NDICE TP 1:Nmeros racionales no negativos 2 TP 2: ngulos 9 TP 3: Conjuntos, conteo y probabilidades 17 TP 4: Nociones de Estadstica22 TP 5: Nmeros racionales 27 TP 6: Tringulos35 TP 7: Potencias y Races 37 TP 8: Cuadrilteros 47 Respuestas a ejercicios52 TP0 Segundo Ao 56 Programa Analtico60 Ms problemas ingeniosos 62 C.N.B.A.MatemticaPrimer Ao 2 Trabajo Prctico 1: Nmeros racionales no negativos 1.Represent sobre la recta estos nmeros: 7 1 7 1 2, , , ,6 24 12 2 3y 43.

2.Realiz mentalmente los clculos necesarios para contestar a las siguientes preguntas. El nmero 94 a) en cunto excede a 2?b) cunto le falta para 3? c) en cunto excede a 1?d) cunto le falta para 114? 3.Un piso rectangular de 4 metros de ancho por 6 metros de largo ha sido representado en un plano usando una escala linealde 1: 50. Qu parte del rea real representa el rea del dibujo? 4.Los puntos P y Q marcados en la regleta representan a los nmeros 27 y 97 respectivamente. Marc los puntos que representan al 0, al 1 y al 2. P Q 5.Escrib por lo menos dos procedimientos distintos para comparar los nmeros que figuran en cada tem. a) 1,35 y 75; b) 175 y 113. 6.Respond a las siguientes preguntas: a) Qu porcentaje de 25 es 5? b) Qu porcentaje de 5 es 25? c) Qu porcentaje de n representa 0,85 . n? Toda fraccin puede expresarse en centsimos en forma exacta o aproximada. Por ejemplo:= 1 25 1 334 100 3 100 La expresin en centsimos de una fraccin es unporcentaje. 01 C.N.B.A.MatemticaPrimer Ao 3 d) Qu porcentaje de n representa el 3% de su 15%? e) Qu parte de n representa la tercera parte de su 50%? f) En qu porcentaje se incrementa un nmero cuando se lo multiplica por 2,5? 7.En un supermercado aparece esta oferta: a) Cul es elporcentaje de rebaja?b) Qu porcentaje del precio original paga el que aprovecha la oferta? 8.Las servilletas de papel estn de oferta en dos comercios que exhiben lo siguiente: a) Cul de las dos ofertas te parece ms conveniente? Por qu? b) Qu porcentaje rebajan en cada una? 9.Resolv estos clculos: a) | |+ = |\ 5 2 1: 0, 36 5 3

b) + =5 2 1: 0, 36 5 3

c) | |+ = |\ 5 2 1: 0, 36 5 3 10. La empresa Asfaltix se ocup de pavimentar 15 de una avenida, pero por razones presupuestarias suspendi el trabajo por un mes. Al reanudarlo, paviment 13de lo que faltaba y debi suspender nuevamente el trabajo. a) Qu fraccin de la avenida ya est pavimentada?b) Qu fraccin falta pavimentar? c) Si todava faltan pavimentar 8000 metros, qu largo tiene la avenida? PAGUE DOS, PERO LLEVE TRES. AUTOSERVICIOLOS DOS HERMANOS

Compre 10 paquetes de servilletas y le regalamos uno. Despensa Don Luis

Lleve 10 paquetes de servilletas y pague slo 9. C.N.B.A.MatemticaPrimer Ao 4 11. Calcul la composicin centesimal (es decir, el porcentaje que hay de cada sustancia) de este sistema: 5 g de azufre, 18 g de arcilla, 12 g de sodio y 100 g de agua. 12. Tres farmacias del centro de la ciudad hacen los siguientes descuentos a los afiliados al PAMI: Farmacia 1: 60% + 30% Farmacia 2: 30% + 60% Farmacia 3: 90% (Nota: cuando aparecen dos porcentajes sumados como en las dos primeras farmacias, se debe efectuar el primer descuento y luego, sobre lo que habra que pagar, se debe realizar el segundo descuento.) a) Un jubilado necesita comprar un medicamento cuyo precio de lista es $60.En qu farmacia le conviene comprarlo? b) Es lo mismo un descuento del 60% + 30% que uno del 30% + 60% o que un nico descuento del 90%?c) Cul de los descuentos le conviene ms al que compra? Y al que vende? 13. Resolv estas ecuaciones: a)2 x + 1 = x + 3 b)3 y 2 = 3 + 2y c) 4 + 5 x = 6 + x d) = 1x 3 1 3 x2 e)+ = 1 2 5m m 12 3 3 f) 4 x + 2 3 x = 1 + 3 x g) = +x x 312 4 5 h)3 + 2 . (z - 1) = 1 i) 1 + 2 . (1 + 3 p) = 3 p + 8 j) | |+ = |\ 1 1x 2 . x 2 x3 3k) | |+ = |\ x 4 32 3. x3 9 2l) +=u 123 m) 2 x = 2 . (x + 3) n)2 . (x + 3) = 2 x + 6 14. Un comerciante ha agregado un litro de agua a un botelln que contena 53 litros de vino. Otro comerciante vende botellas de 1,250 litros de vino que contienen un 40% de agua cada una. Cul de los dos vinos est ms aguado? Justific tu respuesta. 15. Problemas con historia a)ElPapirodeRhind(sigloXVIa.C.)fueencontradoamediadosdelsigloXIXen las ruinas de un pequeo edificio cerca del templo mortuorio de Ramss II en Tebas. El copista dice llamarse Ahmose e indica que escribe en el cuarto mes de la estacin delasinundaciones,delao33delreinadodelreyApofis.Elpapirocontiene110 problemas. El siguiente es uno de ellos: Cierta cantidad, sus dos tercios, su mitad y un sexto de la cantidad original, sumados dan 28. Cul es esa cantidad? C.N.B.A.MatemticaPrimer Ao 5 b) Bhskara fue un importante matemtico hind del siglo VIII de nuestra era. Escribi un tratado de astronoma con dos libros dedicados a la Matemtica:Lilwati (La hermosa) y Vijaganita (Aritmtica). Lilwati era el nombre de la hija de Bhskara.La historia cuenta que las estrellas haban presagiado muchas desgracias a Lilwati si no se casaba un determinado da y a una determinada hora.Llegado el da de la boda, mientras Lilwatimiraba impaciente el depsito de un reloj de agua que marcara el instante exacto en que deba casarse, cay en l una perla de su tocado sin que nadie lo advirtiera. La salida de agua del reloj qued obstruida y la hora exacta en que deba celebrarse la boda no se marc jams. El novio, asustado por los astrlogos, huy y Lilwati no pudo casarse. Para consolar a la infeliz doncella, Bhskara dio su nombre a uno de los libros de Matemtica que escribi.El problema que sigue pertenece a esa obra. De un ramo de flores de loto, se ofreci la sexta parte a cada uno de los dioses Siva, Visn y el Sol; una cuarta parte se le dio al amigo Bahavani, y las seis flores restantes se entregaron al venerable preceptor. Dime, rpidamente, cul es el nmero total de flores? c) El siguiente problema, denominado Los dos camelleros, apareci por primera vez en un tratado de lgebra del matemtico rabe Al - Karkhi, que vivi a principios del siglo XI. Camellero A: Si t me das un camello, tendremos el mismo nmero de camellos. Camellero B: S, y si tu me das a m un camello, yo tendr el doble que t. Decidme, doctos matemticos, cuntos camellos tiene cada uno? 16. Dos canillas, A y B, abiertas a la vez llenan un depsito en 4 horas. Si slo se abre la canilla A, el mismo depsito se llena en 6 horas.Cunto tarda en llenarlo solo la canilla B? 17. Resolv los siguientes clculos: a) + + = 1 1 1 1 11 1 1 1 11 0, 5 1 0, 2513 2 3 3 4 b) =+0, 5 0, 25 1:12 0, 7512 18. * El moderno auto japons que conduce Akira parti de Oyama, ubicada en el kilmetro 20 de la ruta 875, viajando a 100 km/h con piloto automtico, lo cual le asegura una velocidad constante en todo el trayecto.C.N.B.A.MatemticaPrimer Ao 6 a) En cunto tiempo recorri los primeros 60 km?b) El destino de Akira, Tokyo, era compartido por un compatriota, Tetsuo, que a la misma hora que l, por pura coincidencia, parti de su casa en Yin-Yan, en el kilmetro 0 de la misma ruta 875. El joven Tetsuo program su auto para que anduviera a una velocidad constante de 120 km/h y lleg a Tokyo a las 5 horas y media de haber partido. i) A cuntos kilmetros se encontraba Tetsuo de su destino? ii) En cunto tiempo Akira lleg a Tokyo? iii) En qu lugar de la ruta se encontraron? A qu hora fue el encuentro?1 19. La pileta de la quinta de los Epumer, en San Miguel, mide 5 metros de ancho por 10 metros de largo y tiene una profundidad de 2 metros. a) Si Luciana quiere averiguar cunta agua hay en la pileta, qu datos tiene que tener en cuenta? Cul de los datos puede variar? b) La pileta puede contener 150 000 litros de agua? Por qu?c) Cul es la mayor cantidad de litros de agua que puede haber en la pileta? Expresiones decimales exactas y peridicas 20. a) Obten las expresiones decimales correspondientes a esta fracciones:i) 38 ii) 29 iii) 745 iv) 1750 v) 113 b) Indic cules de las expresiones obtenidas en el tem a) son exactas y cules son peridicas. Clasific estas ltimas en puras o mixtas. c) Qu condicin debe cumplir el denominador de una fraccin para que la expresin decimal asociada a dicha fraccin sea exacta? 1 Este problema y el siguiente son adaptaciones extradas de Bertoa, Walter y Ferr, Mara; La revuelta matemtica, Argentina, ediciones El Hacedor, 1995. En una fraccin, la raya indica una divisin. El cociente que se obtiene al dividir el numerador por el denominador puede ser lo siguiente:a) un nmero natural. Por ejemplo: =7298. b) una expresin decimal exacta. Por ejemplo: =727, 210. c) una expresin decimal peridica. Por ejemplo: i) = =

