Universidad de la FronteraFacultad de Ingeniera, Ciencias y Administracion Temuco,1 sem 2013Departamento de Matematica y Estadstica

Gua de Ejercicios

Vectores en el espacio Tridimensional

1. Situar los puntos en un sistema de coordenadas tridimensional.

a)(2, 1, 3) b)(1, 2,1) c)(0, 4 5) d)(0, 4,5) e)(3, 6, 0)

2. Para cada vector v = AB dado, determinar el punto B.

i)v =< 3,5, 6 >;A(0, 6, 2) ii)v =< 0, 12,1

3>,A(3, 0,2

3

iii)v =< 3, 1,4 >;A(2, 0, 5) iv)v =< 3, 3,7 >;A(4, 1,, 1)3. El vector v =< 2, 2, 6 > es el vector de posicion del segmento AB cuyo punto medio es M =

(4, 3, 1). Hallar las coordenadas de los extremos del segmento AB.4. Sean A(2,1, 3), B(4, 5, 0), C(4,1, 3) y D(4, 4,7). El punto P esta a 2

3de distancia de A a B

y el punto Q esta a 35

de distancia de C y D. Calcular las componentes del vector v que va de P aQ.

5. Determine si los puntos (2, 6, 1);(0,2, 3) y (6,2, 6) son colineales.

6. Si a =< 3,5, 4 >; b =< 2, 1, 7 >; c =< 1,3,6 >, obtener:

i)3a +c ii)a 4b + 2ciii)(a b )c + (b c )a iv)a +b +c av) El vector unitario en la misma direccion de .

vi) El vector unitario en la direccion opuesta a .

vii) Encontrar la componente de en la direccion de

7. Calcular el vector z , si u =< 1, 2, 3 >; v =< 2, 1,1 > y w =< 4, 0,4 >

i)z = u v ii)z = u v + 2w iii)z = 2u + 4v wiv)z = 5u 3v 1

2w v)2z 3u = w vi)2u +v w + 3z = 0

8. Para los vectores u y v dados, determinar: u v , u u , (u v )v , u (2v )

a) u =< 2,3, 4 >, v =< 0, 6, 5 >b) u = i, v = i

c) u = 2i j + k, v = i k

9. Dados los vectores u =< 5,2, 1 > y v =< 6, 1,4 > y w =< 0, 0, 0 >, calcular el producto delas componentes de un vector x , tal que:

i)u x = 3 ii)v x = 62 iii)w x = 1510. Hallar un vector unitario: i) en la direccion de u , y ii) en la direccion opuesta a la de u

i)u =< 2, 1,2 > ii)u =< 6, 0, 8 >iii)u =< 3, 2,5 > iv)u < 8, 0, 0 >

11. Hallar el vector u de longitud y direccion dada.i)v = 10;u =< 0, 3, 3 > ii)v = 3;u =< 1, 1, 1 >iii)v = 3

2;u =< 2,2, 1 > iv)v = 5;u =< 4, 6, 2 >

12. Dados los vectores tridimensionales cualesquiera a =< 3,5, 4 >, b =< 2, 1, 0 > y c = Determinar

a) Un vector unitario en la direccion de a .b) Un vector unitario en la direccion de

b

c) Un vector unitario en la direccion deb a

d) Un vector unitario paralelo a la suma de a y c

13. Sean a , b y c vectores unitarios no coplanares en el espacio y denotemos por (a ,b ) = ,(b ,c ) = , (c ,a ) = sus respectivos angulos. Considere u el vector unitario como u =b (a b )a . Demostrar que:

a) ua y que la longitud de u es sin .b) Si v = c (a b ) y (u ,v ) = entonces cos = cos cos + sin sin cos

14. Calcular u v

a) u = 8,v = 5 y el angulo entre u y v es pi3

b) u = 40,v = 25 y el angulo entre u y v es 5pi6

15. Hallar el angulo entre los vectores dados.

i)u =< 1, 1, 1 >;v =< 2, 1,1 > ii)u = 2i+ 3j + k;v = 3i+ 2jiii)u = 3i+ 4j;v = 2j + 3k iv)u = 2i 3j + k;v = i 2j + k

16. Los vectores a y b forman entre s un angulo de 45 y el modulo de a es tres. Cual debe ser elmodulo de

b para que a b forme con A un angulo de 90 ?

