Hacer Mate 1

8/20/2019 Hacer Mate 1

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Libro para el docente



Esta obra fue real izada por el equipo editor ial de Ángel Estrada y

Cía. S.A., bajo la dirección de la Lic. Silvia Jáuregui.

En su realización han intervenido:

Editores: Graciela Cappelletti y Alejandro Palermo.Corrección: Mónica Graziolo.

Dirección de Arte: Arq. Da niel Balado .

Diseño gráfico: Pa blo A. Alarcón.

Películas: D.G. Norma Alonso y Benjamín Benítez .

Agradecimientos: Para e laborar Hacer M at emát ica 1 y este libro del

docente , hemos reto ma do idea s larga mente d iscutida s con nuestros

coleg as del Equipo d e Ma temá tica de la “ Asesoría del Consejo d e

Educación d e Corrientes” y del Eq uipo d e Ma temá tica de la “ Direc-

ción d e Currículum del Gob ierno de la Ciuda d d e Bueno s Aires” . He-

mos, incluso, retomado párrafos de textos escritos junto con ellos.

Por la fe cundida d de l trab ajo compartido q ueremos agra decer a Cris-

t ina Camerano, Clara Barr ionuevo, Graciela Mauriño, Patr icia Sa-

do vsky, Cla udia Broitma n y Hora cio Itzcovich.

En pa rticular, q ueremo s ag rad ecer a Silvia Assensa y Adriana Castro,

quienes fueron lectoras críticas de esta obra desde los primeros bo-

rradores.

Queremos agrad ecer tamb ién a una g ran cant idad d e ma estros con

quienes, a lo largo de los años, l levamos adelante el trabajo que

consti tuye la experiencia de b ase en la q ue nos apo yamo s.

Sin duda, los alumnos también enriquecieron nuestra experiencia,

pero como es difícil hacerles llegar nuestro agradecimiento espera-

mos que la “ devolución” suceda a r a íz de que o tros n iños aprendan

mucha ma temá tica —y disfruten— usan do este l ibro.

Las aut or as

Ángel Estrad a y Cía. S.A.Bolívar 462, Buenos Aires, Argent ina.Internet: www.estrada.com.ar

PROHIBIDA LA FOTOCOPIA (Ley 11.723). El editor se reserva todos los dere-chos sobre esta o bra, la q ue no pued e reproducirse tot al o parcialmente porningún mé tod o g ráfico, electrónico o mecánico, incluyendo el de fot ocopia-do, el de registro ma gnet ofó nico o el de alma cenamiento d e dat os, sin su ex-preso consentimiento.

Primera edición. Esta obra se terminó de imprimir en febrero de 1999, en lostalleres de Ángel Estrada y Cía S.A., Ruta 205, km 42, 180, Carlos Spegazzini,provincia d e Buen os Aires, Argen tina .



ÍNDICE

ORGANIZACIÓNDELLIBRO DELALUMNO .................................................4

INTRODUCCIÓN..................................................................................8Cómo pensamos Hacer M at emát ica 1.

1NÚMERO...................................................................................... 12Utilizar los números en contextos variados.

El número com o m emo r ia de la can t idad .

El n úmero como recu rso p a ra an t i cipa r .

En re lac ión con la com parac ión.

Contar una colección.Conocer la serie numérica oral y escrita.

En re lación a l con tex to de l d in e ro .

2 OPERACIONES.............................................................................. 26El sentido de las operaciones.Los procedimientos de cálculo.

El p asaje del con t eo al cálcul o.

El me jo r am ien t o de l con t eo .

Los p roced im ien to s men t a les de reso lu ción .

3 ESPACIO, FORMASYMEDIDA...........................................................36

Organización del espacio.Representación gráfica.Figuras geométricas.Regularidades gráficas.Medición.

4 TRATAMIENTO DELA INFORMACIÓN...................................................44Representación gráfica de situaciones.Extracción de información presente en distintos portadores.Ident if icación de elemem entos a partir de sus características.

5 BIBLIOGRAFÍA...............................................................................48



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1 EN LA CLASE

2 LA CASA D E JUAN

8 CALENDARIO DE ABRIL

18 JU EG O D E LA O CA

19 EN EL B AR

20 ¿Q UÉ HACE FALTA? (2)

21 EN EL MERCADO

22 CALENDARIO

29 EL CIRCO

50 UN RELOJ PARA PAPÁ

68 ¡ LLEGÓ EL CIRCO!

75 ¡ MUCHO PARA SUMAR!

81 EL RESTORÁN

90 ADIVINANZAS DE NÚMEROS

91 PROBLEMAS DIFERENTES

95 LA FÁBRICA DE MOCHILAS

96 EL M ENÚ D E DO N ÁNGEL

3 DAD OS Y D ED OS

4 LIBROS CON NÚMEROS

6 ¡ A EMBOCAR!

9 NÚMEROS ORDENADOS

10 G UERRA CON CARTAS

11 ¿Q UÉ HACE FALTA?

12 JUEGOS PARA DESCUBRIR

BLOQUE DE CONTENIDO: Tratamiento de la información

BLOQUE DE CONTENIDO: Número

ORGANIZACIÓNDELLIBRODELALUMNO

PÁGINA FICHA INTENCIONES DIDÁCTICAS

• Comparar colecciones.• Iniciarse en respon der preg unt as (sí-no).• Produc ir una co le cc ión q ue te ng a t a nto como o t r a da da .

• Identi f icar un o bjeto a par t ir de los e lementos que lo consti tuyen.

• Registrar información var iada en e l ca lendar io .

• Interpretar representa ciones g rá f icas .• Identificar las acciones que fa vorecen llega r al f ina l.• Identificar casilleros por los números.

• Representa r grá f icamen te una s itua ción.

• Solici tar una cantidad .• Tener oca sión d e utilizar los núme ros para resolver un problema .

• Representa r grá f icamen te una s itua ción.

• Interpretar la información contenida en un ca lendar io .

• Explorar una imag en para responder pregunt as .• Precisar los e lementos q ue forman par te d e la colección q ue se va a cont ar .• Formular pregunta s que se puedan responder a par t ir de una imagen.

• Identificar un elemento a pa rtir de sus características.

• Explorar una ima gen pa ra extraer información.

• Utiliza r las comp osiciones a 10 pa ra fa cilita r los cálculos.

• Interpretar un texto con un dibujo.• Ampliar el campo de prob lemas aritmét icos por resolver.

• Interpreta r info rmaciones positivas y neg at ivas relativas a relacione s numé ricas.

• Inventar problemas de suma y de resta .

• Investigar e l número de soluciones de un problema da do.

• Generar da tos y crear soluciones considerand o un contexto.

• Vincular configuraciones de dedo s, constelaciones y cifras relat ivas a losprimeros números.

• Generar un modo de control de la cantida d de vuelta s jugada s .• Registrar y compa rar cant idades pequeña s .

• Representa r grá f ica y numéricamen te cantida des pequeña s .• Seguir instrucciones para rea l izar una tarea .• Relaciona r can tida d, colección y representa ción num érica.

• Organizar en un registro la información del desarrollo de un juego.• Analizar fo rmas diferentes de regis trar información de un juego.

• Fam iliarizarse con la serie escrita d e núm eros del 1 al 10.

• Comparar cantidad es menores de 10.

• Solici tar una cantidad .• Tener oca sión d e utilizar los núme ros para resolver un problema .

• Comparar y completa r colecciones .

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Libro para el docent e Hacer M at emát ica 1 5

• Encontrar un procedimiento pa ra repar t ir equita t ivamen te una cant idad.

• Interpretar la expresión “ tan tos . . . como. . . ” .• Producir coleccione s equ ivalentes (punto s, casilleros).• Compa r a r c a nt ida de s pe que ña s.

• Organizar una colección pa ra contar la .

• Producir una colección ma yor que una d ada .• De te rmina r c a nt ida de s ma yore s a una da da .

• Trab ajar con la serie num érica e scrita.

• Contar colecciones no desplaza bles.• Compa r a r c a nt ida de s.

• Comparar cantidad es menores que 30.

• Elaborar un procedimiento pa ra resolver un problema de ant icipación.

• Continuar la ser ie ora l a par t ir de un número dado .• Completa r la serie numé rica escrita .

• Seleccionar e l ma yor de tres números dado s .• Determinar un número ma yor a otros dos .

• Construir colecciones que teng an la misma cantida d (o el doble) que un acolección dada.

• Determina r los dob les de los números del 1 al 6.

• Completa r la serie escrita de núm eros.• Iniciar el a ná lisis de regula ridad es de la serie escrita.

• Trab ajar con la serie escrita d e núm eros.

• Realizar particione s de una colección q ue respeten cierta s condiciones.• Analizar las pa rticiones realizada s en función de las condicione s del problema .

• Organizar colecciones para contar las y comparar las .

• Completa r una colección pa ra que duplique e l número de e lementos de ot ra .

• Real izar una pa r t ición en conjuntos equipotentes .

• Comparar y ordena r números .

• Conta r a pa r t i r de un núme ro .

• Organizar la ser ie numérica en interva los de a 10.• Determinar la ub icación de a lgunos números en e l cuadro numérico.

• Trab ajar con las descomposiciones de 10.

• Identificar números a pa rtir de ciertas relaciones.• Observar las regularida des de la serie numérica escrita.

• Trab ajar con la serie descendent e de núm eros.

• Determina r números que verifican cierta s condiciones.

• Determinar la ubicación de a lgunos números a par t ir de otros dado s .

• Relaciona r cant idades con el número de grupos de 10 elementos que las componen.

• Real izar la pa r t ición de una cant idad.• Considera r las condicione s del problema p ara p roducir la respuesta .

• Trab ajar con las escala s de 5 y de 10 vinculad as con la orga nización de l cua dro denúmeros.

• Vincular la suma y la resta de 10 con los desplaza miento s verticales en el cuad ro numé rico.

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14 QUESOS PARA TODOS

15 CARRERA CON DADOS

17 ¡ CUÁNTAS FLORES!

23 G UERRA CON CARTAS (2)

25 ¿Q UÉ SERÁ?

26 OCUPAR TERRITORIO

27 JUG AND O A LO S B OLO S

28 LOS PAJARITOS

31 LA RONDA DE LOS NÚMEROS

32 G UERRA DE A TRES

34 LO S O SO S

35 LA LOCOMOTORA

37 NÚMEROS MÁS GRANDES

38 LIBROS ORDENADOS

40 PECES Y PECERAS

42 CARRERA DE BICICLETAS

43 PASTELITOS PARA TODOS

49 REPARTO DE SODA

51 M IRAR LOS PRECIOS

55 ¡ UN NUEVO DESAFÍO!

63 LA RIFA

70 LA RIFA (2)

71 LA INAUGURACIÓN DEL CINE

72 ¿P OR CUÁL NÚMERO VAN?

79 EL CUADRO DE NÚMEROS

80 EL ÁLBUM DE FOTOS

84 LOS AUTOS NUEVOS

86 RECORRIDOS A LOS SALTOS


69 FORMAR 10



Hacer M at emát ica 1 6 Libro para el docente

• Rea l izar par t ic iones de una colección q ue respeten condiciones dada s .• Analizar la posibi lidad de rea l izar una par t ic ión con las condiciones dada s .

• Reunir y compa rar colecciones.

• Comenzar a dar sentido a las escr ituras a + b y a - b.• Utilizar los signos + y - para representa r aumento y disminución de cant idades.

• Reunir y compon er coleccione s.• Realizar el contro l de los resulta do s registrado s.

• Resolver problema s ad itivos relativos a desplaza miento s.• Producir un problema del t ipo traba jado.

• Ampliar e l repertor io a dit ivo d e díg i tos .

• Trab aja r los complement os a 10.

• Fam iliarizarse con b illetes y mon eda s.• Comparar y componer cantidad es .

• Buscar información en una imag en.• Componer ca nt ida de s .• Poner en juego procedimientos adit ivos.• Comparar números.

• Fam iliarizarse con los problema s aditivos.• Seleccionar en cada caso la o peración q ue permite encontrar e l resulta do.

• Comparar cantidad es formad as por pares de números .• Compa rar y completa r descomp osiciones aditivas.• Argument ar sobre re laciones entre núm eros.

• Trab aja r con los comp lemento s a 10 en pa rtida s simulad as y en distinta srepresentaciones.

• Ampliar e l reper tor io a dit ivo d e números hasta 15.

• Construir una colección a partir de subcolecciones y realizar un reparto equita tivo.

• Fam iliarizarse con b illetes y mon eda s.• Buscar dist intas composiciones de una misma cantidad .

• Agilizar los procedimiento s de suma de los primeros números.

• Resolver problema s de suma y resta .• Selecciona r dat os y resolver la situa ción.

• Ejercita r la suma de díg i tos .

• Resolver cálculos ap oyá ndo se en otros ya resuelto s.

• Construir colecciones que teng an e l dob le o la mitad d e e lementos que unacolección da da .

• Identi f icar un objeto a par t ir de informaciones simultán eas .

• Resolver problemas de suma y d e resta con diferentes significados (reunir,quita r y completa r).

• Ejercita r la suma con cincos y dieces.• Buscar recursos para fa cilita r esas suma s.• Obt ener conclusiones a pa rtir del an álisis de situaciones de juego.

• Ejercita r la resta d e dígito s.

98 TREN FANTASMA

30 LA TORRE MÁS ALTA

36 JUEG O D E LA CAJA

39 LA SERPIENTE

44 JU EG O D E LA O CA (2)

45 CARTELES CON SUMAS

46 LA CAJITA DE LOS 10

48 MONEDAS Y BILLETES

53 COMPRAS

56 EL CUMPLEAÑOS DE MARILISA

57 G UERRA DOBLE

59 OTRA VEZ LA CAJITA

61 CARTELES CON SUMAS (2)

62 LAS FIGU RITAS

64 MONEDAS Y BILLETES (2)

66 TRES DADOS

67 EL COLECTIVO

73 LOTERÍA DE SUMAS

74 PARA EL PASEO

76 M I PREFERIDO ES…

82 COMIDA PARA LLEVAR

83 LA HUEVERA

87 VUELTA Y REVUELTA

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BLOQUE DE CONTENIDO: Operaciones




• Trata r la información presentada en distintos porta dores: gráfico, tabla y enunciad o.

• Realizar compo sicione s de decena s.• Ejercitar la suma de decenas .

• Encontrar un medio para realizar una comparación indirecta de longitudes(objetos no móviles).

• Ejercitar la suma de decenas más unidad es .• Trab ajar la de scompo sición en d ecena s y unidad es.

• Construir una ser ie a par t ir de la repetición de un modelo.• Comunicar ora lmente e l modelo e lab orado .

• Relaciona r ubicacione s espaciales de objeto s con las formula cione s correspon dient es.

• Identificar y reproducir una posición d ada a partir de una foto o de indicacionesverbales.

• Representa r grá f icamente la posición del muñeco.• Analizar represent aciones grá ficas de posiciones.

• Reproducir una ser ie identi f icand o el mod elo usado.• Identi f icar los e lementos que fo rman una serie .

• Represent ar grá ficamen te las acciones desarrollada s en un recorrido.• Identi f icar representa ciones grá f icas de desplaza mientos a pa r t ir de las

formulaciones correspondientes.

• Identificar las casillas de una cua drícula.

• Componer nuevas f iguras a par t ir de otra s da da s .• Representa r las grá f icamente .• Plantear pregunta s que permitan identi f icar una f igura .• Analizar pregunt as y respuesta s .

• Reproducir una conf iguración identi f icando el modelo usado.• Identi f icar los e lementos que forman la conf iguración.

• Identificar elemen to s a pa rtir de informa cione s espaciales.

• Determinar la ub icación de e lementos en una f i la a par t ir de informacionesespaciales.

• Trab ajar con el calenda rio y sus subdivisiones: semana s y días.

• Identi f icar e lementos de una imagen a par t ir de formulaciones dada s .

• Componer nuevas f iguras a par t ir de otra s da da s .• Representa r grá f icamente una construcción.• Comparar representa ciones grá f icas .• Describir una con strucción pa ra su reproducción.• Determinar e l modelo d e una serie y continuar la .

• Controlar la a decuación de fo rmulaciones da da s .

• Ordenar objetos a pa r t ir de sus longitudes .

• Componer f iguras a par t ir de otras dad as .

• Explorar la divers idad de fo rmas que se obtienen a par t ir de un númeroconsta nte de e lementos .

• Analizar la sucesión de los días de la semana a l pasar de una a o tra .• Ubicar fechas precisas en el calenda rio anua l.

88 TIRO AL BLANCO

89 BILLETES MÁS GRANDES

93 LAS MADERITAS DE COLORES

94 ¿Q UIÉN GANÓ?

5 G UARDAS

7 ¿D ÓNDE CAYERON?

13 EL MUÑECO ARTICULADO

16 G UARDAS

24 RECORRIDOS

33 MOSAICOS DE COLORES

41 ARMAR Y DIBUJAR

47 PISOS DECORADOS

52 LOS CARTELES DE LAS AULAS

54 LA FILA DEL CINE

58 LOS DÍAS DE LA SEMANA

60 EN LA FIESTA

65 PARA LA GALERÍA DE DIBUJOS

77 D ICTADO DE FIGURAS

78 ¿P RIMERO O ÚLTIMO?

85 CON LOS TRIÁNGULOS

92 G RAN CONCURSO

97 LOS DÍAS, LAS SEMANAS Y

LOS MESES DEL AÑO

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BLOQUE DE CONTENIDO: Espacio, formas y medidas



Hacer M at emát ica 1

INTRODUCCIÓN


Cómo pensamos Hacer M at emát ica 1

Hace muchos años que a compa ñamo s a niños en la ta rea de aprender Mate-mát ica, y a maestros, en la ta rea de enseñarla . Pa ra ha cer esta obra recupera-

mos nuestra experiencia , pero a l mismo t iempo la tra nsforma mos, ya q ue tenía -mos que propo nerla a través de un elemento pa rticula r: el libro d e texto .

