GUA PRCTICA 01: FORMULACIN DE MODELOS DE OPTIMIZACIN LINEAL

I. OBJETIVO El objetivo de esta prctica es introducir al alumno en la formulacin de modelos de optimizacin lineal y en la utilizacin de la aplicacin Microsoft Excel, para resolver problemas de programacin lineal.

II. INFORMACIN BSICA

FORMULACIN DE MODELOS DE PROGRAMACIN LINEAL Variables

Para nuestros fines, un primer paso en la formulacin de modelos ser el reconocimiento de las variables, es decir aquellos elementos del problema de los cuales el formulador tiene que decidir algo ejemplo: cantidad a producir, cantidades a vender, etc.

Restricciones

Un segundo paso en la formulacin de modelos ser el reconocimiento de las restricciones. En el contexto de la construccin de modelos, las limitaciones o restricciones impuestas sobre las decisiones permisibles tiene especial importancia. Las restricciones se presentan generalmente en dos formas: limitaciones y requerimientos. Las restricciones pueden subdividirse an ms para reflejar las limitaciones y requerimientos fsicos, las limitaciones y requerimientos econmicos, y las limitaciones y requerimientos de poltica operativa.

Funcin Objetivo

Todos los modelos de PL tienen tres caractersticas en comn. La primera, es la existencia de las variables de decisin, segundo las restricciones. La tercera es que en cada modelo de PL hay una sola medida de desempeo por maximizar o minimizar, la medida de desempeo por optimizar se llama funcin Objetivo. La Programacin Lineal proporciona un ejemplo de lo que se conoce de una manera ms general como modelo de Toma de Decisiones con restricciones, tambin llamado modelo de optimizacin con restricciones. Una descripcin de dicho modelo es: Un modelo de optimizacin restringido representa el problema de la asignacin de recursos escasos de modo tal que se optimice un objetivo de inters. Aunque existen otros tipos distintos y ms generales de modelos de toma de decisiones con restricciones, no deja de ser cierto que, en muchas aplicaciones, la programacin lineal es la ms til.

III. MATERIALES Y EQUIPOS 01 estacin de trabajo con Windows XP y Microsoft Excel 2007

IV. DESARROLLO DE LA PRCTICA:

PROTAC INC.PROTAC INC. Produce dos lneas de maquinaria pesada. Una de sus lneas de productos, llamada equipo de excavacin, se utiliza de manera primordial en aplicaciones de construccin. La otra lnea, denominada equipo para la silvicultura, est destinada a la industria maderera. Tanto la mquina ms grande de la lnea de excavacin (E-9), como la mayor de toda la lnea de equipo para silvicultura (F-9) son fabricadas en los mismos departamentos y con el mismo equipo. Empleando las proyecciones econmicas correspondientes al siguiente mes, el gerente de mercadotecnia de PROTAC ha considerado que durante ese periodo ser posible vender todas la E-9 y F-9 que sea capaz de producir. La gerencia tiene que recomendar ahora una meta de produccin para el mes prximo. Es decir, Cuntas E-9 y F-9 debern fabricarse si la direccin de PROTAC desea maximizar la contribucin del mes entrante a las ganancias (es decir; el margen de contribucin, definido como los ingresos menos los costos variables?).Los datos de PROTACLa toma de decisiones requiere la consideracin de los siguientes factores importantes:1. El margen de contribucin unitaria de PROTAC es de $ 5000 por cada E-9 y $ 4000 por cada F-9.2. Cada producto pasa por las operaciones de maquilado, tanto en el departamento A como en el B.3. Para la produccin correspondiente al mes prximo, estos dos departamentos tienen tiempos disponible de 150 y 160 horas, respectivamente. La fabricacin de cada E-9 requiere de 10 horas de maquilado en el departamento A y 20 horas en el B, mientras que la de cada F-9 requiere 15 horas en el departamento A y 10 en el B. estos datos aparecen resumidos en la siguiente tabla:DATOS DE TORNEADO DE PROTAC

