Matemática discreta: Listas de Ejercicios Propuestos

Matemática Discreta para InformáticosEjercicios propuestos

Rafael Caballero Roldán

Teresa Hortalá González

Narciso Martí Oliet

Susana Nieva Soto

Antonio Pareja Lora

Mario Rodríguez Artalejo

Departamento de Sistemas Informáticos y ComputaciónUniversidad Complutense de Madrid

P({∅})

(

nm

)

N

INDUCCIÓN Y RECURSIÓN

CAPÍTULO

11

1.1. PREGUNTAS DE TEST

1.1. ¿Cuál de estas tres sucesiones recursivas está bien definida?

(a) s0 = 3; sn = 2sn+2 (n ≥ 1)

(b) s0 = 3; s1 = 5; sn+2 = sn+1 − sn (n ≥ 0)

(c) s0 = 3; sn+2 = sn+1 − sn (n ≥ 0)


(a) s1 = 3; s2 = 5; sn = 3sn−1 − 2sn−2 (n ≥ 3)

(b) s1 = 0; sn = 3sn−1 + 15sn−2 (n ≥ 3)

(c) s1 = 0; s2 = 12; sn = 3n − 7 (n ≥ 1)


(a) s1 = 13; s2 = 8; sn = 6sn−1 − 12sn−2 (n ≥ 3)

(b) s1 = 5; sn = 3sn−1 + 15sn−2 (n ≥ 3)

(c) s1 = 0; s2 = 12; sn = 13n − 7 (n ≥ 1)

1.4. De las tres definiciones de la funciónf : N −→ N, ¿cuál es una definición recursiva correcta?

(a) f (0) = 0; f (2n) = 4 f (n) (n ≥ 1); f (2n + 1) = 4 f (n) + 3 (n ≥ 0)

(b) f (0) = 0; f (n) = 3 f (n − 1) + 2 f (n − 2) (n ≥ 2)

(c) f (0) = 0; f (n) = 3 f (n − 2) (n ≥ 2)

1.5. Sea f una función definida como sigue:f (0) = 0, f (1) = 1 y f (n) = 5 f (n − 1) − 6 f (n − 2) paran ≥ 2. Para cualquiern ≥ 0 se cumple:

(a) f (n) = 2n − 1 (b) f (n) = 3n − 2n (c) f (n) = 3n − 1

2 Matemática Discreta para Informáticos

1.6. Sea f una función definida de la siguiente forma:f (1) = 3, f (2) = 5 y f (n) = 3 f (n − 1) − 2 f (n − 2)

paran ≥ 3. Para cualquiern ≥ 1 se cumple:

(a) f (n) = 2n − 1 (b) f (n) = 2n + 1 (c) f (n) = 2n + 1

1.7. Dada una función,f , definida recursivamente porf (0) = 0, f (1) = 1 y f (n) = f (n − 2) paran ≥ 2,¿cuál de las expresiones siguientes equivale a la anterior definición recursiva, para todon ∈ N?

(a)n mod2 (b)n! − 1 (c)n div 2

1.8. La función f se define como:f (0) = 0 y f (n) = 2 f (n−1)+1 paran ≥ 1. Para todon ∈ N, f (n) vale:

(a) 2n + 1 (b) 2n − 1 (c) 2n + 1

1.2. EJERCICIOS

1.9. Demuestra que sin personas, donden ≥ 2, están en una cola de forma que la primera persona en lacola es una mujer y la última es un hombre, en alguna posición de la cola hay una mujer inmediatamentedelante de un hombre.

1.10. Pablo Patrañas afirma que puede demostrar por inducción la afirmación siguiente:

“En cualquier grupo den personas(n ≥ 1) todas tienen la misma edad”.

Su razonamiento es el siguiente:

Caso base: Es evidente que en un grupo de una persona todas tienen la misma edad.

Paso inductivo: Supongamos [HI] que en los grupos dek personas todas tienen la misma edad. Dadoun grupo dek + 1 personas quitamos (por ejemplo) a Luis y, por HI, tendremosk personas de lamisma edad. Luego añadimos a Luis y quitamos a Antonio; de nuevo, por HI, tendremosk personasde la misma edad. De aquí deducimos que todas las personas delgrupo tienen la misma edad.

