GUIA DE ESTUDIO

201402

CLCULO EN VARIAS

VARIABLES

Mdulo

1 Funciones de Varias Variables

Dominio, curvas de nivel y grfica de funciones 1.1

FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES

Conociendo hasta aqu funciones como (asocia a cada nmero real x otro nmero real) y

(asocia a cada nmero real x un vector), ahora nuestro inters se centra en funciones

como las siguientes:

(2 variables independientes) (3 variables independientes)

Para darnos una idea, respecto a la segunda funcin:

Al conjunto de ternas ordenadas de se le denomina dominio.

CURVAS DE NIVEL

Para dibujar la superficie correspondiente a la grfica de una funcin (de dos variables) con

frecuencia se presentan dificultades. Los dibujantes de mapas nos han legado una forma diferente y ms

fcil de representar una superficie llamada mapa de contorno.

Para esto deberemos atender las siguientes consideraciones:

Cada plano intersecta la superficie de una curva.

La proyeccin de esa curva sobre el plano xy se denominaremos curva de nivel.

Ejercicio 1 Una pastelera produce chocolate blanco y chocolate bitter. El costo de material y

mano de obra para producir un kilo del chocolate blanco es y el del bitter es .

Suponga que la empresa tiene costos fijos semanales de .

a) Modele el costo semanal como funcin de la cantidad de kilos de chocolates de cada

tipo producido a la semana.

b) Si la pastelera vende el kilo de chocolate blanco a y el bitter a , modele la

funcin utilidad mensual como funcin del nmero de kilos de cada tipo producidas y

vendidas a la semana.

Ejercicio 2 Una cafetera ofrece brownies y pastelillos. Se ha estimado que si se vende cada

brownie a nuevos soles y cada pastelillo a nuevos soles, la ecuacin de

demanda de los brownies estar dada por ( ) , en tanto

que, la ecuacin de demanda de los pastelillos por ( ) al

da. Exprese el ingreso diario de la compaa en funcin de y .

Ejercicio 3 Determine el dominio de las siguientes funciones y represntelo grficamente en el

plano

a) ( ) .

b) ( ) | | .

c) ( ) ( ).

d) ( ) .

e) ( ) .

f) ( ) | | | |

Ejercicio 4 Determine y grafique las curvas de nivel (mapa de contorno) de las siguientes

funciones

a) ( ) .

b) ( ) | | .

c) ( )

.

d) ( )

.

e) ( ) .

f) ( ) .

Ejercicio 5 Si ( )

es la temperatura en un punto ( ) del plano, y las curvas de nivel

de son conocidas como isotermas. Dibuje las curvas isotermas para

Ejercicio 6 Si ( )

( ) ( ) es el voltaje en un punto ( ) del plano , y las curvas

de nivel de son conocidas como curvas equipotenciales, dibuje las curvas

equipotenciales para

Ejercicio 7 [EF 2014-01] Sea la funcin ( ) | | | |

a) Grafique el mapa de contorno de la funcin . b) Esboce la grfica del dominio de la funcin

Ejercicio 8 [EF 2014-00]Dada la funcin ( ) , elabore un mapa de

contorno (curvas de nivel) de .

Ejercicio 9 Relacione cada mapa de curvas de nivel de la Fila 2 con la respectiva ecuacin de la

Fila 1.

Fila

1 A B C D

| | | |

Ejercicio 10 [EP 2014_01] A continuacin se muestra las curvas de nivel (circunferencias para

) y las trazas (parbolas) de una superficie sobre los planos y

Realice un esbozo de la superficie y escriba la ecuacin ( ) de dicha

superficie.

Ejercicio 11 [EF 2013-02] Sea la funcin

( ) ( )

| | | |

a. Grafique el dominio de la funcin . b. Cul de las siguientes grficas representa a la curva de nivel 0 de la funcin ?

(justifique su respuesta)

a. b.

.

d.

.

c.

Ejercicio 12 Identifique y formule la ecuacin de cada superficie representada en las grficas

siguientes:

Ejercicio 13 Identifique y formule la ecuacin de cada superficie representada en las grficas

siguientes:

Ejercicio 14 Considere las superficies (para ) cuyas ecuaciones son

a) Grafique las superficies en un mismo sistema de coordenadas. b) Bosqueje la regin limitada por dichas superficies. c) Grafique la proyeccin de sobre los planos coordenados.

