República Bolivariana de Venezuela.

Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior..

Cátedra : Matemática II.

PROF: ANDRES LEON.

GUIA Nº 1 MATEMATICA II

METODOS DE INTEGRACION.

Cabimas Agosto 2011

Operaciones aritméticas:

grado o exp

base o var

onenteb

iablex

ecoeficienta

xab

Operaciones Aritméticas y funciones

0x 1x0 222

bab2a ba

xx1 222

bab2a ba

n mnmx x .x

32233bab3ba3a ba

b.abaxx 32233

bab3ba3aba

n

m

n m x x 4322344

bab4ba6ba4aba

2

1

x x 4322344

bab4ba6ba4aba

nnn b . a b.a a)(x a)-(x ax22

mmmx ba bx ax )aax(x a)(x ax

2233

nmnm

x (a.b) bx .ax )aax(x a)-(x )ax(

2233

n - m

n

m

x x

x

)a(x )a(x ax222244

b.c - a.c

c.b

c.ac

b

a

x x

x

x

x

b-a

b a

ba22

n

n

x

1x ba

b a

ba22

0 x

0 22

33

baba b a

ba

0

x 22

33

baba b a

ba

bd

cdad

d

c

b

a 3223

44

babbaa b a

ba

b

c

b

a

b

ca

)yln()xln(

y

xln

c)(b a c.ab.a )xln( y xlny

c ccb .a b.a (y) ln (x) ln )y.xln(

b.d

a.c

d

c .

b

a

recta) la de general (ecuacion bmx y

bc

ad

d

cb

a

) pendiente punto recta la de (ecuacion

)x-(x m yy 11

a

acx

cbxax

2

4bb-

0

2

2

Tablas de Derivadas u,v,x,y,…variables

k,c,a,b,…constantes

Función Derivadas

1 y = c (c = constante) y´ = 0

2 y = x y´ = 1

3 y = yvu y´ = ´y´v´u

4 y = nu y´ = ) ´u(u n

1n

5 y = k nu y´ = k ) ´u(u n

1n

6 y = u .v y´ = u´.v + u . v´

7 y =

v

u y´ =

2v

v´ uv´u

8 y =

v

a (a = constante) y´ =

2v

v´ a

9 y =

a

u (a = constante) y´ =

a

´u

10 y = sen x y´ = cos x (x´ )

11 y = cos x y´ = - sen x (x´ ) 12

y = tg x y´ = (x´) xsec

2

13 y = ctg x y´ = (x´) xcsc2

14 y = sec x y´ = secx tgx (x´)

15 y = csc x y´ = (x´) ctgx.xcsc

16 y = xe y´ = (x´) e

x

17 y = ln (x) y´ = x

´x

18 y = n m

x = n

m

)x( y´ = (x´) (x) n

m 1 - n

m

19

y = arc senx y´ = 2

x1

´x

20

y = arc cosx y´ = 2

x1

´x

21

y = arc tgx y´ = 2

x1

´x

22

y = arc ctgx y´ = - 2

x1

´x

23 y = arc secx y´ = 1xx

x́

2

24 y = arc cscx y´ = - 1xx

x́

2

Tabla de Integrales Inmediatas

1 dx g(x) dx f(x) xd )x(g)x(f (primera propiedad de la integral indefinida)

2 dx f(x) k dx f(x) k (segunda propiedad de la integral indefinida)

