgrimiendo las armas los rabes avanzaron desembarcando

en Algeciras en el ao 709 con el conde visigodo Don Julin que era gobernador de Centa y

quera vengarse del rey Don Rodrigo y su hija la Cava. Dos aos despus ocuparon Gibraltar y

poco despus Crdoba, al tiempo que Don Rodrigo, traicionado por el Obispo Don Opas era

vencido en Guadalete.

A cien aos de la muerte de Mahoma, en el ao 732, el imperio musulmn ya se

extenda desde el Indo hasta los Pirineos y la expansin haba dejado a su paso la destruccin

de cosas valiossimas sobre todo en Alejandra que en sus momentos de esplendor ostentara

su famosa biblioteca fundada por los ptolomeos. Pero los rabes tuvieron una curiosa actitud

hacia la ciencia que les permiti ser lo suficientemente respetuosos del saber antiguo como

para que a su paso no todo fuera devastado. El Corn no slo dice que "la espada es la llave

del cielo" y que "las heridas de los guerreros manan almizcle", sino tambin que "quien

ensea teme a Dios; quien le apetece, le adora; quien combate por ella, traba una pelea

sagrada, y quien la reparte, da limosna a los ignorantes"; "la tinta del sabio es tan preciosa

como la sangre del mrtir"; "el Paraso espera lo mismo a quien hizo buen uso de la pluma

que a quien cay al golpe de la espada". En realidad consideraban que la base fundamental de

la humanidad estaba en "la justicia del grande, la virtud del bueno , el arrojo del valiente"

pero tambin en "la ciencia del sabio". Esta es la filosofa que les permiti jugar ese papel

decisivo en la historia de la matemtica y que los hiciera, para los aficionados a los nmeros,

el smbolo del calculista de todos los tiempos.

Pero volvamos un poco la historia atrs. A consecuencia de las conquistas de Alejandro

Magno el saber griego se extendi por Siria y Mesopotamia, y las obras cientficas de los

sabios de Alejandra fueron traducidas en la escuela de Gondesapor, fundada por el monarca

Cosroes I en el ao 350. As que a pesar de la destruccin de las bibliotecas, la ciencia de los

antiguos no se perdi y las traducciones hechas por los monjes de Siria y los manuscritos

salvados de la destruccin alcanzaron para reconstruir la civilizacin griega que fue

transplantada a las Academias de Antioqua y Edessa. All se estudiaba principalmente las

obras de Aristteles, Hipcrates y Euclides y de ellas se nutrieron los rabes desde el ao 762

30

justamente porque el califa abasida Almansur traslad su corte de Bagdag, despus de

restablecer la paz en Mesopotamia y Persia, y dedic sus esfuerzos claramente a proteger las

letras y las ciencias.

De esta forma Bagdab, la nueva capital del imperio islmico, con la proteccin de los

primeros prncipes abasidas que actuaron como en otros tiempos los ptolomeos, se convirti, y

gracias tambin a su posicin geogrfica, en centro del saber, procesando y recreando dos

grandes civilizaciones, la griega y la hind. Se cuenta que con motivo de una indigestin que

probablemente tuviera su causa en los excesos de la vida cortesana, y que los mdicos

beduinos no pudieron curar, se recurri a la medicina de los asirios. Este suceso llev a

Alamnsur a pedir la traduccin del siraco al rabe de los libros de Hipcrates y Galeno. Al leer

las citas que mencionaban a Aristteles y a Euclides hizo tambin traducir esas obras. Esta

ancdota muestra claramente las inquietudes y los mviles de los rabes que contrastan con

las de los antiguos griegos a los que superaron sin embargo con ese arrojo que permitiera

lograr que la ciencia de los nmeros superara las barreras con que Pitgoras haba contenido

el avance de la aritmtica.

La Alta Edad Media es el perodo ms fecundo del contacto entre rabes y cristianos. En

ese lapso se da la corriente de traduccin que influy en el saber occidental. Este contacto se

dio por varios conductos: el comercio mediterrneo, las contiendas blicas pero en especial

por la permanencia rabe en tierras cristianas. Tambin las cruzadas influyeron desde fines

del siglo XI hasta fines del siglo XIII, que pusieron en contacto grandes masas de poblacin

cristiana y rabe.

