Guía Teórico Práctico De Cálculo I

8/19/2019 Guía Teórico Práctico De Cálculo I

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Profa. Joffre Hernández Matemática I 1

Universidad Centroccidental

“LISANDRO ALVARADO” DECANATO DE AGRONOMIADepartamento Ingeniería Agrícola

Cátedra de Matemática I

GUIA TEÓRICO- PRÁCTICAMATEMÁTICA I

Profa. Joffre HernándezLapso 2010-1


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UNIDAD I.Plano Cartesiano - Gráfica de Ecuaciones

Tema 1. Plano Cartesiano-Puntos

Las coordenadas cartesianas son unas de las coordenadas más usadas. En dos dimensiones,están formadas por un par de rectas en una superficie plana, o plano, que se cortan en ángulo recto.Cada una de las rectas se denomina eje y el punto de intersección de los ejes se llama origen. Los ejesse dibujan habitualmente como la horizontal y la vertical, y normalmente se les denomina x e yrespectivamente. En coordenadas cartesianas, un punto del plano es un par ordenado (x 1,y1), donde x1 es la coordenada x del punto o la abscisa y y1 es la coordenada y o la ordenada.

Ejemplos:1. Representar gráficamente los puntos A(-3,-1) y B(1,1).

Sol:

2. Representar gráficamente los puntos C(0,2), D(-2,0) y E(4,-2)Sol:

x1 x2

y2

y1 P

P2Representamos los puntos P1 de coordenadas (x1,y1) yP2 de coordenadas (x2,y2). A la recta real dispuestahorizontalmente se le llama eje x y a la recta realdispuesta verticalmente se le llama eje y.

-3 1

1

-1

B

A

-2 4

2

-2

C

D

E


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Fórmula de DISTANCIA entre dos puntosSean los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2)

En este caso Hip= 21PP , 121 xxC y 122 y y C , por encontrarse sobre rectas reales.

Por lo tanto: 2122

1221

2

12

2

122

21 y y xxPP y y xx)PP( Fórmula de distancia

entre dos puntos!

Ejemplos:

1. Sean A(-1,0) y B(-1/2,3). Hallar AB.

Sol: Grafiquemos el segmento AB

2.

Probar que los puntos A(-2,4); B(-1,3) y C(2,0) son colineales.Sol: Grafiquemos los puntos:

Tracemos el segmento de extremo P1 y P2, es decir

21PP , grafiquemos el punto Q, cuáles son lascoordenadas de Q? Q(x2,y1). Observemos que seconstruye un triángulo rectángulo. Necesitamosconocer la distancia entre P1 y P2, que es la longitud de

21PP , además ésta es la longitud de la hipotenusa deltriángulo. Por teorema de Pitágoras sabemos:

222

12 CC)Hip(

x1 x2

y2

y1P

P2

Q

-1 -1/2

3B

A

Usemos la fórmula para hallar AB, en este caso11 y x

)0,1( A y22 y x

)3,2/1(B

22

22

3)12

103)1(

2

1 AB

2

37 AB

4

379

4

13

2

1 AB 2

2

-2 -1 2

4

3

A

B

C

Se debe cumplir que: BC AB AC

242.1632)4(4)40())2(2( AC 2222

211)1(1)43())2(1( AB 2222

232.918)3(3)30())1(2(BC 2222

AC24232BC AB Si son colineales


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3.

La distancia del punto P(1,3) al punto Q de abscisa -6 es 74; hallar la ordenada del punto Q.

Sol:

4. Determinar si los puntos (4,7); (4, 3); ( 1,7) A B C son los vértices de triángulo isorectángulo.En caso de no serlo, indique el tipo de triángulo y calcule su área.

Sol: Grafiquemos los puntos y tratemos de dibujar un triángulo.

Triángulo rectángulo!

Calculemos el área..

2

b h A , por ser un triángulo rectángulo la altura sería AB y la base AC

(10).(5) 5025 .

2 2 A u c

-6 1

3 P

Sabemos que 74PQ , P(1,3) y Q(-6,y)

2222 )3 y ()16(74)3 y ()16(PQ

222

)3 y (4974)3 y ()7(74

53 y 3 y 5

)3 y (25)3 y (25)3 y (4974

)3 y (4974)3 y (4974

222

22

22

253 y ó853 y 21 )2,6(Qó)8,6(Q

Un triángulo Isorectángulo es isósceles y rectángulo a lavez. Tiene dos lados iguales y uno desigual; además unángulo recto.Debemos buscar la longitud de todos los lados, paradeterminar que es un triángulo rectángulo se debeverificar el teorema de Pitágoras:

2 2 2( ) ( 1) ( 2) Hip cat cat .2 2 2 2(4 4) ( 3 7) 0 ( 10) 100 10 AB

2 2 2 2( 1- 4) (7 -(-3)) ( 5) (10) 125 5 2 BC 2 2 2 2( 1 4) (7 7) ( 5) 0 25 5CA

Todos los lados son desiguales, por lo tanto no esIsósceles. Veamos si es rectángulo, veamos si se cumpleel Teorema de Pitágoras.

En este caso la hipotenusa sería el segmento BC y los

catetos CA y AB 2 2 2( ) ( 1) ( 2) Hip cat cat

2 2 2

22 25 2 5 (10) 125 25 100 125 125

BC CA AB

Se verifica el Teorema de Pitágoras, por lo tanto el

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-

-2 -1 1 2 3 4

A

B

C


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PUNTO MEDIO de un segmento

2

y y ,

2

xxP 1212M

EJEMPLOS:1. Hallar el punto medio del segmento de extremos K(1,3) y J(3,5).

Sol:

2. Sean los puntos A(1,1); B(3,0) y C(4,7). Hallar la longitud de la mediana al vértice C .

Sol:

)7,4(C=P1 y

2

1,22 Medio Pto P

212

P P = 2 - 4 + - 71 2 2

x1 xm x2

y2ymy1 P1

P2PM

Hallemos las coordenadas del punto PM(xm,ym)Sabemos que:xm - x1 = x2 - xm 12mm xxxx

2

xxxxxx2

12

m12m

ym - y1 = y2 - ym 12mm y y y y

2

y y

y y y y 2 12

m12m

Apliquemos la fórmula de punto medio:

2,

2

1212 y y x x

4,22

8,

2

4

2

35,

2

13

El punto medio de KJ es (2,4)

1 2 3

5

3

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5

C

A

B

Una mediana es el segmento de extremos unvértice del triángulo y el punto medio del ladoopuesto a dicho vértice.

Apliquemos la fórmula de punto medio:

2,

2

1212 y y x x

2

1,2

2

1,

2

4

2

10,

2

13

El punto medio de AB es

2

1,2

Ahora apliquemos la fórmula de distancia parahallar la longitud de la mediana:


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2

13 169 185 1852P P = 2 + 41 2 2 4 4 2

La longitud de la mediana al vértice C es de2

185unidades.

Tema 2. La Recta

Una recta es la representación gráfica de una ecuación de primer grado de la forma

Ax+By+C=0, donde 0 0 A ó B , además una recta está determinada por dos puntos, es decir pordos puntos siempre pasa una recta.

La inclinación de una recta se mide mediante un número llamado Pendiente de la recta.

EJEMPLOHallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 5,4) A y (3, 2) B .

Sol:

ECUACIÓN DE LA RECTA.

1. Ecuación punto pendiente:La ecuación de la recta de pendiente m y que pasa por el punto P(x 1,y1) es:

)( 11 x xm y y Nota: En la práctica esta ecuación es la más utilizada

x1 x2

y2

y1P

P2

12 xx

12 yy

L

Sea L una recta no vertical que pasa por los puntos)y,x(Py)y,x(P 222111 , la pendiente m de la recta es el

cociente del cambio en la coordenada y y el correspondientecambio en la coordenada x, es decir:

12

12

x x

y ym

ó

21

21

-

-

x x

y ym

Si 0>m entonces la recta es creciente.Si 0


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2. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:La ecuación de la recta que pasa por el punto P1(x1,y1) y P2(x2,y2) es:

)-(- 112

12

1 x x x x

y y y y

Observe que es la ecuación anterior sustituyendo la pendiente por la fórmula.

3.

Ecuación pendiente-intersección:La ecuación de la recta de pendiente m y que pasa por el punto P(0,b) que es el punto decorte con el eje y, es:

b+mx=y

4. Ecuación intersección con los ejes:La ecuación de la recta de pendiente m y que pasa por el punto P1(0,b) y P2(a,0) que son los

puntos de corte con el eje y y con el eje x, respectivamente, es:

1= b

y+

a

x

5. Ecuación de una recta Vertical En una recta vertical los valores de x son fijos, la que varía es y, entonces

a=x

6. Ecuación de una recta Horizontal

En una recta horizontal los valores de y son fijos, la que varía es x, entonces b=y

Todas estas ecuaciones nos llevan a la ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA:0=C+By+Ax , donde 0≠Bó0≠A

EJEMPLOS:

1.

Hallar la ecuación de la recta de pendiente 6 y pasa por el punto5

-1, 2

Sol: En este caso sabemos que la recta es creciente ya que m>0, la gráfica la haremos al obtenerla ecuación ya que debemos tener al menos dos puntos para graficar.