20, 6666... 0, 63; que es una expresin decimal peridica pura. ii)= =291, 3181818... 1, 31822; que es una expresin decimal peridica mixta. C.N.B.A.MatemticaPrimer Ao 7 21. a) Analiz el siguiente procedimiento para obtener la fraccin generatriz correspondiente a una expresin decimal peridica pura o mixta. Si se considera que x = 2,353535..., entonces:100 x =235,3535...1 x =2,3535... Luego, restando miembro a miembrose obtiene lo siguiente:99 x =233 Por lo tanto:x = 23399 = 2,3535... b) Investig si es posible obtener el mismo resultado, pero considerando 10 000 x. c) Utiliz un procedimiento similar al del tem a) para encontrar la fraccin generatriz de estas expresiones decimales: i) 0 34 ,

ii) 51 4 , 1 iii)451 , 1iv) 1 451 ,

d) Sin utilizar el procedimiento del tem a), escrib la fraccin generatriz de cada una de las siguientes expresiones decimales peridicas: i) 345 , 0 ii)8 7 , 1

iii)0, 9

iv)9 3 , 0

v)32 0 , 2 22.Qu condicin debe cumplir el nmero natural npara quela expresin decimal asociada a la fraccinn11sea peridica? 23. La expresin decimal asociada a 32 . 5a , siendoa un nmero natural mayor que 0, es exacta o peridica? Por qu? 24. a) Escrib, si es posible, dos expresiones decimales peridicas cuya suma sea un nmero natural. b) Escrib, si es posible, dos expresiones decimales peridicas tales que al sumarlas se obtenga una expresin decimal exacta. 25. El siguiente problema corresponde a un hecho real ocurrido en el CNBA en 1999. Agustn, alumno de 2do 8a, no recordaba cmo convertir expresiones decimales peridicas mixtas en fracciones y realiz este procedimiento: 1,32161616... =+ +32 161100 9900 Es correcto el procedimiento que utiliz Agustn? Justific tu repuesta. 26. Resolv los siguientes clculos: A partir del nmero considerado,se obtienen dos nmeros peridicos puros que tienen el mismo perodo. Por lo tanto, la diferencia entre ambos es un nmero natural. Toda expresin decimal, exacta o peridica,puede transformarse en una fraccin. La correspondiente fraccin irreducible se llama fraccin generatriz. C.N.B.A.MatemticaPrimer Ao 8 a)+ =+

10, 19141, 2 0, 149 12 b)

| |+ = |\

9 10, 5 . . (1, 6 1)65 60, 375 . 2, 4: 15 4, 2 : 4, 49 27. Resolver en Q+0 (conjunto de los nmeros racionales positivos con el cero) estos clculos: a)| |+ = + |\

10, 6 3 . z 1 2 z7 b)+ = +

10, 6 3 z 1 2 z7

El concepto de nmero racional positivo Una fraccin ab, con b 0 y positiva, puede interpretarse como el cociente de dos nmeros naturales. Siaes mltiplo deb , la fraccin representa un nmero natural. Sia noes mltiplo deb , la fraccin se asocia a una expresin decimal que puede ser exacta o peridica segn se obtenga o no resto 0. Se llama nmero racionalpositivo a aqul que se puede expresar como cociente de dos nmeros naturales, siendo el segundo distinto de cero. Los nmeros naturales, las expresiones decimales exactas y las expresiones decimales peridicas son nmeros racionales. Un nmero racional positivo puede expresarse mediante infinitas fracciones equivalentes. Se elige como fraccin representante de dicho nmero racional positivo a la fraccin irreducible. Por ejemplo : = = = = =25 5 50 10, 25 ...100 20 200 4

Designaremos con Q+ al conjunto de los nmeros racionales positivos y con Q+0 al de los racionales positivos con el cero. Existen expresiones decimales infinitas que no son peridicas. Por ejemplo: 0,123456789101112 Esas expresiones no pueden transformarse en fracciones y por lo tanto, no son nmeros racionales. Como fraccin representante de 0,25 se elige la ltima fraccin porque es la irreducible. C.N.B.A.MatemticaPrimer Ao 9 Trabajo Prctico 2:ngulos 1 1. .a)Segu las instrucciones: I.- Marcar en la hoja tres puntos A, B y C no pertenecientes a una misma recta. II.-Trazar la rectas AB y BC III.- Rayar con un color el semiplano de borde AB al que pertenece el punto C. IV.- Rayar con otro color el semiplano de borde BC al que pertenece el punto A . b) Teniendo en cuenta que definir significa describir un objeto de tal forma que pueda reconocerse unvocamente,defin con tus palabras, y con la mayor precisin posible qu es un ngulo convexo. c) Los lados de un ngulo, son rectas, semirrecta o segmentos? d) Busc en algn manual de la escuela primaria o en cualquier texto de primer ao, cmo se mide un ngulo y cules son las unidades que habitualmente se usan. e) Defin ngulo recto, ngulo llano, ngulos complementarios y ngulos suplementarios. f) Defin bisectriz de un ngulo. 2 2. .Calcul la medida de un ngulo (se escribe: ||) si : a) es el doble de la medida de su complemento. b) es la tercera parte de la medida de su suplemento. c) difiere de la de su suplemento en 15 . d) la medida de su suplemento es igual al doble de : su medida incrementada en 10. e) la medida de su suplemento es igual al doble de su medida, incrementado en 10 . f)La suma de las medidas de su complemento y de su suplemento es 150. g) La medida de su complemento supera en 5 a los dos quintos de la medida de su suplemento. La regin del plano que te qued rayada de dos colores es el ngulo convexo ABC.(Notacin: C B A ) El punto B que se nombra en el centro, es el vrtice del ngulo.C.N.B.A.MatemticaPrimer Ao 10 3 3. .Los ngulos que tienen un lado comn yson tales que los otros dos son semirrectas opuestas se llaman adyacentes. En cul de los siguientes dibujos yson adyacentes? 4 4. .Dos ngulos sonopuestos por el vrtice si y slo si los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro. En el dibujo que sigue, encontr, si es posible, dos pares de ngulos opuestos por el vrtice. 5 5. .Analiz cules de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cules falsas. Justific. (Ten en cuenta cundo alcanza con mostrar un ejemplo y cundo es necesario dar un argumento que no dependa de una situacin particular) 5.1.- Si dosngulos son suplementarios, entonces, son adyacentes. 5.2.- Sidos ngulos son adyacentes, entonces, son suplementarios. 5.3.- Algunos pares de ngulos suplementarios son adyacentes. 5.4.- Si las medidas de los suplementos de dos ngulos son iguales, las medidas de dichos ngulos tambin lo son. 5.5.- Existen pares de ngulos opuestos por el vrtice que son suplementarios. 5.6.- Si dos ngulos son opuestos por el vrtice, entonces tienen medidas iguales. 5.7.- Si dos ngulos tienen medidas iguales , entonces son opuestos por el vrtice. 6 6. .Qu ngulo forman las bisectrices de dos ngulos adyacentes? Por qu? 7 7. .Qu ngulo forman las bisectrices de dos ngulos opuestos por el vrtice?. Justific. 8 8. .Si | | =

20 x32+ y | | = x + 10 , calcul | | y | | suponiendo que yson a) opuestos por el vrticeb) adyacentes. C.N.B.A.MatemticaPrimer Ao 11 9 9. .En el dibujo se sealan ocho ngulos formados por las rectas a y b cortadas por la transversal t a) Indic qu angulos son colaterales. b) Cules son los ngulos exteriores y cules los interiores? c) Nombr todas las parejas de ngulos que cumplan con las siguientes caractersticas:

i) Ser colaterales ii) No ser adyacentes `iii) Ser uno interior y otro exterior d) Nombr todas las parejas de ngulos que cumplan con las siguientes caractersticas:

i) Ser colaterales ii) Ser ambos interiores. Respecto de los ocho ngulos marcados se dan las siguientes definiciones: Definicin 1: Los ngulos que se encuentran en un mismo semiplano respecto de la transversal t se llaman colaterales. Definicin 2: Los ngulos incluidos en el semiplano de borde a al que no pertenece B o en el semiplano de borde b al que no pertenece A, se t a b A B Estos ngulos son correspondientes entre a y b cortadas por t transversal. Estos ngulos son conjugados internos entre a y b cortadas por t transversal. C.N.B.A.MatemticaPrimer Ao 12 e) Nombr todas las parejas de ngulos que cumplan con las siguientes caractersticas: i) Ser colaterales ii) Ser ambos exteriores. f) Nombr todas las parejas de ngulos que cumplan con las siguientes caractersticas: i) No ser colaterales ii) No ser adyacentesiii) Ser ambos interiores g) Nombr todas las parejas de ngulos que cumplan con las siguientes caractersticas: i) No ser colaterales ii) No ser adyacentes `iii) Ser ambos exteriores En el plano: * Dos rectas son paralelas si y slo si son coincidentes o no tienen puntos en comn.a Notacin: a // b b ** Dos rectas son perpendiculares si y slo si al cortarse determinan cuatro ngulos congruentes. Notacin: a ba Cada uno de los ngulos determinados es recto

Recuerden Estos ngulos son conjugados externos entre a y b cortadas por t transversal. . Estos ngulos son alternos internos entre a y b cortadas por t transversal. Estos ngulos son alternos externos entre a y b cortadas por t transversal. b C.N.B.A.MatemticaPrimer Ao 13 1 10 0. . a)Dibuj dos rectas a y b , paralelas y traz una tercera recta t que corte a ambas. b) Marc dos ngulos correspondientes entre a y b cortadas por t c) Copi uno de ellos sobre un papel de calcar y apoy la copia sobre el otro .Qu observs? Compar tu conclusin con la de tus compaeros. 1 11 1. . a)Dibuj con regla y comps dos ngulos correspondientes entre dos rectas a y b cortadas por una transversal t , de tal forma que sean congruentes (es decir, que tengan igual medida) b) Qu pods decir de las rectas a y b ? Compar tu conclusin con la de tus compaeros. 1 12 2. . a)Dibuj un par de ngulos alternos ( internos o externos) entre paralelas. b)Predec sin medirlos ni compararlos si son o no congruentes. Justific tu prediccin. c) Comprob si tu prediccin fue correcta. 1 13 3. . Hac lo mismo para un par de ngulos conjugados internos entre paralelas. 1 14 4. . Decid si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justific tu eleccin. 14.1 .- Existen ngulos alternos internos entre paralelas que son suplementarios. 14.2.- Los ngulos alternos externos siempre son congruentes. 14.3.- Algunos pares de ngulos conjugados externos entre paralelas son congruentes. 14.4.- Los ngulos conjugados externos son siempre suplementarios. 14.5.- Los ngulos conjugados externos entre paralelas son suplementarios. 14.6.- Si dos rectas son cortadas por una tercera formando ngulos alternos internos congruentes, entonces son paralelas. 14.7.- Si dos rectas son cortadas por una tercera formando ngulos conjugados externos suplementarios, entonces son paralelas. Aceptamos que: Los ngulos correspondientes entre paralelas son congruentes. Si dos ngulos correspondientes entre dos rectas cortadas por una tercera son congruentes, entonces las dos primeras rectas son paralelas C.N.B.A.MatemticaPrimer Ao 14 1 15 5. . Si las semirrectas AP y BQ son bisectrices de dos ngulos alternos externos entre a//b y t transversal,cmo resultan las rectas AP y BQ?Por qu? 1 16 6. . En los dibujos que siguena// b 16.1) aDato: | PTQ | = |||

