Hidraulica_-_Unidad_5_-_2_2014

7/18/2019 Hidraulica_-_Unidad_5_-_2_2014

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-• Flujo Impermanente en Tuberías

II SEMESTRE - 2014

Prof. Dr.-Ing. Iván Salazar C.

1

epar amen o e ngen er a vUniversidad Católica del Norte

Hidráulica IC-701



Oscilación de un liquido en un tubo U

Se presentan 3 situaciones:

• Oscliacion liquido sin fricción• Oscilacion liquido resistencia laminar • Oscilacion li uido resistencia turbulento

Oscilacion liquido sin friccion

1

2

22

22

11

21 ds

t

v

g

1z

g

P

g2

vz

g

P

g2

v

Ya que: v1 = v2 y p1 = p2

1

0dstg

zz

2

12

Fuente: Streeter 2Hidráulica IC-701



L viene dado como la longitud de la columna liquida.

t

v

g

Lz2zz 12

,

zg2zdvd 2

g2zd 2

t

Cuya solución viene dada por:

Ldt 2

tL

g2senCt

L

g2cosC)t(z 21

C1 y C2 constantes de integración arbitrarias

3Hidráulica IC-701



Oscilacion liquido resistencia laminar

f

1

2

22

22

11

21 hds

t

v

g

1z

g

P

g2

vz

g

P

g2

v

v

En régimen laminar el esfuerzo cortante en la pared viene dado por

D

Reemplazando e integrando, se llega a:

0D

Lv32

t

vLzzg

212

0zL

g2

dt

zd

D

32

dt

zd22

2

t2

t1 eCeC)t(z

uya so uc n v ene a a por:

C1

y C2

constantes de integración arbitrarias para condiciones forzadas

4Hidráulica IC-701



Oscilacion liquido resistencia turbulenta

Caso habitual

f

1

2

22

22

11

21 hds

t

v

g

1z

g

P

g2

vz

g

P

g2

v

En régimen turbulento el esfuerzo cortante en la pared viene dado por

v2

80

Reemplazando e integrando, se llega a:

0D2

fv

t

vLzzg

2

12

0zL

g2

dt

zd

dt

zd

D2

f

dt

zd2

2

Nota: El valor absoluto es necesario para que la resistencia se oponga a la velocidad

Ecuación no lineal. Se puede resolver una vez conocida las condiciones iniciales atrav s e método de Runge-Kutta.

Repasar!!! Ver Streeter5Hidráulica IC-701



Establecimiento de Flujo

En la figura, se abre la válvula y la pregunta es:

En cuanto tiempose logra el régimen

Fuente: Streeter

permanente?

12

222 ds

t

v1

2

v

D

Lf

2

vH

dt

vdL

D

Lf 1

2

vH

22

vdLf

L2dt

vvLvSe inte ra

Dvg 2

vvgH2 f

de 0 a t, 0 a Vf

6Hidráulica IC-701



El golpe de ariete es un choque violento que se produce sobre las paredesde un conducto cuando el movimiento del liquido es modificado bruscamente. Esto se traduce en una variación brusca de la resióndentro de una tubería conocido como sobrepresión

Operación con dispositivos de cierre y regulación

Encendido y apagado de Bombas

Encendido y apagado de Turbinas

7Hidráulica IC-701



Fuente: Streeter 8Hidráulica IC-701



Velocidad y Presión están uniformemente distribuidas sobre lasección

Tubería completamente llena

Altura de velocidad despreciable frente a la altura de presión

Teoría de la columna rigida,

Teoría de la columna flexible 9Hidráulica IC-701



Hipótesis Adicionales

Fluido ideal (incompresible y sin roce)

Deducción

Tubería rígida

Como consecuencia de la operación de la válvula aparece una fuerza desbalanceada. Lafuerza de sobrepresión F causa un aumento de presión p en el dispositivo.

dt

dQL

dt

dvLA

dt

dvmF

dv

+ha

-ha

dtg sengg a010

1ZLsen

h0 10 ZhgA

Z1

A

gALsen

dt

dv

g

Lha a0 hhgA

L

Ag

10Hidráulica IC-701



Por otra parte en la valvula se tiene:

Torricelli+ha

-ha 00g0 gh2AQ 0t

h0

A Tt0 a0tg hhg2AQ

LAg Tt 0Q0

: Función de Regulación0gtg AA

0

a0 h

h1QQ

0

ae h

h1QQ

Se llega:

Cierre del dispositivo Abertura del dispositivo




Obtención de la maxima altura de sobrepresión. Se busca dQ/dt

dt

dh

h

1

h

h1

2

1

h

h1

dt

dQ

dt

dQ a

0

2

1

0

a

0

a0

Reemplazando expresión ha y derivando dha/dt

0h

1h2

h

h1

dt

d

Q

gA

L

h

dt

dh 0

a0

0

a

0

aa

Máximo!!

Para el caso extremo ha = - h0 se cumple:

1a 4K hmax

10 K 2h

2 2

0

01

dtgAh

LQK

0

e2

dtgAh

LQK




Se busca encontrar una relación entre la sobre presión ha y el tiempo t

Budau

e0a QQgAT2

L3hmax th a

a .

Experiencia indica que para la Teoría de la columna rigida es aplicable cuando

(Bollrich) Tiempo de cierre T (s) > L (km)(Parmakian) Tiempo de cierre T (s) > L/1000 (pies)

Para otra situación utilizar Teoría de la columna Elastica

Sistema de tuberías con cambio de seccion transversal: „L equivalente“

n

1n

3

13

2

121 A

.........AA

LL




Expresión de Joukowski

.la relación causa efecto ante una variación de presión en el sistema.

Considera que la fase del golpe de ariete directo (solo la onda de reflexión) es la

at0

primaria la más significativa

12 vvQPAF cvv 12

g

cvh a




Hipótesis Adicionales

Fluido real (compresible, roce)

Deducción

• Ecuación de Movimiento (equilibrio dinamico)

pA

) pA(l

gAdx

dxgAsen

xdx




dv

dv4 p1 0

dz

dtx 0

dtDx dx

2

ttxdt

tx2dt

t

v

D

4

dx

v

2

1

dx

dzg

x

p1 0

t

v

g

1

gD

4

g

v

2

1

g

pz

x0

vvf v1v2

Dependiendo el régimen, por ejemplo turbulento8vf 0

gD2tgg2gz

x

1era Ec. de Saint Venant




• Ecuación de Continuidad

Balance de masa

ldx

)Av(Av

t

mQQ msme

dx x

AdxdxAvAvAv 0v1vA1Av

0vd1dA1

x1er termino referido a la elasticidad de la tubería y a su velocidad de deformacióncon la presión

2do

termino tiene en cuenta la compresibilidad del liquido17Hidráulica IC-701



Análisis del primer término

Equilibrio de fuerzas2D

pT

Variación temporal de la fuerza de Tensión por unidad de longitud

dtdp

2D

dtdT

Velocidad de variación de la Tensión (se divide por el espesor e)

dpDd dte2dt

Al dividir por el modulo de elasticidad del material se encuentra el valor de la velocidad.

sección se encuentra la velocidad del aumento del área. Además introduciendo elcoeficiente de Poisson, se llega a:

dt

dpDc

2

D

eE2

D

dt

dA1

dt

dp

eE

Dc

dt

dA

A

1 1




Análisis del segundo termino

Utilizando la definición del modulo de elasticidad volumétrico

d/dk

dp1d1

dtk dt

Reemplazando

0x

v

dt

dp

k

1

dt

dp

eE

Dc1

0

x

v

eE

kDc1

dt

dp

k

1 1

Si se multiplica por k, se divide por la densidad y reagrupando se llega

kDc1

/k c

1

0

x

vc

dt

dp1 2

Celeridad de onda transiente

eE




O escrita de otra manera10

eE

Dc

k

1c

1

e

DK 3,48

c

E

K O bien

Agua

donde c1 es una constante definida en función del tipo de unión entre las tuberías

