GUÍA N°01_LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
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Facultad de Ingeniería Matemática II UCV Lima Norte 2015-1 Guía de Práctica _ Semana 1ra - 1 - LA DERIVADA LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene al número a . La derivada de f en a , denotada ) ( ' a f esta dada por a x a f x f a f a x ) ( ) ( lim ) ( ' , si este limite existe. Si hacemos a x h luego también h a f h a f a f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 , si el límite existe. Si ) ( ' a f existe decimos que la función f es derivable en a , que es diferenciable en a o que f tiene derivada en a . Directrices para calcular h a f h a f a f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 i) Evaluar y simplificar la diferencia ) ( ) ( a f h a f ii) Simplificar el cociente diferencial h a f h a f ) ( ) ( iii) Calcular el limite del cociente diferencial h a f h a f h ) ( ) ( lim 0 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA EN UN PUNTO La recta tangente a la grafica de f en el punto )) ( , ( a f a P es la recta que pasa por )) ( , ( a f a P y tiene pendiente ) ( ' a f m , si es que la derivada existe. Luego una ecuación de la recta tangente a la curva ) ( x f y , en el punto )) ( , ( a f a P como: ) )( ( ' ) ( : a x a f a f y L OBSERVACIONES: 1. Si 0 ) ( ' a f , la recta tangente, en )) ( , ( a f a P , es horizontal y tendrá ecuación : () L y fa 2. Si ) ( ' a f , la recta tangente, en )) ( , ( a f a P , es vertical y tiene ecuación a x L : . EJERCICIOS DE APLICACIÓN En cada caso, halle la derivada de la función f , y una ecuación de la recta tangente a la grafica de f en el punto 1 x 1. ) sin( ) ( x x f 2. 2 9 ) ( x x f 3. 2 1 ) ( x x f 4. 1 3 ) ( x x f 5. 2 ) 3 2 ( ) ( x x f 6. 4 3 ) ( x x x f LA DERIVADA COMO FUNCIÓN La derivada de una función f es la función, denotada por ' f y definida por: h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 ; siempre que el límite exista. Observaciones: 1. Si la función f es diferenciable en todo número x en los intervalos abiertos b a, , b , y , a , entonces f es diferenciable sobre el intervalo abierto. 2. Otras notaciones para la derivada son: y D y D dx dy y x f x ' ) ( ' EJERCICIOS DE APLICACIÓN En cada caso, halle la derivada de la función f . Luego use esta función para hallar la pendiente de la recta tangente en 1 x . 1. ) sin( ) ( x x f 2. 2 9 ) ( x x f 3. 2 1 ) ( x x f 4. 1 3 ) ( x x f 5. 2 ) 3 2 ( ) ( x x f 6. 4 3 ) ( x x x f Tiene pendiente ) ( ' a f m Punto de tangencia
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Facultad de Ingeniera Matemtica II
UCV Lima Norte 2015-1
Gua de Prctica _ Semana 1ra - 1 -
LA DERIVADA
LA DERIVADA DE UNA FUNCIN EN UN
PUNTO
Sea f una funcin definida en un intervalo
abierto que contiene al nmero a . La derivada de
f en a , denotada )(' af esta dada por
ax
afxfaf
ax
)()(lim)(' , si este limite existe.
Si hacemos axh luego tambin
h
afhafaf
h
)()(lim)('
0, si el lmite existe.
Si )(' af existe decimos que la funcin f es
derivable en a , que es diferenciable en a o que
f tiene derivada en a .
Directrices para calcular
h
afhafaf
h
)()(lim)('
0
i) Evaluar y simplificar la diferencia )()( afhaf
ii) Simplificar el cociente diferencial
h
afhaf )()(
iii) Calcular el limite del cociente diferencial
h
afhaf
h
)()(lim
0
INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA
DERIVADA EN UN PUNTO
La recta tangente a la grafica de f en el punto
))(,( afaP es la recta que pasa por ))(,( afaP y
tiene pendiente )(' afm , si es que la derivada
existe.
Luego una ecuacin de la recta tangente a la curva
)(xfy , en el punto ))(,( afaP como:
))((')(: axafafyL
OBSERVACIONES:
1. Si 0)(' af , la recta tangente, en ))(,( afaP ,
es horizontal y tendr ecuacin : ( )L y f a
2. Si )(' af , la recta tangente, en
))(,( afaP , es vertical y tiene ecuacin
axL : .
