V I C E R R E C T O R Í A A C A D É M I C A

Guía de aprendizaje

Facultad: Ingeniería

Carrera: Ingeniería Civil Plan Común

Sede: Santiago

Campus: Republica

Año: 2012 Semestre 1

Asignatura: Introducción a la Física

Profesor: Dr. José Vicente Correa

Nombre Director (a) de Carrera o Coordinador (a): Dr. José Luis Moncada

Objetivo Específico de Aprendizaje

A lo largo de esta guía de aprendizaje el estudiante aprenderá a conocer y manipular las diferentes cantidades físicas.

Conocerá y aplicara técnicas utilizadas en laboratorio para medir, calcular error y informar resultados utilizando cifras significativas.

Conocerá el significado de cada una de las cantidades utilizadas en física, diferenciando si estas corresponden a magnitudes escalares o vectoriales.

Aprenderá y resolverá problemas geométricos y trigonométricos aplicados a la física.

El estudiante podrá resolver problemas de vectores de mediana complejidad, manipulando las diferentes operaciones vectoriales (Suma y resta).

El estudiante identificar conceptualmente y pondrá en práctica las propiedades fundamentales de la materia como masa, densidad, temperatura y dilatación. Aplicando las formulas y desarrollando problemas físicos.

Identificar conceptualmente y calculo de propiedades físicas como: Rapidez de cambio y descripción del movimiento, Análisis de Gráficos, Funciones y operaciones fundamentales, Concepto físico de aceleración, Fuerza, Flujo, Concepto de energía y orden.

Nombre de las Unidades de Aprendizaje:

Unidad I: Introducción a la Física

Unidad II: Sistemas de Medición

Unidad III: Vectores

Unidad IV: Propiedades fundamentales de la materia:

Unidad V: Propiedades Físicas

 

Guía de Estudio 

Unidad 1: Concepto de Tiempo  

1. Transforme a las unidades de tiempo o longitud según se requiera. 

a. 1,5 h en ……………… … min b. 40 min en …………… …… h c. 40 min en …………………. s d. 80 s en ………………… . min e. 49 Hz en ………………….rpm f. 12 rpm en …………………. Hz g. 120 rps en …………………..rpm h. 2500 s-1 en ………………… min-1

 

Ciclo, intervalo de tiempo, periodo, frecuencia, fase. 2. Dos cuerpos A y B están oscilando verticalmente colgados de resortes, como se indica 

en la figura. La altura de cada cuerpo respecto al suelo varía en función del tiempo según el gráfico que se muestra al lado.  

A

B

                                                      

Altura de cada péndulo

0

20

40

60

80

100

120

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Tiempo[s]

Altu

ra [c

m]

A

B

 

a) Identifique en el gráfico las siguientes fases, indicando en qué instante ocurre cada una: 

• Para el cuerpo A, la fase de altura mínima.  

• Para el cuerpo B, la fase en que pasa por el punto medio entre los extremos, moviéndose hacia abajo. 

• La fase en que es mínima la diferencia de altura entre ambos cuerpos.  

 b)  Calcule el período y la frecuencia de las oscilaciones de cada cuerpo. 

c)  Encuentre en qué instante ambos cuerpos pasan al mismo tiempo por sus respectivas fases de altura mínima, por primera vez después de t = 0. 

d)  Encuentre en qué instante ambos cuerpos pasarán al mismo tiempo por sus respectivas fases de mínima altura, por segunda vez después de t = 0.  

e)     Encuentre en qué instante ambos cuerpos pasarán al mismo tiempo por sus respectivas fases de máxima altura, por primera vez después de t = 0. 

 

3. En cierto instante se sueltan simultáneamente los péndulos A  y  B desde las posiciones indicadas en la figura. El péndulo A efectúa 25 ciclos en 40 [s], mientras que el péndulo B  completa 70 ciclos en el tiempo en que A realiza 90 ciclos. Cada vez que ambos pasan simultáneamente por sus posiciones de partida, se produce un destello de color 

naranja que dura 3,1 [μs].  

              

A

B  

a) Calcule el periodo de cada péndulo. 

b) ¿Cada cuánto tiempo coinciden ambos péndulos en la posición de partida? 

c) Calcule el tiempo acumulado en que se emite la luz naranja durante 1,2 [día]. 

 

4. Una mosca volando bate sus alas unas 200 veces por segundo y puede volar ininterrumpidamente durante 15 [min], después de los cuales debe descansar durante 3 [min].  

a) ¿Cuál es la frecuencia de las alas de la mosca, en [Hz]? 

b) ¿Cuál es el periodo, en [ms]? 

c) Si la mosca vive aproximadamente 1 mes y duerme 1/3 del tiempo cada día, calcule aproximadamente el número de veces que la mosca bate sus alas durante toda su vida. Exprese el resultado en notación  científica. 

 

5. Una llave está goteando de modo que cada intervalo de tiempo entre dos gotas sucesivas aumenta en un 10% con respecto al intervalo anterior. Si una gota observada cae a las 10:31:27 y la siguiente a las 10:32:07. 

a) ¿A qué hora cayó la gota anterior a la primera observada? 

b) ¿A qué hora cayó la gota subsiguiente a la segunda observada?  

6. Un corazón normal realiza aproximadamente 75 pulsaciones por minuto.  Calcule, aproximadamente, el número total de pulsaciones que habrá efectuado el corazón de una mujer desde que nació hasta que cumpla 20 años el 14 de marzo de 2009.  

