Guıa No 5

1. El gerente del hotel Bon Resort, cree que la cuenta promedio para los huespedes es comomınimo de $400. La poblacion sigue una distribucion normal con una desviacion estandarde $60. Establezca la regla de decision para un nivel de significacion del 0.15, si se estudiauna muestra de 49 cuentas. Si la media muestral es de $375, ¿a que conclusion llegarael gerente?. Calcule el valor p. ¿Cual es la probabilidad de error tipo II si el promediopoblacional es en realidad $375?

2. En una planta de armado se disena una operacion especıfica la cual toma un tiempopromedio de 5 minutos. El gerente de la planta sospecha que para un operador en particularel tiempo promedio es diferente. El gerente toma una muestra de 8 tiempos de operacionpara este empleado y obtiene los siguientes resultados (en minutos):

4.8 5.6 5.3 5.2 4.9 5.7 4.9 4.6.

Si se supone que el tiempo de operacion se encuentra modelado en forma adecuada poruna distribucion normal: ¿Se encuentra la sospecha del gerente apoyada por la evidenciacon α = 0.02?.¿Cual es el valor p ?

3. El fabricante de la motocicleta Ososki anuncia que esta promediara 87 millas por galon enviajes largos. Los millajes en 7 viajes largos fueron: 88 82 87 80 78 79 89.

Con un nivel de significacion de 0.05 ¿es el milaje promedio menor que el anunciado de 87millas por galon?

4. Se le ha pedido a un profesor de estadıstica en la universidad que desarrolle un sistemapara determinar cuales son los clientes rentables de un banco. El banco contrato al profesordespues que la direccion leyera un artıculo sobre nuevos trucos para gerentes en BankersMonthly .Este artıculo presenta las maneras de mejorar el rendimiento de los banqueros yde generar mayores ganancias. La direccion desea obtener un perfil detallado del clienterentable, por lo que el profesor comienza por estudiar la rentabilidad. Cinco anos antes sehizo un estudio que indico un promedio de cargos por servicios en cuentas corrientes deUS$3.20, con una desviacion estandar de US$0.40. El profesor esta interesado en detectaruna situacion para la que el cargo promedio por servicios sea mayor o menor que US$3.20.¿Cuales serıan sus conclusiones para un nivel de significacion de 0.01 si una muestra de100 cuentas tiene una media de cargos por servicio de US$3.50?

5. Un productor de broches metalicos espera enviar al mercado un promedio de 1200 cajaspor dıa. Un analisis de los cargamentos en los ultimos 30 dıas senala una media x = 1186cajas por dıa y una varianza de S2 = 2480 por dıa.

(a) Establezca las hipotesis que le permitan determinar al productor si existe evidenciaque indique que el promedio de la demanda diaria de los artıculos esta bajando.

(b) Obtenga la region de rechazo para α= 10%, realice la prueba, obtenga valor p.

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6. Un estudiante universitario comun consume en promedio 27 galones de cafe cada ano, o2.25 galones al mes. Una muestra de 12 estudiantes de una universidad revelo los siguientesconsumos de cafe durante el mes pasado:

1.75 1.96 1.57 1.82 1.69 1.85 2.43 2.65 2.60 2.24 2.66

Para un nivel de significacion de 0.05 ¿existe alguna diferencia significativa entre la canti-dad promedio consumida en dicha institucion y el promedio nacional?

7. Un investigador agrıcola creıa que el numero medio de acres que los hacendados de undeterminado estado dedicaban a cierto cultivo era inferior a 6. El investigador envio porcorreo un cuestionario a una muestra de 25 hacendados de ese estado, en que les solicitabainformacion sobre el numero de acres sembrados. La media y la desviacion estandar parala muestra fue de 5 y 1.5 acres respectivamente. ¿A un nivel de significacion 0.05, sirvenestos datos al investigador?. ¿Cual es el valor-p para esta prueba?

