INVESTIGACION DE

OPERACIONES

“LA PROGRAMACION LINEAL: Problema de Maximización”

Guía de Práctica No.2

Mg. Gregorio Cisneros Santos

Profesor Asociado de la EAP de Ingeniería Agroindustrial

Universidad Nacional Hermilio Valdizán - Huánuco

UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN

FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS

EAP DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL

La modelización es una de las áreas más atractivas de la ingeniería y las ciencias

aplicadas. De hecho, los ingenieros necesitan construir modelos para resolver problemas

de la vida real.

El objetivo de un modelo consiste en reproducir la realidad de la forma más fiel posible,

tratando de entender cómo se comporta el mundo real y obteniendo las respuestas que

pueden esperarse de determinadas acciones. En la práctica se utilizan muchos tipos de

modelos, tales como modelos de ecuaciones diferenciales, modelos de ecuaciones

funcionales, modelos en diferencias y de elementos finitos, y modelos de programación

matemática.

La selección del modelo adecuado para reproducir la realidad es una etapa crucial para

obtener una solución satisfactoria a un problema real. Las estructuras matemáticas

asociadas no son arbitrarias, sino una consecuencia de la realidad misma. En el curso

Investigación de Operaciones, se hace un esfuerzo importante por conectar las realidades

física y matemática. Se muestra al estudiante el razonamiento que conduce al análisis de

las diferentes estructuras, modelos y conceptos. Esto se pone de manifiesto en los

ejemplos ilustrativos, que muestran la conexión entre modelo y realidad.

En este curso se tratan los modelos de programación matemática, incluyendo los de

programación lineal y no lineal.

Los problemas de programación matemática son problemas particulares a los que uno se

enfrenta con cierta frecuencia. Uno está preparado para resolverlos usando muchas de

las herramientas disponibles, procedimientos o paquetes de software. De hecho, estos

problemas se estudian en detalle en los estudios de grado y postgrado. Sin embargo, uno

puede no estar preparado para resolver otros problemas muy frecuentes como:

1. Problemas de programación lineal con muchas variables y/o restricciones. 2. Problemas de programación no lineal. 3. Técnicas de descomposición para problemas a resolver con herramientas de

programación matemática. 4. Reglas para transformar otros problemas en problemas de programación

matemática.

En este curso se dan métodos que permiten resolver una amplia colección de problemas

prácticos interesantes.

Cuando se analiza y discute la programación matemática, una posibilidad es la de dar un

profundo análisis teórico del problema y una discusión de los diferentes problemas y

métodos. Esta opción tiene algunos riesgos. Aunque a veces, inicialmente, el tratamiento

parece ser más riguroso y profundo, el lector es conducido a ser demasiado curioso y

cuidadoso con los detalles matemáticos pero sin preocuparse ni entender a dónde

conducen estos o de dónde proceden.

Presentación

Por ejemplo, no es infrecuente dar a una persona que ha estudiado durante años

programación lineal, un dibujo bidimensional sencillo en el que aparece el conjunto

factible, y preguntarle que marque la secuencia de puntos extremos asociada al método

simplex, sin obtener una respuesta correcta. Nótese que esto significa que no se

comprende la esencia misma del método simplex y de las ideas en que éste se basa.

Alternativamente, uno puede tratar este tema con la ayuda de ejemplos ilustrativos, y

tratar de transmitir al lector la profundidad y el ingenio que hay detrás de estos métodos,

con lo que se hace el tema más legible y atractivo.

No tratamos con métodos o soluciones estándar. El lector que busque métodos estándar

o referencias de trabajos con esta orientación debería consultar uno de los muchos libros

sobre este tema que se encuentran en el mercado. Por el contrario, en este libro se

discuten los problemas antes mencionados desde otro punto de vista.

Además de obtener soluciones, matemáticos e ingenieros están interesados en analizar

las condiciones que conducen a problemas bien definidos. En este contexto, los

problemas de compatibilidad y unicidad de solución juegan un papel central. De hecho,

conducen a conclusiones físicas e ingenieriles muy interesantes, que relacionan las

condiciones físicas, obtenidas de la realidad, con las correspondientes condiciones que

hay tras los modelos matemáticos. Los métodos a desarrollar en este curso también

permiten concluir si el conjunto de restricciones conducen a la existencia de al menos una

solución.