= – c1= 1 – μ2: tubería anclada contra contra movimiento longitudinal en toda su extensiónc1= 1 – μ/2: tubería con juntas de expansión

Tub. normal Tub. ex andida

Agua normal Agua comprimida




Como la derivada de dp es:

dtt

pdxx pdp

t pv

x p

dtdp

zHg p

zH

gzH

gvdp z

sen

con

Reemplazando en la ecuación canónica y despreciando algunos términos:

x

vcvgsen

x

Hvg

t

Hg 2

Finalmente al dividir ambos lados de la ecuación por g se llega

2

2da Ec. de Saint Venant

xg

vsenx

vt




vvf v1H gD2tgx c. e a n enan

2da Ec. de Saint Venant

xv

gcvsen

xHv

tH 2

Éstas son las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que rigen para el análisis y

calculo del ol e de ariete.

“ ” Autor: John Parmakian




Expresión de Allievi

xHg

tv

tH

cg

xv

2

BB

Con ayuda del teorema de Swartz

2

2

22

2 H1H

Cuya solución se obtienen utilizando la integral de D’Alembert

cxtf cxtFHH 0

c

xtf

c

xtF

c

gvv 0




xtF

xtf

unc ones ar rar as epen en o ascondiciones del problema en cuestión

Para el inicio del fenómeno (t=0; x=0) y para un instante t cualquiera y x=L

00f 0F

ctf

ctF

= -

L2tFtf 11 Tiempo critico (periodo de la tubería)

El comportamiento de las funciones queda finalmente sujeto a la maniobra del, , .

habla así de cierre brusco y cierre suave




2

Disipación de la energía producto del roce, sino la oscilación sería infinita

g2D

hV

h h

2L/a 2L/a2L/a

hV

t

ha

t

hahV

Verschluß desRegelorgans

ha

ha

hV

V

Cierre deldispositivo

hV

Sin roce Con roce25Hidráulica IC-701



Cierre brusco

de la tubería, t1<Tc. En este caso el cierre se efectúa antes que la onda reflejada alcancela válvula. En las ecuaciones f(t1)=0

101

tFHH

c 001 v

cHH

01 g

Luego par t2=t

1+Tc (v

2=0)

002 vg

HH

Un caso interesante de analizar es la expresión de Joukowski introduciendo las perdidas

pero con celeridad para material flexible.

g

cvJLHH Gmax

1c

g

cvJLHH Gmin

eEk

1




Cierre Suave

de la tubería, t1>Tc. Además la sección del dispositivo varía de su valor máximo A0

hasta anularse completamente. La variación de estos limites en el tiempo responde auna función del rado de abertura del dis ositivo. Si A es el area del dis ositivo en eltiempo t, se tiene:

tt A

AG

Así surgen las Ecuaciones Conjugadas de Allievi

ttnT C01 TFHH C01 TF

c

gvv

TFT2Fg

vv

CC02 T2FT3FHH c

CC03 T2FT3Fc

gvv

CC0n T1nFnTFHH CC0n T)1n(FnTF

c

gvv




Si se despeja de ambos sistemas la función F, se obtiene:

1001 vvg

cHH

c21021 vv

g

vvc

H2HH g

n1n0n1n vv

c

H2HH

El análisis mas en detalle de estas ecuaciones y un caso interesante de estudiarcomo el cierre lineal com leto se encuentra en los a untes del curso texto uía




Expresión de Michaud

dicha válvula. La presión varía desde 0 hasta ΔP, con un valor medio de ΔP/2 y lineal

mv v vg

gT

H

Im ulso ue ex erimenta el li uido en el interior de la tuberia corres onde a lavariacion de su cantidad de movimiento

Igualando la expresion de Allievi con la de Michaud se encuentra una longitud criticaLc. De ahí surge el concepto de Conduccion Corta y de Conduccion Larga.