8. Una nueva empresa dedicada al cuidado de peso, Weight Reducers International, anunciaque todos los que se inscriban perderan, en promedio, 4.5 kilos en las primeras dos semanas.Una muestra aleatoria de 50 personas inscritas al programa revelo que la perdida mediade peso fue de 4 kilos. La desviacion estandar de la muestra se calculo en 1.27 kilos. A unnivel de significacion del 5%, ¿es posible concluir que aquellos que se unen al programa dereduccion de peso perderan mas de 4.5 kilos? Determine el valor p.

9. Cada semana la policıa del estado de Florida intercepta unpromedio de $56 millones endrogas que se transportan hacia el norte por una carretera interestatal. Durante 36 se-manas elegidas al azar en un ano, la policıa intercepto un promedio de $60 millones endrogas por semana, con una deviacion estandar de $20 millones. ¿Indica esta evidenciamuestral un aumento en el movimiento de drogas a traves de Florida?. Realice una pruebacon un nivel de significacion de 0.05. Calcule la probabilidad de que ocurra error tipo IIsi la media poblacional es en realidad $59 millones.

10. A una muestra aleatoria de 400 votantes de una cierta ciudad se le pregunta si esta a favorde un impuesto adicional a la venta de gasolina para proporcionar ingresos necesarios paraefectuar trabajos de reparacion de calles. Si mas de 220 pero menos de 260 estan a favordel impuesto, se concluira que el 60% de los votantes esta a favor.

(a) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo I si 60% de los votantes esta afavor del nuevo impuesto.

(b) ¿Cual es la probabilidad de cometer un error tipo II al utilizar este procedimiento deprueba si solo 48% de los votantes esta a favor del nuevo impuesto?

11. En el ejercicio anterior, suponga que se concluye que el 60% de los votantes esta a favordel nuevo impuesto a la gasolina, si mas de 214 pero menos de 266 votantes en el ejemploestan a favor. Demuestre que esta nueva region de no rechazo resulta en un valor maspequeno para α a costa de incrementar β.

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12. En un estudio de los habitos de fumar realizado hace 5 anos se registro que el 20 % de unacomunidad eran fumadores frecuentes. Para determinar si este porcentaje ha cambiado ,se considero una muestra aleatoria de 500 personas, y se encontro que 91 de ellas fuman.

(a) Indican estos datos que la proporcion de fumadores ha bajado ?.( α = 0.05)

(b) Determine el valor-p de la docima.

13. Un productor farmaceutico compra un ingrediente especıfico de dos proveedores difer-entes.El nivel promedio de impurezas en la materia prima es aproximadamente lo mismoen ambos proveedores pero al productor le interesa la variabilidad de las impurezas deun envıo a otro. Si el nivel de impurezas de una fuente de suministro tendiera a variarexcesivamente, esto podrıa afectar la calidad del producto farmaceutico. Para comparar lavariacion en el porcentaje de impurezas para los dos proveedores, el productor seleccionadiez envıos de cada uno de los proveedores y mide el porcentaje de impurezas en la materiaprima de cada cargamento. Las medias y las varianzas muestrales se presentan en la tablasiguiente:

Proveedor A Proveedor Bx1 = 1.89 x2 = 1.85s21 = 0.273 s22 = 0.094n1 = 10 n2 = 10

¿Presentan los datos suficiente evidencia para indicar una diferencia en la variabilidad delos niveles de impurezas de los envıos para los dos proveedores? Para la prueba utiliceα = 0.05. Basandose en los resultados de la prueba, ¿cual serıa su recomendacion para elproductor farmaceutico?.

14. Un inversionista desea comparar los riesgos asociados con dos diferentes mercados , A y B.El riesgo de un mercado dado se mide por la variacion en los cambios diarios de precios.El inversionista piensa que el riesgo asociado al mercado B es mayor al del mercado A. Sise obtienen muestras aleatorias de 21 cambios de precios diarios para el mercado A y de16 para el mercado B. Se obtienen los siguientes resultados:

MERCADO A MERCADO BxA =0.3 xB =0.4sA = 0.25 sB = 0.45

(a) Si se supone que las dos muestras provienen de dos poblaciones normales e indepen-dientes a un nivel de α = 0.05 ¿encuentra apoyo la creencia del inversionista?

