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BACHILLERATO EN INGENIERA INDUSTRIAL

1 DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS (HISTOGRAMAS)

Una de las caractersticas en todo proceso de fabricacin es que no es posible producir dos piezas exactamente iguales. Las variaciones pueden ser muy pequeas que solo con equipo de alta calibracin se detectan o muy grandes, detectables fcilmente.

Las variaciones se pueden clasificar en:

Variaciones dentro de una misma pieza

Variaciones entre piezas producidas en un mismo periodo

Variaciones producidas en diferentes periodos

Existen diversos factores que contribuyen a cada una o a todas estas clases de variacin:

Desgaste de herramientas

Desgaste en la maquinaria

Vibraciones en la maquinaria, dispositivos y/o aseguradores

Materia prima defectuosa

Operadores distrados o sin entrenamiento

Cambios de clima

Debido a que estas variaciones son inevitables, las industrias han establecido en sus especificaciones tolerancias que marcan la desviacin en sus caractersticas (parmetros) que se puede permitir con respecto a un estndar.

A medida que los lmites de las tolerancias se especifican ms estrechos, se hace necesario la comprobacin minuciosa de las especificaciones, por lo tanto es comn tomar una serie de datos de muestra para poder determinar ese cumplimiento.

Los datos que se obtienen de una muestra sirven como base para tomar decisiones sobre la poblacin, por lo que mientras ms grande sea la muestra, ms informacin obtendremos de esa poblacin, pero un aumento en el tamao de la muestra tambin implica un aumento en la cantidad de datos lo que hace que difcil su comprensin.

Por lo tanto, una de las formas que se utiliza para su anlisis es la distribucin de frecuencias de datos agrupados (acumulacin del conjunto de datos en intervalos) para que se genere una distribucin (esta distribucin se puede comparar con las distribuciones estadsticas tericas para inferir soluciones al problema planteado) o para datos no agrupados, que se utilizan para el anlisis de datos de variable discreta, tales como nmero de defectuosos y nmero de defectos.

Dos aspectos importantes para una distribucin de frecuencias eficiente y eficaz son la escogencia de un mtodo que considere las cifras significativas de los datos y la escogencia de un nmero de clases que refleje una adecuada distribucin.

Definiciones

Frecuencia: nmero de veces que se repite un dato en un conjunto de datos o un intervalo

determinado.

Frecuencia absoluta: nmero absoluto de veces que se encuentra un dato en un conjunto

de datos o intervalo.

Ing. Freddy Hernndez Barahona

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Frecuencia absoluta acumulada: suma acumulada de la frecuencia absoluta.

Frecuencia relativa: forma de representar porcentualmente el nmero de veces que se

repite un dato o el nmero de datos que se encuentra en un intervalo.

Frecuencia relativa acumulada: suma acumulada de la frecuencia relativa.

Clase: intervalo dentro del cual se encuentra un conjunto de datos.

Lmites de clase: valores extremos de la clase.

Amplitud de clase o intervalo de clase: diferencia entre los lmites reales de clase.

Histogramas

Los histogramas son grficos de barras verticales continuas, en donde se representan en el eje y la frecuencia absoluta y relativa y las clases en el eje x. Los histogramas permiten comprender la poblacin de manera objetiva y de un solo vistazo.

La escala del eje x debe tener el mismo tamao para todas las barras, mientras que en el eje y la escala debe graduarse con base a la frecuencia absoluta o relativa.

Procedimiento para la elaboracin de un histograma

1. Determine el valor mximo de los datos de la muestra

2. Determine el valor mnimo de los datos de la muestra

3. Calcule R = mximo mnimo

4. Determine el intervalo de la clases (debe estar entre 5 y 20) utilizando:

k = 1 + 3,3 log n donde n es el tamao de la muestra

5. Calcule el intervalo de clase i = R/k

6. Calcule el rango propuesto pR = i*k

7. Calcule la diferencia entre el rango y el rango propuesto d = pR -R. Este valor cuya

ltima cifra significativa debe ser 5. Si no lo es, se debe devolver al paso 5 y hacer el clculo con otro nmero de clases hasta que se cumpla esta condicin.

