HIPÉRBOLE

Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta ambas as folhas do cone, a cônica é uma hipérbole.

Definição: Dados dois pontos e do plano, chama-se hipérbole ao conjunto dos pontos do plano tais que

1F 2F

1 2, ,d P F d P F é constante.

P

ORIGEM

Equações da hipérbole na posição-padrão

c c

a a1F 2F

Focos: os pontos F1 e F2

1F 2F

a

c

Do triângulo retângulo obtido no esquema ao lado, chamaremos de b o cateto ainda indefinido e escreveremos que

2 2 2b c a b

2 2b c a

2 2c a b

a a

c a c a

Pela definição de hipérbole

1 2, , constante:dist P F dist P F

1 2, , 2dist P F dist P F a

para 1 2, ,dist P F dist P F

P

V

2c a a c a 2a

daí

•Focos: F1 e F2•Ponto Genérico: P (x, y)•Distância Focal: d(F1, F2)| D’(P, F1) -D”(P, F2) |= CONSTANTE0 < Constante < Distância Focal

a a

,P x y

V ,0c ,0c

1 2, , 2 ,dist P F dist P F a

sabemos que

então vale que

2 22 2 2x c y x c y a

2 2

2 22 2 2x c y x c y a

22 2 2 2 2 2( ) 4 4 ( )x c y a a x c y x c y

2 2

2 2 2 22 ( )x c y a x c y

22 2 2 2 2 22 4 4 ( ) 2x xc c a a x c y x xc c

2 2 2( )a x c y xc a

22 2 2 2 2 2 2 2 2 42 2a x a xc a c a y x c a xc a

2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c

2 2 2 2 2 2 4 2 2a x x c a y a a c

2 2 2 2 2 2b x a y a b 2 2 2 2 2 2a b a b a b

2 2 2 2 2 2b x a y a b

lembrando que resulta 2 2 2 ,c a b

2 2

2 2 1x ya b

2 2 2 2 2 2b x a y a b

2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c

y

x.

HIPÉRBOLES EM POSIÇÃO-PADRÃO

0,c

0, c

a

abb

2 2

2 2 1x ya b

2 2

2 2 1y xa b

aa

b

b

. ,0c ,0c

y

x

.

.by xa

by xa

ay xb

ay xb

...

.

Uma técnica para esboçar hipérboles

Determine se o eixo focal está sobre o eixo ou eixo .

Determine os valores e e desenhe um retângulo...

Desenhe as assíntotas ao longo das diagonais do retângulo.

Usando o retângulo e as assíntotas como guia, esboce o gráfico da hipérbole.

x y

a b

Exemplo 3: Esboce os gráficos das hipérboles

mostrando os vértices, focos e assíntotas.

2 2

14 16x y

(a) 2 2 1y x (b)

Exemplo 4: Determine a equação da hipérbole com vértice

e assíntotas 0, 8 4 .3

y x

Isolando o y na equação da hipérbole com eixo real sobre o eixo x e com centro na origem, obtemos as retas mostradas em I. Como a é um valor fixo, vemos que, conforme x vai ficando muito grande, os valores de x2 – a2 vão se aproximando de x2 porque a2 vai se tornando desprezível.

Podemos concluir que y sempre se aproximará das retas II e III, mas nunca as tocará. As retas II e III são as assíntotas da hipérbole.

22 (I) axaby x

aby (II) x

aby (III)

Assíntotas da hipérbole

Quando o eixo real está sobre o eixo y e o centro na origem, as retas IV e V são as assíntotas da hipérbole.

Um caso especial é o de hipérbole equilátera: quando o centro está na origem, a é igual a b e suas assíntotas são y = x.

xbay (IV) x

bay (V)

Assíntotas da hipérbole

Para hipérboles com centro qualquer, podemos chegar às assíntotas de maneira análoga e obter VI (eixo real horizontal) e VII (eixo real vertical). As assíntotas de uma hipérbole equilátera de centro qualquer são y – yo = (x – xo).

Assíntotas da hipérbole

)( (VI) oo xxabyy )( (VII) oo xx

bayy

Equações das Assíntotas

Considerando a hipérbole ao lado, temos: Centro (X , Yc).𝑐

Sua representação algébrica é:

(X−X )² 𝑐 _ (Y−Y )²𝑐 𝑎² ²𝑏=1

TEOREMA (Propriedade de Reflexão da Hipérbole): Uma reta tangente à hipérbole em um ponto P faz ângulos iguais com as retas que unem P aos focos.

..

Reta tangente em P

P.