Física II

HIDRODINÁMICA

INTRODUCCIÓNLa mecánica de fluidos es una materia

excitante y fascinante, con un número

ilimitado de aplicaciones prácticas que van

desde sistemas biológicos microscópicos

hasta automóviles, aviones y propulsión de

las naves espaciales. Sin embargo, la

mecánica de fluidos ha sido una de las

materias que presentan mayores desafíos

a estudiantes de licenciatura (Cimbal y

Cengel)

FLUIDOEl fluido es aquella sustancia que puedeescurrir fácilmente y pueden cambiarde forma debido a la acción depequeñas fuerzas cortantes o decizallamiento. Por lo tanto, el término“fluido” incluye a los líquidos y gases.

Estados de la materia

Disposición de los átomos en fases diferentes: a) las moléculas seencuentran en posiciones relativamente fijas en un sólido, b)grupos de moléculas se mueven unos respecto a otros en la faselíquida y c) las moléculas se mueven en todas direcciones al azaren la fase gaseosa.

Sólido Líquido Gaseoso

Densidad ()

La densidad (o masa específica), es unapropiedad importante de cualquiermaterial y está definida como la razón dela masa por la unidad de su volumen.

Densidad () de algunas sustancias

Factores de conversión

Longitud

1 pulgada = 1 in = 2,54 cm

1 pie = 30,48 cm = 12 pulgadas

1 yarda = 91,4 cm

1 milla = 1 609 m

1 milla náutica = 1 853,184 m

Masa

1 kg = 103 g = 0,068 5 slug

1 slug = 14,59 kg

oz masa = 28,35 g

ton = 907,2 kg

1 uma = 1 u = 1,66110-27 kg

Volumen

1 litro = 1 000 cm3 = dm3

1 litro = 10-3 m3

1 galón EUA = 3,785 4 litros

1 galón EUA = 231 in3

Fuerza

1 newton = 1 N = 1 kg.m/s2

1 N = 0224 8 lb

1 lb = 4,448 N

Potencia

1 watt = 1 W = 1 J/s

1 HP = 745,7 W

1 lb.ft/s = 1,356 W

Factores de conversiónPresión

1 Pa = 1,4510-4 lb/in2

1 bar = 105 Pa

1 atm = 1,103 105 Pa

1 atm = 1,103 bar

1 atm = 14,7 lb/in2

1 atm = 2 117 lb/ft2

1 atm = 760 mmHg (0 °C)

1 atm = 10,332 m H2O

1 torr = 1 mmHg = 133,3 Pa

psia = lb/in2 absoluta

psig = lb/in2 manométrica

Energía

1 J = 1 N.m = 0,239 cal

1 cal = 4,186 J

1 ft.lb = 1, 356 J

1 Btu = 1 055 J = 252 cal

1 Btu = 778 ft.lb

1 kWh = 3,6106 J

Flujo volumétrico

m3/s = 106 cm3/s = 6104 L/min

m3/s = 15 850,37 gal/min

Ejemplos1. Calcule la masa y el peso del aire enuna estancia a 20 °C cuyo piso mide4,0 m 5,0 m y que tiene una alturade 3,0 m. ¿Qué masa y peso tiene unvolumen igual de agua?

2. Clasifique los siguientes objetos enorden decreciente de su densidad media:

i) masa 4,00 kg, volumen 1,60 10-3 m3;

ii) masa 8,00 kg, volumen 1,60 10-3 m3;

iii) masa 8,00 kg, volumen 3,20 10-3 m3;

iv) masa 2 560 kg, volumen 0,640 m3;

v) masa 2 560 kg, volumen 1,28 m3.

3. Imagine que compra una piezarectangular de metal de 5,0 mm 15,0mm 30,0 mm y masa de 0,015 8 kg. Elvendedor le dice que es de oro. Paraverificarlo, usted calcula la densidadmedia de la pieza. ¿Qué valor obtiene?¿Fue una estafa?