Ejercicio 15 Sea es la regin limitada por los planos y el cilindro parablico

a) Bosqueje la regin limitada por dichas superficies.

b) Grafique la proyeccin de sobre el plano .

Ejercicio 16 Sea es la regin limitada por superficies y

a) Bosqueje la regin limitada por dichas superficies.

b) Grafique la proyeccin de sobre el plano .

Ejercicio 17 Sea es la regin limitada por la parte del cilindro , ubicada en el primer

octante y situada entre los planos verticales y

a) Bosqueje la regin limitada por dichas superficies.

b) Grafique la proyeccin de sobre el plano .

Ejercicio 18 Sea es la regin limitada por la parte de la esfera limitada por el

cilindro

a) Bosqueje la regin limitada por dichas superficies.

b) Grafique la proyeccin de sobre el plano .

1.2 Derivadas parciales de primer orden

Para una funcin de dos variables las derivadas parciales se hallan de la siguiente forma:

Derivada parcial: Procedimiento

Se mantiene constante la variable y se deriva respecto de la

variable

Se mantiene constante la variable y se deriva respecto de la

variable

Algunas reglas de derivacin que es necesario recordar. Para una funcin real de variable real y

diferenciable

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5.

6. Derivada de un producto de dos funciones diferenciables

7. Derivada de un cociente de dos funciones diferenciables

8. Para una funcin de la forma donde y son dos funciones

diferenciables y recuerde que

Ejercicio 1 Calcule las derivadas parciales de primer orden de las funciones siguientes: a) ( ) .

b) ( ) ( ).

c) ( )

( ) ( ).

d) ( )

( ) .

e) ( )

f) ( ) ( ) .

g) ( )

( )

h) ( ) ( ).

i) ( ) .

Ejercicio 2 Si (

) demuestre que

Ejercicio 3 Si ( ) demuestre que

Ejercicio 4 Sea la funcin ( ) (

) (

) calcule

Ejercicio 5 Sea la funcin ( ) (

) verifique que se cumple

Ejercicio 6 Sea la funcin ( ) ( )( )( ) verifique que

Ejercicio 7 Sea la funcin ( ) verifique que

Ejercicio 8 Sea la funcin ( ) ( ) (

) verifique que

Ejercicio 9 [EF 2013-00] La ley de los gases ideales (en la que los nmeros y

toman valores constantes) relaciona las variables de presin , volumen y

temperatura de un gas.

a. Explicite (despeje) cada una de las tres variables como funcin de las otras dos.

b. Demuestre que (

) (

) (

)

Ejercicio 10 Sea la funcin definida por ( ) . Determine el valor de la constante

para que satisfaga la siguiente ecuacin

(

( )).

Ejercicio 11 En una fbrica la produccin est relacionada con la cantidad de los insumos e

por la relacin . Determine la razn de cambio de la produccin

respecto de cada uno de los insumos cuando los niveles de estos son de 20x e

10y . Adems de una interpretacin a su resultado.

Ejercicio 12 El volumen V (en ) de 1mol de un gas ideal est dado por la expresin V

82.06TV

P donde P es la presin (en atmsferas) y T es la temperatura absoluta

(en grados Kelvin). Determine las razones de cambio del volumen de 1 mol de un gas

ideal con respecto de la presin y la temperatura cuando la temperatura es de 300

K y la presin de 5 atmsferas.

Ejercicio 1 En cada caso halle du

dt

a) , 2sin( ), cos( ) u xy x t y t

b) 2cos( ), , 1 u x y x t y

c) ln , cos , sin y

u x t y tx

d) 2 2 2, cos , sin , t t tu x y z x e t y e t z e

e) 2cos , , sin , arccos u xy z x t y t t z t

f) 2, 1, 1, u xy xz yz x t y t z t

Ejercicio 2 En cada caso halle u

s

y

u

t

a) 3 23 , , s tu y x y x e y e

b) 2 2, cos , sinu x y x s t y s t

c) sin(2 3 ), , u x y x s t y s t

d) 2 2

, cos , 2x

u x s t y s tx y

e) 2 2 2, 3 , 2 , 2u x y z x s t y s t z s t

f) 2 2 34 , , . u x y x st y s t

Ejercicio 3 Sean las funciones ( ) ( ) y ( )

( ) ( ) Calcule

( )

Ejercicio 4 Sean , donde cos , sen ,r r tx e t y e t z e halle las siguientes

derivadas w

r

y

w

t

, luego evale las funciones resultantes cuando y .

