1

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONÓMA DE MÉXICO

ESCUELA NACIONAL PREPARATORIA No. 5

“JOSÉ VASCONCELOS”

SEMINARIO DE ANÁLISIS DE LA ENSEÑANZA

2012

COLEGIO DE MATEMÁTICAS

TURNO MATUTINO

PRODUCTO GUÍA DE ESTUDIO DE

MATEMÁTICAS V UNIDADES I, II Y III

Coordinadora: Mtra. Giselle Ochoa Hofmann

Fecha de entrega: 11 de Mayo de 2012

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ÍNDICE Introducción…………………………………………………………………….. 3

Forma de trabajo………………………………………………………………. 3

Unidad I. “Relaciones y funciones”……………………………………….. 5

Introducción 5

1.1 Relaciones y funciones 5

1.2 Tipos de relaciones 10

1.3 Función 11

1.4 Notación de funciones 13

1.5. Ejemplos para obtener dominio, codominio, imagen o rango de una función 15

1.6. Funciones Inyectivas, suprayectivas y biyectivas 17

1.7 Funciones Algebraicas y Trascendentes. 19

1.8 Funciones crecientes y decrecientes 20

1.9 Funciones Continuas y Discontinuas 23

1.10 Función Inversa 25

1.11 Guía de estudio de Funciones 29

Unidad II. “Funciones Trigonométricas”………………………………….. 50

Introducción 50

Objetivos 50

2.1 Definiciones en los triángulos 50

2.2 Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo 54

2.3 Identidades trigonométricas 60

2.4 Triángulos no rectángulos 63

2.5 Funciones trigonométricas 68

Unidad II. “Función Exponencial y Logarítmica”…………………………….. 78

3.1 Gráfica de la función exponencial 81

3.2 Desplazamiento de gráficas de funciones exponenciales 83

3.3 Determinación de la ecuación de una función exponencial

que cumple con las condiciones dadas

84

3.4 Modelos exponenciales 87

3.5 Función exponencial natural 89

3.6 Ecuaciones exponenciales 90

3.7 Logaritmos 92

3.8 Gráfica de una función logarítmica 100

3.9 Desplazamiento de graficas de funciones logarítmicas 102

3.10 Aplicaciones de logaritmos 104

3

Introducción Los exámenes extraordinarios son la opción que un alumno tiene para poder acreditar una asignatura que cursó y que no acreditó en el periodo ordinario, dentro del área de Matemáticas estos cobran relevancia al observar el número de alumnos no acreditados en cada una de las asignaturas del Colegio. Por lo anterior, se requiere realizar una guía actualizada de Matemáticas V en la unidades I, II y III, con una metodología y formato requerido para poder contribuir y aportar un producto que cubra uno de los tantos aspectos necesarios de la Escuela Nacional Preparatoria. El presente trabajo se realizo conforme a los temas del Programa de Matemáticas V, dando énfasis a los temas que la tabla de especificaciones lo ha requerido. Con base a estos lineamientos se procedió a realizar el trabajo que se le hizo mención anteriormente. Forma de trabajo. La forma de trabajo fue que se formaron tres grupos de trabajo, en el cual se menciono como jefe del equipo a los profesores que en el plantel contribuyeron a formar los reactivos para el nuevo formato de extraordinario y conocían de antemano el trabajo realizado en la tabla de especificaciones. De esta forma cada líder de equipo podía orientar el trabajo de los demás compañeros Cada equipo tuvo la libertad de producir la unidad que le correspondía y este trabajo se organizo en línea y presencial con los equipos correspondientes. Con fecha específica se entrego el trabajo correspondiente, y se procedió a la revisión general de cada una de las unidades en sesión presencial, la cual ayudó a revisar cada una de las unidades en fondo y forma; y esto contribuyó a que el trabajo realizado tenga un número mínimo de errores. Por lo anterior, presentamos la aportación del Seminario de Enseñanza Local 2012, para contribuir a la formación de la nueva guía de estudios. A continuación se menciona como fue la distribución de los equipos.

Unidad I: Relaciones y Funciones Giselle Ochoa Hofmann Leticia Daniel Orana José Ángel Valdivieso Montero Emilio Velarde González Báz María Brisia Ramos Ramos Unidad II: Trigonometría y funciones trigonométricas Olivia Palma Avendaño Claudia Gómez Amaral Arturo González Vera Alfonso Otero Carreto Carlos González Romero

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Unidad III: Función Exponencial y Logarítmica Xochitl Muñoz Gálvez Lilia Montoya Gutiérrez Patricia Álvarez Espíndola María de Lourdes Hidalgo Ramos Julio Reyes Bello Daniel Martínez Gutiérrez

5

Unidad I. Relaciones y funciones

INTRODUCCIÓN A René Descartes (1596-1650), filósofo y matemático francés, se le considera el iniciador de la geometría analítica al formalizar el estudio del álgebra en la solución de problemas geométricos .En reconocimiento a Descartes, al producto de dos conjuntos se le da el nombre de producto cartesiano, y al sistema de coordenadas rectangulares en el plano se le denomina sistema de coordenadas cartesianas. Los conceptos matemáticos de relación y función son fundamentales para entender las matemáticas y así plantear y resolver diversos problemas de otras disciplinas como la física, la química, la astronomía, la biología y la estadística. Las concepciones de constante, variable y función nacieron de la idea de movimiento. Leibniz, Lamberte, Boole, de Morgan y los sucesores de Boole y de Morgan fueron los percusores en plantear la relación entre aquellos conceptos y el movimiento. Leibniz fue el primero en usar la palabra función, que expresa probablemente la idea más importante en la historia de las matemáticas. Considera la palabra función como la relación entre dos cantidades variables cuando el valor de una está determinado por el valor de otra.

1.1 RELACIONES Y FUNCIONES Para iniciar el tema de relaciones y funciones, recordemos ¿Qué es un conjunto? El concepto de conjunto, es lo que desde niños se ha entendido como un conjunto, es decir una reunión, colección o agrupamiento de objetos de cualquier tipo que tienen una característica o propiedad común. Los conjuntos se definen nombrando a cada uno de sus elementos, es decir, dando una lista de los elementos que lo forman, o bien por alguna cualidad o propiedad de los elementos. Cuando se definen nombrando a los elementos, su representación se hace por extensión, los elementos se escriben dentro de claves o llaves, separando cada uno de estos por comas. A = {do, re, mi, fa, sol, la si} O por comprensión, si el conjunto se define por cierta cualidad o propiedad, que cumplen todos los elementos. Para esto se emplea una letra generalmente “x”, con la cual se representa a un elemento del conjunto. A ={x/x es una nota musical} Se lee “x tal que x es una nota musical} Ahora formemos dos conjuntos: A ={x/x es tipo de sangre de la madre}={A, B} B ={x/x es tipo de sangre del padre}={A, B} ¿Qué tipo de sangre puede tener el hijo?

6

Tipo de sangre del padre B (A,B) (B,B) A (A,A) (B,A) A B Tipo de sangre de la madre Es decir los posibles cruces sanguíneos de la madre y el padre son: AXB = {(A,A),(A,B), (B,A), (B,B)} Es decir si tiene un hijo con tipo de sangre “O” puede ser hijo del vecino. Bajo este esquema surge una nueva operación de los conjuntos llamado “Producto Cruz” o “Producto Cartesiano”

Dados dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano del conjunto A por el conjunto B a todos los elementos que son pares ordenados (x,y) tales que “x” pertenece a l primer conjunto A y “y” pertenece al segundo conjunto B

Simbólicamente:

AXB ={(a, b)/ a A y b B}

Ahora, lancemos dos dados uno rojo y uno negro.

Sea A = {x/x es un posible resultado del dado rojo} ={1,2,3,4,5,6}

Sea B = {y/y es un posible resultado del dado negro} ={1,2,3,4,5,6}

7

(1,1), (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)

(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)

A X B = (3,1), (3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)

(4,1), (4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)

(5,1), (5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)

(6,1), (6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)

Identifiquemos el conjunto R

)}6,6(),5,5(),4,4(),3,3(),2,2(),1,1{(}/),{( yaigualesxBAyxR

Observemos que R es un subconjunto de AXB. Debido a que a todo elemento de R, este elemento también es elemento de AXB.

En notación matemática se dice que:

x R x (AX B) se escribe R (AXB) y se lee R es subconjunto de AX B o R está incluido en AXB

De aquí surge una nueva definición. Relación es un subconjunto del producto cartesiano de AXB, de tal forma que los elementos que componen las parejas ordenadas satisfacen una regla de correspondencia.

En esta relación R se puede decir que la regla de correspondencia es x=y

Si de acuerdo a esta regla de correspondencia, que llamaremos r, al elemento de Ax

se le asocia un elemento By , entonces escribiremos

x y (para cada elementos de “x” se le asocia uno de “y”) o bien r(x)=y

Cuando A y B son subconjuntos de los números reales, entonces podemos localizar en el plano a los elementos de R, y a la colección de puntos así obtenidos le llamaremos la gráfica (geométrica) de la relación.

Veamos cuál es la gráfica geométrica de la relación anterior:

8

6

4

2

5

R x

6,6

5,5

4,4

3,3

2,2

1,1

0,0

Obsérvese que la gráfica sólo esta compuesta por seis puntos

En cambio si quisiera la gráfica de

},;/),{( yxyxyxR

Tendríamos

6

4

2

5

R x

6,6

5,5

4,4

3,3

2,2

1,1

0,0

f x = x

Está gráfica ya forma una recta. En una relación se pueden distinguir 3 tipos principales de conjuntos. Dominio Es el conjunto formado por los primeros elementos de las parejas ordenadas de la relación. Contradominio o Codominio Conjunto formado por los segundos elementos de las parejas ordenadas de un producto cartesiano. Imagen o Rango

9

Es el conjunto formado por los segundos componentes de las parejas ordenadas de la relación. El conjunto imagen también es conocido como recorrido. La imagen es un subconjunto del contradominio Ejemplo: 1. Establecer una relación R entre los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} de manera que las parejas ordenadas cumplan con la condición de que su segundo componente sea el doble del primero. El conjunto de llegada está formado por ocho elementos, pero no todos cumplen con la condición o regla de correspondencia. Sólo los elementos 2, 4, 6 y 8 que forman un subconjunto del Contradominio pertenecen a esta relación pues representan la Imagen de los elementos 1, 2, 3, y 4.

Para dibujar la gráfica de la relación R en el plano cartesiano, los elementos del dominio se representan en el eje x y los del contradominio en el eje y.

10

Podemos observar que los puntos más grandes pertenecientes a nuestra relación forman un subconjunto del producto cartesiano (puntos pequeños), es decir: R A X B, además I B Relación = R = {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)} = { abybaba 2,,/),( }

Dominio = A = {1, 2, 3, 4} = { a 41/ a }

Contra dominio = B = {1,2,3,4,5,6,7,8} ={b 81/ b } Imagen = I = { 2, 4, 6, 8} 2. Construye la gráfica de la relación R: , donde es el conjunto de los números

reales y la regla de correspondencia de los elementos de R es y = 2 2 1x x .

4

2

-2

Ejercicio

1. Obtener el producto cartesiano A X B si A = {2, 4, 6}, B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}. Considere la relación R: A B, donde b = 3a. Traza la gráfica A X B y de R;

escribe su dominio, contradominio e imagen.

1.2 TIPOS DE RELACIONES Las relaciones se pueden clasificar en:

Relaciones implícitas y explícitas. Una relación es implícita cuando está definida por dos o más variables.

