guia-metodosde-Integracion-27-03-2010(1).pdf
9
1 . 3 3 2 3 1) 2) 3 2 3 2 3 3 4 2 6 5 2 3) 2 4 4) 6 5 () 3 2( ) 2 5) 6) 3 3 2 2 3 2 2 4 2 2 4 7) 2 8) 2 1 6 3 2 3 2 8 8 2 4 4 9) 10) 3 3 8 x ax dx x K ax dx K x x x x x x dx x xK dx x Lnx K x x a bx a by dy a bx dx k K b b a by x x x x x dx xx dx x K x x dx xa K a x dx ax x 3 2 3 2 3 3/2 5/2 2 2 2 2 2 11) 12) 3 3 5 2( ) 2 3 1 2 13) 14) 2 3 3 2 3 2 2 2 3 3 15) 16) 6 2 17) 2 10 18) 10 19) (10) x x n n xx K x a x dx a x ax x K xa x dx xa K x n a bx x n n x a bx dx K dx x xK nb x x Lnx Lnx x x dx K e dx e K e dx n e K x x tdt x dx K Ln ab 2 20) 2 2 2 2 2 / / 21) 22) 2 2 4 5 2 3 23) 24) 2 2 3 2 4 Ln a bt Ln a be ed K K b b t a be x x ny a a ny xa xa a a a dy K e e dx a e xK nLna x Ln x ae b x dx K d Ln ae b K x ae b r s p O UNIVERSITARIO DE TECNOL PARTE I: VERIFICAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES GUÍA SOBRE INTEGRALES INDEFINIDAS
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3
3
231) 2)3 2 3
2 3 34 2 6 523) 2 4 4) 6 5 ( )3
2 ( ) 25) 6)
3
322 3 22 422 47) 2 8) 2 16 3 2
32 8 8 24 49) 10)
33 8
x axdx xK ax dx K
x
x x x x xdx x x K dx x Ln x K
x x
a bx a bydya bx dx k K
b ba by
x x xx x dx x x dx x K
xx dx x aK a x dx ax
x
3
2
3
2 3 3/2 5/22 2 2 2211) 12)3 3 5
2 ( ) 2 31 213) 14) 2 33 2 3
22 2 3 315) 16) 6 2 17)2
1018) 10 19)
(10)
x xn n
x xK
x
a x dx a x ax xK x a x dx x a K
x
na bx xn nx a bx dx K dx x x Knb
x x
Lnx Lnx x xdx K e dx e K e dx n e Kx
x tdtx dx KLn a b
2
20)2 2
2 22/ /21) 22) 2
2
4 5 2 323) 24) 2
2 3 2 4
Ln a bt Ln a bee dK K
b bt a be
x xnya any x a x a a aa dy K e e dx a e x KnLna
x Ln x ae bxdx K d Ln ae b K
x ae b
PARTE I: VERIFICAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES
GUÍA SOBRE INTEGRALES INDEFINIDAS
2
2( ) ( )1 21) ( ) 2) ( ) ( )2 2
3 (2 ) tg(3 )23) (2 )cos (2 ) 4)26 3(3 )
2 ( )( ) tg (7 )5) 6)
2 7( ) (7 )1
7) (3 ) 8) tgtg (3 ) 3
Ln x Sen a xdx Ln x K Sen ax Cos ax dx K
x a
Cos x C xdxSen x x dx K K
Sen x
b Sen axCos ax dx xdxK K
ab Sen ax Cos xdy
Ln Cos y KC y
12 2( ) ( ) tg ( )2
( )9) 1 ( ) 10) tg ( ) ( )
1 ( )
111) tg (4 ) tg ( ) (4 ) 4 ( )
4 4 4( ) ( )1 1
12) 13)2 2 3 2( ) ( ) ( ) 2 ( )
14
Sec d K
Sen x dx x x xLN Cos x K C e e dx Ln Sen e KCos x