7. Se desea filmar el crecimiento de una planta durante 50 días, a fin de exhibirlo en una película de 10 minutos de duración que se proyecta a razón de 24 imágenes por segundo. En la película, cada cuadro de imagen tiene una longitud de 15 [mm]. 

a) Calcule el número de imágenes que tiene la película completa. 

b) ¿A qué intervalos, en minutos, deberá fotografiarse la planta? 

c) Calcule el largo de la película completa.   

 

8. El ritmo de trabajo del motor de cierto refrigerador es el siguiente: funciona durante 40[s] y se detiene durante 6 [min].  

a) Calcule cuántos ciclos realiza en una hora y en un día. 

b) Calcule el tiempo de funcionamiento del motor en una hora y en un día. 

c) Si el refrigerador se diseña para una vida útil de 20 años, ¿para cuánto tiempo de funcionamiento, en [día], se debería diseñar el motor?  

 

Unidad 1: Concepto de Distancia 

1. Transforme las siguientes unidades de distancia según se indica en cada caso. 

a. 1,5 Km en ………………… m b. 657 in en …………… …… m c. 2345 ft en …………………. Km d. 564 cm en …………………. m e. 0,5 Km en ………………….mm f. 12 mil en …………………. m g. 120 nm en …………………..m h. 359 m en .………………… mm i. 4567 km en .………………… mil j. 2500 nm en ………………… cm  

2. El diámetro de la ranura de la parte superior de un recipiente metálico es de 1.94 in ¿Cuál debe ser el diámetro en mm de un anillo de empaque diseñado para insertarse en esa ranura?

3. Un galón de pintura blanca es suficiente para marcar 300 m de la línea central de una carretera ¿Cuántos galones de pintura son necesarios para pintar la línea central de un tramo de carretera de 12 km?

4. El área de los lentes de un telescopio es 5786 mm2 a).- ¿Qué área es ésta en pies cuadrados (ft2). b).- Un técnico pule en 45 segundos, 150 mm2 ¿Cuánto tiempo le lleva pulir todos los lentes?

5. El volumen de cierta célula bacteriana es de 1.35 μm3. a).- Cuál es el volumen en milímetros cúbicos (mm3). b).- ¿Cuál es el volumen de 105 células en litros (L)?

6. Un matraz Erlenmeyer pesa 141.3 g cuando está vacío. Cuando se llena con agua (ρ =1.00 g/cm3), el matraz y su contenido pesan 283.2 g. Formula de la densidad:  ρ =m/V a).- ¿Cuál es el volumen del matraz? b).- ¿Cuánto más pesa el matraz cuando se llena con cloroformo (ρ =1.48 g/cm3)?

7. La distancia entre dos picos adyacentes de una onda se denomina longitud de onda. La longitud de onda de la luz visible determina su color. La longitud de onda de una radiación de luz verde es 513 nanómetros (nm) ¿Cuál es su longitud de onda en metros?

 

8. La distancia por carretera ente Valparaíso y Concepción es aproximadamente 639 [km]. Usando las equivalencias: 1[mile] = 5280[ft]; 1[ft] = 12[in]; 1[in] = 2,54[cm], exprese esta distancia en [mile]: a) Transforme usando regla de tres. b) Transforme usando sustitución (factor de conversión). 

 

9. Un  barco  realiza  anualmente  un  recorrido  equivalente  a  5  vueltas  a  la  Tierra.  Por 

acción del  agua  su  casco  se  gasta  en  10 [μm]     en  cada  vuelta.  ¿Cuánto  tiempo  es 

prudente que  funcione el barco,  teniendo en  cuenta que no es  conveniente que  su 

casco reduzca su espesor en más de 4,8[mm]? 

10. A cierta hora, una varilla de 1,8 metros clavada verticalmente en el suelo produce una 

sombra de 32 centímetros. A  la misma hora, un poste vertical genera una sombra de 1,17 metros. Calcule la altura del poste. Dibuje el diagrama apropiado. 

 

11. Para medir el ancho de un río, una persona se ubica en el punto A, frente al árbol P que está en  la otra orilla. A continuación, camina paralelamente a  la orilla del  río y mide las distancias: AD ≈ 120 metros, DB ≈ 3,5 metros, y además mide la distancia CD ≈ 10,2 metros. Calcule el ancho del río. 

P

BA

C

D  

12. En la escala mostrada en  la figura, determine los valores de la variable representada, que se ubican en los extremos E y F, si la escala es: 

a) lineal. 

b) de potencias de 2. 

E F2[u] 4[u]

4[cm] 8[cm] 20[cm]

 

Unidad II: Sistemas de Medición. 

Análisis Dimensional. 

1.    El momentum o cantidad de movimiento  p  de un cuerpo de masa  m  que se mueve con velocidad  v,   es, por definición,   p  =  m v.   Hallar la dimensión física SI y la unidad SI coherente de  p.     

2.  El peso  P  de un cuerpo  de masa  m,  en un lugar  en donde la aceleración de gravedad es  g,  es, por definición,   P  =  m g.   Hallar la dimensión física  SI de P   y su unidad SI coherente. Nota: P es presión, m corresponde a la masa.  

3. La energía potencial  Ep  que tiene un cuerpo de peso m∙g,  que se encuentra a una altura h  de la superficie terrestre, es, por definición,   Ep  =   mgh.  Hallar  la dimensión física  SI de  Ep  y su unidad SI coherente.   