Y as como los griegos se inmortalizaron como inventores de la ciencia matemtica, los

rabes sern para siempre los calculistas por excelencia. Quedaron en la historia de la

matemtica como hombres prcticos, resolvedores de problemas y giles calculadores.

Muchos son los autores que tomaron esta imagen para sus libros de problemas matemticos

recreativos. Y esto del entretenimiento no es casual porque tiene que ver con la vida de los

musulmanes mucho ms que con la de los griegos antiguos.

Malba Tahan en "El Hombre que Calculaba", libro que ha llegado a convertirse en un

clsico de los problemas divertidos de matemtica lo explica con estas palabras:

"Los rabes han sido siempre un pueblo paciente, acostumbrado a las adversidades del

clima, la falta de agua y los inmensos p ramos que les es preciso salvar para comunicarse con

todos los pueblos de su rea. La solitud del desierto, las noches silenciosas, el calor agobiante

durante el da y el fro penetrante al caer el sol, impiden en realidad una actividad fsica pero

predisponen el nimo para la meditacin.

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Los griegos tambin hicieron filosofa pero para unos pocos, pero los pueblos rabes,

en cambio, la tomaron como principal ejercicio de su actividad mental, heredera de los

principios de la India a los que desarrollaron y engrandecieron por su cuenta"

Con una enorme dosis de poesa, Beremiz Samir, el personaje de este libro, plantea y

resuelve en forma amable problemas en los que habla de camellos del desierto, jeques

islamitas, turbantes, mercaderes, palacios, hermosas mujeres, califas y sin olvidarse de

mencionar a Pitgoras o Eratstenes, llevando al lector a la atmsfera en la que los rabes

gestaron el lgebra.

Un libro ms pequeo pero no menos ingenioso es Acertijos Derviches en el que Jaime

Ponichik expone una serie de rompecabezas lgicos cuyos personajes nos remontan a los

musulmanes en el desierto y sus costumbres. Esta analoga entre el lgebra y los musulmanes

se ve aprovechada ya en el ttulo en el que se alude a la secta de musulmanes negros que

guiados por mahdi Muhammad al Taaichi, se hicieron con el dominio de Sudn entre 1881 y

1898.

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Omar Khayym

La mxima expresin de la matemtica rabe es la obra de Omar Khayym,

considerada la culminacin y perfeccin de los calculistas islmicos.

Omar Khayym es un matemtico persa famoso por su obra matemtica pero, ms

an, por ser poeta de modo que en l se ve claramente esa caracterstica de los rabes de

ocuparse de la ciencia pero desde una perspectiva diferente. Muy lejos de la visin platnica

de las ideas est este hombre cuya filosofa de la vida da gran importancia al vino y a los

placeres.

Omar Ibn Ibrahim al Khayyam naci cerca de Nishapur el ao 1040 de nuestra era,

segn Sixto Reguera, y adopt el sobrenombre de Khayyam en honor al oficio su padre que

era fabricante de tiendas.

Durante la poca de sus estudios que hizo en el colegio de su ciudad natal, ciudad

famosa por cierto, recibi la influencia de dos personas que se convertiran en amigos

entraables y que gozaran de fama considerable. Uno de esos compaeros de estudios era

Hassan Sabbah, que posteriormente fuera el jefe de la misteriosa secta de los Hachisistas y

que por esto fue llamado el "Anciano de la Montaa". El otro, Nzam-ol-Molk, con el tiempo

lleg a ser gran visir del sultn selyukida Alp Arslam y fue el que le facilit las cosas para que

Khayyam pudiera estudiar matemtica y astronoma.

Sus trabajos matemticos fueron muy valiosos, siempre en el sentido del aporte rabe,

es decir, no se trata de grandes teoras nuevas ni de concepciones drsticamente originales,

sino ms bien de un estudio de la obra de los griegos antiguos con un fuerte contenido de

clculo pragmtico. Compuso varias obras que hicieron crecer su fama de cientfico hasta

convertirlo en el ms grande de su poca. Una de las inspiraciones ms profundas, quizs, fue

el estudio de la astronoma. En realidad, leyendo su obra literaria es fcil imaginar a Khayyam

extasiado observando el cielo estrellado por las noches, por razones que trascendieran la

ciencia y lo llevara por los caminos de la poesa hasta la filosofa. Construy tablas de

astronoma y tambin se dedic al clculo aritmtico ideando un mtodo para calcular races

cuadradas y cbicas.