s ss C ds Ln Cos s Ln Sen K
Cos x dx Sen xK dx K
Sen x Sen x Cos x Cos x2tg ( ) tg ( )
) 15) 2 tg( ) 12 22( ) ( ) tg( ) 1
( ) (2 ) 216) 2 ( ) 1 17) 2 1 ( )2 ( ) 1 21 ( )
2(3 ) ( )1 ( )18) 19)
3 24 23 (3 )(3 ) 1
g20)
x x dxdx K x K
Cos x Cos x x
Cos x dx Sen x dxSen x k Sen x K
Sen x Sen x
Sen x dx ArcSen x dx ArcSen xK K
Cos xCos x x
Arct 2 1( ) tg ( ) 1 221) 2 32 22 21 2 3
3tg ( )422) 23) tg ( ) tg( )( ) 3
3 4tg ( ) tg ( )24) tg( ) 25)
22 4( )1 tg ( )
26) ( )21 ( )
(27) 5
x dxx dx Arc xK x x K
x x x
xdxLn Lnx K x dx x x K
x Ln x
dx x xLn Arc x K dx K
Cos xx arc x
dxLn ArcSen x K
x ArcSen x
e34) 228) 29) 30)(2 )4
dt dxax xdx x e dxxte
PARTE II: RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN SIMPLE
3
2 2231) 3 2) 3 3) 3 4 ) ( )3 32
35) ( ) tg ( ) 3 6 ) ( ) tg ( ) 3 7 ) tg ( )2 2
2 238 ) tg ( ) 1 39 ) 1 ( ) 4 0 )1 ( )2(2 ) ( ) ( )
4 1) 4 2) 4 3)3 co s (2 ) ( ) 3
xe d x x d x xtte d t S e n d xxe xea a x xSe c d C sc C d e e d xb b
d xC x C sc y d y
S e n x
Se n x d x C o s t d t C sc x d xx a b Se n t C
2 tg
tg ( )
(2 ) 3 24 4 ) 4 5) ( ) ( ) 4 6 ) ( ) ( )1 (2 )
4 7) (2 ) tg (2 ) 4 8 ) 2 C x
x
S e n xd x S e n x C o s x d x T g x S e c x d x
Co s x
S e n x x d x C sc x d x
1 1(2 ) (2 ) (2 ) 21) 2) ( ) tg( ) ( )2 4
2 1(2 ) (2 ) (2 )23) ( ) ( ) 4)2 41 1( ) ( ) 35) ( ) ( ) 6) ( ) ( )tg( ) ( ) tg( )2 2
17) ( )
2
x x xxe dx xe e K xSec x dx x x Ln Sec x K
xx x xLn x dx xLn x x K x e dx e e K
x xe Cos x dx e Cos x dx Sec x dx Sec x x Ln Sec x x K
xLn x dx
2
12 ( ) 8) ( ) ( )2
12 29) ( ) ( ) 1 10) tg( ) 1 tg( )2
1 211) ( ) 2 ( ) 1 ( )4
212) 1 1 2 2 tg( )
x Ln x K xSen x dx xCos x K
ArcSen x dx xArcSen x x K xArc x dx x Arc x x K
xArcSen x dx x ArcSen x x x K revisar
Ln x dx xLn x x Arc x
( ) ( ) 213) ( ) 14) ( ) tg( ) ( )2
K
Cos nx xSen nxxCos nx dx K uSec u du u u LnCos u K
nn
PARTE 3I: RESOLVER USANDO EL MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
4
2
2
2
2 222
2
118) (2 ) (2 ) 1 4
2
19) ( )1 1
( )20) 1 ( )
1
( ) 1 ( )21)
4 14 11
122) 1
2
ArcCos x dx x ArcCos x x K
x xArcSen dx x ArcSen x Arctg x K
x x
xArcSen xdx x x ArcSen x K
x
x Arctg x x Arctg xdx K
xxx
xArctg x dx Arctg 2 2
2 2 2
11 1
2
23) 1 1 1
24) ( ) 1 ( ) 25) ( ) ( ) ( )2