¿En qué falla el razonamiento del amigo Patrañas?

1.11. Demuestra quen rectas distintas que pasen por un mismo punto dividen al plano en 2n regiones.

1.12. Demuestra por inducción que, para todon ≥ 0,n∑

i=1(4i − 3) = n(2n− 1). ¿Qué tipo de inducción hay que

utilizar? ¿Por qué?

1.13. Demuestra que, para todon ≥ 0, se cumple: 2+ 4 + · · · + 2n = n(n + 1).

1.14. Demuestra que, para todon ≥ 0, se cumple: 1+ 2 + 22 + · · · + 2n = 2n+1 − 1.

1.15. El k-ésimonúmero armónicose define comoHk = 11 + 1

2 + · · · + 1k . Demuestra que para todon ≥ 0 se

cumple:H2n ≥ 1 + n2 .

1.16. Demuestra que, para todo número naturaln ≥ 0 y para todo número reala ∈ R tal quea > −1, secumple:(1 + a)n ≥ 1 + na.

Inducción y recursión 3

1.17. Demuestra que, para todon ≥ 1, se cumple que la suma de losn primeros números impares positivos esn2.

1.18. Encuentra el valor apropiado,n0 ∈ N, para la base de una inducción y demuestra que, para todon ≥ n0,se cumple que 2n < n!.

1.19. Demuestra que, para todon ≥ 2, se cumplen! < nn.

1.20. Demuestra que, para todon ∈ N, se cumple:n < 2n.

1.21. Demuestra que, para todon ≥ 2, se cumple:n2 > n + 1.

1.22. Demuestra que, para todon ≥ 2, se cumple: 2n+1 < 3n.

1.23. Encuentra el menor natural,n, a partir del cual la desigualdad 2n > 2n+1 es válida. Justifica el resultadorazonando por inducción.

1.24. Encuentra el menor número natural,n, a partir del cual la desigualdad 2n > n2 es válida. Justifica elresultado razonando por inducción y usando el resultado delejercicio 1.23.

1.25. Demuestra que, para todon ≥ 2, se cumple

1

n + 1+

1

n + 2+ · · · +

1

2n>

13

24.

1.26. Encuentra el valor apropiado para la base de una inducción,n0 ∈ N, y demuestra que, para todon ≥ n0,se verifica:n2 + 6n − 8 > 0.

1.27. Demuestra, utilizando inducción, que para todo entero positivo n se verifica:

1

2n≤

∏ni=1(2i − 1)∏n

i=1 2i.

1.28. Demuestra que cualquier número enteron ≥ 0 puede escribirse de la forma 5a + 7b, cona y b enZ. ¿Secumple esa propiedad para los números enteros negativos?

1.29. Frohstein, Ministro de Economía de Kleinbezirk, decidió imprimir solo billetes de 5 y 6 escrugos, puesen Kleinbezirk no había ningún producto que costase menos de24 escrugos. Frohstein descubrió quebastaba con los billetes de 5 y de 6 escrugos. Demuéstralo.

1.30. Demuestra que, para todon ≥ 14, existena, b ∈ N tales quen = 3a + 8b. Por lo tanto, cualquiermercancía que valga al menos 14 pelotines se puede pagar usando solamente monedas de 3 y 8 pelotines.

1.31. Demuestra que, para todon ≥ 1, se cumple que el producto den números requieren−1 multiplicaciones,independientemente del orden en que se asocien los números para realizar el producto.


1.32. Demuestra que, para todon ≥ 0, se cumple: 12 + 22 + · · · + n2 =n(n + 1)(2n + 1)

6.

1.33. Demuestra que, para todon ≥ 0, se cumple que la suma de los cuadrados de losn primeros números

impares positivos esn(2n − 1)(2n + 1)

3.

1.34. Demuestra que, para todon ≥ 0, se cumple: 13 + 23 + · · · + n3 =(

n(n + 1)

2

)2

.

1.35. Demuestra que, para todon ≥ 0, se cumple: 14 + 24 + · · · + n4 =n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1)

30.

1.36. Demuestra que, para todon ≥ 0, se cumple: 1+ 2 + · · · + n =n(n + 1)

2.