LcT

2Si L<Lc, Conduccion Corta (cierre lento) y se utiliza Michaud

Si L>Lc, Conduccion larga (cierre rapido) y se utiliza Allievi desde la valvula hasta el

punto critico y el resto por Michaud 29Hidráulica IC-701



Chimeneas de equilibrio Estanque hidroneumático, cámara de aire vu a e a v o, e segur a o e escarga Válvulas supresoras Volantes Estanque de flujo unidireccional

Válvulas de retención combinadas con válvulas de compuerta

motorizadas Conexión de la línea de bombeo con el pozo de succión, por medio

Instalación de ventosas de doble acción




perac ones mas vas

•Represas

•Centrales hidroeléctricas

Almacenamiento

Zona deoscilaciones

Perdidas en tubería deconexion

Chimenea

Debido a la disminución de caudal circula el agua hacia la chimenea de equilibrio a.

presión, luego oscila lentamente hasta lograr el equilibrio




Deducción

hhhAF ,

v0S2 hzhgAF

f Sr g

Cantidad de Movimiento

dtvmF f sS

SS hhzl

gAdt

dQ

2

S

SS

S

S2

S

SS

S

SS

gA2df

gA2z

l

g

dtSS

S

SS QCQzldt (1)




Continuidad

TWS

En la chimenea se cumple que:

WW Adt

dz

Q (3)

, .chimenea de equlibrio.

dQ1

QQCz

gA1zd TSS

S2

2

Si se desprecia el caudal saliente y las perdidas friccionales

WSW

0zl

g

Adt

z

SWS2

Periodo de oscilación del a ua

gA2T S

S

WAltura máxima ?




Solución alternativa:

Energía cinetica:

2SSS

2SScinetica vlA

1vm

1E

Energia potencial:

2

zgzAgzmE max

maxWmaxW potencial

lA

se cons era que to a a energ a c net ca se trans orma en energ a potenc a , se t ene:

gAvz

WSmax




Fuente:Giesecke-Mosonyi, „Wasserkraftanlagen“35Hidráulica IC-701



H0

Cámara e a re a

presión P0

ConsideracionesSe utiliza para gastos hasta 1,0 m3/s y presiones hasta 150 m.c.a.

e recom en a como una es mac n aprox ma a una capac a e a e gas omáximo del sistema.




Definición de variables de interes

Q0: Caudal circulante.Sistema gravitacional = Q máx diario.Impulsión = Q bombeo

H0*: Altura dinamica absoluta. Adicion de 10 mca.

v0: ve oc a me a e escurr m ento

H0: Altura dinamica normal. .Impulsión = punto de funcionamiento del sistema.

*0*

H2

av

aC2T 0

C0: Volumen de aire del estanque hidroneumático


*



H0* *2Curvas1

2

2

4

0,54

0,5 1

LQ

a

0

0

0,5

A mitad de tramo

2 40,5

-H0

*

unto a om a

394

21

Hidráulica IC-701




Di i i t d l E t Hid ti



Dimensionamiento del Estanque Hidroneumatico

Consideraciones

Caracteristicas topograficas establecen criterios a adoptar para la maxima sobrepresióna aceptar, por ejemplo 30% (0,3 H0*)

Dependiendo de las caracteristicas de fabricación del estanque viene dado el coeficienteK. En esta zona se suele ocupar K=0,5. Por lo general el fabricante establece ese valor para sus equipos.

El volumen del estanque : *00 HC **min

EHH

0mín con

% representa el porcentaje aceptable de sobrepresión, por ejemplo 30%

De acuerdo a esto se elije el modelo de estanque hidroneumatico. Una restricciónimportante es la velocidad a la entrada del estanque (máx 8 m/s)

N° de estanques requeridos:

A8

Qn




a

b ce c

gh

f




Ejemplo 7.7.--

Para la situación mostrada en la figura, donde la tubería descargalibremente, determine el valor del golpe de ariete y el valor del esfuerzo

,

5 s. ¿Cuanto vale si la válvula es cerrada en 1 min?.

Dext = 6 pies

60 m.s.n.m

e = 5 mm.

L = 3000 m.

0 m.s.n.m

Tubería de Acero.


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