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Lleg a demostrar algunos problemas de lgebra y en materia de ecuaciones cbicas,

es decir aquellas en la que la incgnita aparece elevada a la tercera potencia, consigui el

mayor progreso de los tiempos medievales. Lleg a dar una clasificacin completa de esas

ecuaciones con coeficientes positivos analizando todos los casos y encontrando soluciones por

vas geomtricas mediante la interseccin de cnicas. Este trabajo no fue conocido en

Occidente y es una pena ya que hubiera ahorrado mucho camino a los matemticos del

Renacimiento que, al ignorar las conclusiones de Khayym trataron de resolver las ecuaciones

siguiendo el camino algebraico que era ms conocido.

Escribi un tratado sobre algunos problemas de las definiciones de Euclides. Para

comprender la diferencia entre este ltimo trabajo y los otros, recordemos que Euclides fue el

genio que en la antigua Grecia busc la definiciones mnimas indispensables sobre las que

construy todos los conceptos geomtricos existentes pero no especific en su obra por qu ni

cmo se decidi por esos conceptos. Esta especie de misterio llev a los matemticos

posteriores a dar muchas vueltas sobre el tema de si Euclides haba elegido bien o no esos

puntos de partida para su teora as que esta obra de Khayym supone su preocupacin por

esta cuestin y es bien diferente de sus tablas de clculo.

Khayyam lleg a ser el Director del Observatorio de Merv y desde esa casa se dedic a

la reforma del calendario musulmn. Muri en Nishapur cuando tena 85 aos de edad.

La obra literaria que le dio fama mundial, Rubaiyat, consta slo de 170 cuartetos y

muestra una simplicidad muy especial para transmitir un materialismo que no es para nada

grosero y su preocupacin por el destino de la vida. Cuestiona claramente las creencias

religiosas de su poca y valora enormemente los placeres como medio de encontrarle sentido

a la existencia. En la desconfianza que siente por las verdades absolutas se advierte su

espritu cientfico y el aspecto que ms lo caracteriza es sin duda la rebelda. En sus poemas

que toman como tema bsico las costumbres musulmanes muestra claramente todas esas

condiciones que lo caracterizan. Lo que sigue son dos de esas cuartetas:

II

Qu vale ms? Examinar nuestra conciencia sentados en una taberna o

prosternarnos en una mezquita con el alma ausente? No me preocupa saber si tenemos un

Dios ni el destino que me reserva.

V

Puesto que ignoras lo que te reserva el maana, esfurzate por ser feliz hoy. Toma un

cntaro de vino, sintate a la luz de la luna y bebe pensando en que maana quizs la luna te

busque intilmente.

En Khayym, el ms grande matemtico rabe, se aprecia claramente la influencia de

la Astronoma como motivacin a la investigacin matemtica. Pero tambin hay una

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bsqueda de la verdad en la ciencia. Su filosofa es una muestra de la actitud rabe ante la

vida y en su poesa se advierten no slo los valores de su civilizacin sino tambin una actitud

crtica hacia las verdades dogmticas que evidencian su formacin cientfica.

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Durero

Albrecht Drer, ms conocido entre nosotros por su nombre castellanizado, Durero, fue

el artista alemn cuya obra ha gozado de gran fama durante el medio milenio que transcurri

desde su creacin hasta nuestros das y es considerado el pintor ms conocido de Alemania.

Quizs su capacidad de expresar la relacin entre la vida y el arte, slo superada por la de

Leonardo, sea la causa de su gloria artstica.

Durero naci en Nuremberg el 21 de mayo de 1471 y su padre era un famoso, aunque

no rico, orfebre. Despus de dedicarse un tiempo al oficio de su padre, se hizo evidente su

pasin por la pintura as que ingres al taller del mejor pintor y dibujante de su ciudad. Ms

tarde empez a peregrinar por otros talleres tal como era la costumb re de la poca a fin de

aprender el oficio. Cuando lleg el momento de viajar al extranjero en busca de otras

corrientes artsticas que enriquecieran su estilo no fue a Holanda como era habitual entre los

alemanes sino que decidi que la pintura italiana era la ms excelsa y se estableci en

Venecia. En esa poca aprendi las leyes de las proporciones que consista en aplicar

conocimientos matemticos al dibujo ya sea trazando figuras geomtricas como calculando

proporciones para determinar las distancias. La representacin de la figura humana fue en

todo momento el tema central de las obras de Durero y al cabo de intensos estudios lleg a la

conclusin de que para lograr la belleza en el trazado de las formas humanas no bastaba con

la fantasa artstica sino que era imprescindible la ayuda de la geometra. Convencido de que

los pintores italianos haban heredado esa ciencia de los antiguos griegos consideraba que

ellos estaban en ventaja respecto de los artistas de otras nacionalidades.

