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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA Y ESTADSTICA

ESTADSTICA II CICLO II - 2013

CONCEPTOS Y EJERCICIOS SOBRE PRUEBAS DE HIPTESIS

Hiptesis Estadstica: Es un planteamiento que se asume sobre un parmetro poblacional. Por ejemplo, se puede

suponer que el promedio de gasto mensual de los estudiantes es de $90.00; que la proporcin de estudiantes

provenientes de fuera de San Salvador sea del 25% o ms. Estas conjeturas pueden ser probadas con base a

estadsticos muestrales.

Ejemplos de Hiptesis Estadstica:

El ingreso mensual promedio, a partir de todas las fuentes, para los ciudadanos jubilados es de $60.00.

( H0 : = $60; H1 : $60 )

Se sabe que el 20% de los delincuentes juveniles, finalmente son encarcelados y se les sentencia y

encarcela.

( H0 : P = 0.20; H1 : P 0.20 )

Una empresa vende cilindros de gas propano en tambos de 25 libras con peso menor a ste.

( H0 : 25 lbas.; H1 : < 25 lbas. )

El dimetro exterior medio de ciertos tubos industriales durante una jornada de produccin es de 1.000

pulgadas.

( H0 : = 1,000 pulgadas; H1 : 1,000 pulgadas )

En general, el 90% o ms de las formas del impuesto federal de ingresos se llenan correctamente.

( H0 : P 0.90; H1 : P < 0.90 )

Prueba de Hiptesis: Procedimiento basado en la evidencia muestral y en la teora de probabilidad que se

emplea para determinar si la hiptesis es un enunciado estadsticamente razonable y no debe rechazarse, o si es

estadsticamente irrazonable y debe ser rechazado. Es importante destacar que el propsito de la prueba de

hiptesis no es cuestionar el valor calculado de la estadstica de muestra, sino hacer un juicio con respecto a la

diferencia entre esa estadstica de muestra y un parmetro de poblacin hipottico.

Hiptesis Nula (H0): Un afirmacin o enunciado tentativo que se realiza acerca del valor de un parmetro

poblacional. Por lo general es una afirmacin de que el parmetro de poblacin tiene un valor especfico. La

hiptesis nula ha de tomarse como lo que normalmente ocurre, en trminos de parmetro; o bien lo que una

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empresa ofrece acerca de un producto (calidad) para efectos de contrastarlo con una evidencia muestral. Por

ejemplo, la empresa de bombillos Bell anuncia que sus productos tienen una duracin promedio de 600 horas

o ms. La hiptesis nula correspondiente es H0 : 600 horas.

Hiptesis Alternativa (H1): Una afirmacin o enunciado que se aceptar si los datos muestrales proporcionan

evidencia de que la hiptesis nula es falsa.

Estadstico de Prueba: Un valor determinado a partir de la informacin muestral, que se utiliza para aceptar o

rechazar la hiptesis nula. Entre los estadsticos de prueba se tienen: Z, t de student y Chi-cuadrado, entre otros.

Valor Crtico: Nmero que sirve de punto frontera entre la regin de aceptacin y la de rechazo. El valor crtico

es un estadstico que se obtiene a partir de una tabla de valores de Z, t, Chi-cuadrado, etc.

PROCEDIMIENTO PARA PROBAR HIPTESIS ESTADSTICAS

Paso I

Paso II

Paso III

Paso IV

Paso V

Paso VI

Plantear las

hiptesis nula

y alternativa

Seleccionar

un nivel de

significacin

( )

Identificar el

estadstico de

prueba, como

Z, t 2

, segn el

tipo de problema

Formular

una regla de

decisin

Calcular el

valor del

estadstico

de prueba a

partir de

evidencia

muestral

Tomar una

decisin:

Aceptar H 0 y

Rechazar 1H

O bien:

Rechazar 0H

y aceptar 1H

Error tipo I: Es rechazar la hiptesis nula, oH

, cuando en realidad es verdadera. La probabilidad de cometer el

error tipo I, es

Error tipo II: Es aceptar la hiptesis nula, oH

, cuando en realidad es falsa. La probabilidad de cometer el error

tipo II, es

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Tipos de error en que se incurren al probar hiptesis:

Decisin Hiptesis Nula

Verdadera Falsa

Rechazar 0H

Error tipo I

( )

Decisin correcta

( 1 - )

Aceptar 0H

Decisin correcta

( 1 - )

Error tipo II

( )

EJERCICIOS SOBRE CONCEPTOS BSICOS

1. Por qu es posible que la hiptesis nula sea rechazada cuando de hecho es cierta?

2. Qu queremos decir cuando rechazamos una hiptesis con base en una muestra?

3. Si rechazamos un valor hipottico porque difiere de una estadstica de muestra en ms de 1.75 errores

estndar, cul es la probabilidad de que hayamos rechazado una hiptesis que en efecto sea cierta?