Las situaciones elaboradas buscan que los chicos aprendan Matemática ha-ciendo ma temá tica . Nos basamo s en el convencimiento d e q ue a un los má s pe-q ueños a prenden resolviendo problemas, discutiendo , prod uciendo soluciones,revisándolas, encontrando nuevas formulaciones, reutilizando sus conocimien-tos ante otras situaciones, haciendo preguntas, detectando errores, empezan-do ot ra vez. . . Es decir, aprende n a tra vés de las a cciones que emprend en comorespuesta a las preg unta s, a las consign as, a los desafíos de los cua les se a pro-piaron . Aprend en a ra íz de volver sob re la pro ducción pro pia y de ot ros. Apren-den cuand o expresan sus ideas y ta mbién cuan do comienza n a d a r sentido a sig -nos y palab ras larg a mente utiliza do s en la cultura. Aprenden cuando su propia

prod ucción es reconocida y vincula da con los con ocimient os dispon ibles.Dimos importa ncia a la s situaciones a biertas q ue a dmiten diversas soluciones

y cuyo tra ta miento pued e evoluciona r. Otorga mos mucho va lor a la interacciónentre los alumnos como fuent e de a prendizaje.

El libro fue pensad o como un elemento q ue fa vorezca un a prendizaje vivo yfuncional de la Matemática, pero sabemos y afirmamos que las característicasdel proceso de aprendizaje que se lleve adelante van a estar altamente deter-minada s por el proyecto del ma estro. En este sentido, n uestro libro a lienta ladiversidad , cont empla la intera cción y la fo rmulación del producto común deltra ba jo, pero, a la vez, no pued e conten erlos. Esto s aspecto s serán un a realida dviva en la clase si son relevantes para el maestro.

Somo s consciente s de q ue el ma estro es responsab le del proyecto g lob a l, l le-va a delant e la enseñanz a de mucha s á reas y, para ello, es conveniente, y nece-sario, que cuente con herramientas concretas que le permitan articular, en lopequeño, sus convicciones generales. En ese sentido, Hacer M at emát ica 1 pre-tende ser un punto d e a poyo relevante y fue pensad o pa ra desencad enar pro-cesos de a prendizaje.

¿Qué significa esto? Significa que no lo consideramos como un libro de apli-cación. La idea no es que el maestro t iene q ue enseña r los element os (los nú-mero s, los signo s, las figura s...) y de spués recurrir a l libro pa ra q ue los alumno sapliquen lo que les enseñó. Al contrario, la mayoría de las propuestas fueronpensada s para inicia r un proceso de a prendizaje. Trat a mos q ue constituya n ver-da deros problemas, verdad eros desafíos; son, b á sicam ente , cuestiones “ difíci-les” , es decir, en genera l, los a lumnos no van a do minar de ent rad a a q uello q ueestá en juego. Se pensaro n conte xtos accesibles a los niños, se t rat ó de presen-

ta r en términos claros para los alumnos lo q ue de ben log rar (por ejemplo, po-der det ermina r quién ga nó o ma nda r un mensaje pa ra ha cer una construcción),se an a lizaron los cono cimientos en los que pueden a poya rse para em peza r atra ba ja r, pero, y q ueremos insistir en ello, se espera q ue los alumnos “ teng a nq ue trab a jar” , es decir que teng an q ue dete nerse, pensa r, prob ar, producirunas primeras soluciones sobre las que haya que volver, para mejorarlas, paracambiarlas. Muchas veces se escucha decir que los alumnos pueden o no pue-den ha cer ta l cosa, saben o no sab en resolver una cuestión. Esta mos proponien-do pensar el aprendizaje en términos más abiertos: cuando los alumnos abor-da n una situación sa ben alguna s cosas y alguna s, no; usarán sus cono cimientos,pero al mismo t iempo esta rán a borda ndo a lgo nuevo, traba joso, q ue “ fuerza”a producir, y como resultad o d el proceso sab rán má s que lo q ue sabían.

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Obvia ment e, no to da s la s f icha s tienen ese ca rácter de a pertura, a lguna s re-presenta n una opo rtunidad de práctica , de vuelta individua l sob re algún a spec-to. Hay fichas de trabajo que retoman cuestiones iniciadas antes, pero en mu-chos casos la continuidad, la reelaboración dependerán de propuestas del do-

cente estructura da s en to rno de las línea s de tra ba jo te ndida s. Justa mente , unode los sentidos de este libro para el docente, e s el de compa rtir cuáles son esaslíneas que orga nizan la t o ta lida d.

El maestro tiene la responsa bilidad de asegura r un conjunto de a dq uisicio-nes en sus a lumnos, en tiempo s relat iva men te d et ermina do s. Tiene q ue inscri-bir su proyecto de enseñanza en una historia que ya comenzó y que continúadespués. El proyecto tiene q ue conte mplar tiempos la rgo s y corto s y pla ntea rseevolucione s a d istinta s escalas.

Pa ra pe nsar este libro int ent a remo s considera r esa s distint a s esca las. Trab a -jamos con una imagen de los objetivos a lograr en el año, pero lo organizare-mos en cuatro períodos (asimilables a los bimestres que rigen en muchas juris-dicciones). En cada período nos plantearemos cuestiones que se abren, otras

q ue se consolida n, etc. Para ello, to ma ndo en cuenta las adq uisiciones conside-rad a s relevant es para cad a bloq ue de cont enido, proponem os una sucesión desituaciones pensadas a partir del análisis de los conocimientos básicos que cadauna requiere, lo q ue pon e en juego o lo q ue busca convertir en disponible. A lavez, consideraremos la simultaneidad y las potenciales relaciones entre los as-pectos que se aborda n dentro de cada bloque o entre bloques para cada bimes-tre. Algunos aspectos tienen imbricaciones más fuertes: por ejemplo, los niñosa vanza n en sus cono cimientos del sistema de numeración a raíz de la s posibili-da des de opera r con los números y a la vez enf renta n muchos problema s de cál-culo gracias a sus conocimientos de los números; otras imbricaciones son másdéb iles o simplemente responden a la necesidad de llevar varios asuntos de t ra-ba jo en para lelo. La s f ichas de tra ba jo está n pensad a s básicament e en sucesión,pero en el índice para el docente se las reag rupó por bloq ue pa ra permitir mi-rad a s interna s a ca da uno y ta mbién la definición de ritmo s propios.

Se incluyen evaluaciones al término de cada bimestre, que pueden ser pro-puesta s a los alumnos en función d e las activida des de en seña nza efectivam en-te realizad a s. Como dijimos, un libro d e texto no t iene ca pacidad de cont ener lasingularidad de los procesos reales de un aula. El maestro que decida utilizarlasdef inirá la valoración d e los ítem según los pesos que les haya ot orga do en laenseñanza o las característica s que h a ya tenido dicho proceso. Como t od o el li-bro, son mera s herramienta s al servicio d el proyecto q ue mo nitorea el docente.

Así como inten ta mos considera r líneas de evolución a lo la rgo del añ o pa ralos cont enido s de los bloq ues, ta mb ién int ent a mo s considera r la s posibles línea sde evolución dentro d e las situaciones plan tea da s, ya sea e n una f icha d e trab a -jo como e n los “ pa q uetes” de f ichas vincula da s. Incorporamos actividad es don-

de los niños resuelven o contestan cuestiones, cuya finalidad es la reflexión so-bre los procedimientos.

Imaginamos y proponemos diversas dinámicas en las cuales subyace un cier-to esquema sobre mo ment os de una cla se o d e una serie de clases:

PRIMER MOMENTO: EXPLORACIÓN COLECTIVA DE LA SITUACIÓN

Buscamos que todos los alumnos comprendan la f inalidad de la tarea o sea propien d e las reglas del juego o construyan una representa ción d el cont extode la situación presentada gráficamente o como enunciado. Básicamente, tie-nen que comprender qué se espera de ellos y tienen que poder imaginar unamanera de empeza r a enfrenta r la situa ción.




SEGUNDO MOMENTO: TRABAJO INDIVIDUAL O POR PAREJAS O EN EQUIPO

Los alumnos trab a jará n solos y se los alenta rá o se reinterpretará n las con-signa s si está n de tenidos, resituánd olos en la f inalida d d e la t a rea, pero sin juz-

ga r los emprendimiento s.

TERCER MOM ENTO: PUESTA EN COM ÚN

Se org a nizan d iversas forma s de intera cción según el asunto q ue esté en jue-go . Puede provocarse la necesida d d e llega r a una respuesta común, u orga ni-za r la exposición de procedimientos, la formulación y confront ación de resulta -do s, la revisión y el an á lisis de procesos, etcéte ra.

CUARTO MOMENTO: CONCLUSIÓN CON LOS ALUMNOS

El docente ha ce la síntesis del tra ba jo d e los niños, afina o introd uce modo s

de representa ción del prob lema o de la s solucion es, seña la lo pro ducido y/o loq ue q ueda por hacer. Es un momen to relevante y delicado a la vez: para q ue eldiscurso d el docente teng a sentido para los niños, es imprescindible q ue se a po-ye verda dera mente en el trab a jo d e los a lumnos. Si ello no ocurre, se estaríafrente a una ficción: el docente esta ría recono ciendo en el trab ajo de los niñosun sab er que rea lmente no produjeron. Por otra pa rte, los alumnos deb en tra -tar de establecer cuáles son los aspectos de su producción personal que se rela-cion a n con la e xplica ción del do cente. Si no lo h a cen, corren e l riesg o d e recor-da r aspectos irrelevant es de la situa ción, q ue no funciona rán como referencia simportant es para nuevas situaciones.

La ma yor pa rte de las propuesta s del libro aliment a n el primer y el seg undomome nto . Incluimos cuestiones q ue propicia n q ue los alumnos actúen, ha blen,registren, comenten o d iscutan su producción con un compa ñero o con varios.En algunos casos propusimos producciones simuladas intentando provocar laconvicción d e q ue la revisión y el an á lisis forma n pa rte del trab a jo d e Ma temá -tica . Pero, y volvemos con e sto a una a firmación previa , la representa ción q uelos alumnos se construyan d e lo que es hacer Mat emá tica e n el aula va a depen -der fuerteme nte d el tipo de prá cticas q ue sus ma estros alientan .

Es el ma estro q uien, a pa rtir de su a ná lisis de la activida d pro puesta y muni-do de las observaciones q ue realiza dura nte la rea liza ción ef ectiva, to ma deci-siones sob re qué tipo de puesta en común va a realiza r y qué conclusiones pue-den ser establecidas que guarden verdadera relación con el trabajo y con lasprod ucciones de los alumno s.

A la vez, la pue sta e n común y la s conclusion es posibles no son indepe ndien -

tes del objetivo y del cont enido de la activida d. Por ello, sin ning una preten-sión de exha ustividad , en la presenta ción d e los bloq ues y de la s líneas de tra -ba jo q ue ha remos en este libro d el docente, incluimos comenta rios para la ma -

yoría de las f ichas que busca n señalar los aspectos de lica dos, los q ue a loja nla diversidad , los que constituyen pot encia lment e el asunto en juego.

El traba jo con las f ichas del libro representa una part e de la a ctivida ddel aula. Sin dud a , este t rab ajo se verá enriq uecido por las propuesta s de

cada ma estro, a rticula da s con la s activida des cotidiana s o con los diver-sos proyectos que está n llevand o a delant e. Elabo rar conocimientos pa-ra resolver situa cion es vivas de la clase fa vorece la con strucción de sen-

tido, no solo de los conocimientos, sino de la Ma temá tica misma .




Algunos comentarios sobre la utilización de juegosen las clases de M atemát ica

En Hacer M at emát ica 1 proponemo s muchos jueg os y que remos compa rtir

alguna s reflexiones sobre las posibilida des q ue o frecen, seña lar a lgun a s de suslimita cion es y explicita r la fina lida d d e los jueg os simulad os q ue se incluyen.

La concepción de a prendizaje de Mat emá tica sustent a da sostiene la importa n-cia del trabajo independiente de los alumnos frente a las situaciones. Especial-ment e en primer año es necesario em prender la t area de iniciar a los niños en es-ta forma del queha cer particular, representa da por la activida d ma temá tica y losjuegos, que constituyen un medio importante para favorecer intercambios entrelos alumnos en torno a algo común. Los juegos reglados con cartas, dados, etc.,son instituciones sociales tradicionales, más o menos conocidas por los niños. Pa-ra algunos, representarán reencontrar, en la escuela, prácticas que disfrutan enotros ámbitos; para otros, será una oportunidad de conocerlas.

Muchos de los jueg os reglad os involucran cantida des —q ue se a cumula n, se

pierden, indica n d esplaz a mientos, etc.— y son to ma do s en este libro como con-textos potentes para plantear problemas de registro, problemas de conteo, pro-blemas de reunión, de comparación etc., a la vez que permiten poner en juegodiversos recursos y favorecer su dominio al practicarlos con frecuencia.

Cuand o los niños está n juga ndo un juego pueden o no estar enfrenta ndo pro-blemas interesantes. Por ejemplo, en la ficha 10-Guerra con cartas, pued e suce-der q ue en muchas vueltas la d iferencia sea t a n “ visible” q ue no ha ya necesida dde compa rar con mayo r precisión, o ta mbién puede suceder q ue un miembro dela pareja “ lleve la voz cant ant e” y defina siempre la carta ga nad ora sin da r al otrojuga do r oportun idad de pen sarlo. Sin dud a, los roles en los jueg os, el respeto deltiempo de l ot ro, etc., son a spectos para t rab a ja r en la a ctivida d. Pero, ad emá s, setrata de ir insta land o moment os de traba jo y reflexión q ue aseguren que to doslos alumnos enfrenten los asuntos más importa ntes para el aprendizaje en jueg o.Este es el sentido del jueg o simulado , q ue en la ficha a pa rece ba jo el título COMO

SI JUG ARAN… y que, en diversas formas, acompaña prácticamente todos los juegosincluido s. La idea es que , sin la premura del juego, los a lumno s enfrenten proble-mas selecciona dos dentro de un contexto q ue conocen, en el q ue a ctuaron, q uefunciona con reglas de la s q ue se apro piaron. En algun os ca sos, el contexto d eljueg o es tom a do como primer significado de una situación, de una escritura . Porejemplo, el jueg o propue sto en la ficha 46-La cajita de los 10, y retoma do en laficha 59-Otra vez la cajita, provee el contexto para una primera interpretaciónde la escritura a + . .. = b .

Algunos juegos apuntan simplemente a una práctica, por ejemplo, la ficha69-Formar 10 o la ficha 73-Lotería de sumas. Pueden, una vez introducidos,formar pa rte de un “ rincón d e juegos” a los que los alumnos recurran en momen-

to s de a ctivida d d iversificada , cua ndo terminaron un tra ba jo, etc. Para los distin-to s jueg os, ca da a lumno dispone de los ma teriales en las pá gina s recorta bles. Es-to pe rmite q ue ta mbién pueda n jug arlos en sus casas, con sus herma nos o pa -dres. Cuando un alumno necesita practicar algo, los juegos pueden ser unaocasión de hacer participar a sus padres. Claro que, tanto en casa como en laescuela, se deb e intenta r que n o pierda n el cará cter de jueg os, lo cual es-tá peculiarmente definido por la voluntad de jugar.

Algunas actividades propuestas tienen forma de juego, pero nolo son verda dera ment e. Por ejemplo, la ficha 36-Juego de la caja, o laparte de ADIVINANZAS DE FIGURAS, en la ficha 4-Armar y dibujar, o la ficha90-Adivinanza de números. Son situaciones de enseñanza que duran untiempo y termina n, y muy difícilmen te los alumn os la s reto men p or sí mismo s.




NÚMERO


Cuand o llega n a la escuela, los niños ya elab oraron conocimientos matemá -ticos a ra íz de la s múltiples situaciones que enf renta n en la vida cot idia na y delcontacto que tienen con prácticas y objetos culturales. En general, ya distin-g uen los números de las letra s, ya cono cen varios números e incluso sab en q ue

3 es más que 2.La propuesta de t rab a jo con núm eros consiste e n present a r, desde la prime-

ra f icha , problema s que involucran colecciones: ha y q ue compa rarlas, prod uciruna colección que tenga tanto como otra o contar cuántos elementos t iene,etc. Para resolverlas o contesta r la s preg unta s, los alumno s pueden usar d istin-to s recursos: rea liza r una compa ración glob a l, es decir “ mira r” , rela ciona r ca -da elemento de una colección con uno de la otra, usar los números y contar.

Aunq ue los cono cimientos q ue po nen e n juego puede n ser provisorios, par-ciales, con algunos errores, se constituyen en los puntos de apoyo sobre loscuales se ela bo rará n los conocimiento s má s sistem á ticos a los que a punta la en-señanza .

En las f icha s de t rab a jo se busca ma nte ner y provocar esta s fo rmas diferen-

tes de explora ción de la solución de l prob lema, se busca propiciar el inte rca m-bio ent re los alumnos respecto d e los conocimient os que tienen y, muy funda -menta lmente, q ue se apropien de nuevas pregunt as, que a prendan a pregun-tar y que construyan medios para responder y para estar seguros de sus re-puestas.

Las propuestas presentadas relativas a número pueden ser agrupadas entres línea s de traba jo q ue a punta n respectivam ente a :

utilizar los números en cont extos variado s, conta r una colección, conocer la serie numérica oral y escrita.

Estas líneas se interrela ciona n, ya q ue, si en una d e ella s se apunt a a q ue losniños enfrent en situa cione s cuya resolución pong a en juego sus conocimiento sy en las otras se busca mejorar los recursos o tomarlos como objeto de refle-xión, la cal ida d d el aprendizaje va a esta r da da justa mente por el movimientode ida y vuelta entre el planteo de situaciones abiertas, la aparición de recur-sos y forma s de representa ción, su aná lisis y mejora miento, la b úsq ueda de d o-minio de los recursos, al mismo tiempo q ue se explora n o tra s situaciones quemuestran la utilidad y ta mbién los límites de lo q ue ya se conq uistó .

Utilizar los números en contextos variados

La hipótesis centra l de este en foq ue es q ue resulta vano def inir, componer,

simboliza r los números fuera de un cont exto d e ut ilización de los números, fue-ra d e los problemas q ue le da n sentido .