\|

20 | MBC |31 Calcul: |QTR|y|ABM|

b 16.2.-Datos: OA bisectriz dePOQ,a//b |POA| = 0,5 | | - 20 Calcul : | | y | | 1 17 7. . Calcul la medida de si a //b teniendo en cuenta los datos que se dan en cada grfico: a ) | \ = 5 12 x; | \

= + 3 10 x b) | \ | |

= + 2 y ; | \ = + y 20

1 18 8. . Un paralelogramo es un cuadriltero que tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos. a)Cmo son los ngulos consecutivos de un paralelogramo? Por qu? b)Cmo son los ngulos opuestos de un paralelogramos ?Por qu? 1 19 9. . En el cuadriltero ABCD, |A| + |B | = 180 y |B | +| C| = 180.Qu tipo de cuadriltero es ABCD? Por qu?. P Q R T A M B C a b O A P

a b a b C.N.B.A.MatemticaPrimer Ao 15 2 20 0. .En el dibujo, t // AB . Busc ngulos que sean congruentes conA y B y deduc a qu es igual la suma de las medidas de los ngulos interiores de untringulo. Justific. 2 21 1. . CuntomidenlosngulosinterioresdeltringuloABC,silamedidadeAes igual a las dos terceras partes de la medida de B y staes el doble de la medida de C? 2 22 2. . Sellamanguloexteriordeuntringuloatodonguloadyacenteaunngulo interior. a) Dibuj un tringulo y marc todos sus ngulos exteriores. Cuntos tiene? b) A qu es igual lasuma de lasmedidasde todos los ngulos exteriores de un tringulo? Por qu? c) Qu relacin existe entre la medida de un ngulo exterior y las de los ngulos interiores que no son adyacentes a l? Justific. 2 23 3. . Calcul xy las medidas de los ngulos interiores de cada tringulo en cada una de estas figuras: a a) x+ 5 30 2x+10 2 24 4. . En ABC , O es la interseccin de la bisectrices de By C. Calcul BOC , sabiendo que: | B| + | C | = 5. A. 2 25 5. . Las rectas que incluyen a las bisectrices de los ngulos exteriores deABC, se cortan determinando el tringuloPQR. Si dos de los ngulos interiores deABC son tales que A= 56y | B|= 65, cunto mide cada ngulo interior del PQR? 2 26 6. . Sea OM bisectriz de BOA. Por M se traza la paralela a OA que corta a OB en N. Prob que OMN es issceles.

A B C t b) P Q x+42 a// PQ x +10 x +8o C.N.B.A.MatemticaPrimer Ao 16 2 27 7. . En la figura :cd , a//b. Demostr que yson complementarios 2 28 8. . En el dibujoAQyBQson bisectrices dePAByRBA respectivamente. Prob que si : a) AP//BR , entonces AQ BQ b)AQ BQ, entonces AP // BR 2 29 9. . Prob queACD es issceles, sabiendo queAM es bisectriz de BACy AM// CD 3 30 0. . a)Descompon cada uno de estos polgonos en tringulos y calcul para cada uno de ellos la suma de las medidas de los ngulos interiores. b) Escrib una frmula que te permita calcular la suma de las medidas de los ngulos interiores de un polgono de n lados .d c a b B Q R A P C A B M D C.N.B.A.MatemticaPrimer Ao 17 3 31 1. . a)Cunto mide cada uno de los ngulos exteriores de un octgono regular? b) Cuntos lados tiene un polgono si la suma de las medidas de sus ngulos interiores es de 1080 ? c) Calcul el nmero de lados de un polgono regular si la medida de cada uno de sus ngulos interiores es de 150. 32. En el pentgono ABCDE, | A| = 13/2 | D| ; |B | = 4 | D |; | C|- A| = 30y | E| = 2 |A| -110. Calcul las medidas de los cinco ngulos del pentgono. 33. Calcul las medidas de los ngulos interiores del paralelogramo ABCD si: a) | A | = x + 20 y | C | = 2 x - 80 b) | A | = 0,5x + 30 y | B | = x - 150 34.CalcullasmedidasdeloscuatrongulosdeltrapecioRSUVconRS//UV, si:| R | + | S | = 2 | R | - 10 y| R | - | V | = 60 Polgono regular es el que tiene todos sus lados y todos sus ngulos congruentes. C.N.B.A Matemtica.1er ao

18 Trabajo Prctico 3: Conjuntos, conteo y probabilidades 1.Consider los conjuntos dibujados a continuacin :

Para cada una de las dos situaciones anteriores, sombre los siguientes conjuntos: a)A B b)B Cc)A C d)A B C e)B C f)C Ag)B Ah)AB C i)A B j)A Ck)B Al)B (AC) m)(B A) C n)(B A) Co)B (A C)p)(B A) C q)(B A) C r)ACs)A BCt)A CC u)(AB)C v)(A B)Cw)AC BCx)AC BC 2.Escrib la o las operaciones entre conjuntos correspondientes a cada uno de estos grficos: a)b)c)

A B C R A B C R A R RR C.N.B.A Matemtica.1er ao

19 3.Consider el siguiente diagrama. En l, el conjunto A es el conjunto de las fracciones mayores que 14, el conjunto B es el de las menoresque 12yel conjunto C es el de las fracciones con denominador 5. AB C

Ubic en el diagrama anterior estas fracciones: 4 3 1 2 4, , , ,5 7 5 5 3y 16. 4.Al consultar a un curso de 37 alumnos sobre los tres grupos musicales preferidos, result que 16 elegan a Divididos, 13 a Los Piojos y 17 a Los Redondos. Adems, entre los alumnos, 8 preferan a Divididos y a Los Piojos, 9 a Divididos y a Los Redondos, y 4 a Los Piojos y Los Redondos. Solamente 3 alumnos eran fanticos de los tres grupos musicales. a) Cuntos chicos eligieron aDivididos, pero no a los otros grupos musicales? b) Cuntos alumnos prefirieron a Los Piojos y Los Redondos, pero no a Divididos? c) Cuntos chicos eligieron a Divididos y Los Redondos, pero no a Los Piojos? d) A cuntos alumnos no les gustaba ninguno de los tres grupos musicales? 5.Se encuest a 30 chicas acerca de las actividades de entretenimiento que les gustaba realizar. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: 19 practicaban deportes, 16 ejecutaban instrumentos musicales, 7 solan practicar deportes y frecuentaban los juegos electrnicos, 5 solo practicaban deportes, 6 frecuentaban los juegos electrnicos y ejecutaban instrumentos musicales, 6 solo usaban los juegos electrnicos, y 4 realizaban las tres actividades.a) Cuntas chicas no realizaban ninguna de las tres actividades de entretenimiento? b) Cuntas muchachas solo ejecutaban instrumentos? c) Cuntas chicas practicaban deportes o frecuentaban los juegos electrnicos? 6.Una compaa aseguradora clasific a un grupo de conductores de motos segn la siguiente tabla: a) Cuntos son los motociclistas que: i) tienen menos de 21 aos y son muy precavidos al conducir? Menores de 21 aos Entre 21 y 35 aos Mayores de 35 aos Total Muy precavidos152035 Precavidos251510 Peligrosos501010 Total C.N.B.A Matemtica.1er ao

20 ii) no sonpeligrosas y estn por encima de los 35aos? iii) son menores de 21 aos? iv) se los considera muy precavidos? b) Qu porcentaje de los conductores de motos tiene menos de 21 aos? Y entre 21 y 35 aos? Y ms de 35 aos? c) Escrib dos criterios distintos para clasificar el conjunto de los motociclistas de acuerdo con los datos de la tabla. 7.En una fiesta se produjo una tentativa de homicidio. La polica interrog a 18 personas que estaban presentes en el momento del crimen y les pidi que contestaran s o no a cada una de las siguientes preguntas: Oy usted un disparo? Vio que alguien hua? De las personas interrogadas, 10 contestaron s a la primer pregunta, 6 respondieronno a la segunda y 5 contestaron no a las dos preguntas.a) Cuntas personas respondieron s a las dos preguntas? b) Cuntos de los interrogados escucharon el disparo, pero no vieron si alguien hua? c) Cuntas personas no escucharon el disparo, aunque vieron que alguien hua? 8.En la escuela, Juan debe elegir 2 deportes de entre 5. Cuntas son sus posibilidades de eleccin? 9.Cuntas diagonales tiene un decgono convexo? 10.Una familia compuesta por los padres, dos hijos (un nio y una nia) y la abuela decidi ir al cine y compr 5 localidades contiguas.a) De cuntas maneras pueden los integrantes de la familia ocupar los asientos? b) De cuntas opciones disponen para ubicarse en las butacas si la nia quiere sentarse al lado de la abuela? 11.En una ciudad de Estados Unidos, se realiz un trabajo estadstico acerca de la cantidad de vctimas de delincuentes por cada 1000 personas. A partir de los datos recopilados se confeccion la siguiente tabla de acuerdo con el sexo y el tipo de delito padecido por la vctima. Si de las 1000 personas encuestadas se elige a una al azar, cul es la probabilidad de que: a) no haya sido vctima de un asalto? b) sabiendo que se cometi un asalto, la vctima sea una mujer? c) la persona que padeci el delito haya sido robada o atacada en forma personal, sabiendo que es un hombre? RoboAsaltoAtaque personalTotal Hombre51852 Mujer2942 Total C.N.B.A Matemtica.1er ao