DEPARTAMENTOHORAS

POR E-9POR F-9TOTAL Disponible

A1015150

B2010160

4. Para que la administracin cumpla un acuerdo concertado con el sindicato, las horas totales de trabajo invertidas en la prueba de productos terminados del siguiente mes no deben ser ms all del 10% inferior a una medida convenida en 150 horas. Estas pruebas se llevan a cabo en un tercer departamento y no tienen nada que ver con las actividades de los departamentos A y B. cada E-9 es sometida a pruebas durante 30 horas y cada F-9 durante 10. Dado que el 10% de 150 es 15, las horas destinadas a las pruebas no pueden ser menores que 135. Esta informacin se resume en la siguiente tabla:DATOS DE PRUEBA DE PROTAC

POR E-9POR F-9TOTAL Disponible

Horas de Prueba3010135

5. Con el fin de mantener su posicin actual en el mercado, la alta gerencia ha decretado como poltica operativa que: deber construirse cuando menos una F-9 por cada tres E-9 que sean fabricadas.6. Uno de los principales distribuidores ha ordenado un total de cuando menos cinco E-9 y F-9 (en cualquier combinacin) para el prximo mes, por lo cual tendr que producirse por lo menos esa cantidad.A partir de esas consideraciones, el problema de la gerencia es decidir cuntas E-9 y F-9 fabricar el prximo mes. En trminos de modelos, la gerencia intenta determinar la mezcla de productos ptima, tambin llamada como plan de produccin ptimo. Procederemos ahora a mostrar la manera de expresar este problema como un modelo de optimizacin y particularmente como programa lineal. Para ello, tendremos que identificar las restricciones y la funcin objetivo.

RestriccionesHemos indicado que en cada departamento es limitado el tiempo disponible para las operaciones de maquilado durante la fabricacin de las E-9 y F-9. Por ejemplo, para el periodo considerado no hay ms que 150 horas disponibles en el departamento A, esta disponibilidad limitada de horas es una restriccin. Para formular de manera concisa tal restriccin, comencemos por determinar las horas que se invertirn en el departamento A, recuerde que las E-9 como las F-9 deben tornearse en dicho departamento, sabemos que cada E-9 requiere de 10 horas de maquilado y cada F-9 emplear 15. Por tanto, para cualquier plan de produccin: 10 x (nmero de E-9 producidas) + 15 x (nmero de F-9 producidas) = Total de horas en el departamento A. esto puede expresarse mejor si introducimos una notacin sencilla:Sea:

Entonces la expresin del total de horas usadas en el departamento A se convierte en:

Esto expresa la restriccin para el departamento A, el smbolo significa menor o igual que y a la condicin 3.1 se le llama restriccin de desigualdad. El nmero 150 se conoce como lado derecho (LD) de la desigualdad. Resulta claro que el lado izquierdo (LI) de la desigualdad depende de los valore desconocidos do incgnitas y y recibe el nombre de funcin de restriccin. La desigualdad 3.1 es una forma simblica y concisa de expresar la restriccin por la cual la cantidad total de horas empleadas por el departamento A para producir unidades de E-9 y unidades de F-9 no deber sobrepasar las 150 horas disponibles.

Tambin observamos que por cada E-9 producida se utilizan 20 horas y por cada F-9 producidas se emplearn 10 horas de torneado en el departamento B, en el cual hay 160 horas disponibles, se deber cumplir que:

Las desigualdades 3.1 y 3.2 representan dos de las restricciones del problema actual. Existen otras?. El estudio previo de las consideraciones principales nos muestra que existe tambin un acuerdo con el sindicato que debe ser respetado (deber construirse cuando menos una F-9 por cada tres E-9 que sean fabricadas), el cual queda expresado de la siguiente manera:

Otra restriccin indica que debe producirse cuando menos una F-9 por cada TRES E-9. Esta situacin se expresa con smbolos de la forma:

Dado que ambos lados de la desigualdad contiene variables, esta expresin deber ser reescrita de manera que en LI queden las variables y en el LD los valores constante, la expresin quedar entonces de la siguiente forma:

La sexta de las condiciones principales establece que es preciso producir cuando menos cinco unidades el prximo mes, en cualquier combinacin. Esta restriccin se expresa sencillamente como:

Hasta ahora hemos especificado en forma simblica y precisa 5 restricciones de desigualdad asociadas al problema de produccin de PROTAC. Puesto que no tiene sentido producir una cantidad negativa de equipos. Tendremos que incluir una condicin adicional:

Las condiciones 3.6 en la cual se requieren que ambas incgnitas sean no negativas, se llaman condiciones de no negatividad. Es importante tener presente que el termino de no negativo no es equivalente al trmino positivo. La diferencia es que no negativo permite que el valor sea cero, mientras que positivo prohbe el uso de dicho valor.

La funcin objetivoDe todas las decisiones permitidas o factibles cul deber aplicarse? Como dijimos anteriormente, cada modelo de PL tiene un objetivo especfico, adems de restricciones. La direccin de PROTAC se propone maximizar las ganancias del prximo mes; por lo cual stas son el objetivo. Resulta claro que las ganancias de PROTAC provienen de dos fuentes:1. Una contribucin a las ganancias proviene de la venta de equipos E-92. Otra contribucin a las ganancias proviene de la venta de equipos F-9En nuestro estudio previo de los principales factores por considerar, indicamos que el margen de contribucin unitaria de PROTAC es de $ 5000 por cada E-9 y $ 4000 por cada F-9, por lo tanto nuestra funcin objetivo queda expresada por:

Ntese que en general, cuando solamente se dan (o solo se dispone) los datos de ingresos, lo nico que se puede hacer es maximizar los ingresos sujetndose a las restricciones. Si slo se cuenta con la informacin referente a los costos, entonces todo lo que puede hacerse es minimizar el costo de producir una mezcla determinada de productos. Sin embargo, si se dispone de informacin sobre costos e ingresos, por lo general, es ms conveniente maximizar la contribucin de las ganancias, antes que el ingreso.

Una solucin ptimaDe la infinidad de decisiones que satisfacen todas las restricciones (es decir, de todas las factibles) aquella que aporta la mayor contribucin total a las ganancias se llamar solucin problema de PROTAC, o como se le conoce con frecuencia, solucin ptima. Por tanto, buscamos una solucin que permita maximizar la contribucin total a las ganancias en relacin con el conjunto de las decisiones factibles. Tal decisin se llama decisin ptima. Entonces, nuestro objetivo, en trminos simblicos, se expresa correctamente como:

Sujeto a:

Modelo de PROTAC en ExcelEn la siguiente figura se muestra los resultados del modelo de PROTAC en Excel:

En la figura se muestran los resultados para la produccin de 6 E-9 y 5 F-9, Ntese como estas cifras de produccin violan la restriccin de capacidad del departamento B, pues requieren ms horas que las disponibles en ese departamento durante el siguiente mes.

Aunque la mayora de las entradas en Excel se explican por s mismas, debe consultar las frmulas para comprobar que se ha captado fielmente el modelo simblico de PROTAC. Adems preste atencin a la distribucin del modelo en Excel y a cmo se emplean los rtulos, coeficientes y variables de decisin y fjese tambin en el clculo de la Holgura.

CRAWLER TREAD: Ejemplo de IntegracinSe desea mezclar mineral de hierro de cuatro minas distintas para fabricar rodamientos destinados a un nuevo producto de PROTAC: un tractor tipo oruga de tamao mediano, el E-6, diseado especialmente para competir en el mercado europeo. Por medio de anlisis se ha demostrado que, para producir una mezcla dotada de las cualidades de traccin adecuadas, deben cumplirse requerimientos mnimos en relacin con tres elementos bsicos que, para simplificar, sealaremos como A, B y C. En trminos especficos, cada tonelada de mineral deber tener cuanto menos 5 libras del elemento bsico A, 100 libras del elemento bsico B y 30 libras del elemento bsico C.El mineral extrado de cada una de las cuatro minas posee tres elementos bsicos, pero en cantidades distintas. Estas composiciones, expresadas en libras por toneladas, se enumeran en la siguiente tabla:Requerimientos de elementos bsicos

