2.-Optimizacion Lineal SIMPLEX

7/25/2019 2.-Optimizacion Lineal SIMPLEX

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Tema 2:Optimizacin lineal

Ezequiel Lpez Rubio

Departamento de Lenguajes y

Ciencias de la Computacin

Universidad de Mlaga


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Sumario

El modelo de programacin lineal

ormulacin de modelos

M!todo gr"icoM!todo del simple# Casos anmalos

M!todo de las dos "ases

Dualidad


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El modelo deprogramacin lineal


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Introduccin

Definicin:$e dice que una "uncin "% RnRes lineal sii

para alg&n conjunto de constantes 'c()c*)+++)cn, se tiene

que%

( ) nnn xcxcxcxxxf +++= ...,...,, 221121 Ejemplos:"-#)y./#0*y es lineal) pero "-#)y./#*1*y no es

lineal+

Definicin:$ea "% RnRuna "uncin lineal) y bRuna

constante+ Entonces se dice que las desigualdades"-#()+++)#n.b) "-#()+++)#n.b) son desigualdades lineales) y

que la igualdad "-#()+++)#n./b es una igualdad lineal+ En

general nos re"eriremos a las tres con el nombre de

restricciones lineales


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Concepto de problema de

programacin lineal

Definicin:Un problema de programacin lineal esun problema de optimizacin en el que% $e debe ma#imizar -o minimizar. una "uncin lineal de las

variables de decisin que se llama "uncin objetivo Los valores de las variables deben satis"acer un conjunto

de restricciones lineales

recuentemente nos encontraremos que en elproblema de programacin lineal aparecen tambi!n

restricciones de signo para las variables) del tipo#i2+ En realidad estas restricciones son un tipo de

restricciones lineales+


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orma general de un problema

de programacin lineal

La "orma ms general de un problema deprogramacin lineal ser%

no)oaparecerpueden(que0,...,~...

...

~...

:aSujeto

...minimizar)(oMaximizar

1

11

11111

11

++

++

++

n

mnmnm

nn

nn

xx

bxaxa

bxaxa

xcxc

donde el s3mbolo 4 puede denotar a ) o /+


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orma matricial

5 los coe"icientes de la "uncin objetivo -ci. se les llama

costes+ 5 los t!rminos independientes de lasrestricciones -bi.) recursos+ 5 los elementos de la matriz

de coe"icientes que de"ine las restricciones -aij.)

coeficientes tcnicos+ 6ara simpli"icar la notacin) sillamamos cal vector de costes) bal vector de recursos)y 5 a la matriz de coe"icientes t!cnicos) podemosescribir el problema en la llamada "orma matricial%

no)oaparecer(puede0

~

:aSujeto

minimizar)(oMaximizar

x

bx

xc

A

T


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Regin factible

Mientras no se indique lo contrario) consideraremos que

las restricciones del tipo #i2 se incluyen -si aparecen en

el problema. dentro del conjunto de restricciones 5! 4b)

con lo cual el problema quedar3a%

bx

xc

~aSujeto

minimizar)(oMaximizar

A

T

Definicin:Dado un problema de programacin lineal)

llamaremos regin "actible del problema y ladenotaremos por $ al conjunto de puntos que cumplen

todas las restricciones del problema) es decir%

}~|{ bxRx AS n=


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Soluciones ptimas

Definicin:Dado un problema de programacin lineal)

diremos que un punto !2$ es una solucin ptima sii

se cumple que "-!2."-!. !$ -para el caso de

minimizar. o bien "-!2."-!. !$ -para el caso dema#imizar.+ En tal caso) a "-!2. se le llamar valor

ptimode la "uncin objetivo+

$i e#iste una sola solucin ptima) diremos que el

problema tiene solucin &nica+ $i no e#iste solucinptima) pero $) diremos que el problema tiene

solucin ilimitada+ $i $/) diremos que el problema no

tiene solucin+


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ormulacin demodelos


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Introduccin

Cuando se desea resolver un problema delmundo real) se "ormula en primer lugar unmodelo

Un modelo es una simpli"icacin de larealidad que se intenta que sea losu"icientemente e#acta como para podere#traer de !l conclusiones &tiles

En particular nos interesan los modeloscuantitativos) en los que la realidad esmodelada mediante n&meros


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"odelos cuantitati#os

En los modelos cuantitativos para problemas deoptimizacin intervienen% 7ariables de decisin) cuyos valores num!ricos

"inales nos proporcionan la solucin La "uncin objetivo) que es una cantidad que sedesea ma#imizar -bene"icio) rendimiento) etc+. ominimizar -coste) tiempo)+++.+ En el caso de minimizarcostes) 8ay que tener en cuenta que los costos "ijos

no se incluyen) ya que no dependen de la decisinque se tome

Un conjunto de restricciones) las cuales de"inen qu!soluciones son posibles -"actibles.


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$u%a para la formulacin de

modelos

$eguiremos estos pasos% E#presar cada restriccin verbalmente) poniendo especial

cuidado en distinguir entre requerimientos -.) limitaciones

-. o e#igencias de igualdad -/.+

E#presar el objetivo verbalmente

9denti"icar verbalmente las variables de decisin

E#presar las restricciones mediante s3mbolos) es decir) en

t!rminos de las variables de decisin

E#presar la "uncin objetivo simblicamente

Comprobar la co8erencia de las unidades en las

restricciones y la "uncin objetivo


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Ejemplo

Ejemplo:Una empresa dedicada a la

"abricacin de juguetes de madera produce

dos tipos de juguetes% coc8es y trenes Los coc8es se venden a *: ; y usan (2 ; de

materiales+ 6or cada coc8e 8ay un coste de

mano de obra de (< ;

Los trenes se venden a *( ;) usan = ; dematerial y el coste de mano de obra es (2 ;


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Ejemplo

La produccin de ambos juguetes necesita dos

tipos de trabajo% carpinter3a y acabado Coc8e% * 8oras acabado) ( 8ora carpinter3a

>ren% ( 8ora acabado) ( 8ora carpinter3a La empresa dispone de un m#imo de ?2 8oras

semanales de carpinter3a y (22 8oras semanales de

acabado+

La demanda de trenes es ilimitada) pero la decoc8es est limitada a


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Ejemplo

Solucin:

7ariables de decisin -deben describir las

decisiones que se van a tomar.%

#C/n@ de coc8es producidos cada semana #>/n@ de trenes producidos cada semana

uncin objetivo% Aanancias semanales% *:#C1*(#> Costes semanales%

Materiales% (2#C1=#>

Mano de obra% (


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Ejemplo

uncin objetivo -8ay que ma#imizarla.%

( ) TCTCTCTC xxxxxxxxf 101!10212", +=

( ) TCTC xxxxf 2#, += Restricciones% Cada semana no se pueden usar ms de (22 8oras de

acabado% *#C1#>(22

Cada semana no se pueden usar ms de ?2 8oras decarpinter3a% #C1#>?2

La demanda de coc8es est limitada% #C2


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Ejemplo

Co8erencia de unidades% Las variables de decisin #c) #>estn en

8orasBsemana

La "uncin objetivo est en ;Bsemana

Las restricciones estn e#presadas en 8oras

$e observa que estamos usando co8erentemente

las unidades


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"&todo gr'fico


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Introduccin

Un primer intento de resolucin de los problemas de

programacin lineal es el m!todo gr"ico+ $u inter!s

es limitado) ya que con !l slo podemos resolver

problemas de dos variables -a lo sumo tres. Definicin:$ea una "uncin "% RnR+ Llamamos

contorno !simo de " y denotamos Cal conjunto

de puntos tales que "-!./) donde R

6ara el caso de una "uncin lineal de dos variables)los contornos que se generan variando "orman un

8az de rectas paralelas


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(lgoritmo

El m!todo gr"ico consta de los siguientes pasos% Dibujar la regin "actible) $

Dibujar un contorno de la "uncin objetivo

Determinar la direccin de crecimiento de los contornos Una vez determinada la direccin de crecimiento de

los contornos) la solucin estar en el &ltimo punto

de la regin "actible que toquen los contornos antes

de abandonarla) siguiendo la direccin y sentido decrecimiento o decrecimiento seg&n si nuestro

objetivo es ma#imizar o minimizar) respectivamente


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Determinacin del crecimiento

6ara determinar la direccin de crecimiento

de los contornos) lo podemos 8acer de dos

"ormas% Dibujando dos contornos

Dibujando el vector gradiente) que como

sabemos marca siempre la direccin y sentido de

crecimiento de la "uncin%

=

y

f

x

ffgrad ,


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Ejemplo

7amos a resolver este problema%

Ma#imizar "-#)y./#1 y sujeto a%

* #1 y#1 y 2

#) y 2

$i dibujamos la regin "actible $) el contorno2 y la direccin de crecimiento de la "uncin

objetivo obtenemos la siguiente gr"ica


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Ejemplo

0 1 2 # $0

1

2

#

$%

S

(2,2)

&0

'rad

x


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Ejemplo

En la gr"ica podemos ver que la "uncin objetivoaumenta su valor 8acia arriba+ La solucin delproblema de minimizar estar en el primer punto de$ que toquen los contornos al aumentar el valor -eneste caso) el origen de coordenadas.) mientras quela solucin del problema de ma#imizar estar en el&ltimo punto que toquen) en este caso el -*)*.+

6or tanto) la solucin ptima de este problema es el

punto -*)*. y el valor ptimo de la "uncin objetivoes "-*)*./(


26/124

Solucin ilimitada) S no

acotado

S


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Solucin *nica) S no acotado

S


28/124

Infinitas soluciones) S no

acotado

S


29/124

Infinitas soluciones) S

acotado

S


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Sin solucin +S,

-


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Ejemplo

.roblema:

Ma#imizar #( 1 *#*sujeto a%

(B* #( 1 #* (#( 1 #* *

#() #*2


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Representacin gr'fica

0 1 2 # $0

1

2

#

$

x1

x2

&

*

+


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.untos e!tremos

-unto x1 x2 S1 S2

0.0 0.0 1.0 2.0 0.0

/ in in 0.0 in in

& 0.0 1.0 0.0 1.0 2.0

* 2.0 0.0 2.0 0.0 2.0

+ 0.0 2.0 1.0 0.0 .0

0." 1.# 0.0 0.0 #.#


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Ejemplo

.roblema:

Ma#imizar #( 1 #*sujeto a%

*#( 1 #* abla *

*2 *< 2 2 2

40 c0 bi 45 42 S5 S2 S6

$( 2 (* 2 2 ( 2 G

$* 2 ( G 2 2 ( (

O* *< ? (B* ( 2 2 (B*

(=* ? 2 2 2 (*Criterio de entrada% m3n ' ? , / ?) luego entra #(

Criterio de salida% m3n ' (BG) ( , / (BG) luego sale $*


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Ejemplos

>abla G

*2 *< 2 2 2

0ase c0 .3 45 42 S5 S2 S6

$( 2 (* 2 2 ( 2 G

O( *2 (BG ( 2 2 (BG (BG

O* *< (BG 2 ( 2 (B *BG

:2


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Casos anmalos

.roblemas con infinitas


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soluciones

En la tabla "inal 8ay alg&n valor nulo en la &ltima "ila) quecorresponde a una variable que no est en la base+ Ental caso) podr3amos introducir dic8a variable en la base)y nos saldr3a otra base que dar3a tambi!n el valor

ptimo+ Esto quiere decir que el problema tiene infinitassoluciones) todas ellas con el mismo valor ptimo de la"uncin objetivo+ $ea el n&mero de vectores solucinobtenidos de esta manera -8abiendo 0( ceros e#tra.) ysean dic8os vectores !

1) !

2) +++) !

+ Entonces las in"initas

soluciones del problema sern%

[ ] 1,1,0donde,11

= ==

K

i

ii

K

i

ii x


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Ejemplos

.roblema:

Ma#imizar #( 1 G#*sujeto a%

#(

1 #*

(

*#( 1 #*

#() #*2


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Ejemplos

>abla (

G 2 2

40 c0 bi 45 42 S5 S2

$( 2 ( ( ( ( 2

$* 2 * ( 2 (

2 G 2 2

Criterio de entrada% m3n ' ) G , / ) luego entra #(

Criterio de salida% m3n ' G , / G) luego sale $*


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Ejemplos

>abla *

G 2 2

40 c0 bi 45 42 S5 S2

$( 2 < 2 GB* ( (B*

O( G ( (B* 2 (B*

(? 2 2 2 G

$e cumple la condicin de parada+ 7alor ptimo% (?+

6rimera solucin ptima% !5/-G) 2)

En la &ltima "ila) el cero que no est en la base indica otra

solucin ptima+ 6ara 8allarla) 8acemos entrar a #*


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Ejemplos

>abla G

G 2 2

40 c0 bi 45 42 S5 S2

O* G ?BG 2 ( *BG (BG

O( FBG ( 2 (BG (BG

(? 2 2 2 G

$egunda solucin ptima% !/-FBG) ?BG) 2) 2.>+ >ambi!n

son soluciones ptimas todos los puntos del segmento

5!51!) con 5) 2) 5 1 / (+

.roblemas con solucin


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ilimitada

5l intentar elegir la variable que sale) nospodemos encontrar con que la columna .

jde

lavariablejque ten3a que entrar tiene todos

sus elementos negativos o nulos+ En tal casoel problema tiene solucin ilimitada) es decir)se puede 8acer crecer el valor de la "uncinobjetivo tanto como se quiera sin violar

ninguna restriccin+ 6ara ello) bastar3a con8acer crecer ilimitadamente la variable queten3a que entrar en la base+


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Ejemplos

.roblema:


F#(

#*

2

#( < #* 2

#() #*2


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Ejemplos

>abla (

( ( 2 2

40 c0 bi 45 42 S5 S2

$( 2 2 F ( ( 2

$* 2 2 ( < 2 (

2 ( ( 2 2

Criterio de entrada% m3n ' () ( , / () y elegimos queentre #(

Criterio de salida% m3n ' 2B( , / 2) luego sale $*


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Ejemplos

>abla *

( ( 2 2

40 c0 bi 45 42 S5 S2

$( 2 2 2 (= ( F

O( ( 2 ( < 2 (

2 2 F 2 (

Criterio de entrada% m3n ' F , / F) luego entra #*

Criterio de salida% Ho 8ay "racciones con denominador

estrictamente positivo) luego el problema tiene

solucin ilimitada


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"&todo de las dosfases


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Introduccin

$i al intentar aplicar el m!todo simple# nos

encontramos con que no es posible

encontrar una solucin bsica "actible -$.

inicial) es preciso usar el m!todo de las dos"ases+

6ara ello) usamos el siguiente algoritmo%

(+ 5Iadir variables arti"iciales al problema *+ ase 9+

G+ ase 99+

(dicin de #ariables


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artificiales

$e trata de aIadir al problema tantas

variables como sean necesarias para

construir una $+ $us coe"icientes en las

ecuaciones sern los que convengan paranuestro propsito+

6or consiguiente) tendremos que cada

variable arti"icial tendr coe"iciente ( en unaecuacin y coe"iciente 2 en todas las dems


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ase I

$e trata de aplicar el m!todo simple# para resolver unproblema au#iliar que consiste en minimizar la suma delas variables arti"iciales+ 6ara que la tabla ptimaaparezca lo antes posible conviene que) en caso de

empate en el criterio de salida y que una de las variablesempatadas sea arti"icial) saquemos la arti"icial+ Una vez resuelto este problema au#iliar) caben dos

posibilidades El valor ptimo de la "uncin objetivo es distinto de cero+ En tal

caso el problema original no ten3a solucin+ El valor ptimo de la "uncin objetivo es cero+ En tal caso

podemos pasar a la ase 99+


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ase II

Consiste en aplicar el m!todo simple#)usando la "uncin objetivo del problemaoriginal) pero empezando con una primera

tabla que se obtiene quitando de la &ltimatabla de la ase 9 las columnas de lasvariables arti"iciales

La solucin obtenida en la ase 99 ser la

solucin del problema original -t!ngase encuenta que en la ase 99 no aparecenvariables arti"iciales.


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Ejemplos

.roblema:


#( 1 #* (

*#( 1 #*

#() #*2


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Ejemplos

>abla ( de la ase 9

2 2 2 2 (

0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7 .8

6F ( ( ( ( ( 2 (

6< 2 * ( 2 ( 2

( ( ( ( 2 2Criterio de entrada% m3n ' ( , / () luego entra #*

Criterio de salida% m3n ' () , / () luego sale #F


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Ejemplos

>abla * de la ase 9

2 2 2 2 (

0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7 .8

6* 2 ( ( ( ( 2 (

6< 2 F G 2 ( ( (

2 2 2 2 2 ($e cumple la condicin de parada+ 7alor ptimo% 2 -el

problema tiene solucin.+Construimos la primera tabla de la ase 99 quitando la

variable arti"icial #F

Ej l


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Ejemplos

>abla ( de la ase 99

( 2 2

0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7

6* ( ( ( ( ( 2

6< 2 F G 2 ( (

( : 2 ( 2

Criterio de entrada% m3n ' :) ( , / :) luego entra #(

Criterio de salida% m3n ' FBG , / FBG) luego sale #abla * de la ase 99

( 2 2

0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7

6* ( ?BG 2 ( *BG (BG

6( FBG ( 2 (BG (BG

G?BG 2 2

Ej l


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Ejemplos

.roblema:

Ma#imizar


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Ejemplos

>abla ( de la ase 9

2 2 2 2 2 ( (

0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7 .8 .9 .

6 ( ( * ( * ( 2 ( 2

6: ( ( ( ( 2 ( 2 (

: ( 2 G ( ( 2 2Criterio de entrada% m3n ' G , / G) luego entra #G

Criterio de salida% m3n ' (B*) , / (B*) luego sale #

Ej l


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Ejemplos

>abla * de la ase 9

2 2 2 2 2 ( (

0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7 .8 .9 .

6G 2 (B* ( (B* ( (B* 2 (B* 2

6: ( ((B* * GB* 2 (B* ( (B* (

((B* * GB* 2 (B* ( GB* 2Criterio de entrada% m3n ' *) GB*) (B* , / *) luego

entra #(Criterio de salida% m3n ' ((BG , / ((BG) luego sale #:

Ej l


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Ejemplos

>abla G de la ase 9

2 2 2 2 2 ( (

0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7 .8 .9 .

6G 2 (GB< 2 (B< ( (B< (B* (B< (B*

6( 2 ((B< ( GB< 2 (B< (B* (B< (B*

2 2 2 2 2 2 ( ($e cumple la condicin de parada+ 7alor ptimo% 2 -elproblema tiene solucin.+

Construimos la primera tabla de la ase 99 quitando las

variables arti"iciales #y #:

Ej l


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Ejemplos

>abla ( de la ase 99

< ( 2 2

0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7 .8

6G (GB< 2 (B< ( (B< (B*

6( < ((B< ( GB< 2 (B< (B*

(B* 2 :B* 2 (B* F

Criterio de entrada% m3n ' (B*) F , / F) luego entra #F

Criterio de salida% Ho 8ay "racciones con denominador

estrictamente positivo) luego el problema tiene solucin

ilimitada

Ej l


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Ejemplos

.roblema:


#( #*

*#( * #* (2

#() #*2

Ej l


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Ejemplos

>abla ( de la ase 9

2 2 2 2 (

0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7 .8

6F ( ( ( ( 2 (

6< 2 (2 * * 2 ( 2

( ( ( 2 2

Criterio de entrada% m3n ' ( , / () luego entra #(

Criterio de salida% m3n ' ) F , / F) luego sale #abla * de la ase 9

2 2 2 2 (

0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7 .8

6F ( ( 2 2 ( (B* (

6( 2 F ( ( 2 (B* 2

( 2 2 ( (B* 2

$e cumple la condicin de parada+ 7alor ptimo% (+

Como no resulta valor ptimo 2) el problema original

no tiene solucin+


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Dualidad

.roblemas primal ; dual


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.roblemas primal ; dual

$ea un problema de programacin lineal) quellamaremosproblema primal%

El correspondienteproblema duales%

Htese que el dual del dual coincide con el primal

0,

:aSujeto

Maximizar

xbx

xc

A

T

0,

:aSujeto

Minimizar

ycy

yb

T

T

A

Resultados


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Resultados

Teorema d&bil de dualidad:El valor de la

"uncin objetivo del dual para cualquier solucin

"actible es siempre mayor o igual que el valor de

la "uncin objetivo del primal para cualquiersolucin "actible+

Teorema fuerte de dualidad:$i el primal tiene

una solucin ptima !P) entonces el dual

tambi!n tiene una solucin ptima ;P) tal quecT!P/bT;P+

Comentarios


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Comentarios

El teorema d!bil de dualidad implica que si el primaltiene solucin ilimitada) entonces el dual no tienesolucin+

Del mismo modo) si el dual tiene solucin ilimitada)

entonces el primal no tiene solucin+ Ho obstante) es posible que ni el primal ni el dual

tengan solucin+ Cada componente de !se corresponde con una

variable de e#ceso del dual+ Cada componente de ;se corresponde con una

variable de 8olgura del primal+

Complementariedad


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Complementariedad

Teorema de complementariedad:$ean !/ -#()

#*) +++) #n.) ;/ -y() y*) +++) ym. soluciones "actibles

del primal y el dual) respectivamente+ $ean -Q()

Q*) +++) Qm. las variables de 8olguracorrespondientes del primal) y sean -z() z*) +++)

zn. las variables de e#ceso correspondientes del

dual+ Entonces !e ;son ptimas para sus

respectivos problemas si y slo si #jzj/ 2) j /() *) + + + ) n) y adems Qiyi/ 2) i / () *) +++) m+

Complementariedad


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Complementariedad

El teorema de complementariedad nos permite

obtener rpidamente una solucin ptima del

problema dual si conocemos una solucin ptima

del problema primal+

6ara ello) si tenemos que en una solucin ptima

del primal #j2) entonces en el dual zj/2+ 5dems si

en la solucin ptima del primal Qi2) entonces en

el dual yi/2+ De esta manera slo quedarn por determinar los

valores ptimos de unas pocas variables del

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