21 12.A partir de una encuesta a 100 inversionistas, se registr que 5 posean solo acciones, 15 haban invertido nicamente en valores y 70 eran propietarios de bonos. Adems, entre los encuestados, 13 haban comprado acciones y valores, 23 posean valores y bonos, y 10 eran propietarios de acciones y bonos. Solamente 3 de los encuestados haban invertido en los tres rubros. a) Represent la situacin en un diagrama adecuado. b) Si se selecciona al azar a uno de esos inversionista, cul es la probabilidad de que: i)sea poseedor de exactamente dos tipos de inversiones? ii) haya invertido al menos en dos rubros? 13.El restaurante El buen gusto ofrece un men que incluye 7 tipos de ensaladas, 6 platos principales y 9 postres. Un cliente pide una ensalada, un plato principal y un postre, y el mozo se los trae al azar. Cul es la probabilidad de que el mozo traiga la ensalada, el plato principal y el postre predilectos del cliente que realiz el pedido? 14.Calcul la probabilidad de obtener lo siguiente: a) un puntaje menor que 8 al tirar un dado dos veces. b) el mismo nmero de caras y cecas al tirar 5 monedas. c) un puntaje menor o igual que 12 al tirar un dado dos veces. 15.De un grupo de matrimonios con tres hijos, se elige a uno al azar. Debatan con sus compaeros sobre cul de las siguientes opciones es ms probable: a) que los tres hijos sean varones. b) que solo dos hijos sean varones. c) que al menos un hijo sea varn. d) que solo los dos hijos mayores sean del mismo sexo. 16.Se lanzan dos dados cbicos equilibrados . Hall la probabilidad de que: a) la suma de los nmeros obtenidos sea mayor que seis. b) ambos nmeros sean pares. c) por lo menos uno de los nmeros obtenido sea impar. 17.De una caja que contiene dos bolitas rojas, una blanca y una azul, se extraen sucesivamente dos bolitas sin mirar. Cul es la probabilidad de que: a) sean ambas del mismo color? b) una de ellas sea azul ? c) al menos una de las bolitas extradas sea roja? 18.Para un programa de televisin, se eligen al azar a dos personas de un grupo formado por5 cantantes y 6 actores. Cul es la probabilidad de que las personas seleccionadas de ese grupo sean un cantante y un actor? Un dado est equilibrado cuando cada cara tiene la misma probabilidad de salir.C.N.B.A Matemtica.1er ao

22 19.Un jugador extrae sucesivamente dos cartas al azar de un mazo de 40 cartas espaolas. Si el jugador no repone en el mazo la primera carta obtenida, cul es la probabilidad de que ninguna de las dos cartas extradas sea un as? 20.Un gua de turismo debe realizar un viaje de ida y vuelta entre dos ciudades que estn conectadas nicamente por estas cuatro rutas: A, B, C y D. Antes de iniciar el viaje, el gua de turismo se entera de que la ruta C est cortada yla ruta D no est disponible para hacer el viaje de regreso. Si dicho gua de turismo elige al azar las rutas para realizar su viaje, teniendo en cuenta las restricciones anteriores, cul es la probabilidad de que vaya y vuelva por la misma ruta? 21.Una comisin est integrada por 12 mujeres y 14 hombres. La mitad de las mujeres y de los hombres de la comisin son profesionales.Si se selecciona a un integrante de esa comisin al azar, cul es la probabilidad de que sea una mujer o un profesional? 22.En un florero hay 3 claveles y 4 rosas. De los claveles, 2 son rojos y uno es blanco. De las rosas, 2 son rojas y 2 son blancas. Si se elige al azar una flor de ese florero, cul es la probabilidad de que sea un clavel o una flor roja? C.N.B.A Matemtica.1er ao

23 Trabajo Prctico 4: Nociones de Estadstica A) Para leer e interpretar grficos 1.El siguiente grfico muestra la temperatura de una habitacin durante una noche de invierno en Ushuaia. 0 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112 PMAM 0 5 10 15 20 25 -5 Temperatura (en C) Hora del da a) Durante cunto tiempo estuvo apagada la calefaccin? b) Cul es, aproximadamente, la temperatura de la habitacin despus de las 9 de la maana? c) Cundo la temperatura es de 5C? d) Cundo la temperatura es menor que 15C? e) Cul es, aproximadamente, la temperatura entre la 1 y las 3 de la maana? 2.El grfico que figura a continuacin representa la actividad de un supermercado desde la apertura hasta la hora de cierre. . a) Cuntas personas ingresaron al abrir sus puertas el supermercado? b) Cules son los horarios de mayor cantidad de clientes? c) Cuntas personas permanecen en el local a las 12 horas? 81012 1416 18 20 22 40 30 20 10 Cantidad de personas Horas C.N.B.A Matemtica.1er ao

24 3.Los siguientes grficos muestran la distribucin, segn la provincia de origen, de los 120 chicos que participaron en una competencia deportiva. En el grfico de barras se han borrado los nombres de las provincias y las referencias de la escala. Complet los datos del grfico de barras sabiendo que el nmero de chicos que participaron por Entre Ros equivale a la cuarta parte de los que participaron por Santa Fe, o a la quinta parte de los que participaron por Crdoba. 4.En un diario oficialista, apareci publicado un grfico que ilustraba un artculo sobre la desocupacin. El diario de la oposicin, mostrando tambin un grfico, public ese mismo da un editorial sobre el mismo tema. a) Indic cul de los grficos cres que public cada uno de los diarios. b) Escrib un ttulo para cada una de las notas periodsticas.c) Explic cul de los grficos te parece ms veraz y por qu. 5.Los gerentes de tres empresas, A, B y C, informaron que, dada la crisis econmica que afect al pas hace unos aos, la produccin durante el primer semestre de 2003 fue la mitad dela correspondiente al mismo semestre del ao 2000.En su exposicin, cada uno de ellos present uno de los siguientes grficos para mostrar lo dramtico de la situacin. E FMAMJ J AS ONDEE 15 16 17 18 % Grfico 2 EF M A MJ J ASON DE E 0 5 10 15 20 % EF M A M JJAS OND E Grfico 1 135 72 Crdoba Sta Fe Bs. Entre Ros C.N.B.A Matemtica.1er ao

25 Cul de los tres gerentes utiliz el grfico correcto? B) Estadstica 6.En Francia se public una estadstica sobre los lugares de las casas en que se producen los accidentes de los nios: EscalerasCocinasBaosPatios y jardines DormitoriosSalas de juego y garages Otros 10%27%4%22%8%20%9% a) Represent la informacin dada en la tabla mediante un grfico de barras. b)Silaencuestafuerealizadaentrelosfamiliaresde164chicosaccidentados, cuntoschicos,aproximadamente,sufrieronlosaccidentesencadaunodelos ambientes de la casa? 7.Determin en cules de los siguientes estudios estadsticos debe tenerse en cuenta toda la poblacin y en cules debe elegirse una muestra. a) La altura media de los chicos argentinos de 13 aos. b) La nota media de las calificaciones de Juan durante el primer trimestre. c) La familia con ms hijos de la manzana en la que se encuentra tu casa. d) La calidad de los electrodomsticos de una determinada marca. Empresa B 2003 2000 2000 1998 Empresa C 2003 2003 2000 Empresa A 2000 C.N.B.A Matemtica.1er ao

26 8.Se desea encuestar a 400 personas de una poblacin de 11 000 hombres y 9000 mujeres. A cuntos hombres y a cuntas mujeres encuestaras? 9.Un profesor tom una evaluacin a un grupo de 25 alumnos.La tabla muestra la cantidad de alumnos que obtuvo cada puntaje: Calificacin345678910 Nmero de alumnos 11236543 a) Calcul el promedio, la moda y la mediana de la distribucin. b) Constru un grfico de barras con los datos de la tabla. c)Confeccion la tabla de frecuencias relativas. d) Qu porcentaje de alumnos obtuvieron nota inferior a 7 puntos? e) Cul es la nota por sobre la cual se encuentra aproximadamente el 25% del grupo? f) Juan haba estado ausente el da de la evaluacin. Despus de tomarle la prueba, el profesor coment: "Con esta prueba, la distribucin de frecuencias es bimodal". Qu nota obtuvo Juan en la evaluacin? Explic tu respuesta. 10. En un parque de diversiones se registr la cantidad de ocupantes por auto que ingresaron a l durante un cierto tiempo. Con la informacin obtenida se confeccion la siguiente tabla: Nmero de ocupantes 1234 Frecuencia7117x Calculel o los posibles valores de x para cada uno de estos casos: a) si la media del nmero de ocupantes por auto es 73. b) si la moda es 2. c) si la mediana es 2. 11. Entre 20 colegios que participan anualmente en un torneo de ftbol se presenta la siguiente situacin: si jugaran todos, una vez como local y otra como visitante, el torneo sera muy extenso. Debido a esto, se decide hacer dos divisiones segn la calidad de los equipos y tomarlos puntajes obtenidos por cada uno de ellos en el ltimo torneo para determinar cules son los 10 mejores y los 10 inferiores. Dichos puntajes son los siguientes: 3832413035514034175518 461948583425406237 Uno de los organizadores del torneo propone usar el promedio para realizar la divisin de los equipos. Te parece adecuado utilizarlo? Por qu? Us tu iniciativa para resolver la situacin planteada. C.N.B.A Matemtica.1er ao

27 12. En un club, se toma una muestra representativa de la composicin por edades de los socios y se anotan estos valores: 18253313 46 7 28 2633 5 6 341721 27327332623111412151617131223 Adems, se establecen las siguientes categoras: Infantiles: de 4 a 10 aos Cadete menor: de 10 a 16 aos Cadete mayor: de 16 a 22 aos Juvenil: de 22 a 28 aos Activo: de 28 a 34 aos a) Confeccion una tabla de distribucin de frecuencias por intervalos.b) Realiz el histograma correspondiente a dicha distribucin. c) Qu parmetro usaras para determinar en qu categora es conveniente organizar ms actividades? 13. En la empresa Privilegios S.A. se realiz una reunin para analizar los salarios. Los sueldos segn el cargo desempeado eran los siguientes: Gerente: $9000Los dos secretarios: $1350 c/u Subgerente: $5000Capataz: $1200 Asesor: $2500Los seis operarios: $600 c/u En la reunin, la empresa afirm que el salario medio era de $2000, el delegado gremial sostuvo que el sueldo representativo era de $600 y un poltico consultado asegur que el salario ms representativo era de $900. Qu parmetro tuvo en cuenta cada participante de la reunin para argumentar? C.N.B.A Matemtica.1er ao