Apliquemos la ecuación de punto-pendiente:)( 11 x xm y y , en este caso

1

56 1,

2m y P

5 2 56( ( 1)) 6( 1)

2 2

y y x x

2 5 12( 1) 2 3 12 12 y x y x debemos expresar la ecuación en formageneral:2 5 12 12 0 2 12 17 0 y x y x Ahora démosle un valor a alguna de lasvariables para poder graficar:

170 2 12.0 17 0 2 17

2 x y y y

Obtenemos el punto17

0,2

10

9

8

7

65

4

3

2

1

-2 -1


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2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0,4) y (2,-1).Sol:

3. Hallar la pendiente de la recta 0=6y4+x3 Sol.

Busquemos otro punto para graficar:6

0 3 4.0 - 6 0 3 6 23

y x x x x

NOTA: Para hallar la ecuación de una recta siempre debemos aplicar la ecuación )( 11 x xm y y , por lo que es necesario conocer un punto y la pendiente de la recta.

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-2 -1 1 2

Apliquemos la ecuación: )( 11 x xm y y En este caso no conocemos la pendiente, debemos buscarla:

Llamemos P1(0,4) y P2(2,-1)1 4 5 5

2 0 2 2m

5

2m

Entonces:5

4 ( 0) 2( 4) 5 2 8 52

y x y x y x

La ecuación de la recta es: 2 5 8 0 y x

En este caso nos dan la ecuación debemos hallar la pendiente. Obsérvese que no tenemos los dos puntos necesarios para hallar la pendiente, peromediante la ecuación si la podemos llevar a laforma b+mx=y , hallaremos la pendiente comoel coeficiente de la x.

3 4 - 6 0 4 -3 6

-3 6 -3 6

4 4 4

3 3

4 2

x y y x

x x y y

y x

por lo tanto la

pendiente de la recta es4

3m y su corte con el

eje y es2

3

3

2

1

1 2


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TEOREMAS:1. Dadas dos recta L1 y L2, de pendiente m1 y m2, respectivamente.Si L1 es paralela a L2 ( 1 2 L L ), entonces m1 = m2

Si L1 es perpendicular a L2 ( 1 2 L L ), entonces m1 . m2 = -1

2. La distancia de un punto )y,x(P 111 a una recta 0=C+By+Ax:L es: ( ) 2211

PLB+A

C+By+Ax=d

EJEMPLOS:1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto )4,1( y es perpendicular a la recta0=6-3y+5x .

Sol: Para encontrar la ecuación de la recta usamos la ecuación: )( 11 x xm y y Conocemos P1(-1,4) pero no conocemos la pendiente, tenemos que la recta es perpendicular a

0=6-3y+5x por lo que podemos aplicar el teoremaLlamemos m1 la pendiente que necesitamos y m2 la pendiente de la recta 0=6-3y+5x

2

-5 6 53 -5 6

3 3

x y x y m

Como 1 2 L L

entonces m1 . m2 = -1 5

3

3

5

11

12

1

m

mm

Al aplicar la ecuación )( 11 x xm y y , tenemos:

rectaladeecuaciónlaes x y

x y x y x y x y

02335

3320533205)1(3)4(5))1((5

34

2. Hallar la distancia del punto (3,-2) a la recta 0234 y x Sol: la fórmula de un punto a una recta siempre nos dará la distancia perpendicular que es lamás corta.

( ) 2211

ALB+A

C+By+Ax=d , en este caso x1 = 3; y1 = -2; A = 4; B = -3 y C = -2

5

4

25

4

916

2612

)3(4

)2()2.(33.4

22

ALd

La distancia del punto a la recta es unidades5

4

3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de corte de las rectas035245 y x y y x y es paralela a la recta 0542 x y

Sol: En este caso debemos buscar la pendiente y el punto para aplicar la ecuación)( 11 x xm y y

Tenemos que la recta L1 es paralela a la recta L2: 0542 x y por lo tanto podemosencontrar la pendiente de la recta.

22

52

2

545420542: 22

m x y

x y x y x y L

Como 21 LL entonces m1 = m2, por lo tanto 21 m


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Además P1(x1,y1) es el punto de corte de las rectas 035245 y x y y x

0352

045

y x

y x

5

2

0352

045

y x

y x

23

70723

0152510

08210

y y

y x

y x

23

17

115

85

23

85

5023

85

50423

7

5 x x x x x

Entonces la recta tiene pendiente m1 = -2 y pasa por el punto P1

23

7,

23

17

)( 11 x xm y y

23

17232

23

723

23

172

23

7 x y x y

3446723 x y 0414623 x y

Tema 3: Ecuación de la Circunferencia

Definición: La circunferencia es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) del plano cartesiano, queequidistan de un punto fijo C ( h , k ) llamado Centro y a la distancia fija se le llama Radio.. Si r es el

la distancia fija, entonces un punto P ( x, y ) está en la circunferencia si y sólo si :

r =)k -y(+)h-x(=PC 22

Gráficamente:

Si desarrollamos todas las operaciones en la ecuación 222 r =)k -y(+)h-x( obtenemos:

22222 2-2- r k yk yh xh x Por qué?

022 22222 r k h yk xh y x Por qué?

2 2 2 2 2(-2 ) ( 2 ) ( - ) 0 x y h x k y h k r

Haciendo el cambio: h A 2 k B 2 222 r k hC

Tenemos: 0=C+By+Ax+y+x 22 →Ecuación General de la Circunferencia

Sabemos que r =)k -y(+)h-x(=PC 22 elevando al

cuadrado ambos miembros tenemos:222 r =)k -y(+)h-x( Ecuación de la Circunferencia

Si el centro de la circunferencia es el origen, es decirC(0,0), la ecuación se transforma en:

222 r =y+x

h x

y

k

C(h,k

P(x,y)


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Donde2

2-

A

hh A 2

2-

B

k k B C k hr r k hC 22222 -

Elementos de la Circunferencia

1. Diámetro: Es cualquier segmento que pasa por el centro de la circunferencia y cuyos extremosestán en ella; su medida es : D = 2 r .

2. Radio: Es la longitud del segmento que va desde el centro hasta cualquier punto de la

circunferencia.

3. Tangente: Es la recta que corta a la circunferencia en un solo punto

4. Secante: Recta que corta a la circunferencia en dos ( 2 ) puntos

5.

Centro: Es un punto fijo del cual equidistan todos los puntos de la circunferencia, es un centrode simetría.

6. Eje de simetría: Es cualquier diámetro.

EJEMPLOS:

1. Obtener la ecuación de la circunferencia de centro (-2,4) y radio 3.

Sol: grafiquemos y apliquemos la ecuación 222 r =)k -y(+)h-x(

2. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (1,-1) y es tangente a la recta

5x – 12y + 22 = 0.

Sol: Hagamos un bosquejo de la gráfica:

-2

4

C(-2,4) = (h,k) y r = 3Sustituyendo en la ecuación tenemos:

2 2 2 2 2( - (-2)) ( - 4) 3 ( 2) ( - 4) 9 x y x y 2 2

2 2

4 4 - 8 16 9

4 - 8 16 4 - 9 0

x x y y

x y x y

0118422 y x y x Ecuación de lacircunferencia

C(1,-1)

Apliquemos la ecuación 222 r =)k -y(+)h-x( , observemosque tenemos el centro (1,-1) pero no el radio.Para encontrar el radio usemos la fórmula

( ) 22

11

ALB+A

C+By+Ax=d , en este caso el punto es (1,-1) y la

recta 5x – 12y + 22 = 0

13

39

169

39

14425

22125

125

22)1).(12(1.5

22

PLd r

3r


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Al aplicar la ecuación tenemos 9)1()1(3))1(()1( 22222 y x y x

091212 22 y y x x 072222 y x y x Ecuación de la circunferencia

Tema 4. GRÁFICA DE ECUACIONES

Dada una ecuación en dos variables ( , ) 0 F x y , se llama gráfico o gráfica de esta ecuación al

conjunto 2( , ) / ( , ) 0G x y R F x y (conjunto de todos los puntos en el plano 2 R que satisfacen

la ecuación).

Para trazar el gráfico de una ecuación se puede localizar algunos puntos adecuados.

EJEMPLOS:

1.

Graficar la ecuación 2 3 0 y x .

Debemos saber que esta es una ecuación lineal cuya representación grafica es una recta. (esto lo

sabemos porque las variables tienen exponente igual a 1)

En este caso basta con buscar los puntos de corte con los ejes x y y. Esto consiste en darle el

valor de 0 a cada variable.

0 2(0) 3 0 3 0 3 x y y y , obtenemos el punto (0,-3) corte con el eje y

3 30 0 2 3 0 2 3

2 2

y x x x x

, obtenemos el punto3

, 0

2

corte con el

eje x. Gráficamente:

2. Graficar la ecuación 2 2 0 y x

Debemos saber que esta es una ecuación cuadrática cuya representación grafica es una parábola.

(esto lo sabemos porque una de las variables tiene exponente igual a 2)


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En este caso como la variable x es la que está elevada al cuadrado se sugiere despejar la variable

y, escribir la ecuación en la forma general 2 y ax bx c , debemos buscar el vértice y dos

puntos.

22 y x , para buscar el vértice ( , )V h k usamos la fórmula

2

bh

a

, en este caso:

0

02.1h h

, para encontrar k, sustituimos el valor de h en la x:20 2 2 (0, 2)k k V

Estratégicamente le damos dos valores a la variable x, uno mayor y otro menor a h.