3 cx dx

4 ydxxdx dx yx

5

c1n

x dxx

1nn

6 c1n

xk dxxk dxkx

1nnn

7 cx cos - dx x sen

8 c(nx) cos n

1- dx (nx) sen

9 cx sen dx x cos

10 c(nx) senn

1 dx (nx) cos

11 ccosxln o´- csecx ln dx x tg

12 csenx ln dx ctgx

13 ctgxsecx ln dx xsec

14 ctgx dx xsec2

15 csecx dx tgx.xsec

16 cctgxcscxln - dx xcsc

17 cctgx - dx xcsc2

18 ccscx- dx ctgx.xcsc

19 ce dxexx

20 cx ln dx x

1

21 constanteb cbln

b dxb

xx

22

c

a

xarctg

a

1

xa

dx22

23

c

a

xarcsen

xa

dx

22

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

cosen

hip

1

cscsen

21 cossen 2 21 cossen

2

2cos12 nxnxsen

cosca

hip

1cos

sec

2cos 1 sen 2 2cos 1 sen

2

2cos1cos

2 nxnx

tanco

ca

1tan

cot

2tan sec 1 2 2tan sec 1 21 tan csc 1

cotca

co

1cot

tan

2cot csc 1 2 2cot csc 1 21 cot sec 1

sechip

ca

1sec

cos

2sec tan 1 2 2sec tan 1 2

sen1sec1

cschip

co

1csc

sen

2csc 1 cot 2 2csc 1 cot 21 csc 1 cos

cos

cotsen

seccsc

tan

tan cos sen

2tan1

tansen

2

1

1 cotsen

costan

sen

cscsec

cot

cot cossen 2

cos

csc 1sen

2

1cos

tan 1

tancos

sen

sectan

csc

tan csc sec 2

tan

1 cossen

2

1tan

csc 1

coscot

sen

csccot

sec

cot sec csc

sec

1sec2

sen

1)CSC(SEN

2cot1

cotcos

cosθ

θcos1θtan

2

2cos csc 1sen

21

1sec

sen

tan cot 1 2

cossec 1

sen

21tan

sen

sen

2cos sec 1sen 2

1csc

1 cos

cos sec 1

csc

1csccos

2

cot

cot1sec

2

tan

tan1csc

2

2 21 csc cot

2 21 sec tan

2cos1

coscot

1csc

cscsec

2

1sec

seccsc

2

cos2u=cos2x - sen

2x

Sen2u=2senucosu

senθ

θ1θcot

2sen

2 21 cossen

1sec

1cot

2

Cateto opuesto (co)

sen

Cateto adyacente (ca) cos

Hipotenusa (hip)

INTEGRAL INDEFINIDA

En esta unidad de cálculo integral vamos a aprender el concepto de primitiva, en contraposición al concepto de

derivada, así como las técnicas que nos van a permitir conseguir las primitivas de las funciones que deseemos.

Se dictaran nociones básicas de teoría y se pasará a la resolución de problemas. Lo que buscamos es

complementar los conocimientos formales que se obtiene en clase con ejercicios prácticos, el estudio de la

lógica de los problemas y el "aprender por hacer" son fundamentales a la hora del aprendizaje de las

matemáticas en general , y del cálculo en particular.

En esta primera guía de Cálculo integral abarcará los siguientes temas:

- Definición de la integral indefinida o primitiva.

- Fórmulas fundamentales de integración.

- Método de integración:

- Integración por tablas o Integrales inmediatas.

- Integración por sustitución.

- Integración por partes.

- Integrales racionales.

- Integrales trigonométricas.

- Integrales por sustitución trigonométricas.

Definición de la integral indefinida o antiderivada:

Si F(X) es una antiderivada o primitiva de la función f(x), es decir es un proceso inverso de la derivada, esto

implica que la expresión F(X)+C se conozca como la integral indefinida de función f(x) y se denota por la

ecuación:

Donde:

a.) = signo de la integral.

b.) f(x) = integrando.

c.) f(x) dx = elemento de integración.

d.) dx = se lee diferencial de “x” y nos indica que “x” es la variable de integración.

e.) F(X)+C = integral indefinida.

f.) C = constante de integración.

Técnicas de integración:

Método de integración por sustitución

El método de integración por sustitución se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que

permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos,

donde las integrales no son inmediatas, se puede transformar en una integral por tabla para encontrar

fácilmente su primitiva.