Elemento BsicoRequerimiento mnimo por tonelada de mezcla(Libras de cada elemento)

A5

B100

C30

Composiciones obtenidas de cada mina

Elemento BsicoMina (libras por tonelada de cada elemento)

1234

A10382

B9015075175

C45252037

Costo del mineral de cada mina

MinaCosto en Dlares por tonelada de mineral

1800

2400

3600

4500

Ntese que una tonelada de mineral procedente de la primera mina contiene 10 libras del elemento bsico A, y esto satisface los mnimos requerimientos de este elemento de 5 libras por tonelada. En forma similar, la misma tonelada contiene 90 libras del elemento bsico B y 45 libras del elemento bsico C, por lo cual logra satisfacer el requerimiento del elemento bsico C, pero no el del elemento bsico B. De igual manera, se puede comprobar que una tonelada de la segunda mina no logra satisfacer los requerimientos de los elementos A y C. Una tonelada de la mina 3 no cumplir con los requerimientos de B o C y una tonelada extrada de la mina 4 no satisfar el requerimiento de A. Sin embargo, podemos encontrar muchas mezclas diferentes que satisfagan los requerimientos mnimos de los tres elementos bsicos. CREACIN DEL MODELO DE PL DE CRAWLER TREADEn virtud de que nos interesa encontrar una mezcla ptima de 1 tonelada, establecemos las variables de decisin en la siguiente forma:

Ejemplo 01: Astro Y Cosmo (Un Problema De Mezcla De Productos)Una compaa fabricante de TV produce dos modelos de aparatos televisores, el Astro y el Cosmo. Hay dos lneas de produccin, una para cada modelo, e intervienen dos departamentos en la produccin de cada modelo. La capacidad de la lnea de produccin de Astro es de 70 aparatos de TV por da, la capacidad de la lnea Cosmo es de 50 televisores diarios. En el departamento A se fabrican los cinescopios. En este departamento, se requiere una hora de trabajo para cada modelo Astro y 2 horas de trabajo diarias para cada trabajo Cosmo. En la actualidad, puede asignarse un mximo de 120 horas de trabajo diario para la produccin de ambos tipos de aparatos en el departamento. En el departamento B se construye el chasis. Aqu se requiere una hora de trabajo para cada aparato Astro y tambin para cada aparato Cosmo. Actualmente se puede asignar hasta un mximo de 90 horas de trabajo en el departamento B, para la produccin de ambos modelos. La contribucin da las ganancias es de 20 y 10 dlares, respectivamente, por cada televisor Astro y Cosmo. Esta informacin se presenta resumida en la siguiente tabla:INFORMACIN SOBRE ASTRO Y COSMO

Mano de obra por Televisor (Hrs)Ganancias por Televisor

Cantidad DiariaDPTO ADPTO B

ASTRO701120

COSMO502110

Disponibilidad Total12090

Si la compaa sabe que podr vender todos los aparatos Astro y Cosmo que sea capaz de producir. Cul deber ser el plan de produccin por da( es decir, la produccin diaria) para cada modelo. Escriba el modelo simblico de PL, luego desarrolle el modelo de PL en una hoja de clculo y optimcelo despus con Solver.SOLUCION AL PROBLEMA DE ASTRO Y COSMOEl modelo simblico de PL de Astro y Cosmo est dado por:

EJEMPLO 02: MEZCLA DE ALIMENTOSUna lata de 16 onzas de alimento para perro debe contener, cuando menos, las siguientes cantidades de protenas, carbohidratos y grasas: protenas 3 onzas, carbohidratos 5 onzas y grasa 4 onzas. Es necesario mezclar distintas porciones de 4 tipos de alimentos a fin de producir una lata de comida para perro, con el mnimo costo, que satisfaga este requerimiento. La siguiente tabla muestra el contenido y precio de 16 onzas de cada una de las diferentes mezclas de alimentos.INFORMACIN SOBRE LA MEZCLA DE ALIMENTOS