17. Hallar los cosenos directores de u y verificar que la suma de sus cuadrados es 1.i)u = i+ 2j + 2k ii)u = 3i j + 5kiii)u =< 0, 6,4 > iv)u =< a, b, c >

18. Hallar la proyeccion de u sobre v y el vector componente de u ortogonal a v .

a) u =< 2, 1, 2 >; v =< 0, 3, 4 >b) u =< 0, 4, 1 >; v =< 0, 2, 3 >c) u =< 1, 2, 2 >; v =< 3,2, 1 >d) u =< 3, 1,2 >; v =< 0,3, 6 >

19. Use el concepto de proyeccion de un vector sobre otro para calcular el area del triangulo cuyos verticesson los puntos A(1, 3, 2), B(2, 5, 3) y C(2, 0, 0)

20. Calcular los productos u v y v u de los vectores dados. En cada caso verifique que el vectorobtenido es ortogonal a cada uno de los vectores u y v dados.

i)u = (1, 1, 2);v = (1, 1, 0) ii)u = (0, 2, 5);v = (0, 4, 10)iii)u = (2, 4, 3);v = (2,4, 3 iv)u =< 3, 2, 2 >;v = (3,2,2)v)u = i+ j + k;v = 2i+ j k vi)u = j + 6k;v = i 2j + k

21. Sean u = (2,3,3), v = (3, 1, 1, ). Calcular:

i)u v ii)(u +v )v iii)(u +v ) (u +v )iv)(u +v ) (u v ) v)(2u + 3v ) (u 4v )

22. Hallar un vector unitario ortogonal a a =< 2, 1,1 > y a b =< 3, 4,1 > .

23. Dados los vectores a =< 1, 4, 6 > y b =< 0, 3, 2 >

a) Demostrar que son ortogonales .

b) Encontrar un vector unitario que sea ortogonal a a y bc) Encontrar el area del triangulo cuyos vertices son el origen y los puntos A(1, 4 6) y B(0, 3, 2)

24. Hallar el area del triangulo que tiene por vertices (3,5,2); (1,-1,6 ; (-2,1,4) calculando la magnitud delvector producto .

25. Hallar un vector unitario que forme un angulo de 45 con el vector A =< 2, 2,1 > y un angulo de60 con B =< 0, 1,1 >.

26. Calcular u (v w )(producto mixto de vectores o triple producto escalar)

a) u = i;v = j,w = kb) u =< 1, 1, 1 >;v =< 2, 1, 0 >;w =< 0, 0, 1 >.c) u =< 2, 0, 1 >;v =< 0, 3, 0 >;w =< 0, 0, 1 >.

d) u =< 2, 0, 0 >;v =< 1, 1, 1 >;w =< 0, 2, 2 >.

27. Hallar el valor de h que haga coplanares los vectores:

a =< 1, 1, 1 >;b =< 2, 1, 1 >;c =< h,1, h >28. Hallar el volumen del tetraedro de vertices (2,1,1); (1,-1,2); (0,1,-1); (1,2,1)

29. Encontrar el volumen de un paraleleppedo cuyas aristas son:

a) 3i j + k; 2i+ 3j 2k y i+ 4j + 3kb) 6i 2k; 4i 2j + k y 4i+ 3j 4k

1. Rectas y planos

1. Encontrar la ecuacion vectorial, parametricas y simetricas de la recta que verifica las siguientes condi-ciones :

a) Pasa por (3, 1, 5)y sus numeros directores son < 1, 2, 4 >b) Pasa por los puntos (2, 0, 4) y (1,1, 2)c) Pasa por el punto (4, 1,3) y que es paralela a la recta de ecuaciones : x = 2; y = 5 3t; z = 2td) Pasa por el punto (1, 2,1) y es paralela a la recta 2x1

2= y1 =

3z+24

e) Pasa por el punto (3, 1, 2) y es perpendicular a la recta x = t; y = 1 + t; z = 3 2tf ) Que pasa (4, 0, 5) y es paralela a la recta cuyos numeros directores son [1,1, 3]g) Que pasa por el punto y es perpendicular al plano 2x 3y + z = 0

2. Hallar la distancia a la que se encuentra el punto (2,1, 4) de la recta de ecuacionx = 4 + t; y = 1 + 4t z = 1 + 2t

3. Determine la distancia entre las rectas :

a) x = 3t; y = 1 + 4t; z = t y x+32

= y31

= z+12b) x = 1 + 2t; y = 2 + t; z = 3 4t y x2

4= z3

3; y = 1.