1.37. Demuestra que, para todon ≥ 0, se cumple:

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n · (n + 1) =n(n + 1)(n + 2)

3.

1.38. Demuestra que, para todon ≥ 0, se cumple:

1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + · · · + n · (n + 1) · (n + 2) =n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

4.

1.39. Considera un número natural,m, fijado arbitrariamente. Generalizando la idea de los ejercicios 1.36, 1.37y 1.38, encuentra una ecuación válida de la forma:

n∑

i=1

i (i + 1) · · · (i + m) = ?

y demuestra su validez por inducción sobren.

1.40. Demuestra que, para todon ∈ N, se cumple que:

(1 + · · · + n)2 =n

∑

i=1

i 3.

Pista: En algún punto de la demostración conviene utilizar el resultado del ejercicio 1.36.

1.41. Demuestra que, dados dos números realesa, b ∈ R cona 6= 0 y b 6= 1, la siguiente igualdad se verificapara todon ∈ N:

a + ab+ ab2 + . . . + abn =abn+1 − a

b − 1.

1.42. Conjetura una fórmula que dé explícitamente el valorSn = 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! en función den ydemuestra por inducción que la fórmula es correcta.


1.43. Considera la expresión 2· 21 + 3 · 22 + · · · + (n + 1) · 2n.

(a) Abrevia la suma anterior mediante un sumatorio.

(b) Prueba que el sumatorio del apartado anterior es igual an 2n+1.

1.44. En los siguientes casos calcula, si es posible, los valores des0, s1, s2, s3 y s4; si no es posible, explica porqué es incorrecta la definición recursiva de la sucesiónsn.

(a) s0 = 1; s1 = 1; sn = sn−1 + 2sn−2 paran ≥ 2,

(b) s0 = 1; sn = sn−1 + 2sn−2 paran ≥ 1,

(c) s0 = 0; sn = nsn−1 paran ≥ 1.

1.45. La sucesión de Fibonacciestá formada por los números 0, 1, 1, 2, 3, 5, . . . ; la ley general es que cadatérmino, a partir del tercero, se obtiene como suma de los dosanteriores. Define una función recursivafib : N → N tal que, para todon ∈ N, fib(n) sea eln-ésimo número de Fibonacci.

1.46. Define recursivamente una sucesión de números racionales cuyos dos primeros términos sean 0 y 1, y talque cada término, del tercero en adelante, sea la media aritmética de los dos anteriores.

1.47. Define recursivamente una funciónf : N → {0, 1} que a los números pares les haga corresponder elvalor 0 y a los impares el valor 1.

1.48. Define recursivamente una funcióng : N → {0, 1} que a los números múltiplos de 5 les haga correspon-der el valor 0 y a los que no lo son el valor 1.

1.49. Consideramos la funciónf : N → N, definida como:

f (n) =

0 si n = 0,

1 si n = 1,

f (n − 2) + 4f (n − 1)

n − 1si n ≥ 2.

Demuestra que, para todon ∈ N, f (n) = n2. ¿Qué tipo de inducción hay que utilizar?

1.50. Consideremos las funcionesf, g : N → Z, definidas como:

f (n) =

2 si n = 4f (n − 1) + 3 si n > 4 y f (n − 1) < 2f (n − 1) − 2 si n > 4 y f (n − 1) ≥ 2

g(n) =

0 si n = 4g(n − 1) − 1 si n > 4 y f (n − 1) < 2g(n − 1) + 1 si n > 4 y f (n − 1) ≥ 2

Demuestra que, para cualquiern ∈ N4, se tiene que 2f (n) + 5g(n) = n.

1.51. Utilizando solamente la operación+ (por tanto, no se puede usar la multiplicación ni la exponenciación),define recursivamente una funciónpot : N → N que cumplapot(n) = 2n para todon ∈ N.


1.52. Para cadan ∈ N, seafn = fib(n) el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci, definida recursivamentecomo en el ejercicio 1.45. Demuestra quef3m es un número par para todom ≥ 0.

1.53. Para cadan ∈ N, seafn = fib(n) el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci, definida recursivamentecomo en el ejercicio 1.45. Demuestra quef4m+1 es divisible por 3, para todom ≥ 1.