Al cont rario, es a través del uso q ue ha ga , del dominio q ue se log re, que ela lumno ela bo rará sus propia s concepcione s de l núme ro, no d efinitiva s, siempreen evolución, completa da s o cuestiona da s con la extensión d el ca mpo n uméri-co que conoce, con el descubrimiento de nuevas posibilidades de utilización,con el ava nce en las capa cida des de calcular, y. . . mucho má s tard e, con el des-cubrimiento de la existencia de otras clases de números.

Desde esta perspectiva, el rol de l ma estro no consiste en presenta r los núme-ros uno po r uno, sino en propo ner a los niños situa ciones q ue les permita n ut i-liza rlos de mo do q ue las palabra s y los signos que los design an se impregnen d esentido. Estos números que los alumnos comenzaron a utilizar pueden ser

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“ a provisiona do s” (registra do s, ordena do s...) busca ndo comprender sus escritura scon cifras, sus denominaciones orales, ciertas relaciones entre ellos, etcétera.

Se plant ea tra ba ja r con un conjunto d e núme ros, de los cua les a l principio losniños poseen pocos conocimientos: reconocen algunos, saben comparar unos

pocos, sa ben recita r una serie má s o meno s larg a ; pero usánd olos para resolverprob lema s o en los jueg os, en las discusiones con sus comp a ñeros, arg umen ta n-do para defen der sus idea s, a dopt an do recursos utiliza dos por ellos, en la ut ili-za ción d e cada nuevo a prendiza je en o tras situa ciones, irán a dq uiriendo cono-cimiento s más sistem á ticos y conven cion a les sobre ese conjunt o d e núm eros.

Hay, desde el punto de vista didá ctico, d os funciones principa les de los nú-meros q ue se busca pone r en jueg o en las situaciones: el número como m emo-ria d e la cant idad y el número como recurso pa ra a nticipa r.

El núm ero como mem oria de la cantidad

Los números cobran pod er a raíz de q ue permiten e voca r una cantidad sinq ue esta esté presente, ya sea po r la d ista ncia f ísica o porq ue med ia el tiempo(información que va a ser usada mañana, puntaje de una vuelta , de un t iro ,etc.). Para que los niños puedan poner en juego esta función de los númeroses necesario organizar situaciones en las que tengan que conservar memoriade un a ca ntida d med iand o el tiempo o el espacio. Por ejemplo, si los a lumnosestá n orga nizados por equipo, se puede pedir q ue un nene de cada eq uipo va-ya a buscar a l escritorio de la ma estra los papeles glacé q ue ha cen fal ta paraq ue cada uno t enga uno. Alguno s niños pueden ir a busca r uno por vez y ha-cer ta ntos via jes como sea necesario hasta q ue tod os tenga n. Puede plan tea r-se, entonces, para otra situación similar, que tienen que buscarlos en un solovia je. Esto ha ce surgir la necesidad de pone r en juego ot ros recursos: los ded os,un “ número e n la cab eza ” . Es decir, se busca q ue, utilizand o esto s recursos,analizándolos y buscando recursos más eficientes, los alumnos comprendanque el conteo es un medio privi legiado para armar una colección que tengata n to como o t ra da da en ausencia d e esta .

La propuesta de la f icha 11-¿Qué hace falta? se inserta en el proceso su-gerido e involucra sol ici tar una cantidad a alguien para real izar la tarea de

completar los mosaicos amarillos. El interés de la activi-da d ra dica en dejar q ue los niños busq uen las formas deresponder esa demanda. Una vez más, podemos decirq ue es justa ment e esa búsq ueda persona l de recursos loque permite el aprendizaje, junto con la discusión consus compa ñeros y los apo rtes del docente .

En el ca so de esta f icha , se propo ne q ue el pedido sea

ora l y a la ma estra. La misma situa ción pue de ser orga ni-za da a pa rtir de ped idos ent re alumnos: orales o escrito s.

La solicitud por escrito es objeto de la actividad pro-puesta en la f icha 20-¿Qué hace falta? (2). El interés deorganizar la actividad como interacción entre los alumnosestá dado por el hecho de que esto permite que asumanta nto el rol de q uien evalúa la cantida d necesaria y t ieneque comunicarla, como el rol de quien interpreta el pedi-do y t iene q ue conta r una colección pa ra a justa rse a lo so-licitado.

La solicitu d po r escrito involucra el prob lema de reg istrode una ca ntidad (ta mbién presente en la f icha 6, que será

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a na liza da má s ad elant e). Los niños usa n d istinto s recursos, por ejemplo, pa rasolicitar cinco baldosas:

// / / / 5 5 5 5 5 1 2 3 4 5 5Especialmente el segundo y tercer mensaje pueden provocar dificultades de

interpretación. Analizar lo que sucedió y tomar contactocon otros mensajes puede favorecer la evolución y acre-centa r la confianza de los niños respecto de q ue un úniconúmero puede comunicar una cantidad.

En la f icha 6-¡A em bocar! , a raíz de un jueg o en el quese obtienen puntos, se plantea la necesidad de anotar lospuntajes de los jugadores y poder determinar quién ganó.Aparecen, entonces, otros problemas relativos al registro:¿a q uién correspond en las ma rca s? ¿A qué vuelta ? ¿Y si enuna vuelta no o btuvo nada ?

La idea fuerte es que este juego u otro involucre a losalumnos en el problema del registro de información para

respond er a una necesidad e n part icula r: ¿q uién ga nó?Si en el desarrollo del juego el maestro detecta que los

alumnos no tienen dificulta d pa ra saber con seguridad q uiénga nó sin necesidad de a not a r, se pued e mod ificar la situacióny volver a plant ea rla . Por ejemplo, si se a umenta la cant idadde puntos que se pueden obtener es posible que el registrosea una necesidad más real y, entonces, la discusión sobre lasforma s de registro q ue a segura n la info rmación pertinente co-bra validez, mo to riza la revisión y muestra la conveniencia de

a cuerdos. En la ficha se incluyen reg istro s como los qu e pued en ha cer los a lum-nos, pero el análisis propuesto es más pertinente como oportunidad para vol-ver individua lmente sobre una a ctivida d q ue ya f ue realiza da , cuyo sentido fuecomprendido, q ue como primera ocasión.

Queremos subraya r q ue, después de llevar a delant e va ria s actividad es comola d escripta y de recorrer sus distinta s instancia s, es importa nte q ue q ueden es-tablecidos los conocimientos que se elaboraron, lo que llamamos más arriba“ a cuerdos” . Por ejemplo: “ Para los punta jes de los juego s lo má s útil es anot a rlos nombres de los jugadores y separar con rayas para que se sepan bien lospuntos de cada uno” .

El número como recurso para ant icipar

El número cumple una función importante cuando se trata de obtener unainformación numérica a partir de ciertos datos de las colecciones. Así, la Mate-

má tica permite sab er q ue si se junta n do s colecciones de b olita s, una forma dapor 5 bo litas y la o tra, po r 6 bolita s, se o bte ndrá una colección de 11 bo lita s,a unq ue ta l colección n o ha ya sido constituida o la s bolita s se encuentren m uysepa rada s entre sí.

Comprender la potencia de la Matemática en este sentido lleva un largotiempo, pero e ste trab a jo se inicia rá d esde el primer conta cto q ue los niños es-ta blecen con ella .

Es importante diferenciar la propuesta de las situaciones respecto de los re-cursos q ue pued en ut ilizar los a lumnos. Concreta mente , el problema d e los pa-ja rito s, ficha 28-Los pajaritos, puede ser resuelto en términos de a nticipacióncomo una resta, pero ello supone la posibilidad de hacer cálculos y muchosalumnos de primer año aún no los dominan. Insistimos en la importancia de

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pla ntea rles a los alumnos problemas de ese tipo, frente a los cua les en o casio-nes recurrirán al conteo, trabajarán sobre las colecciones presentes, y en otros,porque los números que intervienen se lo facilitan o porque van progresandoen sus recursos de cálculo, van a realizar verdaderas anticipaciones, eventual-

mente corroboradas sobre las colecciones. Sea cual sea el procedimiento utili-zado, los alumnos lo articulan como respuesta a un problema, a una preguntaque comprendieron, y, en este sentido, construyen una representación de losproblemas que los conocimientos matemáticos permiten responder, y los me-dios (el conte o, los número s, el cá lculo) pued en cob rar sent ido y e voluciona r.

El pasaje de sde los procedimientos relat ivos a l cont eo ha sta los correspon-dientes al cálculo lleva un largo tiempo. Volveremos sobre este punto en elbloque Operaciones.

En relación con los problemas donde los números aparecen como recursopara anticipar, se incluyeron diez f ichas que analizaremos brevemente, tantoen sus ob jetivos como en el tipo d e procedimientos q ue pued en ut ilizar los ni-ños y la orga nización d e la cla se q ue puede ser emplead a.

Estos prob lemas podrían reconocerse como prob lemas “ de d ivisión” o pro-blema s “ de m ultiplicación” . En el cont exto d el libro, apa recen como situacio-nes de búsq ueda de pro cedimient os de resolución a pa rtir de sus conocimien-to s ant eriores. No se pret end e q ue los niños utilicen e sas opera ciones ni se con-sideran o bjetivos a log rar en e l primer año de e scolarida d. Se considera perti-nente q ue los alumnos enfrenten tem prana mente este t ipo de prob lema s por-q ue resulta n m uy a biertos, fa vorecen la e xplora ción, la d iscusión y se inscribenen una visión d e los aprendiza jes en tiempos largo s, en los que los alumno s tie-nen opo rtunida d de interpreta rlos, ensaya r solucione s y construir diversos sig-nificado s ant es de conceptua liza r la s operaciones involucrad a s.

Estos problemas serán resueltos utilizando procedimientos diferentes se-gún la s época s del año o bien, seg ún el a ño escolar, de a cuerdo con las ad q ui-siciones matemáticas que vayan logrando los niños. En la explicación queacompaña a las f ichas daremos algunos ejemplos de la evolución de procedi-mientos a los cuales nos referimos.

Un problema como el del reparto d e q ueso d e la f icha 14-Quesos para to-dos, puede ser resuelto por medio de una división; es esta operación la quepermite a nticipar la cant ida d de t rozos de q ueso q ue le tocará n a cad a ra tón ,sin necesida d d e realizar el repa rto. Los niños de primer año seg urame nte rea -lizará n el reparto de tod os los quesos entre los 3 rat ones para obt ener el nú-mero busca do. Para d eterminar cuán tos trozos de q ueso le tocan a cada rató n,los alumnos podrían traza r líneas q ue unan cad a peda zo con uno de los rat o-nes, o ma rcar con a lguna señal di ferente los trozos q ue le corresponda n a ca-da rat ón ha sta te rmina r to da la colección. Responder cuánt os troz os recibió ca -da uno les dema nda , ad emás, conta r los trozos asigna dos a cad a uno sin con-

fund irlos con los asig na do s a o tro d e los rat one s. Con f recuencia , cua ndo q uie-ren conta r los trozo s, to ma n conciencia q ue el recurso d e a signa ción ut ilizad ono fue el correcto e inician la tarea nuevamente.

Otro procedimiento consistiría en cont a r los trozo s de q ueso y busca r cuá n-tos podría da rse a cada rató n. Pensar , por ejemplo: si se le da n 2 a cada uno,se esta ría repa rtiend o 2 + 2 + 2, es de cir, 6 que sos; si se les diera 3, se repart i-ría n 9, . .. ha sta completa r los 15 trozos.

Si bien este procedimient o difícilment e sea utilizad o por los niños de pri-mer año , puede considera rse intermedio ent re el reparto uno a uno ya men-ciona do y el procedimiento convenciona l de rea liza r la división.

La f icha 28-Los pajaritos pla ntea un problema d e resta , q ue los niños pue-den resolver indicand o en el dibujo los pa ja rito s que se volaron, conta ndo con

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los dedo s, dibuja ndo rayita s que representa n los pajaritos o ut i lizan do ma te-rial concreto: lápices, palitos o piedritas.

La s clases en las cuales se plant een esto s problema s pued en ser orga nizad a sa part ir de un primer momento en el q ue cada niño toma cont acto con el pro-

blema y ensaya alguna resolución que luego es discutida con sus compañerosde eq uipo. Cuand o t odo s los equipos traba ja ron cierto t iempo con el proble-ma , e l docente o rga niza una confrontación de los procedimientos ut i lizad os.Algunos equipos exponen sus trabajos, especialmente aquellos que utilizaronprocedimientos diferentes, y se organiza una discusión que permite analizarlos:¿cuál o cuá les son los q ue má s entiende n? ¿Alg ún eq uipo lo resolvió sin d ibuja rlos pajaritos?

Este momento también debería ser utilizado para escribir los números invo-lucrados en el problema. Si los niños no saben escribir alguno es el docente

quien provee la escritura convencional o bien se buscanen la ba nda numérica que ya puede ha ber sido colocad aen el salón.

La ficha 40-Peces y peceras ofrece una b uena o por-tunidad de trabajar con problemas abiertos, donde noexiste una única solución. A pesar de las condiciones quese incluyen en el enunciado es un problema q ue puede serab ordad o por niños de esta eda d.

Por otra parte, en relación con este problema podemosha cer un comen ta rio sobre la va lida ción, da do q ue cua lq uie-ra sea el procedimiento que utilicen los niños, pueden veri-ficar si su respuesta es correcta. ¿Repartieron los 15 peces?¿No se olvidaron de ninguno? ¿En cada pecera no hay másde 4 peces? Si la respuesta a estas preguntas es sí, significaque cumplieron con las condiciones y pueden, sin necesidadde recurrir al docente, convencerse de la validez de su proce-dimiento y a na lizar los procedimiento s de sus compa ñeros.

Es importante que desde los inicios de la escolaridad, losniños puedan asumir la responsabilidad matemática de susresulta do s, no solo esta r seg uros de sus propios procedimien-

to s, sino de pode r argum enta r para mostrarlo. El rol del docente en relación coneste aspecto es el de demandar y sostener el compromiso del niño con el pro-blema ha sta estar seg uro de la validez d e su resulta do .

Para a vanza r en estos procesos, se propone, en la segunda parte d e la f icha ,a na liza r si la s resoluciones de a lguno s comp a ñeros son correcta s.

En las fichas 43-Pastelitos para todos y 74-Para el paseo, se plantean si-tua ciones do nde es necesa rio construir una colección forma da por el dob le d eelementos de otra : 2 pastelitos para cad a niño o 2 sán dw iches pa ra cada uno.

Nuevament e, se tra ta de prob lemas que pueden ser resueltos con he rra mien-ta s ma temá ticas más avanza da s, pero los niños de primer año pued en ab orda r-los a signa ndo dos elementos a cada uno d e los de la primera colección o , even-tua lmente, suma ndo 2 las veces que sea necesa rio.

En la última de e sta s f ichas tam bién se incluyen pregunt as q ue exigen encon-trar una colección formada por la mitad de los elementos de la primera y quepuede ser resuelta a signa ndo un elemento po r ca da do s de la primera colección.

Estos problemas apuntan a lograr que los alumnos puedan realizar un pro-ceso apropiado y mantenerlo durante un cierto tiempo: dos niños, una gaseo-sa ; otros dos niños, otra g a seosa; ot ros dos niños. . . proceso que d ebe q ueda r ba-jo su propia responsab ilida d.

Por otra pa rte , obtener la respuesta del problema dema nda , ad emás, conta r

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el número de veces que se realizó la asignación. Estos procedimientos no pue-den ser enseña dos como t a l por el do cente; los niños debe n enf renta rse a l pro-blema, proba r una y ot ra vez, discutir en el eq uipo y, funda menta lmente , man-tenerse involucrad os en la situa ción q ue plantea el problema duran te t od a la re-

solución. Solo pued e ser lleva do a cab o si los niños com prenden cla ram ent e cuá-les son los objetos q ue están asigna ndo o a q ué universos correspond en, q ue es-tá n a signa ndo una g aseosa o una bicicleta cada dos niños, o 2 pastelito s por ca-da niño, e tcétera.

La s ficha s 49 , 62 y 84 remiten a una situa ción d e reparto de o bjetos: sifonesen cajones, f igu rita s entre niños, a uto s en ca miones.

En las do s situaciones se cono ce el número d e element os de la colección to -ta l , pero mientra s q ue en la situa ción d e las f igurita s se conoce, ad emá s, el nú-mero d e niños, es decir, el número d e pa rtes en q ue es necesa rio repa rtir la co-lección, e n las ot ras do s se cono ce el número d e o bjetos (sifones o a uto s) q uese incluyen en cada ob jeto conten edo r (cajones o cam iones), es decir, el valorde cada una d e las partes.

En el caso de las f iguritas, se podrá dibujar toda la colección obtenida alunir las f igurita s de cada uno d e los 3 niños y realiza r en ella 3 gran des grupo spara indicar las que le to ca n a cada uno. O bien, sumar las 3 cant ida des y pro-bar cuántas pueden repartirse a cada uno. Por ejemplo, si se le da 2 a cadauno, ya se usaron 6; si se le da otras 2, se reparten 12; como quedan 6 más,pueden entrega rse 2 más para f inalmente hab er entrega do 6 a cad a uno .

Este problema plantea la dif icultad de considerar dos momentos distintosen el desarrollo de la “ histo ria ” q ue cuenta el prob lema. En el inicio, ca da ni-ño t iene una cantidad de f iguri tas dist inta a la de los demás y al f inal de la“ historia” los 3 niños t ienen que tener la misma cantidad .

Ta mbién en e ste caso los niños puede n valida r aut óno ma ment e la soluciónencontrada, basta verif icar que repartieron efectivamente las 18 figuritas yq ue tod os los niños t ienen a hora la misma can tidad .

En el caso de los sifones, la colección ya está dibujada , por lo ta nto los pue-den agrupar o bien marcarlos de a 6, indicando así cada cajón que se l lena.Posteriormente, deberían contar los cajones necesarios; a pesar de que estos“ cajones” pueda n no tener existencia concreta, pod rían esta r representa dospor una l ínea q ue rodea a 6 sifones o un conjunto de ma rcas q ue permita a losniños ima gina rse el cajón.

