Hi Per Geometric A

DISTRIBUCION GEOMETRICA

Max Garcia

20 de abril de 2014

Max Garcia DISTRIBUCION GEOMETRICA

Definicion

Un ensayo Bernoulli es un experimento en el que se presentan solodos sucesos mutuamente excluyentes.

Sea (,, ) y un suceso A con 6= y 6= .Consideraremos la situacion que se plantea en un distribucionBinomial, salvo que ahora los n ensayos Bernoulli sondependientes. La resultante variable aleatoria se dice tienedistribucion hipergeometrica.

La forma en que se hallara la funcion de densidad de esta nuevavariable aleatoria:


Definicion


Sea (,, ) y un suceso A con 6= y 6= .

Consideraremos la situacion que se plantea en un distribucionBinomial, salvo que ahora los n ensayos Bernoulli sondependientes. La resultante variable aleatoria se dice tienedistribucion hipergeometrica.



Definicion


Sea (,, ) y un suceso A con 6= y 6= .Consideraremos la situacion que se plantea en un distribucionBinomial, salvo que ahora los n ensayos Bernoulli sondependientes. La resultante variable aleatoria se dice tienedistribucion hipergeometrica.



Es la misma que en el caso binomial excepto en lo que hacereferencia al calculo de la probabilidad de una n upla en la que seobservan x veces el suceso A.En efecto, dado que los ensayos Bernoulli son dependientes, laprobabilidad del suceso A no se mantendra constante de un ensayoa otro.

Observacion

En una distribucion binomial:Supongamos que se realizan n ensayos o pruebas Bernoulliindependientes.Al completarse las n pruebas tendremos una n epla,(w1,w2, ...,wn) n donde wi , i = 1, ..., n es el resultado delensayo i , es decir, bien A o bien Ac .


Observacion

Simbolizaremos mediante n al conjunto formado por todas lasn uplas constituidas por los elementos de la forma:

Ai = {A, en el i-esimo ensayo}, i = 1, ..., n.Por ejemplo, una particular n upla podra ser:

(A1 A2 Ac3 ... Acn)En el ensayo de Bernoulli se define una variable aleatoria X que vade n hasta R, asi que el valor que toma la variable aleatoria es elnumero de veces que aparece A en la n upla.Es decir:

X (w1,w2, ...,wn) = xEntonces podemos decir que = {0, 1, 2, ..., n} entonces X esdiscreta.Ahora veamos lo siguiente:


Observacion

f (x) = (X = x) = ({(w1, ...,wn) n|X (w1, ...,wn) = x})Es decir, para calcular la funcion de densidad de esta variabledebemos calcular la probabilidad de un suceso que es la union detodos los sucesos que son n uplas con x resultados A y n xresultados Ac .Dichos sucesos son disjuntos.En efecto, basta considerar, por ejemplo:

{A1 A2 Ac3} y {A1 Ac2 A3}donde vemos:

{A1 A2 Ac3} y {A1 Ac2 A3} = {A1 } = {}


Observacion

La probabilidad que queremos calcular sera la suma de lasprobabilidades de cada una de las n uplas con x resultados A yn x resultados Ac .Al ser ensayos Bernoulli independientes, la probabilidad de unacualesquiera de estas n eplas es:

P(A1 Ac2 ... Acn) = P(A1)P(Ac2)...P(Acn) = px(1 p)nx

Por otro lado, el numero de estas n uplas con x veces el sucesoA y n x veces Ac sera:

PRx ,nxn =n!

x!(n x)! =(n

x

)Por lo que la funcion de densidad de X tiene la siguiente expresion:


Observacion

f (x) =

(n

x

)px(1 p)nx , x = 0, 1, 2, ..., n

Ahora calcularemos el la probabilidad del suceso:

(A1, ...,Ax ,Acx+1, ...,A

cn)

de tal forma que supondremos que el espacio muestral consta deN elementos, de los que m tienen la caracteristica A, y N m, lacaracterstica Ac , as:

P(A1, ...,Ax ,Acx+1, ...,A

cn) =

P(A1)P(A2 | A1)P[A3 | (A1 A2)]...P[Acn | (A1 ... Acn1] =


=m

M

m 1N 1 ...

N m (n x 1)N x (n x 1) =

m!(mx)!

(Nm)![Nm(nx)]!

N!(Nm)!

Se observa que cualquiera de las n uplas con el suceso Arepetido x veces tiene la mism a probabilidad. Por otro lado, comose vio en el caso binomial, el numero de n uplas con x veces elsuceso A es PRx ,nxn , por lo que la funcion de densidad f de unavariable hipergeometrica es:

f (x) =n!

x!(n x)!m!

(mx)!(Nm)!

[Nm(nx)]!N!

(Nm)!=

(mx

)(Nmnx

)(Nn

) , x = 0, ..., n


Ejemplo

Seupongamos que la quint aparte de las semillas de un lote de 40no se encuentra en buenas condiciones. Si se seleccionaran sinreemplazamiento 20 semillas de las 40, Cual es la probabilidad deque 7 de estas semillas seleccionadas no esten en buenascondiciones?

Sea X =El numero de semillas en malas condiciones de entre las20 seleccionadas.Al seleccionar sin reemplazamiento, la probabilidad de encontraruna semilla en malas condiciones no permanece constante de unasemilla a otra, es decir, los ensayos de Bernoulli consistentes en versi la semilla esta en buenas condiciones, no son independientes. deaqu:

P(X = 7) =

(87

)(3213

)(4020

) = 0,02


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