Mg. Gregorio Cisneros Santos

Actividad Inicial:

Toda actividad propuesta se inicia con la formación de grupos: El trabajo grupal siempre será una

forma de potencial el aprendizaje; deberán formar grupos que permanecerán durante el desarrollo

de todo el curso, con la finalidad de poder compartir experiencias, tomar decisiones y sacar

conclusiones sobre los diferentes temas que se vayan abordando en el curso.

Objetivo:

Al culminar la presente práctica los alumnos habrán obtenido los conceptos básicos de la

programación lineal y estarán en condiciones de poder resolver problemas de optimización. De

igual manera los alumnos se conocerán e intercambiarán ideas de cómo aprender mejor los temas.

Recomendaciones:

Recuerden que es importante conocernos para poder trabajar en grupos o en equipos. Es

necesario para nosotros los docentes y también para los alumnos. Para hacer posible este

acercamiento es necesario contar con un espacio de integración y tiempo suficiente.

Cada grupo se organizará internamente y establecerá su código de ética. Este será de

cumplimiento obligatorio de cada integrante. Se trata de formar una sociedad de trabajo, por lo

tanto, todos deben tener claras las reglas y posibles sanciones que hay en ellas. El docente

brindará las pautas para el desarrollo de ésta importante actividad previa al aprendizaje.

Actividad Principal:

En cada práctica se tocará un tema del contenido del curso, para complementar los conocimientos

teóricos de las clases dictadas previamente y se presentan los ejercicios y casos resueltos y casos

propuestos, que deberán ser tratados por el grupo.

Tema 2:

“PROGRAMACION LINEAL: SOLUCION GRAFICA DE PROBLEMAS DE MAXIMIZACION”

En los casos de MAXIMIZACION , desde el punto de vista de todo el modelo, nos interesa determinar la SOLUCION

OPTIMA FACTIBLE que produzca la utilidad máxima y al mismo tiempo satisfaga todas las restricciones, para ello se

necesita un procedimiento sistemático que ubique con eficiencia la solución óptima, lo que veremos a continuación.

Propiedades de la PROGRAMACION LINEAL:

En el modelo anterior, las funciones objetivo y restricciones son LINEALES, todas. La linealidad implica que la programación

lineal debe satisfacer dos propiedades: PROPORCIONALIDAD y ADITIVIDAD.

La Proporcionalidad requiere que la contribución de cada variable de decisión en la función objetivo, y sus requerimientos

en las restricciones, sea directamente proporcional al valor de la variable.

La Aditividad estipula que la contribución total de todas las variables en la función objetivo y sus requerimientos en las

restricciones, sean la suma directa de las contribuciones o requerimientos individuales de cada variable. En el modelo, la

utilidad total es igual a la suma de dos componentes individuales de utilidad. Sin embargo, si los dos productos compiten

por la misma parte de mercado en forma tal que un aumento de ventas de uno afecte negativamente al otro, ya no se

satisface la propiedad de aditividad.

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS

PROBLEMA RESUELTO:

CASO AGROINDUSTRIAS SAC.

Agroindustrias SAC produce dos tipos de productos (A y B) para ello utiliza dos

tipos de materias prima (MP1 y MP2), cuya disponibilidad es restringida. Los datos

básicos se proporcionan a continuación:

Una encuesta de mercado indica que la demanda semanal del producto B no puede

superar en una tonelada más que el producto A. También que la demanda máxima

semanal del producto B es de 2 toneladas.

La empresa desea determinar la mezcla óptima (la mejor) de productos para que

maximice la utilidad semanal total.

El MODELO DE PROGRAMACION LINEAL, como en cualquier modelo de

investigación de operaciones tiene tres componentes:

1. Las VARIABLES de decisión que se trata de determinar.

2. El OBJETIVO (la meta) que se trata de optimizar.

3. Las RESTRICCIONES que se deben satisfacer.

Disponibilidad semanal máxima (TM).Producto BProducto A

6

1

5

4

2

4

24

6

Materia Prima MP1 en TM

Materia Prima MP2 en TM

Utilidad por TM (miles de $)

X31

Variable que entra

X11

Variable que sale

Maximizar Z = 5X1 + 4X2

sujeto a:6X1 + 4X2 ≤ 24

X1 + 2X2 ≤ 6

-X1 + X2 ≤ 1

X2 ≤ 2

X1, X2 ≥ 0

CASO AGROINDUSTRIAS SAC.