21 (1) 2 1 2 3 x y y , obtenemos el punto (1,3)

21 ( 1) 2 1 2 3 x y y , obtenemos el punto 1,3

Gráficamente:

3.

Graficar la región limitada por las curvas 2 3 4 0 y x y2

2 4 3 0 y x x Sol: Debemos graficar las dos ecuaciones en un mismo sistema de coordenadas.

Hagamos el estudio de cada ecuación:

2 3 4 0 y x

Sabemos que esta ecuación representa una recta

Busquemos los puntos de corte con los ejes:

0 2 4 0 2 4 2 (0, 2)

4 4

0 3 4 0 3 4 (4, )3 3

x y y y

y x x x

22 4 3 0 y x x 22 4 3 y x x

Sabemos que es una parábola, busquemos el

vértice: ( , )V h k

2

bh

a

( 4) 41

2.2 4

h

22(1) 4(1) 3 2 4 3 5k (1, 5)V

Démosle dos valores a la x:

2

2

2 2(2) 4(2) 3 8 8 3 3 (2, 3)

0 2(0) 4(0) 3 3 (0, 3)

x y

x y


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Gráficamente:

Graficas de regiones f(x)>a; f(x)


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6. Hallar el punto ( , )a b , tal que (3,5) sea el punto medio del segmento de extremos

( , ) 1, 2a b y

7. Encuentre la ecuación de la recta que satisface las condiciones dadas:

a) Pasa por los puntos (2,5) ( 1,4) y

b) Pasa por el punto1

,3

2

y el origen

c) Pasa por el punto ( 2,1) y corta a y en3

2

d) Corta al eje y en -1 y tiene pendiente 2

e) Pasa por el punto (-1,4) y es paralela a la recta de ecuación 3 4 2 x y

f) Pasa por el punto (-2,-3) y es perpendicular a la recta de ecuación 5 2 1 x y

g) Es paralela a la recta de ecuación 2 4 5 0 y x y pasa por el punto de intersección de

las rectas 5 4; 2 5 3 0 x y x y .

8.

Determinar cuáles de las siguientes rectas son paralelas y cuáles son perpendiculares:

a)1

: 2 5 6 0 L x y b) 2 : 4 3 6 0 L x y c) 3 : 2 5 8 0 L y x

d)4 : 5 3 0 L x y e) 5 : 4 3 9 0 L x y f) 6 : 5 20 0 L y x

9.

Hallar la distancia entre cada punto y la recta de ecuación dada.

a) (0, 3); 5 12 10 0 x y b) (1, 2); 3 5 x y

10. Hallar la distancia entre las rectas paralelas:

a) 3 4 0; 3 4 10 x y x y b) 2 1 0; 4 2 9 0 x y x y

11.

Hallar la ecuación de la circunferencia que satisface las condiciones dadas.

a) Centro (2,-1) y radio 5 b) Centro (-3,2) y radio 5

c) Centro el origen y pasa por (-3,4)

d) Centro (1,-1) y pasa por el punto (6,4)

e) Tiene diámetro de extremos (2,4) y (4,-2)

f) Centro (-2,2) y es tangente a la recta de ecuación 2 8 0 y x g) Centro (2,-3) y es tangente a la recta de ecuación 4 3 5 0 y x

II. Graficar las siguientes ecuaciones:

1. 3 5 x y 2. 3 1 y x 3. 2 4 0 y x


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4. 3 5 2 0 x y 5. 3 6 y x 6. 1 x

7. 4 y 8.1

1 y x

9. 2 1 0 y x

10. 22 3 y x 11. 29 0 y x 12. 2 8 0 x y

13. 2 10 y x 14. 2 2 x y y

UNIDAD II. FUNCIONES REALES

Una función real f es una relación entre dos conjuntos de números reales A y B, que le hacecorresponder a cada elemento de A un único elemento de B.

BA:f A f BSea xєA y yєB, entonces la función f se define: f(x)=y.

Y se denota: Domf={x єA: f(x)=y}

*f(x)=y*

x

A f BA “x” se le llama variable independiente o

preimagen de “y” y a “y” se le llama variable dependiente oimagen de x.

Por ser “x” y ”y” variables, éstas pueden tomarcualquier valor . Al conjunto formado por todos los xєA que

hacen que la función esté bien definida se le denomina“Dominio” de la función.


17/79


Al conjunto formado por todos los yєB que son imagen de los elementos del dominio, se le

denomina “Rango” , ámbito o contradominio de la función.Y se denota: Rgof={ yєB : f(x)=y }.

EJEMPLO:

f es función g es función

h no es función l no es función

Una función real de variable real siempre está definida mediante una expresión matemáticadonde x es la variable independiente y y la variable dependiente. Por lo que una función es un conjuntode puntos (x,y) en los que no existen dos puntos que contengan la misma abscisa.

VALORACIÓN DE FUNCIONES:

Dada una función real de variable real y=f(x), valorar una función es encontrar el valor de f(x) ode y en el conjunto de llegada (rango) correspondiente a cada x del conjunto de partida (dominio).EJEMPLO:

1) Sea4x

x)x(f

, hallar: a) f(1); b) f(0); c) f(-1); d) f(-4); e) f(4)

Sol: Para hallar cada valor se debe sustituir la variable por el valor correspondiente, obsérveseque en f(x) lo que está dentro del paréntesis es x, por lo que x se sustituirá por el valor que estédentro del paréntesis:

a)5

1

41

1)1(f

b) 0

4

0

40

0)0(f

c)

3

1

3

1

41

1)1(f

d) existeno0

4

44

4)4(f

e)

2

1

8

4

44

4)4(f

A f B

1

2

3

a*

b*

c *

a*

b*

c *

1

2

3

A g B

a*

b*

c *

1

2

3

A h B

a*

b*

c *

1

2

A l B


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2) Sea 9x)x(g 2 , hallar: a) g(3); b) g(0); c) g(-3); d) g(4)Sol: Sustituyamos x por cada valor

a) 009993)3(g 2

b) R 99090)0(g 2

c) 009993)3(g 2

d) 791694)4(g 2

3)

Sea 5x2x)x(h 2 , hallar: a) h(1); b) h(0); c) h(-1); d)

2

1h

Sol: Sustituyamos x por cada valor

a) 452151.21)1(h 2

b) 550050.20)0(h 2

c) 85215)1.(21)1(h 2

d)4

1751

4

15

2

2

4

15

2

1.2

2

1

2

1h

2

4) Seax

1)x(f , hallar f(x+h)

Sol: Sustituyamos x por x+h

hx

1)hx(f

5) Seax2

1x)x(f

2 , hallar f(x+h)

Sol: Sustituyamos x por x+h

h2x2

1hxh2x

)hx(2

1)hx()hx(f

222

GRÁFICALa representación gráfica de una función real f, es el conjunto de todos los puntos (x,y) en R 2

para los cuales (x,y) es un par de f. f={(x,y)єR 2:f(x)=y}

EJEMPLOS:1) Sea 3x2)x(f , hallar dominio, rango y graficar.

Sol: El dominio de f es el conjunto formado por todos los xєR tal que f está bien definida: Dom f = R


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Para graficar debemos darle valores a la x para encontrar valores de y y obtener los puntos (x,y)

Como f está definida mediante una ecuación de grado 1, su gráfica es una recta por lotanto basta con darle 2 valores a x, entre ellos el 0 para conocer el punto de corte con el eje y

Si x=0 => f(0)=2.0-3=-3 =>(0,-3)Si x=1=>f(1)=2.1-3=2-3=-1 => (1,-1)

El Rango se encuentra a través de los valores de y, en este caso la gráfica de la funciónrecorre todo el eje y por lo tanto Rgo f = R

TIPOS DE FUNCIONESFUNCIÓN LINEAL: Se define como bax)x(f , donde a y b son constantes y 0a . Sugráfica es una recta de pendiente “a” e intersección con y en “b”.

FUNCIÓN IDENTIDAD: Se define como x)x(f , una recta que pasa por el origen (0,0).

FUNCIÓN CONSTANTE: Se define como C)x(f , donde CєR. Su gráfica es una rectahorizontal que pasa por y=C, su rango es {C}.

FUNCIÓN CUADRÁTICA: Se define como c bxax)x(f 2 , es una parábola con ejevertical paralelo al eje y.

FUNCIÓN CÚBICA: Se define como dcx bxax)x(f 23 , cuya gráfica es una curvallamada parábola cúbica.

Todas estas funciones se definen como FUNCIONES POLINÓMICAS, ya que están definidasmediante un polinomio de grado 0, 1, 2, 3, etc. Todas tienen dominio el conjunto R.