4. Cuntos errores estndar alrededor del valor hipottico debemos usar para estar 99.4% seguros de que

aceptamos la hiptesis cuando es cierta?

5. Por qu es posible que no siempre se rechace la hiptesis nula cuando es falsa?

6. Cul es la relacin de con el error de tipo I?

7. En el sistema judicial estadounidense se supone que un acusado es inocente hasta que se prueba su

culpabilidad. Considrese entonces una hiptesis nula H0 de que el acusado es inocente y una hiptesis

alternativa HA de que sea culpable. El jurado tiene dos decisiones posibles: condenar al acusado (es decir:

rechazar la hiptesis nula) o no condenarlo, (es decir: no rechazar la hiptesis nula). Explique el

significado de los tipos de error en este ejemplo.

8. En un juicio, la hiptesis nula es que un individuo es inocente de cierto crimen Preferir el sistema legal

cometer un error de tipo I o uno de tipo II con esta hiptesis?

9. Suponga que se presume que el acusado en el problema 7) es culpable hasta que demuestre su inocencia. En

qu diferiran las hiptesis nula y alternativa de las del problema 7)

Cul sera el significado de los riesgos y ?

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10. Considere el siguiente caso no matemtico como una prueba de hiptesis. En la escena de un accidente

grave, un mdico contrasta la hiptesis nula esta vctima est viva.

a) Establezca cuidadosamente el significado de los cuatro resultados posibles indicados en la tabla de

decisiones.

b) Decida sobre la gravedad de los errores posibles

c) Si las probabilidades y pudieran ser controlados estadsticamente, qu conjuntos de

probabilidades seran preferibles para la vctima?

i . = 0.001 y = 0.10

ii . = 0.05 y = 0.05

iii . = 0.10 y = 0.001

11. Considere el siguiente caso no matemtico como una prueba de hiptesis. Se acaba de recibir un paracadas

sobre el cual un inspector postula la hiptesis nula este paracadas funcionar.

a) Establezca cuidadosamente el significado de los cuatro resultados posibles indicados en la tabla de

decisiones.

b) Decida sobre la gravedad de los errores posibles

c) Si las probabilidades y pudieran ser controlados estadsticamente, qu conjuntos de

probabilidades seran preferibles para la vctima?

i . = 0.001 y = 0.10

ii . = 0.05 y = 0.05

iii . = 0.10 y = 0.001

EJERCICIOS SOBRE HIPTESIS EN MEDIAS

12. Un profesor de estadstica ha registrado las calificaciones de sus estudiantes durante varios semestres y la

media de ellas es igual a 72. Su grupo actual es de 36 estudiantes parece tener una habilidad promedio

superior en relacin a otros semestres, por lo que el profesor desea mostrar que de acuerdo a su media el

grupo actual es mejor que sus grupos anteriores. Constituye el promedio del grupo de 75.2 suficiente

evidencia para respaldar la afirmacin del profesor en el sentido de que su grupo actual es superior? Utilice

un del 5% y = 12.0

13. Se ha asegurado que el peso promedio de las alumnas de una universidad es de 54.4 kilogramos. Uno de los

profesores no cree que tal aseveracin sea correcta. Con el fin de contrastar la afirmacin rene una

muestra de 100 pesos. De ello resulta una media muestral de 53.75 kilogramos y una desviacin estndar

de 4.9 kilogramos. Es esta evidencia suficiente para rechazar la hiptesis nula?. Adems, un = 0.04 y

= 5.4 kg..