DEFINICION DEL PROBLEMA Y RECOLECCION DE LA INFORMACION

Se debe determinar la tasa de producción semanal de los dos productos para

maximizar las utilidades, sujeto a las limitaciones que tiene la empresa.

Debemos formularnos algunas preguntas:

¿Cuál es la utilidad por cada unidad de cada producto? ¿Cuál es el requerimiento en toneladas de cada materia prima para producir

una unidad de cada producto? ¿De cuántas toneladas de cada materia prima se dispone semanalmente?

Materia Prima

Requerimiento de Materia Prima por TM

de cada producto Disponibilidad

Semanal de

Materia Prima Producto A Producto B

Materia Prima MP1 6 4 24

Materia Prima MP2 1 2 6

Utilidad por TM

(miles de $) 5 4

MODELO DE PROGRAMACION LINEAL

1. Las VARIABLES:

Como se trata de determinar las cantidades a producir de cada producto, las

variables del modelo se definen como sigue:

X1 : Toneladas producidas semanalmente del producto A.

X2 : Toneladas producidas semanalmente del producto B.

2. El OBJETIVO:

Para formar la función objetivo, la empresa debe aumentar sus utilidades

todo lo posible. Si z representa la utilidad semanal total (en miles de dólares), el

objetivo de la empresa se expresa así:

Maximizar z = 5X1 + 4 X2

3. Las RESTRICCIONES:

Se deben definir las restricciones que limitan el uso de las materias primas y

la demanda. Las restricciones en materias primas se expresan verbalmente como

sigue:

(Uso de una materia prima para ambos productos) ≤ (Disponibilidad máxima de esa materia prima)

De acuerdo a los datos del problema:

Uso de la materia prima MP1, por semana = 6X1 + 4X2 toneladas.

Uso de la materia prima MP2 por semana = 1X1 + 2X2 toneladas.

Ya que la disponibilidad de las materias primas M1 y M2 se limitan a 24 y 6

toneladas, respectivamente, las restricciones correspondientes se expresan como

sigue:

6X1 + 4X2 ≤ 24 (Materia Prima 1)

X1 + 2X2 ≤ 6 (Materia Prima 2)

Para la primera restricción de la demanda indica que la diferencia entre la

producción del producto A y el producto B, (X2 – X1), no debe ser mayor que 1

tonelada, eso es X2 – X1 ≤ 1. La segunda restricción estipula que la demanda

máxima semanal del producto B se limita a 2 toneladas semanales, esto es: X2 ≤ 2

Una restricción implícita (“se sobreentiende”) es que las variables X1 y X2 no

pueden asumir valores negativos (restricción de no negatividad), por tanto: X1 ≥ O,

X2 ≥ O

El modelo completo para la Cía. Agroindustrias SAC es:

Maximizar z = 5X1 + 4 X2

Sujeto a:

6X1 + 4X2 ≤ 24

X1 + 2X2 ≤ 6

-X1 + X2 ≤ 1

X2 ≤ 2

X1, X2 ≥ O

Cualquier valor de X1 y X2 que satisfaga todas las restricciones del modelo es una

SOLUCION FACTIBLE.

Desde el punto de vista de todo el modelo, nos interesa determinar la SOLUCION

ÓPTIMA FACTIBLE que produzca la utilidad máxima y al mismo tiempo satisfaga

todas las restricciones.

El procedimiento de solución gráfica comprende dos pasos:

1. Determinación del espacio de soluciones que define todas las soluciones

factibles del modelo.

2. Determinación de la solución óptima, entre todos los puntos factibles del

espacio de soluciones.

Paso 1 : Determinación del espacio de soluciones factibles.

Primero, se debe tener en cuenta las restricciones de no negatividad X1 ≥ O

y X2 ≥ O. Estas restricciones limitan el área del espacio de soluciones al primer

cuadrante: arriba del eje X1 y a la derecha del eje X2.

Luego, debemos tener en cuenta las otras cuatro restricciones, para lo cual

debemos graficar cada una de las desigualdades, para ello primero debemos

sustituir cada desigualdad con una ecuación y a continuación se grafica la recta

resultante. Seguidamente consideraremos el efecto de la desigualdad. Todo lo que

hace la desigualdad es dividir al plano (X1, X2) en dos semi espacios (semiplanos,

uno a cada lado de la línea graficada). Sólo una de esas mitades satisface la

desigualdad; para determinar el lado correcto se elige cualquier punto de referencia

en el primer cuadrante. Con la aplicación del punto de referencia a todas las

restricciones del modelo se obtiene el espacio factible que se indica en la figura.