1.54. Demuestra por inducción que, para todon ≥ 3, la suma de los cuadrados de losn+1 primeros (contandodesde 0) números de Fibonacci es igual afib(n) fib(n+1). Utiliza la definición recursiva del ejercicio 1.45.

1.55. Demuestra por inducción que, para todon ≥ 0, se cumple:fib(n) ≤ n!.

1.56. Seaα la mayor de las dos raíces de la ecuaciónx2 − x − 1 = 0. Usando inducción completa, demuestraque, para todon ≥ 3, se cumplefib(n) > αn−2.

1.57. Usando el principio de inducción, demuestra que la sucesióndefinida recursivamente por:

a2 = 20,

an = 5 · 4n−1 − an−1, paran ≥ 3,

verifica quean = 4 (−1)n + 4n para todon ≥ 2. ¿Es necesario usar inducción completa?

1.58. Considera la sucesiónan definida recursivamente como sigue:

a0 = 2; a1 = 1; an = an−1 + 2an−2, paran ≥ 2.

Usando el principio de inducción completa, demuestra que para todon ∈ N se verifica:

an = 2n + (−1)n.

1.59. Usando el principio de inducción completa, demuestra que lasucesión definida recursivamente por:

s1 = 3; s2 = 5; sn = 3sn−1 − 2sn−2, paran ≥ 3,

verifica quesn = 2n + 1 para todon ≥ 1.

1.60. Usando inducción completa, demuestra que la funcióncuca: N → N definida recursivamente por

cuca(0) = 0

cuca(1) = 1

cuca(n) = 5cuca(n − 1) − 6cuca(n − 2), paran ≥ 2,

cumple quecuca(n) = 3n − 2n para todon ∈ N.

1.61. En los dos apartados que siguen, encuentra una fórmula explícita que sirva para reemplazar la definiciónrecursiva desn y demuestra que es correcta.

(a) s1 = 1; sn = sn−1 + 3, paran ≥ 2,

(b) s1 = 1; sn = n2sn−1, paran ≥ 2.


1.62. Considera la funciónf : N → N, definida recursivamente como sigue:

f (0) = 0,

f (2k) = 4 f (k), para todok ≥ 1,

f (2k + 1) = 4 f (k) + 4k + 1, para todok ≥ 0.

Razona que el planteamiento de la definición cubre todos los casos posibles para el argumento def .Construye una tabla de valores def (n) paran = 0, . . . , 5 y demuestra por inducción completa quef (n) = n2 para todon ∈ N.

1.63. Considera la funcióng : N → N definida recursivamente como sigue, utilizando la funciónf del ejerci-cio 1.62:

g(0) = 1,

g(2k) = f (g(k)), para todok ≥ 1,

g(2k + 1) = 2 f (g(k)), para todok ≥ 0.

Razona que el planteamiento de la definición cubre todos los casos posibles para el argumento deg.Construye una tabla de valores deg(n) paran = 0, . . . , 5 y demuestra por inducción completa queg(n) = 2n para todon ∈ N.

1.64. Suponiendo conocida solamente la funciónsucesor s: N → N, construye definiciones recursivas de lasfunciones suma y producto+, ∗ : N × N → N. Usa recursión sobre el segundo argumento.

1.65. Usando inducción y la definición recursiva de la suma de números naturales construida en el ejerci-cio 1.64, demuestra que:

(a) 0+ m = m, para todom natural.

(b) s(n) + m = s(n + m), para todom, n naturales.

(c) n + m = m + n, para todom, n naturales (conmutatividad de la suma).

1.66. Considera la función recursivalog2 : N1 → N definida por las ecuaciones:

log2(1) = 0,

log2(n) = 1 + log2(n div 2), paran ≥ 2.

Razonando por inducción, demuestra que 2log2(n) ≤ n < 2log2(n)+1 se cumple para todon ≥ 1. Estosignifica quelog2(n) calcula la parte entera del logaritmo den en base 2.

1.67. La funciónlog : N2 × N1 → N se define recursivamente como sigue:

log(b, n) = 0, para 1≤ n < b;log(b, n) = 1 + log(b, n div b), paran ≥ b.

Demuestra por inducción que para todon ≥ 1 se verifica:blog(b,n) ≤ n < blog(b,n)+1. Esto significa quelog(b, n) calcula la parte entera del logaritmo den en baseb.

