Gua Semestral de Geometra Analtica Geometra AnalticaLa geometra analtica es la rama de las matemticas que estudia las figuras geomtricas; relacionando dichas figuras con una ecuacin, y utilizando el plano cartesiano con referencia.Formas del lenguaje matemtico principales

Expresin (no tienen igualdad son conjuntos de caracteres o smbolos) Ecuacin(es una igualdad y una variable cuyo valor se encuentra en el campo de los reales)Funcin(tienen igualdad y se les reconoce por contar con una o mas variables cuyo valor va en proporcin con las otra o otras)

x3x8x-2x=43x=68x-2=3xy=xy=3xy=8x-2

Sistema de ecuacionesUn sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones cuyo nmero, depende de la cantidad de variables con las que cuente el sistema. De donde es posible encontrar el valor de las incgnitas y al graficar representan el lugar donde se intersectan las figuras respectivas a las ecuaciones. (Si no hay solucin al sistema se dice que las figuras no se intersectan)Mtodos para resolver sistemas de ecuacionesSustitucin3x-4y= -62x+4y= 161. Se despeja una incgnita en una de las ecuaciones.2x= 16-4yx= 8-2y2. Se sustituye la expresin de esta incgnita en la otra ecuacin, obteniendo un ecuacin con una sola incgnita.3(8-2y) -4y= -63. Se resuelve la ecuacin.24-6y-4y= -6-10y= 30y= 34. El valor obtenido se sustituye en la ecuacin en la que apareca la incgnita despejada.x= 8- 2(3)= 8-6x=25. Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema y por lo tanto la interseccin.x= 2Interseccin (2, 3)y= 3

Reduccin (Suma y resta)3x-8y= -62x-4y= 11. Se multiplica cada ecuacin por constantes de modo que los coeficientes de la variable a eliminar resulten iguales en valor absoluto pero con signos opuestos. 3x-8y= -6(2x-4y= 1) -2

2. Se suman ambas ecuaciones para obtener una nueva ecuacin en trminos solamente de la otra variable.+ 3x-8y= -6 - 4x+8y= -2 -x = -83. Se resuelve la ecuacin linealx= 84. Se despeja la otra variable de cualquiera de las ecuaciones del sistema.8y= 4x-2y= x - y= x - 5. Se sustituye el valor obtenido en la expresin despejada para obtener el valor de la otra. y= (8) - y= 4 - y= 6. Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema y por lo tanto la interseccin.x= 8Interseccin(8, )y= Ejercicios de sistemas de ecuacionesResolver los siguientes sistemas de ecuaciones de dos variables, por cualquier mtodo.1. 3x- 2y= 62x-3y= -6

2. y= x 3x-4y= 8

3. 9x-3y= 18y= 3x+12

4. x+2y= -12x+3y= 12

5. 2x-3y= 1-6x+9y= 4

La rectaUna recta es un conjunto de puntos con coordenadas (x, y); las cuales representan el movimiento en x y el movimiento en y respectivamente. Las rectas se encuentran en diferentes formas que son:

FormaEcuacinEjemploDonde

GeneralAx+By+C = 05x+3y-15= 0-B/A=pendiente-C/A=interseccin con el eje y

Pendiente ordenaday= mx + by= 1/3x + 2m= pendienteb= interseccin con el eje y

Simtrica + = 1 + = 1a= interseccin con el eje x b= interseccin con el eje y

En la recta la pendiente es considerada como el ascenso entre el avance es decir el movimiento que se hace sobre y entre el movimiento que se hace sobre x

Y se puede calcular a partir de la siguiente frmula: Donde tambin es posible obtener la ecuacin partir de las siguiente formula: y y1= m( x - x1), la interseccin con el eje y (b) de la siguiente manera b= y mx; donde se sustituyen los valores de x e y con cualquiera de los dos puntos.Se puede observar que se forma un triangulo rectngulo (remarcado); al cual se puede aplicar el teorema de Pitgoras donde decimos que para obtener el ngulo utilizamos la funcin tan (m)= y de forma inversa podramos decir que tan-1()= m