28 Trabajo Prctico 5:Nmeros racionales A.- Orden A.1.- en Z 1 1. .a)Ubic en la recta numrica los siguientes nmeros: -3 ; | -5| ; 0; 2; -5; 7; -| -7| b) Identific en el conjunto anterior pares de nmeros opuestos. 2 2. .Ubic el 0 en la rectasabiendo que b es el siguiente de - a. 3 3. .Indic cules son los nmeros enteros "x" que cumplen cada una de las condiciones que se dan a continuacin. Representalos, en cada caso, en la recta numrica. a.-2 < x < 3b.x < -2 x > 3c.| x | > 4 d.-1 x < 4e.x < - 2 y x -6f.| x | 3 4 4. .Complet la siguiente tabla y luego indic cules expresiones se refieren a los mismos nmeros: En lenguaje coloquial:En smbolos:Los nmeros son: Los nmeros enteros mayores que 2. Los nmeros enteros comprendidos entre 1 y 4. 2 2 x o x > < Los nmeros enteros cuya distancia a 0 es mayor que 2. 3 x > 3,4,5,6,..... Los nmeros enteros menores que 2. Los nmeros enteroscuya distancia al 0 es mayor o igual que 4. 2 2 x y x < > 2 x< aab C.N.B.A Matemtica.1er ao

29 5 5. .Defin simblicamente cada uno de los siguientes conjuntos de nmeros enteros: a) -2,-1,0,1,2,3,4 b) -7,-6,-5,-4 c) -2,-1,0,1,2 d) ....-7,-6,-5,3,4,5,... e) ...-7,-6,-5,5,6,7,... 6 6. .Orden de menor a mayor los nmeros enteros a, b, c, d, f teniendo en cuenta que se cumplen simultneamente las siguientes condiciones: a, c yd son positivos; b y f son negativos; ca; b 4 f) | x | > 0 g) 4 3-x < 9 h)| 5-x | 11 0-1 2 -248155-92-87 C.N.B.A Matemtica.1er ao

31 1 18 8. . Hall enteros ayb, tales que: i.a= 12, b= 27y a + b = 15 ii.a= 7 ,b= 8 y a - b = 15 iii.a0,8f)1 2x 0,73 3 + +

C.- Multiplicacin y divisin C.1.- en Z C.N.B.A Matemtica.1er ao

33 2 27 7. . Resolv: a) -3.[-2 + ( 8 - 4 ): (-2) + 3. (-1)] -7= b) -2 + (-1).(-2).(-5) + 2. ( a - 4 ) - [ 6 - 2.5 + 8a:(-4)] :(-2)= c)8+(-3).(a- 2b+ c) ( 4 b- 6c): (-2)+(-2).(-1).(-5) +6c= d)12-[-4 (-6+ 8x):(-2) 5.(-2x + 4) -8x] +3x= 2 28 8. . Transform en producto ( factoriz) las siguientes expresiones: a)25ab -15 ac + 40 a= b) 6axy +12axyz-18abxy= c)2(3x-5)+ 4b.(3x-5)-6c(3x-5)=d)3.(m-n)+12c.(m-n)-4b.(m-n)= 2 29 9. . Consider dos nmeros enterosa y b tales que asegn corresponda: a) 2 a .... 2 bb) - 2 a.....- 2.bc) a: (-2).....b:(- 2) 3 30 0. . Se sabe que a y b sonnmeros enteros tales que a.b < 0 , y a >0, complet con < > segn corresponda: a) a.b.a.... 0b) a.b.a.b .....0 c) a.b.b .....0 d) -a.(-b).....0 3 31 1. . El muro de los productos Ubic en cada ladrillo un nmero entero de tal forma que sea igual al producto de los nmeros contenidos en los ladrillos que se encuentran debajo de l: a)b ) c )d) 3 32 2. . El primero de cada mes, Lucio deposita su sueldo en una cuenta bancaria y retira $230 por semana. Un lunes su saldo en la cuenta es de $ 1520. Suponiendo que no deposita nada ni existe otro movimiento en la cuenta adems de sus extracciones. -1 5 -32 6-1 2 -6 -54 -6 -2 -48 6-4 C.N.B.A Matemtica.1er ao

34 a) Encontr una frmula que te permita obtener el saldo de la cuenta dentro de k semanas b)Reemplaz en la frmula que obtuviste k por -1. Cmo interprets el resultado? 3 33 3. .Resolv en Z ( ) ( ) ( ) + = a) 3. x 1 2. x 3 x 3 2x ( )( ) ( ) ( ) + + = + b) 2 . x 1 3. x 4 x 2. x 3( ) ( ) ( ) + = c) 3x 2 5. 2x 7 12x 3 : 3 ( )( ) > d) 2 . x 1 6( ) > e) 2. 3 1 1 x 10 + f) 7 2 . x 11 g) 5 3 . x 7 + h) 2 x 3 2 6 < i) 8 (4 12x) : ( 2) 15 9 : ( 3)( ) ( ) + 0q) x.(x+5) -8 C.2.- en Q 3 37 7. . Resolv: a) =|||

\|+ + 521 1 , 065:31b)= |||

\| + + 4 , 0 : 2 , 058) 3 . 4 2 (593 , 0 2

3 38 8. . a)La diferencia entre los 163y los 73de un nmero es -3. De qu nmero se trata? b) Si se multiplica por - 0,25 la diferencia entre un nmero y 0,3 se obtiene 1,2. De qu nmero se trata ? 3 39 9. . Resolv en Q C.N.B.A Matemtica.1er ao

35 a)= x232x415b)) 10 (8y) y . 75 , 0 ( + = c) 3x321x32= +|||

\|d)32z3z261+ =|||

\| e) 1 x21 x+ =+f)xy721 y53. x = |||

\| 4 40 0. . El permetro de un patio rectangular es de 56 m . El ancho es igual a los dos quintos del largo. Calcul el rea del patio. 4 41 1. . El permetro del rectngulo ABCD es de 60 metros y su largo es el doble de su ancho. Calcul el rea de la zona sombreada si x = 1,5 m. 4 42 2. . Cundo se obtiene ms, altomar 517 de los 43 de algo o al tomar los 35 del 70% de la misma? 4 43 3. . Resolver en Q: a) 531 x12 =+ b) 21 x5 x32 = c) 5 , 053x 32 = d) |||

\| =+52: 65 x 233 , 0e) 3 37 x 2 x. x 25 5| | | |+ = + ||\ \ f)( ) 2x x 0, 5 .(x 1) 3x.(x 0, 5) + = 4 44 4. . El vaso A contiene 100 ml de agua y el vaso B 100 ml de vino. Se pasan 10 ml de vino del vaso B al A . Se toman 10 ml de la mezcla que ahora contiene el vaso A y se pasa al B. hay ms vino en el agua de A o ms agua en el vino de B?. 4 45 5. . Resolv en Q a) - 2 x > - 0,4b)- 1,5 x + 0,5 - 3c) -0,5. | x - 2,3|< -1 d)x9161x322 + +

e) 2 35 x< f) >2 35 xg) 20| x| < h)20| x| > i) 20| x| 1>+j) 20| x 1| >+ k) ( )23x 1 x 05| | > |\ l) ( )23x 1 x 05| | < |\ m) ( )23x 1 x 05| | |\ n) 23x 1 x 05| | < |\ o) 23x 1 x 05| | |\ p) 23x 1 x 05 > x A B C C.N.B.A Matemtica.1er ao

36 4 46 6. . En las siguientes expresiones x e y representan nmeros racionales. Decid si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justific tu eleccin. a)Si x.y = 0, entonces x = 0 y =0 b)Si x. y = 1, entonces x= 1 y = 1 c)Si x.y >0 , entonces ambos factores son positivos. d)Si x.y 0, entonces los dos trminos son positivos. C.N.B.A Matemtica.1er ao

37 Trabajo Prctico 6:Tringulos 1 1. .Cuntos tringulos con ladosde longitud entera.pueden construirse si la longitud del mayor esi) 5? ii) 6?iii) 7 ? 2 2. .Dibuj tringulos para justificar que las siguientes afirmaciones son falsas. a)Si dos tringulos tienen dos lados respectivamente congruentes, entonces son congruentes. b)Si dos tringulos tienen un lado y un ngulo adyacente respectivamente congruentes, entonces son confruentes. c)Si dos tringulos tienen sus tres ngulos respectivamente congruentes, entonces son congruentes. 3 3. . b)AB AB , A A y B B = = =c) AB AB , BC BC y AC AC = = =d)AC AC , BC BC y B B = = =e) AC AC , BC BC y A A = = = 4 4. .Justific cada una de las siguientes proposiciones: a)Los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de los extremos del mismo. b) Si un punto del plano equidista de los extremos de un segmento, entonces pertenece a su mediatriz. c) Si un punto interior a un ngulo equidista de sus lados, entonces pertenece a la bisectriz del mismo. d) Si un punto pertenece a la bisectriz de un ngulo , entonces equidista de los lados del mismo. Consider el tringulo ABC y constru el tringuloABC teniendo en cuenta los siguientes casos: a) AB AB , BC BC y B B = = =C AB C.N.B.A Matemtica.1er ao

38 5 5. .En la figura , M es el punto medio de BC. Demostr que B y C equidistan de la medianacorrespondiente aBC 6 6. .EnABC, las bisectrices de B y C se cortan en P. Por P se traza la paralela a BC que corta al AB en D y aAC en E. SiBD CE en cm = = 5 7 8 ,3; , ( ) , calculDE . Justific. 7 7. .Demostr que en todo tringulo issceles la altura correspondiente a la base es a la vez mediana. 8 8. .Demostr que en todo tringulo: a)el punto de interseccin de las bisectrices equidista de los lados del mismo. b)El punto de interseccin de las mediatrices equidista de los vrtices del mismo. B M A C C.N.B.A Matemtica.1er ao

39 Trabajo Prctico 7:Potencias y races A. Potenciacin

Calcul y compar los resultados obtenidos: a) 35 =53 = b)(2 + 4 )2 =22 + 42= ( -3+4)3= (-3)3 + 43 = c) 32.62= (3.6)2 = (-2)4.(-3)4=[(-2).(-3)]4= (12 : 3) 2 =122 : 32 = 342|\

|| =3422= Sabiendo que xes un nmero negativo e y es un nmero positivo, indic , en cada caso, el signo del resultado: a) x3b) (x.y)2 c) -(-x)3.y3 d) (- y)3 Resolv sin calculadora: a) (-1)159=b)( ) = 834560 c) (-0,3)3 = d) |\

||232= e)|\

||233 f)(- 0,3) -3= Resolv aplicando las propiedades de la potenciacin: a) 22.25 . 23 = b) (-3).(-3)2.(-3)3.(-3) : (-3)4 : (-3) Consideremos: a Q yn N: Si a 0 : a 0=1 Para todo a: a1 =a Para n>1: an=a a an veces. _ Si a 0: a- n=1an, C.N.B.A Matemtica.1er ao