Por ejemplo: En el plano cartesiano, es decir 2 , la función estaría definida por las

variables 0, yxR por ejemplo: 0232, 22 yxyxyxR

Otro caso sería: 0265342, 22 yxyxyxyxR

Una relación es explícita cuando está definida en términos de una sola variable. Algunos ejemplos de relaciones explícitas son:

133 2 xxxR

32 3xexR x

x

xxR

2cos

R = {( ,x y )/ 12, 2 xxyyyx }

Dominio = ( - , )

Contra dominio = = ( , )

Imagen = { yy / 0} = [0, )

11

Nota: Observa que en los ejemplos de estas relaciones sólo se encuentra una variable x. Ejercicio. Escribe en el paréntesis la letra e si corresponde a una relación explícita y la letra i si corresponde a una relación implícita.

Funciones

1. ( )

32

1523

4 3

23

x

xxx

2. ( ) yxyxyx 32234 22

3. ( ) 0

32

4cos2

yx

xy

4. ( )

22

24

x

x

5. ( ) 22

4

x

xLn

Solución: 1.e; 2.i; 3.i;4.e;5.e

1.3 FUNCIÓN

Es una relación en la que a todo elemento del Dominio le corresponde uno y sólo uno del Contradominio. La función consta de una Regla de Correspondencia que expresa la manera en que se asocian los elementos para formar las parejas ordenadas. La regla puede ser una ecuación, una tabla de valores o una gráfica y debe cumplir las siguientes condiciones:

Primera: Ningún elemento del dominio puede quedar sin imagen en el contradominio.

Segunda: Ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen en el contradominio (esto no excluye que varios elementos del dominio tengan el mismo elemento o valor asociado en el contradominio).

Ejemplos:

1. A cada alumno de la Preparatoria le corresponde uno y sólo un número de cuenta.

2. Los idiomas oficiales considerados en algunos países del continente americano:

12

Ejercicio: Determinar en cada caso si es o no una función de A en B. Fundamentar la respuesta

Se trata de una función debido a que

a cada país le corresponde un solo

idioma.

Dos elementos del dominio (México y

Cuba) están relacionados con un solo

idioma del contradominio (Español), sin

embargo la regla no se rompe ya que a

todo elemento del dominio le corresponde

uno y sólo un elemento de la imagen o

rango.

A un elemento del dominio (Canadá) le

corresponden dos elementos del

contradominio ( Inglés y Francés), por lo

tanto no es una función.

13

1.4 NOTACIÓN DE FUNCIONES

Las funciones son casos particulares de las relaciones que existen entre dos conjuntos A y B, se denotan generalmente con la letra f. La función f que va del conjunto A al conjunto B se denota: f : A B (f de A en B)

Dada una función f, entonces f(x) denota su valor en “x”, o “f evaluada en x”. Si una función da una cantidad “y” en términos de una cantidad variable, entonces “x” se llama la variable independiente y “y” es la variable dependiente. La gráfica de una función f es el conjunto de pares ordenados (x,f(x)), presentado visualmente en un sistema de coordenadas cartesianas. Para mostrar que una curva es la gráfica de una función, utilizamos la prueba de la recta vertical que establece que cualquier recta vertical toca la curva como máximo una vez.

Si hacemos el recorrido de dicha línea por todos los puntos del Dominio de izquierda a derecha vemos que interseca a la gráfica una sola vez, esto quiere decir que a cada elemento del dominio le corresponde uno solo del contradominio, por lo tanto se trata de una función.

En esta gráfica hay partes en que tenemos dos puntos de intersección lo que significa que a un elemento del dominio le corresponden dos elementos del contradominio, por lo tanto ésta no es una función. Éste será un método para comprobar si se tiene una

14

función, al analizar la gráfica de una relación. Otro criterio será observar las parejas ordenadas de la relación: si se repite alguna de las primeras entradas (elementos del Dominio), no es una función.

Ejercicios: Determina si las siguientes gráficas representan una función.

15

1.5 EJEMPLOS PARA OBTENER DOMINIO, CODOMINIO, IMAGEN O RANGO DE UNA FUNCIÓN

Una función cuyo dominio está en los números reales y cuyo codominio también se encuentra en los números reales es como una especie de proceso de transformación, que convierte números reales en otros números y como en todo proceso de transformación existen insumos útiles y productos con un sentido. Por ejemplo en el proceso de transformación en la fabricación de mermeladas los insumos útiles son las frutas y los endulzantes y los productos con sentido serían los diferentes tipos de mermeladas que ofrece el fabricante. En este proceso de fabricación, el petróleo no es un insumo útil ni la gasolina sería un producto, pues no puede provenir de las frutas y endulzantes. Las funciones son algo análogo a un proceso de fabricación o transformación, sólo que en este caso los insumos útiles son los números reales para los cuales la función es aplicable y los productos con sentido, son los números reales que pueden provenir de la aplicación de la función.

Ejemplo 1 Si consideramos la función 2xxf obsérvese que a todos los números

reales, se les puede aplicar la función, pero no todos los números reales podrán provenir de dicha función, por ejemplo el conjunto de números negativos, jamás podrán ser resultado de dicha función, pues obsérvese que un cuadrado no es negativo. Los números a los que se les puede aplicar la función reciben el nombre de dominio de la función, y los números que resulten de aplicar la función. se les llama rango o imagen de la función. En el ejemplo 1; El dominio de la función son todos los números reales, mientras que el rango o imagen de la función, son los reales no negativos.

4

2

-2

5

f x = x2

Ejemplo 2 Si consideramos la función xxf obsérvese que la función solo es

aplicable a los números no negativos, pues son los únicos que tiene raíz cuadrada y también obsérvese que solo podrá la función producir números no negativos, por lo tanto en el ejemplo 2, el dominio y rango de la función son los números no negativos.

0,intervalo al ecorrespondimagen o rangosu Y

.,- intervalo el o reales

números los son todos dominiosu que loPor

a asigne le se quevalor cualquier para

cero quemayor es siempre )( 2

x

xxf

16

4

2

-2

5

f x = x

Ejemplo 3 Consideremos ahora la función 42 xxf , ahora la función es aplicable

a cualquier número real y por tanto su dominio consiste en todos los números reales, pero la función siempre producirá números mayores o iguales a 4; y su rango o imagen

es el intervalo ,4

15

10

5

Gráfica de f x =x2+4

Ejemplo 4 Por ultimo 1

22

x

xf observemos que la función no es aplicable a los

valores x=1 y a x=-1, ya que producen un cero en el denominador y por ende el dominio serán todos los números reales diferentes de 1 y de -1, también obsérvese que el numerador de la función es imposible que se anule y por tanto la función nunca será cero es decir la imagen o rango de la función consistirá en todos los números reales diferentes de cero.

0,intervalo al ecorrespondimagen o rangosu Y

.0, intervalo el o reales

números los son todos dominiosu que loPor

reales números losen negativas ráices

lasexisten no que a debido cero a iguales mayoreso

números los paraobtener puede se ólo )(

. defunción sería no negativa

y positiva parte la toman se si que a debido raíz la de

positiva parte la tomase sólo quedecir importante Es

sxxf

x

4 a iguales o mayores números producirá siempre que

a debido ,4,intervalo al ecorrespondimagen o rangosu Y

.,- intervalo el o reales

números los son todos dominiosu que loPor

a asigne le se quevalor cualquier para

cero quemayor es siempre 4)( 2

x

xxf

17

15

10

5

-5

-10 10

Gráfica de f x =2

x2-1

.,0 ,0-intervalo el O

cero. de distintos reales números los son todos rango el que loPor

función. la de dominio elen x todopara 01

2)(

función la entonces cero,ser a vanunca denominado el Como

.,11,1- ,-1- intervalo el O

-1-y 1 de diferentes los son todos dominiosu que loPor

1

:que loPor

1

:que implica Esto

01

:queexigir que tienese

tanto,loPor definida. esta no cero entredivisión la que ya cero,

ser puede nor denominado el que claro Es . 1

2)(

2

2

2

2

xxf

x

x

x

xxf

18

1.6 FUNCIONES INYECTIVAS, SUPRAYECTIVAS Y BIYECTIVAS.

Para entender el tema de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas, veamos una función que asocia a cada país con su idioma, a través de un diagrama sagital.

Una función es inyectiva si es uno a uno, es decir, a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno de la imagen o rango. La función anterior no es inyectiva ya que a México y España le corresponde el idioma español. Un ejemplo de función que sí es inyectiva es el siguiente:

Una función es suprayectiva o también llamada sobreyectiva, si su contradominio es igual a su imagen o rango. Las funciones anteriores no son suprayectivas ya que el contradominio tiene un elemento más que es el idioma chino. Un ejemplo de función suprayectiva es el siguiente:

País Idioma

México

Inglaterra

Francia

Alemania

España

Chino

Español

Francés

Alemán

Inglés

Observa que es una función, porque

a cada elemento del dominio le

corresponde uno y sólo uno del

contradominio o codominio..

El contradominio son todos los

idiomas del conjunto.

Pero su imagen o rango sólo son los

idiomas, español, francés, inglés y

alemán.

Imagen

o rango

País Idioma

México

Inglaterra

Francia

Alemania

Chino

Español

Francés

Alemán

Inglés

Este es un ejemplo de una función

inyectiva, porque a cada elemento

de la imagen o rango, le

corresponde uno y sólo uno del

dominio.

Por lo anterior también reciben el

nombre de funciones uno a uno.

Imagen

o rango

País Idioma

México

Inglaterra

Francia

Alemania

España

China

Chino

Español

Francés

Alemán

Inglés

Observa que la imagen o rango es

todo el contradominio. Es claro que

la función no es inyectiva pero si es

suprayectiva.

Imagen

o rango

19

Una función es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. Un ejemplo de función biyectiva es el siguiente:

Pero hay que tener cuidado, ya que existen funciones que no son inyectivas, ni suprayectivas y por lo tanto no son biyectivas como:

1.7 FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES. Una función es algebraica si puede ser expresada en términos de una secuencia infinita de operaciones algebraicas de suma, resta, producto, cociente, potencia y hasta extracción de raíces.

Recuerda que una expresión algebraica de un sólo término es de la forma nax donde n

puede ser un número entero, positivo, negativo o racional y a es un número real.

Ejemplos

La función 1234 23 xxxxf Es algebraica porque es la suma de varios

términos de la forma nax

La función xxxh 33 es algebraica debido a que es una secuencia de

operaciones algebraicas como la suma y la raíz.

La función 3

123

x

xxg es algebraica debido a que es una secuencia de

operaciones algebraicas como la suma, la raíz y el cociente de funciones.

País Idioma

México

Inglaterra

Francia

Alemania

China

Chino

Español

Francés

Alemán

Inglés

Este es un ejemplo de una función

biyectiva. Es inyectiva porque a cada

elemento de la imagen o rango, le

corresponde uno y sólo uno del

dominio y viceversa.

Y es suprayectiva porque la

imagen o rango es igual al

contradominio.

Imagen

o rango

País Idioma

México

Inglaterra

Francia

Alemania

España

Chino

Español

Francés

Alemán

Inglés

Esta función:

No es inyectiva ya que no es uno a uno.

No es suprayectiva ya que la imagen o

rango no es igual al contradominio.

Entonces no es biyectiva.

Por lo tanto, esta función no se puede

clasificar en ninguna de estas categorías.

Imagen

o rango

20

Una función es trascendente, cuando no puede ser expresada en términos de una secuencia infinita de operaciones algebraicas, es decir, ésta trasciende al álgebra como las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, etc. La función logaritmo y exponencial, también son algunos ejemplos de funciones trascendentes. Ejemplos

La función 22 xexf es trascendente porque la función exponencial no

puede ser expresada en términos de operaciones algebraicas.

La función xsenxh 3 es trascendente porque la función seno no puede ser

expresada en términos de operaciones algebraicas.

La función xxg 2ln es trascendente porque la función logaritmo natural (ln)

no puede ser expresada en términos de operaciones algebraicas. Ejercicio. Escribe en el paréntesis la letra a si corresponde a una función algebraica y la letra t si corresponde a una función trascendente.