126) 2 1 1 2 27) ( ) ( )
1
28) ( ) 29) 3Senx Senx x x
x x K
Ln x x dx x Ln x x x K
eArctg x dx x Arctg x x K e Cos d Sen Cos K
Ln x dxx Ln x k Cos Ln x Sen Ln x K
xx
e Cos x dx e k e
2
2 2
2
222
33
23
3(3) 1
30) 2
( ) 131) ( ) 1
21
( ) 1 132) 1 ( )
1 2 2
1 ( )433) 1 34) 3 ( )
3 ( )
35)
x x
x x
x x
x x
eK
LN
a ba b b adx x Ka b Lna Lnb
ArcCos x xdx ArcCos x x K
x
x Arctg xdx Ln x Arctg x K
x
x Cos x dxdx x K Sen x K
x Sen x32 2
3
4 3
21 3 ( ) (2 ) 1 3 ( )
9( ) 1 1
38)( ) ( ) 3 ( )
Cos x Sen x dx Cos x K
Cos xdx K
Sen x Sen x Sen x
5
3 3
2 2 2 21) 2
12 2 22) 4 2 ( ) 42 2
21 13) 4) 3 22 2 2 21 2 2
2 22 25)
6) 7)2 22 22 2 5 52 5
28)
2
a x a x xdx ArcSen K
x axx
x x dx ArcSen x x K
xdx dx xK K
x ax x a xa x
x a adx x a aArc Cos K
x xdx x dx x
K Kx xx x
x dx
x
22 2 26 3 6 9) 4 2 ( )
2 2 226 4
2 2210) 8 11)
2 33 2 292 8 98
1 112) 13)
2 52 2 2 24 2 4 25 5 25
t dtx t tx Ln x x K t ArcSen K
t
x dx u dux u uLn x x K ArcSen K
ux ux
dx x dx xLn K Ln
x x x x x x
2 27 514) 15)
7 52 2 2 27 5
2 2 29 16 16116) 17)2 254 3 43 2 189
K
y xdy dxK K
y xy y x x
x t tdx x tArcSen K dt ArcSen K
tx tx x
PARTE 4I: PARA RESOLVER USE EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
6
2 2
222
2 2
2
21 118) 19)
9 3 3 4 4 2
20) 21) 165 1625
3 21 1 322) 23)
9 4 12 3 2 3 416 9
3 1124)
9 1 6 3 1
xdx x dxArctg K Ln K
x x x
dy y dsArc Sen K Ln s s K
sy
xdx dx xLn K Arc Sen K
x x x
xdxLn
x x 2
2 2
22 2 2 4
4 4 2
2 3125)
4 9 12 2 3
( ) 2 ( )126) ( ) 27)
1 4 ( ) 4 2 ( )
5 528) 29) ( )
2 21
30)2
xx
x
tdtK Ln K
t t
e dx Cos d SenArctg e K Ln K
e Sen Sen
ax c xdxbdx bLn K Arc Sen x K
a x c ac ax c x
axdx a xArctg
x b b
2
22
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2131)
3 32 9
3132) 1 33)
21 4 3
1 137) 2 38) 3
1 2 2 31 3
1 334) 35)
16 9 3 4 9 3
tdtK Arctg K
b t
udy duLN ay a y K Arc Sen K
aa y u
dx dxArctg x K Arc Sen x K
x x
dx x dx xArc Sen K Arc Sen
x x
2 2
322
6 32
2 22
2
1 1 336) 37)
4 2 2 9 4 6 2
5138) 9 39)
5 6 5 59
( ) ( )140) ( ) 41)
( )1
42) (1 ( )
xx
x
K
dx x dx xArctg K Arctg K
x x
xdx x dxLn x x K Ln K
x xx
e dx Cos x dx Sen xArcSen e K Arctg K
a sen x a ae
dxArc Sen Ln x
x Ln x3
23
( )) 43) 3 ( )
( )
Cos x dxK Sen x K
Sen x
7
2 2
2 2
2 2
2
1 11 11) 2)