(b) Si la varianza muestral de A es la dada, ¿cual es el maximo valor de la varianzamuestral de B con base en n = 16 que no llevara al rechazo de la hipotesis nula delinciso a?

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15. Se estudia el rendimiento de dos tipos de valores, el valor tipo A y el valor tipo B. Elrendimiento de estos solo se conoce hasta despues de la venta. Se tienen registradas 30tasas de rendimiento anterior para valores tipo A y 36 para valores tipo B. De estasmuestras se obtuvieron las estadısticas en la tabla siguiente:

Valores tipo A Valores tipo By1 = 7.91% y2 = 8.12%S21 = 1.85 S2

2 = 1.98

¿Presentan estos datos suficiente evidencia de que existe una diferencia en el rendimientode ambos valores?

16. El gerente de una planta sospecha que el numero de piezas que produce un trabajador,fluctua mas alla del valor normal esperado. El gerente decide observar en numero de piezasque produce este trabajador durante 10 dıas, seleccionados estos al azar. Los resultadosson: 15 8 13 12 12 15 16 9 8 14. Si se sabe que la desviacion estandar paratodos los trabajadores es de dos unidades y si el numero de estas que se produce diaria-mente, se encuentra modelado por una distribucion normal, a un nivel de α = 0.05, ¿tieneapoyo la sospecha del gerente?

17. Se compararon la capacidad de frenado en dos tipos de automoviles. Se probaron dosmuestras aleatorias de 64 automoviles de cada tipo. Las mediciones registradas fueron lasdistancias necesarias para detenerse despues de aplicar los frenos a una velocidad de 40Km/hr.. Las medias y las varianzas muestrales calculadas fueron:

y1 =118 y2 =109s21 = 102 s22 = 87

¿Presentan los datos suficiente evidencia que indique una diferencia en la distancia me-dia de frenado para los dos tipos de automoviles? Determinar el nivel de significacionalcanzado.

18. Como parte de un estudio relacionado con la conducta de una especie animal, unos zoologosrealizaron un experimento para determinar si esa especie animal presentaba en promediodiferentes tiempos de respuesta a un estımiulo bajo dos condiciones diferentes. (condicionI y condicion II). Los investigadores sometieron una muestra aleatoria de 15 animales ala condicion I; para cada animal registraron el tiempo (en minutos) transcurrido entre elestımulo y la respuesta. Tomaron los mismos registros para una muestra aleatoria de 17animales que fueron sometidos a la condicion II. Sus resultados fueron los siguientes:

x1 = 10 x2 = 16s21 = 9 s22 = 16

¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para concluir que el promedio detiempos de respuesta es diferente bajo las dos condiciones?

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19. Los pesos en gramos de 10 machos y 10 hembras jovenes de faisanes fueron :

Machos 1293 1380 1614 1497 1340 1634 1466 1627 1383 1711Hembra 1061 1065 1092 1017 1021 1138 1143 1094 1270 1028

Probar la hipotesis que hay una diferencia de 350 gramos entre las medias poblacionalesen favor de los machos con la alternativa de que la diferencia es mayor de 350. Use α =0.05

20. Un funcionario que trabaja en el departamento de colocacion de una universidad, quieredeterminar si los hombres y las mujeres licenciados en administracion de empresas recibenen promedio, diferentes ofertas de salario en su primer trabajo despues de licenciarse. Elfuncionario selecciono aleatoriamente 8 pares de licenciados en esa disciplina de maneraque las calificaciones, intereses e historial de los integrantes de cada pareja fuesen lo masparecido posible. La mayor diferencia fue que un miembro de cada pareja era hombre yel otro mujer. La siguiente tabla recoge la mayor oferta salarial ( en millones de pesetas)que recibio cada miembro de la muestra al terminar su carrera. Suponiendo que lasdistribuciones son normales, verifique si los salarios de los hombres son mejores que los delas mujeres a un nivel de significacion de 5%.