4.   La energía cinética  Ek  que tiene un cuerpo de mas   m,  que se mueve con una velocidad  v,  es, por definición,   Ek  =  ½  mv2 .   Hallar  la dimensión física  SI de  Ek   y su unidad SI coherente.  

5. La  masa molar   M  de una substancia química es.   por definición,  la masa de una cantidad unitaria  de la substancia.   La ecuación que la define  es   M  =   m / n.    Hallar la dimensión física SI de  M  y su unidad SI  coherente.  

6.    La concentración  ci  de un soluto  i  de una disolución,  por definición,  es la cantidad de soluto  i  contenido en una cantidad unitaria de volumen de disolución.  La ecuación que la define es    ci   =   ni / V.   Hallar la dimensión física  Si  de  ci  y su unidad SI coherente.  

7.   La moralidad   bi  de un soluto  i de una disolución,  por definición, es la cantidad de soluto  i  contenido  en una cantidad unitaria de masa de solvente.  La ecuación que  la define  es   bi   =   ni / m1  en donde el subíndice  1  indica al solvente.   Hallar la dimensión física  SI  de  bi   y su unidad  SI coherente.  

8. Para una cantidad  n  de un gas  que se comporta idealmente,  en un determinado estado de equilibrio termodinámico,  los valores del  volumen  V,  de la presión  p  y de la temperatura termodinámica  T,   deben satisfacer la ecuación de estado  pV  =  nRT.  Hallar la dimensión física SI de  R  y su unidad SI coherente.  

9. Hallar las dimensiones de los parámetros  a  y  b  de Van der Waals, en la ecuación de estado 

 

     ( )2

2

a nP V n bV

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠nRT  

 

Ayuda:  para que la ecuación sea dimensionalmente  correcta,  el término  an2 / V2  debe tener las dimensiones de  P (presión),  y el  término  nb,  las dimensiones de  V (volumen). 

 

10.  La fuerza  F  entre dos cargas eléctricas  Q1  y  Q2   en el vacío, separadas una distancia  r,   viene dada por la ecuación 

 

         

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

21

41

rQQF

Oεπ

 

 

Hallar la dimensión física SI de la constante εo  (permitividad del vacío) y su unidad SI coherente. 

Transformación de Unidades: Magnitudes, Prefijos, Notación científica. 

11. Transforme las siguientes cantidades. a. 456 mL ………………… L b. 50 m2 ………………… mm2 c. 39 ºC ………………… K d. 251 K ………………… F e. 457 F ………………… ºC f. 1050 R ………………… ºC g. 45 ºC ………………… R

12.  Realice la siguiente conversión de Unidades. 

a. 42 pies2/hr   ………       cm2/s b. 100 Btu ………       hp∙hr c. 80 lbf     ……...       N 

 13. Expresar las siguientes cantidades en el sistema internacional. 

a. 6,5 km/h b. 2 g/min c. 5 mm3 h d. 10 g cm/min e. 20 cm2/g f. 10 mm3/cm2 g. 0,5 mg/cm3 h. 20 ton/min i. 30 cm3 g/h 

14. El agua hierve a 100ºC transformar dicha temperatura a: a) grados Kelvin, K b) grados Fahrenheit, ºF c) grados Rankin, R

 

15. A, B y C son tres cantidades físicas cuyas unidades de medida son respectivamente: kg∙m/s; kg∙m2 y kg∙s/m. Determinar la unidad de las siguientes cantidades físicas: 

a. A∙C = b. A/B =  c. C∙B/A 

 16. Una cinta transportadora de material en una industria de carbón, mueve 40 kg/m con 

una rapidez de 0,5 m/s. ¿Cuántos kilogramos de material transportara en 30 min?  

17. En un depósito que tiene una capacidad de 3 m3 se vierten dos líquidos A y B, el primero de ellos tiene una densidad de 0,8 g/cm3 y el otro tiene una densidad de 0,9 g/cm3. Si la densidad del líquido resultante es de 0,88 g/cm3. ¿Cuántos m3 de cada líquido se vertieron en el depósito?  

18. La densidad del agua es 1 g/cm3. ¿Qué valor tiene en kg/m3?  

19. Una hoja de papel tamaño carta mide 21,7 cm x 27,8 cm. El gramaje del papel indica 75 g/m2. Calcule la masa en kilogramos de una resma de papel (500 hojas).  

20. Se afirma que durante un día lluvioso cayeron 8 mm de agua. Calcule la cantidad de agua caída en litros y kilogramos en una cancha rectangular de 150 x 70 m.  

21. Convertir la constante de gases ideales  

1,987 a ( )(º ) ( )( )

cal BtuRgmol K lbmol R

=°

      

 22. 100 libras de agua fluyen por una tubería a razón de 10,0 pies/s ¿Cuánta energía 

cinética tiene el agua en (pies)(lbf)? 