Ta mb ién pod ría n dibu ja r ca jon es con 6 luga res (sin cono cer previa men tecuántos cajones será necesario dibujar) e ir llenándolos con los sifones. En es-te caso, el control deberá ser sobre la cantidad de sifones que se incluyen enlos ca jone s. El proceso se termina cuand o se aca ba la colección. Po steriormen-te, d eberá n conta r los ca jone s necesa rios.

Sumar reiteradamente 6 sifones hasta completar la colección de 24, exige

controlar en cada paso si aún quedan sifones en la colección y, f inalmente,conta r la ca ntida d d e veces q ue se sumo 6. Este tipo de procedimiento, q ue seespera pueda ser ut iliza do por los niños de segundo cuan do dominan un po-co más la suma , no es frecuent e en primer a ño.

La colección d e los 15 auto s no está d ibujad a y ha cerlo q ueda a ca rgo d e losniños si es que deciden ut ilizar un procedimient o grá fico. Los procedimient ospueden ser aná log os a los del problema an terior.

Un detalle importante que diferencia estos problemas es que en el primercaso, para llevar los 24 sifones se necesita n 4 cajones que se completa n; en e lcaso de los a uto s, si bien no se completa n t od os los camiones serán necesa rios6 cam iones para t ransporta r todo s los auto s, aunq ue uno d e los cam iones que-de incompleto.

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Si bien estos problemas pueden ser identificados como problemas de divi-sión, al no conta r con e sta opera ción, las resolucione s son m uy diferent es entresí. Esto favorece el proceso que se pretende instalar de búsqueda de procedi-mientos que es realizado bajo la responsabilidad de los propios niños, quienes

deben ma ntener el control de los procesos q ue rea liza n.El rol del docente será acompa ñar estas búsqueda s, apo yando la compren-

sión de los pasos que realizan, solicitando con frecuencia aclarar con cuálesob jeto s o persona s está n tra ba ja ndo : ¿son g a seosas? ¿Son fig urita s? ¿Esta s sonlas f igurita s de Claud ia o d e Sandra?

La última ficha correspondiente a e ste grupo e s la 98-Tren fantasma, queplantea un problema similar al de la f icha 40-Peces y peceras con un núme-ro mayor de elementos y con una exigencia de trabajar a nivel numérico, yaque se demanda que escriban en los vagones el número de chicos que subirá.

Si bien el número d e vag ones está d a do en la imag en, existen solucione s di-ferent es que cumplen las cond iciones del prob lema.

La s preg unta s posteriores tienden a a na liza r algun a s soluciones y, por ot ra

pa rte, a resolver situaciones pa rticulares.

En relación con la comparación

Trab a ja r los números como recurso p a ra com pa rar t iene por o bjetivos con-front a r a los niños con prob lemas de compa ración de coleccione s, tom a r con-ciencia del pod er de los números pa ra compa rar coleccione s y desarrolla r eserecurso, pe rmitir ubica r los números rela ciona do s unos con o tros, desarrolla r yampliar e l sentido d e las expresiones “ mucho o má s” , “ poco o meno s” ha ciaexpresiones como “ más que” , “menos que” , “uno má s q ue” o “ uno menosque” , etcétera .

La s f ichas rela ciona da s con este te ma presenta n situa ciones de compara ciónde colecciones, de colecciones y números, de números entre sí. Esto da cuentade una evolución de los procedimientos y conocimientos de los alumnos.

En muchas f ichas se incluyen preguntas que demandan una comparaciónde colecciones o de números, pero en este apartado nos referiremos única-ment e a las q ue su principa l f inalidad es la com pa ración.

En la ficha 10-Guerra con cartas, se trata de com-para r dos carta s en cad a moment o d el juego . Las ca rtasque se utilizan, que se encuentran en las páginas recor-tables, incluyen el dibujo de las colecciones y los núme-ros; de esta manera, los niños pueden contar con distin-tos procedimientos: comparar visualmente, relacionaruno a uno los element os, compa rar los números.

Si bien los alumnos cuentan con las colecciones pararesolver la situa ción, e s import a nte empeza r a discutir sies posible compa rar do s colecciones cua ndo no e stá n pre-sentes y solo se conoce el número de elementos de cadauna .

Siguiendo con este juego y con las misma s ca rta s, en laficha 23-Guerra con cartas (2), se plantean partidas si-muladas que permiten, frente a ciertas situaciones especí-fica s, an a liza r, por ejemplo, si existe un a única carta q ue g a -n e a u na d a d a .

Esta es una situa ción q ue no se presenta ha bi tualmenteen el juego , da do q ue es necesario comparar las 2 carta s que

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a pa recen. Ta mbién se plant ea selecciona r entre va ria s ca rta s aq uella s que leganan a una dada. Esto permite que los niños anal icen la plural idad de res-puesta s a una misma pregunt a .

La f icha 32-Guerra de a t res plant ea situaciones similares al jueg o d e g ue-

rra a nte rior, pero con carta s q ue solo po seen un número y se jueg a ent re 3 ni-ños. En algunas situaciones es fácil determinar cuál es la carta mayor, porquese repite una de las cartas o porque uno de los números tiene 2 cifras y losot ros dos son d ígitos; en ot ros casos será n ecesa rio d ete rmina rlo usand o a lgúnprocedimiento, como buscar los números en la banda numérica o eventual-ment e recurrir a chapita s o d edo s.

Contar una colección

Como ya se planteó, se busca que los alumnos reconozcan la utilidad delconteo como recurso para determinar cuántos elementos hay en una colec-

ción. Cont a r es un procedimiento m uy solicita do en la escuela , pero ha bitua l-mente se deja su aprendizaje completament e a cargo d el alumno. Sin emba r-go , es un procedimiento q ue req uiere muchos cuida do s para cumplir sus cond i-ciones: no o lvida r ningún elemento y no cont a r ning uno d os veces. Es una t a -rea cuya complejidad varía según la cantidad de elementos, según sean móvi-les o n o, seg ún su disposición espa cia l, etcétera .

En esta línea , la ficha 3-Dados y dedos a punta a l recono cimiento rápido delos cardinales, fa cilita do por las constelaciones (forma estánd a r en la cual está norganizados los puntos en los dados). Se puede proponer a los alumnos quecomparta n los juego s con d a dos q ue conocen y q ue inventen otro s. Tam bién seles puede ofrecer cartas con constelaciones que incluyan del 1 al 10. Los niñosla s exploran, la s ordena n e inventa n jueg os. El maestro org an iza la comunica -ción de la s idea s que t uvieron: juegos de m emoria (levant a r las igua les), arma -do d e configura ciones y copia , “ gue rra” (enfrenta r ca rtas, la ma yor ga na ), etc.En un momento, se propicia que los alumnos vean para cuáles caras del dadotienen un reconocimiento inmediat o y pa ra cuáles, tod a vía necesitan cont a r.

En el jueg o d e esta misma ficha se propone el uso de los ded os para represen-ta r ca ntida des, lo cual es una práctica t empra na y frecuent e. Losdedos se usan también como apoyo para el conteo. Para esterecurso, como pa ra t a nto s ot ros recursos tran sitorios, entend e-mos que es conveniente aprender a usarlos bien, y tambiénaprender a dejar de usarlos. Es importante que no sean una“ trampa ” , un “ secreto” ba jo la mesa, sino q ue se compa rta suuso y que se busquen los medios que van a permitir superarsus limitaciones cua ndo estas se hag a n evidentes.

Puede propo nerse a los niños que ma rquen y corten silue-ta s de las ma nos y, por eq uipos, que a rmen un a fiche repre-senta ndo las posiciones de los dedo s para la s distinta s ca nti-da des. Pueden org an izarse juego s de “ mensajes con la s ma -nos” (conta r una colección y ma nda r el mensa je).

En la ficha 15-Carrera con dados, se presenta el reco-nocimiento rápido de las constelaciones de los da do s y seincorporan, además, algunas preguntas que apuntan a laanticipación de la acción, es decir, prever antes de tirar eldado cuál es el número de puntos que es necesario sacarpara g ana r.

En la f icha 12-Juegos para descubrir, el cont eo es un

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recurso para comparar colecciones y luego completarlas.En la ficha 14-Quesos para todos, el conteo de los tro-zos de queso que le tocó a cada rató n permitirá responderla preg unta plan tea da luego de realiza r la pa rtición.

La ficha 17-¡Cuántas flores! pone en jueg o el proble-ma de contar una colección de objetos no movibles conuna disposición compleja, lo cual provoca la necesidad deprecisar un punto de pa rt ida para empezar a conta r y de-finir un recorrido a medida que se va contando. Algunosalumnos recurren a realizar marcas en la hoja. Puede serq ue pinten las f lores a med ida q ue cuentan. Dad a la rela-t iva complejida d d e la ta rea es muy probab le q ue no to doslos alumnos esta blezcan la misma cantida d como resulta dodel conteo . Se señala esta situa ción como propicia pa ra pro-voca r que los alumnos comen ten las “ fuent es de errores enel conteo” y la s ma neras de orga nizarse para evitarlas.

En el juego de la f icha 26-Ocupar territ orio, los niñostienen q ue ha cer simplement e ta nta s ma rca s como indica elda do, pero al término del part ido y ant e el tablero con do s

tipos de marcas puede suceder que el ganador sea muy evidente (basta mirarq uién tiene más, es decir, ba sta la compa ración g lob a l) o q ue sea necesario con-tar la cantidad de marcas de cada uno. La complejidad proviene de la posibledispersión de las marcas y de la cantidad de las mismas. El interés de contar co-rrecta mente proviene de q ue puede def inir un ga nad or. .. Para saber q uién g a -nó en la f icha 27-Jugando a los bolos, hay que contar una colección de dis-posición compleja y compa rar esa cant idad con el otro resulta do expresado encifras.

En la ficha 42-Carrera de bicicletas, hay que comparar la cant ida d de co-rredores y la cant idad de especta do res. Cua ndo las colecciones son g rand es, esmuy útil contarlas por partes y reunir los resultados parciales. En este caso, loscorredo res y los especta do res se presenta n en g rupos y esto puede o no ser uti-liza do como recurso po r los a lumnos. A la ho ra d e presenta r sus respuesta s, sepuede proponer a los niños que comenten cómo hicieron pa ra a verigua rlo ypuede ser el momento de valorizar el recurso de obtener el total por reunión

del valor de las pa rtes.En el libro solo pueden presentarse colecciones no

móviles para ser contadas. Es importante que, a raíz desituaciones, jueg os, etc. , se propo ng a a los a lumnos con-tar colecciones móviles de número creciente.

El recurso de organizar subcolecciones se vuelve máspotente cuando las mismas tienen el mismo número de

elemento s y más aún cuand o se ag rupan de a 10, lo cualvincula con la org a nización d ecima l del sistem a de num e-ración y con la ha bilidad de cont a r de a 10. La resolucióndel problema de la f icha 80-El álbum de fot os, va a po-ner en juego diversos procedimientos de conteo con apo-yo o no e n d ichos conocimientos. En esa f icha se propo neq ue los alumnos discuta n ma neras rápida s de conta r la co-lección presenta da , justam ent e como oca sión d e a na liza r laeficacia de los diversos procedimientos y favorecer que seestab lezca n vincula cione s ent re los diversos cono cimiento sen juego .

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Conocer la serie numérica oral y escrita

En Hacer M atemát ica 1 proponemos que los niños, al mismo tiempo queenfrentan problemas para hacer funcionar los números, realicen actividades

q ue les permita n prog resa r en sus cono cimiento s de la serie num érica. En estesent ido, el traba jo sobre el sistem a d e numera ción propu esto busca q ue los ni-ños exploren regularidades, establezcan propiedades, etc. , que les permitiránrealizar a nticipa cione s y prod ucir nuevos núm eros.

Conscientes de q ue se trat a de una propuesta dist inta d e la ha bi tualmentevigent e y convencida s de q ue to do mae stro t iene derecho a conocer los fun-da mento s de lo q ue se le propone, reproducimos algunos pá rra fos del “ Dise-ño Curricula r de la Ciuda d de Buenos Aires” :

Los númer os son un soport e simbólico org anizado : en prin cipio, oral; des- pués, escrit o, en el cual el n iño descub re y memor iza el or den . En est a ap ro pi a- ción, el n iño descub re q ue pu ede, g racias a los número s y sus relacion es, pr o-

du cir ot ros númer os.El pr imer cont acto con la design ación de lo s números, en el marco de la f a-

m ili a, los ju ego s, el jardín y la escuela se hace cent ralm ent e a nivel o ral: lo s nombres de los númer os, el recitado de lo s números.

El m anejo de l a serie numérica oral qu e t ienen los alumnos en l a sala de 5 años y en p rim er año es muy var iab le. La escuela t ien e qu e pr op on er a t od os lo s niños un a ciert a práctica para que lo gr en m emor izar u na por ción suf icien- te de la serie. Para esto se p rivileg iarán act ividades qu e exijan cont ar cant idades más o meno s impor t ant es y, en paralel o, se p ro pi ciará reali zar un análisis de la serie que cond uzca a descubrir las reglas de fo rmación de la serie o ral. El

jueg o en t re mem orización y ref lex ión sob re las reg u lar idad es, se p lan t ea como un id a y vuelta p ermanent e: es necesario memorizar un int ervalo para re- fl exion ar sob re las regu larid ades pero , al mismo t iemp o, con ocer las regu lari- dades cont r ibuye a la mem orización.

Los niños descub ren rápidam ent e regu lari dad es: “vein t e” , “t rein t a” ... se com binan con “u no, do s” h asta “ y nueve”, y ahíhace falt a ot ra palabra nueva...

Para q ue los niños puedan explo rar, aprop iarse y u ti lizar las regu larid ades de l a serie n umérica es necesario po ner lo s en cont acto con l a serie escrit a en una po rción suf icientem ente gran de que perm ita po ner en evidencia los dif e- rent es algo rit mo s de const rucción de lo s númer os. Se plan tea que lo s alum no s teng an t empran ament e cont acto con números diversos. Es imp ort ante que desde los prim ero s días de clase se t rabaje por l o m eno s con lo s pr im ero s t rein - ta númer os y luego con l os primeros cien. Se bu sca que los alum no s iden t if i- qu en l as regul arid ades de la serie n umérica y qu e las usen par a nombr ar, leer,

escribir y com parar números. Las po rciones de serie con las qu e se pr opon e t ra- bajar son, a la vez, recurso y ob jet o, es decir, “las usan p ara...” al m ismo t iem - po qu e están apr end iend o que es una serie org anizada y que es po sibl e apro - piarse de cómo f unciona.

Es impo rt ant e remarcar la idea de que el trab ajo sob re las regu larid ades es una aproxim ación a la com pren sión del sist ema posicional. Una apro ximación cent rada en cómo ap arece, cómo se present a en la oral idad y en la escritu ra,en lo s algo rit mos para pr oducir los númer os. Se debe t ener p resent e que es

justam en te la o rgan ización posicional la que instal a un aspect o al gorítm ico en la escrit ur a de lo s número s, aspect o que pued e ser apr end ido por lo s niños aun sin com pren der t od avía la estr uctu ra pr of un da d el sist ema.

Así, los alum no s pu eden saber qu e ent re 30 y 40 t od os los número s se escri-

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ben con un 3 adelante aun que n o sean capaces de dar a 3 el signif icado d e 3 gru pos de 10.

La numer ación hab lada explicita la descomposición adit iva de un número (1) : ciento veinticuatro 100 + 20 + 4

cincuent a y ocho 50 + 8 mi l cuat rocient os 1000 + 400 An te cálculo s como 20 + 8 , lo s alumno s suel en decir: “ Es fácil, t e lo di ce el

número: veintio cho“ .En p rim er año es ju st ament e la descom po sición ad it iva de lo s número s la

que va a constit uir un fo co de t rabajo.Se bu sca que l os alumno s pi ensen el 34 com o 30 + 4 y t ambién com o 10 +

10 + 10 + 4. De esta m anera, se po drá emp ezar a con cept ualizar q ue el 3 de 34 rep resenta 30 aun qu e t od avía no estén en cond icion es de est abl ecer qu e 30 es 3 gru pos de 10.

Para inicia r el tra ba jo con una porción peq ueña de la serie, la f icha 4-Libros

con números(2)

propone el armad o d e un primer “ dicciona rio d e números” .Esta idea puede ser retomada y ampliada, por ejemplo, con una l ibreta poreq uipo para los primeros cien números y en la h oja de ca da número se “ a rchi-van” cuenta s q ue t ienen ese número por resulta do.

Hay diversos cont extos que permiten t raba ja r temprana mente con una por-ción más significativa de la serie. Uno particularmente rico es el calendario,q ue se toma como o bjeto de trab ajo en la f icha 8-Calendario de abril. En laficha 9-Números ordenados, se presentan distintos objetos de la vida coti-diana en los que los números apa recen ordena dos y se propone a los niños quecompleten los que fa lta n.

De la misma mane ra, la f icha 25-¿Qué será? permite o btener un d ibujo a lseg uir ordena da mente los números desde el 1 ha sta el 30. La s tres tiras de nú-meros que se presenta n en la última pa rte de la f icha a punta n a ejercitar el mis-mo conjunto de n úmeros ordena dos en filas de a 10.

Son muchos los jueg os y la s ca ncion es en los que se recita n los números. Porejemplo, puede juga rse a la ronda del número secreto : cuatro o cinco chicos sonlos ratones y los demás son gatos y forman una ronda. Los gatos se ponen deacuerdo en un número secreto y ma ntienen la ronda ab ierta , por dond e entrany sa len los rato nes, mientra s cuenta n ha sta llega r al número secreto ; ento nces,cierran la ronda y atrapa n a los ratones que q uedaron a dentro .

En la f icha 31-La ronda de los números, se propone o tro juego d e recita -do y se presenta la simulación del mismo como o casión para completa r la serieescrita de n úmeros, activida d q ue se cont inúa en las f icha s 37-Números másgrandes y 38-Libros ordenados. La ficha 55 combina el trabajo relativo a laserie oral y a la serie escrita de números en un juego por parejas.

En la f icha 71-La inauguración del cine, el desa fío e s escribir los númerosen fo rma d escenden te a part ir del 80 para n umerar las buta cas del cine. Esta ac-tivida d se incluye ta mbién en las tira s de la última part e de la f icha .