FUNCIÓN RACIONAL: Se definen como)x(q

)x( p)x(f , donde p(x) y q(x) son polinomios, su

dominio es el conjunto R-{xєR:q(x)=0}

FUNCIÓN ALGEBRÁICA: Todas las anteriores y las definidas mediante ecuaciones como:

...; bax)x(f ; bax)x(f ; bax)x(f 2

FUNCIONES TRANSCENDENTES: Se definen como las exponenciales, logarítmicas,trigonométricas…


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EJEMPLOS:

1) Hallar el dominio, rango y grafica de la función: 4x)x(f Sol: Por ser una función polinómica su dominio es Dom f = REs una función lineal por lo tanto su gráfica es una recta que corta al eje y en 4, démosle unvalor a x 0 x=1 =>f(1)=-(1)+4=-1+4=3 => (-1,3)

Rgo f = R

2)

Hallar el dominio, rango y grafica de la función: 1x2x)x(f 2

Sol: Por ser una función polinómica su dominio es Dom f = REs una función cuadrática por lo tanto su gráfica es una parábola que abre hacia arriba,encontremos el vértice V(h,k)

12

2

1.2

2

a.2

bh

, sustituyamos este valor en f para encontrar k

)0,1(V01211)1(2)1()1(f 2

)1,0(11001)0(2)0()0(f 0x

)1,2(11441)2(2)2()2(f 2x

2

2

Rgo f = [0, + )

3)

Hallar el dominio, rango y grafica de la función: 3x2)x(f Sol: Por ser una función definida mediante una raíz cuadrada su dominio dependerá de los

valores de x que hagan que 2x+3 02

3x3x2

por lo que

Dom f =

,

2

3


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Para graficar debemos darle valores, comenzando por2

3

)5,1(53231.2)1(f 1x

)3,0(33030.2)0(f 0x

0,2

30333

2

63

2

32

2

3f

2

3x

Rgo f = ,0

4) Hallar el dominio, rango y grafica de la función:1x

1x4x3)x(f

2

Sol: Por ser una función racional el dominio será todos los valores de x tales que 1R Domf 1x01x

Para graficar la función f factorizaremos los polinomios( 1)(3 1)

( ) ( ) 3 1( 1)

x x

f x f x x x

Se transforma f a una función equivalente a una función lineal cuya gráfica es una recta quecorta al eje y en 4

2 (2) 3.2 1 6 1 5 2,5 x f

* 1 (1) 3.1 1 3 1 2 1, 2 * x f este punto es abierto ya que 1 Domf

Rgo f = R-

3

2

5) Hallar el dominio, rango y grafica de la función: 2x3)x(f


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Sol: Apliquemos la definición de valor absoluto para hallar el dominio de f

3

2x2x302x3si)2x3(

3

2x2x302x3si2x3

2x3

R f Dom

Para grafica debemos darle a x el valor de

3

2 y valores mayores y menores que él

2 2 2 6 23. 2 2 2 2 0 0 , 0

3 3 3 3 3

1 (1) 3.1 2 3 2 1 1 (1,1)

x f

x f

)5,1(55232)1.(3)1(f 1x

Rgo f = ,0

6) Hallar el dominio, rango y grafica de la función: 9x)x(f 2 Sol: Por ser una función definida mediante una raíz cuadrada su dominio dependerá de losvalores de x que hagan que x2- 9 0 0)3x)(3x( por lo que

Dom f = 3, ,3

Para graficar debemos darle valores:

)7,4(791694)4(f 4x

)0,3(009993)3(f 3x

7,479169)4(4f 4x

0,300999)3(3f 3x

2

2

2

2

Rgo f = ,0

-3 3


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7) Hallar dominio, rango y graficar la función 2x4)x(f Sol: Por ser una función definida mediante una raíz cuadrada su dominio dependerá de losvalores de x que hagan que 4 -x2 0 0)x2)(x2( por lo queDom f = [-2, 2]

Para graficar debemos darle valores:

)0,2(004424)2(f 2x

3,1314)1(41f 1x

)2,0(240404)0(f 0x

3,1314)1(41f 1x

0,20044)2(42f 2x

2

2

2

2

2

Rgo f = [0 , 2]

8) Hallar dominio, rango y graficar la función

1xsi2x

1x1si1x

1xsi2

)x(f 2

Sol: Para hallar el dominio tomemos como base la recta real:

Toda la zona rayada serán los valores que puede tomar x por lo tanto Dom f = RSi 1x x=-2 f(-2)=2 (-2,2)

*)2,1(2)1(f 1x*

)2,3(2)3(f 3x

Si 1x1

)1,0(110)0(f 0x

)0,1(0111)1()1(f 1x

2

2

)0,1(0111)1()1(f 1x

2

Si 1x

*)3,1(321)1(f 1x*

)5,3(523)3(f 3x

)4,2(422)2(f 2x

-2 2

-1 1 + /////////////*\\\\\\\\\\\\\\*

Punto abierto

Punto abierto


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Rgo f = ,30,12

CRITERIO DE LA RECTA VERTICAL

Una curva en el plano es el gráfico de una función si y solo si toda recta vertical corta a la curvaa lo más una vez, en un solo punto.

CRITERIOS DE SIMETRÍA, FUNCIONES PARES E IMPARES

1) La gráfica de una función f(x)=y se dice que es:

a)

Simétrica respecto al eje y si y solo si f(-x)=f(x), también se dice que f es par

b)

Simétrica respecto al origen si y solo si f(-x)=-f(x), también se dice que f es impar


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2) La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al eje x si y solo s f(x)=-f(x), éstasecuaciones no representan funciones.

EJEMPLOS:1) Determine si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna.

a) 5x)x(f 2 Sol: Hallemos f(-x) sustituyendo la x por – x

)x(f 5x5)x()x(f 22

f es par b) xx)x(f 3

Sol: Hallemos f(-x) sustituyendo la x por – x)x(f )xx(xx)x()x()x(f

333

f es imparc)

3

2

xx

3x)x(f

Sol: Hallemos f(-x) sustituyendo la x por – x

)x(f xx

3x

)xx(

3x

xx

3x

)x()x(

3)x()x(f

3

2

3

2

3

2

3

2

f es impar

d)5x

2xx)x(f

2

2

Sol: Hallemos f(-x) sustituyendo la x por – x

5x

2xx

5)x(

2)x()x()x(f

2

2

2

2

f no es ni par ni impar

TRANSFORMACIONES DE GRAFICASSea c>0, para obtener la gráfica de:


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1. c+)x(f =y , se traslada la gráfica de )x(f =y c unidades hacia arriba.2. c-)x(f =y , se traslada la gráfica de )x(f =y c unidades hacia abajo.3.

)c+x(f =y , se traslada la gráfica de )x(f =y c unidades hacia la izquierda4. ( ) y f x c , se traslada la gráfica de )x(f =y c unidades hacia la derecha.

EJEMPLOS:1. Utilizando la gráfica de 2( ) f x x , graficar las funciones:

a.2

( ) 2 f x x b.2

( ) 3 f x x c.2

( ) ( 1) f x x d.2

( ) ( 3) f x x

Grafiquemos 2( ) f x x , a partir de esta grafica podemos obtener la de 2( ) 2 f x x trasladándola 2 unidades hacia arriba.

Grafiquemos 2( ) f x x , a partir de esta grafica podemos obtener la de 2( ) 3 f x x trasladándola 3 unidades hacia abajo.

.Grafiquemos 2( ) f x x , a partir de esta grafica podemos obtener la de 2( ) ( 1) f x x trasladándola 1 unidad hacia la derecha.


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.

Grafiquemos 2( ) f x x , a partir de esta grafica podemos obtener la de 2( ) ( 3) f x x trasladándola 3 unidad hacia la izquierda.

.2.

Utilizando la gráfica de ( ) f x x , graficar las funciones:

a. ( ) 1 f x x b. ( ) 2 f x x c. ( ) 4 f x x d. ( ) 3 f x x

Grafiquemos ( ) f x x , a partir de esta grafica podemos obtener la de ( ) 1 f x x trasladándola 1 unidad hacia arriba.

Grafiquemos ( ) f x x , a partir de esta grafica podemos obtener la de ( ) 2 f x x

trasladándola 2 unidades hacia abajo.


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trasladándola 4 unidades hacia la derecha.


trasladándola 3 unidades hacia la izquierda.

OPERACIONES CON FUNCIONESDadas las funciones reales f y g, y R x , se definen:

1) DomgDomf )gf (Dom),x(g)x(f )x)(gf ( 2) DomgDomf )gf (Dom),x(g)x(f )x)(gf ( 3) DomgDomf )g.f (Dom),x(g).x(f )x)(g.f ( 4) R r ,Domf )rf (Dom),x(rf )x)(rf (

5) 0)x(g:R xDomgDomf g

f Dom,

)x(g

)x(f )x(

g

f

EJEMPLOS:

1) Sean 1x)x(g;x

1)x(f , hallar a) f+g; b) f-g; c) f.g; d)

g

f


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Sol: Apliquemos las definiciones de las operaciones y apliquemos un x

a) x

xx1)1x(

x

1)x(g)x(f )x(gf

2

b) x

xx11x

x

1)1x(

x

1)x(g)x(f )x(gf

2

c) x

1x)1x.(

x

1)x(g).x(f )x(g.f

d))1x(x

1

1x

x1

)x(g

)x(f )x(

g

f

2) Sean 1x)x(g;3x)x(f 2 , hallar a) (g+f)(8); b) (f-g)(0); c)2

)1(f )0(g

Sol:

a) 64613)364(9)38(18)8(f )8(g)8)(f g( 2

b) 4131030)0(g)0(f )0)(gf ( 2

c)2

3

2

)2(1

2

)31(10

2

)1(f )0(g 2

3) Sea

1xsi1x

1x1si3

1

1xsi1

)x(f , hallar )2(f

)0(f )2(f

Sol: Debemos encontrar cada valor de f y sustituir en la expresión, se puede hacer por separadoo todo simultáneamente:

f(2)=2+1=3 f(0)=3

1 f(-2)=1

3

8

1

3

13

)2(f

)0(f )2(f

4) Sea g(x)=x2+3, hallar 0h;h

)x(g)hx(g

Sol:h

hxh2

h

3x3hxh2x

h

)3x(3)hx(

h

)x(g)hx(g 222222

Sacamos factor común h

hx2h

)hx2(h

h

)x(g)hx(g

5) Sea 4x)x(f , hallar 0h;h

)x(f )hx(f


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Sol:h

4x4hx

h

)x(f )hx(f

, para que esta expresión esté bien definida cuando

h = 0, debemos simplificar h del denominador, para ello apliquemos la propiedad (a- b)(a+b)=a2-b2, es decir multipliquemos por la conjugada del numerador:

4x4hx

1

)4x4hx.(h

h

h

)x(f )hx(f

)4x4hx.(h4x4hx

)4x4hx.(h)4x(4hx

h)x(f )hx(f

)4x4hx.(h

4x4hx

4x4hx

4x4hx*

h

4x4hx

h

)x(f )hx(f 22

6) Sea 3x)x(f 2 hallar 0h;h

)x(f )hx(f

Sol:

h

3x3hxh2x

h

3x3hx

h

)x(f )hx(f 22222

, para que esta

expresión esté bien definida cuando h = 0, debemos simplificar h del denominador, para elloapliquemos la propiedad (a-b)(a+b)=a2-b2, es decir multipliquemos por la conjugada delnumerador:

3x3hxh2xhx2

h

)x(f )hx(f

)3x3hxh2x.(h

)hx2(h

)3x3hxh2x.(h

hxh2

h

)x(f )hx(f

3x3hxh2x.h

3x3hxh2x

3x3hxh2x.h

3x3hxh2x

h

)x(f )hx(f

3x3hxh2x

3x3hxh2x*

h

3x3hxh2x

h

)x(f )hx(f

222

222222

2

222

222

222

22

222

222

222222

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales f y g, se define la función compuesta de f y g a la función(fog)(x)=f(g(x))

tal que gDomx y f Dom)x(g

NOTA: gof fog

EJEMPLOS:1)

Sean f(x)=x+3; g(x)=x2-1; hallar a) fog; b) gof y el dominio de cada una.Sol: Para determinar el dominio de la función compuesta, debemos conocer el dominio de cadafunción, en este caso Dom f =R y Dom g = R, por ser ambas polinomios

a)

(fog)(x)=f(g(x))=f(x2-1)=(x2-1)+3=x2+2 Dominio: R

b) (gof)(x)=g(f(x))=g(x+3)=(x+3)2-1=x2+6x+9-1=x2+6x+8 Dominio: R


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2) Sean 2x)x(g;x

1)x(f , hallar: a) fog; b)gof; c)fof; d)gog; dominio de cada una.

Sol: Para determinar el dominio de la función compuesta, debemos conocer el dominio de cadafunción, en este caso Dom f =R-{0} y Dom g = {x ,2}02x:R

a) (fog)(x)=f(g(x))=f(2x

1)2x

Dominio: ,2gDom02x:R x

b)

(gof)(x)=g(f(x))=x

x212x1

x1g

Dominio:

2

1,00R

2

1,0f Dom0

x

x21:R x

c) (fof)(x)=f(f(x))= x

x

1

1

x

1f

Dominio= }0{R }0{R R

d) (gog)(x)=g(g(x))= 22x)2x(g

Dominio= gDom02xy022x:R x ,6,2,6iominDo

FUNCIÓN INVERSA

Sea : f A B una función inyectiva cuyo dominio es el conjunto A y rango es el conjunto B.

Se llama función inversa de f a la función: 1 : f B A tal que 1( ) ( ) x f y y f x

Se cumple que 1( ( )) f f x x x A y 1( ( )) , f f y y y B

NOTA: Una función es inyectiva si y solo si 1 2 1 2( ) ( ) x x f x f x

, al trazar una recta horizontal enla gráfica de la función y ésta no la toca en más de un punto.

NO confundir 1( ) f y , con el cociente1

( ) f y

Para hallar la inversa de una función:1. Despejamos la variable x y la expresamos en términos de y: 1( ) x f y 2. Sustituir x en f(x) para verificar.3. En 1( ) x f y ,podemos intercambiar x por y para obtener, finalmente, 1( ) y f x

EJEMPLOS:

1.

Hallar la inversa de la función ( ) 4 3 f x x , verificar y expresar 1( ) y f x

Sol: Sabemos que ( ) f x y , por lo tanto

4 3 y x , esta función admite una inversa por ser inyectiva ya que para cada 1 2 1 2( ) ( ) x x f x f x

y además su gráfica es una recta y usando el criterio de la recta horizontal ésta corta a la recta en unsolo punto.Despejemos x:

44 3 3 4

3

y y x x y x

, al sustituir x en f(x) tenemos


32/79


4 4

4 3 4 (4 ) 4 43 3

( )

y y f x f y y y

f x y

Por lo tanto la inversa de la función es: 1 4

( )3

x f x

2. Hallar la inversa de la función 2( ) 5 f x x , 0 x ,verificar y expresar 1( ) y f x Sol: Sabemos que ( ) f x y , por lo tanto

2 5 y x , esta función admite una inversa por ser inyectiva ya que para cada 1 2 1 2( ) ( ) x x f x f x y además usando el criterio de la recta horizontal ésta corta a la gráfica en un solo punto.Despejemos x:

2 25 5 5 y x x y x y , al sustituir x en f(x) tenemos

2

5 5 5 ( 5) 5

( )

f x f y y y y

f x y

Por lo tanto la inversa de la función es: 1( ) 5 f x x

3.

Hallar la inversa de la función7

( ) 2 1

x

f x x

, verificar y expresar1

( ) y f x

Sol: Sabemos que ( ) f x y , por lo tanto

7

2 1

x y

x

, esta función admite una inversa por ser inyectiva ya que para cada

1 2 1 2( ) ( ) x x f x f x

y además usando el criterio de la recta horizontal ésta corta a la gráfica en un solo punto.Despejemos x:

7(2 1) 7 2 7 2 7 (2 1) 7

2 1

7

2 1

x y y x x xy y x xy x y x y y

x

y x

y

,

al sustituir x en f(x) tenemos

7 7 14 77

7 152 1 2 1

2 14 2 12 1 1572 1

2 12 1

( )

y y y

y y y y f x f y

y y y y

y y

f x y

Por lo tanto la inversa de la función es: 1 7

( )2 1

x f x

x

4. Hallar la inversa de la función 2( ) 3 2 f x x x , verificar y expresar 1( ) y f x

Sol: Esta función no admite inversa debido a que no es inyectiva ya que existen al menos dos puntos que tienen la misma coordenada y, siendo las x diferentes, por lo que no se cumple que

1 2 1 2( ) ( ) x x f x f x , por ejemplo:

2

2

2 ( 2) ( 2) 3( 2) 2 4 ( 2, 4)

1 ( 1) ( 1) 3( 1) 2 4 ( 1, 4)

x f

x f

FUNCION EXPONENCIAL


33/79


Sea a un número real tal que 0a y 1a . La función exponencial con base a es la función:: , ( ) x f R R f x a .

Por ejemplo:1.

2 x

y función exponencial de base 2

2. 15 x y función exponencial de base 5

3. 1 2

2

2 1

x x

x y

PROPIEDADES:a)

La función exponencial es creciente si 1a y decreciente si 0 1a b) Dominio: R y el rango es (0, ) R

c) 0 11;a a a d) . x y x ya a a e) x

x y

y

aa

a

f) .( ) x y x ya a g)1 x

xa

a

h) . x

x y

y

aa b

b

i) . . x x x

a b a b j) x x

x

a a

b b

Nótese que estás propiedades son las de Potenciación, en efecto, ya que la función exponencial( ) x f x a es una potencia de base a y exponente la variable.

Si ( ) x f x e , donde 2,71828182845904...e , entonces se le llama Función Exponencial Natural.EJEMPLOS:

1. Simplificar la expresión

3

2e

e

Sol: Tratemos de expresar todas las potencias en términos de la misma base, en este caso en base e

3 33 1 22 2

12 2 21

2

.e e

e e e e ee

e


52

31

44

Sol: Tratemos de expresar todas las potencias en términos de la misma base, en este caso en base 4

5 522 2 10 10 25

.( 5) 5

1 ( 1).( 5) 533 3 3 3 31

4 4 . 4 4 .4 4 .4 4 44


54 85

2

3

16

27

64


34/79


Sol: Tratemos de expresar todas las potencias en términos de la misma base, en este caso buscaremos números primos

5 554 1648 88

45 55 80

2 4 640

2 2 6 2 4 2 233 3 3

6 12

3

16 222 2 .2 2 64

3 .2 3 3 927 3 3

64 22

4.

Si 5( ) 5 x f x , hallar x tal que ( ) 625 f x Sol: Como 5( ) 5 x f x y ( ) 625 f x , entonces 55 625 x , dos potencias son iguales si tienen lamisma base y el mismo exponente.

Por lo tanto 5 5 4 4

5 625 5 5 5 45

x x x x

5. Resolver la ecuación 4 3 2

216

x x

Sol: Debemos expresar las potencias en términos de la misma base, en este caso 2.

