UNION, INTERSECCIÓN Y DIFERENCIA DE CONJUNTOS

La unión de dos conjuntos A, B se denota A B  y contiene todos los elementos que pertenecen a A ó pertenecen a B ó a ambos. La intersección de A, B se denota A B  y contiene todos los elementos que pertenece a A y B al mismo tiempo. La diferencia de A menos B se denota A – B y contiene todos los elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B; en otras palabras, los que exclusivamente pertenecen a A.  Además, se dice que A y B son conjuntos disjuntos si A B ={  }= Ø.

EJEMPLO A: Sean los conjuntos A = {–3, –2, 0, 2, 4}, B = {–4, –2, 1, 3, 4}

Tendríamos: A B = {–4, –3, –2, 0, 1, 2, 3, 4}             A B = {–2, 4}         A – B = {–3, 0, 2}

EJEMPLO B: Sean los intervalos A= ]–3, 2]     y     B=[–1, 4[

Al graficar, tenemos:

Luego, podemos encontrar que: A B= ]–3, 4[         A B= [–1, 2]         A – B= ]–3, –1[

EJERCICIOS:

Encontrar a) AB    b) AB    c)A-B.

1) A = {–2, 0, 2, 3}         B = {-1, 1, 2, 4}

2) A = {–3, –1, 1, 2, 3}         B = {–3, 1, 2}

3) A= ]–4, 0[         B= [–2, 1[

4) A= [–2, 5]         B= [–1, 4]

ECUACIONES LINEALES

"Resolver una ecuación" significa encontrar su conjunto solución. Si clasificamos las ecuaciones de acuerdo a su conjunto solución, tenemos tres posibilidades:

1) Una ecuación identidad, cuyo conjunto solución es el conjunto de los números reales.

2) Una ecuación imposible, cuyo conjunto solución es el conjunto vacío.

3) Una ecuación condicional, cuyo conjunto solución es cualquier subconjunto no vacío de los números reales.

Para resolver ecuaciones lineales, trasladamos los términos variables a la izquierda y los términos constantes a la derecha.

Por lo tanto, el conjunto solución es {15/7}.

Por lo tanto, el conjunto solución es {7/20}.

Este resultado indica que cualquier valor de x hace verdadera la ecuación. Por lo tanto, esta es una ecuación identidad, cuyo conjunto solución lo escribimos así: ]– , + [.

EJERCICIOS: Resolver las siguientes ecuaciones.

1) 3x + 3(1 – x) = – 17

2) 4(x + 1) = 6 – 2(1 – 2x)

5) –[ x(x + 1) – 3(x – 2) – x ] = 5 + 3x – 6 – x2 – x

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Utilizaremos la descomposición en factores por ser un método común, pero cuando se dispone de una calculadora es preferible usar la Fórmula Cuadrática. En ambos casos es necesario tener la ecuación igualada a cero.

EJEMPLO A: Resolver x2 – 7x – 30 = 0

Solución: Al descomponer en factores resulta (x – 10)(x + 3) = 0.

Ahora bien, sabemos que si a . b = 0, entonces a = 0 ó b = 0.

Por lo tanto, x – 10 = 0 ó x + 3 = 0 x = 10, x = –3.

Luego, el conjunto solución es {–3, 10}.

Solución: Al multiplicar por el MCD (que es 6x) obtenemos: x2 – 3x = 18(x – 5).

Al igualar acero, obtenemos  x2 – 21x + 90 = 0.

Descomponemos en factores: (x – 15)(x – 6) = 0 x = 15, x = 6.

Luego, el conjunto solución es {6, 15}.

EJERCICIOS: Encontrar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

1) x2 = 5x

2) 5x2 – 7x = 90

3) (x + 2)(x – 6) + (x – 2)(x – 3) = 2(x – 3)(x – 6)

RESOLVIENDO DESIGUALDADES LINEALES

Las desigualdades lineales se resuelven exactamente como las igualdades, con una importante excepción: al multiplicar o dividir por una cantidad negativa, el signo de desigualdad se invierte.

El conjunto solución lo escribimos así: S = ]--13/7]

El conjunto solución lo escribimos así: S = ]-3/8[

El conjunto solución lo escribimos así: S = ]30/17, +[

EJERCICIOS:

Resolver las siguientes desigualdades:

1) 4 + 9x > –2 + 7x

2) 5 – 3x < 13 + 3x

RESOLVIENDO DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

Para resolver desigualdades de la forma ax2 + bx + c >< 0, encontramos primero las raíces del término cuadrático y luego generamos una tabla de signos.

EJEMPLO A: Resolver x2 + 5x + 6 > 0

Las raíces del término cuadrático son –2 y –3. Con éstas se construye una tabla de signos.

Para obtener el signo de cada intervalo, basta con sustituir cualquier número dentro del intervalo en el término cuadrático, y trasladar su signo a la tabla. Por ejemplo, para obtener el signo del intervalo]–3, –2[sustituimos cualquier número dentro de este intervalo, por ejemplo x = –2.5. Al

sustituir, obtenemos: (–2.5)2 + 5(–2.5) + 6 = –0.25. Como el signo del resultado es negativo, trasladamos un signo negativo a la tabla.

Con la tabla como base, notamos que la desigualdad original exige escoger todos aquéllos intervalos con resultados mayores o iguales a cero (porque x2 + 5x + 6 > 0; nótese que se pide mayor o igual a cero). Por lo tanto, el conjunto solución sería: ]– , –3] [–2, + [.

EJEMPLO B: Resolver –2x2 + 9x – 5 > 0

Las raíces del término cuadrático son 0.65 y 3.85. Con éstas se construye una tabla de signos.

Con la tabla como base, notamos que la desigualdad original exige escoger todos aquéllos intervalos con resultados mayores que cero (porque –2x2 + 9x – 5 > 0; nótese que se pide mayor que cero). Por lo tanto, el conjunto solución sería: ]0.65, 3.85[.

EJERCICIOS:

Encontrar el conjunto solución de las siguientes desigualdades:

1) –x2 + 6x + 40 > 0

2) 6x2 – 5x – 6 > 0

3) –10x2 – 11x – 3 < 0

4) –8x2 + 14x + 15 > 0

5) –3x2 + 11x + 5 < 0

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CON CONJUNTOS DISCRETOS

Sean los conjuntos discretos A y B. Una relación R de A en B es cualquier regla de correspondencia (x, y), en donde x A y y B. Una función f de A en B es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x del conjunto A exactamente un elemento y en el conjunto B. El conjunto A se denomina "conjunto de partida" y el conjunto B, "conjunto de llegada". De modo que hay dos condiciones para una función: 1) todo elemento del conjunto de partida debe utilizarse, y 2) ningún elemento del conjunto de partida puede repetirse.