Funciones

1. ( )

32

1523

4 3

23

x

xxxxf

2. ( )

x

exf

x

3

2

3. ( )

22

4cos

x

xxf

4. ( )

22

24

x

xxf

5. ( )

22

4

x

xLnxf

Solución: 1.a; 2.t; 3.t;4.a;5.t

1.8 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Definamos un nuevo concepto, que tiene que ver con la gráfica de una función a lo largo de un intervalo del eje real.

Consideremos la función 2xxf si graficamos dicha función obsérvese que a lo largo

del intervalo 0, su grafica va de caída, es decir, mientras los valores de “x” se

incrementan, sus correspondientes valores de “y” disminuyen; En cambio en el intervalo

,0 la gráfica va en ascenso, es decir mientras los valores de “x” se incrementan, sus

correspondientes valores de “y” también se incrementan.

21

4

2

Gráfica de f x =x2

En este caso se dice que la función es decreciente a lo largo del intervalo 0, y

creciente a lo largo del intervalo ,0

Definición de función creciente: Se dice que la función xf es creciente en un

intervalo I , si dados dos valores Ixx 21, , con 21 xx esto implique que 21 xfxf . 8

6

4

2

-2

-5 5

f x2

f x1

x2x1

Definición de función decreciente: Se dice que la función xf es decreciente en un

intervalo I , si dados dos valores Ixx 21, con 21 xx esto implique que 21 xfxf .

22

4

2

-2

-4

-6

-8

-5 5

f x2

f x1

x2x1

De las definiciones anteriores se desprende, que las funciones crecientes preservan desigualdades, mientras que las funciones decrecientes invierten desigualdades. Ejemplo 1

Determina si la función x

xf1

es creciente o decreciente en el intervalo ,0 .

Se puede asegurar que es decreciente en dicho intervalo, porque para cada 21 xyx en

I donde 21 xx , se tendrá que los inversos multiplicativos cumplen con la desigualdad,

21

11

xx y por tanto 21 xfxf .

2

-2

-4

5

Gráfica de f x =1

x

Ejemplo 2

Determinar si la función 12 xxf , es creciente a lo largo de todo el intervalo ,

Si 21 xx entonces 1212 21 xx y por tanto 21 22 xx entonces 21 xfxf y por lo

tanto se ha demostrado que la función cumple con la definición de creciente.

23

2

-2

5

Gráfica de f x =2x+1

Ejemplo 3

Por último, considerar la función kxf donde k es una constante, ésta es la única

función que es creciente y decreciente a lo largo de intervalo , , obsérvese que

cumple ambas definiciones, su gráfica no es ascendente ni descendente.

4

2

Gráfica de f x =k

1.9 FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS Ahora abordaremos un concepto que tiene que ver con la discontinuidad o ruptura de las gráficas de una función, cuando una función no está definida en un valor, esto puede ocasionar una ruptura en su gráfica y en este caso se dice que la función es discontinua. Existen funciones sin ninguna discontinuidad, con una única discontinuidad, con un número finito de discontinuidades, con un número infinito de discontinuidades e incluso existen funciones que son discontinuas a lo largo de todo el eje real. El tema de continuidad es tan amplio y complejo que el cálculo infinitesimal dedica un gran porcentaje de su estudio a la continuidad. Podríamos pensar que un fenómeno siempre es continuo, sin embargo no hay nada más erróneo que pensar así, por ejemplo las tarifas de agua que el gobierno cobra a los usuarios no es siempre proporcional al consumo, mientras más agua se consume el

24

costo aumenta en proporción y esto provoca en los modelos matemáticos macroeconómicos (funciones) una discontinuidad; también lo mismo ocurre con la energía eléctrica, recordemos que el costo de cualquier otro producto al menudeo o mayoreo reduce proporcionalmente el precio a pagar. Pero también en los fenómenos físicos, químicos o biológicos, ocurren las discontinuidades, recordemos que cuando en un recipiente la presión aumenta y llega a su límite de resistencia se produce un salto que hace que el volumen se incremente sin límite, como el típico caso de la olla express en la cocina. Albert Einstein descubrió que cuando una partícula viaja a una velocidad cercana a la de la luz su masa se hace infinita. Ejemplo 1

Consideremos la función x

xf1

. Nótese que en su gráfica conforme “x” es cercana a

cero por valores negativos, la función tiende a menos infinito ( ) y cuando “x” es cercana a cero por valores positivos la función tiende a más infinito ( ) , éste es un ejemplo de función que tiene una única ruptura o discontinuidad en el valor cero.

2

-2

-4

5

Gráfica de f x =1

x

Ejemplo 2

Consideremos ahora la función

entero es no Si 2

entero es Si 1

x

xxf

La gráfica de la función presenta un número infinito de roturas o discontinuidades de hecho la función es discontinua en todos los números enteros.

25

50 Si

5010 Si

100 Si

5.1

2

x

x

x

x

x

x

xf

Por último, consideremos el siguiente problema y ejemplo: Supóngase que un laboratorio fabrica y vende un líquido al menudeo, al medio y al mayoreo de acuerdo a la siguiente tarifa, hasta diez litros (menudeo) el precio por litro es de $2.00, entre diez y cincuenta litros (medio) el precio es de $1.50, y cincuenta o más litros (mayoreo) es de $1.00 por litro, si construimos la función que cuantifica el precio a pagar al comprar x litros será:

1.10 FUNCIÓN INVERSA Para comprender este concepto de función inversa, considérese la función f, definida por la ecuación;

)1(32 xxfy

Cuyo domino y rango es el conjunto de los números reales. Al despejar x de la

ecuación (1) se obtiene;

)2(2

3

yx

26

La ecuación (2) define otra función cuyo dominio es el rango de xf y cuyo rango es el

dominio de xf .

Es decir, si a la ecuación (1) se le asigna el valor 4x el valor de "" y es:

11383424 fy .

La ecuación (2) efectúa la operación inversa, es decir, que al valor 11y ,le asigna el

valor de 42

8

2

311

x

La variable independiente por lo general es ""x , la dependiente es "" y .

Se puede intercambiar ""x por "" y en la ecuación (2) y obtener,

32

3

xy

A la función (2) ó (3) se le conoce como la inversa de la función xf definida por (1) y

se le representa por xf 1 de la misma forma, la función (1) es la inversa de la función

(2). Esto es

132 xxfy ; 32

31

xxfy

Las graficas de xf y xf 1 se representan en el mismo plano cartesiano

4

2

5

h x = x

g x = x-3

2

f x = 2x+3

En la gráfica se observa algo importante; que la función original y su inversa están

simétricamente distribuidas con respecto a la recta xxf .

Definición;

Si BAf : una función biyectiva, la función ABf :1 , donde xxff ,1 se

llama inversa de f .

Considérese el siguiente ejemplo:

Sea f una función determinada por los puntos 16,4,9,3,4,2,1,1 . Obtener los

puntos de la función que son simétricos respecto a xxh ; represéntelos en el plano

cartesiano.

27

Solución: el conjunto f representa una función, ya que a cada elemento del dominio le

corresponde uno y sólo uno del contradominio

4,3,2,1A

Y su imagen o rango es el conjunto,

16,9,4,1B

Como no se ha especificado el codominio de f , podemos suponer que éste coincide

con la imagen del dominio por lo que la función es suprayectiva. A cada par de elementos diferentes del dominio les corresponde respectivamente imágenes diferentes, por lo tanto, la función es inyectiva. Como f es inyectiva y suprayectiva, entonces es

biyectiva y existe la función 1f

En las parejas de la función inversa 1f se han intercambiado sus elementos.

Los puntos determinados por la función inversa son 4,16,3,9,2,4,1,1

La representación gráfica de f y 1f es

A B

1

2

3

4

1

4

9

16

Es función porque a cada elemento

del dominio le corresponde uno del

contradominio.

Se observa que es uno a uno o

inyectiva y suprayectiva porque la

imagen es igual al contradomino

28

6

4

2

5

q x = x2+2

h x = x

g x = x-2

Obsérvese que los puntos que los forman son simétricos con respecto a la recta

xy cuyo ángulo de inclinación es de 45°.

Otro ejemplo:

Determine si existe la función inversa xg 1 a la función 22 xxg , (Considerando su

dominio como ,0: xgdom y su rango como ,2: xgrango .

En caso de existir obtenga su dominio e imagen de la función inversa. Grafique xg 1

con respecto a xg utilizando la función xxf como eje de simetría.

Hagamos 22 xyxg despejamos a x para obtener la función inversa

yx

xgyx

xy

xy

2

obtener para por a Cambiamos

2

2

1

2

6

4

2

5

g x = x-2

Esto implica que xg 1 y es una función con

,2: 1 xgdom

,0: xgrango

Y la regla de correspondencia 21 xxg

biyectiva es entonces vasuprayectiy inyectiva sePor

va,suprayecti es también que lopor , de codomino al igual

es de rango ely 1; a 1 es que ya inyectiva,función una Es

nio.contradomi del uno sóloy uno correponde le

dominio del elemento cada a porque x defunción es

g

g

xg

29

GUÍA DE ESTUDIO DE FUNCIONES Escribe en el paréntesis la letra que corresponda a la respuesta correcta.

1. ( ) Dados dos conjuntos 41/xBy 3,2,1 xA los puntos que

satisfacen la relación ycon xcumplen que y /, ByAxyxR son:

a) 2,3,1,3,1,2R

b) 3,3,2,2,1,1R

c) 3,3,32,1,3,2,2,1,2,1,1R

d) 4,3,4,2,3,2,4,1,3,1,2,1R

2. ( ) Relaciona cada gráfica con el producto cruz correspondiente:

Producto Cruz Gráfica

1. 4,4,3,3,2,2,1,1BA a.

4

2

-2

-5 5

2. 2/,, xyyxBA b.

4

2

-2

-4

-5 5

3. 2/,, xyZZyxBA c.

4

2

-2

-5 5

30

d.

4

2

-2

-5 5

a) 1.c; 2.b; 3.d

b) 1.d; 2.c; 3.b

c) 1.a;2.c; 3.b

d) 1.d;2.c;3.b

3. ( ) La palabra que falta para completar la siguiente definición es:

Una __________es toda relación que a cada elemento del dominio le

corresponde uno y sólo uno del contradominio

a) Relación

b) Regla de Correspondencia

c) Función

d) Producto Cartesiano

4. ( ) La palabra que falta para completar la siguiente definición es:

Una _________es un subconjunto del producto cartesiano de AXB, de tal forma que los elementos que componen las parejas ordenadas satisfacen una regla de correspondencia.

a) Relación

b) Contradominio

c) Función

d) Producto Cartesiano

5. ( ) Relaciona cada definición con su concepto correspondiente:

Definición Concepto

1. En una relación es el conjunto formado por los primeros elementos de las parejas ordenadas del producto cartesiano.

a. Contradominio

2. La forma en que se asocian los elementos para formar las

parejas ordenadas n una

relación recibe el nombre de:

b. Dominio

3. Conjunto formado por los segundos elementos de las parejas ordenadas de un producto cruz.

c. Imagen

d. Regla de correspondencia

a) 1.b;2.d;3.b

31

b) 1.a;2.c;3.b

c) 1.c; 2.b;3.a

d) 1.b;2.c;3.a

6. ( ) Elige las características que cumple la siguiente función:

La función 0743 23 yxx , que al graficarla se observa como: 4

2

-2

2 31-3 -2 -1

-3

-1

3

1

Elige las características que cumple la siguiente función:

I. Es una función creciente en el intervalo 1,0

II. Es continua en todos los reales. III. Es una función explícita. IV. Es una función algebraica. V. Es una función trascendente. VI. Es una función discontinua

VII. Es una función decreciente en el intervalo 1,0

VIII. Es una función implícita.

a) I,II,III, y IV

b) II, IV, VII y VIII

c) II,III,V y VII

d) II,III,IV,VII

7. ( ) Relaciona cada definición con su concepto correspondiente:

Definición Concepto

1. Una función _______________

es aquella que se obtiene

combinando un número finito la

variable “x” y constantes reales

por medio de operaciones

algebraicas de suma, resta,

multiplicación, división o

potenciación.

a. Creciente

2. f es ________________en

(a,b) si para todo

baxx ,y 21 donde

b. Algebraica

32

21 xx entonces )( )( 21 xfxf

3. Las funciones

_______________ son aquellas

que cuya variable se encuentra

involucrada con expresiones

trigonométricas, logarítmicas o

exponenciales

c. Decreciente

d. Trascendente

a) 1.d;2.c;3.b

b) 1.d;2.a;3.b

c) 1.b;2.a;3.b

d) 1.b;2.c;3.d

8. ( ) Elige las características que cumple la siguiente función:

La función xyyyx 372 2 , que al graficarla se observa como:

10

5

-5

-10

10-5 -4 -3 -2 -1 54321

Elige las características que cumple la siguiente función:

I. Es una función creciente en el intervalo 3,1

II. Es una función decreciente en el intervalo 3,1

III. Es una función continua en el intervalo 3,1

IV. Es una función discontinua en el intervalo 3,1

V. Es una función explícita. VI. Es una función implícita VII. Es una función algebraica. VIII. Es una función trascendente.

a) I,III,V y VIII

33

b) I,III, V y VII

c) II, IV, VI y VII

d) II,IV,V y VIII

9. ( ) Elige las características que cumple la siguiente función:

La función

x

exf

x

3

2

, que al graficarla se observa como:

10

5

-5

-10

10-5 -4 -3 -2 -1 54321

Elige las características que cumple la siguiente función:

I. Es una función creciente en el intervalo 3,1

II. Es una función decreciente en el intervalo 3,1

III. Es una función continua en todos los reales IV. Es una función discontinua en todos los reales V. Es una función explícita VI. Es una función implícita VII. Es una función algebraica. VIII. Es una función trascendente.

a) I,IV,V y VIII

b) I,III, VI y VII

c) II, IV, VI y VII

d) II,III,V y VIII

34

10. ( ) Con base en la gráfica de f(x) que a continuación se muestra, el rango de la función es el conjunto.

10

5

-5

10-5 -4 -3 -2 -1 54321

a) 0,

b) ,0

c) ,7

d) ,

11. ( )

Determina el dominio de la función 12

1)(

2

xxxf

a) ,34,fD

b) ,43,fD

c) ,44,33,fD

d) ,33,44,fD

12 ( ) Determina el dominio de la función

25)( 2 xxf

a) ,55,fD

b) ,55,fD

c) 5,5fD

d) 5,5fD

35

13. ( ) Determina el dominio de la función

4013

1)(

2

xxxf

a) ,85,fD

b) ,58,fD

c) ,88,55,fD

d) ,55,88,fD

14. ( ) Determina la imagen de la función x

xf

5

2)(

a) ,55,fI

b) ,00,fI

c) ,fI

d) 2,5fI

15. ( ) Determina la imagen de la función 24

23)(

x

xxf

a)

,

2

1

2

1,fI

b) ,00,fI

c) ,fI

d)

,

2

1

2

1,fI

16. ( ) Con base en la gráfica de f(x) que a continuación se muestra, el rango de la función es el conjunto

10

5

-5

-10 10

a) ,22,fR

b) ,11,fR

c) ,fR

d) ,21,fR

36

17. ( ) Identifica cuál de los siguientes gráficos corresponde a una función de x.

a)

5

-5

b) 10

5

-5

c)

5

-5

d)

5

-5

37

18. ( ) Identifica cuál de los siguientes gráficos corresponde a una función de x.

a)

5

-5

b) 4

2

-2

-4

5

c)

10

5

-5

d)

2

-2

38

19. ( ) Identifica cuál de los siguientes diagramas sagitales corresponde a una función.

a)

b)

c)

Venecia

Sonora

Kansas

Puebla

Roma

E. Unidos

Brasil

México

Italia

Chicago

Berlín

Sinaloa

Washington

San Petersburgo

Río de Janeiro

E. Unidos

Brasil

México

Alemania

Italia

Rusia

Italia

Rusia

México

China

Brasil

Puebla Begin

Moscú

San Petersburgo

Shanghái

Brasilia

Contradominio

B

Dominio

A

Dominio

A

Contradominio

B

Dominio

A

Contradominio

B

Moscú

Egipto

Roma

Begin

39

d)

20. ( ) Identifica cuál de los siguientes diagramas sagitales corresponde a una función.

a)

b)

c)

Usumacinta

Volga

Si

Colorado

Amarillo

Amazonas

E. Unidos

Brasil

México

China

Italia

Rusia

Contradominio

B

Dominio

A

Dominio

A

Nilo

Usumacinta

Bravo

Colorado

Amarillo

Amazonas

E. Unidos

Brasil

México

China

Italia

Contradominio

B

Usumacinta

Volga

Colorado

Amarillo

Amazonas

E. Unidos

Brasil

México

China

Nilo

Dominio A Contradominio B

Egipto

Venecia

Sonora

Kansas

Puebla

París

E. Unidos

Brasil

México

Italia

Chicago

Dominio

A

Contradominio

B

Egipto

40

d)

21. ( ) La gráfica de la función

3)( xxf es:

a) 4

2

-2

-3

-1

3

1

-4 -3 -2 -1 321

b)

5

4

2

-2

-3

-1

3

1

-3 -2 -1 4321

Volga

Rusia

Colorado

E. Unidos

Usumacinta

México

Amarillo

China

Amazonas

Brasil

Dominio

A

Contradominio

B

41

c)

5

6

4

2

-2

-1

3

1

-3 -2-1 4321

d)

4

2

-2

-1

3

1

-4 -3 -2 -1 4321

22. ( ) La gráfica de la función

22)( xxf es:

a)

2

-2

-4

-3

-1

3

1

-4 -3 -2 -1 21

42

b)

2

-2

-4

-3

-1

3

1

-4 -3 -2 -1 21

c)

4

2

-2

-3

-1

3

1

-4 -3 -2 -1 21

d)

4

2

-2

-1

3

1

-4 -3-2 -1

3

21

43

23. ( ) La gráfica de la función

xxf 3)( es:

a) 2

-2

-4

-6

-8

-10

-5 5

-3

-3 3-2 -1 2

1

1

b) 2

-2

-4

-6

-5 5

-3

-3 3-2 -1 2

1

1

c) 4

2

-2

-4

-6

-8

-5 5

3

3-3 -2 -1 2

1

1

d)

8

6

4

2

-2

-5 5

1

3

-3 3-2 -1 2

1

1

44

24. ( ) La expresión algebraica de la función que representa a la gráfica es: 8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-5 5

-3

-1

1

3

-3 3-2 -1 2

1

1

a) 22)(3 xxf

b) 22)(3 xxf

c) 22)(3 xxf

d) 22)(3 xxf

25. ( ) La expresión algebraica de la función que representa a la gráfica es:

-5 5 10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-3

-1

1

3

-3 3-2 -1 21

a) 21)( xxf

b) 21)( xxf

c) 21)( xxf

d) 21)( xxf

26. ( ) La función inversa de x

xxf

2

34)(

es:

a)

3

24)(1

x

xxf

45

b)

3

24)(1

x

xxf

c)

x

xxf

24

3)(1

d)

x

xxf

24

3)(1

27. ( ) Relaciona cada definición con su concepto correspondiente:

Definición Concepto

1. Las funciones ___________son

aquellas en las cuales su rango

o imagen es igual al

contradomino.

a. Inyectivas

2. Las funciones _________son

uno a uno y suprayectivas. b. Polinomiales

3. Las funciones

_______________ son aquellas

a cada elemento del dominio le

corresponde uno y uno sólo del

contradominio y viceversa.

c. Suprayectivas

d. Biyectivas

a) 1.a;2c;3.d

b) 1.c;2.a;3.d

c) 1.c;2.d;3.a

d) 1.d;2.c;3.a

28. ( ) La función inversa de

43)( xxfes:

a)

3

4)(

21

xxf

b)

3

4)(

21

x

xf

c)

3

4)(

21

x

xf

d)

3

4)(

21 x

xf

46

29. ( ) La gráfica que representa a la función inversa de la siguiente función es:

-5 5 10

8

6

4

2

-2

-4

-3

-1

1

3

-3 3-2 -1 21

a)

-5

6

4

2

-2

-4

2-3 -2 3

-3

3

-1

1

-1 1

b)

5

6

4

2

-2

-4

3

-3

3

2-1

1

-1 1

c)

-5

6

4

2

-2

-4

2-3 -2 3

-3

3

-1

1

-1 1

47

d)

-5 5

6

4

2

-2

-4

2-3 -2 3

-3

3

-1

1

-1 1

30. ( ) La gráfica que representa a la función inversa de la siguiente función es:

a)

-5 5

6

4

2

-2

-4

2-3 -2 3

-3

3

-1

1

-1 1

b)

-5 5

6

4

2

-2

-4

2-3 -2 3

-3

3

-1

1

-1 1

48

c)

-5

6

4

2

-2

-4

2-3 -2 3

-3

3

-1

1

-1 1

d)

-5

6

4

2

-2

-4

2-3 -2 3

-3

3

-1

1

-1 1

49

Respuestas Correctas a los ejercicios de Funciones.

No. de

Ejercicio

Respuesta Correcta

1. a

2. b

3. c

4. a

5. d

6. b

7. d

8. c

9. a

10. b

11. c

12. a

13. a

14. b

15. d

16. b

17. b

18. b

19. c

20. d

21. a

22. b

23. c

24. d

25. a

26. b

27. c

28. a

29. b

30. c

50

UNIDAD II

TRIGONOMETRÍA Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

INTRODUCCIÓN

Para medir distancias entre planetas, medir la profundidad de océanos, calcular

superficies de países, modelar fenómenos periódicos se utiliza la medición indirecta la

cual consiste en determinar medidas de cantidades desconocidas a partir de medidas

conocidas. Es en Grecia donde nace una rama muy importante de las matemáticas

llamada trigonometría cuyo significado etimológico es trigóno) “triángulo” +

( metron ) “medida”. La trigonometría estudia los triángulos y las relaciones de

sus lados y sus ángulos. Tiene numerosas aplicaciones: en astronomía las técnicas de

triangulación son usadas para medir distancias a estrellas próximas, en los sistemas de

navegación, se utilizan los cálculos trigonométricos que se hacen a través de los

satélites, en acústica las gráficas de las funciones trigonométricas se utilizan para

producción musical, etc.

OBJETIVOS

Identificar dos tipos de medida de ángulo, definir las razones trigonométricas en un

triángulo rectángulo y resolver triángulos no rectángulos para calcular perímetros, áreas

y ángulos. Definir las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente y establecer las

relaciones que se dan entre ellas para probar identidades trigonométricas. Determinar el

dominio, el rango y trazar la gráfica correspondiente a cada una de estas funciones.

2.1 DEFINICIONES EN LOS TRIÁNGULOS

Para estudiar los triángulos, es importante recordar algunas de las definiciones básicas

que se usarán a lo largo de la unidad:

Un ángulo es la medida del giro que haría un segmento de recta (lado inicial) para que

coincida con la dirección del otro segmento (lado terminal). Una definición alternativa

sería: es la abertura formada por dos semirectas unidas en un solo punto llamado

vértice.

51

El ángulo comienza en la posición del lado inicial y gira hasta alcanzar su posición

terminal:

Fig. 2.1

Una rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj produce un ángulo

positivo y una rotación en dirección a las manecillas del reloj produce un ángulo

negativo (Fig.2.2)

Fig. 2.2

Un ángulo en un sistema de coordenadas está en posición estándar si su vértice está

en el origen y su lado inicial a lo largo del eje x.

Los ángulos se miden comúnmente en grados o radianes. Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 3600. Un ángulo

formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (10).