14. Una nueva organizacin para acciones de control del peso personal anuncia que quienes se inscriban en su

programa reducirn, en promedio al menos 10 libras (unos 5 kilos) durante las primeras dos semanas. Una

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muestra aleatoria de personas que se inscribieron en el nuevo programa de reduccin de peso revel que la

media prdida fue 9 libras. Se calcul que la desviacin estndar de la muestra es 2.8 libras. En el nivel de

significacin de 0.05, es posible demostrar que quienes se inscriben en el curso no pierden en promedio el

peso anunciado de 10 libras?

a) Plantee la hiptesis nula y alternativa

b) Cul es la probabilidad de cometer el error tipo I?

c) Formule un enunciado en que se estara cometiendo error tipo II

d) Enuncie la regla de decisin.

e) Tome una decisin. Explquela a dicha organizacin

15. Si su objetivo es aceptar la hiptesis nula de que la media poblacional sea igual a 36.5, con 96% de certeza

cuando sta es cierta, y nuestro tamao de muestra es 50, haga un diagrama de las regiones de aceptacin y

rechazo para las siguientes hiptesis alternativas:

a) diferente de 36.5

b) mayor de 36.5

c) menor de 36.5

16. El doctor Ross Darrow cree que la nicotina de los cigarros ocasiona que los fumadores tengan mayores

ritmos cardacos en promedio que los no fumadores. Tambin cree que los fumadores ansan la nicotina de

los cigarros y no tan solo fumar por la satisfaccin fsica del acto, y en consecuencia, que el fumador

promedio fumar ms cigarros al da si cambia de una marca con alto contenido de nicotina a otra con un

contenido menor.

a) Suponga que Ross sabe que los no fumadores tienen ritmo cardiaco 78 pulsaciones por minuto.

Cules son las hiptesis, nula y alternativa, adecuadas para probar su primera opinin?

b) Durante los tres meses anteriores, ha estado observando una muestra de 48 individuos que fuman

un promedio diario de 15 cigarros altos en nicotina. Les acaba de cambiar la marca de cigarros

por otra con un bajo contenido de nicotina. Establezca una hiptesis nula y otra alternativa para

probar su segunda opinin.

17. Una compaa productora asegura que sus cigarrillos, no contienen ms de 25 miligramos de nicotina. Una

muestra de 36 cigarrillos dio una media y desviacin estndar de 26.4 y 3.5 miligramos respectivamente.

Existe evidencia en la muestra para refutar a los fabricantes a un nivel de = 0.01 de significacin?

18. Se afirma que la aplicacin de un nuevo fertilizante no produce modificaciones significativas, ni en exceso ni

en defecto en el rendimiento de una planta. Para probarlo se aplica el fertilizante a 30 parcelas,

obtenindose un rendimiento medio menor en 3.4 kg. respecto de la media normal, y un desvo estndar de

10 kg. A l nivel de = 0.05. Corrobora el experimento la hiptesis planteada?

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EJERCICIOS SOBRE HIPTESIS EN PROPORCIONES

19. La empresa Pollo Rpido asegura que por lo menos 90% de sus pedidos, se entregan a ms tardar 30

minutos despus de que se formularon. Para demostrar esta afirmacin, una muestra de 100 pedidos revel

que 82 se entregaron en el tiempo promedio. Es vlida la aseveracin de la empresa en el nivel 0.10 de

significacin?

20. Una investigacin en una universidad indica que al menos el 50% de los estudiantes cambian su rea

principal de especializacin despus del primer ao en el programa de estudios. Su ponga que una muestra

aleatoria de 100 estudiantes revel que 48 de ellos cambi su rea principal de especializacin despus del

primer ao del programa de estudios. Ha habido un decremento significativo en la proporcin de

estudiantes que cambian su rea de especializacin despus del primer ao en el programa?. Realice la

prueba en el nivel 0.05 de significacin.

21. Un funcionario municipal conviene en renunciar a su actual puesto para postularse por una posicin de

mayor nivel, a menos que exista evidencia de que ms del 25% de sus compaeros de partido estn en

contra de su decisin. Al someterse a una muestra de de 800 integrantes del partido se tuvo que 217 se

oponen a la decisin del funcionario. sugiere esta muestra que l optar por postularse de acuerdo con su

decisin?. Realice el contraste utilizando un nivel de significacin de 0.1.

22. La experiencia en una agencia de viajes indic que 44% de las personas que solicitaron de sus vacaciones

deseaban viajar a Europa. Durante la temporada activa ms reciente, se seleccion una muestra de 1000

planes de viaje aleatoriamente de los archivos, y se encontr que 480 personas deseaban viajar a Europa de

vacaciones. Ha habido un cambio significativo en el porcentaje de personas que desean ir al Viejo

Continente?. Realice la prueba en el nivel 0.05. Utilice los pasos comunes de prueba de hiptesis.