CONTENIDO Y PRECIO POR CADA 16 ONZAS DE ALIMENTOPRECIO

ALIMENTOProtenas (onzas)Carbohidratos (onzas)Grasas (onzas)Precio ($)

13754

25466

32263

43822

Formule este problema como uno de PL, luego desarrolle el modelo de PL en una hoja de clculo y optimcelo despus con Solver.

EJEMPLO 03: PROGRAMACIN DE LAS FUERZAS DE SEGURIDAD (UN PROBLEMA DE PROGRAMACIN)Un administrador de personal debe programar las fuerzas de seguridad, de manera que satisfaga los requisitos de personal de guardia indicados en la siguiente tabla:REQUERIMIENTOS DE PERSONAL DE GUARDIA DE SEGURIDAD

HoraCantidad Mnima de Requeridade Oficiales

Medianoche 4 a.m.5

4 a.m. 8 a.m.7

8 a.m. medioda

15

Medioda 4 p.m.7

4 p.m. 8 p.m.12

8 p.m. Medianoche9

El gerente de personal quiere determinar la cantidad de oficiales que debern trabajar en cada turno, de manera que se logre minimizar el total de oficiales empleados, pero sin dejar de satisfacer los requerimientos correspondientes a los turnos de guardia.

EJEMPLO 04: LONGER BOATS YATCH COMPANY (Una pequea descripcin acerca del anlisis de punto de equilibrio restringido)Longer Boats Yatch Company produce tres modelos de lanchas de alto desempeo para competicin. Estos tres modelos se llaman Sting, Ray y Breaker. La informacin acerca de ingresos y costos para el prximo periodo de planeacin aparecen en la siguiente tabla:

Informacin de Longer Boats

LanchaPrecio venta unitarioCosto variable unitarioCosto fijo

Sting1000050005000000

Ray750036003000000

Breaker15000800010000000

Como puede observar en esta informacin, el costo fijo de cada una de estas actividades es considerable. El costo fijo es un costo esttico que se tiene que pagar, independientemente de la cantidad que se vaya a producir. Los elevados costos fijos incluyen el costo de modificaciones de los diseos, la reconstruccin de moldes y las pruebas de los yates en un estanque.

En la siguiente figura se muestra el anlisis del punto de equilibrio correspondiente al modelo Sting.

Vemos que si Longer produjera solamente unidades del modelo Sting, tendra que producir por lo menos 1000 lanchas para poder alcanzar el punto de equilibrio.

Sin embargo, el problema de Longer Boats es ms complicado. Por principio de cuentas para el siguiente periodo de planeacin, la administracin ya ha firmado contratos comprometindose a producir 700 Sting. Otro cliente ha solicitado 400 Breaker, solicitud que la administracin quisiera cumplir. Los estudios de mercado de la empresa han convencido a los directivos de que se deben fabricar a lo sumo 300 Ray. La gerencia todava est interesada en averiguar cunto tendr que vender para llegar al punto de equilibrio, pero ahora existen tres productos, adems de compromisos previos o restricciones, que ser preciso tomar en cuenta. Partiendo de los principios bsicos, la gerencia ha observado que, para alcanzar el punto de equilibrio, deber cumplirse la condicin:

Por el hecho de que la compaa es relativamente nueva y ahora est padeciendo los problemas de flujo de efectivo asociados a su rpido crecimiento, la administracin deseara minimizar el flujo de salida de capital. Por necesidad, ser menester incurrir en la totalidad de los costos fijos y, en consecuencia, la meta se convertir en minimizar los costos variables totales. La meta de la gerencia es determinar el plan de produccin que tenga el menor costo variable, que cumpla con las restricciones y produzca un ingreso total igual al costo total.