Paso 2: Determinación de la solución óptima.

El espacio factible de la figura esta delimitado por los segmentos de recta

que unen a los vértices A, B, C, D, E y F. Todo punto dentro o en la frontera del

espacio ABCDEF es factible, porque satisface todas las restricciones. Ya que el

espacio factible ABCDEF contiene una cantidad infinita de puntos, es obvio que se

necesita un procedimiento sistemático para identificar la solución óptima.

Para identificar la solución óptima se requiere identificar la dirección en la

que aumenta la función utilidad Z = 5X1 + 4X2. Recuerde que se está maximizando a

Z, por lo que debemos encontrar el valor máximo de Z. Este procedimiento gráfico

se presenta en la siguiente gráfica.

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

A B

C

DE

F

6

5

4

3

2

1

Restricciones:

6X1 + 4X2 ≤ 24

X1 + 2X2 ≤ 6

-X1 + X2 ≤ 1

X2 ≤ 2

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

1

2

3

4

5

6

X2

X1

4

B

X1

Optimo: X1 = 3 Ton.X2 = 1.5 Ton.Z = $ 21,000

6X1 + 4X2 ≤ 24

4

3

3

2

2

1

1

A B

C

DE

F

X2

X1

(Maximizar Z = 5X1 + 4X2)

Optimo: X1 = 3 Ton.X2 = 1.5 Ton.Z = $ 21,000

X1 + 2X2 ≤ 6

6X1 + 4X2 ≤ 24

4

3

3

2

2

1

1A B

C

DE

F

X2

X1

(Maximizar Z = 5X1 + 4X2)

Optimo: X1 = 3 Ton.X2 = 1.5 Ton.Z = $ 21,000

X1 + 2X2 ≤ 6

6X1 + 4X2 ≤ 24

1500

1000

500Óptimo: X1 = 470.60 kg

X2 = 329.40 kgZ = $ 437.64

X2

PROBLEMAS PROPUESTOS PARA RESOLVER GRAFICAMENTE:

1. La Cía. Fruitcola SAC produce y vende dos tipos de gaseosas: la Fruitcola 1 (sabor naranja) y la Fruitcola 2 (sabor maracuyá) que es menos costosa. El margen de utilidad aproximado del sabor naranja es 5 centavos (US$) por lata y del sabor maracuyá 7 centavos (US$) por lata. En promedio, la empresa no vende más de 500 latas diarias. Aunque Fruitcola 1 es una marca reconocida, los clientes tienden a comprar más del sabor maracuyá, porque es más barata. Se estima que se venden cuando menos 100 latas diarias del sabor naranja, y que Fruitcola 2 se vende más que el sabor naranja por un margen mínimo de 2:1.

¿Cuántas latas diarias de cada tipo se deben vender para maximizar la utilidad)

2. Se contrata con MAGGI SA para que reciba 60,000 kg de tomates maduros a siete centavos (US$) por kilo, con los cuales se produce jugo de tomate y pasta de tomate, ambos enlatados. Se empacan en cajas de 24 latas. En una lata de jugo se usa 1 kg de tomates frescos, y en una de pasta sólo 1/3 de kg. La demanda de los productos en el mercado se limita a 2,000 cajas de jugo y 6,000 cajas de pasta. Los precios al mayor por caja de jugo y de pasta son $18 y $9, respectivamente.

Prepare un programa óptimo de producción para MAGGI SA.

3. Consorcio Agroindustrial SAC exporta dos tipos de espárragos en cajas, las de tipo comercial, en envase tradicional; y, las de tipo jumbo especial, con un tratamiento adicional en el envasado. El envasado de ambos productos se hacen en un mismo departamento de envasado. El departamento de selección puede producir un máximo de 200 cajas comerciales y 150 especiales por turno. Para el tratamiento adicional se necesita el doble de tiempo que para envasar una caja comercial. Si el departamento de envasado sólo se dedicara al tipo especial, podría terminar 180 por turno. La empresa estima que las utilidades unitarias son $10 y $14 por caja comercial y especial, respectivamente. Formule el problema como programa lineal y determine el programa óptimo de producción por turno.

Cada grupo deberá presentar la solución de la práctica en un informe físico o virtual, de

acuerdo a las instrucciones del docente.

Mg. Gregorio Cisneros Santos Docente del Curso

Email: gmcisantos@hotmail.com