23. Se cree que aproximadamente 1 de 10 amas de casa como mximo prefieren el detergente X. Despus de

una campaa publicitaria se entrevista a 200 amas de casa para determinar la eficiencia de la campaa. El

resultado de la muestra es que un total de 26 amas de casa, inclinaron su preferencia por la marca X.

Existe evidencia en los datos para indicar que ha habido un aumento en la aceptacin de la marca?. Pruebe

para un = 0.05

24. Un fabricante afirma que al menos un 20% del pblico prefiere su producto. Se forma una muestra de 100

personas para verificar su afirmacin. Con = 0.05. Qu tan pequeo debe de ser el porcentaje en la

muestra para poder refutar su afirmacin de manera correcta? (Nota: pruebe con una cola)

25. Por experiencia se conoce que el 20% de un cierto tipo de semillas germina. Si en un experimento, 60 de 400

semillas germinan puede considerarse que es una pobre germinacin sobre la base del 1% de nivel de

significacin?

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26. Cierta fbrica de medicamentos sostiene que su producto fue 95% efectivo en eliminar determinada

enfermedad por un perodo razonable. Una muestra de 150 personas que usaron dicho producto dio por

resultado un alivio a 138 de ellas.

Es vlida la afirmacin hecha por el fabricante?. Pruebe para = 0.01 y = 0.05

EJERCICIOS SOBRE PRUEBAS PARA MUESTRAS PEQUEAS

27. Encuentre los valores crticos para los siguientes casos, usando una y dos colas.

a) n= 26 y = 0.05

b) n= 49 y = 0.05

c) n= 22 y 1 - = 0.95

d) n= 11 y = 0.01

e) n= 29 y = 0.025

f) n=60 y 1- = 0.99

28. Un fabricante cree que su produccin media diaria es de 450 unidades. En una muestra de 18 das, se observa

una media de 423 unidades con s(x) = 97. Efectu el contraste adecuado al nivel de significacin del 1%.

29. El gerente de una empresa que rellena cilindros de gas propano est sospechando que la mquina que mide la

cantidad de libras que deposita en el cilindro est defectuosa, ya que le han llegado muchos reclamos de

que el llenado es de menos de 25 libras y no de 25 libras como debe ser. Para ello toma una muestra de 28

cilindros de gas y se reporta: 25, 24, 23, 25, 26, 28, 22, 21, 23, 26, 25, 24, 23, 22, 29, 21, 23, 23, 21, 22, 23,

25, 23, 26, 22, 21, 25, 23.

Al nivel de significacin del 5%, recomendara mandar a reparacin la mquina?. Si usa una significacin

del 10%, cambiara su decisin??

30. El gerente de personal de una empresa quiere determinar la cantidad de tiempo que necesitan los empleados

para llegar a su trabajo. Se selecciona una muestra aleatoria de 12 empleados y se registra el tiempo en

minutos para llegar al trabajo, con los siguientes resultados: 15, 30, 50, 60, 25, 65, 45, 90, 75, 50, 50, 20.

Con el nivel de significacin del 1%, hay pruebas de que el tiempo promedio de viaje de los empleados es

de menos de 1 hora?

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EJERCICIOS SOBRE PRUEBAS DE INDEPENDENCIA

31. Cien estudiantes seleccionados, al azar de cada una de tres universidades fueron cuestionados de si exista un

programa de estudio adecuado en sus universidades y se obtuvieron los siguientes resultados:

UNIV. 1 UNIV.2 UNIV. 3

SI 78 85 69

NO 22 15 31

Pruebe con un nivel de significacin de 0.01 si son significativos las diferencias de opinin entre los

estudiantes de cada universidad con respecto a sus programas de estudio.

32. Un auditor quiere saber si hay una diferencia en el diagnostico de cuentas de gastos en tres diferentes

departamentos de una compaa. Una muestra aleatoria de 25 cuentas del Departamento A, 25 cuentas del

departamento B, y 50 cuentas del departamento C revel la siguiente informacin:

DEPARTAMENTO

A B C

CUENTAS INCORRECTAS 6 5 9

CUENTAS CORRECTAS 19 20 41

Hay alguna diferencia entre los resultados de las cuentas de gastos entre los departamento A, B y C con

un nivel de significacin de 0.05?