Un ángulo llano es un ángulo que mide 1800. Un ángulo recto es un ángulo que mide

900. Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 900. Un ángulo obtuso es un

ángulo que mide mayor de 900 pero menor que 1800. Un ángulo central es un ángulo

cuyo vértice está en el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo.

Lado terminal

Lado inicial

Ángulo

positivo

Lado terminal

Lado inicial

Ángulo negativo

P

Lado

inicial

Lado

terminal

52

ángulo llano ángulo recto ángulo agudo ángulo obtuso ángulo central Fig. 2.3 Dos ángulos positivos son complementarios si su suma es 900.

Dos ángulos son suplementarios si su suma es 1800. Medición en radianes

Si el vértice de un ángulo está en el centro de un círculo de radio r>0, y la longitud del

arco opuesto a en la circunferencia es s, entonces medido en radianes está dado

por:

s

rradianes

s

r Fig. 2.4 Un radián es el tamaño del ángulo central de un círculo que interseca un arco de la

misma longitud que el radio del círculo.

53

Se puede medir en grados y/o en radianes, la equivalencia entre ellos está dada por:

Un radián es el arco subtendido por el radio, un radian es aproximadamente 57.19°.

Ejemplos:

1) Transformar 120° a radianes

Para transformar 120° a radianes se usa la relación de equivalencia y una regla

de tres, de donde se tiene que:

2) Transformar 1.25 radianes a grados

Para hacer esta transformación se usa la relación de equivalencia y una regla de

tres, de donde se tiene que:

3) Transformar radianes a grados.

Para transformar radianes a grados se usa la relación de equivalencia y una regla

de tres, de donde se tiene que:

Ejercicios:

1.1. Relaciona las columnas estableciendo la equivalencia de radianes a grados y

viceversa

1) 65° A)

2) B)252°

3) 39° C)

54

4) D)225°

5) 400° E)

1.2. La medida angular equivale en grados a:

A) 15° B) 75° C) 1° D) 36° 1.3. En radianes, 56° equivale a:

A) B) C) D)

2.2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

En un triángulo rectángulo uno de los ángulos mide 90° y los otros dos son agudos y

complementarios. El lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa y los otros

dos lados se denominan catetos. El cateto adyacente es el que se encuentra formando

el ángulo y el cateto opuesto es el lado restante, es decir no forma parte del ángulo

y es opuesto a éste.

Fig. 2. 5

Observa el siguiente triángulo:

Fig. 2.6

b

c

a

Cateto

opuesto a

Hipotenusa

Cateto adyacente a

α

55

En la siguiente tabla se definen las razones trigonométricas con respecto a la figura

anterior

Tabla 2.1

Se debe tomar en cuenta que las razones trigonométricas están definidas de esta forma,

pero se debe verificar respecto a cuál de los ángulos agudos se refieren ya que

dependiendo de esto es el orden de los catetos que se debe seguir. Si en un triángulo

rectángulo se observa que los ángulos son complementarios se tienen,

entonces, las siguientes igualdades:

De acuerdo a las definiciones anteriores se pueden establecer las siguientes

equivalencias, que son conocidas como las razones trigonométricas reciprocas.

Tabla 2.2

Estas equivalencias son útiles porque en la calculadora solo están programadas las

razones trigonométricas directas: seno, coseno y tangente.

Ejemplo 1:

Las razones trigonométricas anteriores se pueden utilizar para determinar las razones

para los ángulos de 30°, 60° y 45°.

Los triángulos de la figura 2.7 son equilátero de lados 1 e isósceles rectángulo de lados

iguales a 1 respectivamente. La altura del triángulo equilátero y la hipotenusa del

isósceles se calculan usando el Teorema de Pitágoras.

56

Fig. 2.7

Los valores de las razones trigonométricas de los ángulos de 30°, 60° y 45° se escriben

en la tabla siguiente:

Tabla 2.3

Observa que

Ejemplo 2:

Las razones trigonométricas para el ángulo serían:

0.87 0.5

Tabla 2.4

Ejercicios:

2.1. Si el valor de la , encuentra el valor del

A) B) C) D)

2.2. Si el valor de la , encuentra el valor del

60

1 1

1

1

60°

30°

0

45°

57

A) B) C) D)

2.3. Si el valor de la , encuentra el valor de la

A) B) C) D)

2.4. Si el valor de la , encuentra el valor del

A) B) C) D)

2.5. Si el valor de la , encuentra el valor de la

A) B) C) D)

2.6. Encuentra el valor de que resuelva la ecuación , en el

intervalo

A) 60º, 240º B) 60º, 120º C) 30º, 150º D) 60º, 300º

2.7. Encuentra el valor de que resuelva la ecuación , en el intervalo

A) 167.5º, 121.5º B) 90º, 180º C) 60º, 120º D) 22.5º, 112.5º

2.8. Encuentra el valor de x que resuelva la ecuación , en el intervalo

A) B) C) D)

2.9. En el siguiente triángulo, la longitud de la hipotenusa, se obtiene:

A) B) C) D)

0 , 360o o 0 , 180o o sec 2 0x 0, 2 2 4

,3 3

5,

6 3

10,

6 9

10,

9 9

58

8

10

6

2.10. Considerando a un punto sobre el lado terminal de un ángulo (agudo

respecto a la horizontal) en posición estándar. ¿Cuál es el valor de ?

A) B) C) D)

2.11. Un señor de estatura metros proyecta una sombra que mide la mitad de su

estatura. La expresión que permite encontrar el ángulo que forman los rayos

solares con el suelo es:

A) B) C) D)

2.12. ¿Cuál es el valor de la razón trigonométrica ?

A) B) C) D)

2.13. En la figura siguiente, el valor de la razón trigonométrica que da como resultado

el valor corresponde a:

A)

B)

C)

D)

2.14. En el triángulo, el valor de θ está dado por:

A)

B)

C)

D)

59

16

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

-25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25

(-24,-10)

2.15. Indica cuál de las siguientes afirmaciones es correcta para el ángulo θ mostrado en la figura:

A)

B)

C)

D)

2.16. Si el valor de la , encuentra el valor del seno de su ángulo complementario

A) B) C) D)

2.17. Si el valor de la , encuentra el valor del coseno de su ángulo

complementario

A) B) C) D)

2.18. Si el valor de la , encuentra el valor de la secante de su ángulo

complementario

A) B) C) D)

2.19. Si el valor de la , encuentra el valor de la cosecante de su ángulo

complementario

A) B) C) D)

2.20. Si el valor de la , encuentra el valor de la cotangente de su ángulo

complementario

60

A) B) C) D)

2.3 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Una identidad trigonométrica es la igualdad entre expresiones algebraicas que se

verifica numéricamente para cualquier valor de alguna variable de las tantas que

intervienen. En el caso de las funciones trigonométricas, estas se pueden relacionar de

tal forma que establezcan identidades:

Es conocida como la identidad Pitagórica

Y de esta se desprenden:

Identidades de cociente:

Identidades de suma y diferencia de ángulos

Identidades trigonométricas de ángulos dobles

Recomendaciones para la justificación de estas identidades trigonométricas

61

En general para justificar la validez de una identidad trigonométrica, se dan a continuación algunas recomendaciones:

En una identidad trigonométrica siempre podemos identificar dos miembros de ella, por lo que en general es recomendable empezar a desarrollar el miembro más complejo de ella.

Es útil escribir el lado que vamos a desarrollar únicamente en términos de senos y cosenos (aunque es posible escribirlo también en términos de secantes y cosecantes).

Si es necesario hay que realizar sumas y restas de fracciones, en otras ocasiones, es conveniente factorizar las expresiones trigonométricas involucradas en la identidad trigonométrica para poder simplificarla a otra expresión más conveniente.

Siempre es útil tener en mente la expresión a la que queremos llegar, ya que de esta forma podemos encaminar las operaciones efectuadas con este fin.

No hay una regla infalible para justificar una identidad trigonométrica, pero si una identidad es válida, es muy probable que los intentos que realicemos para justificarla, siempre nos lleven por un buen camino, es decir, los desarrollos que realicemos se aproximarán cada vez más a la expresión original.

De no ser cierta la identidad trigonométrica, se notará en el proceso ya que la expresión no se parecerá a la otra a la inicial. De ser así, es conveniente buscar un contra ejemplo, por lo que basta verificar la identidad con algunos valores concretos, si no se cumple para alguno de ellos, eso probará que la identidad trigonométrica planteada no es válida.

Finalmente, recuerda que una identidad trigonométrica no es una ecuación, por lo que el objetivo no es despejar el ángulo, sino desarrollar uno de los miembros y convertirlo en el otro miembro. Por lo mismo no es válido sumar o restar en los dos lados de la identidad alguna cantidad, ya que ello cambiaría completamente el sentido de la identidad que queremos justificar.

Ejemplos:

Tomando en cuenta la identidad pitagórica y las relaciones

directas entre las razones trigonométricas, verificar las siguientes identidades:

1.

Usando y operando el lado izquierdo de la igualdad se tiene que:

62

Por lo que se concluye que que es lo que se quería demostrar.

2.

Se inicia por el lado derecho, usando la igualdad se tiene

Por lo que que es lo que se quería demostrar.

Ejercicios:

3.1. Tomando en cuenta la identidad pitagórica y las relaciones directas entre las

razones trigonométricas, muestra por medio de manipulaciones algebraicas que se

cumplen las siguientes identidades:

Tabla 2.5

3.2. Calcula el valor de la expresión

A) B) C) 1 D)

3.3. Calcula el valor de la expresión

A) 3 B) C) D) 1

3.4. Calcula el valor de la expresión

63

A) 1 B) C) D)

2.4 TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS:

Observa los triángulos siguientes:

Fig. 2.8

.

Como puedes observar, los últimos dos no son rectángulos. Para poder resolver este

tipo de triángulos es necesario usar la ley de senos y la ley de cosenos.

LEY DE SENOS LEY DE COSENOS

APLICACIONES APLICACIONES

Cuando se conocen dos lados y

un ángulo opuesto a uno de ellos

Cuando se conocen dos lados y

el ángulo formado entre ellos

Triángulo oblicuángulo Triángulo acutángulo Triángulo rectángulo

C

b

A

a b

C

a

c B

a

B A

b

B A

c

C

c

64

Cuando se conocen dos ángulos

y cualquier lado

Cuando se conocen tres lados

Tabla 2.6

Ejemplo 1.

Clara realiza un paseo en bote por un lago. La ruta que toma se muestra en la figura

Fig. 2.9

¿Cuál es la distancia del criadero al faro?

En la figura 2.9 que representa el recorrido que hizo Clara se observa un triangulo

oblicuángulo, por lo que para encontrar la distancia del criadero al faro usamos la ley de

cosenos

Encontramos que

Finalmente la distancia desde el origen es

Ejemplo 2.

Encontrar el valor del ángulo β del siguiente triángulo expresado en términos de las

variables m y n.

Fig. 2.10

55° β

m n

Embarcadero

Criadero de truchas

5km

Far

o

3k

m

60°

65

Si comparamos el triángulo anterior con el de la figura 2.2 notamos que para encontrar

el valor del ángulo β es necesario usar la Ley de los senos que relaciona ángulos con

lados, de esta forma tenemos que:

Por lo que el ángulo queda expresado como:

Ejercicios:

4.1. Para el triángulo mostrado, el valor de es:

A) B)

C)

D)

4.2. ¿Cuál de los siguientes triángulos se resuelve exclusivamente con la Ley de cosenos?

A)

B)

66

x13

65°

80°

C)

D)

4.3. Para conocer el ángulo C del triángulo mostrado, debe emplearse

A ) Ley de Cosenos B) Ley de Senos

C) Teorema de Pitágoras D) Teorema de Tales

4.4. La sustitución adecuada para obtener la medida del lado x en el triángulo de la figura, es:

A)

B)

C)

D)

67

x

715

4.5. La sustitución adecuada para obtener la medida del lado x en el triángulo de la

figura, es:

A)

B)

C)

D)

4.6. Indica cuál es la expresión para obtener el valor del ángulo A, del triángulo que se

muestra en la figura.