Ejercicio 5 Sea ( ) ( ) una funcin diferenciable en ( ) , donde

Calcule ( ) sabiendo que

( )

( ) y ( ) .

Ejercicio 6 Sean

donde halle las siguientes derivadas

y

.

Luego evale las funciones resultantes en

.

Ejercicio 7 Sean (

) y una funcin diferenciable. Verifique que

1.3 Regla de la cadena y diferencial total

Ejercicio 8 Considere una funcin f real de variable real y defina la funcin 2 2z y f x y .

Si se cumple la igualdad z z

y x ax bx y

para cualquier valor de x e y ,

determine el valor de .a b Ejercicio 9 Sea ( ) ( ) donde ( ) y .

Calcule

en

Ejercicio 10 Sea ( ) donde es una funcin real de variable real. Demuestre que se

cumple

.

Ejercicio 11 En un instante dado, la longitud de un cateto de un tringulo es 20 pies y est

aumentando a razn de 2 pies/s, y la longitud del otro cateto es 24 pies y est

disminuyendo a razn de 4 pies/s. Calcule la rapidez de cambio de la medida del

ngulo agudo opuesto al cateto de longitud de 24 pies, en el instante dado.

Ejercicio 12 [PC REZ 2014-01] La temperatura en un punto ( ) de una regin del plano es

( ), medida en grados Celcius. Una hormiga se desplaza de modo que su

posicin despus de segundos est dada por ;

, donde

e se miden en centmetros. La funcin de temperatura satisface ( ) y

( ) .

a) Modele la expresin que describa la rapidez de cambio de la temperatura despus

de 3 segundos.

b) Determine la rapidez con la que est subiendo la temperatura en la trayectoria de

la hormiga despus de 3 segundos.

Ejercicio 13 La produccin de trigo , en un ao dado, depende del promedio de teperatura y la cntidad de lluvia anual . Los expertos estiman que el promedio de temperatura est subiendo a razn de C/ao y la lluvia est decreciendo a razn de cm/ao.

Tambin se estima que, a los niveles actuales de produccin

y

Estime la razn de cambio de la produccin de trigo.

Ejercicio 14 Una caja rectangular cambia su tamao tal que su longitud crece a razn de 3cm/s,

su ancho decrece a razn de 2cm/s y su altura a razn de 1cm/s. Cul es la rapidez

de variacin del volumen de la caja en el instante que su longitud es de 15cm, ancho

de 10cm y altura de 8cm?

Ejercicio 15 El radio de una circunferencia disminuye a razn de 2cm/s y la altura de un tringulo

issceles inscrito en tal circunferencia disminuye a razn de 1cm/s. Halle la rapidez

con la que vara el rea del tringulo issceles inscrito en el instante que el radio de

la circunferencia es de 40cm y la altura del tringulo de 75cm.

Ejercicio 16 Determine el diferencial total de cada una de las siguientes funciones:

a) 2 3, 5f x y x y .

b) , /f x y y x .

c) 2, , 2 3 f x y z z sen x y .

d) 3 4, , 2 5 6 f x y z x y z .

e) 2 2, ln 3 2 f x y x y x .

Ejercicio 17 El radio de la base y la altura de un cono circular recto miden 10cm y 25cm, respectivamente, con un posible error en la medicin de 0,1cm. Utilice diferenciales para estimar el error en el clculo del volumen del cono.

Ejercicio 18 La potencia calorfica disipada, en vatios, en una resistencia elctrica viene modelada

por la expresin

. Si voltios y ohmios, determine la variacin

que experimenta la potencia cuando y disminuyen en 5 voltios y ohmios,

respectivamente.