4 3 2 3 2 10 3 3
3 43) 4) 2 3
8 25 3 3 2
515) 6) 2 1
6 5 4 1 2 2 1
17)
15 2
x xdx dxLn K Arctg K
x x x x x
dx x dxArctg K ArcSen x K
x x x x
vdv dxLn K Arctg x K
v v v x x
xdxArcSen
x x2
2
2
2
2
2
2
18)
4 4 4 4
2 3 519)
3 1 15 2 3 5
110) 1
21
2 1111)
4 4 5 4 2
8 312)
412 3 4
113)
2 5
dx xK Ln K
x x x
ydyLn K
y y y
dxLn x x x K
x x
xdxArctg K
x x
xdxArc Sen K
x x
xdxArctg
x x 2
22 2
22
2
3 1114)
2 3 2 4 11 11
15) 2 1 16) 3 7 112 2 5 3 2 2
3 2 10 33 1117) 5 3 2
5 3 2 10 5 3 32 1 10 11 8
18) 5 25 2 5 5 39 39
19)
xdxK Arctg K
x xdz dx
Arctg z K Ln x x Kz z x x
x dx xLn x x Arctg K
x xx x
Ln x x Arctg Kx x
d2 2
8 3 6 71 120)
2 41 3 1092 3 4 5 7
x xx dxArcSen K Arc Sen K
x x x x
PARTE V: USE LA COMPLETACIÓN DE CUADRADOS, LUEGO EL MÉTODO DE INTEGRACION ADECUADO
8
3 6
5
525 4 3 2
33
4 2
32
2
3 2 2 2 2
2 32 1 11) 2)
1 2 1 1 3 5 8 5 1
283) 4
4 3 2 2
11 164) 2 2
2 6 31 2 1
8 235) 6)
4 4 2 1
x xx xdxLn K Ln K
x x x x x x x x
x xx x x xdx x Ln K
x x x
xx dx xx Ln Ln x K
x x x
x dx x dx xLn K Ln
x x x x x x x x
2 32
2
3 2
4 2 2
2
3 2
3 2
1
( 2 5)2 3 3 117)
1 2 21 2 5
6 4 3 38)
6 8 2 2 222
1 2 11 19)
1 6 1 3 3
3 910)
4 4
K
x xx x xdx Ln Arctg K
xx x x
x x x xdx Ln Arctg Arctg K
x x x
x xdxLn Arctg K
x x x
xd
x x x
2
2
2
2 22
53 3
3
32
2 2
2
2 2
4 12 21
4 2 11 211) 2
1 12 2 1
112) 1
1 3
1 2 113) 2
2 4 2 4 2 2
4 8 314)
1 12
x xx Ln Arctg K
x
dx x x xLn Arctg K
x xx x
xdx x Ln x K
x
x x x xdx Ln x Arctg K
x x
x x dx x
x x
22
22
2 22 2
3 2
11( )
11 1
615) 3 16) 1 ( )
3 1 1
xLn Arctg x K
xx x
x dx x x dxLn x x K Ln x Arctg x K
x x x x
PARTE VI: INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES (FRACCIONES PARCIALES)
9
2 2
4 22
2 8 8 4 117) 2 18) ( )
2 22 4
2 262 219) 3 20) 1 tg( )3 23 1 1
22 8 8 2 4 121) 2 22) tg( )2 4 22 22 4
2
23)
t t t dzdt Ln K Arctg z K
t z zt t
x dx x x dxLn x x K Ln x Arc x K
x x x x
t t dt t dzLn K Arc z K
tt t z z
x 10 2 41tg
2 2 2 3 22
218 4 9 224) tg3 2 34 9
5 2 39 9 9 225) 93 39
2 1 2 11 326) tg3 2 22 3 3
x x xLn Arc K
xx x
x dx x xLn Arc K
x x x
x x x xdx Ln x x K
x x
x xdxLn Arc
x x x x
5 34 1 1227) 23 322 22 2
22 3 128) 2 2 522 42 2
K
x xLn x K
x x
z z dzLn z K
t tz z z
NOTA: LOS RESULTADOS DE ALGUNAS INTEGRALES NO ESTAN VERIFICADAS