La s activida des menciona da s ant eriorment e t ienen el objetivo d e cont ribuira a umenta r la can tida d de número s disponibles, pero ta mbién de acrecenta r elconocimiento de la serie ordenada: iniciar el conteo en cualquier número sin

(1)En alg uno s casos, la n umera ción o ral combina aspecto s de la descomposición multiplicat iva

con aspectos de la descomposición aditiva. Por ejemplo, es interesante comparar las expresiones“ mil cua tro” y “ cua tro mil” .

(2)Esta a ctividad f ue diseñada por Graciela Ma uriño.

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necesida d d e retoma r desde el uno cada vez , conta r una cantidad determinadade números a pa rt ir de ot ro da do, recita rla en forma descendente , e tcétera.

La s f ichas que a na liza remos aho ra se rela ciona n con el trab ajo de la serie or-dena da desde el 1 ha sta el 100; para e llo, traba jarem os con conte xtos que per-

mitirán descubrir las regularidades de la serie, tomar conciencia del rol diferen-te q ue juega cada cifra en la escritura de un número y el aprend iza je y utiliza -ción del nomb re de las decena s.

La serie numérica será presenta da en un cuad ro de núme ros orga nizado s enfilas de diez.

La ficha 63-La rifa es el primer contexto que se utiliza; los 100 números dela rifa está n disponibles en t alona rios de 10 números cad a uno.

En una primera pa rte, se tra ta de t oma r cont a cto con los objetos involucra -do s, los ta lonarios, completa ndo los números de cad a uno. La última preg untapermite plant ea r el problema d e ubicar la decena a la cua l correspond e un nú-mero determinad o.

En la segund a pág ina se trab aja con e l cua dro de los 100 números, y la ubi-

cación en él de los números dados continúa el trabajo anterior de determinaren cuál decena, en este caso en cuál línea, es necesario buscar el número.Se espera q ue los alumnos empiecen a to ma r conciencia de a lguna s reg ula -

rida des de la serie vincula da s con la o rga nización del cuadro, po r ejemplo, q ueto do s los números que e mpiezan con t a l cifra están e n la misma línea . Buscar el65 remite a ident if ica r la línea d ond e están los números q ue empiezan con 6.

La ficha 70-La rifa (2) continúa el tra ba jo d e a propiación d e la serie con unjuego consistente en adivinar un número que fue previamente tapado.

Sa bemo s q ue pa ra identif ica r un número en el cuad ro ba sta consultar los en-cabeza do s de la f i la y la columna correspond iente. Los niños no po drán utilizareste a rgument o d esde el principio, pero existen ot ros que sí pueden ut ilizar:

“ Es 55 porq ue está después del 54” ; o bien, los niños recita n de sde el 50, pa-ra det ermina r que el tapa do es el 55.

“ Es 89 porq ue está a ba jo de l 79 o a rriba del 99.”“ Es 55 porque conté desde el 1.”“ Es 92 porque está a nte s del 93.”“ Es el 90 porq ue co nt é 10, 20, 30,...”En el tra nscurso d el jueg o n o se pide a los niños que a rgume nte n sus deci-

siones, pero a l respond er la s pregunt a s de la segund a pa rte,el docente pued e dema nda r los motivos por los cuáles a cep-ta n o descarta n un número.

En la segunda página de la f icha se trata de marcar enel cuadro ciertos números mencionados solos o dentro deun intervalo.

Se preten de q ue los niños empiecen a iden tif ica r núme-

ros por su pertenencia a un intervalo. Ejemplo, los núme-ros desde el 1 hasta el 8, o bien todos los que empiecencon 6.

En la ficha 79-El cuadro de núm eros, se dema nda co-locar ciertos números en el cuadro sin escribirlos todos.Esta act ividad apunta a mejorar los argumentos ut i l iza-do s para ident if icar un número: ya no sería posible decires tal número porque está después de. . . y antes de. . . Po-ner cond iciones en las a ctivida des impide a los niños ut i-liza r cierto s procedimientos como e l menciona do y ha cenecesario a vanza r ha cia procedimientos má s avanza dos.Más ad elan te , en pa rt icular en segund o a ño, se pedirá a

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los niños completar números en un cuadro que solo tiene los encabezados delas decena s, pero con la primera f ila vacía .

La ficha 80-El álbum de fot os apunta a hacer avan-za r a los niños en e l cono cimiento de los números; en es-

te caso, comprender que 45, por ejemplo, puede serpensad o como 10 + 10 + 10 + 10 + 5 o bien 40 + 5. Ya fuemenciona do a nteriormente q ue corresponde a un cono-cimiento muy út il en e l aprend izaje y comprensión de laserie numérica, aun cuando esos grupos de 10 no seanidentif icados como decenas.

El proceso inverso, sumar de a 10 para obtener el to-ta l, es un procedimiento rápido pa ra d eterminar el núme-ro de fot os pegad as o el número de luga res q ue sobra n.

En ambos casos, se incluyeron las hojas con los lugaresq ue permiten a los niños no muy seg uros aún de estos pro-cedimient os recurrir al conte o d e a 1, o utilizarlos pa ra ve-

rificar sus cálculos.En la f icha ta mbién se plant ea la discusión sobre las for-

mas encontra da s para conta r rá pida mente las fo tos.Finalmente, pa ra continuar con la búsqueda de regulari-

dades de la serie, la f icha 86-Recorridos a los saltos per-mite identif ica r que a l salta r de 5 en 5 se ob tienen núm erosterminad os en 0 o en 5, al ternada mente, y cuya ci f ra de las

decenas aumenta de a uno .Para el ca so de salta r de 10 en 10, se pide a los niños ant icipar en cuá les nú-

meros se cae; lueg o, esto puede ser verif ica do . Se q uiere provocar un a ná lisisde q ué es lo q ue sucede cuand o a un número se le suma 10.

La s preg unta s siguientes profund izan e l aná lisis de los efectos de sumar o res-ta r 10 a distinto s números, pudiend o a yuda rse con el cua-dro de números.

Para q ue estos avan ces sea n posibles, la m a estra, comoresponsable del aprendizaje de todos, debería, por un la-do, identificar los distintos procedimientos utilizados y,por ot ro, por medio de juego s, a ctivida des y confronta -cione s entre los niños, ha cerles tom a r conciencia de losprocedimient os de ca da uno, sus do minios de a plicacióny sus límites. Y de esta manera, hacerlos progresar.

Será, por lo t ant o, ta rea del ma estro, log rar que losniños lleguen a dominar los procedimientos utilizadosespontáneamente, que los vuelvan más eficientes, pe-ro, a la vez, lograr que puedan cuestionarlos si ya no

son válidos y que puedan, si es necesario, adoptarotros.

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En relación al contexto del dinero

Las actividades vinculadas con el manejo de dinero ofrecen un soporte es-pecia lmente propicio pa ra esta blecer la s rela cione s entre la s descompo siciones

a ditiva s y la escritura de los números. La presencia ha bitua l del dinero en la vi-da de los niños, lo convierte en un ob jeto fa miliar con el q ue la ma yoría de losniños tiene algún gra do de inte racción. La s primera s f ichas rela ciona da s con e s-te contexto intenta n q ue tod os los niños aprendan a man ejar el dinero y a do -minar los camb ios q ue pued en ser realizado s ent re billetes de d istinta den omi-nación.

El trab ajo con el dinero permite t raba jar de forma ba sta nte na tural la des-composición de los números: pa ra p a ga r $ 67 se pued en ut ilizar 6 billetes de$ 10 y 7 b illet es d e $ 1.

El cambio de un billete de $ 10 por 10 billetes de $ 1 es una transformaciónfrecuente.

Por ot ra pa rte, fa vorece el cont eo d e a 10 y el cá lculo menta l con los núme-

ros presente s en los billetes.La ficha 48-M onedas y billet es presenta un juego d onde es necesario fo r-

ma r con bi lle tes y moned as la cant ida d indicad a por el conta dor.La s siguientes pregun ta s tienen q ue ver con resolver a lguna s situaciones es-

pecíficas relacionadas o no con el juego: armar un cierto monto de distintasma nera s, compa rar las ca ntida des de las que d ispone n los chicos.

Ta nto en esta f icha como en la f icha 64-Monedas y billetes (2) y en la89-Billet es más grandes, se pretend e empeza r a esta blecer las relaciones en-tre los billete s y la s mon eda s con los q ue se cuent a , la s ca ntida des represent a -da s en cad a bi lle te y el mont o t ota l de dinero. Se plantea n dist intas act ivida -des para relacionar estos tres aspectos, en situaciones más sencillas en las pri-

mera s f icha s y con b illetes más gra nde s en la última, do nde ,a dem á s, se incluye la condición de f orma r la s cant idad es so-lo con billetes de $ 10, $ 20 y $ 50, ejercitando así la sumade d ecenas. Esta s suma s, luego son volca da s en los ca rtelesde cuentas.

Como puede verse, este contexto es sumamen te út il pa -ra tra ba ja r aspecto s de la serie numé-rica, pero también para ejercitar cál-culos mentales de los valores presen-tes en los billetes. Estos valores sonlos que posteriormente pueden serutilizad os para realizar ot ros cálcu-los, como veremos en el bloqueOperaciones.

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OPERACIONES


Las situaciones propuestas para trabajar las operaciones buscan favorecer laconstrucción de l sent ido d e los con ocimient os por pa rte d e los a lumnos.

¿Qué sign ifica, en p a rticular, la construcción de l sent ido d e las ope raciones?Significa, centralmente, ser capa z d e recono cer los problemas q ue cada ope-

ración resuelve. Representa un largo proceso en el que los alumnos, a raíz deenfrentar nuevos problemas, van enriqueciendo el sentido construido. Si en unprimer moment o la suma está vincula da a un a umento de cant ida des y la restaa una disminución, d espués, esta s ope raciones se mo strará n útiles, por ejemplo,pa ra conocer lo q ue se tenía a ntes de perder o g an ar, invirtiendo en el terrenode las operaciones el sentido de la acción evoca da .

La evolución de los sent idos de las ope raciones se ha ce posible a raíz de en-frenta r nuevos problemas y se produce tra ba jan do en d istintos pla nos: en el pla-no d e la int erpreta ción d e la s situa cione s, en el pla no d e los procedimiento s q ueutiliza n los niños, de las formula cion es y escrituras q ue son ca pa ces de produ cire interpreta r, en el plano d e las propieda des que se ponen en juego y q ue en a l-gún momen to serán explicita da s, en el pla no d e las relaciones q ue pueden ser

esta blecida s entre los distinto s con ocimient os prod ucido s. Tod os estos a specto sson constitutivos del sentido de las operaciones y requieren ser tomados comoob jet o d e tra ba jo en su especificida d y en sus vinculacion es.

En el trab a jo propuesto o to rga mos mucho va lor a la exploración de las situa-ciones por parte de los niños. Apunta mos a q ue tra ten de construir una repre-sentación personal de la situación, que comprendan de qué se trata y qué hayq ue logra r o a veriguar, aun cuan do estén lejos de disponer de medios operato-rios pa ra resolverla . Nos referimos la rga ment e a este a specto a l describir los di-versos problema s propuesto s en la línea de t rab a jo “ Utilizar los núme ros en con-textos variad os” . Pretend emos q ue los alumnos adq uieran disposición a buscarcon q ué recursos cuenta n pa ra resolver el problema, “ comand ad os” por su com-prensión de la situación. Entendemos que en esas producciones están constru-yend o los primeros sent idos de las opera cion es.

Dado que estamos hablando de aprendizajes en tiempos largos, sería muyconveniente que esos distintos sentidos (que se propician en la enseñanza) fue-ran o bjeto de trab a jo ent re los maestros de distintos año s, dentro d e cada cicloy en el conjunto d e la e scolaridad . Esto a punta a d eterminar, para cad a a ño, cuá-les aspectos se están iniciando, para cuáles se buscará provocar una evoluciónfirme en el terreno de los procedimiento s, q ué fo rmas de escritura se a ceptan,cuáles se presenta n o incluso se exigen.

Hay algo important e q ue a cla rar: que se valoren las distinta s aproxima cionesde los alumnos no significa propo ner, a largo plazo , “ q ue ca da cual ha ga a suma nera con ta l q ue lo resuelva” . Esa f ormula ción, q ue puede ser ad ecuada pa-ra un moment o, para una et apa , no puede sostenerse a la hora de considerar elconjunto de adquisiciones que se pretende en la escolaridad. Al contrario, en-

tendemos que la tarea del maestro se plantea tanto a nivel de selección de losproblemas, como de relevamiento de los procedimientos de los alumnos y de lag estión de a ctivida des pa ra a segura r, en el tiempo , la e volución de los mismos ypermitir la construcción de nuevos significados. Intentamos considerar el pro-blema de la evolución de los conocimientos al a rmar las progresiones q ue o rga -nizan e l libro. La s a ctividad es selecciona da s pa ra las evaluaciones da n cuenta delas adq uisiciones q ue creemos pueden log rarse en cad a período y q ue desde laenseñanza hay q ue a segurar.

Desde este punto de vista , la s f ichas del bloq ue Operaciones se o rgan iza n endo s línea s de tra ba jo: el sentido de las operaciones, los procedimiento s de cálculo.

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Como ya sucedió a l definir línea s de trab ajo pa ra o tros bloq ues, una vez mástenem os que a clara r que está n íntima mente vinculad a s. En pa rticular, a caba mosde a firma r que los procedimiento s de cálculo f orman parte del sentido d e ope-raciones. La distinción apunta a que una línea se organiza según las clases de

problemas presenta do s y, en la o tra, son los cálculos los q ue se toma n como ob-jeto d e trab ajo .

El sentido de las operaciones

Nuestro e nfoq ue de l traba jo pa ra construir el sentido de las opera ciones es-tá completa mente vinculad o con lo que plant ea mos en el bloq ue de Número.

Decía mos allí que se tra ta de “ proponer a los niños situa ciones q ue les per-mitan utiliza r los números, de mo do q ue las pa labras y los signos q ue los desig-nan se impregnen de sentido” .

Ent re las diversa s situa cion es a p ropon er, se puede n me ncion a r las siguiente s:

Problemas liga do s con d esplaza mientos en una pista , ta bla, etc. , en los cua-les los número s a pa recen como recurso para ant icipar: “ ¿En q ué casillero va acaer si. . ..? ¿Cuán to s tiene q ue sa car para a lcanza r a. . .?” . Problema s en los que inte rviene la reun ión de d os o má s coleccione s, pa rticu-larmente cuando se trata de anticipar el número de elementos que se va a ob-tener o q ue hay q ue ag regar a una d e las colecciones para obtener otra. Problema s en los q ue una colección se d istribuye en do s subcolecciones y hayq ue esta blecer el número d e elemento s de una de la s dos subcolecciones. “ Hay. . .chicos, . ..son ne na s. ¿Cuánt os son va rones?” . Problemas rela tivos a tran sforma ciones de una colección: ag rega r, q uita r, re-pa rtir, d uplica r...

Básicamente, son los primeros sentidos de la suma (reunir, agregar) y de laresta (q uita r, encontra r el complemento ) los q ue son reencontrad os a lo largo

de l libro, en d istinto s conte xtos, con d istinta s present a -cione s (g ráf ica , enu ncia do s), con distinto s sopo rtes (co-leccione s presentes, evocad a s, en pistas, calenda rio, et -cétera).

Se propone ta mbién q ue los alumnos inventen pre-guntas o problemas a partir de diversos contextos uope raciones en los cua les pon drá n en jueg o los sentidosque elaboraron.

En la f icha 30-La torre más alta, se presenta una si-tua ción de reunión d e colecciones. La s colecciones está n

dibujadas y los alumnos pueden recurrir al conteo paracalcula r el tot al de cubos. Para compara r la s torres, pue-den recurrir a la relación uno a uno o a l conteo d el to ta lde cubos.

En la f icha 36-Juego de la caja, se presenta una situa -ción de transformación de una cantidad inicial , ya seaagregando o quitando elementos. Antes de presentar laficha sería importa nte q ue el docente o rga nice con los ni-ños varias partidas de este juego. Se coloca en la caja cier-ta cant ida d de chapitas y luego un niño pa sa a poner otracant ida d. Es necesario det erminar, sin ab rir la caja, la can ti-da d de cha pita s q ue se encuentra en ella . Del mismo mo do ,

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se org an iza n situa ciones de q uita r una cierta ca ntida d d e lo presente e n la caja.El objetivo esencia l de la activida d es la búsqued a de un procedimiento pa ra

encontrar el número de chapita s en la caja.La actividad presenta dos aspectos interesantes: por un lado, la posibilidad

de presentar las escrituras matemáticas asociadas a las acciones, aspecto sobreel que volveremos; por ot ro lado , la po sibilida d de buscar q ue los niños asumanla responsab ilidad de verifica r sus respuestas sin ne cesida d d e a brir la caja y con-ta r las chapita s. Abrirla y conta r las f icha s correspond e a una comproba ción em-pírica. Sí, en ca mbio, se excluye o se retra sa la p osibilida d d e a cción ef ectiva so-bre los objeto s y se pide a los niños que muestren, mediant e a rgumento s, q uesu resultado es correcto; sin corroborarlo empíricamente estarán haciendo unavalida ción d e t ipo a rgumentat ivo , a specto funda mental de la Matemá tica.

Se solicitará a los niños buscar argumentos para estar convencidos de que sihabía 4 chapitas en la caja y pusieron 3 más, hay 7 chapitas; e incluso desafiar-los sobre la necesida d o no d e a brir la caja para esta r seguros.

En relación con la s escrituras, la necesida d d e comun ica r por escrito a ot ro ni-

ño la información necesaria para que pueda averiguar cuántas chapitas hay enla caja sin abrirla, da a los niños la ocasión de buscaruna formulación de las a cciones, ligad as a l hecho deagregar o quitar chapitas de la caja. La necesidad dedistinguir entre agregar o quitar chapitas le otorgaun criterio de n ecesidad a la búsq ueda de recursos pa-ra ind ica r los do s tipos de a cciones.