4. Hallar el punto de interseccion de las rectas :

x = 2 + t; y = 3t; z = 5 t y x+ 34

=y + 4

5=z 53

5. Las rectas x = 1 t; y = 3 t; z = 4 + 3t y x12 = y+45 = z+11 se intersectan? Si es as hallar elpunto de interseccion .

6. Muestre que las rectas son x = 2 + t; y = 3 t; z = 4 + 3t y x+12

= y62 =z+56

son coincidentes.

7. En cada ejercicio obtenga la ecuacion del plano que satisface las condiciones dadas:

a) Pasa por el punto (2, 1, 3) y tiene vector normal < 5,2, 1 >

b) Contiene los puntos (1,2, 3); (2,1, 5); (0, 1,2)c) Contiene al punto B(6, 4,2) y que es perpendicular a la recta que une los puntos A(7,2, 3)

y C(1, 4,5)d) Contiene a (3, 3,4) y los cosenos directores de su normal son 3/13, -12/13, -4/13.e) Contiene al punto (1,3,2) y a la recta x = 1 + 3t; y = t; z = 2 + tf ) Contiene la interseccion de las rectas x1

2= y+23 =

z1

y x = 2 t; y = 1 + 4t; z = 3 + 2tg) Contiene las rectas paralelas x

2= y3

1= z+13 y

x22 =

y1 =

z13

h) Pasa por el punto (2, 1, 4) y es paralelo al plano x 2y + 3z = 4i) Pasa por el punto (1,3, 1) es perpendicular al plano 3x 2y + 4z = 5 y al plano XZj) Pasa por los puntos (2,1,0) y (-1,2,5) y es perpendicular al plano 2x+ y + z = 3

k) Paralelo al plano XY y que pasa por el punto (5, 3,2).l) Paralelo al eje Z , que intersecta al eje X en el segmento 3 y al eje Y en el segmento 2.

m) Pasa por el punto P(-1,3,2) y es perpendicular a la recta x35

= y+12

= z24

n) Pasa por el punto P(-1,2,-5) y es paralelo a las dos rectas x13

= y+51 =z3

2; x1

2= y+4

5= z23

8. Hallar la interseccion entre la recta de ecuacion x = 3+t; y = 2t; z = 1t y el plano x+5y3z = 99. Hallar la recta de interseccion entre los planos x+ y + 2z = 6 y 2x y z = 4

10. Hallar la distancia entre el punto (2,3,-1)y el plano x 4y + 5z = 1011. Hallar la ecuacion del plano que pasa por el punto (5,-1,3) y cuya normal tiene por numeros directores

[1,-4,2].

12. El pie de la perpendicular trazada desde el origen a un plano es el punto (1,-2,1) Hallar la ecuacion delplano .

13. Desde el punto (5,4,-7) se ha trazado una recta perpendicular a un plano .Si el pie de esta perpendiculares el punto (2,2,-1) ,hallar la ecuacion del plano .

14. Encontrar el angulo (el menor ) que forman los planos : 3x+4y 5z+18 = 0 y 2x 3y+4z 3 = 015. Hallar el angulo agudo formado por las rectas: x17 =

y3= 2z+34 y

x+53

= y82 =z+94

16. Dos de los angulos directores de una recta son = 45, = 60. Si la recta pasa por el punto (4,-1,4),hallar sus ecuaciones .

17. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por por el punto (3,-3,4) y es perpendicular a cada una delas rectas 2x+4

4= y31 =

z+25

y x31

= 2y+72

= 3z3

18. Determinar las ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto (2,0,-4) y es paralela a cadauno de los planos 2x+ y z = 0 y x+ 3y + 5z = 0

2. Superficies Cuadraticas

1. Para las ecuaciones siguientes, indentifique la superficie y realice un esbozo del grafico.

a) 4x2 y2 + z2 8x+ 2y + 2z + 3 = 0b) x2 + y2 + z2 8 8y 6z + 24 = 0c) x2 + 2y2 4z2 = 8d) x2 y2 + z2 10z + 25 = 0e) 36y2 + x2 + 36z = 9

f ) x2 z2 = 5yg) x2 + 4y2 4z2 6x 16y 16z + 5 = 0h) y2 + z2 2x = 0i) z = 3x2 + 2y2 11j) 9z2 4y2 4x2 = 36k) x2 + z2 = 1

l) x2 + z = 1

m) x = 4 y2n) x2 4y2 = 1n) 4x2 + y2 = 36

o) x2 + 4z2 = 16

2. Trace la region limitada por x2 + y2 = 2 y z =x2 + y2 para 1 z 2

3. Obtener la curva de interseccion de las superficies x2 +2y2 z2 +3x = 1 y 2x2 +4y2 2z2 5y = 0y hacer su grafica.