40 c) (-3)0.(-3)12:[(-3)3]4d)25255|\

|||\

|| :e) 2x . 2x2. (2x)2f)( )333 3251 32

(((= : :g)( ) ( ) m m m . :23232

((, ( ) m 0 h) m mmmm |\

||2 51 325.( ): ,( ) m 0 Resolv sin calculadora: a) 234350313 : 33583 1|||

\|||

\|||

\|+|||

\| = b)( ) ( ) =|||

\|+((

3 .236 : 6 0 , 0 . 3 , 021 2 1 Indic cules de las siguientes afirmaciones son verdaderas para todo nmero racional x: a) 632x 4 x 2 = ||

\| b) x 35x531=|||

\|

c)( ) ( )3 31 x 2 1 x 2 + = d) (2.x)2 =2.x2 e) ( ) ( )2 21 x 2 1 x 2 + = f)( )22 2x 1 x 1 = Resolv: a)(a + b)2=b) (a b)2 = c)(-a b)2= d) (a + b).( a- b)=e) (x-3). (x+ 3)= Expres los siguientes enunciados en forma simblica y resolv: a) El doble del cuadrado de un tercio. b) Tres quintos del cuadrado de cinco. c)El cuadrado de la diferencia entre los tres quintos de cinco y unod)La diferencia entre los cuadrados de los tres quintos de cinco y uno Traduc el enunciado mediante una ecuacin y resolv: Cul es el nmero tal que la diferencia entresu cuadrado y su mitadsupera en 6 unidades asu producto por el nmero anterior? Ser verdad? Sinesunnmeronaturalpar,entoncesn2-1eselproductodedosnaturales impares consecutivos. Comprobqueladiferenciaentrenmeroscuadradosconsecutivosesunnmero impar. C.N.B.A Matemtica.1er ao

41 Escrib el nmero siete como diferencia entre dos cuadrados consecutivos. Resolv en Q las siguientes ecuaciones e inecuaciones: a)(x+ 1) . ( x - 1 ) + 5 x =(x - 5 )2 - 6 b)(x - 3 )2 + 7 x 2 x + ( x - 3 ) . ( x - 5 ) c)( )( ) ( )31x 1 . 5 x 2 x 3 1 x 2 12 2+ ||

\| = + + d)(1 - 2x) ( 1 + 2x)+ 5.(x-3) = 8x-(1+2x)2 e) 5-(x-3).(x-2)=2.(x+5)-(-1-x)2 f)42 .4x =47 g)23 : 2x = 20 h) ( )4 643x=i)(x + 3)2 (x + 3).(x 3) = x + 5 j)(1 2x)2 (x5 :x4)2= 3x.(x+2) k) 2 33 1x x 05 3| | | | + = ||\ \ l)2 33 1x x 05 3| | | | + > ||\ \ ll) 2 33 1x x 05 3| | | | + ||\ \ Resolv expresando todos los factores y divisores como potencias de un mismo nmero y aplicando propiedades de la potenciacin. a)1132 316 .81: 4 . ) 5 , 0 ((((

|||

\|((

b) =||

\||||

\|22111) 008 , 0 (5125125 ) 2 , 0 ( c) =(((

||

\|(((

||

\|132 .181:2) 125 , 0 .(2123 Verific que se cumplela siguiente igualdad para todo valor de x : (2x 3)2 - 32= 4x.(x-3) Extra todos los factores comunes y expres como producto cada una de las siguientes sumas:C.N.B.A Matemtica.1er ao

42 a)2.a2 + 4.a3 - 8.a4 b)3.m2.n - 6.m3.n2 + 9.m.n3

c) 4 2 3c85c . 25 c45+ d)18 x2mb3 + 45 x5m3b3+27x4m2b7 Resolv en Q las siguientes ecuaciones: a)x2 x=0 b) 12 x2 = 4xc)x3 x2 =0 d)3x( x+2)=(x+2)2 Complet los espacios en blanco a) 2y 3325= 3. ||

\| = 3.||

\||||

\|+ ..... .......... .35 b)4 a2 9=( .... +.....).(......-........) c)25 a2 10ab +..........=(.....- .........)2

d)( )27 3 3 3 318a b c 12............... .............. 2a bc 3.......... 1 + + = +Resolv en Q las siguientes ecuaciones: a) ( ) ( )2 22x 1 3x 0 + =b)( ) ( ) + + =3 22x 1 5 2x 1 0c) (2x + 3)2+2x.(2x +3)=0 d) (3x + 2).(5x + 1)-3x. (5 x + 1) = 1e) ( ) ( ) + =2 25x 3x 1 0Para escribir nmeros muy grandes o muy chicos Leemos en un artculo cientfico acerca de la evolucin de la vida sobre la tierra:

21.Los primeros dinosaurios aparecieron sobre la Tierra en el perodoJursicodelMezozoico,haceaproximadamente1,5.108 aosyseextinguieronafinesdelCretcico,7,5.107aos despus. Su peso era de aproximadamente 6,5. 103 kg. Laprimeracolumnadelatabla, corresponde a las distancias medias alSol,dealgunosplanetasde nuestrosistemaSolar.Lasegunda, informaacercadelamasadelos mismos,tomandocomounidadla masa solar. .... Contest utilizando nmeros enteros: a)Hacecuntosaosqueaparecieronlosdinosaurios sobre la Tierra? b)Cuntos aos hace que se extinguieron? C.N.B.A Matemtica.1er ao

43 PlanetaDistancia media al Sol (en km) Masa en relacin al Sol Mercurio 11.000.0001,25.10-7 Tierra150.000.000 3.10-6 Marte228.000.0003,23.10-7 Saturno1.427.700.0002,86.10-4 Neptuno5.919.000.0005,19.10-5 Notacin cientfica Para expresar nmeros muy grandes o muy pequeos suele utilizarse la notacin cientfica. Unnmeroestescritoennotacincientficacuandoestexpresadocomoel productodeunapotenciade10porotronmeroque,envalorabsoluto,esmayoro igual que 1 y menor que 10. Si el valor absoluto del nmero es mayor que 1, la potencia de 10 es de exponente positivo. Si en cambio, su valor absoluto es menor que 1, el exponente de 10 es negativo. 22.Expres en notacin cientfica los siguientes nmeros: a) 48000b) 0,000008 c) 2345d) 234,50 23.Supongamos que la Tierra est totalmente formada por arena y que es una esfera de 6500kmderadio.Si100granosdearenaocupan1mm3Cuntosgranosdearena habra en la Tierra? ( 3,14)(Vol. de la esfera= 43. .r3 ) 24.La masa de un virus es 10-21kg, la de un hombre 70 kg. Qu porcentaje de la masa del hombre representa, aproximadamente, la del virus? 25.a)Escrib en notacin cientfica, la equivalencia en metros de las siguientes unidades de longitud:a1)1 micrn (1) (es la milsima parte de un milmetro) a2) 1 angstrom (1 A

)( es la diez millonsima parte de un milmetro) b)Escrib cada uno de los siguientes nmeros en notacin cientfica b1) 0,000000003b2) 0,00000000000231 b3)2153 b4) 2.390.000.000 b)Encontr la expresin decimal de la medida de la masa de cada planeta en relacin a la masa del Sol. C.N.B.A Matemtica.1er ao

44 B. Radicacin 2 27 7. . Resolv: a) ( )3 516 27 : 32. 25 + = b)334 189 8+ = c)( )232 22 95 4= d)( )2310, 5 0, 9 : 22| | = |\

e)-1-2 -22 -3 3-1) -1+125. .(-1+11.10 3+ -1+ . =3 20, 8.(10+5. )2 f) 3 72 3102 2 53 3 41 11 :4 4| | | | + ||\ \ =| | | | ||\ \ 2 28 8. . Calcul: a) 3 3) 3 ( =b)= 3 6) 2 (c) =3 32d) 3 122 = e)42= f)2) 2 (Qu conclusin pods sacar acerca de la relacin entre la simplificacin de exponentes e ndices, el signo de la base de la potencia y el carcter de par o impar del ndice?Si n N y n > 1, afirmar que, la raz ensima de un nmero racional a es el nmero racional b, es equivalente aasegurar que a es la potencia ensima de b. En smbolos: Si aQ , nN, n 2:a b b ann= = (La raz ensima de un nmero racional a, puede no existir, pero si existe, es nica. Por convencin, si existe ms de un valor de b que verifique la condicin pedida, se adopta como raz ensima de a, al valor positivo de b) . Se indica: b an= n: ndice de la raz a:radicando b: raz ensima :radical La raz de ndice 2 se llama raz cuadrada y en general no se escribe el ndice. La de ndice 3 , se llama cbica. C.N.B.A Matemtica.1er ao

45 Sin es impar:an n = ....... , para cualquier aQ, positivo o negativo. Si n es par y a Q+ (es decir , es un nmero racional positivo):an n= si n es par y a Q- (es decir , es un nmero racional negativo):an n= 2 29 9. . Resolv las siguientes ecuaciones: a) ( )5x 1 1 31 + = b)2 +x 7 = c) 3x 14 : 2 ( 1)3 3| | = |\ d) 45: 425x1 42= e)(x 2 -4).(x3 +1) =0f)( )23x 2164=g) (x - 1)4 = 625 h)( )( )( )212 522 35 1 25 4 5 : .5 125x 2| | | |+ = ||\ \ + i)2) (2. x - 1 - x = 2.(1- 2 x) 3 30 0. . Resolv en Q las siguientes inecuaciones: a)x2 - 8 > 1 b) 219xc) ( - 3 x + 2 )2 -4 e) 2 - x2> 1 f) 1 - (2-x2)2 -3x +11 h)29 ( 11 7x ) 35 < i)18 ( - 14 + 5x ) 72 < j)82 ( 8x +19 )3 < 647 k)19 + (14x 3 )7> 147 l)( x + 9 ) (x 12) > -3x - 8 3 33 3. . La medida del lado de un cuadrado es c. La altura de un rectngulo supera en una unidada c y su base es dos unidades menor que la altura.Calcul los permetros de ambas figuras si la suma de las reas es 49. c h= c+1 b=h-2 C.N.B.A Matemtica.1er ao