Energía cinética =  212

K mv=       1 lbf = 1lbm*32,17 (pies/s2) 

23. ¿Cuánta energía potencial en (pie)(lbf) tiene un tambor de 100lb suspendido 10 pies sobre la superficie de la tierra con referencia a dicha superficie? Energía potencial = mgh  

24.  Escriba en notación científica los siguientes números: a. 0,000000017896          b. 45763200000000            c. 6400006000132   d. ‐0,0000480000092 

 25. Calcule “a mano” el valor aproximado a 1 cifra significativa, y el orden de magnitud de 

cada una de las expresiones: 

 a)     3 34586902                                   b)  

−⎛ ⎞⋅⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

2

14

1/367,81 10 1,8 10

1,12 10 −     

c)     

27

5 57,9 10

1,8 10 4,2 10

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎜ ⎟⋅ + ⋅⎝ ⎠               d)

⎛ ⎞⋅ ⋅⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

7 4

7

2,8 10 8 10

1,0563 6 10   

e)     ( ) ( )

⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ + ⋅⋅⋅ + ⋅

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

21/3812 2

3 31 63

3,38 10 9 10 2,5 103 10 4 109,5 101,2 10 7,3 10

−−

−

−−

/ 

 

26. Exprese las siguientes cantidades usando los prefijos adecuados: a.      82,5 10 [s]−⋅

b.     138 10 [bytes]⋅

c.   65 10 [m]−⋅      

d.  143,2 10 [m]−⋅ 

27. Considere las cantidades cuyos valores se indican a continuación: 

128 1008,0C00000081,0B103A −− ⋅==⋅=  

a) ¿Cuál de ellas tiene mayor orden de magnitud? 

b) ¿Cuál de las siguientes expresiones,  / , / , / ,A B B C C A  tiene menor orden de magnitud?  

c)  Calcule el orden de magnitud de la expresión:           CBA

100B

A2

+⋅+  

 

Ejercicios de conversión de temperatura 28. Convertir 100ºC a Kelvin, Fahrenheit y Rankine 29. Expresar en kelvin las siguientes temperaturas:

a) 0 ºC b) 100 ºC c) -273.15 ºC.

 

30. Expresar la temperatura de 42.0 ºC a) en ºF b) en K c) en ºR

 

31. Expresar la temperatura de 450 ºR a) en ºC b) en ºF c) en K

 

FACTORES UNITARIOS DE CONVERSION DE UNIDADES. 

32. En  los  ejercicios  propuestos  utilice  los  correspondientes  factores  unitarios  de conversión de unidades. 

a) Expresar en metros la altura de 30.000 ft 

 b) Expresar en libras la masa de 500 g 

 c) Expresar en kilogramos la masa de 140 lb 

 

d) Expresar en atm la presión de 720 mmHg  

e) Expresar en metros la longitud de 45.0  in  

f) Expresar en m/s  la velocidad de 90 km/h  

g) Expresar en kg/m3  la densidad de 1.420  g/dm3  

h) Expresar en milibares la presión de 755.5 mmHg  

i) Expresar en kWh  la energía de  842 kJ  

j) Expresar en Psi la presión de 750 mmHg  

k)  La velocidad del sonido en el aire es de 340.0  m/s.  Expresar esta velocidad  en   i)  km/h   ii) ft/s     iii) mile/h 

 

l)    Expresar en nanometros la longitud de onda de 5 680  Å.  

m)    Expresar en pascales la presión de 0.010 mmHg.  

n) Expresar en megajoule  la energía de  100 kWh  

o) Expresar la presión de 100 kPa  en atm y en mmHg  

p) Expresar en kilojoule la energía de 212 kcal.  

PREFIJOS “SI” 

33. Expresar las siguientes cantidades en las adecuadas unidades SI prefijadas.  a) F  =  4.5 x 10‐8  N 

 b) W  =  2.1 x  10‐7  J  

 c) F  =  2.5 dyn  

 d) F  =  42 x 105  N  

 e) n  =  0.002 5  mol 

 f) V =  3.1 x 10‐5  m3 

 g) l  =   5.60  x  10‐5   cm 

 h) n  =  0.034 8  mmol 

 i) n  =  0.000 008 25  mol 

 j) n  =  84 900  mol 

 k) A  =  14 500  mm2 

 l) A  =  0.000 25 m2  

34. Expresar    las  siguientes  cantidades,    en  la  correspondiente  unidad  SI  coherente, reemplazando los prefijos  SI por los correspondientes factores exponenciales. 

a)   l  =   3.0  x  104  μm b)  m  =  47.1  mg c) A  =  9.74  cm2 d) υ  =  431  ps‐1 e) υ  =  823  ns‐1 f) W  =  3.42  kJ g) m  =  3.1  x  102  g h) V  =   150  mm3 i) V  =   4.52  x  104  cm3 

j) n  =   3.56  μmol k) n   =   2.43  x  103  mmol l)  A  =   3.5  x  105  cm2 

 

Cifras Significativas y Cálculo de Error 

1. Los siguientes valores corresponden a los datos, en centímetros, obtenidos al medir 9 veces  la  longitud  de  una  raqueta  de  tenis,  usando  una  huincha  métrica,  graduada  “al milímetro”.  

73,27  73,26    73,28  73,26    73,25  73,27    73,28    73,25    73,26   

a) Estime el error instrumental de la huincha métrica.  

b) Estime el error aleatorio de esta serie de mediciones.  

c)    Informe el resultado de esta medición, usando el número adecuado de cifras significativas, e indicando el error experimental.  

2. Se desea medir el espesor de una placa de vidrio ya instalada en una ventana, usando como  único  instrumento  de  medición  una  regla.  ¿Cómo  podría  hacerlo?  ¿Qué  errores experimentales estarían presentes? 

3. La medición del  largo de una  varilla  se  informa  como  :  [ ]L 80,44 0,06 cm= ± .  Se hicieron 8 mediciones, pero sólo se informan las seis siguientes, en centímetros:  

80,41        80,43     80,42     80,47     80,45     80,44. 

a) Indique el promedio y la desviación estándar de las 8 mediciones.  

b) Calcule el error porcentual del primero y del cuarto de los valores dados. 

c) Calcule el valor de las 2 mediciones desconocidas. 