33. Un asesor financiero quiere conocer las diferencias entre la estructura de capital de varios tamaos de

empresas en cierta industria. Hace una encuesta de un grupo de firmas que tienen distintas cantidades de

activas y las divide en tres grupos. Clasifica cada una segn que su deuda sea mayor que el capital contable

de los accionistas o que su deuda sea menor. A continuacin aparecen los resultados.

CANTIDAD DE ACTIVOS DE LA EMPRESA

5000.00 5000.00 20,000.00 TOTAL

Deuda menor al capital contable 7 10 8 25

Deuda mayor al capital contable 10 18 9 37

TOTAL 17 28 17 62

Tienen idntica estructura de capital los tres tamaos de empresa?. Use un nivel de significacin de 0.01

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34. El director de un gran centro comercial querra saber si hay diferencia en la proporcin de clientes que

consumen segn sexo a diversas horas durante diversos das de la semana. Se seleccionaron muestras

aleatorias de 300 clientes en el da, 300 clientes en la noche y 400 clientes de fin de semana, con los

siguientes resultados:

DIA

NOCHE FIN DE SEMANA

HOMBRES 90 125 185

MUJERES 210 175 25

Con un nivel de significacin de 0.05 Hay diferencia en la proporcin de consumidores segn sexo en los

diversos das y horas de la semana?

35. Decida, con un nivel de significacin de 0.05, si son significativas las diferencias en las reacciones al sabor

de una pasta dental, de acuerdo con la siguiente informacin.

REACCION DEL CONSUMIDOR AL SABOR DE LA NUEVA PASTA DENTAL

HOMBRES MUJERES NIOS

LES GUSTA 52 56 45

LES ES INDIFERENTE 15 23 11

NO LES GUSTA 33 51 34

36. Se enviaron muestras, seleccionadas al azar, de papas cultivadas por un mismo propietario en tres lugares

diferentes para determinar su calidad. Los resultados fueron los siguientes (libras de papas):

CALIDAD LUGAR DE CULTIVO

LUGAR A LUGAR B LUGAR C

PERFECTA 37 70 13

DAADA COMESTIBLE 25 17 31

NO COMESTIBLE 8 11 18

Pruebe con un nivel de significacin de 0.01 si en los tres lugares se cultivan papas de la misma calidad.

37. En un estudio de las actitudes de empleados hacia su programa de beneficios mdicos fue seleccionada una

muestra al azar de 385 empleados y se obtuvo la siguiente informacin:

ACTITUD TRABAJO QUE REALIZA

SOLDADOR PINTOR TERMINADOR

BUENA 30 50 25

REGULAR 70 50 30

DEFICIENTE 50 45 35

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Con el nivel de significacin de 0.01 Existe una relacin entre la actitud del empleado hacia el programa

de beneficios y el trabajo que realiza? Use 0.05 como nivel de significacin?.

38. En un estudio realizado para determinar si existe relacin entre los grados acadmicos de los empleados de

cierta empresa y los salarios que reciben, fue seleccionada una muestra al azar de 500 empleados la cual

mostr los siguientes resultados:

GRADO ACADMICO SALARIO

BAJO ORDINARIO ALTO

MAESTRO 36 128 124

LICENCIADO 30 70 44

DIPLOMADO 15 34 19

Utilice el nivel de significacin de 0.05 para probar la hiptesis de que no existe una relacin real entre los

grados acadmicos y los salarios de los empleados.

39. El Departamento Administrativo de una universidad desea establecer, usando los siguientes resultados:

NIVEL DE ESTUDIO EVALUACIN

EXCELENTE BUENA DEFICIENTE

PRIMER AO 7 11 7

SEGUNDO AO 27 63 34

PENLTIMO AO 17 12 5

ULTIMO AO 43 59 15

Si existe relacin entre el nivel de estudio de un alumno y su evaluacin en un curso de produccin con el

nivel de significacin de 0.01 Existe tal relacin?

40. Para averiguar si las ventas de cierto artculo es independiente del nivel en que se encuentra cierta economa,

se ha seleccionado los siguientes datos de las ventas semanales de una empresa. Use un nivel de

significacin del 0.5%.

ESTADO DE LA ECONOMA VENTAS

ALTAS MEDIANAS BAJAS TOTAL

EXPANSIN MXIMA 20 7 3 30

DEPRESIN 30 40 30 100

EN CRECIMIENTO 20 8 2 30

EN DECRECIMIENTO 30 5 5 40

TOTAL 100 60 40 200