Ejercicio 19 Considere el rectngulo de dimensiones 15 cm y 24 cm. Si el lado menor se

incrementa en 3mm y el lado mayor se reduce en 2,5 mm, determine la variacin

aproximada del rea del rectngulo.

Ejercicio 20 Una lata de metal en forma de cilindro circular recto, con tapa debe ser fabricada con

las siguientes especificaciones: una altura interior de pulgadas, radio interior

pulgadas y espesor pulgadas. Si el costo del metal que va ser usado es de

por pulgada cbica, use diferenciales para calcular el costo del metal que se usar en

la fabricacin de dicha lata.

Ejercicio 21 La energa cintica de un cuerpo con masa y velocidad es

. Utilice

diferenciales para determinar el cambio aproximado en la energa cintica si la

velocidad aumenta de a y la masa del cuerpo se reduce de gr a

gr.

Ejercicio 22 En cierta fbrica la produccin diaria es de 1/2 1/360Q K L unidades, donde K

designa al capital invertido (en millares de euros) y la fuerza laboral (en horas de

trabajo). En la actualidad, el capital invertido es de 900 000 euros y se emplean cada

da 1 000 horas de trabajo. Estime la variacin de la produccin que resultar de

aumentar la inversin en 1 000 euros y disminuir en 2 el nmero de horas de trabajo.

Ejercicio 23 Una lmina metlica, de forma triangular, tiene 15cm de base y 20 cm de altura. Se calienta en un horno durante un tiempo, al sacarla del horno su base se ha incrementado en cm y su altura en cm. Use diferenciales para determinar el valor aproximado del incremento del rea de la lmina metlica.

Ejercicio 24 La presin, volumen y temperatura de un mol de un gas ideal estn relacionados por la ecuacin donde P se mide en kilo pascales, V en voltios y T en grados Kelvin. Determine el cambio aproximado en la presin si el volumen aumenta de 12 litros a litros y la temperatura se reduce de 345 K a 330 K.

Ejercicio 25 La inductancia L (en microhenrys) de un hilo recto no magntico en el vaco est

dada por ( (

) ), donde es la longitud del hilo en milmetros y

es el radio de una seccin transversal circular. Se tiene un hilo recto de 100 mm de longitud con una seccin transversal circular de 2 mm de radio, determine la variacin

aproximada de cuando aumenta a

mm y disminuye en

mm.

Ejercicio 26 El periodo T de un pndulo de longitud L es

, donde es a aceleracin de

la gravedad. Un pndulo se lleva de la zona del canal de Panam, donde a Groenlandia donde . Debido al cambio en la temperatura, la longitud del pndulo cambia de pies a pies. Aproxime el cambio en el perodo del pndulo.

Ejercicio 1 Un cilindro circular recto tiene 4 cm de radio y 20 cm de altura. Determine la razn de cambio del volumen del cilindro respecto del radio y respecto de la altura.

Ejercicio 2 Una medida de cmo siente una persona el calor lo da el ndice de temperatura aparente, que admite como modelo ( ) donde

es la temperatura aparente en grados centgrados, es la temperatura del aire y la humedad relativa en forma decimal. Cuando la temperatura del aire es de 37oC y la humedad relativa de 80%,

a) Determine e intrprete A

t

y .A

h

b) Qu influye ms sobre A , la temperatura del aire o la humedad relativa? Justifique su respuesta.

Ejercicio 3 Una empresa produce dos modelos de un mismo producto. El costo de produccin de

unidades del primero e unidades del segundo viene dado por

( ) Calcule los costos marginales

y

cuando se producen 80 unidades del primer modelo y 20 unidades del segundo.