4. Una esfera uniforme de plomo y unade aluminio tienen la misma masa. ¿Cuáles la razón entre el radio de la esfera dealuminio y el de la esfera de plomo?

5. ¿Cuáles la masa de una bola

sólida de hierro de radio igual a 18

cm?

Peso específico ()

La densidad (o masa específica), es unapropiedad importante de cualquiermaterial y está definida como la razón dela masa por la unidad de su volumen.

HIDRODINÁMICASabiendo que el movimiento de los fluidosreales es bastante complejo, se analizará flujode fluido ideal, para e cual se hacen lassiguientes cuatro suposiciones:

a. El fluido no es viscoso. En un fluido noviscoso, se desprecia la fricción interna. Un

objeto que se mueve a través del fluidoexperimenta fuerza no viscosa.

b. El flujo es estable. En flujo estable (laminar),todas las partículas que pasan a través de unpunto tienen la misma velocidad.

c. El fluido es incompresible. La densidad deun fluido incompresible es constante.

d. El flujo es irrotacional. En flujo irrotacionalel fluido no tiene cantidad de movimientoangular en torno a punto alguno. Si unapequeña rueda de paletas colocada en algunaparte en el fluido no gira en torno al centro demasa de la rueda, el flujo es irrotacional.

La trayectoria que toma una partícula de fluidobajo flujo estable se llama línea de corriente.La velocidad de la partícula siempre estangente a la línea de corriente,

Una partícula en flujo laminarsigue una línea de corriente y,en cada punto a lo largo de sutrayectoria, la velocidad de lapartícula es tangente a la líneade corriente.

Ecuación de continuidad

Considerando que:dV1 = A1 dx1 = A1v1 dtdm1 = 1 dV1 = 1 A1v1 dtIgualando dm1 = dm2

1 A1v1 dt = 2 A2v2 dt

Como el líquido el incompresiblela densidad del mismo;simplificando se obtiene que:

A1v1 = A2v2

Caudal = Q

Llamado también como gasto, flujo de volumen otasa de volumen; s define con el volumen delíquido que pasa por una sección transversal enuna unidad de tiempo.

vAt

xA

tiempo

volumenQ .

.

01. Una tubería horizontal de agua tiene untubo de 2,0 m de diámetro que se reduce a undiámetro de 1,0 m. Si el agua fluye por el tubode diámetro grande con una rapidez de 1,5 m/s.¿Cuál será la rapidez del flujo del agua en eltubo de 1,0 m?

Problemas

02. Una tubería horizontal de agua tiene undiámetro de 48 in. Si el agua fluye por el tubo auna velocidad de 5,8 ft/s. Calcular el caudal en“pies cúbicos por segundo” y “litros porsegundo”, considerando el flujo estable.

03. Una manguera de 2 cm de diámetro por laque fluye agua a una velocidad de 3 m/s,termina en un tubo cerrado que tiene 50orificios pequeños de 0,2 cm de diámetro.¿Cuál es la velocidad de salida del agua en cadaagujero?

04. La sangre circula desde una porción deartera gruesa de 0,3 cm de radio, en donde suvelocidad es 10 cm/s, a otra región en donde elradio se ha reducido a 0,2 cm, debido a unengrosamiento de las paredes(arterioesclerosis). ¿Cuál es la velocidad de lasangre en la zona más estrecha?

05. Una tubería de 180 mm de diámetrotransporta agua a razón de 0,09 m3/s. Latubería se ramifica en dos de menor diámetrode 120 mm y 60 mm. Si la velocidad en elconducto de 60 mm de diámetro es de 15 m/s,¿cuál será la velocidad en la tubería de 120 mmde diámetro?

06. Una tubería de 180 mm de diámetrotransporta agua a razón de 0,09 m3/s. Latubería se ramifica en dos de menor diámetrode 120 mm y 60 mm. Si la velocidad en elconducto de 60 mm de diámetro es de 15 m/s,¿cuál será la velocidad en la tubería de 120 mmde diámetro?