EJEMPLO:

Sean los conjuntos A = {–2, 0, 1, 3} y B = {–1, 2, 4, 5, 9}.

Determinar si las siguientes relaciones son funciones de A en B.

R1: {(–2, 2), (0, 4), (3, 5)}.

Respuesta: No es función, puesto que no se ha utilizado x = 1 del conjunto A.

EJERCICIOS:Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.Determinar si las siguientes relaciones son funciones de A en B.1) R1: {(1, 0), (2, 4), (3, 0), (4, 5)}2) R2: {(2, 5), (3, 4), (4, 3)}3) R3: {(1, 0), (2, 1), (2, 3), (3, 4), (3, 5)}4) R4: {(1, 0), (2, 1), (3, 4), (4, 5)}

SUCESIONES ARITMETICAS

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales: {1, 2, 3, …}. Una sucesión aritmética es aquélla en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. La fórmula para el término general de una sucesión aritmética es an + b, en donde a y b son constantes, y n es el número del término deseado. Específicamente, la constante a es la diferencia entre un término y el anterior.

Si sumamos n términos de la sucesión con término general an + b obtendremos el valor:

EJEMPLO A:Notemos la sucesión: 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…

La diferencia entre cualquier término y el anterior es  3, de modo que el término general sería 3n + b.

Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1. De esta forma, 3(1) + b = 8, y por lo tanto b = 5.Por lo tanto, el término general de la sucesión es: 3n + 5.Si queremos encontrar el término 25 de la sucesión, sustituimos 25 en la anterior fórmula:3(25) + 5 = 80. De modo que el término 25 de la sucesión tiene el valor de 80.Si queremos encontrar la suma de los primeros 12 términos de esta sucesión, utilizamos la fórmula (1) arriba, con a = 3, b = 5 y n = 12:

EJEMPLO B:Notemos la sucesión: –13, –19, –25, –31, –43, –49, –55,…La diferencia entre cada término y el anterior es -6, de modo que el término general sería –6n + b.Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.De esta forma, –6(1) + b = –13, y por lo tanto b = –7.Por lo tanto, el término general de la sucesión es: –6n – 7.Si queremos encontrar el término 16 de la sucesión, sustituimos 16 en la anterior fórmula:–6(16) – 7 = –103. De modo que el término 16 de la sucesión tiene el valor de –103.Si queremos encontrar la suma de los primeros 30 términos de esta sucesión, utilizamos la fórmula (1) arriba, con a = –6, b = –7 y n = 30:

EJERCICIOS:

Sea la sucesión aritmética: –7, –1, 5, 11, 17, 23, 29, …1) Encontrar el término 24. 2) Encontrar la suma de los primeros 32 términos. Sea la sucesión aritmética: –3.5, –7.5, –11.5, –15.5, –19.5, –23.5, –27.5, …3) Encontrar el término 33.4) Encontrar la suma de los primeros 32 términos.

APLICACIONES DE SUCESIONES ARITMÉTICAS

Recordamos la fórmula para el término general de una sucesión aritmética: an + b, en donde a y b son constantes, y n es el número del término deseado. Específicamente, la constante a es la diferencia entre un término y el anterior.

Si sumamos n términos de la sucesión con término general an + b obtendremos el valor:

EJEMPLO:

Introducimos una clavo largo de acero en una tabla. Con el primer golpe, el clavo se introduce 20 mm; con el segundo, 18 mm. Si suponemos que el clavo se introduce en la tabla siguiendo una secuencia aritmética, calcular cuánto se ha introducido al final del noveno golpe.

Solución: Primero encontramos la diferencia entre términos sucesivos: 18 – 20 = –2 = a. Por tanto, el término general es –2n + b. Usamos el primer término con n = 1 para encontrar b: –2(1) + b = 20 b = 22. Luego, el término general es: –2n + 22.

Para encontrar la suma total penetrado por el clavo, sustituimos en la fórmula (1) con a = –2, b = 22 y n = 9: (–2/2)(9)(9 + 1) + (22)(9) = 108.

EJERCICIOS:

1) Al final de esta semana, ponemos $0.50 en una alcancía vacía. Una semana después ponemos $0.75; a la semana siguiente, $1.00 y así sucesivamente. ¿Cuánto dinero habrá en la alcancía al final de la semana 26?

 2) Al final de un minuto, un automóvil recorre 10 m; al final del segundo minuto, 13 m; del tercero, 16 m y así sucesivamente. ¿Cuánto habrá recorrido al final del minuto 33?

 3) Un almacén vende a $100 la primera docena de artículos; a $99.70 la segunda; a $99.40 la tercera y así sucesivamente. ¿Cuánto pagaríamos por 11 docenas de artículos?

 4) El último graderío de un gimnasio tiene capacidad para 1000 aficionados; el penúltimo, para 930; el antepenúltimo, para 860 y así sucesivamente. Si el estadio tiene 15 graderíos, ¿cuál es su capacidad total?

SUCESIONES GEOMETRICAS

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales: {1, 2, 3, …}. Una sucesión geométrica es aquélla en la cual el cociente entre dos términos consecutivos es una constante. La fórmula para el término general de una sucesión geométrica es a . rn–1, en donde a y r son constantes, y n es el número del término deseado. Específicamente, la constante r es el cociente entre un término y el anterior.Si sumamos n términos de la sucesión geométrica con término general a . rn–1 obtendremos el valor:

  EJEMPLO A:Notemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, … El cociente entre dos términos consecutivos es 2, de modo que el término general sería: a . 2n–1. Para encontrar el valor de a podemos utilizar el primer término, en donde n = 1. De esta forma, a . 20 = 3. Como 20 = 1, se deduce que a = 3.Por lo tanto, el término general de la sucesión es: 3 . 2n–1.Si queremos encontrar el término 13 de la sucesión, sustituimos 13 en la anterior fórmula:3 . 213–1 = 12288. De modo que el término 13 de la sucesión tiene el valor de 12288.Si queremos encontrar la suma de los primeros 9 términos de esta sucesión, utilizamos la fórmula número (1) arriba, con a = 3, r = 2 y n = 13, obtenemos 1533.

EJEMPLO B:Notemos la sucesión: 0.5, –1.5, 4.5, –13.5, 40.5, –121.5, 364.5,…El cociente entre dos términos consecutivos es -3, de modo que el término general sería: a . (–3)n–1. Para encontrar el valor de a podemos utilizar el primer término, en donde n = 1. De esta forma, a . (–3)0 = 0.5. Como (–3)0 = 0.5, se deduce que a = 0.5.Por lo tanto, el término general de la sucesión es: 0.5 . (–3)n–1.Si el valor de r es negativo, los términos alternan entre positivo, negativo, positivo, etc.Si queremos encontrar el término 9 de la sucesión, sustituimos 9 en la anterior fórmula:0.5 . (–3)9–1 = 3280.5. De modo que el término 9 de la sucesión tiene el valor de 3280.5.Si queremos encontrar la suma de los primeros 6 términos de esta sucesión, utilizamos la fórmula número (1) arriba, con a = 0.5, r = –3 y n = 6, obtenemos –91.

EJERCICIOS:Sea la sucesión geométrica: 0.4, 1.2,  3.6,  10.8,  32.4,  97.2,  291.6, …

1) Encontrar el término 11.    

2) Encontrar la suma de los primeros 8 términos.

Sea la sucesión geométrica: –0.6,  1.2,  –2.4,  4.8,  –9.6,  19.2,  –38.4, …

3) Encontrar el término 19. 

4) Encontrar la suma de los primeros 13 términos.

APLICACIONES DE SUCESIONES GEOMÉTRICAS

Recordamos que la fórmula para el término general de una sucesión geométrica es a . rn–1, en donde a y r son constantes, y n es el número del término deseado. Específicamente, la constante r es el cociente entre un término y el anterior.

Si sumamos n términos de la sucesión geométrica con término general a . rn–1 obtendremos el

valor:

EJEMPLO:

Al ejercitar un músculo, éste aumenta 3 milímetros el primer día. Además, el incremento de cada día es igual a 0.95 del incremento del día anterior. ¿Cuál será el incremento total al final del día 18?

Solución: Evidentemente, r = 0.95, de modo que el término general es: a . 0.95n–1. Para obtener a sustituimos n = 1 en el primer término: a . 0.951–1 = 3 a = 3. Por tanto, el término general es: 3 0.95n–1.

Para obtener el crecimiento total al final del día 18, sustituimos a = 3, r = 0.95 y n = 18 en la fórmula (1): 3(0.9518 – 1)/(0.95 – 1) = 36.17 cm.

EJERCICIOS:

1) En una cuenta de ahorros, depositamos $100 al final del primer año. El banco agrega 5% compuestos cada año. ¿Cuánto dinero habría al finalizar 13 años? (Nótese que en este problema no nos interesa la suma, sino únicamente el término 13.)

2) Un auto recorre 20 m en un minuto; 10 m al siguiente minuto; 5 m al siguiente y así sucesivamente. ¿Cuánta distancia habrá recorrido al finalizar 11 minutos?

3) Una persona tiene 2 padres (1a. generación atrás), 4 abuelos (2a. generación atrás), 8 bisabuelos y así sucesivamente. ¿Cuántos ancestros tendría 13 generaciones atrás?

4) Una bola se deja caer desde una altura de 18 m. El primer rebote alcanza una altura de 6 m; el segundo, 2 m y así sucesivamente. ¿Cuál es la distancia total que ha recorrido la bola al final del quinto rebote? (Importante: La caída inicial de la bola es especial porque la bola sólo baja, a diferencia de cada rebote en que sube y después baja.)

 

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

La siguiente tabla resume las propiedades de los números reales:

 Elemento identidad Suma: a + 0 = 0 + a = a Producto: a . 1 = 1 . a = a

Elemento inverso Suma: a + (–a) = –a + a = 0 Producto: a (1/a) = (1/a)a = 1, a0

Ley Asociativa Suma: a + (b + c) = (a + b) + c Producto: a . (b . c) = (a . b) . c

Ley Conmutativa Suma: a + b = b + a Producto: a . b = b . a

Ley Distributiva Producto sobre la suma: a (b + c) = (b + c) a = ab + ac

 EJEMPLOS:

Indique qué propiedad de los números reales se ilustra con cada ejemplo.

A) –3 + 3 = 0. Respuesta: elemento inverso para la suma.

B) (x + y) z = xz + yz.  Respuesta: ley distributiva.

C) (–3)(6) = (6)(–3). Respuesta: ley conmutativa para el producto.

 

EJERCICIOS: Indique qué propiedad de los números reales se ilustra con cada ejemplo.

1) 4 + 7 = 7 + 4

2) (8)(1) = 8

3) 5(7 + (-3)) = 5(7) + 5(–3)

4) (–9)(–1/9) = 1

5) –5 + 0 = –5

6) 3 (4x) = (3 4)x

UBICANDO PARES ORDENADOS SOBRE EL PLANO CARTESIANO

Sea el punto (x, y) sobre el plano cartesiano. La coordenada x se llama abscisa y representa la distancia horizontal dirigida desde el origen. La coordenada y se llama ordenada y representa la distancia vertical dirigida desde el origen.

EJEMPLO: 1) Ubicar los siguientes puntos sobre el plano cartesiano:puntos en el primer cuadrante: A(2, 4) B(3, 1) C(5, 3)puntos en el segundo cuadrante: D(–3, 2) E(–4, 3) F(–1, 5)puntos en el tercer cuadrante: G(–2, –4) H(–5, –5) I(–1, –2)puntos en el cuarto cuadrante: J(3, –4) K(2, –2) L(4, –4)

EJERCICIO:

1) Escribe las coordenadas de los puntos graficados en la siguiente figura:

PENDIENTE, PUNTO MEDIO Y  LONGITUD DE UN SEGMENTO

 

Para un segmento de recta cuyos extremos son los puntos (x1,y1) y (x2,y2), tenemos las siguientes fórmulas para la pendiente (m), la longitud (distancia, d) y el punto medio (PM):

 

EJEMPLO: 

Encontrar la pendiente, la longitud y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A=(–3, 4) y B=(–2, –3).

Solución:

 

EJERCICIOS: Encontrar la pendiente, la longitud y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos dados.

1) A=(–1, 5)   B=(2, –3)

2) E=(0, –1)   D=(–3, –1)

3) V=(–2, 1)   W=(–2, 0)

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Sean los conjuntos continuos A y B. Una relación R de A en B es cualquier conjunto de pares ordenados (x, y), en donde x A y y B. Una función f de A en B es una relación de A en B que asigna a cada elemento x del conjunto A exactamente un elemento y del conjunto B. A menos que se indique lo contrario, el conjunto A es el dominio implícito de la función f, y el conjunto B es el recorrido de f. La expresión función real de variable real aplica en el caso en que A y B son subconjuntos de los números reales. Por lo tanto, el requisito básico para que una relación entre conjuntos continuos sea función es que ningún valor de x se repita. Gráficamente, esto se puede verificar mediante el trazo de líneas verticales.

EJEMPLOS:

Determinar el dominio de las siguientes relaciones e indicar si son funciones o no.

Graficaremos ambas funciones y trazaremos líneas verticales para determinar si algún valor de x se repite.

 

EJERCICIOS: Determinar el dominio de las siguientes relaciones e indicar si son funciones o no.

FUNCIÓN CONSTANTE, LINEAL CUADRÁTICA, CÚBICA Y RAÍZ CUADRADA

Sean a,b,c,d números reales cualesquiera con a 0. Definimos:Función constante: f(x) = bFunción lineal: f(x) = ax + bFunción cuadrática: f(x) = ax2 + bx + cFunción cúbica: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

función raíz cuadrada: f(x) =

Las primeras cuatro funciones se determinan en base al término de mayor orden; la cuarta función se evidencia por el radical.

EJEMPLOS: Identificar cada una de las siguientes funciones.

1) f(x) = 3x2 – 3x   Es una función cuadrática

3) f(x) = –3   Es una función constante

4) f(x) = –5x3 + 7x – 2   Es una función cúbica

5) f(x) = –2x + 7   Es una función lineal

6) f(x) = 6 – x2   Es una función cuadrática

7) f(x) =    Es una función constante

EJERCICIOS:

Identificar cada una de las siguientes funciones.1) f(x) = 6x – 5x3 2) f(x) = 1

4) f(x) = –x5) f(x) = 3x2 + 8x – 1 6) f(x) = 7 + 2x3 – 8x2 7) f(x) = 0 8) f(x) = –x2 + 6x

10) f(x) = 2 – 5x

DOMINIO Y RECORRIDO DE FUNCIÓN CONSTANTE Y LINEAL

Estas tres funciones (constante: f(x) = c; lineal: f(x) = mx + b) tienen todas por dominio el conjunto de los reales. En base al gráfico se obtiene el recorrido (o sea el rango).

EJEMPLO: Grafique las siguientes funciones y obtenga su dominio y recorrido.1) f1(x) = 3             2) f2(x) = –4             3) f3(x) = 3x – 2             4) f4(x) = –2x + 1Solución: Sustituimos unos cuantos puntos arbitrarios para x, y obtenemos f(x). Luego se plotean y conectan estos puntos. Abajo está una tabla con valores arbitrarios para las cuatro funciones.

x f1(x) f2(x) f3(x) f4(x)

–3 3 –4 –11 7

–1 3 –4 –5 3

2 3 –4 4 –3

4 3 –4 10 –7

Con estos valores se elabora un gráfico para cada función. A la derecha están los dominios y recorridos de cada una de las funciones:

EJERCICIOS: Encuentre el dominio y el recorrido de las siguientes funciones.

1) f(x) = –2  2) f(x) = 5  3) f(x) = –3x – 5 4) f(x) = 4x 5) f(x) = 2x + 3 6) f(x) = –x

DOMINIO Y RECORRIDO DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

La función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c representa una parábola y tiene como dominio los reales. El punto máximo o mínimo de la parábola (o sea el vértice) tiene abcisa (coordenada horizontal) x = –b/2a. 

EJEMPLO :Graficar y obtener el dominio y recorrido de f(x) = 3x2 – 5x – 6.El vértice de la parábola se encuentra en x = –(–5)/(2 3) = 5/6.Generamos una tabla de valores alrededor de x = 5/6, graficamos y obtenemos el dominio y el recorrido.

x –1 0 5/6 1 2

f(x) 2 –6 –97/12 –8 –4

 

EJERCICIOS: Obtener el dominio y el recorrido de las siguientes funciones cuadráticas.1) f(x) = x2 – 5x – 3 2) f(x) = –2x2 + 4x – 1 3) f(x) = 3x2 – 4x 4) f(x) = –5x2 – x – 2

DOMINIO Y RECORRIDO DE FUNCIONES CÚBICAS

La función cúbica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tiene como dominio y como recorrido el conjunto de los números reales (. Para graficar estas funciones, hay que elaborar una tabla de valores.

EJEMPLO:

Grafique y obtenga el dominio y el recorrido de f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x.

Generamos una tabla de valores, graficamos y verificamos el dominio y el recorrido.

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

f(x) –32 9 20 13 0 –7 4 45

EJERCICIOS: Obtenga el dominio y el recorrido de las siguientes funciones cúbicas.

1) f(x) = x3 – 12x + 2

2) f(x) = –x3 + 3x2 + 9x

3) f(x) = 3x2 – x3 – 1

DOMINIO Y RECORRIDO DE LA FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

Primero encontramos el dominio de la función mediante la desigualdad a + bx > 0. Luego a partir del dominio elaboramos una tabla de valores, graficamos y obtenemos el recorrido.

El dominio se obtiene de la desigualdad 2x – 5 > 0 x > 2.5. A partir del dominio elaboramos una tabla de valores y graficamos.

x 2.5 3 4 5 6

f(x) 0 1 1.73 2.24 2.65

El dominio se obtiene de la desigualdad 2 – 6x > 0 x < 1/3.A partir del dominio elaboramos una tabla de valores y graficamos.

x 1/3 0 –1 –2 –3

f(x) –3 –1.59 –0.17 0.74 1.47

 

 EJERCICIOS:

Obtener el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:

FUNCIONES INYECTIVAS (UNO A UNO)

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten. Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

EJEMPLO A: Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: f(x) = x2 – 2 Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.

x –2 –1 0 1 2

f(x) 2 –1 –2 –1 2

EJEMPLO B: Determinar si la siguiente función es o no invectiva: g(x) = 1 – x3. Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.

x –2 –1 0 1 2

g(x) 9 2 1 0 –7

 

EJERCICIOS: Determinar si las siguientes funciones son o no inyectivas.

1) f(x) = 4x – 2

2) f(x) = x3 – x

3) f(x) = √x

4) f(x) = 2

5) f(x) = 1 – x2 – x

LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN

 Las funciones f(x) y g(x) son inversas si se cumple que

1) El dominio de f es el recorrido de g y viceversa,

2) f(x) es una función inyectiva, y

3) f(g(x)) = x.

El símbolo matemático para la inversa de f(x) es f–1(x).

 EJEMPLOS:

 Encontrar la inversa de las siguientes funciones.

1) f(x) = 2x + 3.Solución: La función f(x) es inyectiva. Además, si g(x) es la inversa de f(x), entonces f(g(x)) = x. 

Por lo tanto, 2g(x) + 3 = x. Al despejar, g(x) = (x – 3)/2. Se cumple que el dominio de f (los reales) es el recorrido de g (los reales) y viceversa Por lo tanto, f–1(x) = (x – 3)/2 es la inversa de f(x).

2) f(x) = x2.

Solución: La función f(x) no es inyectiva. Por lo tanto, no tiene inversa.

Al despejar, g(x) = x2 + 3.

Como el dominio de g debe ser igual al recorrido de f, el cual es [0, + [, restringiremos el dominio de g(x) a [0, + [. 

Por lo tanto, f -1(x) = x2 + 3, x [0, + [.

EJERCICIOS: Encontrar la inversa de las siguientes funciones.

DOMINIO Y RECORRIDO DE f(x) = bx

Sea f(x) = bx, en donde b es una constante mayor que cero y diferente de uno. El dominio de f(x) son todos los reales, y el recorrido son los reales positivos. Para graficar la función hay que elaborar una tabla de valores.

EJEMPLO: 

Graficar y encontrar el dominio y recorrido de f(x) = 2x.

Elaboramos una tabla de valores y graficamos. Luego verificamos el dominioy recorrido.

x –2 –1 0 1 2

f(x) 0.25 0.5 1 2 4

 

EJERCICIOS: Encontrar el dominio y recorrido de las siguientes funciones.

DOMINIO Y RECORRIDO DE f(x) = logb x

Sea f(x) = logb x, en donde b es una constante mayor que cero y diferente de uno. El dominio de f(x) son todos los reales positivos, y el recorrido son los reales. 

Ejemplo:

Graficar y encontrar el dominio y recorrido de f(x) =  log3 x.

Elaboramos una tabla de valores y graficamos. Luego verificamos el dominioy recorrido.

 

x 0.250.5 1 2 3

f(x) –1.26 –0.63 0 0.63 1

 

 EJERCICIOS: Encontrar el dominio y recorrido de las siguientes funciones.

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

Abajo se clasifican los triángulos según sus lados y sus ángulos.

Según sus lados 

Según sus ángulos

equilátero tres lados iguales acutángulo tres ángulos agudos

isósceles dos lados iguales rectángulo un ángulo recto

escaleno tres lados desiguales obtusángulo un ángulo obtuso

Además, a los triángulos que no son rectángulos se les llama oblicuángulos.

EJERCICIOS: Clasificar los siguientes triángulos según sus lados y sus ángulos.

 

SEMEJANZA DE TRIANGULOS RECTANGULOS

Dos triángulos rectángulos son semejantes comparando dos de sus partes diferentes del ángulo recto.Las razones se abrevian así:

HA (hipotenusa proporcional y un ángulo agudo congruente)

CA (cateto proporcional y un ángulo agudo congruente)

CC (catetos proporcionales)

HC (hipotenusa proporcional y un cateto proporcional)

EJERCICIOS: Aparear cada triángulo rectángulo del grupo de la izquierda con su semejante en el grupo de la derecha  y justificar la razón (las figuras no están a escala).

 

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Dos triángulos cualesquiera son semejantes al comparar sus partes correspondientes.Las razones se abrevian así:

AA (Dos ángulos congruentes)

LAL (Dos lados proporcionales y el ángulo incluido congruente)

LLL (Tres lados proporcionales)

EJERCICIOS: Aparear cada triángulo del grupo de la izquierda con su semejante en el grupo de la derecha y justificar la razón (las figuras no están a escala).

 

CÁLCULOS CON TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Partimos del siguiente teorema: Si dos triángulos son semejantes, entonces sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales.

 EJEMPLO:

Solución: Notamos que ADF ~ ABC porque tienen dos ángulos iguales: A por ser común a ambos triángulos, y ADF = ABC por ser ángulos correspondientes en rectas paralelas. Por lo tanto, las partes correspondientes de ambos triángulos son proporcionales:

EJERCICIOS: Encontrar el valor de x y y. Las figuras no están a escala, pero si dos segmentos aparentan ser paralelos, tomarlos como paralelos.

ÁREA Y PERÍMETRO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS BÁSICAS

La siguiente tabla resume los perímetros y las áreas de cuatro figuras geométricas básicas:

FIGURA PERÍMETRO ÁREA

cuadrado de lado x 4x x2

rectángulo conbase b y altura h

2b + 2h bh

triángulo con base b y altura h

sumar las longitudes de los tres lados (1/2)bh

círculo de radio r 2 r (el perímetro de un círculo se llama circunferencia) r2

EJEMPLO Encontrar el área total (unidades cuadradas) y el perímetro exterior (unidades lineales) de la siguiente figura. La parte superior es un semicírculo.

 EJERCICIO: Encontrar el área y el perímetro exterior de las siguientes figuras. 

MEDIA Y MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la media aritmética, sumamos todos los datos y dividimos entre el número de datos.

Para calculara la mediana, se ordenan los datos y se encuentra el punto medio de éstos (la posición (n+1)/2). Si la media y la mediana coinciden, la distribución es simétrica. Si la media es mayor que la mediana, la distribución es asimétrica positiva; si la mediana es mayor, la distribución es asimétrica negativa.

EJEMPLO A:  Calcular la media y la mediana de los siguientes datos: 8, 11, 13, 9, 14, 15, 7.

Solución: La media = (8+11+13+9+14+15+7)/7 = 11.

Para calcular la mediana, se ordenan los datos primero: 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15. El punto medio se encuentra en la posición (7+1)/2 = 4; es decir, la cuarta posición. Por lo tanto, la mediana = 11.

Como la media = la mediana, esta distribución es simétrica.

EJEMPLO B:  Calcular la media y la mediana de los siguientes datos: 8, 5, 4, 5, 9, 3, 11, 6.

Solución: la media = (8+5+4+5+9+3+11+6)/8 = 6.375.

Para calcular la mediana, ordenamos primero: 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 11. El punto medio se encuentra en la posición (8+1)/2 = 4.5; es decir, es el promedio de las posiciones #4 y #5, o sea el promedio de 5 y 6. Por lo tanto, la mediana = 5.5.

Como la media > mediana, la distribución es asimétrica positiva.

EJERCICIOS: Calcular la media, la mediana y comentar la simetría para los siguientes grupos de datos.

1) 9, 1, 18, 6, 14, 2, 4

2) 12, 14, 17, 13, 15, 8, 1, 14

3) 0, 5, 16, 14, 11, 19, 17, 17, 15

4) 12, 18, 1, 0, 1, 6, 15, 6, 13, 17

PERCENTILES

Los percentiles son los valores que dividen un conjunto ordenado de datos en cien partes iguales. Utilizamos la fórmula para el percentil k: Pk = k(n+1)/100.

EJEMPLO:

 Obtener los percentiles 23 y 71 del siguiente conjunto de datos:

43 47 10 14 5 34 11 11 5 37 41 11 24 9 10 12 25 31 3 34 16 1 7 20 38 32 12 48

Solución: Primero, ordenamos los 28 datos (nótese entonces que n = 28).

1 3 5 5 7 9 10 10 11 11 11 12 12 14 16 20 24 25 31 32 34 34 37 38 41 43 47 48

El percentil 23 estaría en la posición: 23(28+1)/100 = 6.67. Ésta sería la posición #6 + 0.67 la diferencia entre la posición #7 y la #6. La posición #6 tiene valor de 9, y la #7 el valor de 10. Por esto, P23 = 9 + 0.67(10 – 9) = 9.67.

El percentil 71 estaría en la posición: 71(28+1)/100 = 20.59. Ésta sería la posición #20 + 0.59 la diferencia entre la posición #21 y la #20. La posición #20 tiene valor de 32, y la #21 el valor de 34. Por esto, P71 = 32 + 0.59(34 –32) = 33.18.

EJERCICIOS: Encontrar los percentiles indicados para cada conjunto de datos:

1)   a) P32        y       b) P85 :

12 20 17 34 4 17 27 1 14 30 23 1 6 36 20 18 27 18 16 13 24 34 33 34

 

2)          a) P17       y        b) P66  para los siguientes datos:

4 51 53 29 6 4 36 21 16 31 47 53 54 48 43 46 50 16

 

INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS

EJEMPLO: En cierto programa de TV se presentó la siguiente gráfica. Tres comentaristas (A, B y C) afirmaron lo siguiente:A. En esta región, 30% de los residentes viven en granjas agrícolas. B. La agricultura es la mayor fuente de ingresos en esta región. C. Si el 10% del área no desarrollada se reclasifica como área comercial, habrá tanta área comercial como área agrícola. ¿Cuál de los comentaristas tiene razón y por qué? Respuesta: Ninguno. El comentarista I se equivoca porque la gráfica no tiene nada que ver con la residencia de los habitantes; es una gráfica de clasificación de tierras. El comentarista II habla de ingresos, y de nuevo la gráfica tiene que ver con clasificación de tierras, no con ingresos. Por último, el 10% del área no desarrollada = 10% 25% = 2.5%. Si le sumamos 2.5% al área comercial obtenemos 22.5%, lo cual no es igual al 30% clasificado como agrícola.

EJERCICIOS:

1) De acuerdo a la gráfica, la Compañía X muestra sus ingresos netos.  ¿entre cuáles dos años consecutivos se dá el mayor cambio en ingresos netos?

2) De acuerdo a la gráfica, ¿cuál es la aproximación más cercana para el porcentaje de empleados de la Compañía X que viajan por lo menos 16 kilómetros para trabajar?

 3) Para el departamento cuya clasificación de tierras se muestra en la gráfica, por cada 1000 hectáreas clasificadas como comerciales, ¿cuántas hectáreas se clasifican como residenciales?

PRINCIPIOS DE LA MULTIPLICACIÓN Y DE LA SUMA

 Principio de la multiplicación: Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación puede realizarse de n maneras, entonces ambas operaciones pueden efectuarse juntas de mn maneras.

Principio de la suma: Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación puede realizarse de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de m + n maneras.

 EJEMPLOS:

a) Una mujer tiene tres sombreros y cuatro brazaletes. Si piensa usar sombrero y brazalete para una fiesta, ¿cuántas diferentes combinaciones puede llevar? Solución: 3 4 = 12 diferentes combinaciones sombrero-brazalete.

b) Tenemos tres diferentes lugares para comer pizza; dos para hamburguesa y cuatro para pollo. ¿A cuántos diferentes lugares podemos ir a almorzar? Solución: 3 + 2 + 4 = 9 diferentes lugares.

 EJERCICIOS:

Un vendedor tiene 7 clientes en Honduras y 13 clientes en Guatemala. ¿De cuántas formas puede él telefonear…

1) a un cliente en Honduras y luego a uno en Guatemala?

2) a un cliente en Honduras o a uno en Guatemala?

Claudia visita una tienda de animales. Hay 37 perros y 15 gatos. ¿De cuántas formas puede

comprar…

3) un perro o un gato?

4) un perro y un gato?

En una librería hay 11 libros de terror y 5 de misterio. ¿De cuántas formas podemos seleccionar…

5) terror o misterio?

6) terror y misterio?

7) misterio y otro misterio?

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

Una permutación de objetos es un arreglo de éstos en el que orden sí importa.  Para encontrar el número de permutaciones de n objetos diferentes en grupos de r, se usan las siguientes fórmulas:

Cuando no se permite repetición

Cuando se permita repetición

Una combinación de objetos es un arreglo de éstos en el que el orden no importa. Para encontrar el número de combinaciones de n objetos en grupos de r, se usa la siguiente fórmula:

EJEMPLOS:A) ¿Cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si no se permite la repetición? Solución:

.B) ¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si se permite la repetición? Solución:

.C) De entre 8 personas debemos formar un comité de cinco miembros. ¿Cuántas diferentes posibilidades existen para formar el comité? Solución: Esta es una combinación porque el orden no importa.

EJERCICIOS:

1) ¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si no se permite la repetición?

2) ¿Cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 3, 4, 5 y 6 si se permite la repetición?

3) Un entrenador de baloncesto dispone de 12 jugadores. ¿Cuántos diferentes equipos de cinco jugadores se pueden formar?

4) De una clase de 20 niñas se escogerán 6 para ir a un paseo. ¿Cuántos posibles grupos de 6 se pueden formar?

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD

Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorioPunto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestralSuceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestralesSucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultaneamente .Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestralSucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otroSucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.

EJEMPLO: Se lanza un dado.a) Encontrar el espacio muestral. Solución: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}b) Enumerar los puntos muestrales. Solución: Hay seis puntos muestrales: {1},{2},{3},{4},{5} y {6}.c) Poner dos ejemplos de eventos. Solución: evento A = {resultado es impar} = {1, 3, 5}; evento B = {resultado es mayor que 2} = {3, 4, 5, 6}d) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A = {resultado menor o igual a 4}, B = {resultado es primo}. Solución: A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 5} sí tienen dos puntos en común, 2 y 3. Por lo tanto, no son mutuamente excluyentes.e) ¿Cuál suceso es complementario a M = {2, 6}? Solución: {1, 3, 4, 5}.f) ¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos? A = {obtener un 2 un el primer lanzamiento}, B = {obtener un 4 en el segundo lanzamiento}. Solución: Son independientes, porque obtener o no un 2 en el primer lanzamiento no afecta el resultado del segundo lanzamiento.

EJERCICIOS:Se lanzan tres monedas y se anota el número de caras.1) Encontrar el espacio muestral2) Ejemplificar dos puntos muestrales3) Ejemplificar un evento con tres puntos muestrales4) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A = {1, 2}, B = {0}5) ¿Cuál suceso es complementario a P = {3}?6) ¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos?    A = obtener un 1 en un lanzamiento, B = obtener un 3 en el siguiente lanzamiento.Una bolsa opaca tiene tres bolas rojas y dos bolas amarillas, todas idénticas a excepción del color. Se saca una bola al azar y luego otra bola al azar, anotando el color de cada bola. 7) Encontrar el espacio muestral8) Ejemplificar dos puntos muestrales9) Ejemplificar un evento con dos puntos muestrales10) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A = {RA, AA}, B = {RR, RA}11) ¿Cuál suceso es complementario a P = {RR}?12) ¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos?:      A = {obtener una bola roja en primer lugar}, B = {obtener una bola amarilla en segundo lugar}.

CALCULANDO LA PROBABILIDAD DE SUCESOS

 Para obtener la probabilidad de que ocurra un evento (o suceso) E, utilizamos la fórmula:

Para determinar el número total de casos en un experimento, podemos usar (1) un diagrama de árbol, (2) una tabla, o 3) un procedimiento combinatorio.EJEMPLO A: Lanzamos una moneda tres veces. Encontrar las siguientes probabilidades:a) P(dos caras) b) P(tres caras)Solución: Utilizamos un diagrama de árbol para obtener todos los casos posibles:Ahora nos auxiliamos de la última columna para obtener las probabilidades deseadas. a) P (dos caras) = 3/8 b) P (tres caras) = 1/8EJEMPLO B: Una bolsa cerrada y opaca contiene tres bolas rojas y dos amarillas, todas idénticas a excepción del color. Obtenemos dos bolas al azar de una sola vez. Encontrar: a) P(roja y roja) b) P(roja y amarilla) Solución: Elaboramos un procedimiento combinatorio para obtener todos los casos posibles. Ahora nos auxiliamos de la última columna para obtener las probabilidades deseadas. c) P (roja y roja) = 3/10 d) P(roja y amarilla) = 6/10 = 3/5

R R R A A resultado

R R       RR

R   R     RR

R     A   RA

R       A RA

  R R     RR

  R   A   RA

  R     A RA

    R A   RA

    R   A RA

      A A AA

EJERCICIOS: Se lanzan dos dados y se anota el menor valor (si ambos son iguales, se anota cualquiera de los dos). Encontrar la probabilidad de obtener…1) {dos}2) {número par}Se lanzan cinco monedas. Encontrar la probabilidad de obtener…3) {todas caras o todas sello} 4) {por lo menos dos caras}Hay seis bolas en una bolsa: cuatro rojas y dos verdes. Escogemos dos bolas simultáneamente, al azar. Encontrar la probabilidad de obtener…5) {al menos una verde}6) {todas del mismo color}

CURVA NORMAL ESTANDAR

Matemáticamente hablando, la distribución normal estándar es la función de densidad,

 cuya gráfica es la curva en forma de campana que se bosqueja a continuación.

El área sombreada nos recuerda que P(Z>z)=Algunos valores específicos de esta relación se dan en la siguiente tabla en la que es el área a la derecha de z  ó a la izquierda de -z.

0.1 0.05 0.01 0.005

z 1.28 1.645 2.33 2.575

Debido a la simetría,  el área bajo cada mitad de la curva es 0.5. Además, si X es una variable aleatoria distribuida normalmente con media y desviación estándar , entonces P(a<X<b) = P((a-bEJEMPLO A: Calcular P( –1.645 < Z < 1.645). Solución: Recordemos que la probabilidad es el área bajo la curva desde -1.645 hasta 1.645. De acuerdo con la tabla  el área a la izquierda de -1.645 es la misma que a la derecha de 1.645 o sea es = 0.05. Por lo tanto, la probabilidad pedida sería el área total menos ambos extremos, es decir 1 – 0.05 -0.05= 0.90.EJEMPLO B: La longitud L del largo del brazo derecho de un Tutsi tiene una distribución normal con = 60 cms. y = 5 cms. Encontrar el porcentaje de la población que tiene un brazo derecho más largo de  71.65 cms. Solución: Se nos pide P(L> 71.65). Estandarizando tendríamos  P(L> 71.65)= P(Z> (71.65-60)/5)=P(Z> 2.33)=0.01. Por lo tanto, solo el 1% de los Tutsis tiene el brazo derecho más largo de  71.65 cms.

 EJERCICIOS: Calcular las siguientes probabilidades: 1) P(Z > –2.575); 2) P(Z < –1.28); 3) P(Z > 2.575); 4) P(Z < 1.28)5) Si X tiene una distribución normal con = 110 y = 4, calcular P(X < 116.58) y P(X > 116.58)6) Si X tiene una distribución normal con = 30 y = 2, calcular P(X < 32.56) y P(X > 34.66)

CONVERSIONES ENTRE GRADOS Y RADIANES

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180o equivale a π radianes (recordemos que el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales ángulos se muestran en las siguientes tres figuras:

Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180o equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.

EJEMPLO A: Convertir 38o a radianes.EJEMPLO B: Convertir 2.4 radianes a grados.Primero planteamos la regla de tres. Nótese que

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.

Despejamos x, también simplificamos.

Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:

x = 0.6632 radianes

la x va abajo, en la posición de los grados.

Despejamos x.

Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:

x = 137.5099o

 EJERCICIOS:

1) Convertir 82o a radianes.

2) Convertir 1.84 radianes a grados.

3) Convertir 247o a radianes.

4) Convertir 4.06 radianes a grados.

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

 Las seis razones trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

 

EJEMPLO: Para el triángulo de la figura, encuentre las seis razones trigonométricas de .

Solución: Lo primero es encontrar la hipotenusa, mediante la regla de Pitágoras. De modo que H2

= 42 + 32. Al resolver, encontramos que H = 5. Por lo tanto, sen = 4/5, cos = 3/5, tan = 4/3, cot = 3/4, sec = 5/3 y csc = 5/4.

 EJERCICIOS: Encontrar:   a) sen b) cos c) tan d) cot e) sec     f) csc para cada uno de los triángulos (use cuatro decimales).

 

                       

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30o, 45o y 60o

Partimos de los dos triángulos especiales (no a escala) y de las definiciones de las seis razones trigonométricas:

EJEMPLOS:

A) Calcular sen 60o. Solución: sen 60 o = O/H = (1/2)/1 = 1/2 = 0.5

B) Calcular tan 45 o. Solución: tan 45 o = O/A = (√2/2)/(√2/2) = 1

C) Calcular cot 30 o. Solución: cot 30 o = A/O = (√3/2)/(1/2) = √3 = 1.7321

EJERCICIOS: calcular el valor que se le pide con cuatro cifras decimales.

1) sen 45 o

2) cos 60 o

3) tan 30 o

4) cot 60 o

5) sec 45 o

6) csc 30

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES

Partimos de las definiciones de las funciones trigonométricas en el círculo unitario, y de las coordenadas de los ángulos cuadrantales sobre este círculo.

 

EJEMPLOS:

 Calcular las siguientes razones trigonométricas (no usar calculadora):

A) sen 90o. Solución: Como sen = y, sen 90o = 1 (la coordenada en y).

B) cot 180o. Solución: Como cot = x/y, cot 180o = –1/0 = indefinida

C) sec 360o. Solución: Como sec = 1/x, sec 360o = 1/1 = 1

EJERCICIOS: Calcular las siguientes razones trigonométricas (no usar calculadora):

1) sen 180 o

2) cos 0 o

3) tan 270 o

4) cot 90 o

5) sec 180 o

6) csc 270

GRÁFICO DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

Partimos de las definiciones de las funciones trigonométricas en el círculo unitario, y de las coordenadas de los ángulos cuadrantales sobre este círculo.

 

EJEMPLO: Construir la gráfica de y = sen x.Solución: Primero elaboramos una tabla con los cinco valores cuadrantales del seno. Recordemos que el valor del seno es la coordenada en y de cada ángulo.

x 0 /2 1.57 3.14 3 /2 4.71 2 6.28

y = sen x 0 1 0 –1 0

Luego se puede hacer un bosquejo de la función.

EJERCICIO: Completar la siguiente tabla para graficar la función y = cos x.

x 0 /2 1.57 3.14 3 /2 4.71 2 6.28

y = cos x

GRAFICAS DE LA TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE

 A continuación se muestran las gráficas de estas cuatro funciones, sobre el intervalo [0, 2 ].

   EJEMPLO: 

Construir la gráfica de y = tan x sobre el intervalo [– , 0].

Solución: Primero elaboramos una tabla de valores con calculadora en radianes, teniendo en cuenta que parax  = – /2 la tangente está indefinida:

x – –3 –2.5 –2 – /2 –1.5 –1 –0.5 0

y = tanx 0 0.14 0.75 2.19 indefinida –14.1 –1.56 –0.55 0

Luego ubicamos los puntos y graficamos:

 

EJERCICIOS: Completar cada tabla de valores para construir la gráfica de cada función en los intervalos indicados. Usar radianes.

1) y = cotx, x [–2 , – ]

x –2 –6 –5.5 –5 –4.5 –4 –3.5 –

y = cotx indefinida 1.00 0.30 –0.86 –2.67

2) y = secx, x [– , 0]

x – –3 –2.5 –2 – /2 –1.5 –1 –0.5 0

y = secx –1.01

–1.25

indefinida 14.14 1.14 1

3) y = cscx, x [–2 , – ]

x –2 –6 –5.5 –5 –4.5 –4 –3.5 –

y = cscx 1.42 1.04 1.02 1.32 in

APLICACIONES DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

En el primer triángulo, es un "ángulo de elevación" y en el segundo es un"ángulo de depresión":

También es importante recordar las siguientes fórmulas:H2 = O2 + A2; sen = O/H; cos = A/H; tan = O/A.EJEMPLO: Un observador tiene un nivel visual de 1.70 m de altura, y se encuentra a 30 m de una antena. Al ver la punta de la antena, su vista forma un ángulo de elevación de 33o. ¿Cuál es la altura de la antena? Solución: Utilizamos la siguiente figura, en la cual calcularemos h primero.

Por lo tanto, la altura de la antena = h + el nivel visual del observador. De modo que la altura de la antena es: 19.48 + 1.70 = 21.18 m.

EJERCICIOS:

1) Un observador tiene un nivel visual de 1.40 m de altura, y se encuentra a 65 m de un árbol. Al ver la punta del árbol, su vista forma un ángulo de elevación de 24o. ¿Cuál es la altura del árbol?

2) Un observador sobre un edificio tiene un nivel visual de 1.50 m de altura. Al ver un automóvil estacionado, el ángulo de depresión de su vista es de 52o. Si la base del edificio se encuentra a 70 m del automóvil, ¿cuál es la altura del edificio?

3) Un observador tiene un nivel visual de 1.80 m de altura. Al ver la punta de un árbol de 15 m de altura, su vista forma un ángulo visual de elevación de 41o. ¿A qué distancia horizontal se encuentra el observador de la base del árbol?

4) Un observador sobre un muelle tiene un nivel visual de 1.30 m. El muelle sobresale 2.45 m por encima del agua. Al mirar una roca, el ángulo de depresión de su vista es de 17o. ¿Cuál es la distancia mínima (diagonal) entre los ojos del observador y la roca?

APLICACIONES DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Para la resolución de un triángulo oblicuángulo con ángulos X, Y  y Z y lados opuestos de longitudes x, y, z respectivamente, utilizaremos las siguientes fórmulas:

EJEMPLO: Encontrar el área del siguiente triángulo.

Solución: Puesto que la suma de los ángulos internos es 180o, tenemos que C = 180°-35°-21°=124°.Luego encontramos el lado AC por la ley de los senos: 

Por lo tanto, el triángulo quedaría así:

Ahora calculamos la altura del triángulo: sen 21° = h/4.84 h = 4.84 sen 21° h = 1.73.Por lo tanto, el área del triángulo es: A = (1/2)(7)(1.73) = 6.06 m2.

 EJERCICIOS:

1) Un topógrafo mide los tres lados de un campo triangular y obtiene 114, 165 y 257 metros. ¿Cuánto mide el mayor ángulo del triángulo?2) Encontrar en el campo en forma de cuadrilátero que se muestra en la figura de abajo: a) la longitud del cuarto lado  b) las medidas de los dos ángulos restantes.

3) Un barco navega 40 km hacia el norte y luego 70 km formando un ángulo de 37° hacia el norte del este. ¿A qué distancia se encuentra del punto de partida?