A) A=

B) A= B

C) A= C A

D) A=

4.7. Indica cuál es la expresión para calcular el valor del ángulo C, del triángulo que se muestra en la figura.

A) C=

B) C= B

C) C= C A

D) C=

4.8. Indica cuál es la expresión para encontrar el valor del ángulo B, del triángulo que se muestra en la figura.

A) B=

B) B= B

C) B= C A

D) B=

2.5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

La circunferencia unitaria

La Circunferencia unitaria (o Goniométrica) está representada por la figura 2.11

68

Fig. 2.11 Esta es una circunferencia con centro en (0,0) y radio 1, definido en el plano cartesiano y que resulta de gran ayuda para obtener el valor de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo. Podemos observar que cualquier punto sobre la circunferencia unitaria determina un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es 1. (Ver Fig. 2.12)

Fig. 2.12 En el primer cuadrante los triángulos pueden estar formados por ángulos menores a 90°, en caso de un ángulo mayor a 90° se toma el triángulo generado con el eje horizontal y el cateto perpendicular por lo que uno de los ángulos será complementario al ángulo original. Como existe exactamente un punto para cualquier ángulo ,

las relaciones y son funciones de . Analicemos con mayor profundidad estas y otras funciones trigonométricas. Función seno

1

P(x) 1

69

En la tabla de abajo se escriben los valores de obtenidos de algunos valores

de (Sólo múltiplos de

-1

1

0

-1

0

Tabla 2.6

Paso 1:Para trazar la gráfica de se trazan los puntos de la

tabla 2.6 :

Fig.2.13

Paso 2: si estos puntos se unen con una curva suave, se observa una grafica como la

siguiente:

Fig. 2.14 trazo de la función f(x)= sen x

0

1

-1

0

70

De donde se observa:

A) El periodo es 2

B) El dominio es el conjunto de los números reales.

C) El rango está comprendido en el intervalo

D) Las intersecciones con el eje x se localizan en donde n es un entero.

E) Los valores máximos son y ocurren cuando es entero.

F) Los valores mínimos son y ocurren cuando es entero.

Función coseno Realizamos lo mismo que se hizo para la función anterior pero ahora con

0

0

-1

0

1

Tabla 2.7

Fig. 2.15

La gráfica de la función coseno, se observa en la figura:

0

1

-1

71

Fig. 2.16 trazo de f(x)= cos x

Si observamos la grafica podemos determinar algunas propiedades de la función

coseno:

A) El periodo es 2

B) El dominio es el conjunto de los números reales

C) El rango está comprendido en el intervalo

D) Las intersecciones con el eje x se localizan en donde n es un entero

E) Los valores máximos son y ocurren cuando es entero par

F) Los valores mínimos son y ocurren cuando es entero impar.

Además de las funciones anteriores, las otras cuatro funciones trigonométricas también pueden definirse usando el círculo unitario, pero hay que tener cuidado con la división entre cero que no está bien definida. Debido a esto, existen varios valores de ángulos que se tienen que excluir del dominio de las funciones cosecante, secante, tangente y cotangente. Función tangente:

En la tabla de abajo escribe los valores de obtenidos de algunos valores de

(Sólo múltiplos de

72

Si realizaste con cuidado los cálculos, obtendrás una gráfica como la siguiente:

Fig. 2.17 trazo de f(x)= tan x

Ejercicio 1:

5.1. Completa los siguientes enunciados:

Dominio:

Rango:

Imagen:

Asíntotas:

Periodo:

Intersecciones:

Valores máximos:

Valores mínimos:

Ejemplo 2:

Utiliza el círculo unitario para encontrar los valores de las seis funciones trigonométricas

para el ángulo de 135°.

73

Como el ángulo de 135° está entre 90° y 180°, el lado terminal está en el segundo

cuadrante por lo que el ángulo de referencia es 180°-135°=45°.

Fig. 2.18

El lado terminal de un ángulo de 45° interseca al círculo unitario en el punto de

coordenadas porque la coordenada en es negativa y la coordenada en es

positiva por estar el lado terminal en el segundo cuadrante.

De esta forma,

=

y al racionalizar el denominador se obtiene

Procediendo igual que con la cosecante se obtiene que =-

= = =-1 =

Ejercicios:

5.2. Con el triángulo 30º, 60º, 90º y el círculo trigonométrico, calcula el valor de la

.

135°

74

A) B) C) D)

5.3. Con el triángulo 30º, 60º, 90º y el círculo trigonométrico, calcula el valor de

.

A) B) C) D)

5.4. Con el triángulo 30º, 60º, 90º y el círculo trigonométrico, calcula el valor de la

.

A) B) C) 2 D)

5.5. Con el triángulo 30º, 60º, 90º y el círculo trigonométrico, calcula el valor de la

.

A) B) C) 2 D)

5.6. Con el triángulo 45º, 45º, 90º, calcular el

A) B) C) D)

5.7. Con el triángulo 45º, 45º, 90º y el círculo trigonométrico, calcular la

A) B) -1 C) D)

5.8. Con el círculo trigonométrico, calcular el

A) -1 B) 0 C) ∞ D) 1

75

5.9. La ecuación que representa a la gráfica mostrada, es:

A)

B)

C)

D)

5.10. La función trigonométrica representada por la gráfica,

5.11. es: A)

B)

C)

D)

5.12. Una función senoidal de amplitud 2 y periodo igual a corresponde a:

A) B)

C D)

76

5.12. En el cuarto cuadrante sólo son positivas las funciones:

A)

tangente y seno

B)

coseno y secante

C)

tangente y

cotangente

D)

coseno y cosecante

5.13. ¿A cuál de las siguientes funciones corresponde la gráfica que se muestra?

A) B) C) D)

5.14. ¿Cuál de las siguientes gráficas muestra ?

A)

B)

C)

D)

77

REFERENCIAS ELECTRÓNICAS SUGERIDAS DE CONSUTA:

http://www.matematicasenp.unam.mx

http://www.dmae.upct.es/~pepemar/mateprimero/trigonometria/raztrgisuma.htm

http://www.dmae.upct.es/~pepemar/mateprimero/trigonometria/raztridoble.htm

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS:

EJERCICIO INCISO SOLUCIÓN EJERCICIO INCISO SOLUCIÓN

1.1 Relación columnas 3.2 C

1.2 B 3.3 D

1.3 A 3.4 A

2.1 C 4.1 C

2.2 A 4.2 A

2.3 D 4.3 B

2.4 B 4.4 B

2.5 A 4.5 A

2.6 C 4.6 C

2.7 D 4.7 C

2.8 A 4.8 C

2.9 A 5.1 Propiedades

2.10 B 5.2 B

2.11 C 5.3 B

2.12 D 5.4 C

2.13 C 5.5 C

2.14 B 5.6 C

2.15 A 5.7 D

2.16 C 5.8 A

2.17 B 5.9 B

2.18 D 5.10 C

2.19 A 5.11 A

2.20 C 5.12 B

3.1 identidades 5.13 C

5.14 A

78

Unidad III.

Función exponencial y logarítmica

Las funciones exponenciales y logarítmicas son muy importantes en las matemáticas.

Muchos fenómenos naturales y sociales se comportan mediante crecimientos o

decrecimientos, que se pueden modelar como funciones exponenciales.

Ejemplos de este tipo de comportamiento se encuentran en: el cálculo del interés

compuesto en las finanzas, la desintegración de sustancias radiactivas en la física, en

estudios de crecimiento demográfico, en la economía, el crecimiento de micro

organismos en biología, la depreciación de artículos comerciales, etcétera.

Hablar de funciones exponenciales, nos obliga a pensar en exponentes.

Recordemos lo siguiente:

1

2

3

4

veces

x

x

a a

a a a

a a a a

a a a a a

a a a a a a

Si llamamos y al resultado de 2x podemos escribir 2xy .En este caso el exponente x

es la variable independiente y la potencia 2x es la variable dependiente. Esto lo

simbolizamos como: ( )y f x .

Por lo tanto

1(1) 2 2y f

2(2) 2 4y f

3(3) 2 8y f

4(4) 2 16y f

( ) 2xy f x

79

Ahora pensemos en la operación inversa, es decir, 32 2x aquí lo que se plantea es la

pregunta: ¿Cuál es el valor del exponente para obtener 32? De forma simbólica para

expresar esto, escribimos 2log 32x , en otras palabras: ¿Cuál es el exponente al que

se debe elevar la base 2 para obtener 32? La respuesta es 5x , por lo tanto

2log 32 5 .

Observa que en la expresión 1

2( ) logx f y y la y es ahora la variable independiente

y x es la variable dependiente, es decir:

1

2(2) log 2 1x f

1

2(4) log 4 2x f

1

2(8) log 8 3x f

1

2(16) log 16 4x f

1

2logx f y y

En general podemos concluir que las funciones 1( ) 2xx f x y 1

2logx f y y son

inversas una de la otra.

Así, para cada función exponencial existe una función logarítmica. Si

( ) 3xx f x entonces existe 1

3logx f y y

Considerando todo lo anterior, podemos dar las siguientes definiciones: Una función exponencial de base a está definida como:

f : ℝ → ℝ+

con ( ) xy f x a donde a es un número positivo diferente de 1.

Una función logarítmica de base a está definida como:

1f : ℝ+ → ℝ

con 1( ) log ( )af y y

80

Un ejemplo donde se utiliza este tipo de funciones es el siguiente:

En un salón de clases una alumna se enferma de gripe y contagia en una semana a

cuatro de sus compañeros. A la siguiente semana ascienden a 16 las personas

enfermas. A las 3 semanas el virus ha atacado a 64 personas de la escuela. Escribir un

modelo exponencial que describa el contagio.

Podemos empezar a realizar una tabla para presentar la información:

x 0 1 2 3

y 1 4 16 64

Si x es el tiempo en semanas, y el número de personas contagiadas podemos observar

que la función que nos modela esta situación es: 4xy .

81

3.1 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL

La gráfica de una función exponencial puede ser creciente o decreciente según el valor

que tenga la base a. Ésta puede ser mayor o menor que la unidad.

Ejemplo

Graficar ( ) 2xf x y y 1

( )2

x

g x y

Construimos la siguiente tabla de valores:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

( ) 2xf x y 1

8

1

4

1

2 1 2 4 8

1( )

2

x

g x y

8 4 2 1 1

2

1

4

1

8

Las gráficas que se obtienen a partir de estos valores se muestran en las figuras 1 y 2.

Figura 1

Figura 2

Observa como la gráfica de la función ( ) 2xf x y el valor de y crece rápidamente

cuando los valores de x crecen, y en la gráfica de la función 1

( )2

x

g x y

el valor de

y decrece rápidamente cuando el valor de x crece.

82

En general, si tenemos una función de la forma xy a con0 1a la función será

decreciente en todo su dominio y con 1a la función será creciente.

Las gráficas de las funciones exponenciales son continuas, cortan al eje y en el punto

(0,1) cuando xf x a , y tienen por asíntota al eje x (es decir se aproximan a dicho eje

sin llegar a tocarlo).

Ejemplo

Trazar la gráfica de 3

2

x

g x y

y 3xf x y

Construyendo la tabla de valores correspondientes:

x -2 -1 0 1 2 3 4

3xf x 1

9

1

3 1 3 9 27 81

3

2

x

g x

4

9

2

3 1

3

2

9

4

27

8

81

16

Trazamos las gráficas que se observan en la figura 3.

Figura 3

En este ejemplo se observa que si 1 a b entoncesx xa b para valores positivos de

x , y x xb a para valores negativos de x .