SOLUCIN EJEMPLO 04: LONGER BOATS YATCH COMPANYPara obtener una expresin del punto de equilibrio en trminos de las cantidades de produccin, se definen las siguientes variables de decisin:

La cantidad del punto de equilibrio es, entonces:

O bien,

El modelo que refleja la restriccin de punto de equilibrio y los requerimientos y lmites previamente establecidos para la demanda es el siguiente:

V. INFORME DE LABORATORIO

1. Presente el archivo de ingreso de datos.2. Presente sus conclusiones de lo aprendido en la prctica

GUA PRCTICA 02: MTODO GRFICO APLICADO A LA PROGRAMACIN LINEAL

VI. OBJETIVO Aplicar la Programacin Lineal, especficamente mediante los mtodos grfico como alternativa para la solucin de problemas y apoyo en la toma de decisiones.

VII. INFORMACIN BSICA

El mtodo grfico Este anlisis grfico nos permite intuir uno de los teoremas fundamentales de la Programacin Lineal, llamado teorema del punto extremo para obtener la solucin ptima de los problemas de Programacin Lineal con dos variables de decisin.

En forma sucinta, el algoritmo del mtodo grfico es el siguiente:

1.Dibujar un plano coordenado y asociar un eje a cada variable del modelo.2.Representar en el plano las restricciones tecnolgicas.3.Identificar grficamente el conjunto de soluciones factibles (regin de factibilidad).4.Representar en el plano la funcin objetivo.5.Identificar grficamente la solucin ptima haciendo uso del clculo algebraico para la solucin de ecuaciones.Para aprender el uso del algoritmo se utilizara el programa GLP.

VIII. MATERIALES Y EQUIPOS 01 estacin de trabajo con Windows XP y GLP (Graphics Linear Program)

IX. DESARROLLO DE LA PRCTICA:

El mtodo de resolucin grfica es una forma sencilla de resolver modelos de PL, con dos variables de decisin. Como el modelo de PROTACT de la prctica 01 tiene slo dos variables de decisin E y F , podemos usar ese modelo para ilustrar el mtodo grfico con el uso del SOFTWARE GLP (Graphic Linear Programming).

EJEMPLO 01: EL MODELO DE PROTAC

Sujeto a:

Graficacin de las RestriccionesNuestro primer objetivo consiste en mostrar la forma de presentar grficamente todas las restricciones viables de este modelo. Ingresemos ahora las restricciones:

El efecto de agregar restriccionesAl agregar ms restricciones, el conjunto de decisiones permisible siempre se recorta o no resulta afectado. La adicin de restricciones nunca expande el conjunto de decisiones permitidas.

La regin factibleEs el conjunto de todos los valores no negativos de las variables de decisin que satisfacen todas las restricciones en forma simultnea. Tambin se le conoce como el conjunto restringido.En GLP para mostrar la regin factible haga clic en el cono

Grfica de la funcin objetivo La obtencin de una representacin grfica del conjunto restringido es el primer paso del procedimiento de resolucin grfica. Ahora queremos usar la representacin grfica para encontrar la solucin ptima del modelo. Para ello ingresamos la funcin objetivo (PAYOFF = REDITOS).

Esta ecuacin nos permite obtener la recta de la funcin objetivo. Nuestra siguiente tarea consiste en superponer varias rectas de ganancias arbitrarias. Por ejemplo empecemos haciendo que la funcin objetivo tenga REDITOS por 20000.

El GLP restringe la recta de Rditos al cuadrante no negativo porque slo nos interesan los valores no negativos de las variables. En estas condiciones cualquier punto sobre la recta corresponde a un plan de negocios que rendir una contribucin de 20000 a las ganancias.

Desde dentro del programa GPL, configure las opciones de escala

Bsqueda de la Solucin ptimaAhora que hemos visto como trazar el grfico de la regin factible y los contornos de la funcin objetivo, ya tenemos suficiente informacin para hallar la solucin ptima del modelo PROTAC.