47 Teorema de Pitgoras 3 34 4. . Los cuadrados grandes son congruentes.a) Expres el rea de cada uno en funcin de las reas de las figuras que los forman . b) Establec la igualdad entre las reas calculadas en a) c)Qu conclusin pods extraer? En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos. c2 = a2 + b2 3 35 5. . Las bases de un trapecio issceles miden 13cm y 7 cm respectivamente. Calcul su rea sabiendo que el permetro es de 30 cm. 3 36 6. . Eliana camina 2 km al norte, luego 5 al este; vuelve a marchar hacia el norte, otros 4 km y finalmente retoma el rumbo este para recorrer 3 km ms. Calcul la distancia entre el punto de partida y el de llegada. 3 37 7. . Las aristas de una caja que tiene forma de paraleleppedo recto miden: 10 cm, 6cm y 3 cm. Hac un dibujo y calcul la medida de la diagonal. a b c a a a a a b b b b c c c c Unahormigasemuevesobreun cubocuyaaristamide6cm,tal comoloindicalafigura.Calculla longituddelcamino.Culesla longituddelcaminoquerecorrela hormiga? 3 cm 3 cm 3 cm C.N.B.A Matemtica.1er ao

48 3 38 8. . Alserrucharuncubodemaderapor AB,BCyAC (diagonalesdetrescarasdel mismo), se obtieneel cuerpo truncado que se representa en el dibujo.Calcul el rea total de dicho cuerpo sabiendo que la aristaAM mide 3 cm. 3 39 9. . Las aves de la orilla (De la obra de un matemtico rabe del siglo XI) Perelman, Y. lgebra Recreativa. Ed. Latinoamericana. Lima,1988 5030 20 Aambasorillasdeunrocrecendos palmera, una frente a otra. La altura de una esde30codos,yladeotrade20.La distancia entre sus troncos, 50 codos. En la copadecadapalmerahayunpjaro.De sbito,losdospjarosdescubrenunpez que aparece en la superficie del agua, entre las dos palmeras. Los pjaros se lanzan a la mismavelocidadyalcanzanalpezal mismo tiempo. A qu distancia del tronco de la palmera ms alta apareci el pez?A C M B A A C M B C.N.B.A Matemtica.1er ao

49 Trabajo Prctico 8 :Cuadrilteros Definiciones: Un cuadriltero es un trapecio si y slo si tiene al menos un par de ladosopuestos paralelos. Uncuadrilteroesunparalelogramosiyslositienesusdosparesdelados opuestos paralelos. Un cuadriltero es un rombo si y slo si tiene sus cuatro lados congruentes. Un cuadriltero es un rectngulo si y slo si tiene sus cuatro ngulos rectos. Un cuadriltero es un cuadrado si y slo si es rectngulo y es rombo. 9 9. .Demostr que en todo paralelogramo se cumple que: a) los lados opuestos son congruentes b) los ngulos opuestos son congruentes. c) las diagonales se cortan mutuamente en partes congruentes. 1 10 0. . Enunci y demostr las propiedades recprocasde las mencionadas en el problema 1. 1 11 1. . Prob que si un cuadriltero tiene un par de lados opuestos paralelos y congruentes, entonces es un paralelogramo. 1 12 2. . Prob que: a)Si un paralelogramo tiene un ngulo recto, entonces es un rectngulo. b) Las diagonales de un rectngulo son congruentes. c)Si un paralelogramo tiene sus diagonales congruentes entonces es un rectngulo. 1 13 3. . Sea BAC un tringulo rectngulo en A y AMla mediana correspondiente a la hipotenusa. Demostr queAMC es issceles. C.N.B.A Matemtica.1er ao

50 1 14 4. . Demostr que: a) Si un paralelogramo tiene dos lados consecutivos congruentes, entonces es un rombo. b) Las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente. c) Si las diagonales deun paralelogramo se cortan perpendicularmente, entonces es un rombo. d) Las diagonales de un rombo son bisectrices de los ngulos cuyos vrtices unen. e)Si las diagonales de un paralelogramo son bisectrices de los ngulos cuyos vrtices unen, entonces es un rombo. 1 15 5. . Indic si las siguientes afirmaciones son verdaderas o no. Justific a)Si las diagonales de un cuadriltero son congruentes, entonces es un rectngulo. b) Si las diagonales de un rombo son congruentes, entonces es un cuadrado. c) Si en un cuadriltero cada diagonal est incluida en la mediatriz de la otra, entonces es un rombo. 1 16 6. . Demostr que si el punto de interseccin de las diagonales de un cuadriltero equidista de los vrtices, entonces es un rectngulo. 1 17 7. . En el dibujo, ABCD es un paralelogramo yAA' y CC' son las bisectrices deA y C respectivamente. Demostr que AACC es un paralelogramo. 1 18 8. . Sea ABCD un paralelogramo. Se consideran M y T pertenecientes a ACtales que BM AC y DT AC. Demostr que BTDM es un paralelogramo. 1 19 9. . En el cuadrado ABCD, M es el punto medio deAB. Prob que MCD es issceles. B M A C D B AC A D C C.N.B.A Matemtica.1er ao

51 Definicin Si en el paralelogramo ABCD, consideramos M punto medio deAB y N punto medio de CD, entonces decimos que MN es base media del paralelogramo. 2 20 0. . ConsiderenelparalelogramoABCD,MpuntomediodeAByNpuntomedio de CD.Prob queMNCB es un paralelogramo. Definicin: Lossegmentosqueunenlospuntosmediosdedosladosdeuntringulosellaman bases medias del tringulo. M punto medio deABy N punto medio de BC MNbase media deABC 2 21 1. . ConsiderABC, M punto medio deAB y N punto medio de BC. Prob que: a) MN //AC b) MN AC =12 2 22 2. . a)Qutipodecuadrilterodeterminanlospuntosmediosdelosladosdeun cuadriltero cualquiera? Justific. b)Demostr que el cuadri;tero determinado por los puntos medios de los lados de un rombo es un rectngulo. c)Demostr que el cuadriltero determinado por los puntos medios de los lados de un rectngulo es un rombo. D A B C MN A B C MN C.N.B.A Matemtica.1er ao

52 2 23 3. . Para construir un cuadriltero se sigue el siguiente procedimiento: I)Se traza un segmento AB . II) Se construyela mediatriz deAB (m). III) Se considera un punto cualquiera P m y se lo une con A y con B. IV) Por B, setrazar//PAV) Por A, se trazat//PB VI) t y r se cortan en Q a)Pods asegurar que el cuadriltero PAQB es un paralelogramo? Por qu? b)Pods asegurar que el cuadriltero PAQB es un rectngulo? Por qu? c)Pods asegurar que el cuadriltero PAQB es un rombo?Por qu? Definicin Si ABCD es un trapecio con AB // DC ,M es punto medio deADy N punto medio de BC, decimos que MN es base media del trapecio con respecto a AB y CD 2 24 4. . Si MN es base media del trapecio ABCD con respecto aAB y CD, siendo AB// CD, prob que: a) MN // AB b)MNAB CD=+2 Definicin: Llamaremostrapecioisscelesaltrapecionoparalelogramoenelqueloslados opuestos no paralelos son congruentes. A B N C D M C.N.B.A Matemtica.1er ao

53 2 25 5. . Si ABCD es un trapecio issceles con BC//AD, entoncesB C = y A D = . Definicin: Unromboideesuncuadrilterocondosladosconsecutivoscongruentesylosotros dos, distintos de los anteriores, pero congruentes entre s. Ladiagonalqueunelosvrticesalos que concurren los ladoscongruentes se llama diagonal principal. 2 26 6. . Demostr que en un romboide: a) las diagonales se cortan perpendicularmente. b) la diagonal principal est incluida en la bisectriz de los ngulos cuyos vrtices une. 2 27 7. . Se reduce en un 10% la longitud de un par de lados opuestos de un cuadrado y se incrementaenun10%ladelotropar.Quvariacinexperimentaelreadel cuadrado? C.N.B.A Matemtica.1er ao

54 TPProblema o Ejercicio Respuestas 3 12500 9 a) 3; b) 9011; c) 1819. 10 a) 715; b)815; c) 15 000 metros 13 a) x = 2; b) y =5; c) x = 0,5; d) x = 87; e) m = 32; f) x = 0,5; g) x = 325; h) z = 0;i)p = 53; j) x = 45; k) x = 512; l) u = 5;m) no tiene solucin , n) Todo valor de x 15 a)12b) 24 flores. C) El camellero A tiene 5 camellos y B, 7 camellos 16 12 horas 17 a) 476; b) 524. 18 a) En 36 minutos; b) i) A 660 km; ii) En 6 horas 24 minutos; iii) Se encontraron a 120 km del kilmetro 0 y lo hicieron una hora despus de haber partido. 26 a) 0,25; b) 29168.a) 0,25; b) 29168. 1 27 a) z = 1621; b) z = 1021. 2 a)60; b)45; c)9730 ; d)5320 ; e)5640 ; f)60; g) 2140 8 a) 40 y 40 ; b) 80 y 100 16 16.1 |QTR|=140y|ABM|=40; 16.2| |= | |=70 17a)||=137;b)||=170 21 55 235,83437 y 41 3218 23 a) x=25b) x= 24 24 BOC 105= 25 6030; 62 y 5730 31 a) 45; b) 8 lados; c) 12 lados 32 Los ngulos de ABCDEmiden 130, 80,160,20 y 150 respectivamente. 33 a) |A| =|C|=120, |B|=|D|=60 ; b)|A| =|C|=130, |B|=|D|=50 2 34 |R|=120, |S|=110, |V|=60; |U|=70 4 a) 2; b) 1; c) 6; d) 9. 5 a) 0; b) 3; c) 27. 6 a) i) 15; ii) 45; iii) 90; iv) 70; b) 47,37%; 23,68% y 28,95%. 7 a) 9; b) 1; c) 3. 8 10 9 35 10 a) 120; b) 48. 11a) 0,973; b) 13; c)5 77 5. 3 12 b) i) 0,37; ii) 0,4. C.N.B.A Matemtica.1er ao