4. Se ha medido que  la terraza de un edificio en construcción está a 52,20 [m] sobre el nivel del suelo. Sobre la terraza se ha colocado una capa de mortero (mezcla para emparejar la losa) de 2,2[cm] de espesor. Sobre el mortero  se  instaló  cerámica de 12,4[mm] de espesor. Finalmente,  sobre  la  cerámica,  se  colocó una  capa de  vitrificado de  1,12  [mm] de  espesor. Calcule  la  altura  total de  la  cara  superior de  la  capa de  vitrificado  sobre  el  nivel del  suelo, expresando el resultado con el número correcto de cifras significativas. 

5. Si en el  informe del  tiempo  se dice:  “La  temperatura máxima del día de hoy  fue de 19,2[°C], y se registraron 24,1 [mm] de precipitaciones en las últimas 24 horas”.  

a)   ¿Cuál es la resolución de los instrumentos utilizados para medir ambos fenómenos? 

b)     Aproximadamente:  ¿cuántos  litros  de  agua  cayeron  en  las  últimas  24  horas  sobre una cancha de fútbol de 100 [m] de largo por 60 [m] de ancho? 

6. Un  topógrafo mide  las  dimensiones  de  un  terreno,  obteniendo:  largo  =  212,3  [m];                  ancho  =  33,13  [m].  Escriba  la  longitud  del  cerco  que  se  deberá  construir  para  cerrarlo completamente y el área del terreno, usando el número adecuado de cifras significativas. 

7. Para medir una cantidad  G, se realizan  20  mediciones un día dado, y  50  mediciones al día siguiente. Cada día se calcula el promedio y la desviación estándar correspondientes a las mediciones realizadas ese día, obteniéndose: 

Primer día: G1  =  8,7 [α]    y    σ1 = 0,3 [α] 

Segundo día: G2  =  8,7 [α]    y    σ2 = 0,1 [α] 

Determine el promedio y la desviación estándar del conjunto de 70 mediciones. 

8. Al estudiar el  tiempo de vaciado de un estanque a partir de un mismo nivel  inicial, se obtuvieron los siguientes valores, en [s]:        :   11,3       11,5       12,0       11,8       11,5       11,3       11,8       11,5       11,8       

11,5 vaciado [ ]t s

a) Dibuje un histograma de los datos, a intervalos de tiempos de vaciado de 0,2[s]. b) Calcule el error porcentual de la medición 12,0 [s] respecto al promedio. c) Calcule el promedio y la desviación estándar del conjunto de mediciones.   9.  Se han efectuado tres mediciones de cierta cantidad física  F. La primera dio el valor  F1 = 1,3 [a]. El error porcentual de  la segunda respecto al promedio resultó ser 20%.   El promedio de  ellas  coincidió  con  la  tercera medición.  Informe  del  resultado  de  estas mediciones  (en términos de valor medio y desviación estándar), con el número correcto de cifras.  

10. Se realizan siete mediciones del largo de un objeto y se ordenan de menor a mayor:    L1   <   L2   <   L3   ⋅ ⋅ ⋅  L6  <   L7. 

Luego de analizarlas, se observa que las mediciones están distribuidas simétricamente en  torno al  valor medio y, además, que la diferencia entre cada par de mediciones vecinas  (de acuerdo al ordenamiento indicado)  es constante,  tal que  i 1 iL L+ d− = . Calcule qué 

porcentaje de las mediciones están ubicadas en el rango que va desde   L ‐ σ  hasta  L +  σ. 

 

11. Calcule el largo mínimo, en metros, que debe tener una barra, si se desea cortar de ella 17 trozos de  2,40 [ft]  y  26 trozos de  3,6 [cm]. Considere que en cada corte se pierde un largo de 1[mm] de material.  

 

12. En  un  proceso  de  fabricación  de  bolas  de  acero  se  ha  medido  el  diámetro  de  100 

especímenes,  usando  un  instrumento  graduado  al  milímetro,  obteniéndose  los  siguientes 

resultados:       Suma de los 100 diámetros ≈ 153,25 [cm] 

      Suma de los cuadrados de los errores ≈  0,49 [cm2] 

De las siguientes expresiones: 

a) 1,5325[cm]        b)  (1,5325 ± 0,49) [cm] c) (1,53 ± 0,05) [cm]     d) (1,53 ± 0,07) [cm] 

¿Cuál es la que mejor representa el diámetro de las bolas de la muestra?  

 

Unidad III: Física Vectores y Trigonometría 

Trigonometría, calculo y representación basica 

1. En  cada  caso,  encuentre  los  valores  de  θ  en  las  restantes  funciones trigonométricas si: 

a) cos θ = 71; θ no está en  Q I.   

b) tan θ = − 5; θ no está en Q IV. 

c) sen θ = 87; θ no está en Q II.   

d) cos θ = −43; θ no está en Q II. 

e) tan θ = 8

15; cos θ > 0.    

f) sen θ = −135; tan θ < 0.  

g) cos θ = −4140

; sen θ > 0.    

h) tan θ = −724

; sen θ < 0.  