4 3 4 3 4 3 4

4

2 2 12 2 2 2 4 3 4 4 4 3 3 1

16 2 3

x x x x x x

x x x x x x

6. Resolver la ecuación2 4 12 x x

e e Sol: Tenemos una igualdad de potencias de la misma base e , igualamos los exponentes

2 4 12 x x resolvamos esta ecuación, 2 4 12 0 x x puede ser por factorización( 6)( 2) 0 x x 2 6 x y x

FUNCIÓN LOGARITMICASea 0a y 1a . Se define la función Logaritmo de base a , a la función inversa de la función

exponencial.: f R R , ( ) a f x Log x

Se cumple: ( )a

Log x x y

a aa x Log a x Log x y a x PROPIEDADES:

a) ( ) 1 1 0a a Log a Log b) ( . )a a a Log x y Log x Log y

c) a a a

x Log Log x Log y

y

d) ( )na a Log x nLog x

Si la base a e , entonces ( )e Log x Ln x Logaritmo Natural

EJEMPLOS:

1. Escribir en términos de los logaritmos de x, y, z, la expresión4

56 8.

a

x Log

y z

Sol: Aplicando las propiedades:1

4 4 454 6 8

56 8 6 8 6 8

1 1 1( . )

. . 5 . 5 5a a a a a

x x x Log Log Log Log x Log y z

y z y z y z

4

6 85

6 8

1 1 1 4 6 8.4

. 5 5 5 5 5 5a a a a a a a

x Log Log x Log y Log z Log x Log y Log z

y z

2.

Resolver la ecuación 2 73 243 x


35/79


Sol: Resolver la ecuación consiste en hallar el valor de la variable, en este caso x, debemosdespejarla, aplicamos función logaritmo por ser la inversa de la exponencial, en este caso en base 3.

2 7 2 7 53 3 3 312

3 (243) 3 3 2 7 5 2 7 52

6

x x Log Log Log Log x x x

x

3. Resolver la ecuación 3 1 2 42 7 x x Sol: Resolver la ecuación consiste en hallar el valor de la variable, en este caso x, debemos

despejarla, como tenemos potencias de diferente base, aplicamos logaritmo natural para poderdespejar.

3 1 2 42 7 (3 1) 2 (2 4) 7 3 2 2 2 7 4 7 x x Ln Ln x Ln x Ln xLn Ln xLn Ln Distrib.4 7 2

3 2 2 7 4 7 2 (3 2 2 7) 4 7 23 2 2 7

Ln Ln xLn xLn Ln Ln x Ln Ln Ln Ln x

Ln Ln

4,67 x

4. Resolver la ecuación: 2 3 2 2 3 (3 2 ) Ln x Ln x Ln x Sol: En este caso aplicamos propiedades de la función logaritmo:

2 3 2 2 3 2 (3 2 ) 2 3 2 2 3 (3 2 ) 0 Ln x Ln x Ln x Ln x Ln x Ln x

(2 3) (3 2 ) 0 2 3 . 3 2 0 Ln x Ln x Ln x x Aplicamos función exponencial natural que es la inversa de la función Logaritmo natural

(2 3)(3 2 ) 0 2 2

2 2

(2 3)(3 2 ) 1 4 9 1 4 1 9

10 5 54 10

4 2 2

Ln x xe e x x x x

x x x x

FUNCIONES COMO MODELO MATEMÁTICO1. Lea el problema cuidadosamente hasta que lo entienda. Para comprenderlo, con frecuencia es

útil inventar un ejemplo específico que involucre una situación similar en la que las cantidadesson conocidas. Otra ayuda es dibujar un diagrama si es posible.

2.

Determine las cantidades conocidas y desconocidas. Utilice un símbolo, digamos x. para lavariable independiente y un símbolo, por decir f, para la función que se obtendrá; entonces f(x)simbolizará el valor de función. Como x y f(x) son símbolos para representar números, susdefiniciones deben indicar este hecho. Por ejemplo, si la variable independiente representalongitud y la longitud se mide en pies, entonces si x es el símbolo para la variable, x debedefinirse como el número de pies de la longitud o, equivalentemente, x pies es la longitud.

3. Anote cualquier hecho numérico conocido acerca de la variable y del valor de la función.4. A partir de la información del paso 3, determine dos expresiones algebraicas en términos de la

variable y del valor de la función. De estas dos expresiones forme una ecuación que defina lafunción. Ahora ya se tiene una función como modelo matemático del problema.

5. A fin de terminar el problema una vez que se ha aplicado el modelo matemático, paradeterminar las cantidades desconocidas, escriba una conclusión, la cual consista de una o másoraciones; que respondan a las preguntas del problema. Asegúrese de que la conclusióncontenga las unidades de medición correctas.

EJEMPLOS:1. El volumen de un gas a presión constante es directamente proporcional a la temperatura

absoluta. A la temperatura de 175º el gas ocupa 100 m 3. (a) Encuentre un modelo matemáticoque exprese el volumen como una función de la temperatura. (b) ¿Cuál es volumen del gas auna temperatura de 140º ?


36/79


Sol: Seguir los pasos del 1 al 5V: volumen del gasx: temperatura absoluta

( )V x nx

(a) Si 3 100 4

(175º ) 100 (175) 100 0,57175 7

V m n n n

4 4( ) . ( )

7 7

xV x x V x

(b) Como 4( )7

xV x , entonces cuando 140º x , 4(140) 560( ) 80

7 7V x

El volumen del gas a una temperatura de 140º es de 380m

2. Un mayorista vende un producto por libra (o fracción de libra); si se ordenan no más de 10libras, el mayorista cobra $2 por libra. Sin embargo para atraer órdenes mayores, el mayoristacobra sólo $1.80 por libra si se ordenan más de 10 libras. (a)Encuentre un modelo matemáticoque exprese el costo total de la orden como una función de la cantidad de libras ordenadas del producto. (b) Determine el costo total de una orden de 9.5 lb y de una orden de 10.5 lb.Sol: Seguir los pasos del 1 al 5Sea : x cantidad de libras ordenadas del producto

:C Costo de la orden(a)

2 10( )

1,8 10

x si xC x

x x

(b) Si1 9,5 x lb , entonces ( ) 2(9, 5 ) 19C x lb

Si 2 10,5l x b , entonces ( ) 1,8(10,5 ) 18,9C x lb

El costo de una orden de 9,6lbs es de 19$ y el de 10,5lb es de 18,9$

EJERCICIOS PROPUESTOSA. Hallar el dominio de las siguientes funciones:

1)x1

x)x(f

R: R-{1}

2)2

x9

x)x(g

R: R-{-3,3}

3) ( ) 1 g x x R: 0,

4) 2x25)x(h R: [-5,5]

5) 22 x161x)x(f R: 3,11,3

6) x2x)x(f 2 R: ,20,


37/79


7)3

1( )

9

x f x

x x

R: 0,3, 3 R

B. Hallar el dominio, el rango y graficar cada función

1) f(x)= 5-x2 R: Dom f = R; Rgo f = 5,

2) 5 2 y x R: Dom y Rago: R

3) 1( )m x x

R: Dom m= 0 R Rgo m= 0 R

4)

2

1( ) g x

x R: Dom g = 0 R ; Rgo g = (0, )

5) x24)x(g R: Dom g = 2, ; Rgo g = ,0

6) h(x)= 2x9 R: Dom h = [-3, 3]; Rgo h = 3,0

7)

4x

)4x)(5x2()x(g

R: Domg = R-{4}, Rgog = R-{-13}

8) x4)x(f R: Dom f = R; Rgo f = ,0

9) x2x)x(f 2 R: Dom f = R; Rgo f = ,0

10)

42x)x(g R: Dom g = R; Rgo g = ,4

11) 1x

1x4x3)x(h

2

R: Dom h = R-{1}; Rgo h = R – {2}

12)

)1x)(6x5x(

)3x)(2x(4x3x

)x(f 2

2

R: Dom f = R-{1,2,3}; Rgo f = R-{7,6,5}

13)

2xsi42x0si1x

0xsi4x)x(g

2

R: Dom g = R; Rgo g = ,4

14) f(x)=

2xsix3

2x2six4

2xsi3x

2 R: Domf = R , Rgof = 4,

15) f(x)=

4xsi1x

4x4six16

4xsi52 R: Domf = R, Rgof = {-5} ,54,0

16) 16x)x(f 2 R: Dom f = ,44, ; Rgo f = ,0


38/79


17) f(x)=

1xsix2

1x1six1

1xsi1x2

2 R: Dom f = R; Rgo f = ,01,

18) 6xx

12x4x3x)x(f

2

23

R: Dom f = R-{2,3}; Rgo f = R-{0,1}

C. Realizar las operaciones indicadas:

1) Sea g(x) =

1x2

1x0si2

x0si1

hallar

2

5g

2

1g

3

2g

R:8

3

2) Sea g(x)= 1x3 2 , hallar: f( 4

1 ) R:4

19

3) Sea h(x)=

2xsi2x

2x0si1

0xsi

3

x2

hallar

2

5h

)1(h2

1

h R:

54

13

4) Sea g(x)= 2x21 , hallar: g

3

1- g 0 R:

3

37

5) Sea g(x)= x4

36 , hallar: g

3

1 g 0 R:

2

6223

6) Sea f(x)=2

2

x4

1x

hallar: a)

)3(f )0(f

)1(f )1(f

; b) -4f(0)+

)1(f 2

)0(f

)3(f

)1(f

;

c) 1)(f 2

)(f

41

21

D. Determine cuál de las siguientes funciones es par, impar o ninguna.

1. ( ) 3 f x 2. 3( )m x x x 3. 2( )h x x x

4.