Ejercicio 4 Una barra de metal de un metro de largo se calienta de manera irregular y de forma

tal que a metros de su extremo izquierdo y en el instante minutos, su temperatura

en grados centgrados esta dada por

( ) ( ) con

a) Calcule

y explique qu indica el signo que tiene esta derivada parcial.

b) Calcule e interprete ( )

Ejercicio 5 La funcin de produccin de un producto elaborado por cierta empresa est dada por

( ) unidades, donde es el tamao de la fuerza laboral, medido en

horas trabajador por semana, y es el monto de capital invertido por semana en

nuevos soles. Determine las productividades marginales cuando y

Ejercicio 6 Un almacn de pinturas vende dos tipos de marcas de pinturas. Las cifras de venta

demuestran que si la primera marca se vende a x dlares por galn y la segunda a y

dlares por galn, la demanda de la primera marca ser de2( , ) 200 10 20Q x y x y galones por mes. Se calcula que dentro de t meses el

precio de la primera marca ser de 5 0.02x t dlares por galn y el precio de la

segunda marca de 6 0.4y t dlares por galn. A qu razn cambiar la

demanda de la primera marca de pintura con respecto al tiempo en el noveno mes?

Ejercicio 7 La temperatura del casco de la nave, cuando l est en la posicin ( ) viene

dada por ( ) , donde y vienen dados en metros. Si

actualmente est en el punto ( ), determine la razn de cambio de la

temperatura respecto de y

1.4 Razn de cambio

Ejercicio 8 Se tiene una esfera de radio R en la cual se inscribe un cono recto cuyo radio de la

base es r (ambos radios estn variando con el tiempo)

a) Halle el volumen del cono como una funcin de los radios R y r. b) Halle la razn de cambio del volumen del cono respecto de cada uno de los radios R y r cuando el radio de la esfera es de 10cm y el radio de la base del cono es de 6cm. c) Si adems el radio de la esfera disminuye a razn de 2cm/s. y el radio del cono aumenta a razn de 1cm/s. Halle la velocidad con la que vara el volumen del cono en el instante mencionado en el tem b).

Ejercicio 1 Para las siguientes funciones, calcule la direccin de mximo crecimiento de ( )

en el punto , la derivada direccional de en y en la direccin del vector , y la

tasa de crecimiento de (el valor mximo de ( ).)

a) ( )

, en ( ), ( ).

b) ( )

, en ( ), ( ).

c) ( ) (

) en ( ), .

d) ( ) , en ( ) , forma un ngulo de

rad con el eje .

e) ( ) ( ), en ( ), forma un ngulo de

rad con el eje .

Ejercicio 2 Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de cada una de las siguientes

proposiciones. Justifique su respuesta.

a. La derivada direccional de la funcin ( ) en el punto ( ) y en la

direccin paralela al vector ( ) es .

b. La direccin donde la derivada direccional de la funcin ( ) en el

punto ( ) es mxima es paralela al vector ( ).

Ejercicio 3 [EF 2014-01] Dada la funcin

( )

a) Determine el vector gradiente de en el punto ( ). b) Determine la derivada direccional mxima de en el punto ( ).

Ejercicio 4 [EF 2014-00] Dada la funcin ( )

a) Determine el vector gradiente de en punto ( )

b) Calcule la derivada direccional de en el punto ( ) en la direccin del vector

( ).

Ejercicio 5 Una lmina de metal plana se encuentra en un plano y su temperatura T

(en

grados Celcius) en un punto ( ) est dada por la siguiente expresin

2

2 210T x y (donde x , y se miden en centmetros). Calcule la razn de cambio

de la temperatura en la posicin 1;2 en la direccin paralela al eje

Ejercicio 6 En cierta montaa, la altura en metros, sobre el nivel del mar en la que se

encuentra un alpinista, viene dada por la expresin Un

alpinista se encuentra en el punto ( ). Sean ( ) y ( ) dos

puntos en el plano .

a) Determine la razn de cambio de , si el alpinista se mueve desde el punto ,

siguiendo la trayectoria del vector que va del punto al punto .

b) Una vez que llegue el alpinista al punto , determine la direccin en la que debe

moverse para que ascienda a la cima lo ms rpidamente posible.

Derivada direccional y gradiente 1.5

Ejercicio 7 [PC REZ 2014-01] La temperatura en un punto ( ) de una regin del plano es

( ), medida en grados Celcius. Una hormiga se desplaza de modo que su

posicin despus de segundos est dada por ;

, donde

e se miden en centmetros. La funcin de temperatura satisface ( ) y

( ) . Determine en qu direccin debe desplazarse la hormiga para que corra

el riesgo de morir calcinada, despus de 3 segundos.