La ficha 44-Juego de la oca (2) plan tea situacio-nes de adición y sustracción en algunas simulacionesdel juego , en un contexto de d esplaza mientos en pis-tas. Estas operaciones permiten calcular una nueva po-sición en el ta blero o reen contra r una po sición a nt erior.Después de este cálculo, los alumnos pueden realizarlos desplazamientos sobre el tablero como corrobora-ción.

Esta a ctivida d tiene la venta ja de permitir una a ntici-pa ción y una verificación de las respuesta s.

La s ficha s 46-La cajita de los 10 y 59-Otra vez la ca-jita permiten introducir a los niños en el trabajo con unsentido específico de la resta que es la idea de comple-mento , en este caso a 10.

Se trata de determinar cuál es la diferencia entre dosnúmeros: cuánto le fa lta a 4 pa ra lleg ar a 10.

El contexto de la cajita y las 10 bolitas permite trabajar con los complemen-tos de dígitos a 10, herramientas sumamente útiles en los procedimientos de

cálculo mental. Se presentan, además, partidas simuladas que permiten plan-tear a los niños algunas situaciones relacionadas con el juego, que no siemprea parecen o q ue exigen a na lizar una situa ción y emitir opinión sob re ella .

Ta mb ién, en este ca so, se plan te a n escrituras rela tivas a las accione s rea liza -da s (a + . . . = b). Esta s escritura s adq uieren un primer sentido en el contexto dela situa ción. Pa ra q ue a dq uieran su nivel de escritura ma temá tica es necesarioque los niños entren en contacto con distintos problemas y distintas situacionesq ue pueda n ser representa do s con el mismo t ipo d e escrituras y q ue pueda n de-terminar la validez de su uso. A lo largo del libro se presentan ocasiones de re-presentar simbólicamente situaciones y procedimientos y de analizar la validezde esa escritura. Este trabajo apenas se inicia en primer año y debería prolon-ga rse a lo largo de t oda la escolarida d.

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La fichas 56-El cumpleaños de M aril isa, 67-El colecti-vo, 82-Comida para llevar y 91-Problemas diferentespresenta n prob lemas q ue pued en resolverse con sumas y res-tas, pero que corresponden a distintos sentidos: agregar o

reunir, en el caso de la suma; quitar o complementar, en elcaso de la resta. La diferencia entre los sentidos de cadaoperación está dada por la presencia de una acción que sedesarrolla en el tiempo o no; en el ca so de a greg ar ha y unatransformación en el tiempo, lo que no sucede cuando setrata de reunir dos colecciones.

Si bien se pretend e q ue los a lumnos empiecen a utiliza rlos cá lculos de sumas y resta s para resolverlos, los númerosinvolucrados permiten que los niños dibujen las coleccio-nes y rea licen a lgún tipo de cont eo o sobreconteo .

La s discusiones sobre los procedimient os ut ilizad os po rlos niños pa ra resolver los prob lemas de berían permitirles

visualiza r las venta ja s del uso de los cá lculos. El pasa je d elconteo al cálculo es un proceso que realizan progresiva-mente a lo largo del año, en el que abandonan algunos

procedimientos para a dopt ar o tros más eficientes. Es importa nte tener presen-te, entonces, que algunos de los problemas pueden ser resueltos por los niñoscon procedimiento s de cá lculos y otros de conteo, d e a cuerdo con el ta ma ño d elos números involucrad os.

En la s primera s ficha s de problema s no se solicita la e scritura de los cá lculos,pero sí en las siguientes, porque consideramos que los alumnos deben ir apro-piándo se d e los cono cimientos enseñado s y, en cierto mod o, ser “ presiona dos”a ut iliza rlos. Una b uena pa rte del a prendizaje depend e del esfuerzo q ue hag a npor expresar sus idea s con los recursos ma te má ticos ya present es en la cultura.

En esta s fichas se incluye, ta mb ién, la situa ción de selecciona r el cá lculo a de-cuado para resolver un problema . La selección del cálculo apropiad o o bliga a losniños a reflexionar sobre la situación y a analizar con cuál de los cálculos puedeser representa do .

El pedido de inventar problema s que correspond an a un cálculo d etermina-do, en la f icha 91 , obliga a los alumnos a b uscar un cont exto, una historia q ue

incluya datos numéricos y que comprometa ese cálculomatemático .

Ademá s de esta f icha , el docente puede orga nizar si-tuaciones de invención de problemas en equipos. Entre-ga a la mitad de los equipos de la clase un cálculo y a laotra mita d, o tro di ferente . Cad a equipo t iene q ue elab o-rar un problema que se resuelva con ese cálculo. Una pri-

mera valida ción se o btiene a l conf ronta r la resolución delequipo que recibe el problema con el cálculo original. Porotra parte, puede organizarse una discusión colectiva deanálisis de los enunciados de los distintos problemas quefueron elab orad os para un mismo cá lculo.

Este tipo de a ctivida d permite cono cer las representa cio-nes de los alumnos sob re la s ope raciones y orga nizar cla sespara lograr una evolución de las mismas o superar dificulta-des si las hubiere.

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Los procedimientos de cálculo

El pasaje del conteo al cálculo

Ante un mismo problema, los niños utilizan diversos procedimientos, porejemplo:

“ En el colectivo hab ía 8 pa sajeros, subieron 4. ¿Cuá nto s ha y aho ra?” Alguno s niños usa n los dedos o dibuja n 8 ma rca s, luego 4 y cuenta n t odo . Otros niños sobrecuentan: 8... 9, 10, 11, 12. Alguno s, usa n a lgún recurso d e cá lculo, po r ejemplo, 8 y 2, 10 y 2 má s, 12. Otros, disponen del resulta do memorizado : 8 + 4 = 12.

Si bien to do s esto s procedimientos suponen el esta blecimiento de rela cione spertinente s (ha y q ue a greg a r 4) tienen d iferencias en cua nto a sus alca nces y lí-mites. Solo los dos últimos utilizan procedimientos de cálculo. El recurso de cal-

cular supone utilizar un modelo aritmético general, que va a poder ser emplea-do aun cuando se aumenten significativamente las cantidades. Supone ir con-quistando confianza en la validez de la utilización de los modelos que se vanconstruyendo.

Los ot ros procedimientos son d e t ipo conteo y se a poyan en una representa -ción figurada de la situación evocando los objetos o con el conteo de estos. Losprocedimiento s resulta ría n muy poco e fica ces si el mismo problema se plan tea racon cantidades mucho más grandes. Esto nos advierte de los límites para antici-pa r, inherent es a los procedimient os de cont eo.

¿Cómo favorecer en los alumnos el pasaje de un tipo de procedimiento aotro? Se trata de proponerles problemas en los que ha ya q ue calcular a un cuan-do no dispongan de una solución experta. A través de la resolución de diferen-tes problema s, de la conf ronta ción d e diversa s soluciones, de la puesta a prueb ade los procedimientos con nú meros más gra ndes, los alumnos podrá n empeza r aa propiarse d e p rocedimiento s vincula do s al cálculo.

Esta tra nsición no se hace de ma nera lineal, ni a l mismo t iempo pa ra t od os losniños, ni de un modo definitivo para el mismo niño. Es importante señalar queno se tra ta de saltea r los procedimientos de cont eo, pues son indispensab les porun tiempo pa ra muchos alumno s y para diversos problema s. La ta rea consiste e na yuda r a los alumnos a supera rlos y a incorporar procedimient os vincula do s conla po sibilida d d e ope rar con los números, como a sí tam bién de disponer d e resul-tados.

Hay q ue sab er aceptar q ue, en cad a categ oría de problemas, el pasaje de lautilización d e procedimiento s liga do s al cont eo y vincula do s a una represent aciónfigura tiva de la situación, a l reconocimiento d e un mo delo de resolución q ue im-

plica el recurso de técnicas de cálculo expertas es frecuentement e lento , rara men-te definitivo para un alumno y nunca simultáneo para todos los alumnos.

Esta observación implica muchas consecuencias:

Hay que aceptar e incluso favorecer en la clase la pluralidad de procedimien-to s de resolución, porque no solo a nima a los a lumnos a elabo rar su propia so-lución, sino q ue puede ser fuente de prog reso y d e a prendizaje a partir de lasconfronta ciones que se pueden o rga nizar entre ellos. Hay que a ceptar, tamb ién, que pa ra situaciones aparent emente a ná log as, al-gun os alumnos da n la impresión de retroceder. El aprendizaje está lleno de du-da s, de retrocesos, de a parent es detenciones hasta q ue las ad q uisiciones se es-tabilizan.

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Una exig encia precoz de f orma liza ción d e solucion es (reconocimient o d el cá l-culo a efectua r y producción de la escritura ma temá tica correspond iente) puedeser una fuent e de ob stá culos pa ra muchos a lumnos, q ue van a t rata r de prod u-cir la escritura ma temá tica directame nte a partir del enuncia do, a poyá ndo se en

pa labra s cla ve, sin involucra rse en la f a se esencial de tra ta r de comprend er la si-tuación propuesta. El medio del que dispone el docente para favorecer el pasaje de un polo aotro es, fundamentalmente, la variación de situaciones que les propone a losa lumnos (para los problemas ad itivos y sustractivos el “ ta ma ño” de los númeroses una variab le decisiva ) lo cual exigirá nuevos procedimiento s y mostra rá los lí-mites o la inutilidad de los anteriores. Otra herramienta fundamental de quedispone el do cente es orga nizar los inte rca mb ios y las discusiones entre los alum-nos, así como a seg urar la difusión de los “ ha llazgo s” de los alumnos entre to-dos. Llegan momentos en el trabajo en el que ciertos procedimientos y, particu-larmente, cierta s formas de escritura m at emá tica, se “ oficia lizan” .

El mejoramiento del conteo

Asumido que el conteo es la primera herramienta con la que la mayoría delos niños enfrent a n los prob lemas qu e se les plant ea , se propon e su mejoramien-to en d os direccione s:

EN CUANTO AL CONTEO UTILIZADO PARA RESOLVER SITUACIONES

Al inicio, pa ra resolver 6 + 3, los niños recuenta n d esde 1:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Se a punta a lograr q ue utilicen el sobreconteo :6... 7, 8, 9

Es decir que pa rta n de uno d e los números y a greg uen la o tra can tida d con-t an d o .

Muchos alumnos empiezan a usar, implícitamente, propiedades de la suma.Por ejemplo, la conmu ta tivida d. Así, pa ra h a cer 3 + 9, hacen 9... 10, 11, 12.

No se propone q ue el ma estro “ enseñe” esta propieda d, sino q ue fa vorezcael intercambio ent re los alumnos, de modo q ue los “ mod os de arreglárselas” decada uno se conviertan e n terreno común.

EN CUANTO AL DOMINIO Y EXTENSIÓN DE LA SERIE NUMÉRICA ORAL

Pa ra un a situa ción d e disminución, 12−

4, mucho s niños hacen 12 marcas, ta -chan 4 y cuenta n las q ue les q ueda n. Es necesa rio realiza r actividad es para q uepuedan descontar (conta r para a ba jo, “ pa ra a trá s” ), es decir, utilizar: 12... 11,10, 9, 8.

Estos procedimientos, para poder ser puestos en juego, requieren, por partedel a lumno, un a buena disponibilida d de la serie num érica o ral, particula rmen-te la capacida d de:

decir directa ment e el siguiente y el ant erior de un núm ero sin recita r la seriedesde el inicio; continuar la serie ora lmente a pa rtir de un número da do , en un sentido y eno tro ;

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enuncia r, por ejemplo, 4 números a pa rt ir de uno da do , en un sentido o eno t ro ; decir, por e jemplo, los número s entre 7 y 11, pudiend o especificar a l termi-na r, cuá nt os número s se dijeron;

pod er cont a r de a 2, de a 5, de a 10 resulta part icula rmente importan te enta n to apoyos funda menta les para e l cá lcu lo .

Los procedimientos mentales de resolución

Considera mos que un o bjet ivo funda menta l de primero y segundo añ os esel desarrollo de procedimientos mentales de resolución en el marco de losproblemas referido s ant eriormente.

Se tra ta , a la vez , de fa vorecer la representa ción me nta l de las situa cionesy la construcción, por pa rte d e los a lumnos, de soluciones desprendida s de laa cción misma , es de cir, qu e permiten a nt icipar los resulta do s de un a a cción to -

da vía no rea lizad a .Más ta rde, se fa vorecen los procedimiento s escrito s que se a poya n en la s

reglas de escritura de los números (numeración de posición). Pero para quelos alumnos pueda n t rab ajar a este nivel , t ienen q ue ser ca paces de construiruna representación mental correcta de la situación y disponer de la posibili-dad de obtener mentalmente ciertos resultados.

Estos procedimient os ment a les fun cion a n en principio, para ciertos núme-ros. Se busca rá e xtender prog resivam ente su do minio de f unciona miento y sudisponibi l idad para poder darle un carácter más general . Por ejemplo, una lumno puede ser capa z de resolver menta lmente un problema q ue involucralos números 2 y 3, y no pued e ha cerlo con los números 4 y 6.

Los maestros con experiencia en primero y segundo años constatan queentre sus alumnos hay q uienes disponen de procedimiento s menta les de re-solución y q uienes, no; ha y q uienes memorizan con fa cil ida d y q uienes t ienenque reconstruir siempre todo; hay a quienes se les ocurren diversas manerasde resolver y q uienes dispon en d e muy po cos recursos.

En ta nto consideramos funda menta l lograr q ue tod os los alumnos dispon-gan de procedimientos mentales de resolución y construyan comprensiva-ment e los a lgo ritmo s, lo q ue vamo s a plantea r es q ue estos log ros t ienen q ueser asumido s como met a s desde la enseñanz a.

Hay un primer req uerimiento y es que, a término (ha cia f ines de seg undo ),los alumnos t ienen q ue saber producir rápida mente (casi instant á nea mente)una buena respuesta a lo q ue se suele lla ma r el repertorio ad i t ivo : encontraruno d e los términos a , b o c en a + b = c , cuando a < 10 y b < 10, lo cual noexcluye el conocimiento de otros resultados, pero condiciona su producción.

Esta e s la b a se de l cá lculo, sea escrito o me nt a l.Va mos a señalar sintét icam ente las meta s q ue se pueden ir pla ntea ndo en

este proceso, vinculándolas con las propuestas de las f ichas de trabajo.

LA MEMORIZACIÓN DE CÁLCULOS SIMPLES

Se plantea un trabajo sobre el repertorio adi t ivo que consiste en organi-za rlo y o frecer f recuentes opo rtunidad es para q ue los niños memoricen a lgu-nos resulta dos y se a poyen en el los para resolver los que to da vía no d ominan.

Para orga nizar el repertorio a di t ivo es út i l q ue se confeccionen carteles co-mo los q ue se proponen e n las f icha s 45-Carteles con sumas y 61-Cartelescon sumas (2).

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En el jueg o d e la ficha 39-La serpient e, los niño s prac-tica n la suma de d ígitos ha sta el 6. En este juego, no to-dos los números tienen la misma probabilidad de apare-cer como suma de los valores 1 a 6. Se propo ne q ue los ni-

ños indiq uen “ los núme ros difíciles de ta char” , se conside-ra q ue es accesible a los a lumnos rea liza r esta ob serva cióny vincularla con el hecho de que para algunos númerospueden encontrar múltiples comb ina ciones de ca ras de d a-dos y pa ra o tros, pocas.

El jueg o d e la f icha 66-Tres dados requiere de la sumade t res dígitos. Coment a r cómo ob tienen el resultad o pue-de ser una o casión para fa vorecer el sobreconteo : a la sumade los dos primeros se le ag rega , cont a ndo , el tercero. Hayq ue ir rodea ndo resulta dos en un cuadro d e números y, co-mo e n el juego de la serpiente, no tod os los números tienenla misma proba bilida d d e a pa recer como suma de los valores

1 a 6. Se propo ne q ue los chicos, en los eq uipos, tra te n de ex-plicar por qué algunos números salen como resultado conmá s frecuencia q ue ot ros.

En las fichas 69-Formar 10, 73-Lotería de sumas y 87-Vuelta y revuelta, se propone n d istinta s activida des q ue se relacionan con elcálculo m ent a l: descomp osicione s de 10, a mplia ción de los repert orios ad itivo ysustractivo.

RESOLUCIÓN DE CÁLCULOS NO TAN SIMPLES UTILIZANDO LOS SIMP LES

Como sugerimos anteriormente, se busca favorecer que los alumnos utilicensus conocimient os para tra ta r la s situa cione s respecto d e las cua les no d ispon ende resulta do s memorizad os.

Por ejemplo, dispon er de los pares de sumand os q ue da n 10, permite a los a lum-nos tra ta r diversos cá lculos. Para ha cer 8 + 6, muchos niños piensan e n (8 + 2) + 4.O en cálculos de resta, por ejemplo, 14 − 6, lo convierten en (14 − 4) − 2.

Es importante favorecer la búsqueda y explicación de distintas maneras detra ta r un cálculo. Por ejemplo, para 7 + 8:

(7 + 7) + 1 (Rea grupa miento en to rno a un d ob le.)(7 + 3) + 5 (Rea grupa miento en to rno a 10.)(8 + 2) + 5 (Rea grupa miento en to rno a 10.)(5 + 5) + 2 + 3 (Rea grupam iento en t orno a 5.)

No se trat a , s in emba rgo, de “ enseñar” esta s diferentes

al ternat ivas ni de q ue cad a a lumno deba “ conocerlas” to-da s. Se trat a d e q ue ca da uno encuentre sus ma neras prefe-rida s ut i lizando a fondo el grupo pa ra da r la ocasión d e a d-herir a la s solucione s propuesta s por ot ro. El recurso a la imi-ta ción es un recurso inteligen te en la medida en q ue suponeel recono cimiento del valor de lo propuesto por ot ro.