EJERCICIOS DE APLICACIN
En cada caso, halle la derivada de la funcin f , y
una ecuacin de la recta tangente a la grafica de
f en el punto 1x
1. )sin()( xxf 2. 29)( xxf
3.2
1)(
xxf 4. 13)( xxf
5. 2)32()( xxf 6.43
)(x
xxf
LA DERIVADA COMO FUNCIN
La derivada de una funcin f es la funcin,
denotada por 'f y definida por:
h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0;
siempre que el lmite exista.
Observaciones:
1. Si la funcin f es diferenciable en todo
nmero x en los intervalos abiertos ba, ,
b, y ,a , entonces f es
diferenciable sobre el intervalo abierto.
2. Otras notaciones para la derivada son:
yDyDdx
dyyxf x')('
EJERCICIOS DE APLICACIN
En cada caso, halle la derivada de la funcin f .
Luego use esta funcin para hallar la pendiente de
la recta tangente en 1x .
1. )sin()( xxf 2. 29)( xxf
3.2
1)(
xxf 4. 13)( xxf
5. 2)32()( xxf 6.43
)(x
xxf
Tiene
pendiente
)(' afm
Punto de
tangencia
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Facultad de Ingeniera Matemtica II
UCV Lima Norte 2015-1
Gua de Prctica _ Semana 1ra - 2 -
IMPORTANTE:
Dnde f no es diferenciable?
Una funcin deja de ser diferenciable en ax si
i) La funcin es discontinua en ax , o
ii) La grafica de f tiene un pico en ))(,( afa
Adems, puesto que la derivada proporciona la
pendiente, f no es diferenciable
iii) En el punto ))(,( afa en el cual la recta
tangente es vertical.
)2('f no )0('f no )0('f no
DIFERENCIABILIDAD IMPLICA
CONTINUIDAD
Si f es diferenciable en un nmero a , entonces
f es continua en a
Lo reciproco es falso, ya que existen funciones
continuas que no son diferenciables
REGLAS BSICAS PARA DETERMINAR
DERIVADAS
1. 0)(cdx
d 2. ( )n n
dx nx
dx
1 ; 1)(xdx
d
3. )(')( xcfxcfdx
d
4. )(')(')()( xgxfxgxfdx
d
5. )(').()().(')()( xgxfxgxfxgxfdx
d
6.2
)(
)(').()().('
)(
)(
xg
xgxfxgxf
xg
xf
dx
d, siempre
que ( )g x 0
LA DERIVADA DE ALGUNAS FUNCIONES
1. xxdx
dcossin 2. xx
dx
dsincos
3. xxdx
d 2sectan 4. xxdx
d 2csccot
5. xxxdx
dtansecsec 6. xxx
dx
dcotcsccsc
7. xx eedx
d 8. xx
dx
d/1ln
9.21
1arcsin
xx
dx
d 10.
21
1arccos
xx
dx
d
11.21
1arctan
xx
dx
d 12.
21
1cot
xxarc
dx
d
13.1
1sec
2xxxarc
dx
d
14. 1
1csc
2xxxarc
dx
d
EJERCICIOS DE APLICACIN
Halla la derivada de:
1. 325)( 25 xxxxf
2. 23)( 3 xxxf
3. 23lnsin)( 3 xxxxxxf
4.23
1
cos2
1)(
xxxf 5.
2
4 153)(
x
xxf
6. )76)(152()( 23 xxxxxf
7.3
cos.)(3x
xexf x 8. xxxxf sin5ln.)( 3
9.23
)5)(12()(
x
xxxf 10.
x
xxxf
tan
sin)(
3
11.2
3arcsin)(
x
xxxf 12.
2
13)(
x
xxxf
13. xxxx
xxf 3ln
sin2)( 3
Encuentre la ecuacin de la recta tangente en el
valor indicado de x .
14. xx
xf 24
)( ; 4x
15. 1
5)(
2x
xxf ; 2x
16. )35)(42()( 32 xxxxf ; 0x
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Gua de Prctica _ Semana 1ra - 3 -
17. xxxf cos)( ; x
18. xxxf sin2tan)( ; 4/x
19. x
xxf
ln)( ; ex
20. 3ln)( xxxf ; 1x
21. xexxf 2)( ; 1x
22. xxxf arctan)( ; 1x