83

3.2 DESPLAZAMIENTO DE GRÁFICAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES.

Tracemos las gráficas de 3xy , 23xy , 3 2xy . Al igual que lo hemos hecho en

secciones anteriores, construimos una tabla de valores.

x -2 -1 0 1 2 3

3xy 1

9

1

3 1 3 9 27

23xy 1

81

1

27

1

9

1

3 1 3

3 2xy 17

9

5

3 -1 1 7 25

Con los valores de la tabla, construimos las gráficas que se muestran en la figura 4.

Figura 4

Si observamos las gráficas con detenimiento, podemos ver que la función 23xy tiene

un desplazamiento con respecto a 3xy de dos unidades a la derecha. Podemos

concluir entonces, que cuando al argumento de la función exponencial se le suma o

resta una constante, la gráfica de la función se desplaza sobre el eje x. Si la constante

se suma, entonces el desplazamiento de la gráfica será en el sentido negativo del eje,

es decir, se desplaza hacia la izquierda. Por el contrario, si la constante se resta,

entonces el desplazamiento será en el sentido positivo o hacia la derecha del eje.

La función 3 2xy tiene un desplazamiento con respecto a 3xy de 2 unidades hacia

abajo y el punto de intersección con el eje y está en (0, -1) y su asíntota es la recta

84

2y . Esto nos indica que, cuando sumamos o restamos una constante a la función,

su gráfica se desplaza a lo largo del eje y. Si la constante es positiva, entonces el

desplazamiento será hacia arriba del eje, mientras que si la constante es negativa, el

desplazamiento será hacia abajo.

3.3 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL QUE

CUMPLE CON LAS CONDICIONES DADAS

Ejemplo

Encuentra la función exponencial de la forma xy ba c que cumpla con: su asíntota

horizontal es la recta 2y , su intersección con el eje y es el punto (0,16) y su

intersección con el eje x es el punto (2,0).

Solución

De acuerdo con las gráficas analizadas anteriormente, sabemos que es una función

decreciente porque el exponente es negativo y entonces la base es de la

forma1 1

x

xa a

.También observamos que si tiene una asíntota diferente del eje x,

entonces 2c . Por lo tanto, la función debe ser de la forma:

12

x

y ba

Sabemos que su intersección con el eje y es el punto (0,16). Entonces, sustituyendo el

punto en la función obtenemos:

01

16 2ba

y al resolver para b nos queda:

01

16 2

16 1 2

16 2

16 2

18

ba

b

b

b

b

85

Con ello tenemos quela función debe ser 1

18 2

x

ya

. Por último, para determinar el

valor de la base, sabemos que la intersección con el eje x es (2,0).Entonces,

sustituyendo tenemos: 2

2

2

2

2

2

2

2

10 18 2

10 18 2

10 18 2

12 18

2 18

18

2

9

9

3

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Por lo tanto, la función que nos piden queda como:

118 2

3

x

y

ó 18 3 2x

y

Para comprobar tracemos la gráfica. Para ello, construimos la tabla de valores:

x -1 0 1 2 3 4

18 3 2x

y

52 16 4 0 36

27

144

81

Con la cual construimos la gráfica 5.

86

Figura 5

Ejercicios

Traza la grafica de las siguientes funciones para los casos cuando 2a y 1

2a .

1) xy a

2) xy a

3) 3 xy a

4) 3xy a

5) 3xy a

6) xy a

7) 3xy a

8) 3xy a

Traza la grafica de:

1) 2

5

x

y

2) 8 4 2x

y

3) 3 9xy

Relaciona cada función con su gráfica:

1) 5

22

x

y

2) 1 1

2 4

x

y

87

3) 2

2 33

x

y

4) 3

4 12

x

y

En la función exponencial xy ba c que valor deben tener a, b, c para que se cumplan

las siguientes condiciones:

1) Su intersección con el eje y sea en (0,1) y sea una función creciente.

2) Su asíntota sea la recta y=1 y sea una función decreciente.

3) Su asíntota sea la recta y=-3, su intersección con el eje x sea (-1,0), la

intersección con el eje y sea (0,-1) y sea decreciente.

3.4 MODELOS EXPONENCIALES

Cuando analizamos un conjunto de datos con cantidades que crecen o disminuyen

podemos determinar si la situación es factible de modelarse con una función

exponencial.

En una función exponencial, la base b es el factor en que crece o decrecen las

cantidades.

Ejemplos

88

1.- Estudios nos revelan que la vitamina C contenida en los jugos de cítricos se oxida

rápidamente, por lo que hay que consumirlos en seguida. Si un cuarto de litro de jugo de

naranja contiene 200 mg de vitamina C y ésta se oxida en un 6.25% cada minuto,

¿cuántos miligramos de vitamina habrán en el jugo si lo consumes después de 35

minutos de su elaboración?

Solución

Transcurrido el primer minuto tenemos: 200 200 0.0625 200 1 0.0625 mg de

vitamina C.

Transcurrido el segundo minuto, tenemos de vitamina C

2 2

200 1 0.0625 200 1 0.0625 0.0625 200 1 0.0625 200 0.9375 mg.

Si seguimos calculando cada minuto podemos observar que en general la función

exponencial que nos modela este problema es de la forma 200 0.9375x

y , por lo que

después de transcurridos 35 minutos tendremos: 35

200 0.9375 20.894 mg de vitamina

C.

2.- Un cultivo de 10 mil bacterias disminuye por efecto de un antibiótico, como muestra

la tabla:

Horas 1 2 3 4

Bacterias 9500 9025 8574 8145

a) Escribe un modelo para esta situación y calcula cuántas bacterias estarán vivas

cuando han transcurrido 24 horas.

b) ¿En qué porcentaje disminuye la población de bacterias cada hora?

c) ¿Cuántas sobreviven después de una semana?

Solución

Para obtener la base de la función exponencial, que es el factor con el que crece o

decrece la función, obtenemos el cociente de9025 9500 0.95 .Por tanto,

0.95b .Entonces, el modelo debe ser: 10000(0.95)xy . Cuando han transcurrido las 24

horas, el número de bacterias vivas será: 2410000(0.95) 2919 .

89

El porcentaje en el que disminuye la población de bacterias es del 5% porque sobrevive

el 0.95 = 95%.

Para determinar cuántas sobreviven después de una semana, obtenemos el equivalente

de los 7 días en horas: 7 24 168 . Sustituyendo en la función, 16810000(0.95) 1.8y es

decir, sobreviven 1 o 2 bacterias.

Ejercicios

1) En una ciudad de 9000 habitantes se esparce un rumor de modo que cada hora

se duplica la cantidad de personas que se enteran del mismo. ¿Cuántas

personas conocerán el rumor en 12 horas? Escribe el modelo para esta situación.

2) En América latina la deforestación avanza a un ritmo de 0.75% anual. Si en

México actualmente hay aproximadamente 3000 hectáreas de bosque. ¿Cuántas

hectáreas se perderán en 3 años? Escribe el modelo para esta situación.

3.5 FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL

La función exponencial con base e, xy e se denomina función exponencial natural.

Si graficamos las funciones 4 xy e y 4 xy e (figuras 6 y 7) podemos observar que

cumplen con las características de las funciones exponenciales que vimos

anteriormente.

Figura 6

Figura 7

Figura 6

90

Sorprendentemente el número e aparece con frecuencia en fenómenos de todo tipo, por

ejemplo para modelar la desintegración radiactiva de algunos elementos químicos, en el

cálculo del interés compuesto continuo entre otros.

3.6 ECUACIONES EXPONENCIALES

Exponentes

Frecuentemente hemos manejado expresiones algebraicas con términos del tipo nx , en

donde x es una variable llamada base y n es constante llamada exponente. Si

intercambiamos la base y el exponente, obtendremos una expresión de la forma xa , en

donde la base a es constante y el exponente x es variable dicha expresión se llama una

función exponencial.

PROPIEDADES EXPONENCIALES Ejemplos

a

n

n veces

a a a a

3 2 2 2 2 8

0 1 a 0 a

03 1

1a a

14 4

2 a a

2 4 4 2

m n m na a a 3 2 3 2 5

5

2 2 2 2

=(2 2 2)(2 2) 2

( ) m n m na a 3 2 3 2 6

3 3 6

(2 ) 2 2

=(2 )(2 ) (2 2 2)(2 2 2)=2

( )n n na b a b 2 2 2(2 3) 2

=(2 3)(2 3) (2 2)(3 3)

b

1 n

na

a

3

3

1 12

2 8

n n

n

a a

b b

22 2 2 2 2

=3 3 3 3 3

m

m n

n

aa

a

3

3 2

2

2 22

1

n na a

1

5 52 2

m

n m na a

6

62 23 3

91

Ejemplos

1.-

22 3

4 1 2

( )

( )

a b

a b

26 3

8 2

a b

a b

22 5a b

4 10a b

2.-

3 5

3

3 4 3

a b

a

b

a b

3 5

3

4

13

a b

ab

a b

2 2

4

13

a b

a b

2

3a b

3.-4 2 3 1

3 4 2

( )

( )

ab a b

a b

21

2 32

6 8

a b a b

a b

13

2

6 8

a b

a b

15

92a b

115 2

92a b

15 9

4 2a b

Una ecuación exponencial es aquella en donde la variable aparece en el exponente,

como por ejemplo: 5 2 23 9x x , 2 22 16x x .Para resolver este tipo de ecuaciones

aplicaremos propiedades de las funciones exponenciales que nos permiten obtener el

valor de la variable:

Ejemplo

Resolver la ecuación 5 2 23 9x x

Solución

Primero igualamos en ambos miembros la base 2

5 2 23 3x

x

Aplicamos propiedades de los exponentes y nos queda 2 45 23 3

xx

Igualamos los exponentes por la propiedad de función exponencial biunívoca

5 2 2 4x x

Resolviendo la ecuación obtenemos que 2x

92

Observa que la solución de este tipo de ecuaciones depende del hecho de que la base

pueda igualarse. Por ahora consideremos sólo ecuaciones exponenciales de este tipo,

posteriormente resolveremos ecuaciones más generales.

Ejercicios

Resuelve las siguientes ecuaciones:

1) 6 3 47 7x x

2)

61

22

x

3) 3 44 8x x

3.7 LOGARITMOS

En general, si xy f x a , entonces 1 logax f y y . Esta relación la expresamos

de manera más simple como xy a y logax y , siendo funciones inversas una de la

otra. Esto nos lleva a establecer la siguiente relación:

Exponencial Logaritmo

na r log ar n

Ejemplo

Expresa laforma exponencial en forma logarítmica:

3

2

3

3

2 8 log 8 3

1 13 = log 3

27 27

Da el resultado de los siguientes logaritmos

a) 2log 8 x

93

Solución

Si expresamos el logaritmo en forma exponencial obtendremos 82 x . De aquí que si

multiplicamos 2 tres veces obtendremos por resultado el número 8.

b) 2log 64 x

Solución

Si expresamos el logaritmo en forma exponencial obtendremos 642 x . De aquí que si

multiplicamos 2 seis veces obtendremos por resultado el número 64.

c) 3log 1 x

Solución

Si expresamos el logaritmo en forma exponencial obtendremos 13 x . De aquí que la

única posibilidad que tenemos de solución es que sea 0. Recordemos que cualquier

número, distinto de 0, que sea elevado a la potencia 0 es igual a la unidad.

d) x125log5

Solución

Si expresamos el logaritmo en forma exponencial obtendremos 1255 x . De aquí que si

multiplicamos 5 tres veces obtendremos por resultado el número 125.