8. Calcule la diferencia dm = d/2

9. Fije los lmites superior e inferior con el siguiente procedimiento

a. Tome el valor del dato menor y le resta el valor dm

b. Sume i al valor 1iL

para obtener el primer 1sL

c. Haga el ikL igual al )1( ksL y repita el paso b hasta completar las k clases. Al

final debe cumplir con

10. Calcule el punto medio de la clase

dii mxL min1

iLL is 11

disk mxL max

2

si

k

LLx

kf

k

Ri

kiRp *

minmaxR

RRd p 2

dmd

nk log3,31

3

11. Obtenga la frecuencia por clase (conteo de dato por dato)

12. Calcule la frecuencia acumulada

13. Calcule la frecuencia relativa

14. Calcule la frecuencia relativa acumulada

15. Elabore el histograma

a. Marque el eje horizontal con una escala

b. Marque el eje vertical de la izquierda con una escala de frecuencia y si es necesario, dibuje en el eje de la derecha con una escala de frecuencias relativas.

c. Marque la escala horizontal con los lmites de los valores de clase

d. Utilizando los intervalos de clase como lnea base, dibuje un rectngulo cuya altura corresponda a la frecuencia en esa clase

e. Dibuje una lnea sobre el histograma para representar la media, y si tiene lmite de especificacin dibjelo tambin.

f. Anote en un espacio en blanco:

Periodo de tiempo durante el cual se recogieron los datos

Nmero de datos n

La media

Desviacin estndar

Ejemplo

Se toman doce grupos de cinco unidades de una mquina llenadora de latas de tomate y se pesan:

muestra nmero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 22,0 23,0 20,0 21,5 19,0 21,5 22,5 25,0 21,5 24,5 22,5 23,5

2 20,5 19,0 19,0 19,0 21,5 24,0 20,0 20,5 23,0 23,0 22,5 20,0

3 20,0 21,5 19,5 21,0 22,5 19,5 21,0 21,5 22,5 22,5 20,5 20,5

4 21,0 21,0 20,0 20,0 22,5 22,0 22,5 21,5 23,5 23,5 22,0 22,5

5 22,5 21,5 22,5 22,0 18,5 22,0 22,0 22,5 21,0 21,0 19,5 23,0

Elabore el histograma.

1. Valor mximo = 25

2. Valor mnimo = 18,5

3. R = 25-18,5 = 6,5

4. k= 1+3,3 log 60 = 7

kk fF

n

ff kri

kk fF

Ing. Freddy Hernndez Barahona

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5. i = 6,5/7 = 1

6. pR = 7 * 1 = 7

7. d = 7 6,5 = 0,5

8. dm = 0.5 / 2 = 0,25

9. 1iL

= 18,5 -0,25 = 18,25

1sL = 18,25 + 1 = 19,25

2iL = 19,25

1sL = 19,25 + 1 = 20,25

10.

1x (18,25+19,25)/2 = 18,75

1rf = 5/60 = 8,33 %

2rf = 9/60 = 15%

2F = 8,33 + 15,33 = 23,33 %

Clases Lmite inferior lmite superior

kx Conteo kf kF rif kF

1 18,25 19,25 18,75 IIIII 5 5 8,33% 8,33%

2 19,25 20,25 19,75 IIIIIIIII 9 14 15,00% 23,33%

3 20,25 21,25 20,75 IIIIIIIII 9 23 15,00% 38,33%

4 21,25 22,25 21,75 IIIIIIIIIIIIIIII 16 39 26,67% 65,00%

5 22,25 23,25 22,75 IIIIIIIIIIIIII 14 53 23,33% 88,33%

6 23,25 24,25 23,75 IIIII 5 58 8,33% 96,67%

7 24,25 25,25 24,75 II 2 60 3,33% 100,00%

60

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Ing. Freddy Hernndez Barahona

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Ing. Freddy Hernndez Barahona

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d) esto requiere de acciones para reducir la variacin

e) se requiere las medidas escritas en c) y d) respectivamente

Ing. Freddy Hernndez Barahona

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MEDIDAS DE DISTRIBUCIN

Media para datos no agrupados

Donde:

x = valores de la variable en estudio

n = tamao de la muestra

Media para datos agrupados

Donde:

d desviacin del punto medio con respecto a la posicin de la media supuesta (clase de mayor frecuencia, d =0).

i = amplitud o intervalo de clase

A = punto medio de la clase que contiene la media supuesta (clase d = 0)

nc = nmero de clases

Desviacin estndar para datos no agrupados

Desviacin estndar para datos agrupados

Ejemplo:

Con los datos del ejemplo anterior calcule la media aritmtica y la desviacin estndar para datos no agrupados y agrupados

Datos no agrupados

X = 1291/60 = 21.52

160

6027905

12912

= 1,47

n

XX

i

n

idnAX

nc

k k*

1

1

1 1

2

1

2

1

n

n

niX

xn

i

2

2

112*

*n

dn

n

dni

nci k

nck k

11

Datos agrupados

kx kn d 2d dnk *

2*dnk

18,75 5 -3 9 -15 45

19,75 9 -2 4 -18 36

20,75 9 -1 1 -9 9

21,75 16 0 0 0 0

22,75 14 1 1 14 14

23,75 5 2 4 10 20

24,75 2 3 9 6 18

total -12 142

60

1*1275,21

X = 21.55

2

2

60

12

60

142*1 1,53