En la f icha 75-¡Mucho para sumar! , se po ne en juego lasuma de 4 dígitos. Representa una ocasión pa ra q ue los alum-nos usen los conocimientos que tienen para facilitar el cálcu-lo. Toma ndo decisiones sobre cuá les suma ndo s reunir prime-ro po r alg ún mo tivo (do bles, comp lement os a 10, etc.), los ni-ños ponen e n juego las propieda des asocia tiva y conmuta tiva

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de la suma. Sin necesidad de nombrarlas en términos matemáticos, es conve-niente, al coment ar el traba jo realiza do, confirma rles q ue “ se puede camb iar elorden” , “ se puede elegir cuáles suma r primero y de spués ag rega r el resto sin o l-

vida rse ninguno ” . Los niños explora n muchas alterna ti-

vas y necesita n confirmación de “ la lega lida d” de lo queha cen. De eso ha blamo s cuando nos referimos al momen-to d el tra ba jo q ue deno minamos “ concluir con los niños” .

Los a specto s recién come nta do s son válidos en relaciónal análisis de sumas y búsqueda de recursos para facilitarlo propuesto en la f icha 83-La huevera.

EL CÁLCULO MENTAL

Activida des como la q ue a caba mos de coment a r se si-túa n de plano en el terreno d el cá lculo ment al.

Se ent iende como cálcu lo m en tal al conjunto de proce-

dimiento s que, en f unción d e los dat os a t rata r, se a rticula nsin recurrir a un algoritmo preestablecido para producir re-sulta dos exactos o aproxima do s.

El cálculo mental se apoya en el hecho de que existen di-ferentes maneras de calcular y que se puede elegir la quemejor se a da pta a una det ermina da situa ción. Así, cad a situa-ción d e cálculo constituye un problema a bierto q ue puede ser

solucionado de forma diferente, invirtiéndose en ello los conocimientos dispo-nibles sobre los números y sobre la s opera cione s.

Las actividades de cálculo mental proponen el cálculo como objeto de refle-xión, fa voreciendo la a parición y tra ta miento d e relaciones y propiedad es, q ueen el primer ciclo serán u tilizad a s y má s ta rde serán recono cida s y formula da s.

El cá lculo menta l tam bién puede ser considerado como una vía de a cceso pa -ra la comprensión de los algo ritm os. En el cálculo ment a l, la reflexión se cent raen e l significa do de los cálculos inte rmediarios y esto fa cilita la comprensión delas reglas de las técnica s.

En este sentido, los C.B.C. plantean: “A ntes del trabajo con los algoritm os convencion ales, cuya compren sión t ot al requ iere la de las leyes del sist ema de numeración (en especial la d e valor relat ivo) y de las propied ades del conju nt o numérico con qu e se opere, es conveni ent e una acti vidad sist emát ica con cálcu- los ment ales y escrit os, descomponiendo y compo niendo los números como to - t alid ades (en lug ar d e t rabaj ar con las decenas, centen as, et c.) y asociándolo s de acuerd o con cálculo s y operaciones más sim ples qu e la alumna y el al um no ha- yan memo rizado comprensivament e y puedan contro lar”. Síntesis explicativadel bloque d e Número.

Así, a lumno s de 1º y 2º a ños, a ntes de aprender el algo ritmo d e la suma pue-de n resolver 34 + 27 de d istinto s modo s, por ejemplo:

30 + 4 + 20 + 7 = 61 34 + 20 + 7 = 61

50 + 11 = 61 54 + 7 = 61

Para q ue esto sea po sible, se deb en proponer a ctivida des para lelas tend ien-tes a q ue los alumnos dispong an en memo ria de un conjunto de resultad os (eneste caso, suma de dígitos y suma de decenas ente ras), porque solo en ese casolos alumnos pod rán elabo rar diversos procedimiento s y, cuando a prenda n el a l-go ritmo , tener a lgún control sobre e l mismo.

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El traba jo d e la f icha 89-Billetes más grandes propone composiciones dedecena s en el cont exto d el dinero, a sí como la ejercita ción d e la suma de dece-nas.

La ficha 94-¿Quién ganó?, a tra vés de juego s simulado s, centra la a ctivida d

en las descompo sicione s ad itiva s (68 = 60 + 8), q ue con stituyen el principa l recur-so con el q ue los a lumnos pueden resolver las suma s q ue se propo nen e n primeraño .

Hemos considera do a los algoritmos de suma y resta como o bjeto de t raba joen segundo a ño.

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ESPACIO, FORMAS YMEDIDA


En este b loqu e se of rece un g rupo d e experiencia s sob re las cua les los niñospuedan basar la organización y estructuración del espacio que los rodea y susprimeros con ocimientos ge omét ricos.

La s f icha s incluidas en el bloq ue se refieren a la ub ica ción en e l espa cio y en

el pla no, a la representa ción g ráf ica d el espa cio, a reg ularida des grá fica s, a f i-guras geométricas y a medición.

Si bien, en la m a yoría d e las f icha s, las activida des propuesta s correspond ena dos o má s de estos aspectos, en este t exto serán a na lizad os separa da mente.

Cuand o ha blamos de orga nización del espacio estamo s hab lando d e cono-cimientos reconocidos como importantes en la vida de toda persona, pero ra-rame nte a cepta do s como ta les en la escuela. Nos referimos a sab er inte rpreta run plano, dibujar un croquis para proveer cierta información de ubicación aotra persona, dar instrucciones verbales para llegar a un lugar preciso, poderrepresenta r en un p lano ob jeto s o situa ciones espacia les. Muchos de estos co-nocimientos son necesarios para abordar con éxito el aprendizaje de la Geo-met ría , pero dejad os, en gene ral, bajo la responsa bilidad de los niños.

Incluimos, ent onces, a ctivida des para d esarrolla r a lo la rgo d el año, q ue ha -cen enfrent a r a los niños a situa ciones q ue implica n d escribir, ta nto ora l comográ f icamen te, la ubicación d e ob jetos o personas en un lugar d etermina do, ointerpreta r una descripción. Pa ra realizar esta s descripciones es necesario esta-blecer relacione s entre los objeto s involucrad os en la situa ción y elab ora r y uti-lizar un vocabulario específico.

Organización del espacio

La primera actividad relacionada con la ubicación espacial aparece en elcontexto de un jueg o (ficha 7-¿Dónde cayeron?) con la de scripción d el resul-ta do d e una pa rt ida simulad a. Se trat a d e determinar cuánt as bol ita s cayeronen cada uno de los luga res: deba jo de la mesa, a rriba de la mesa, dentro o fue-ra d e la caja. Se pide, po r lo t a nto , la interpreta ción d e ubicacione s espacia les

dadas en forma verbal . En la segunda parte , apartir de cierta información de la situación finaldel juego, se pide dibujar las bolitas en el lugardond e q ueda ron. La pregunt a sobre el número debolitas que cayeron fuera de la caja, implica con-ta r tant o las bol ita s q ue qued aron ba jo la mesa co-mo las que q ueda ron sobre la mesa, pero fuera d ela caja. El vocabula rio liga do a l espa cio e s utiliza dofrecuentemente para ubicarse tant o en la vida co-tidiana como en la escuela. Con esta s actividad es se

pretende, por un lado, precisar las expresiones y,por otro lad o, homo geneizar su uso en el grupo es-colar.

En la f icha 24-Recorridos, se solicita que los ni-ños representen grá f icam ente movimientos que alu-den a indicaciones espaciales sobre los desplaza-mientos: pasar por d eba jo de la silla , pa sar d entro d eun a ro , cam inar sobre el banco, e tcétera.

Previamente, deberían organizarse recorridos enel pat io , donde los niños tengan la oportunidad dedesplazarse de acuerdo con consignas de movimientoda da s por el docente .

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La f inal ida d central de esta f icha está da da por la representa ción g ráf ica delos movimientos, de la cuá l se ha blará má s adelant e .

Una prolong ación interesante de esta act ividad consiste en sol icita r a cadaequipo que invente un recorrido con objetos para

real izar en el pat io , lo registre de algún m odo pararecordarlo y, luego, dé las órdenes a sus compañe-ros para que lo realicen. Estas ordenes pueden serdadas oralmente o bien por medio de un gráf ico ,como se pla ntea en la f icha .

La f icha 52-Los carteles de las aulas, permitediscutir la ubicación d e ob jet os en función de la la te-ral idad de la persona que real iza la acción. Esta esuna de la s primera s a ctividad es de ubicación ut ilizan-do como referencia la lateral idad del sujeto que ac-túa ; más adelant e , se trat ará de ut i lizar otro sujeto ysu lateral idad, como referencia para la ubicación de

objetos o persona s.En la f icha 54-La fila del cine , reconstruir la filadel cine permite t rab a ja r, ta nto con rela cione s del tipo“ esta r ade lan te ” o “ en tre ” , a sí como con las nocionesde primero y último de un a serie.

Trab a ja r con las siluet a s recorta da s permite q ue losniños prueben el orden, lo discutan, lo modifiquen, siasí lo desean, y cuando estén seguros peguen las silue-ta s de los person a jes en la f icha .

Siguiendo con las activida des referida s a ubicación e spa cia l, la f icha 60-Enla fiesta provee a los niños una nueva ocasión de discutir expresiones espa-ciales que son uti liza da s hab itua lmente.

A pa rtir de las indica cion es que se brinda n sobre los distinto s niños: sob resu vestimenta (esta r en el Ja rdín), sob re su ubica ción con respecto a ot ras per-sona s (cerca de la ma estra, de lant e de l quiosco) o sob re su posición (at á ndo selos cordones), puede determinarse el nombre de cada uno de los niños.

Alguna s de esta s expresiones permiten ident if icar a uno de los niños sin ne-cesidad de recurrir a o tra s: “ Mi hija se l lam a Julieta y está cerca de la ma estra” ;en cambio, o tras dependen de la identi f icación previa de otros niños, porejemplo: “ Mi hijo es el q ue está d et rás de Julieta . . .” . La lectura d e las cara cte-rizaciones en el sentido ha bi tual de lectura , de izq uierda a derecha, no permi-te iden tif ica r los niños uno p or uno .

El do cente d ebe ría leerlas lent a ment e, la ca ntida d d e veces que los niños losoliciten. Después de resolver la actividad, la discusión colectiva podría ser so-bre la unicida d d e cad a niño, pregunt an do si es único el niño q ue cumple con

ta les condicione s. Por ejemplo, ¿ha y un único niño q ue se está a ta ndo los cor-do nes? Si hay má s de un o, ¿cómo se sa be cuál es Nicolás? Este a ná lisis permi-te hacer tomar conciencia de las distintas condiciones que se imponen paraident if icar a u no d e los niños.

Finalmente, en la f icha 33-M osaicos de colores, se tra ta de la ub icaciónde casilla s en una cuad rícula . Pa ra repro ducir el mod elo de los pisos es necesa -rio d eterminar cuá l de las casillas está pinta da y de q ué color, para luego iden-tif ica r la misma casilla en la o tra cuad rícula .

Si bien no se pide q ue la ident if iq ue con letra s o números es necesario ub i-carla con precisión pa ra o bt ener una copia correcta d el piso dibujad o. Un pro-cedimient o po sible es cont a r el número de casilla s va cía s hasta la primera co-lorea da y real izar este proceso en cada una de las f i las de la cua drícula.

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Se a greg a , ad emá s, un ejercicio do nde se pide inventa r un mosaico y dá rse-lo a un compañero q ue lo reproduzca.

El traba jo con g uarda s y pisos relaciona la Mat emát ica con el a rte , da do q uees uno d e los recursos que a rtista s de t od a s las época s utilizaron pa ra a do rnar

las construccione s o la vestimenta .

Representación gráfica

Representa r grá fica ment e los objeto s del espa cio t ridimensiona l en un pla-no d e do s dimensione s, la ho ja del cuade rno, el libro o el pizarrón, y, por ot raparte, interpretar una representación gráfica, constituyen competencias fun-da menta les para el desarrollo d e los niños y un instrumento potent e pa ra a d-quirir nuevos conocimientos, no solo en el ámbito de la Matemática.

El pasaje del espacio a l pla no e xige un tra ba jo específico q ue se pla nte a endistinta s f ichas a lo larg o d el libro. Apa recen, a sí, por un lad o, a ctividad es re-

lacionadas con la representación de situaciones y de movimientos, y por otrolado , con la interpreta ción d e represent a cione s, en pa rticular de d ibujos reali-

za do s por niños.Producir una represent a ción grá fica implica selec-

ciona r la info rmación q ue deb e represent a rse en la si-tua ción, los objetos involucra do s y la s rela cione s entreellos. Por otra pa rte, la considera ción d el receptor d elmensaje envia do exig e ha cerse cargo de la comprensi-bi l idad del mensaje : ¿qué lenguaje y qué códigosusar?, ¿serán comprensibles?, ¿entenderán lo que seq uiere comunicar?

Con la f icha 13-El muñeco articulado , en el con-texto de una situación de comunicación, aparece laocasión de representar en el papel posiciones de uncuerpo, log rad a s al mover la s distinta s articulacione s delmuñeco.

Se pide a los niños que coloquen el muñeco en unaposición det erminad a , lo d ibujen y en víen el dibujo a suscompa ñeros. El dibujo recibido deb ería permitir a l eq ui-po receptor colocar su muñeco en la posición en la quese encontraba el del equipo emisor. Cuando comparanlas posiciones de los dos muñ ecos, pued en verificar si susrepresent a cione s grá fica s logra ron el objetivo.

Las diferencias proveen la ocasión de explicitar las dis-tinta s posiciones del muñeco y la b úsqued a de nuevos recursos para dibujarla s.

Con f recuencia, los niños ad opt a n una única y repet ida po sición pa ra d ibu-ja r la f igura huma na , por ejemplo, los bra zos perpendiculares al cuerpo.

En esta a ctivida d será ne cesa rio representa r otra s posiciones como : un bra -zo en alto o f lexionado en el codo, las piernas abiertas o el cuello inclinado.Además de percibir la posición de los distintos miembros del cuerpo, la activi-da d se centra en buscar cómo comunicar a l o tro la posición en la q ue t iene q uecolocar el muñeco. Se pretende que el dibujo adquiera un gran valor comomed io de comunica ción.

En la segund a pa rte d e la f icha, se busca identif ica r cuá l de los dibujos rea-liza do s por niños correspond e a la posición d el muñeco qu e ilustra la fo to . Pa-ra e ste f in es necesa rio d ete ctar las diferencia s en la posición de las pierna s yde los brazos.

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La act ivida d del muñeco a rt iculad o debería , a ligua l que otra s act ivida des propuesta s, retoma r-se a lo largo del año, para permitir el mejora-miento del trazo y la representación de posicio-

nes más complejas. Puede, también, aparecer ladiscusión sobre algunos detalles no pertinentespa ra la com unica ción d e la po sición, como el som-brero, el gato en el bolsillo, detalles a los que losniños asignan gran importancia en el inicio de laactividad.

En la f icha 24-Recorridos, con recorrido s con ob s-táculos realizados en la clase de Educación Física, sepla ntea la representación no ya de posiciones, sino dealgunos movimientos realizados por los niños: pasardentro de un aro, caminar sobre el banco, etcétera.

Como ya dijimos previament e es conveniente q ue el

do cente org a nice recorrido s como el de la ficha, con elfin de que los alumnos puedan contar con una expe-riencia similar antes de plantearse la representacióngrá fica de las esta ciones.

Representa r gráf ica ment e un recorrido, pa ra los ni-ños implica identificar cuáles son los elementos de lasitua ción pe rtinentes de ser representa do s: ¿q ué dibu-ja r: solo los objetos o t a mbién los niños?, ¿y el aro d e

básquet? ; determinar un punto de part ida y un punto de l legada, una direc-ción d e mo vimiento , ad emá s de las acciones en cad a e stación, ¿cómo represen-ta r la a cción de pasar dentro d el aro : dibujan do un niño a travesánd olo , dibu-jando una línea que lo atraviese?, y en ese caso, ¿cómo indicar que lo atravie-sa y no q ue pasa por encima o por deba jo?

Algunos de los objetos present es en la situación como el a ro de b á squet , la sparedes, la puerta. . . pueden ser eventualmente eliminados de la representa-ción, porque se trata de objetos no pertinentes, pero es necesario respetar lasrela cione s ent re los objetos representa do s ya q ue el orden ent re la s estacionesno puede ser alterad o.

Estas son algunas de las dif icultades con las que se enfrentan los niños pa-ra rea l izar un af iche q ue permita a sus compa ñeros del o tro turno conocer yrealizar el recorrido propuesto por el profesor de Educación Física.

La confront ación de los dist intos af iches elab orad os, organizad a por el do-cente, permite analizar la comprensión del recorrido dibujado y buscar, entreto do s, la s respuestas a preg unta s como las menciona da s má s a rriba y los mejo-res recursos para representar gráficamente el recorrido: ¿una línea de puntos

o f lecha s para indica rlo?, ¿dibujar los niños o solamen te los objeto s y una líneaq ue indique el recorrido ?

Si el a fiche es envia do y los niños reciben uno del ot ro g rupo, la confron ta -ción de los distinto s recursos seg uram ent e enrique cerá la a ctivida d.

Figuras geométricas

En rela ción con las f ig uras geo mét ricas, se tra ta rá de e mpeza r a identif ica r-las, traz a rla s, de scribirla s, descubrir sus propiedad es.. . Se pro pone tra ba ja r conun conjunto d e figura s básicas, las más cono cida s, como cuadra do s, triáng ulos,círculos y rectá ng ulos. Se rea lizó la opción de involucra r a to da s esta s f igura s

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en cada act ivida d y no de presenta rlas una por una. Esto debería permit ir a losniños estab lecer d istinta s rela ciones en tre ella s, ident if icarla s por sus propieda -des comunes o diferentes, tomar conciencia de cuáles son las característicasq ue p ermiten d istinguir sus represent a cione s grá fica s.. .

Se plantea realizar construcciones (ficha 41-Ar-mar y dibujar) con las f igura s ent rega da s y dibujar-las para f orma r una exposición d e to da s las construc-ciones q ue real icen, armando una ga lería de d ibujosdiferentes. Dibujos similares serán solicitados en fi-chas posteriores. La represent a ción d e figura s en Geo-met ría exige represent a r lo m á s precisament e po siblelas f iguras dadas, en part icular no agregarle elemen-tos extraños a la conf iguración real izad a.