Encuentra la ecuacin y grafica.1. Pendiente 3 y pasa por el punto (-2, 7)

2. Pendiente -4/3 y pasa por el punto (-1, 7)

3. Pasa por los puntos (-2, 6) y (3,-5)

4. Pendiente 0 y pasa por el punto (3, 8)

5. Pasa por los puntos (8,-2) y (7,-2)

6. Pendiente 0 e interseccin con y igual a -5

7. Pendiente -3 e interseccin con y igual a cero

8. Forma un ngulo de 60 y pasa por el punto (0,4)

9. Forma un ngulo de 35 y pasa por el origen

Los TringulosUn tringulo es una figura geomtrica con tres lados, cada uno de estos al estar en un plano cartesiano se encuentra delimitados por sus vrtices; al encontrarse en el plano estos lados se consideran segmentos de una recta.

Al conocer las coordenadas de los vrtices del tringulo es posible obtener las ecuaciones de las rectas a los cuales pertenecen los lados; pero tambin es posible saber cual es la longitud de sus lados y su rea.

Para obtener la longitud de sus lados aplicamos la formula de distancia entre dos puntos:

Para obtener el rea es necesario utilizar la formula general para el rea de polgonos regulares:

Por otra parte tambin es posible conocer los valores de sus ngulos con la formula de ngulo entre dos rectas:Donde m2 es aquella pendiente cuyo valor sea superior a 1 el nmero cuyo valor se encuentre mas cercano a este

EjercicioObtener las ecuaciones de todos los lados, permetro y rea; y el valor de los ngulos internos (comprobar que sean suplementarios[footnoteRef:1]). Pertenecientes al tringulo mostrado en la imagen. [1: Los ngulos suplementarios son aquellos cuya suma de medidas es igual a 180]

Rectas y puntos notables del trianguloEl triangulo cuenta con cuatro rectas y puntos notables que son; mediana, altura, mediatriz y bisectriz, y sus intersecciones respectivamente baricentro, ortocentro, circuncentro y incentro.MedianaEs la recta que pasa por el punto medio de un segmento y el vrtice opuesto a dicho lado, su interseccin se llama baricentro y se reconoce como el centro de gravedad de la figura.

La ecuacin de una mediana es posible de obtener si encontramos el punto medio del segmento con la formula:

AlturaEs la recta perpendicular a un segmento del triangulo y que pasa por el vrtice opuesto al lado, el punto de interseccin es el ortocentro.

Si consideramos toda recta perpendicular con una pendiente igual al inverso multiplicativo de la recta a la que es perpendicular Ej. ; pendiente

MediatrizEs la recta perpendicular a un lado del triangulo y que pasa por el punto medio del segmento; el punto de interseccin es el circuncentro y es equidistante a los tres vrtices.

Tomando en cuenta que es perpendicular al segmento y pasa por el punto medio nos es posible calcular su ecuacin.

Por otra parte el circuncentro es el centro de la circunferencia que equidista de los vrtices; dicho esto podemos obtener el radio de la circunferencia circunscrita.

BisectrizEs la recta que divide uno de los ngulos del triangulo en dos partes iguales, su punto de interseccin es el incentro y es equidistante a los tres lados.

La bisectriz es una recta con una infinidad de puntos con coordenadas (x, y); y los lados de igual forma son rectas.

Si consideramos que la distancia de cualquier punto de la bisectriz a cualquier punto sobre las rectas de los lados es igual podremos obtener la ecuacin al igualar dichas distancias utilizando la formula de distancia de punto a recta: Donde x e y se sustituyen con las coordenadas del punto

Si hacemos lo mismo al encontrar las coordenadas del ortocentro seremos capaces de obtener el radio de la circunferencia inscrita.EjercicioObtener las ecuaciones y coordenadas de todos los puntos y rectas notables del primer triangulo. Tambin obtener los radios de las circunferencia inscrita y circunscrita.