Ejercicio 8 Sea la funcin definida por ( )

.

a) Si la grfica de ( ) es una colina, hallar la direccin del mximo crecimiento, si

se parte del punto (

).

b) Una persona camina sobre la colina partiendo del punto (

) en direccin al

punto (

), determine la razn de cambio instantneo de la temperatura del

medio ambiente dada por ( ) .

Ejercicio 9 [EF 2014-00] Dada la funcin ( ) .

a) Determine el vector gradiente de en punto ( )

b) Calcule la derivada direccional de en el punto ( ) en la direccin del vector

( ).

Ejercicio 10 Si la temperatura, en grados centgrados, de un depsito cilndrico viene dada por la

funcin

( ) ( )

y nos situamos en el punto de coordenadas ( )

a) Determine la razn de cambio de la temperatura al desplazarnos hacia el punto de

coordenadas ( )

b) En qu direccin debemos movernos para que la temperatura disminuya lo ms

rpidamente posible. Y para que aumente?

Ejercicio 11 [EF 2014-01] Sea la funcin ( ) | | | | Encuentre una expresin para la

derivada direccional de la funcin en un punto ( ) del primer cuadrante y en la

direccin del vector ( ). En alguno de los puntos del primer cuadrante la

derivada direccional hallada no existe? Justifique su respuesta.

Ejercicio 12 La superficie de una laguna se representa mediante una regin del plano y su

profundidad (en metros) en un punto de la superficie con coordenadas ( ) ( e

tambin en metros) est dada por la funcin ( ) . Una

persona se encuentra bajo la superficie del lago en las coordenadas ( ) en qu

direccin debe nadar la persona para estar ms rpidamente en la superficie?

Ejercicio 13 [EF 2013-02] Un cisne se encuentra en la

superficie de un lago, el fondo de este puede

ser descrito aproximadamente por la funcin

( ) , (considere la

superficie del lago completamente plana y

contenida en el plano . Adems asuma que

cada unidad en los ejes equivale a un metro).

El cisne se encuentra ubicado en el punto

( ).

a. A qu distancia del fondo del lago se encuentra el cisne? b. En qu direccin debe nadar para que la profundidad debajo de l disminuya lo

ms rpido posible? c. Existe alguna direccin que deba seguir el cisne para que no cambie la

profundidad?

Ejercicio 14 La distribucin de temperatura en un cuarto est dada por la funcin ( )

.

Si una persona se encuentra parada en el punto ( ) en qu direccin debe

caminar para tener ms calor?

Ejercicio 15 Un equipo de oceangrafos est elaborando un mapa del fondo del mar para intentar

recuperar un barco hundido. Por medio de un sonar desarrollan un modelo que

representa la profundidad del mar ( ) (

) en metros,

donde e denotan las distancias (en kilmetros) al centro de observacin y

representan las coordenadas en la superficie de un punto a la profundidad ( , )h x y . El

sonar encuentra que el barco est ubicado en las coordenadas ( ), halle

a) A qu profundidad se encuentra el barco hundido b) La direccin que escogieron los oceangrafos para sacar el barco ms

rpidamente.

Ejercicio 16 Una colina est aproximada por la grfica de la funcin 2 2( , ) 74 7 4f x y x xy y .

El eje seala hacia el norte y el eje hacia el este. Una hombre se encuentra

ubicado en el punto ( 1,5,8) sobre la colina

a) Si el hombre se mueve hacia el noroeste est subiendo o bajando? b) En qu direccin se debe desplazar para descender ms rpidamente de la

colina?

Ejercicio 17 La elevacin de una montaa (en metros) sobre el nivel del mar esta descrita por

una funcin ( ), donde en el sistema de coordenadas se considera que el eje

seala al ESTE y el eje seala hacia el NORTE. Un montaista se encuentra

ubicado en un punto sobre la montaa y quiere descender lo ms rpidamente

posible, para ello realiza el siguiente experimento: suelta una partcula en el punto P y

nota que se desplaza a una tasa de

metros por cada metro en direccin norte y a la

misma tasa se desplaza en la direccin este. Halle:

a) La razn de ascenso o descenso del montaista si decide moverse en direccin noreste.

b) La direccin en la que debe moverse el montaista para obtener el descenso ms rpido

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