 2. En el círculo de la figura el radio r mide 1[u], siendo [u] una unidad de longitud. Los 

trazos mostrados en  la figura miden respectivamente: x[u],   y[u],   y’[u],   y   el arco que subtiende el ángulo θ mide s[u].  

r y

y’ s

xθ

 a) Demuestre que los números de medición pueden escribirse como: 

x cos= θ    y sen= θ            s = θ         y ' tan= θ   

b) Gráficamente muestre que para ángulos muy pequeños, se cumple que cos    y       

1θ ≈sen tanθ ≈ θ ≈ θ  

 3. Usando  funciones  trigonométricas,    determine  el  valor  de  x  e  y  en  los 

siguientes triángulos. 

40 [cm]

y

x 30°

              

12 [cm]

x y

53°

                 

40°

12[cm]x

y

 

4. En el triángulo ABC, CD es la altura del triángulo, BC = 10 [cm] y AB = 16 [cm].  a) Determine el área achurada de la figura. b) Calcule el ánguloα. 

30°

C

D BA α

 

5. Un método indirecto para medir la altura h de una montaña es sugerido en la figura: se miden la distancia horizontal l (que es accesible), y los ángulos   y α β .  a) Usando funciones trigonométricas, encuentre una expresión para la altura h en 

función de las cantidades medidas.  b) Suponga que en una medición la distancia   es 1,2[km] y los ángulos medidos 

fueron   ≈  4,5° y  β ≈  5,3°. Calcule la altura h y la distancia BC. l

α

α β

l A B

h

C  

 

 

Vectores representación gráfica, suma y resta vectorial 

6. Identifique  si  las  siguientes  cantidades  son escalares o vectores. Explique en  cada caso el criterio que usó para discriminar. 

a) Tiempo b) Fuerza c) Masa d) Volumen e) Velocidad f) Aceleración g) Temperatura h) Presión i) Densidad j) Momentum lineal k) Desplazamiento l) Distancia recorrida 

 

7. Dados los siguientes vectores:  kjia ˆˆˆ ++−= 32r

 ;  kjib ˆˆˆ 334 +−=r

  y  

kjc ˆˆ 4+−=r

.        Determinar: 

a) barr

−    

b)         cbarrr

23 +−

c)         cbarrr

32 •− )(d) bcb

rrr234 ×−− )(  

e) El  ángulo que forma el vector ar con cada uno de los ejes coordenados. 

f) El ángulo entre los vectores:   br

3  y   cr

2−   

8. Hallar las componentes rectangulares del vector a = 5u, en la dirección 30ª respecto al semieje positivo de las x. 

 

9. Sumar los vectores a y b de la siguiente figura   

 

 

 

 

10. Tres personas tiran de un cuerpo al mismo tiempo aplicando las siguientes fuerzas: F1 = 5N al Sur. F2 = 10N 30º al Sur‐Este y F3 = 7N 45º al Nor‐Este. Calcular por medio de componentes rectangulares, la fuerza resultante y la dirección a donde se mueve. 

 

11. Un vector M de magnitud 15 unidades, y otro vector N de magnitud 10 unidades se encuentran formando un ángulo de 60º. Encontrar el producto escalar y el producto vectorial. Sol: PE = 75 unidades y PV = 129,9 unidades. 

 

12. Cuatro  vectores  fuerzas  coplanarios  están  aplicadas  a  un  cuerpo  en  un  punto  0, como lo indica la figura. Hallar gráficamente su resultante. 

 

 

13. Dados los vectores A (2,4,‐2); B (‐1,3,2), determina: a. Expresa dichos vectores en función de sus componentes rectangulares. b. Determina el vector suma y su módulo. c. Calcula el vector  V= 2A‐B y su módulo. 

 

14. Dados los vectores: A (2,‐1,2)    B (4,0,‐2)    C (0,0,1) a) Expresa dichos vectores en sus componentes cartesianas. b) Determina el vector D= A +1/2 B –C. c) Efectúa  el producto escalar de A y B. 

 

15. Dados los vectores  A(3,0,‐1) y B(0,‐2,0) determina: d. El producto escalar e. El producto vectorial. 

 

16. Dados los vectores:  ya = 4 i - 3 j , b = 2 i + 4 j c = i - jˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆrr r  , escriba los vectores: 

             d = a + b - 2 cr rr r

  y   , tal que er

2a - 3 b - e = 0,5crr r r

 . 

   en función de   . Para cada uno calcule la magnitud y el ángulo que forma con el 

eje +x. 

yi j ˆ ˆ

3.  Dados los vectores: 

           = 2,0 i   + 1,5 j              = 1,2 i  + 0,9 j         ar

br

cr = 0,9 i  + 1,2 j            d

r= 2,4 i  + 1,8 j  

a)  Determine  cuáles  de  ellos  tienen  iguales  magnitudes,  y  cuáles  tienen  las  mismas direcciones. 

b)  Encuentre un vector unitario en la dirección de  ar . 

c)  Encuentre un vector unitario en la dirección de    br –  cr. 

4.  Dados  los vectores     a = 3  i + 4  j       y           b = 4  i + 3  j  , represente gráficamente cada vector. Represente gráficamente los vectores a+b y a‐b  , y determine el valor numérico de la expresión:   

   a b−rr

 –  a b+rr

 +  ar

 +  br. 

 17. Exprese  los vectores   A,   B,   C  , D y E en términos de  los vectores unitarios.   En  la 

figura cada cuadrado es una unidad.  

 

                                                              

E

DCB 

A

 

 

 

18. Dados A(5,3,4) y B=6i‐j+2k, calcular: a) su producto escalar  b) el ángulo que forman c) los cosenos directores del vector B. 