07. Un jardinero usa una manguera de 2,50 cmde diámetro para llenar una cubeta de 30,0 L.El jardinero nota que tarda 1,00 min para llenarla cubeta. Luego acopla una boquilla con unaabertura de 0,500 cm2 de área de seccióntransversal. La boquilla se sostiene de tal modoque el agua se proyecta horizontalmentedesde un punto a 1,00 m sobre el suelo. ¿Sobre

qué distancia horizontal se puede proyectar elagua?

08. A través de una manguera contra

incendios de 6,35 cm de diámetro circula

agua a una relación de 0,012 m3/s. La

manguera termina en una boquilla de 2,20

cm de diámetro interior. ¿Cuál es la

rapidez con la que el agua sale de la

boquilla?

09. Como parte de un sistema de lubricaciónpara maquinaria pesada, un aceite condensidad de 850 kg/m3 se bombea a través deun tubo cilíndrico de 8,0 cm de diámetro arazón de 9,5 litros por segundo. a) Calcule larapidez del aceite y la tasa de flujo de masa. b)Si el diámetro del tubo se reduce a 4,0 cm,¿qué nuevos valores tendrán la rapidez y latasa de flujo de volumen? Suponga que elaceite es incompresible.

10. Fluye agua por un tubo circular de seccióntransversal variable, llenándolo en todos suspuntos. a) En un punto, el radio del tubo es0,150 m. ¿Qué rapidez tiene el agua en estepunto si la tasa estable de flujo de volumen enel tubo es de 1,20 m3/s? b) En otro punto, larapidez del agua es de 3,80 m/s. ¿Qué radiotiene el tubo en este punto?

Ecuación de BernoulliConsiderando que:W1 = F1.x1 = P1A1 x1 = P1V W2 = -F2.x2 = -P2A2 x2 = -P2VComo el fluido es incompresible los volúmenes de ambas porciones son iguales

El trabajo neto realizado en el mismo intervalo de tiempo, es:

Wn = (P1 – P2).VK + U = (P1 – P2).V

P1 + ½.v12 + gy1 = P2 + ½.v2

2 + gy2

1/2.m. v22 – ½.m. v1

2 + mgy2 – mgy1 = (P1 – P2).(m/)

Ejemplos01. La tubería horizontal constreñida que seilustra en la figura, conocida como tuboVenturi, se usa para medir la rapidez de flujo deun fluido incompresible. Determine la rapidezdel flujo en el punto 2 de la figura, si se conocela diferencia de presión P1 - P2.

02. Un tanque cerrado que contiene un líquidode densidad tiene un orificio en su costado auna distancia y1 desde el fondo del tanque(figura). El orificio está abierto a la atmósfera ysu diámetro es mucho menor que el diámetrosuperior del tanque. El aire sobre el líquido semantiene a una presión P. determine la rapidezdel líquido que sale del orificio cuando el niveldel líquido está a una distancia h sobre elorificio.

03. Flujo y presión en sistemas de calentamientode agua. El agua circula a través de una casa enun sistema de calefacción con agua caliente. Siel agua es bombeada con rapidez de 0,50 m/s através de un tubo de 4 cm de diámetro en elsótano a una presión de 3 atm, ¿cuál será larapidez y presión del flujo en un tubo de 2,6 cmde diámetro en el segundo piso situado a 5 marriba del sótano? Suponga que los tubos notienen ramificaciones.

04. Una fisura en untanque de aguatiene un área desección transversalde 1 cm2. ¿A quérapidez sale el aguadel tanque si el niveldel agua en éste esde 4 m sobre laabertura?

05. El agua fluye por un tubo horizontal con unarapidez de 60 gal/min (1 ft3 = 7,48 gal). ¿Cuál esla velocidad en una sección estrecha del tubo,donde el diámetro de éste se reduce de 6 a 1 in?