Esto será claram ent e percibido cuand o se solicite alos niños realiza r y envia r un d ibujo de su config uraciónpara q ue ot ro eq uipo pued a reproducirla . Este será el

trabajo de la f icha 65-Para la galería de dibujos, enla q ue el dibujo d e la construcción será el sopo rte d e co-munica ción con o tro eq uipo pa ra q ue pueda reproducirla f igura a rmad a . Esto ob liga a d istinguir, a tra vés del di-bujo, no solo el color de la s f igura s, sino ta mbién la f or-ma, distinguiendo con claridad un cuadrado de un círcu-lo o de un rectáng ulo, y, por ot ra pa rte, la posición rela-t iva a las otra s f iguras q ue ocupa cada una de el las .

En la f icha 41 , se incluye también la actividad ADIVI-

NANZAS DE FIGU RAS, que solicita de los niños la búsqu eda decara cterística s q ue les permita identif ica r la f igura selecciona da por uno de suscompañeros.

La condición de elaborar preguntas que solo admitan como respuesta sí ono, ob liga a los niños a cara cteriza rla iden tif ica ndo sus propieda des. Posterior-

mente, descubren q ue pueden f ormular pregun-ta s sobre propieda des comun es a d istinta s f igura sy de esa manera descartar algunas y considerarun universo más restringido. Por ejemplo, la res-puesta NO, a la preg unta : ¿Es roja?, permite e limi-na r tres f igu ras del universo ut ilizado .

Esta act ividad puede ser real izada aunque losniños no cono zcan a ún los nom bres de las f ig uras;en ese caso buscarán formas propias de describir-las: ¿tiene 4 puntas?, ¿es alargada?, ¿es como unacasita?. . .

Esas formulaciones se precisarán y transforma-rán en las convenciona les luego d e varias oportuni-dades de realizar este juego, de conocer las formu-laciones utilizadas por sus compañeros y con losapo rtes del docente .

Ta mbién se incluyen peq ueño s aná lisis de pa rtida ssimula da s. No se t rata ya de elab orar pregunt as, sinode a na lizar o responder a pregunt as ya plan tea da s eincluso d ete ctar e rrores en uno de los jueg os realiza-dos.

En la segunda parte d e la f icha 65 , se trat a d e des-cribir la f igura a rmada para q ue otro eq uipo pueda re-

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producirla. La a ctivida d e s similar a la d e la f icha 41 cuando se t ra t aba de en-viar el dibujo de la configuración realizada, pero, en este caso, se debe dictara l o tro eq uipo lo q ue sea necesario para q ue pueda construir la misma f igura.Pa ra e llo, es necesa rio ca racterizar no solo las f igura s involucrad a s en la cons-

trucción, sino t a mbién las relacione s espa cia les ent re las distinta s f ig uras q uepermiten ubicarlas , debiendo, a demá s, e labora r un vocabulario pert inente pa-ra comunica r las informa ciones selecciona da s.

La discusión posterior sob re el dicta do de uno de los equipos y la construc-ción realizada por el otro, permite precisar la descripción, formular acuerdossobre los recursos para hacer comprender al otro la ubicación de las f iguras.

Por ejemplo, se podría a corda r qué se ent iende cuan-do d icta n una f igura es tá arriba de o t ra , ya q ue enel contexto de la hoja, arriba no indica superpuesta.

El docente puede orga niza r esta a ct ivida d en dis-t intas fa ses; luego de uno de los dictado s y compa ra-ción e ntre las f igura s, se discute y se llega a uno o d os

acuerdos que se ponen a prueba en el siguiente dicta -do. La segunda confrontación permite elaborar nue-vos acuerdos que hacen evolucionar las formulacionesy mejorar las reproducciones.

Ta mbién en rela ción con este t ema se plant ea (ficha77-Dictado de figuras) el análisis de una descripciónreal izad a por un cierto eq uipo de niños. Se tra ta de d e-termina r si la s formulacione s da da s son vá lida s pa ra d es-cribir la f igura present e.

El do cente podrá prolonga r la a ctivida d ha ciendo ela-bo rar las preg unta s que sí permita n reproducir la f igura.

Finalmente, en la f icha 85-Con los triángulos, seplantea la construcción de nuevas f iguras a partir detriángulos iguales. Se pretende avanzar en el análisis delas f iguras más complejas, en este caso obtenidas porcomposición de ot ras.

Regularidades gráficas

En relación con las regularidades gráficas, se plan-tea n a ct ivida des con g uarda s o pisos que se obt ienen a lreproducir un cierto modelo en forma lineal (una di-mensión) o en d os dimensione s.

En oca sione s, se tra ta rá d e det erminar cuál es el mo-

delo utilizado y en otras, de inventarlo y comunicarlo aun compañero o pareja.

Ta nto en la f icha 16-Guardas como en la f icha 47-Pi-sos decorados, se da como consigna ana lizar , antes derealizar la a ctivida d, si un piso puede ser construido conlos mosaicos de los que se dispone o no.

Este último a specto permite superar el nivel de la a c-ción y pa sa r al nivel de la a nticipa ción de las accione s, lascuales podrán ser realizadas posteriormente como valida-ción de la anticipación realizada.

La clase puede ser orga nizad a a part ir de un tra ba jo in-dividual de análisis, seguido de una discusión en el equipo

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42 Libro para el docente

y finalmente en toda la clase, sobre la factibilidad ono de construir el piso.

Las discusiones entre niños que sostengan opinio-nes diferent es los lleva a buscar los mejores arg umen -

tos para convencer a sus oponentes. Esos momentosde discusión, m od erad os por el do cente (en el sentidode m an tener centra do el objeto de la discusión, pediropiniones a los demá s compa ñeros, solicita r una con-clusión...), son un os de los mome nto s má s ricos, desdeel punto de vista del aprendizaje, que pueden ocurriren la e scuela.

En la ficha 5-Guardas, se solicita a los niños pintarprimero una gua rda lineal siguiendo un mo delo da do ylueg o identif ica rlo en tre ot ros, inventa r uno d iferente ydictarlo a un compañero para pintar su guarda. Esta f i-cha pretend e q ue los niños pueda n identif icar el mod e-

lo q ue se itera a lo largo d e la gua rda, pero que, ad emás,puedan formularlo y representarlo gráficamente.

En la s ficha s 16 y 47 se con struyen gu a rda s o pisos uti-liza ndo mosaicos igua les que se proveen en los mat eria -les a uxiliare s.

Para reproducir una g uarda o piso d ad o es necesarioque los niños puedan identif icar en el conjunto total los

elemento s pa rticulares (mosa icos) que los compo nen.La segund a f icha es cla ramente de m ayor complejida d q ue la 16 , d ad o q u e

se trat a de reprod ucir un piso rea liza do en d os dimensione s. Los niños de estaeda d pueden, con mayor facilida d, continuar una g uarda q ue se prolong a enuna línea horizont a l o en una vertical, pero no en las dos direccione s a la vez.

Al f ina l de la f icha 65-Para la galería de dibujos, se incluyen dos activi-da des don de se trat a d e identif ica r el mod elo selecciona do y se sigue utiliza n-do has ta comple tar l a g uarda .

Medición

En relación con la m edición, se propo nen d os a c-tividades relativas a longitud, en las f ichas 78-¿Pri-mero o último? y 93-Las maderitas de colores,con el objetivo de empezar a sensibilizar a los niñosen esa magnitud. La introducción de unidades con-vencionales de medida y el conocimiento de los ins-

trumentos usuales puede ser realizada a partir de se-gundo año. En una de ellas es posible determinar elorden de los palitos a pa rtir del extremo superior, da -do que los extremos inferiores se encuentran en unamisma línea; en cambio, en la otra, los alumnos ten-drán q ue encontra r un medio para real izar una compa -ración indirecta de longitudes.

En relación con el tra ba jo en las dos f icha s, se pued eenfat izar la importancia de una búsqueda sistemática,buscar el más pequeño de t odo s, luego el más pequeñode los q ue qued an, e tcétera.

En el caso de la segunda ficha, el trabajo podría ser


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orga nizad o a part ir de pinta r toda s las mad erita s de una misma long itud, lue-go de o t ra , e tcé tera .

En relación con la medición del tiempo, se proponen variadas actividadescon el ca lenda rio y sus subd ivisiones: meses, sema na s y día s, q ue a punt a n a q ue

los a lumnos cono zcan d icha org a nización e n té rminos de sucesiones, regula ri-dades, etc. , y que, manejando ciertas unidades (semana: 7 días), puedan desa-rrollar procedimientos diversos de sde el conteo a la a nticipa ción. Esto s aspec-tos son objeto d e tra ba jo en la s f ichas 58-Los días de la semana y 97-Losdías, las semanas y los meses del año .

Las medidas de t iempo son, a demá s, un contexto pa ra la numeración y elprogreso de los alumnos en sus conocimientos numéricos; les permite un pri-mer ab orda je en el terreno a ritmét ico d e la medida .

Libro para el docent e Hacer M at emát ica 1

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TRATAMIENTODELA INFORMACIÓN


Constant emente trat amo s informa ciones muy diversas y pa ra el lo usam osconocimient os, hab ilidad es, etc. , que n o son pa trimonio exclusivo d e la Ma te-

má tica. Pero el trat amiento de la informa ción está involucrado con la act ivida dmatemática y resulta conveniente, sobre todo en los primeros acercamientosde los alumnos al aprendizaje sistemático, proponer situaciones que ponganfo co en a specto s pa rticulares de d icha a ctivida d.

Aprender a formular preguntas a partir de distintos contextos; a distinguircuáles pueden ser respondidas utilizando herramientas matemáticas y cuáles,no; a identi f ica r fuentes de información; a leer un g ráf ico , un a nuncio , una ta -bla; a org a nizar, recolecta r, selecciona r y comunica r informa ción, e tc. , son a l-gunos de los aspectos de la act ividad matemática que pueden ser objeto depropuestas específicas.

En este bloq ue, la s propuesta s se orga nizan e n las siguientes líneas de t ra-bajo :

represent a ción g ráf ica d e situa cione s, extracción d e informa ción presente e n diversos porta do res, identif ica ción de elemento s a pa rtir de sus caracte rísticas.

Representación gráf ica de situaciones

En la s ficha s 19-En el bar, 21-En el mercado y 81-El restorán , se t ra ta derepresentar gráficamente situaciones planteadas en los enunciados.

Como dijimos, tanto la interpretación como la representación de situacio-nes utilizando diversos recursos como gráficos, tablas, esquemas, fórmulas,etc . , ayuda a fa cilita r la extracción y el trata miento de la informa ción.

Para resolver un problema, uno de los aspectos más importantes es poderrepresentarlo, es decir, imaginarse la situación, mentalmente o en forma grá-

fica, identif icando los personajes o elementosq ue intervienen y la “ historia” q ue cuenta .

Así, en la f icha 19 , pidiendo a los niños quedibujen las mesas como quedaron después deq ue Beto las preparó, esta mos propiciand o q uelos a lumnos se imag inen la situa ción q ue o curreen ese bar , en la que el mozo debe colocar losdistintos objetos en cada una de las mesas.

La situación que se presenta en esta f icha esuna situación compleja que hace intervenir dis-tint os elemen to s: vasos, men ús, servilleta s y ceni-

ceros, pero utilizand o ca ntida des (meno res q ue 5)que corresponden a la primera época de primeraño . La at ención d e los niños debe esta r centrad aen respeta r las can tidad es de cad a objeto a l dibu-jarlas en cad a mesa y esta di f iculta d es to t almentea ccesible a los niños de primer a ño.

La f icha 21 permite poner a los niños en cont a c-to con problemas que involucran otro t ipo de ex-presiones: 2 ca ja s con 4 melones en cad a una ; estosproblemas serán a borda dos más adelant e , como yafue menciona do.

En la f icha 81 , se pide, ad emás de la representa -

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ción grá fica , ubica r a las persona s en la s mesa s, distribución q ue pued e ser rea -l izad a de dist intas ma neras. Una confronta ción de las soluciones encontrada spor los alumno s puede m ostrarles que existen diferente s soluciones correctas yno siempre cad a pro blema tiene una única solución.

Extracción de información presente en diversos portadores

Las fichas 8-Calendario de abril y 22-Calendario plan tea n t rab ajar con e lcalendario, completándolo durante el mes de abril , día por día en la primeraf icha y extrayendo varia da informa ción en la segund a.

El calenda rio ofrece la oportunidad de t raba jar conlos primeros 30 números, con los cuáles los niños estánen conta cto mes por mes, y presenta dos en fo rma d ife-rente a la organización que será ut i l izada para la seriede l 1 a l 100. El ca lenda rio permite visualizar e l tra nscurso

de los días no ya en una única línea, sino en distintas f i-las ; luego del sáb ad o e s necesa rio continuar a ba jo a la iz-quierda en el lugar correspondiente al domingo en la lí-nea sigu iente. Se trat a del día posterior, pero su represen-ta ción en el calendario se encuentra a leja da .

El ca lenda rio es un o bjeto socia l cuya lectura es uno d elos ob jetivos a log rar en la escuela.

En la ficha 18-Juego de la oca, se tra ta de f acilita r lacomprensión sobre la acción q ue correspond e rea lizar en ca -da casillero, a través de la interpretación de los símbolospresentes en e l ta blero. La discusión en tre los niños y con eldocente ayuda a establecer la relación entre cada símbolo yla acción correspondiente.

La ficha 29-El circo plantea , en la primera part e, un pro-blema d e conteo d e colecciones presenta da s en la imag en de

una función de circo.Responder las preguntas significa identificar en la ima-

gen los elementos que pertenecen a la colección a contar:cuáles son la s persona s q ue está n de p ie y cuáles, las perso -na s q ue están senta da s. En el caso de la compa ración ent relas ba ila rina s y los ca ba llos, uno de los recursos po sibles se-rá rea liza r el conteo de cad a una de las colecciones, perotambién hacer corresponder un caballo a cada bailarina.Esto permite q ue la a ct ivida d sea rea lizad a aún por aq ue-llos niños que no saben contar hasta el número corres-

pondiente o bien no conf ían aun en la potencia de losnúmeros para realiza r la compa ración de colecciones.

En la segunda parte , se plant ea pensar pregunta s quepuedan realizar a o tro eq uipo y q ue pueda n ser contes-ta da s a part ir de la imagen.

Inventa r pregun ta s o problema s a pa rtir de un cúmu-lo de d a to s exige de los niños un tra ba jo má s complejoq ue responder a las preguntas que plantea el docente oel libro d e t exto. Seleccionar en un primer mom ento la spersona s o elemento s sob re la s q ue porta rá la pregun-ta , cuestiona rse sobre cuál será la preg unta a formular:¿cuántos .. . hay? ¿Hay más .. . que ... .? ¿Alcanzan ...?

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¿Faltan .. . .? Formular una pregunta correctamente invo-lucra también conocer la respuesta.

Las fichas 68-¡Llegó el circo! y 88-Tiro al blancopresentan portadores diferentes: un cartel de horarios y

precios en la primera y un tiro al blanco con las f lechasen los luga res dond e q ueda ron clava da s o una ta bla conpuntos, en la segund a .

En ambas se trata de extraer información que no pue-de ser leída directamente en el portador. Obtenerla impli-ca realizar a lgún razona miento a diciona l: calcular el núme-ro de funciones de la semana supone considerar el númerode días de la semana y los días en los cuáles hay doble fun-ción; sab er el punta je de Julián implica suma r los punto s ob-tenidos de acuerdo con los lugares donde cayeron las f le-chas.

Identif icación de element os a part irde sus característ icas

En la ficha 2- La casa de Juan , los niños debe n b uscar ent re las ca sita s cuá les la q ue posee la ventana , e l techo, la chimenea y la puerta igua les a las quemuestra la f icha. Esta act ivida d n o es fá cil para los niños da do q ue t ienden aconsidera r uno solo de los element os y no los 4 reunidos en un ob jeto .

En la ficha 50-Un reloj para papá, las cara cterísticas están enunciada s. Encoleccione s pequeñ a s como estas los niños pueden b usca r la casita o localiza rlos relojes sin necesidad de realizar un búsqueda sistemática. En coleccionesmás grandes, como veremos en otras f ichas, será necesario organizar la bús-q ueda sistemá ticamen te t eniendo en cuenta cada vez una d e las ca racteríst i-cas.

En la ficha 76-M i preferido es…, a pa rt ir dela de scripción q ue rea liza cada uno d e los chicostienen que identif icar su muñeco preferido. Ca-da uno de los muñecos queda def inido por trescaracte rísticas: su ocupa ción, el ob jeto q ue t ieneo no en sus ma nos y el somb rero o casco.

En este caso, los niños pueden em peza r a b us-car más sistemáticamente, por ejemplo, buscarent re los solda do s a q uellos que t ienen fusil y, ad e-má s, un t raje rojo.

Para plantear las pistas que permitan a otro

eq uipo a divina r cuá l es el muñeco preferido, es ne-cesa rio cara cteriza rlo indica ndo las tres cara cterís-ticas mencionadas.

En la ficha 95-La f ábrica de mochilas, se plan -tea un problema d e búsqued a de las dist intas posi-bilidad es para fa brica r un mochila de t res colores.

Cad a mochila q ueda cara cterizad a por los coloresdiferentes que le corresponden al cuerpo, a la tapay a las correas. Si bien los alumnos pueden iniciar eltrabajo pintando mochilas diferentes sin pensar enuna búsqueda sistemática (no se espera que en unprimer momento pueda n encontrar t oda s la s mochi-

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las diferentes), compa rar con sus compa ñeros o su propio interés en encont rar-las todas puede llevarlos a iniciar una organización atendiendo, por ejemplo,a l color de las correa s. Colocar junta s tod a s la s mochilas que tienen la s correasrojas, luego las que tienen las correas verdes, etc. , puede favorecer el control

de la s mochilas ya construida s, det ecta r la s repet idas e identif ica r la s falta nte s.Este tipo de problemas con otros objetos puede ser presentado por el do-

cente en di ferentes momentos del año .Este, como otros problemas presentados en el l ibro pueden ser resueltos

utilizand o herram ienta s ma tem á tica s má s pot ent es, pero en este nivel de la es-colarida d t ienen el objetivo de la b úsqued a d e solucione s a pa rtir de los recur-sos con q ue cuentan.

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