 

19. Se define el vector velocidad de un cuerpo como un vector que tiene la dirección y sentido  del movimiento,  y magnitud  igual  a  la  rapidez  del  cuerpo.  Considere  el vector velocidad  de cada uno de los cuerpos mencionados a continuación: 

• Una gota de lluvia cayendo verticalmente a 20[km/h]. • Una  persona  sobre  un  peldaño  de  una  escalera  mecánica,  que  se mueve  a 0,6[m/s], en un ángulo de 30° con la horizontal. • Un avión volando horizontalmente a 300[km/h], a diez mil pies sobre el suelo, y en dirección 30° al Este del Norte (N30°E). 

Para cada uno de los cuerpos mencionados:  

a) Escoja un símbolo para anotar el vector velocidad.  

b) Describa el vector en el formato: {magnitud [unidad], dirección y sentido}.  

c) Represente gráficamente cada vector, indicando en cada caso la escala escogida. (Por ejemplo: ancho de un cuadro de cuaderno equivale a 100[km/h]). 

20. En un parque nacional, para  llegar a  la casa B   del guardabosque se debe caminar 700 metros desde la entrada A, en dirección norte. Desde la casa  del guardabosque hay que caminar 1200 metros en dirección noreste (N45°E) para llegar a la guarida C de un oso.   a) Usando el cuadriculado de una hoja de cuaderno de matemáticas, defina una 

escala  de  distancias  adecuada  para  representar  los  desplazamientos    y  

. Usando esta escala dibuje los vectores desplazamiento   y    . 

ABdr

BCdr

ABdr

BCdr

b) Gráficamente encuentre el vector desplazamiento neto AC AB BCd d d= +rr r

.  

c) Usando los teoremas del seno y del coseno, calcule la magnitud y dirección del 

vector desplazamiento neto   ACdr

. 

 

21. En  la  figura,  la magnitud de  la  fuerza  4Fr es  4F 10[N= ]

r. Los otros vectores están 

dibujados usando la misma escala  .a) Mida los largos de los vectores 1F

r,   2Fr y  3Fr representados en la figura y calcule la 

magnitud de cada uno.  b) Escriba cada vector en la forma: {magnitud, dirección y sentido}.   c) Usando la regla del triángulo, dibuje el vector suma de los cuatro vectores, y a partir del gráfico encuentre su magnitud, dirección y sentido.  Ayuda: Para dibujar ángulos aproximados en papel cuadriculado use los diagramas dados en la figura al costado. 

≈ 53° ≈ 60°   

3Fr

45º

2Fr

53º 1Fr

30º

N E

4Fr

 22. Una lancha a motor es capaz de moverse con una rapidez de 16[km/h] con respecto 

al agua donde navega. Se transporta la lancha a un río navegable, en que el agua se mueve con rapidez constante de 12[km/h] con respecto a la orilla.  

    Se define el vector velocidad de la lancha respecto a la orilla como: 

Lancha respecto Lancha respecto Agua respecto a la orilla del agua a la orilla

V V V= +r r r

 

a) Usando el cuadriculado de una hoja de cuaderno de matemáticas, defina una escala de rapideces adecuada para representar los vectores velocidad en este problema.  

b) Determine gráficamente el vector velocidad de la lancha respecto a la orilla, y calcule a partir del gráfico  la magnitud,  la dirección y el sentido, en cada uno de los casos descritos a continuación, • Cuando la lancha navega contra la corriente. • Cuando la lancha navega a favor de la corriente.  • Si  el  capitán  de  la  lancha  apunta  la  proa  de  la  lancha  en  dirección perpendicular a la orilla. • Navegando de modo  tal, que avance perpendicular a  la orilla. ¿Cómo debe orientarse la proa de la lancha en este caso? 

  Unidad V: Propiedades Físicas  

1. En  la  figura  adjunta,  el  lado  del  cuadrado  exterior  varía  con  el  tiempo  según  la expresión  a  =  8  +  3t2,  en  donde  a  está  en  [cm],    y  el  tiempo  en  [s].  El  lado  b  del cuadrado interior varía con el tiempo según la tabla siguiente: 

 

b a t[s]  1  2  5  6 

b[cm]  10  15  30  60 

 

a) ¿Cuáles son las unidades de las constantes 8 y 3?  b) Calcule la rapidez media de cambio del área achurada, entre los instantes 2[s]  y  6[s]. c) Con la información disponible, ¿es posible calcular la rapidez media de cambio del área 

achurada, entre los instantes 2[s]  y 4[s]?  

2. Un  “pantógrafo”  está  formado  por  cuatro  varillas  de  igual  largo  L,  conectadas  por pasadores.    Uno  de  los  pasadores  está  fijo,  y  el  que  está  en  el  vértice  opuesto desciende con rapidez constante v, de modo que  la distancia   entre ellos varía con el tiempo según: 

s  = 2L – vt . 

pasador fijo

L

s  

 

Determine  la  rapidez  media de cambio del área del rombo formado por las varillas, 

entre el instante en que  s  =  L ,   y  el instante t = 2L v . 

 

3. El radio R de un globo esférico varía con el tiempo, siendo igual a 20 [cm] en t = 0. La 

rapidez media de cambio  Rv del radio se muestra en el gráfico adjunto, para  los dos 

intervalos de tiempo indicados. Se ha determinado que la rapidez media de cambio del 

área del globo, en el intervalo entre  t = 0 y 3T es  igual  a   .  280 [cm / s]π

  a) Calcule el valor de T  

  b) Haga un gráfico de R en función del tiempo.  