Haciendo clic en el botn Maximizar encontramos la solucin ptima al problema de PROTAC

Solucin ptima = 50500X1 = 4.5X2 = 7

Este es el valor del contorno de ganancia mxima que aparece y que se conoce como el valor objetivo ptimo o simplemente, a veces, el valor ptimo. (Compare el valor ptimo obtenido con Excel deber ser exactamente el mismo).

Restricciones Activas e Inactivas Si en condiciones de optimalidad, el lado izquierdo de la restriccin es igual al lado derecho, se dice que dicha restriccin es activa u obligatoria. As una restriccin de igualdad, es siempre una restriccin activa. Una restriccin de desigualdad puede ser activa o no. Si una restriccin no es activa, se dice que es inactiva. Es una restriccin de desigualdad del tipo , la diferencia entre el lado izquierdo y el derecho(cantidad sobrante) suele llamarse excedente. En una restriccin del tipo la diferencia entre el lado izquierdo y el derecho (cantidad no usada) se llama holgura. En condiciones de optimalidad, todas las restricciones de desigualdad incluidas en un modelo tienen una holgura o excedente y para lo referente a las decisiones factibles dicho valor es siempre no negativo.

Interpretaciones Grficas de Restricciones Activas e InactivasLas restricciones activas e inactivas son fciles de detectar durante la aplicacin del mtodo de resolucin grfica. De hecho, este es el propsito del mtodo grfico porque, como hemos visto, una vez que las restricciones activas has sido identificadas se pueden resolver ecuaciones simultneas para encontrar la solucin ptima. Sin embargo es necesaria calcularlas algebraicamente.

Geomtricamente, una restriccin es activa cuando pasa por la solucin ptima. Geomtricamente, una restriccin es inactiva cuando no pasa por la solucin ptima.

Puntos externos y solucin ptimaComo hemos visto, la solucin del modelo de PROTAC se localiza en un vrtice de la regin factible, es decir; en el vrtice donde est la interseccin de las restricciones activas. Segn la terminologa los vrtices de la regin factible se denominan puntos externos.

Una nueva funcin ObjetivoPara entender la importancia de los puntos extremos, tomemos una nueva funcin objetivo lineal diferente, con el mismo conjunto de restricciones y resolvamos de nuevo el modelo. Por ejemplo supongamos que los precios ahora 5000 y 10000, resolviendo tendremos.

Notamos un deslizamiento de la cota superior de la nueva lnea de ganancias, se aprecia adems que esta solucin ptima ahora se ha trasladado a un nuevo vrtice (punto externo). Por tanto, como conclusin podemos decir: Si existe una solucin ptima en un modelo de PL, siempre hay cuando menos una solucin ptima en un vrtice.EL MTODO GRFICO APLICADO A UN MODELO DE MININIMAZACINLa direccin descendenteComo dijimos existen problemas en donde se presentan modelos de costos en los cuales lo que se busca es minimizar estos costos, por lo tanto nos encontramos en un modelo de minimizacin. El mtodo aplicado a un modelo Min es muy similar, con la nica diferencia de que la direccin de optimizacin de la funcin objetivo es ahora descendente en lugar de ser ascendente. En un modelo Min, los contornos de la regin factible suele ser siempre rectas de costos.

Nuestra meta es encontrar el vrtice de la regin factible localizado en el contorno de valor ms bajo de la funcin objetivo que tenga todava una interseccin con la regin factible. A manera de ejemplo, apliquemos el mtodo grfico al siguiente modelo de minimizacin simple con dos variables de decisin que llamaremos y :

Sa.

Superpondremos primero el contorno, para luego determinar el valor ptimo de la funcin objetivo:

Se aprecia que existen 4 vrtices (puntos externos) en la regin factible, sabemos adems que en uno de ellos se encuentra la solucin ptima, busquemos ahora la solucin ptima, haciendo clic en el botn Puesto que nuestro modelo es de minimizacin:

Notamos que la solucin ptima se encuentra en el vrtice ms bajo (0,2) y adems nos da un valor para la funcin objetivo de 4, es decir, el costo mnimo del modelo.

MODELOS NO ACOTADOS Y NO FACTIBLESHasta aqu hemos desarrollado una representacin geomtrica de modelos de PL con dos variables de decisin. Esta representacin nos ha servido de base para resolver esos modelos y ha ilustrado tambin una conclusin importante: Si existe una solucin ptima esta pasa por uno de los vrtices de la regin factible.

En esta seccin usaremos la representacin geomtrica para ver cmo puede ocurrir que el modelo de PL no tenga una solucin factible.

1. MODELOS NO ACOTADOSSupongamos que tenemos el siguiente modelo de PL:

Sujeto a:

Esto nos da la siguiente grfica:

Notamos en el anlisis grfico de este nuevo modelo que el conjunto solucin se extiende indefinidamente hacia el noroeste, y es posible deslizar arbitrariamente la recta de ganancias en esta direccin. Al hacer clic en la herramienta AutoMax, se obtiene el mensaje ! Restricciones no Acotadas! , que aparece en ingls:

Los modelos de este tipo son patolgicos, pueden surgir cuando no se incluye en el modelo una o varias restricciones importantes, o tal vez a causa de errores al introducir los datos de un modelo en GLP o en la Hoja Electrnica para su optimizacin con Solver. En el mundo real, nadie ha descubierto an la forma de obtener ganancias infinitas y puede estar seguro de que si un modelo ha sido formulado e introducido correctamente, siempre ser acotado.

2. MODELOS NO FACTIBLESExiste otro tipo de patologa con el cual debemos ser precavidos en la PL. Se le conoce como no factibilidad (infactibilidad) o en forma alternativa, inconsistencia. Este trmino se refiere a un modelo que tiene un conjunto restringido vaco; es decir, que en l no hay una combinacin de valores para las variables de decisin que satisfaga simultneamente todas las restricciones. Un ejemplo de ste tipo de modelos se presenta a continuacin:

Sujeto a:

El conjunto restringido se presenta en la siguiente grfica:

Al querer darle solucin GLP nos mostrar el mensaje de Solucin no Factible (en ingls)

Por tanto, todo programa lineal corresponde a alguna de las tres siguientes categoras, en las que no puede haber superposiciones:

1. El modelo tiene una solucin ptima2. No existe solucin ptima porque el modelo no est acotado3. No existe solucin ptima porque el modelo no es factible.

Ejemplo 02: La Compaa Reddy MikksReddy Mikks produce pinturas tanto para interiores como para exteriores a partir de dos materias primas, M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos bsicos del problema:

Inscripcin en universidades locales, 2005Toneladas de Materia Prima por tonelada deDisponibilidad Mxima diaria (toneladas)

Pintura de ExterioresPintura para Interiores

Materia Prima M16424

Materia Prima M2126

Utilidad por Tonelada (1000 dlares)54

Una encuesta de mercado restringe la demanda mxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas. Adems, la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de pintura para exteriores en ms de 1 tonelada. Reddy Mikks quiere determinar la mezcla de producto ptima (mejor) de pinturas para interiores y para exteriores que maximice la utilidad total diaria.

SolucinEl modelo completo para Reddy Mikks se escirbe como:

Sujeta a

Con estos datos ingresamos al software de programacin lineal grfica.1. Cargar el programa GLP 2. Ingresar los datos como sigue:

Se requieren etiquetas de la entrada para el eje X y eje de Y antes de que usted pueda revisar las restricciones. Usted puede teclear las etiquetas en la caja de la etiqueta:

Cmo entrar las restricciones?

Usted ingresa las restricciones en las cajas de restricciones. GLP acepta hasta seis restricciones lineales.

Las desigualdades estrictas () no se permite en las restricciones. Por ejemplo, 2.0X + 3.0Y = -5.0 son vlidos, pero 2.0X + 1.0Y -5.0 son no vlido. GLP muestra el uso optativo de etiquetas de la ecuacin. El ejemplo: La labor: 6.0X + 4.0Y