4 2( ) 3 1 g x x x 5. 2( ) 4n x x 6. ( ) xr x x

7. 3

5( )

4

x x f x

x x

8.

2

7

4( )

x g x

x

E. Trazar las gráficas de f para los valores de c, usando los criterios de transformación de gráficas.1. ( ) 3 ; 2, 1 f x x c c c

R: a) 0 b) -73/48 c) -39/102


39/79


2. ( ) 2 ; 0, 1 f x x c c c

3.

3( ) ; 1, 2 f x x c c c

4. 3( ) ; 2, 1 f x x c c c

5. 2( ) 4 ; 2, 3 f x x c c c

6. ( ) ; 3, 2 f x c x c c

7. ( ) 3 ; 2, 3 f x x c c c

8.

2

( ) 2 ; 1, 0 f x x c c c 9.

3( ) ; 2, 2 f x x c c c

F. Dadas las funciones f y g, hallar a) fog b) gof

a. f(x)=x2; g(x)= x

b. f(x)=(x-1)2; g(x)= 1-x

c. f(x)=1x

1x

; g(x)=x2+1

d. 4) f(x)= 1x)x(g;1x2 R: a) 2-x b) 1-1-x2

e. f(x)= x+1; g(x)=3x

x2

R: a)

3-x

3-x+x2 b)

2-x

)1+x(2

f. f(x)=1x

1

; g(x)=

x

x1

G. En cada caso, hallar la inversa de la función f , verificar y expresar 1( ) y f x

1. ( ) 2 1 f x x 2. 2( ) 1 0 f x x x 3. 3( ) 2 f x x

4.1

( ) 1 f x

x

5. ( ) 16 2 f x x 6. 3( ) 5 4 f x x

7. ( ) 2 5 f x x 8.1 3

( )5 2

x f x

x

9.

1 7( )

2 2 f x x

10.5 15

( )3 7

x f x

x

H. Resolver las ecuaciones dadas.

1. 2 12 8 x 2. 38 2 4 x 3. 4

2 23 .3 3

x

4. 6 1 3 xe e 5.2 2 3 x xe e

I. Despejar la variable indicada en cada caso.

1. 2 4; Lny t y 2. 40 5 ; Ln y t y 3. 80 1;k e k

4.1

;2

kt e k 5. ( 1) 2 ; Ln y Ln x Lnx y 6. 2;t e x t

7. 2( 1) ( 1) ( ); Ln y Ln y Ln Senx y

J. Resolver los siguientes problemas usando las funciones como modelo matemático.1. Se desea cercar un terreno de forma rectangular con una cerca de alfajol que tiene 1200mts de

longitud. Si el terreno limita con un río recto y no se quiere cercar por el río, hallar el modelo


40/79


matemático para encontrar el área que se desea cercar, en términos del ancho del terreno, halleel área, si el ancho es de 300mts.

2.

Una ventana normada tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 30mts, halle el modelo matemático para expresar el área de ella enfunción del ancho, halle el área cuando el ancho es de 8,5mts.

3. Una compañía de taxis cobra 20BsF por cada 10 Km recorridos y 5BsF por cada 2Kmsubsiguientes. Halle el modelo matemático para expresar el costo de un viaje en términos de ladistancia recorrida, halle el costo de un viaje de Barquisimeto a San Felipe (133Km,aproximadamente)

4.

Un fabricante de cajas de cartón desea elaborar cajas abiertas a partir de piezas de cartónrectangulares de 10 pulg por 17 pulg cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas ydoblando hacia arriba los lados. (a) Encuentre un modelo matemático que exprese el volumende la caja como una función de la longitud del lado de los cuadrados que se cortarán. (b) ¿Cuáles el dominio de la función obtenida en el inciso (a)?

5. Se desea construir un tanque australiano con tapa para almacenar agua, con un volumen de25000Lts. Hallar el modelo matemático (en términos del radio) para encontrar la cantidad dematerial requerido para construir el tanque.

UNIDAD II. LIMITE DE UNA FUNCIÓN

Consideremos la función3x

3x5x2)x(f 2

hallemos su dominio:

Dom f=R-{3}. Factoricemos el numerador de la función:)3(

)12)(3()(

x

x x x f , simplificándo

tenemos: 12)( x x f gráficamente tenemos:

Sabemos que x≠3, debemos considerar valores muycercanos a 3:x3x 3,1 3,01 3,001 3,0001… 3


41/79


Observemos que en ambos casos a medida que x se acerca a 3, f(x) se acerca a 7. Este resultado seexpresa diciendo que “el límite de f(x) cuando x tiende a 3 es 7” y se denota asi:

73

3527)(

2

33

x

x x Limó x f Lim

x x. A medida que x se acerca más a 3, por supuesto la diferencia o

la distancia entre ellos es cada vez más pequeña, lo mismo sucede con f(x) y 7.Podemos escoger un número real positivo δ muy pequeño tal que 3x en este caso fue δ1=0,1;

δ2= 0,01… por lo que 7)( x f siendo ε>0. Por lo tanto:

37)(:0,07)(3:0,0 xque siempre x f ó x f entonces x

DEFINICIÓN:Sea f una función definida en todo número de algún intervalo que contenga a “a”. El límite de f(x)

cuando x tiende a “a” es “L”, lo que se denota: L)x(f Limax

si se cumple:

L)x(f entoncesax0:0,0

NOTA: En la expresión L)x(f Limax

se puede entender que xa pero que x≠a y que f(x)L pero

f(x)≠L

TEOREMAS:Consideremos las funciones f,g y h cuyos límites existen cuando x tiende a “a”.

1)

Si L)x(f Limax

existe, entonces es único

2) CCLim

ax

siendo C constante

3) a)x(Limax

4) ba.m bmxLimax

5)

k )x(kf Limax )x(f Limax k es constante6)

)x(g)x(f Lim

ax

)x(f Lim

ax)x(gLim

ax

7)

)x(g).x(f Limax

).x(f Limax

)x(gLimax

8) )x(g

)x(f Lim

ax xgLim

)x(f Lim

ax

ax

si 0)x(gLimax

9)

n

ax)x(f Lim

n

ax)x(f Lim

7


42/79


10)

n

ax)x(f Lim n

ax)x(f Lim

donde 0)x(f Lim

ax

si n es par

EJEMPLOS:

1) Calcular )21(1

x Lim x

Sol: 3)1(212121)21(11111

x Lim Lim x Lim Lim x Lim x x x x x

2) Calcular

3

12

0 x

x Lim

x

Sol:

3

12

0 x

x Lim

x=

3

1

30

10

3

1

3

1

)3(

)1( 2

00

0

2

0

00

0

2

0

0

2

0

x x

x x

x x

x x

x

x

Lim x Lim

Lim x Lim

Lim x Lim

Lim x Lim

x Lim

x Lim

Podemos calcular límite de una función aplicando directamente los teoremas.

3) Calcular 322

x Lim x

Sol: 5323)2(3 22

2 x Lim x

4) Calcular

3

62

2

2 x

x Lim

x

Sol:

101

10

34

64

3)2(

62

3

62

2

2

2

2

x

x Lim

x

5) Calcular:

14

222

0 y

y y Lim

y

Sol:2

11

2

11

4

21

40

20.201

4

22 22

0

y

y y Lim

y

6) Calcular:

1

24

2

3 x x

x Lim x

Sol:

3101

133

23

133

23

1

224

2

4

2

3

x x

x Lim x

Podemos racionalizar el denominador:

97

310

)3()10(

310

310

310.310

1

1

2224

2

3

x x

x Lim x

7) Calcular

3

92

3 x

x Lim

x

Sol:0

0

33

9)3(

3

9 22

3

x

x Lim

x


43/79


En este caso no podemos asegurar si la expresión0

0 es o no un número real, ya que estamos

evaluando o calculando límite. A esta expresión se le conoce como FORMA INDETERMINADA;

pueden ser ;...1;;0;;0

0 00

En este caso trabajaremos con las formas básica que son

;

0

0

CALCULO DE LIMITES DE FORMA INDETERMINADA:1)

Evaluar el límite para identificar la F.I.

2) Identificar el término que anula el denominador

3) Realizar operaciones algebraicas hasta encontrar poder simplificar el término que anula eldenominador, para ello se utilizan métodos de factorización o las siguientes fórmulas de producto notable, factorización, racionalización,…

))((22 a xa xa x ))(( 2233 aax xa xa x

))(( 2233 aax xa xa x ))()(( 2244 a xa xa xa x

a x

a xa x

2

esta fórmula proviene de la racionalización:

a x

a x

a x

a xa x

22

.

23233

3

. aa x x

a xa x

4) Eliminar la indeterminación5) Volver a evaluar el límite con la expresión resultante

6) Si vuelve a aparecer F.I; aplicar de nuevo el procedimiento hasta eliminarla

7)

El valor resultante será el límite de la función.EJEMPLO:

7)Calcular

3

92

3 x

x Lim

x

Sol:0

0

33

9)3(

3

9 22

3

x

x Lim

x F.I.