Pareja Mayor oferta salarialHombre Mujer

1 2620 22602 2470 23603 2840 29304 2170 22305 2860 26206 2930 25207 2830 28508 2430 2130

21. De una muestra aleatoria de 1200 estadounidenses, 480 mostraron una actitud positivahacia los abogados. De una muestra aleatoria independiente de 1000 canadienses, 790mostraron una actitud positiva hacia los abogados. Contrastar, a un nivel de significaciondel 1%, la hipotesis nula de que las proporciones poblacionales son iguales frente a laalternativa de que una proporcion mayor de canadienses tiene una actitud positiva hacialos abogados.

22. Un editor esta interesado en conocer los efectos sobre las ventas de unos costosos disenostricolor para las cubiertas de los libros de texto. El editor planea publicar 20 libros detexto de economıa y elige aleatoriamente 10 de ellos para colocarles la cubierta cara. Los10 restantes llevan cubiertas sencillas. Para aquellos con cubiertas caras, el promediode ventas durante el primer ano fue de 9254 con una desviacion estadar de 2107. Paralos libros con cubiertas sencillas, el promedio de ventas durante el primer ano fue de

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8167 con una desviacion estandar de 1681. Suponiendo que las dos poblaciones tienendistribucion normal con la misma varianza, contrastar la hipotesis nula de que las dosmedias poblacionales son iguales frente a la alternativa de que la verdadera media esmayor para los libros con disenos de cubiertas caros.

23. En el ejercicio anterior se supuso que las varianzas poblacionales de las ventas duranteel primer ano eran iguales para los libros con cubiertas sencillas y con disenos costosos.Contrastar este supuesto frente a una alternativa bilateral.

24. Una academia ofrece cursos de preparacion a los estudiantes para superar examenes. Comoparte de un experimento para evaluar la eficacia del curso se eligen doce estudiantes y sedividen en 6 parejas, de manera que los dos miembros de cada pareja tengan similares expe-dientes academicos. Antes de realizar el examen, se seleccona aleatoriamente un miembrode cada pareja para asistir al curso de preparacion, mientras que el otro miembro no tomael curso. La tabla adjunta muestra las puntuaciones conseguidas en el examen. Suponiendoque las diferencias en las puntuaciones siguen una distribucion normal, contrastar a unnivel de significacion del 5%, la hipotesis nula de que las dos medias poblacionales soniguales, frente a la alternativa de que la verdadera media es mayor para los estudiantesque asisten al curso de preparacion.

Pareja de Estudiantes 1 2 3 4 5 6Asiste 82 73 59 48 69 93No asiste 75 71 52 46 70 83

25. Se llevo a cabo un estudio que pretendıa valorar el efecto de la presencia de un moderadorsobre el numero de ideas generadas por un grupo. Se observaron grupos de 4 miembros,con y sin moderadores. Para una muestra aleatoria de 4 grupos con moderador el numeromedio de ideas generadas por grupo fue de 78 con una desviacion tıpica de 24.4. Parauna muestra aleatoria independiente de 4 grupos sin moderador, el numero medio de ideasgeneradas por grupo fue de 63.5 con una desviacion tıpica de 20.2. Suponiendo que lasdistribuciones poblacionales son normales con igual varianza, contrastar la hipotesis nulade que las medias poblacionales son iguales frente a la alternativa de que la verdaderamedia es mayor para los grupos con moderador. Use α = 0.05

26. Se compararon la capacidad de frenado en dos tipos de automoviles. Se probaron dosmuestras aleatorias de 64 automoviles de cada tipo. Las mediciones registradas fueron lasdistancias necesarias para detenerse despues de aplicar los frenos a una velocidad de 40Km/hr.. Las medias y las varianzas muestrales calculadas fueron:

y1 =118 y2 =109s21 = 102 s22 = 87

¿Presentan los datos suficiente evidencia que indique una diferencia en la distancia me-dia de frenado para los dos tipos de automoviles? Determinar el nivel de significacionalcanzado.

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