As se dedic, al igual que Leonardo da Vinci, a encontrar la belleza en la

representacin de las formas humanas con regla y comps. En "Instrucciones sobre la medida"

y "Manual sobre las proporciones" explica detalladamente las conclusiones sobre la creacin

artstica a las que lleg con el auxilio de la matemtica.

Su grabado Melancola, que aparece en la tapa de este libro, es quizs el que se acerca

ms al contenido de este libro ya que muestra la influencia que tuvieron los problemas que le

plante el arte a la creacin ma temtica y tambin deja ver las pasiones humanas que forman

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la vida de un demostrador de teoremas. Aparece en el grabado un cuadrado mgico de orden

cuatro, es decir, de cuatro filas y cuatro columnas.

Aunque ya cito en otro lugar el tema de los curiosos cuadrados, dar aqu algunos detalles

para destacar luego las particularidades, ingeniosas por cierto, del cuadrado de Melancola, En

estos cuadros de nmeros aparecen los nmeros del 1 al 16 dispuestos de tal forma que, al

sumar los nmeros de cada fila da siempre el mismo resultado:

16 3 2

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

16 +3 +2 +13 = 34

5 + 10 +11+8 = 34

9 + 6 +7 +12 = 34

4 + 15 + 14 + 1 = 34

Lo mismo sucede si se suman los nmeros de cada columna y de cada diagonal.

En realidad se trata de un cuadrado mgico con ms propiedades de las habituales y

una de las ms pintorescas es que en las dos casillas centrales de la fila inferior aparece la

fecha de creacin de la obra: 1514.

Ms extraordinario an es el hecho de que la suma de los cuadrados de los nmeros de

las dos filas superiores sea igual a la suma de los cuadrados de los de las dos filas inferiores.

Adems, al sumar los cuadrados de los nmeros de filas alternadas (primera y tercera,

segunda y cuarta) da el mismo resultado. Y eso tambin coincide si se toman columnas!

Otro hecho asombroso es que la suma de los cuadrados de los nmeros situados sobre

las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de los nmeros no situados sobre las

diagonales y la suma de los cubos tambin es igual!

No podan faltar las secciones ureas en esta obra de arte y el lector podr constatarlo

midiendo la altura de la campana con relacin a la del reloj de arena, la posicin del sol o la

base del codo de la figura central con respecto a la altura total.

Si bien hay muchas versiones sobre lo que realmente intent representar Durero en

este grabado con tan dismiles objetos, no puede dudarse que hace aparecer a la matemtica

involucrada con los temas ms cotidianos y vitales.

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Los carteles de desafo renacentistas

En el Occidente europeo en la Edad Media las obras de los matemticos griegos

llegaban a los lectores despus de haber pasado por manos de los traductores rabes y a

travs del trabajo de muchos copistas as que fueron verdaderas desfiguraciones de las obras

originales. Pero con la toma de Constantinopla en poder de los turcos los griegos cultos que

huyeron de la invasin otomana fueron los que hicieron conocer al Occidente europeo a los

grandes matemticos de la antigedad. Los originales que trajeron fueron rpidamente

multiplicados por la imprenta recientemente inventada por Gutenberg. Esto vino a modificar

mucho las cosas porque los matemticos no contaban con ejemplares suficientes y ya no

existan centros de reunin cientfica, como antiguamente en Alejandra. De modo que la

imprenta inaugura pocas nuevas no slo en lo poltico sino tambin en lo cientfico. El

Renacimiento se caracteriza as por una gran actividad en las artes y en las ciencias y, en

especial en el caso del lgebra dio origen al lgebra sincopada que era una ciencia de origen

rabe que se ocupaba del estudio de las ecuaciones. xv Estas expresiones matemticas, como

se sabe, constan de una incgnita que casi siempre simbolizamos con una x, y de las cuales

obtenemos su valor cuando resolvemos la ecuacin. Esta manera de nombrar a la incgnita es

de origen posterior; los rabes la llamaron res que significa cosa porque cuando se trataba de,

por ejemplo:

2 + x = 5

ellos decan cul es la cosa que sumada a 2 da por resultado 5?