06. Un gran tanque de almacenamiento,abierto en la parte superior y lleno conagua, en su costado en un punto a 16 mabajo del nivel de agua se elabora unorificio pequeño. La relación de flujo acausa de la fuga es de 2,5010-3 m3/min.Determine a) la rapidez a la que el aguasale del orificio y b) el diámetro del orificio.

07. A través de una manguera contraincendios de 6,35 cm de diámetro circulaagua a una relación de 0,012 m/s. Lamanguera termina en una boquilla de 2,20cm de diámetro interior. ¿Cuál es la rapidezcon la que el agua sale de la boquilla?

08. A través de una tubería constreñida se mueveagua en flujo ideal estable. En un punto, como semuestra en la figura, donde la presión es 2,50 104

Pa, el diámetro es de 8,00 cm. En otro punto 0.500m más alto, la presión es igual a 1,50104 Pa y eldiámetro es de 4,00 cm. Encuentre la rapidez delflujo a) en la sección inferior y b) en la secciónsuperior. c) Encuentre la relación de flujo devolumen a través de la tubería.

09. Suponga que la superficie superior del recipienteen la figura, está sometida a una presión manométricaexterna P2. a) Obtenga una fórmula para la rapidez v1 ala que el líquido fluye por el orificio en el fondo apresión atmosférica P0. Suponga que la velocidad de lasuperficie del líquido v2 es aproximadamente cero. b)Si P2 = 0,85 atm y y2 - y1 = 2,4 m, determine v1 para elagua.

10. Un tubo horizontal de 120 mm de diámetro tiene un estrechamiento de diámetro a 40 mm.La velocidad del agua en el tubo es de 60 cm/s y la presión es de 150 kPa. (a) ¿Cuál es la velocidad en la zona más angosta? (b) ¿Cuál es la presión en dicha zona?

11. En cierto punto de una tubería horizontal,

la rapidez del agua es de 2,50 m/s y lapresión manométrica es de 1,80104 Pa.

Calcule la presión manométrica en un

segundo punto donde el área transversal esel doble que en el primero.

12. Se tiene agua que fluye por un tubo horizontal

a razón de 1 gal/s. El tubo consta de dos

secciones con diámetros de 4 in y 2 in, con una

sección reductora suave. Se mide la diferencia de

presión entre las dos secciones del tubo mediante

un manómetro de mercurio. Desprecie los efectos

de la fricción y determine la altura diferencial (h)del mercurio entre las dos secciones del tubo.

11. En cierto punto de una tubería horizontal,

la rapidez del agua es de 2,50 m/s y lapresión manométrica es de 1,80104 Pa.

Calcule la presión manométrica en un

segundo punto donde el área transversal esel doble que en el primero.

ViscosidadLa viscosidad es una propiedad de un fluidoque cuantifica la razón de esfuerzo de corte ala razón de deformación de una partícula defluido (por tanto, la viscosidad tiene lasdimensiones de esfuerzo dividido sobre razónde deformación.Cualitativamente, la viscosidad cuantifica elnivel por medio del cual un fluido particularresiste la deformación cuando se le sujeta alesfuerzo de corte (resistencia debida africción).

ViscosidadEsfuerzo cortante:

Fuerza cortante:

Si la placa inferior permaneceestacionaria y la velocidadconstante:

Coeficiente de viscosidad:1 poise = 0,1 Pa.s = 0,1 N.s/m2

Viscosidades dinámicas de algunos fluidos

a 1 atm y 20°CFluido Viscocidad

dinámica, µ (kg/m.s)

Glicerina:

- 20° C 134,0

0° C 10,5

20° C 1,52

40° C 0,31

Aceite para motor

SAE 10W 0,10

SAE 10W30 0,17

SAE 30 0,29

SAE 50 0,86

Mercurio 0,001 5

Alcohol etílico 0,001 2

Fluido Viscocidaddinámica, µ (kg/m.s)