Este método se puede aplicar cuando tengamos una integral de la forma formada por

dos funciones, debemos ver que si al derivar una de ellas obtenemos la otra (o algo parecido). En este

caso haremos el cambio de variable “f(x) = u “.

Para aplicar el método:

1. La función por integrar (el integrando) se hace igual a otra función, tal como “u”.

2. Se deduce la “du” respecto a la variable original.

3. El integrando se sustituye por “u” y la diferencial de la variable original, por “du”.

4. Se procede a integrar.

5. Al obtener la expresión integrada se sustituye la variable “u” por la variable original.

Método de integración por partes

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

du.vv.udv.u

Recomendaciones para utilizar este método.

Se aplica cuando exista diferenciales que contienen multiplicación de funciones, funciones

trigonométricas inversas, funciones logarítmicas, funciones algebraicas, funciones trigonométricas y

funciones exponenciales. ( I . L . A . T . E )

1. Para aplicar la formula de la integración por parte, debe descomponerse la diferencial dada en

dos factores: “u “ y “dv”.

2. u debe ser fácil de derivar.

3. dx es siempre parte del dv.

4. debe ser posible integrar el diferencial dv.

5. Si la expresión para integrar es el producto de dos funciones, es recomendable “generalmente”

escoger la de apariencia mas complicada, como parte del diferencial de dv.

En algunos casos es necesario aplicar la formula de integración por parte mas de una vez.

Método de integrales por fracciones parciales.

Este método se puede aplicar cuando el integrando que estemos resolviendo sea una división de

polinomios. El grado del numerador debe ser menor que el grado del denominador, entonces la fracción

se puede descomponer en una suma algebraica de fracciones parciales.

Para aplicar el método generalmente hay que factorizar el denominador y determinar un número de

constantes igual al grado del denominador.

CASO 1. Los factores del denominador son todos de primer grado y ningún factor se repite, a cada factor no

repetido de primer grado le corresponde una fracción parcial de la forma: ...)cx(

C

)bx(

B

)ax(

A

siendo A,B,C… constantes a determinar.

CASO 2. Los factores del denominador son todos de primer grado y algunos factores se repiten, a cada

factor repetido de primer grado le corresponde una fracción parcial de la forma:

)ax(

C....

)ax(

B

)ax(

A1nn

siendo A,B,C… constantes a determinar.

CASO 3. Los factores del denominador son todos de segundo grado y ningún factor se repiten, a cada

factor no repetido de segundo grado le corresponde una fracción parcial de la forma:

)cx(

FEX....

)bx(

DCX

)ax(

BAX222

siendo A,B,C,D,E,F… constantes a determinar.

Integrales trigonométricas

Caso 1 Para integrales que contengan senos y cósenos (donde n es un número entero positivo impar)

i. dxxsenn

dxxsenx

dxxsenxsen

xsenxsendxxsen

n

n

nn

21

2

21

2

1

cos1

dx

ii. dxxn

cos

dxxxsen

dxxx

dxxdxxdxx

n

n

nn

cos1

coscos

cos coscos

21

2

21

2

1

Caso 2 Para integrales que contengan senos y cósenos (cuando n son números positivos pares)

i. dxxsenn

dxax

dxaxdxaxsen

nn

n2

22

2

2cos1 )(sen

2

2 cos1)(

2 xaaxsen

ii. dxxn

cos

dxax

axdxax

nn

n2

22

2

2cos1 dx )(cos cos

2

2 cos1)(cos

2 xaax

Caso 3 Para integrales que contengan senos y cósenos (donde al menos uno de los exponentes es un número

entero positivo impar)