Factorizamos el polinomio del numerador:

633)3(3

)3)(3(

3

9

33

2

3

x Lim

x

x x Lim

x

x Lim

x x x

8)

Calcular

4

3242

4 x

x x

Lim x

Sol: ..0

0

44

324.44

4

324 22

4 I F

x

x x Lim

x

1284)8(4

)8)(4(

4

324

44

2

4

x Lim

x

x x Lim

x

x x Lim

x x x


44/79


9) Calcular

32

642

23

3 x x

x x x Lim

x

Sol: ..0

0

33.23

63)3(43

32

642

23

2

23

3 I F

x x

x x x Lim

x

Aplicamos Ruffini para factorizar el polinomio numerador y producto notable en eldenominador:

1 -4 1 6-1 1 -1 5 -61 -5 6 0

2 2 -61 -3 0

3 31 0

10) Calcular x

x Lim

x

33

0

Sol: ..0

0

0

33033

0 I F x

x Lim x

Racionalicemos el numerador usando la fórmulaa x

a xa x

2

)33()33(

33

)33(

)3()3(33

00

2

00

x x

x Lim

x x

x Lim

x x

x Lim

x

x Lim

x x x x

6

3

)3(2

3.1

32

1

)330(

1

)33(

133200

x

Lim x

x Lim

x x

11)

Calcular 3

812

9

x

x Lim

x

Sol: ..0

0

39

819

3

81 22

9 I F

x

x Lim

x

Factoricemos el numerador:

3

)9)(9(

3

81

9

2

9

x

x x Lim

x

x Lim

x x Se puede observar que al factorizar no se simplificó el

factor que anula el denominador por lo que debemos racionalizarlo:

9

)3)(9)(9(

3

)3)(9)(9(

3

)9)(9(

3

81

9299

2

9

x

x x x Lim

x

x x x Lim

x

x x Lim

x

x Lim

x x x x

108)6).(18()39)(99()3)(9(3

81

9

2

9

x x Lim

x

x Lim

x x

12) Calcular8

23

8

x

x Lim

x

Sol: ..0

0

88

28

8

2 33

8 I F

x

x Lim

x

12332

64

)2()3)(1(

)3)(2)(1(32

64

2

23

3

332

23

3

x x

x x x Lim

x Lim x x

x x x Lim x x

x x x Lim

x

x x x


45/79


Racionalicemos usando la fórmula: 2323

3

3

. aa x x

a xa x

)42)(8(8

)22.)(8(

2

8

2

33 28232

3

3

8

3

8

x x x

x Lim

x x x

x Lim

x

x Lim

x x x

12

1

42.22

1

48.28

1

)42(

1

8

2233 233 28

3

8

x x Lim

x

x Lim

x x

13)

Calcular

1

31

131 x x

Lim x

Sol: Para calcular el límite debemos resolver la suma de fracciones:

)1)(1(

23

)1)(1(

331

)1)(1(

)1(3)1(1

1

3

1

13

3

13

3

13

3

13

1 x x

x x Lim

x x

x x Lim

x x

x x Lim

x x Lim

x x x x

Al evaluar: ..0

0

)11)(11(

21.31

)1)(1(

233

3

3

3

1 I F

x x

x x Lim

x

Factoricemos el numerador por Ruffini y el denominador por la fórmula))(( 2233 aax xa xa x :

1 0 -3 21 1 1 -2

1 1 -2 01 1 2

1 2 0-2 -2

1 0

14) Calcular )(2

x f Lim x

siendo

2

25

22

)(

2 x si x

x si

x si x

x f

Sol: Cómo hacemos para calcular este límite? Cuál función debemos escoger?

Debemos considerar los LIMITES UNILATERALESDEFINICIÓN:

Si

a x si x f

a x si x f x f

)(

)()(

2

1 ; entonces para calcular )( x f Lima x

debemos calcular los límites en cada

f i , llamados LIMITES UNILATERALES.)()(

1

x f Lim x f Lima xa x

Límite por la derecha de a ( a xa : )

)()( 2 x f Lim x f Lima xa x

Límite por la izquierda de a ( a xa : )

Como )( x f Lima x

es único, entonces se debe cumplir que )( x f Lima x

existe si y solo si

)()( x f Lim x f Lima xa x

Entonces en el ejercicio 14 quedaría el límite así:422)2()(

22

x Lim x f Lim

x x

1

2

)1.1)(1)(1(

)2)(1)(1(

)1)(1(

232

122

13

3

1

x x

x Lim

x x x x

x x x Lim

x x

x x Lim

x x x

13

3

111

212

L

Como los límites unilaterales son iguales,4)()(

22

x f Lim x f Lim

x x se cumple que

existe 4)(2

x f Lim x


46/79


42)()( 22

22

x Lim x f Lim

x x

15) Calcular )x(f Lim0x

siendo

0xsix

2

12

0xsi2x2

)x(f

Sol: Evaluemos los límites unilaterales

20.2

1

2x2

1

2Lim)x(f Lim 0x0x

220.2)2x2(Lim)x(f Lim0x0x

16) Calcular )x(f Lim2x

siendo

2xsi2x

2xsi0

2xsi2

x

)x(f

Sol: Evaluemos los límites unilaterales

12

2

2

xLim)x(f Lim

2x2x

02)2()2x(Lim)x(f Lim2x2x

LIMITES INFINITOS Y EN INFINITO

Consideremos la funciónx

2)x(f , como el Dom f=R-{0}, vamos a darle valores a x muy cercanos a

0 y muy lejanos de 0.Muy cercanos: 0x x

X 1 0,5 0,1 0,0001 0,00000000001 0x 1 2 3 10 1000 100000 x f(x) 2 4 20 20000 200000000000 f(x) 2 1 0,66 0,2 0,002 0,00002 f(x) 0

Se puede observar que a medida que el denominador se hace cada vez más pequeño, la fracciónse hace cada vez más grande. A medida que el denominador se hace cada vez más grande, la fracciónse hace cada vez más pequeña.

TEOREMAS:1) Si 0)x(gLimyc)x(f Lim

axax

, entonces:

0

c

)x(g

)x(f

Limax

2) 0x

cLim

r x

donde Zr

EJEMPLOS:

1)

Calcular1x

1xxLim

2

1x

Como los límites unilaterales son iguales,2)x(f Lim)x(f Lim0x0x

se cumple que

existe 2)x(f Lim0x

Como los límites unilaterales no son iguales,)x(f Lim)x(f Lim

2x2x se cumple que NO

existe )x(f Lim2x

El signo dependerá de los valores a través de los cuales se

acercan a c y a 0.


47/79


Sol: Evaluemos el límite:

0

3

11

111

1x

1xxLim

22

1x

Para saber si es + o -

debemos considerar que 1x por lo que escogemos un número muy cercano a 1 por laderecha 1,1 por ejemplo, al evaluar el límite en ese número obtenemos un número +, por lo que

1x

1xxLim

2

1x

2) Calcular

6xx

2xLim

23x

Sol: Evaluemos el límite:

0

1

6)3()3(

23

6xx

2xLim

223x


debemos considerar que 3x por lo que escogemos un número muy cercano a -3 por laderecha -2,9 por ejemplo, al evaluar el límite en ese número obtenemos un número +, por lo que

6xx

2xLim

23x

3) Calcular

3x

4x4x3xLim

2

3x

Sol: Antes de evaluar el límite, debemos sumar las fracciones:

3x

4x4x9x6xLim

3x

)4x4x()3x(Lim

3x

4x4x3xLim

22

3x

22

3x

2

3x

0

25

33

53.10

3x

5x10Lim

3x

4x4x3xLim

3x

2

3x


debemos considerar que 3x por lo que escogemos un número muy cercano a 3 por laizquierda 2,9 por ejemplo, al evaluar el límite en ese número obtenemos un número +, por lo

que

3x

4x4x3xLim

2

3x

4) Calcular8x2

3xxLim

2

2

x

Sol: No podemos evaluar el límite en , debemos encontrar fracciones de la formar x

c para

poder aplicar el teorema, para ello dividimos la expresión entre la variable de mayor exponente,en este caso x2

2

1

x

82

x

3

x

11

Lim

x

8

x

x2

x

3

x

x

x

x

Lim8x2

3xxLim

2

2

x

22

2

222

2

x2

2

x

PROPIEDADES:

*

m1m

1m

1

m

0xx

axa...xaxa(Lim)x(PLim

* n m0x

nm1m

1m

1

m

0x

n

xxaLim)axa...xaxa(Lim)x(PLim


48/79


*

nmsi

nmsi0

nmsi b

a

x

xLim

b

a

x b

xaLim

) bx b...x bx b(

)axa...xaxa(Lim

)x(Q

)x(PLim

0

0

n

m

x0

0

n

0

m

0

xn1n

1n

1

n

0

m1m

1m

1

m

0

xx

5) Calcular1x

x2x3Lim

3

2

x

Sol: Aplicando el teorema anterior, obtenemos:

00.3x

xLim

1

3

1x

x2x3Lim

3

2

x3

2

x

6)

Calcular2x4x7

x3x2Lim

3

3

x

Sol: Aplicando el teorema anterior, obtenemos:

7

21.

7

2

x

xLim

7

2

2x4x7

x3x2Lim

3

3

x3

3

x

7) Calcular3x

2x9Lim

2

4

x

Sol

Guía Teórico Práctico De Cálculo I

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