As llamaron "regla de la cosa" al lgebra y denominaban con una R a la incgnita.

La matemtica en general y en especial el lgebra sincopada se desarrollaron

enormemente en Italia que fue la primera en tener la influencia griega y recibi un impulso

que dur hasta fines del siglo XVI en que Vite inicia el lgebra simblica. Estudiadas las

ecuaciones de primer y segundo grado xvi, los matemticos, llevados por una especie de

exagerada optimismo, confiaron en que su trabajo les llevar a encontrar las frmulas que

resuelvan cualquier ecuacin sin que influya el grado. As se lanzaron a la investigacin en

circunstancias que estuvieron determinadas por las caractersticas peculiares de la poca.

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Finalmente la manera de resolver las de tercer grado se encontr en esta poca y en las

circunstancias que relatar. En cuanto a las ecuaciones que tenan grado mayor que tres

tuvieron que esperar mucho tiempo ms.xvii

Los protagonistas de este episodio son Tartaglia y Cardano. El verdadero nombre de

Tartaglia era Nicol Fontana y no se sabe la fecha de su nacimiento. El sobrenombre, que

luego lleg a ser su apellido, significa tartamudo y as era a causa de unas heridas recibidas en

la niez. Cuando Gaston de Foix tom Bresia, que era la ciudad de la infancia de Tartaglia, el

19 de febrero de 1512, los habitantes se refugiaron en la catedral pero los soldados entraron

igualmente al templo y atacaron a la gente. Tartaglia fue herido despiadadamente sufriendo

fractura de crneo, una rotura en la mandbula y tambin en la lengua. Salv milagrosamente

su vida porque su madre le brind enormes cuidados y as y todo estuvo mucho tiempo sin

poder hablar ni comer. Su padre que se llamaba Micheletto muri cuando Tartaglia y sus dos

hermanos eran pequeos.

En estas circunstancias, y llevando una vida de gran estrechez econmica, Tartaglia no

tuvo la posibilidad de recibir educacin, ni siquiera saba escribir en latn que era la lengua

culta de la poca y por esto public en italiano vulgar, que era el idioma que hablaba. De

todos modos estudi por su cuenta, aprendi a leer y escribir y despus ley lo suficiente

como para desenvolverse como profesor y tambin como investigador matemtico. Se dedic

a dar clases particulares y a escribir. Adems de toda su obra a travs de los carteles de

desafo hizo la primer versin en italiano de Los Elementos de Euclides y tambin tradujo

obras de otros griegos, Arqumedes entre ellos. Ense en varias ciudades de la Repblica de

Venecia. Entre 1521 y 1523 fue profesor en Verona; en 1526 estaba en Mantua; en 1534

ense en Venecia; en 1548 volvi a Bresia y finalmente regres a Venecia en donde muri el

13 de diciembre de 1557.

Tartaglia actu en la cosa pblica a travs de trabajos suyos inspirados en los

problemas de actualidad. Escribi una enciclopedia donde se encuentran incidentalmente

preciosos informes sobre la vida ordinaria y los usos y costumbres comerciales de la Italia del

Renacimiento. Denunci la ley de usura, explicando la manera de que se valan los

terratenientes para burlarla. Y como los magistrados de Verona le pidieron que usara sus

conocimientos de matemtica para determinar el precio del pan en funcin del valor del trigo,

l ide una escala mvil que resolva el problema.

El otro matemtico que tuvo mucho que ver con la cuestin de las ecuaciones de tercer

grado es Gernimo Cardano que fue sin duda una de los personajes ms curiosos del

Renacimiento. En su vida estrafalaria se alternan los episodios ms variados. Fue un prolfico

escritor sobre temas diversos en los que la astrologa y la ma gia le valieron ms fama e

influencias que sus obras cientficas de dudosa autora.

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Naci en Pava el 24 de setiembre de 1501. Era hijo de un jurisconsulto milans as que

las circunstancias de su vida fueron muy distintas de las de Tartaglia. Pudo estudiar en su

ciudad y despus en la Universidad de Padua hizo la carrera de Medicina. Ser mdico fue su

verdadera profesin y se dedic a la matemtica slo por pasatiempo. Posiblemente su obra

ms original son unos escritos sobre juegos