dxxxsenmn

cos

i. Si n es impar, entonces

dxxsenxx

dxxsenxxsen

dxxsenxxsendxxxsen

mn

mn

mnmn

coscos1

cos

coscos

2

)1(2

2

)1(2

1

u = cosx

-du = senx dx

u = cosx

-du = senx dx

u = senx

du = cosx dx

ii. Si m es impar, entonces

dxxxsenxsen

dxxxxsen

dxxxxsendxxxsen

mn

mn

mnmn

cos1

cos cos

coscos cos

2

)1(2

2

)1(2

1

iii. Si m y n son pares, entonces

dxxxsenmn

cos dxxx

xxdxxxsen

mnnn

mn 222222

2

2cos1

2

2cos1 dx )(cos )(sen cos

Caso 4 Para integrales que contengan secantes y cosecantes (donde n es un número entero positivo par)

i. dxxnsec

dxxtgxxxdxx

nn

n 22

2222

2

2sec1 dx sec )(sec sec

ii. dxxncsc

dxxctgxxxdxx

nn

n 22

2222

2

2csc1 dx csc )(csc csc

Caso 5 Para integrales que contengan secantes y cosecantes (donde n es un número positivo impar, aplicar

integración por partes)

i. dxxn

sec

Considerar xun 2

sec y dxxdv

2sec

ii. dxxn

csc

Considerar xun 2

csc y dxxdv

2csc

Caso 6 Para integrales que contengan tangentes y cotangentes (donde n es un número entero positivo impar)

i.

dx )(tg 2

1

2tgxxdxxtgx

n

n

dxxdxxtgx

nn

tgx 1sec 2

12

ii. dxctgx )(ctg 2

1

2

n

nxdxctgx

dxxdxxctgx

nn

ctgx 1csc 2

12

u = senx

du = cosx dx

u = tgx

du = sec2x dx

x

u = ctgx

-du = csc2x dx

Se resuelven las integrales de la forma según el CASO 2

u = secx

du = secx.tgx dx

u = cscx

du = cscx. ctgx dx

Caso 7 Para integrales que contengan tangentes y cotangentes (donde n es un número entero positivo par)

iii. dxxtgxn

dxxdxxtgx

nn 22

1sec

iv. dxctgxn

dxxdxxctgx

nn 22

1csc

Caso 8 Para integrales que contengan tangentes y secantes, cotangentes y cosecantes

(Donde m es un número entero positivo par)

i. dxxxmn

sectan

dxxxxdxxx

mnmn 22

)2(2

sec1tantansectan

ii. dxxxmn

csccot

dxxxxdxxx

mnmn 22

2(2

csc1cotcotcsccot

Caso 9 Para integrales que contengan tangentes y secantes, cotangentes y cosecantes (donde n es un número

entero positivo impar)

i. dxxxmn

sectan

dxxxxxdxxxm

nmn

tansecsec1secsectan12

12

ii. dxxxmn

csccot

dxxxxxdxxxm

nmn

cotcsccsc1csccsccot12

12

Caso 10 Para integrales que contengan tangentes y secantes, cotangentes y cosecantes (donde n es un

número entero positivo par y m es un número positivo entero impar)

i. dxxxmn

sectan

dxxxdxxxm

nmn

sec1secsectan 22

ii. dxxxmn

csccot

dxxxdxxxm

nmn

csc1csccsccot 22

Se resuelven las integrales de la

forma según el método CASO 4

Sustitución trigonométrica

Amenudo es posible hallar la antiderivada de una función cuando el integrando presenta expresiones de la

forma: y “u” es una función de “x.”

Se elimina el radical haciendo la sustitución trigonométrica pertinente; el resultado es un integrando que

contiene funciones trigonométricas cuya integración nos es inmediata. En la siguiente tabla se muestra

cuál debe ser la sustitución:

Expresión en el integrando Sustitución trigonométrica

Funciones trigonométricas utilizadas

Caso 1 El integrando contiene una expresión de la forma 22xa

Considere senax

22222222222cos)1(a a )( asensenaasenaxa

Caso 2 El integrando contiene una expresión de la forma 22xa

Considere tanax

22222222222sec)tan1(tan)tan( aaaaaaxa

Caso 3 El integrando contiene una expresión de la forma 22ax

Considere secax

22222222222tan)1(secsec)sec( aaaaaaax