T 3T t [s]

R [cm / s]v

0

20

T

20

T−

 

4. Un vehículo se mueve a lo largo de un camino recto. La distancia recorrida, medida por el cuenta‐kilómetros del vehículo, varía con el tiempo según el gráfico adjunto. 

800

600

400

200

Distancia recorrida [m]

Tiempo [segundos]

0 1601401200 20 40 60 80 100

 

a) Explique por qué el gráfico es una curva, siendo que el camino es recto. 

b) Describa en palabras el movimiento del vehículo, estableciendo cuándo el movimiento es más rápido, y cuando la rapidez cambia más rápidamente. 

c) Explique  en  palabras  cómo  puede  obtener  a  partir  de  este  gráfico:  la  rapidez media ventre dos  instantes dados,  la  rapidez  instantánea  v  en un  instante dado,  y  la  aceleración media a  entre dos instantes dados. 

d) ¿Puede la rapidez ser negativa? Fundamente su respuesta.  

e) Calcule la rapidez media del vehículo en el intervalo entre 0 y 160[s]. 

f) ¿Existe algún intervalo de tiempo para el cual la rapidez del vehículo sea constante? Si su respuesta es NO, explique cómo llegó a esta conclusión. Si su respuesta es SÍ, encuentre dicho intervalo.  

g) Calcule aproximadamente la rapidez instantánea v del cuerpo en t = 80[s]. Compare este valor con la rapidez media entre 0 y 80[s]. 

h) ¿En qué instantes o intervalos de tiempo es cero la rapidez del vehículo? 

i) Calcule  la aceleración media para  los siguientes  intervalos de  tiempo: entre 0 y 50[s], y entre 50[s] y 120[s]. ¿Qué relación existe entre el signo de la aceleración y el movimiento del vehículo? 

j) Haga un gráfico cualitativo de la rapidez instantánea en función del tiempo.  

 

5. Un  tren  recorre 300[km] en  cierto  intervalo de  tiempo, y en otra ocasión  recorre  la misma distancia en 30[min] más, por haber disminuido su rapidez media en un 10%. 

a. Calcule  el tiempo empleado en el primer viaje. b. Calcule la rapidez media en el segundo viaje. 

6. Una  niña  demora  30  segundos  en  subir  caminando  por  los  peldaños  de  una  escala mecánica  detenida.  En  cambio,  cuando  la  escala  está  en movimiento  hacia  arriba  y además  la  niña  camina hacia  arriba por  los peldaños, demora  sólo  10  segundos  en subir  la escala. Suponga que  la niña  siempre  camina por  los peldaños  con  la misma rapidez  constante.  ¿Cuánto demoraría  la niña en  subir  si  se queda parada  sobre un peldaño de la escala en movimiento?    

7. Suponga que un  camión  sale  al mediodía desde  Santiago hacia  el  sur, manteniendo una  rapidez  constante  de  50[km/h]. Un  automóvil  sale  de  Concepción  a  las    13:00 horas  y  viaja  hacia  el  norte  con  rapidez  constante  de  100[km/h].  La  distancia  por carretera entre Santiago y Concepción es aproximadamente 500[km]. 

a. Represente, en un mismo gráfico,  la distancia a Santiago de cada vehículo en función del tiempo, para el intervalo de tiempo entre el mediodía y el instante en que uno de los dos llega a su destino.  

b. Usando el gráfico construido:  • Identifique el punto en que los dos vehículos se cruzan, y determine a qué hora y a qué distancia de Santiago ocurrió el cruce. • ¿Qué distancia recorrió cada vehículo desde que salió hasta que se cruzaron? • ¿A qué hora llega el camión a Concepción, y el automóvil a Santiago? • ¿A qué distancia de su destino se encontraba uno de los móviles en el instante en que el otro llegaba a su destino? • ¿A qué hora(s) el camión estaba a 150[km] del automóvil? 

 

8. Un camión sale de Santiago a las 13:00 horas hacia el sur manteniendo una rapidez constante de 72 [km/h]. A  las 14:30 horas, un automóvil sale de Santiago también hacia el sur, manteniendo una rapidez constante de 108[km/h].  

a) Encuentre expresiones algebraicas para la distancia a Santiago de cada vehículo, en función del tiempo t. Indique el rango de validez de estas ecuaciones, si ambos vehículos viajan a Concepción, ubicado aproximadamente a 500 kilómetros de Santiago. 

b) En cierto instante el automóvil alcanza al camión. Usando las expresiones halladas ¿qué condición debe cumplirse en ese instante?  

c) Use la condición de la pregunta anterior para calcular a qué hora y a qué distancia de Santiago el automóvil alcanza al camión. 

 

9. Un objeto se mueve en línea recta. Su rapidez instantánea v varía con el tiempo de acuerdo al gráfico adjunto. 

 

4

3

2

1

Rapidez [m/s]

Tiempo [s]

0 0,8 0,7 0,6 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

 a. Describa el movimiento del cuerpo en el intervalo mostrado: diga cuándo va 

más  rápido,  y  cuando  su  rapidez  cambia más  rápidamente.  (Observe  en particular el instante en que v = 0).  

b. Calcule la aceleración de cuerpo en cada intervalo de tiempo.  

c. Calcule la distancia recorrida por el cuerpo en cada intervalo de tiempo. 

d. Escriba una expresión algebraica para la distancia recorrida desde t=0, hasta un instante cualquiera t. Tome en cuenta que la aceleración no es la misma en diferentes intervalos de tiempo.