Ejercicios

1.- Determina las cantidades que hacen que se cumplan las siguientes relaciones:

Forma logarítmica Forma exponencial

5log 2u

25 u

log 8 3b

3 8b

log p q r

rp q

35 2 logz x

5 23 z x

94

Existen dos tipos de logaritmos que son muy usados en la práctica, los logaritmos

comunes cuya base es el número 10 y los logaritmos naturales de base e y se denotan

como: 10log logx x y log lne x x

Para los logaritmos en cualquier base es importante recordar las siguientes

propiedades:

1) log 1 0a porque 0 1a . Ejemplo: 3log 1 0 ( 03 1 )

2) log 1a a porque 1a a . Ejemplo: 3log 3 1 ( 13 3 )

3) log x

a a x porque x xa a . Ejemplo: 3

2 2log 8 log 2 3 ( 3 32 2 )

4) loga x

a x porque si logay x luego yx a sustituyendo loga x

x a

PROPIEDADES DE LOGARITMOS

EJEMPLOS

log log log a a axy x y

2 2 2log 4(8) log 4 log 8 2 3 5

log log log a a a

xx y

y

2 2 2

8log log 8 log 4 3 2 1

4

log log n

a ax n x

3

2 2log 2 3log 2 3(1) 3

log log m

na a

mx x

n

3

22 2

3 3log 4 log 4 (2) 3

2 2

Ejemplos

1.- Obtener valor de x

6 2

5 1(16)

8

x

x

Solución

Si representamos los número 16 y 8 como 16=42 , 8=

32

95

6 2

4 5

3

1(2 )

2

x

x

Aplicando las propiedades de los exponentes ( )m n m na a y simplificando

4(5 ) 3 6 22 (2 )x x

20 4 18 62 2x x

Con base igual, los exponentes se igualan

20 4 18 6x x

Despejando la variable x

20 18 6 4x x

38 10x

38

10

19

5

x

x

2.-Resolver 2

2 2log (25 ) log (5 ) 3x x

Empleando las propiedades de logaritmos:

2

2

(25 )log 3

(5 )

x

x

En el numerador se factoriza la diferencia de cuadrados

2

(5 )(5 )log 3

(5 )

x x

x

Reduciendo los términos

2log (5 ) 3x

El logaritmo se expresa en forma exponencial

96

32 (5 )x

despejando la variable x

32 5

8 5

3

x

x

x

3.- Resolver 2 2 2log (5 ) log 4(5 ) log 2(5 ) 5x x x

Aplicando las propiedades de los logaritmos

2

(5 )4(5 )log 5

2(5 )

x x

x

simplificando el cociente

2log 2(5 ) 5x

el logaritmo se expresa en forma exponencial

52 2(5 )x

despejando la variable x

52 10 2x

52 10 2x

52 10

2x

realizando la operación 52 32

97

32 10

2

22

2

11

x

x

x

Ejemplos I.- Hallar el valor de la variable que se pide.

1) Si 2log 128x , hallar la variable x.

Solución

Si transformamos la relación dada a su forma exponencial equivalente tendremos

2 128

7

x

x

.

2) Si 1

log 416

b , hallar la base del logaritmo (b).

Solución

Si tenemos la relación exponencial

4 1

16b

4

4

1

16b

4 4

1

2b

1

2b

3) Si 3log 2y , hallar la variable y .

Solución

Si la forma exponencial equivalente es

23 y

444

1

16b

98

2

2

13

3y

1

9y

II.- Encuentra la función inversa de las siguientes funciones.

1) 3 xf x y

Solución

3log y x

3( 1) log ( 1)( )y x

3log y x

Entonces haciendo el cambio de variable de y por x tenemos

3log x y

Por lo que la función inversa es

1

3logf x x

2) 110xg x y

Solución

10log 1y x .

10log 1y x

Entonces haciendo el cambio de variable de y por x tenemos

10log 1x y

Por lo que la función inversa es

1

10log 1g x x

3) 10

1logh x y

x

Solución

110y

x

despejando x

10 1yx

1

10yx

99

Entonces haciendo el cambio de variable de y por x tenemos

1

10xy

Por lo que la función inversa es

1 1

10xh x

III.- Encuentra el valor de x

1) log log 2 3log 2 log 4b b b bx

Solución

Como la base de los logaritmos es b y el número al que se aplica el logaritmo es 2 se puede sumar los coeficientes:

log 4log 2 log 4b b bx

También podemos escribir 2log 4 como log 2b b

2log 4log 2 log 2b b bx

log 4log 2 2log 2b b bx

se reduce:

2

log 4

log 2log 2

log log 2

log log 4

4

b

b b

b b

b b

x

x

x

b x

x

.

2) 3 3 3log 2log 3 3log 9 2x

Solución

2

3 3 3

3 3

log 2log 3 3log 3 2

2log 3 3(2) log 3 2

x

100

3 32log 3 6log 3 2

38log 3 2

8(1) 2

8 2

6 lo expresamos en forma exponencial obtenemos

63

729

x

x

3.8 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Para obtener la gráfica de una función logarítmica, graficamos la función exponencial y

aplicamos las propiedades de la función inversa para obtener la función logarítmica.

Ejemplo

Obtener la gráfica de la función 2( ) log 1f x x .

Sabemos que la inversa es 1( ) 2xg x , vamos a trazar la gráfica de 1( ) 2xg x (figura 6) y

luego la reflejamos en la línea ( )h x x (figura 7) lo cual nos da la gráfica de

2( ) log 1f x x mostrada en la figura 8.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

1( ) 2xg x 1

4

1

2 1 2 4 8 16

Figura 7

101

Figura 8

Figura 9

Para 2( ) log 1f x x tenemos:

x 1

4

1

2 1 2 4 8 16

2( ) log 1f x x -3 -2 -1 0 1 2 3

Figura 10

Ejercicios

Obtener la gráfica de las siguientes funciones.

1) 2( ) log 2f x x

102

2) 2( ) log ( 1)g x x

3) 2( ) logh x x

Relaciona cada función con su grafica:

1) 2log 1y x

2) 2logy x

3) 2log ( 1)y x

3.9 DESPLAZAMIENTO DE GRAFICAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS.

Tracemos la gráfica de lnf x x , ln 2g x x , ln 2h x x . Con ayuda de

una tabla de logaritmos, o con una calculadora electrónica, construimos la tabla de

valores correspondiente.

x 1 2 3 10 12 14

( )f x 0 0.6931 1.0986 2.3026 2.4849 2.6391

( )g x No existe No está 0 2.0794 2.3026 2.4849

103

definido

( )h x -2 -1.3069 -0.9014 0.3026 0.4849 0.6391

Con los valores obtenidos, construimos las gráficas que se muestran en la figura 12.

Figura 11

Observando con detenimiento, nos podemos dar cuenta que la gráfica de ( )h x se ha

desplazado dos unidades hacia abajo con respecto a ( )f x . Recuerda que, cuando

sumamos o restamos una constante a la función, su gráfica se desplaza a lo largo del

eje y. Si la constante es positiva, entonces el desplazamiento será hacia arriba del eje,

mientras que si la constante es negativa, el desplazamiento será hacia abajo.

Por otra parte, la gráfica de ( )g x se ha desplazado hacia la derecha 2 unidades con

respecto a la gráfica de ( )f x . Podemos concluir entonces, que cuando al argumento de

la función logaritmo se le suma o resta una constante, la gráfica de la función se

desplaza sobre el eje x. Si la constante se suma, entonces el desplazamiento de la

gráfica será en el sentido negativo del eje, es decir, se desplaza hacia la izquierda. Por

el contrario, si la constante se resta, entonces el desplazamiento será en el sentido

positivo o hacia la derecha del eje. Otro hecho notable aquí, es que observamos que

( )g x no existe antes de x = 2, e inmediatamente después de este punto, la gráfica

surge desde “el valor más negativo de y”. Por esta razón decimos que en x = 2, la

función “tiende a menos infinito” y se representa como f x . La recta x=2, es

entonces, una asíntota vertical de ( )g x . Para el caso de ( )f x y ( )h x , la asíntota vertical

es el propio eje y, o bien la recta x = 0.

Ejercicios

1.- Relaciona la función con las condiciones que se dan:

104

a) ( ) ln( 3)f x x

b) ( ) ln(3 )g x x

c) ( ) ln( 3)h x x

d) ( ) ln( 3)j x x

1) Su intersección con el eje x sea (4,0) y es una función creciente. 2) Su asíntota es la recta x=-3 y es una función decreciente. 3) Su asíntota es la recta x= 3 y es una función creciente. 4) Su asíntota es la recta x=3 y es una función decreciente.

2.- Encuentra la función inversa

1) 2xy b

2) 22 xy b

3) 45xy

4) 2 13 xy

3.- Aplicando las propiedades logarítmicas reduce las siguientes ecuaciones.

1)2

3 1

2log 2logb b

xx x

x

2) 3 2 1

3 1

2 2 2log log

x xx x

x

3.10 APLICACIONES DE LOGARITMOS

Generalmente, cuando se realiza la comparación entre dos cantidades, y el resultado de

dicha comparación puede comprender cantidades muy pequeñas o muy grandes, se

acostumbra emplear el logaritmo en base 10 para obtener cantidades más o menos

similares al realizar esta operación. De esta manera, se ha podido definir el Bel como:

cantidad 2Bel log

cantidad 1

Entonces, cuando empleamos este tipo de escalas, decimos que las cantidades que

expresan siempre son relativas a la cantidad con la que se está haciendo la

comparación.

105

Ejemplos

1.- El oído humano sano es capaz de apenas percibir como un sonido una onda de

presión con una frecuencia de 1000 Hz y una amplitud efectiva de 0.000 020 Pa. Es

posible que se sufra un daño auditivo si al oído se le presenta una onda de presión con

una frecuencia de 1000 Hz y una amplitud efectiva de 20 Pa. ¿Qué relación de Beles

hay entre estas dos cantidades?

Solución

Aplicando la definición de Bel:

20log 6

0.000020

Lo que significa que hay una relación de 6 órdenes de magnitud entre estas dos

cantidades.

2.- Si se toma como referencia la presión mínima que puede percibir el oído, ¿a cuántos

Beles correspondería dicha presión? ¿A cuántos Beles correspondería la presión que

puede ocasionar daño auditivo?

Solución

Nuevamente, aplicando la definición de Bel para la presión apenas perceptible:

0.000020log log1 0 Beles

0.000020

Y para la presión que puede causar daño:

1

6

5

20 2 10log log log10 6 Beles

0.000002 2 10

Ejercicios

1.- El nivel de presión sonora (NPS) expresado en decibeles de presión sonora (dB SPL)

se define como:

106

Presión acústica eficaz

NPS dB SPL 20log Presión de referencia eficaz

Si la presión de referencia es 620 10 Pa, determina la cantidad de dB SPL que

corresponden a:

i) 1 Pa

ii) 0.02 Pa

Direcciones electrónicas para el tema de exponentes y logaritmos

http://puemac.matem.unam.mx/recursos/exponencial/html/index.html

http://www.interactiva.matem.unam.mx/

http://tutormatematicas.com/ALG/Solucion_ecuaciones_exponenciales_logaritmicas.html

http://www.aulafacil.com/matematicas-logaritmos-ecuaciones-exponenciales/curso/Lecc-

6.htm

http://facultad.bayamon.inter.edu/edavila/PRECALCULO%20%20ARCHIVOS/ECUACIO

NES%20Y%20FUNCIONES%20LOGARITMICAS.htm

Ejercicios de exponentes y logaritmos en línea

http://dcb.fi-

c.unam.mx/CoordinacionesAcademicas/Matematicas/CapsulasAntecedentes/Ecuacione

s_logaritmicas_2.pdf

http://www.vitutor.com/al/log/l_e.html

107

Bibliografía: López, Antonio et al., Relaciones y Geometría Analítica. México, Alhambra Bachiller, 1993. Dolciani , Mary P.et al., Álgebra moderna y Trigonometría 2. México, Publicaciones Cultural , 1991 Guerra, Manuel y Silvia Figueroa, Geometría Analitica para bachillerato. México, Mcgraw-Hill, 1994. Swokowski, Earl, Introducción al Calculo con Geometría analitica. México, Grupo Iberoamérica, 1994. Ruiz Basto Joaquín, Geometría Analítica. Ed. Publicaciones Culturales.