Guía Matemática Discreta
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8/18/2019 Guía Matemática Discreta
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Guia de Ejercicios II: Inducción MatemáticaEstructuras Discretas, 2016
En cada uno de los ejercicios debe justificar su respuesta.
Ejercicio 1 Demuestre las siguientes igualdades:
•
n
i=11
i(i+1) = n
n+1
•
n
i=1(2i − 1)3 = n2(2n2 − 1)
•
n
i=1 i(2)i = 2 + (n − 1)2n+1
•
n
i=1 i(i!) = (n + 1)! − 1
Ejercicio 2 Demuestre que para todo n ∈ Z+, n > 3, se tiene que 2n < n!.
Ejercicio 3 Demuestre que para todo n ∈ Z+, se tiene que n3 + 2n es divisible por 3.
Ejercicio 4 Para n ∈ Z+, sea P (n) la proposici´ on abierta
n
i=1
i = (n + (1/2))2
2 .
Demuestre que para cualquier k ∈ Z+, la verdad de P (k) implica la verdad de P (k + 1). ¿Es cierto P (n) para todo n ∈ Z+?
Ejercicio 5 Considere las seis igualdades siguientes
12 + 02 = 12 32 + 42 = 52 52 + 122 = 132
72 + 242 = 252 92 + 402 = 412 112 + 602 = 612
Conjeture la f´ ormula general sugerida por estas seis ecuaciones y demuéstrela.
Ejercicio 6 La sucesi´ on de n´ umeros a1, a2, . . . , an,... se define como a1 = 1, a2 = 2, an =an−1 + an−2 para n ≥ 3.
• Calcule los valores para a3, a4, a5, a6 y a7.
• Demuestre que para todo n ∈ Z+, se tiene que an < (7/4)n.
Ejercicio 7 Considere la sucesi´ on de los n´ umeros de Fibonacci F 0, F 1, . . . , F n, . . . definida
como F 0 = 0, F 1 = 1 y F n = F n−1 + F n−2 para n ∈ Z+ con n ≥ 2. Demuestre que para todon ∈ Z+, se tiene lo siguiente:
• F n−1F n+1 = F 2n
+ (−1)n.
• Sea m ∈ Z+. Si m divide a n, entonces F m divide a F n.
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