55 13 1378 14 a) 712; b) 0; c) 1 15 a) 18; b) 38; c) 78; d) 14. 16 :a) 712; b) 14; c) 34. 17 a) 16; b) 12; c) 56. 18 116 19 2126 20 31 211926 2257 11 a) 0;b)-8a; c)4;d)-7; e)3a+4b 14 a) x=8; b)x=3 x= -3; c)x=-13; d)x=8 x=-2; e) x=1 19 a) {-1}; b){1};c){3 / z Z z z 3} ; d){-23,23};e){-4,4};f){ } 1 / > x Z x ; g){-2,4} ;h) Z ; i) { } 5 5 / b Z b;j) ;k) {7 / x Z x x 3} ; l) { } 5 1 / b Z b21 a) 0,3 ; b)4718 25 a) x = 2,6 x = -1 b)x = 3,3 x = 1,7c) x=17215 26 :a){ } 3 , 2 5 , 3 / < x Q x;b){2 / > x Q x < x 0, 4 }; c){ } 2 , 4 2 , 1 / x Q x ; d) )` 94916/ x Q x ;e) { } 2 2 / < > x o x Q x,f))` 9494/ x Q x 27 a) 14; b) 22+a ; c)-2 3a +8b; d) 15 3x 33 a) x=-6; b)x=4; c)x= -2;d){ } 2 / < x Z x ;e){ } 2 2 / < < x Z x ; f) { } / 2 2 x x Z , g){ } 4 4 / x o x Z x ;h){ } 1 1 / x Z x ; i){ } 4 / > x Z x ;j) { } 6 8 / < > x o x Z x, k) {1,2,-3} ;l)x=0 y=0 z=0 ; m) {-2,3}; n) {-2,-1}; ) x=0 y=1; o){-5,1};p){ } 5 0 / < > x o x Z x ; q){ } 0 5 / < < x Z xr){ } 5 0 / x o x Z x, s){ } 5 / < x Z x ; t) { } / 0 o5 x x x = Z , u) {0,-5} 34 -24,-12 y -30 35 a) x= -1 , b) x= -2. 5 36 a){ } 2 / > x Z x ;b){ } 2 / > x Z x ; c){ } 8 0 / < < x Z xC.N.B.A Matemtica.1er ao

56 37 a) 2350 b)3380 38 a) -1 b) -4,5 39a)x=-15/8; b)y= -16; c)x= -8; d) z= 6/17e) x= -1; f)x= 25/21; y Q 40 160m2 41 99m2 43 a) =18x13; b) x=27; c) =20x3; d) = 255x98; e)x=7 x=103; f)x=0 x=12 45 a) )`< 51/ x Q x; b) )` 37/ x Q x; c){ } 3 , 0 3 , 4 / < > x o x Q x d) )`< 1033/ x Q x; e) )`< < 0310/ x Q x ;f) )`< < 0310/ x Q x; g) ; h){} 0 Q ; i)Q ;j){ } 1 Q ; k) )`< > 3152/ x o x Q x; l) )`< < 5231/ x Q x; m) )` 5231/ x Q x ;n) )`< 52/ x Q x;o) )`= 3152/ x o x Q x ; p))`52,31Q

6 6 13, 1 cm 4 a) 1024; b) 9; c) 1; d) 16625; e) 16 x5; f) 3-22; g) m-12; h) m-6 5 a) 4; b) 14. 9 12 13 a)x=43 ;b) )` 76/ x Q x;c)x=19 ; d) x=13; e) x=2; f) x=5; ; g) x=3; h) x=1;i) x= 135; j) x=0,1; k)x= 0,6 x=13 ; l) )` > 31/ x Q x; ll) )`= 5331/ x o x Q x 14 a) 16; b) 58 =390 625; c) 220 =1 048 576 17 a) x=0 x=1; b)x =0 x =13; c) x=0 x=1; d) x= -2 x=1 19 a)x = -0,2 x = 1; b) x= -0,5 x= -2 ; c) x= - 1,5 x = -0,75 ; d) x= -0,1 23 1,15.1030 24 1,43.10-21 27 a) 70; b)56 ;c)253; d) 23; e) 2940; f)-3,5 29 a)S= {1}; b)S={ 25} ; c) { }107S9=; d) S={3 , -3} ; e) S={-2,-1,2};f) { }10S 2,3= g) S={6,-4}; h)S={-5,5}; i) { }1S3=7 30 a){ } 3 3 / > < x o x Q x; b) )` 3131/ x o x Q x ; c) )`< < 340 / x Q x

C.N.B.A Matemtica.1er ao

57 d){ } 2 1 / < < x Q x ; e){ } 1 1 / < < x Q x ;f){ } 2 2 / > < x o x Q x ; g) Q+ ;h){} 0 Q ;i) )`> < 3135/ x o x Q x,j){ } 4 4 / < < x Q x ; k){-3,3};l){1};m){ } 9 1 / < < x Q x . 31 a)x= -3; b)x=-7 x= -11; c)x=256; d) x=54 x=34;e) x=-5 x= -3 x= 5; f)x= -2 x= 2 x= 4 ; g)x= -1; h) x=-5 x= 5; i) x= -7 x= 7;j) x= 0,5 32 a){ } 4 4 / < < x Q x ; b) )`< > 5356/ x o x Q x; c){ } 5 5 / < > x o x Q x ; d){ } 3 / < x Q x ; e){ } 2 2 / < > x o x Q x ;f){ } 5 5 / < < x Q x ;g){ } 9 9 / < > x o x Q x ;h) )`< 79/ x Q x ; i) )`< > 59519/ x o x Q x, j) )` < 27/ x Q x; k) )`> 145/ x Q x ; l){ } 10 10 / < > x o x Q x33El permetro de ambas figurases 20. C.N.B.A Matemtica.1er ao

58 REVISIN 1 1. .Simplific las siguientes expresiones usando propiedades de la potenciacin: a)25. 22.f)50 b)26: 23 g) 24.2-2 +22 c)5-5. 52 h)13273 d) ( )555 i)| | | | ||\ \ (| | | |( ||\ \ ( 2 312 38 33 88 33 8 e) 2 15 .5j)( )6 434.3 89 2 2. .Decid si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a)Para todo x Q: x0=0 b)Para todo x Q: x0=1 c)(x + 2)3= x3 + 23 d)(a + a2)2= a2.( 1 + 2 a + a2) e)Para todo x Q:x x2=f)Para todo x Q:x x3 3=g) 00 = 0 h)00 = 1 i)a < b1ba< , para todo a Q, para todo b Q {0} 3 3. .Resolv: a)) 2 ( ) 3 ( 3 ) 15 ( 12 2 + b)73234) 4 ( ) 1 .( 3622 0 EstaGua0contienelosprerrequisitosparaelcursodematemticaquevasa iniciarenelprximocurso.Parapoderabordarlostemasdeestaasignaturaes imprescindible que manejes fludamente los temas que en ella se proponen. C.N.B.A Matemtica.1er ao

59 4 4. .Simplific llevando a su mnima expresin: a)( )xx) 1 x ( x33+b) ( )...p q p qpp qx xx x+ ( x >0) 5 5. .a) Sabiendo que ay b son nmeros racionales tales que: a < 0 y b > 0, calcul i) a1 ii)|(-a).b|iii) | a.b| b)Si a > 1 + b, calcul: i) | b + 1 a |ii)|(a b )2 | iii) | b a + 1 | 6 6. .Resolv en Q a)| x 4 | = 8 b)| x2 - 5 | = 4c)(-x + 2)3 = 1 d)0 13 1 x2= e)8: x + 3 = - 1 f)03x 213x= + g) 1 1311x) 6 , 0 (5 , 0 x ||

\|=

h)821 x312=||

\| 7 7. .Resolv en Q a)2 x 1 < 6 b)3 x + 1 4 x 3c)07 9 x 2> d)19> 4 3x > 10e) 91x352 f)( x - 1)2 .(-2) + 1 > ( x 1). x 3 x2 g) ( )25823 x2 h)0 ) 9 x 3 (51x + ||

\|+i)| x | .(-2) < - 8 j)2 7 ) 3 .(4 81x 2 > + + 8 8. .Resolven Q: a)2 (x-1) . (x+0,5) + 5 = 3x2 - ( x+1)2 b)(0,3 x - 1 ) : 2 + 8x = (x-1) (x+1) - x ( x-1,2) c) = .212x 3 2 3 22 d)5: ( 2x-4 ) + 9 = 18 C.N.B.A Matemtica.1er ao

60 e) =( ) 2x 3 25 16236 f):22131x 25 1214 2314| |= |\ | | |\ g) =( . ):3 2 12 4x x128x x h)( 2x+1) . ( 3x - 2 ) < 0i) 2 5 161 x 13 4 25 l)|x+5|.(x2 4)< 0 Pararecordar.... 9 9. .Escrib como producto: a)a2 b + 2 a b 2 b) +3 2 45 5c 25c c4 8 c)25 - 10a + a 2 d)25 - b2 e)a2 + a + ab + bf)a4 - 1 g)3x(2x-1)2- 2(2x-1)h) 81 - x 4i) 9a2-30 a + 25 1 10 0. .Resolv en Q a)x3 = x b)3(2x+5)2 2(2x+5)=0 c)5x (3x+1)4 (3x+1)5=0d)(2x2-18)2= 32 (2x2-18) e) x2 + 2x= 0 f) 3x 2 + 15x 0 g) x2 -4x +4 = 0h) x2 -4x +4 =9 11.Decid si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justific: a)d(P,A)= d(P,B), entonces P pertenece a la mediatriz deABb)Si una recta es paralela a un plano es paralela a toda recta incluida en el plano. c)Losngulosquedeterminandosrectasalcortarsesonrespectivamentecongruentes con los que determinan sus perpendiculares. (a+b).(c+d) = a.c +a.d + b.c+ b.d (a+b)2 = a2 +2ab +b2 (a-b)2 = a2 -2ab +b2 a2 -b2 =(a + b).(a b) C.N.B.A Matemtica.1er ao

61 d)Las bisectrices de dos ngulos correspondientes entre paralelas estn incluidas en rectas paralelas. e)Si un tringulo tiene dos de sus medianas congruentes,entonces es issceles. f)Si las diagonales de un cuadriltero son congruentes, entonces es un rectngulo. g)Si las diagonales de un cuadriltero son perpendiculares, entonces es un rombo. h)Si un rombo tiene sus diagonales congruentes, es un cuadrado. 12.Calcul el ngulo que forman dos de las bisectrices de un tringulo sabiendo que el tercerngulo mide 80. 13.En un tringulo rectngulo , un ngulo mide 70. Calculla medida del ngulo que forman la altura y la medianacorrespondientes a la hipotenusa. 14.El lado del cuadrado inscripto es de 6 cm. Cul es el rea de la zona sombreada? RESPUESTAS Ejercicio 1: a) 27 ;b)23; c)5-3; d) 525;e) 5-3; f) 1; g)23;h)1; i)-25/24; j)3-12 Ejercicio 3: a)7; b) 189/16 Ejercicio 4: a) 3x ; b)xq Ejercicio 5: a) i) -1/a; ii)-a.b ; iii) -a.b ;b) i) a-b-1 ; ii)(a-b)2 ; iii) a-b-1Ejercicio 6:a)S={-4, 12}; b)S={-3,-1,1,3}; c)S={1}; d)S={-2,2};e)S={-2}; f)S={1} g)S={0,25};h)S={-9,15} Ejercicio 7: :a) S={xQ/x9/2};d)S={ xQ /-5