USACH LGEBRA 2002 Gabriel Rabanales R.

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Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Depto. Matemtica y Ciencia de la Computacin

Prof. Gabriel Rabanales R.

Gua de ejercicios

Polinomios (1)

1. Dados ( ) ( ) [ ] 2 4 3 2, , tales que: ( ) 3 2 5 ( ) 5 2 1p x q x x p x x x y q x x x x x = + + = + + + + , obtenga: a) p(x) + q(x) b) 3 p(x) (x 1) q(x) R: 5 4 3 24 3 10 6 16x x x x x- - + + + + c) p(x) q(x) R: 6 5 4 3 23 17 21 32 15 7 5x x x x x x+ + + + + +

2. Obtenga cuociente y resto en las siguientes divisiones: a) 2 3 2 26 4 3 1 2 1x x x x x- - - + - R: c(x) = 4 11x- + , r(x) = 26 11x- + b) 4 21 1x x x+ + + c) 3 2 3 2x x x - + 3. Divida usando el mtodo de divisin sinttica: a) 4 3 3 2x x x x- + + - R: c(x) = 3 2 2 5x x x+ + + , r(x) = 13 b) 4 3 23 2 5 1 1x x x x x+ + - + - 4. Dado el polinomio [ ]5 4 3 2( ) 2 3 31 30p x x x x ax bx x= - - + + + , determine ,a b , y las races del polinomio, si se sabe que p(x) es divisible por (x 1) y por (x + 1). R: a = 27 , b = 29 ; races: 2, 3/2, 1, 1, 5 5. Demuestre que 1-x y 2+x son factores de 12872)( 234 +--+= xxxxxp , y determine los dos factores restantes. R: 3 , 2 +- xx 6. Sabiendo que x i divide al polinomio 4 2( ) 24 25p x x x= - - encuentre todas las races de p(x). R: i , - i , - 5 , 5 7. Dado el polinomio 3 2( ) 5 ( 8 )p x x ax a x b= + + - - + , determine ,a b sabiendo que:

a) 3 es raz de p(x) b) el resto de dividir p(x) por (x 2) es 45. R: a = 9 , b = 3

8. Verifique que dos de las races de la ecuacin: 4 3 219 11 30 0x x x x+ - + + = , son 3 y 5 . Encuentre las otras dos races. R: 2 , 1 9. Encuentre las races reales de la ecuacin: ( ) 3 21 (1 2 ) (1 ) 1 2 0i x i x i x i+ + + - + - - = R: 1 , 1

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10. Sin efectuar la divisin demuestre que: a) 4 3 23 3 3 2x x x x+ + + + es divisible por x + 2 b) 4 3 22 7 2 13 6x x x x- - + + es divisible por 2 5 6x x- + 11. Exprese el polinomio a) 3 2( ) 6 14 9p x x x x= - + - en potencias de (x 2 ) b) 5 4 3 2( ) 4 6 3 1p x x x x x x= - + + - - en potencias de (x 1)

R: a) ( ) ( ) ( )3 2( ) 2 0 2 2 2 3p x x x x= - + - + - + b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 2( ) 4 1 14 1 19 1 14 1 6 1 0p x x x x x x= - + - + - + - + - + 12. Dados los polinomios: a) 4 3 2( ) 6 26 4 8p x x x x x= - - + + , con races: 2 y 2 b) 5 4 3 2( ) 5 2 10 8 40p x x x x x x= + + + - - , con races: 5 y 2i c) 6 5 4 3 2( ) 10 38 70 73 60 36p x x x x x x x= - + - + - + , con races: i y 3 (de multiplicidad 2) d) 6 4 2( ) 3 3 1p x x x x= + + + , con raz: i (de multiplicidad 3) Determine en cada caso: i) Las races en ii) Las races en iii) Las races en R: a) En : 2, 2, , 2/3 ; en : las mismas ; en : ninguna b) En : 5 ; en : 5 , 2 , 2 ; en : 2i , 2i c) En : 2 , 2, 3 , 3 ; en : las mismas ; en : i , i d) En : ninguna ; en : ninguna ; en : i (multiplicidad 3), i (multiplicidad 3) 13. Hallar el valor de k para que al dividir el polinomio 732)( 234 -+-+= kxxxxxp por 2-x , el resto sea 3. R: 5-=k 14. Determine el valor de k tal que al dividir el polinomio 3 2( ) 2 3 6p x x x kx= + - - por (x + 3) el resto sea cero. R: k = 11 15. En cada uno de los siguientes casos, verifique las races dadas y encuentre las restantes: a) 3 2( ) 7 16 10p x x x x= - + - , raz: 3 i R: 3 + i , 1 b) 5 4 3 2( ) 4 3 8 18 12p x x x x x x= - + + - + , races: 3 , i + 1 R: 2 , 3- , 1 i 16. Factorice en el polinomio 3 2( ) 2 6 5 15p x x x x= + + + , sabiendo que p(-3) = 0 R: ( )( )23 2 5x x+ + 17. Escriba el polinomio p(x) de quinto grado con races: 2 , - 3 , 1 , 2i , y 5 3a = . R: 5 3 2( ) 3 9 18 84 72p x x x x x= - - - +