Agua:

0° C 0,001 8

20° C 0,001 0

100° C (líquido) 0,000 28

100° C (vapor) 0,000 012

Sangre, 37° C 0,004 0

Gasolina 0,000 29

Amoniaco 0,000 15

Aire 0,000 018

Hidrógeno, 0° C 0,000 008 8

El viscosímetroSe va a medir la viscosidad de un fluido con unviscosímetro construido con dos cilindrosconcéntricos de 40 cm de largo (ver Figura). Eldiámetro exterior del cilindro interior es de 12 cmy la brecha entre los dos cilindros es de 0,15 cm.El cilindro interior se hace girar a 300 rpm y semide el par de torsión que resulta ser de 1,8 N.m.Determine la viscosidad del fluido.

A = 2RL

v = R = 2.f.R

T = F.R (torque)

Reemplazando y procesando se obtiene:

R = 0,06 m

T = 1,8 N.ml = 0,001 5 m

L = 0,4 mf = 300 rpmf = 300 /(60 s)

01. Se va a medir la viscosidad de un fluido conun viscosímetro construído de dos cilindrosconcéntricos de 75 cm de largo. El diámetroexterior del cilindro interior es de 15 cm y labrecha entre los dos cilindros es de 0,12 cm. Sehace girar el cilindro interior a 200 rpm y se mideque el par de torsión es de 0,8 N m. Determinela viscosidad del fluido.

Problemas

02. Se va a medir la viscosidad de un fluidocon un viscosímetro construido con doscilindros concéntricos de 3 pies de largo. Eldiámetro interior del cilindro exterior mide6 pulgadas y la brecha entre los doscilindros es de 0,05 pulgadas. Se hace girarel cilindro interior a 250 rpm y se mide queel par de torsión es de 1,2 lbf.ft. Determinela viscosidad del fluido.

03. Una placa metálica cuya área es igual a 0,15m2 se conecta a una masa de 8,0 g por medio deuna cuerda que pasa sobre una polea ideal (ceromasa y sin fricción), como en la figura. Unlubricante que tiene un espesor de película de0,30 mm es colocado entre la placa y lasuperficie. Cuando se suelta, la placa se muevehacia la derecha con una velocidad constante de0,085 m/s. Encuentre el coeficiente deviscosidad del lubricante.

04. ¿Qué fuerza hay que ejercer sobre una

superficie circular de 0,2 m de radio

apoyada sobre una capa de sangre de 1

cm de grosor para que se mueva con unavelocidad de 1 m/s? (µsangre = 0,004 Pa.s)

Fórmula de PoiseuilleLa ecuación para la caída de

presión (p = p1 – p2) en una

longitud L del tubo:

El caudal total (Q) quecircula por un cilindro deradio R y longitud Lsometido a una diferenciade presiones p = p1 − p2 es:

La velocidad media delfluido vale:

01. En un hospital un paciente necesita unatransfusión de sangre, que se administrara através de una vena del brazo por IVgravitacional. El médico quiere suministrar 500cc de sangre entera durante un periodo de 10min a través de una aguja calibre 18, de 50 mmde longitud y diámetro interior de 1,0 mm. .Aqué altura sobre el brazo deberá colgarse labolsa de sangre? (Suponga una presión venosade 15 mm Hg.)

Problemas

02. Tenemos una manguera de 10 m delargo y 1 cm de diámetro conectada a ungrifo con una presión de 2 atm. Calcula:

(a) el caudal de agua que circula por ella,

(b) la velocidad media del agua,

(c) la velocidad máxima,

(d) la resistencia al flujo de la manguera.

Fórmula de StokesPara los objetos muy pequeños domina la fuerza derozamiento. La ley de Stokes nos da dicha fuerza para unaesfera de radio R:

Cuando una disolución precipita, la velocidad desedimentación está determinada por la ley de Stokes y vale: