Guia Nº3
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Profesor: Matas Saavedra A. Ayudante: Andrs Romn E.
GUA N3 GEODESIA I
1) De la figura deduzca analticamente el efecto de curvatura y refraccin en la observacin de un ngulo de elevacin.
B
A aR aR N.m.m g
2) Demuestre que ( )
+
D
+
+-=D 2
21
12 121
211
21
aaa RS
Rh
Rh
ZZtgSh
Si:
( )( )
( )
( )12
12
3
1
21
21
21
32
22
ZZtg
ZZtghR
h--
-
++
=Dq
qqa
; Si:a
qRS
=22
3) Demuestre analticamente la reduccin de una distancia inclinada a una geodsica
4) Calcular la distancia geodsica entre las estaciones A y B. Elipsoide de referencia: Elipsoide internacional 1924 a = 6378388; f = 1/297; e = 0.006722670022 Lnea A-B Estacin A Estacin B
mH A 19,4686= mH B 83,4230= mhi A 40,1= mhi B 45,1=
Distancia inclinada: Di = 21916,98m Azimut de lnea: ABa = 325 37 43 ; latitud media mj = -31 40 20
-
Profesor: Matas Saavedra A. Ayudante: Andrs Romn E.
1) Solucin:
EFECTO DE CURVATURA
B
'a
'b
A g /2 s E H Lnea tangente Al geoide aR aR N.m.m g De la figura se obtiene lo siguiente:
( ) ( )( )( )'cos'
'90' /'90'18090''
agbagbagbagb
+=+-=+-==+++
sen
sensensen
Adems obtenemos que:'
2';
2'' b
ga
gab sen
senSH
sen
Hsen
S
+=
+=
( )ga
ga
b
ga
gab +
+=
+=
+=
'cos
2'
'
2'
2''
senSH
sen
senSH
sen
Hsen
S
( )gagaagga
sensen
sensenSH
+
+=
'cos'cos
'cos22cos' ; Si consideramos que es un ngulo muy
pequeo entonces: 1cos;0 == ggsen ; tras lo cual obtendremos lo siguiente:
'cos
'cos22cos'
a
agga
+=
sensenSH
Como 2g es un ngulo muy pequeo 12cosy 22 \
gggsen
+=
+=
2'
'cos'cos2
'cos' ga
aa
g
aa
tgSHsen
SH
-
Profesor: Matas Saavedra A. Ayudante: Andrs Romn E.
S
De esta figura se tiene: ga = RS
a
ga
gRS
RS
==
222: /
aR aR g
por lo tanto a
aa
aR
StgSH
RS
tgSH
+=
+=
2'
2'
2
EFECTO COMBINADO DE CURVATURA Y REFRACCIN
B
d /2 B a
'a 'b
A g /2 s E H Lnea tangente Al geoide aR aR N.m.m
g R
ag
agdaa
RS
RS
==-=
22 2: / ;
2'
K = Refraccin de la lnea AB; por lo tanto R=K
Ra
add
RKS
RS
=
=
22'22
+
-=
+
-=
+=
212
222't
22
da
da
ada
aa
tgtg
tgtgS
RS
tgSHR
SgSH
El producto de 2da tgtg ; tiende a cero debido al ngulo muy pequeo
2d
-
Profesor: Matas Saavedra A. Ayudante: Andrs Romn E.
Por lo tanto se tiene que:22dada tgtgtg -=
-
2cos2
2tang
d
dd sen= ; al ser muy pequeo 2d
, 22
seny 12
cosddd en radianes
( )a
da
dadadaRKS
RS
tgSHtgtg=
+-=-=-
22 si ;
22S
22
2
aaa
RS
RK
tgSH
+-=
22S 22
; pero K corresponde a la refraccin que afecta en su conjunto
a la lnea, por lo que se puede decir que K = m2 , quedando finalmente:
aaa
RS
RmS
tgSH
+-=2
22
; por lo tanto ( )mR
tgSH -+= 5,0S2
a
2) Solucin:
( )( )
( )
( )12
12
3
1
21
21
21
32
22
ZZtg
ZZtghR
h--
-
++
=Dq
qqa
; Si a
qRS
=22
Reemplazando 2q
en hD se tiene:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )12
123
3
1
12
12
3
1
21
21
21
2422
21
21
21
32
22
ZZtgRS
ZZtgR
SRS
hR
ZZtgRS
ZZtgRS
RS
hR
h
-
-
-
+
+=
-
-
-
+
+
=D
a
aaa
a
aa
a
( ) ( )
( )12
122
2
1
21
21
21
21212
ZZtgRS
ZZtgRS
RS
hR
h-
-
-
++=D
a
aaa
-
Profesor: Matas Saavedra A. Ayudante: Andrs Romn E.
Considerando que el producto ( )1221
2ZZtg
RS -
a, es muy pequeo, consideraremos
que:
( )( )12
1221
21
21
21
1ZZtg
RS
ZZtgRS
-
+@-
- a
a
( ) ( )
( )12
122
2
1
21
21
21
121
ZZtgRS
ZZtgRS
RS
hR
h-
-
-
++=D
a
aaa
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
-+-
++=D
-
+-
++=D
aaaa
aaaa
RS
ZZtgZZtgR
SRS
hRh
ZZtgRS
ZZtgRS
RS
hRh
221
121
121
21
21
21
121
12122
2
1
12122
2
1
( ) ( )
( ) ( )
-+
+
+-=D
-+-
+
+=D
aaa
aaa
RS
ZZtgR
SRh
ZZtgSh
RS
ZZtgZZtgR
SRh
Sh
221
112
1121
221
121
1211
122
21
12
12122
21
( )1221
' Pero ZZtgSh -=D
Quedando finalmente:
( )
D
+
+
+-=D
aaa Rh
RS
Rh
ZZtgSh2
'1
1211
21
2
21
12
3) Solucin: Reduccin al horizonte B A N.m.m aR aR
AH S
h
dh
Di
BH
-
Profesor: Matas Saavedra A. Ayudante: Andrs Romn E.
aarra
22 cos+=Nsen
NR
Dela figura se tiene que:
( )2
1
2
22
12222 1
D-=D+=D+=Dih
DidhhDidhhDidh
Desarrollando por medio de la serie ( ) ........361
41
21
41
21
21
11 2221
xxxx +-+=+
21
2
2
1
D-+=Di
hDidh ; Si
D--
D-+= .....
41
21
21
1 ;02
2
2
2
2
Dih
Dih
Didhx
......81
2.....
81
21
14
4
2
2
4
4
2
2
Dih
Dih
DidhDi
hDih
DidhD+
D-=
D+D-=
Por lo tanto la correccin al horizonte es:2
2
2Dih
ChD-=
Reduccin al nivel del mar dh
aR N.m.m aR aR
2BA HHhm
+=
( ) ( )
DnmmdhRhm
Dnmm
Rhm
R
RdhDnmm
hmRRdh
RDnmm
Rhmdh
=
+
=
+
=+=
+
-1
1
1
a
aa
aa
aaa
hm
-
Profesor: Matas Saavedra A. Ayudante: Andrs Romn E.
Desarrollando por medio de la serie ( ) ........11 4321 xxxxx +-+-=+ -
2
2
3
3
2
2
........1aaaaa Rhmdh
Rhmdh
dhDnmmRhm
Rhm
Rhm
dhDnmm
+
-=
-+-=
aRhmdh
dhDnmm-=
Por lo tanto la correccin al nivel del mar es: aRhmdh
Cnmm-=
Paso de la cuerda al arco:
Dnmm A1 B1
aR q N.m.m
2q
DnmmsenRDnmm
senRR
DnmmsenRBarcoA ====
22
222
2 ; 11qaqa
aqqa
Desarrollando por medio de la serie ........!7!5!3
753 xxxxsenx -+-=
( ) ( )....
123452
1232
22
53
+
-=
qqqqsen
4822
3qqq -= sen
DnmmRDnmmRsenR =
-=
-=
244822
22
33 qqaqqaqa
pero DnmmR
SSDnmm
RS
RS
RRS
=
-=
-= 23
3
3
2424 aaaa
aq
DnmmR
SS +
=
2
3
24 a
Por lo tanto la correccin del paso de la cuerda al arco es: 2
3
24 aRS
Cc
=
En resumen 232
242 aa RDnmm
Rhmh
Dih
DiS
Dnmm
+D-
D-=
444 3444 21
0
-
Profesor: Matas Saavedra A. Ayudante: Andrs Romn E.
4) Elipsoide de referencia: Elipsoide internacional 1924 a = 6378388; f = 1/297; e = 0.006722670022 Lnea A-B Estacin A Estacin B
mH A 19,4686= mH B 83,4230= mhi A 40,1= mhi B 45,1=
Distancia inclinada: Di = 21916,98m Azimut de lnea: ABa = 325 37 43 ; latitud media mj = -31 40 20 Solucin: Reduccin a la horizontal:
m59,468740,1
19,4686
+ m28,4232
45,1
83,4230
+
31,455=Dh
mdhhDidh 25,2191222 =D-= Reduccin al nivel del mar:
mhmhm 51,44582
83,423019,4686 =+=
( )( )
( )085,6362828
cos
90,63529341
1 ; 72,6384078
1
22
23
22
2
21
22
=+
=
=-
-==-
=
aaar
ra
rj
rj
RNsen
NR
msene
eamN
sene
aN
mDnmmCnmmdhDnmmmCnmm 91,2189634,1525,2191234,15 =-=-=-=
Reduccin de la cuerda al arco:
Cc 0108,024 2
3
+
=aR
Dnmm
Por lo tanto la distancia geodsica es: mSCcDnmmS 921,21896=+=