1.68. Considera la funciónf : N × N → N definida recursivamente por las tres ecuaciones siguientes:

f (0, m) = 0,

f (2k + 1, m) = m + f (2k, m), parak ≥ 0,

f (2k, m) = f (k, m) + f (k, m), parak > 0.

Demuestra por inducción sobren que f (n, m) = nm para todon, m ∈ N.


1.69. Considera la funciónf : N × N → N definida recursivamente por las dos ecuaciones siguientes:

f (0, m) = m,

f (n, m) = f (n − 1, nm), para todon ≥ 1.

(a) Supónm fijado arbitrariamente y calcula razonadamente los valoresde f (n, m) paran = 0, 1, . . . , 5de acuerdo con la definición def .

(b) Conjetura una expresión explícita para el valor def (n, m) y demuestra por inducción sobren quetu conjetura es correcta. Observa en particular qué resultado obtienes paraf (n, 1). ¿Corresponde aalguna función conocida?

1.70. Paran ≥ 0, seasn =n∑

i=1

(

n∑

j =1ai a j

)

, donde losak representan números para todok con 1≤ k ≤ n.

(a) Define esta expresión recursivamente.

(b) Utilizando la definición recursiva, demuestra que para todon ∈ N se cumple quesn =(

n∑

i=1ai

)2

.

P({∅})

(

nm

)

N

TEORÍA DE NÚMEROS

CAPÍTULO

22


2.1. Para todon ≥ 0, el número 5n+1 + 2 · 3n + 1 es divisible pork, siendo

(a)k = 12 (b)k = 21 (c)k = 8

2.2. Para todon ≥ 0, el número 8n − 2n es divisible pork, siendo

(a)k = 4 (b)k = 22 (c)k = 6

2.3. Para todon ≥ 0, el número 5n − 4n − 1 es divisible pork, siendo

(a)k = 16 (b)k = 5 (c)k = 18

2.4. Para todon ≥ 0, el númeron3 + 3n2 + 2n es divisible pork, siendo

(a)k = 15 (b)k = 7 (c)k = 6

2.5. Para todon ≥ 0, el número 11n − 4n es divisible pork, siendo

(a)k = 7 (b)k = 15 (c)k = 19

2.6. Para todon ≥ 0, el número 42n − 1 es divisible pork, siendo

(a)k = 19 (b)k = 15 (c)k = 7

2.7. Dadosa, b ∈ N tales quea | b y a | b + 2, debe cumplirse necesariamente:

(a)a = 1 (b)a = 1 o a = 2 (c)a = 2

2.8. La propiedad 8| n2 − 1 se cumple:

(a) Para todon ∈ N (b) Para todon ∈ N que sea par (c) Para todon ∈ N que sea impar


2.9. El número cuya representación en base 7 es(1010)7 se representa en decimal como:

(a) 530 (b) 727 (c) 350

2.10. La representación en base 3 del número(368)10 es:

(a) (221111)3 (b) (111122)3 (c) (113322)3

2.11. ¿Cuál de los tres números siguientesnoes primo?

(a) 80 363 (b) 80 369 (c) 80 367

2.12. ¿Cuál de los tres números siguientes es primo?

(a) 4 803 (b) 3 803 (c) 3 804

2.13. Seax un número entero tal que 0≤ x ≤ 32, x = 2 enZ/(5) y x = 3 enZ/(4). ¿Cuál de los siguientesnúmerosnopuede serx?

(a) 7 (b) 22 (c) 27

2.14. Dadox ∈ Z tal que 0≤ x ≤ 25,x ≡3 1 y x ≡5 2, necesariamente se cumple:

(a) x = 13 (b)x = 17 (c)x = 7 o x = 22


(a) x = 1 (b) x = 16 (c)x = 6 o x = 21


(a) x = 7 o x = 27 (b)x = 7 o x = 23 (c)x = 22 ox = 27

2.17. Las soluciones de la ecuación9 · x + 4 = 7 enZ/(6) son:

(a) Una:x = 1 (b) Dos:x = 1, x = 3 (c) Tres:x = 1, x = 3, x = 5

2.18. La ecuación9 · x = 6 enZ/(12) tiene:

(a) Una solución (b) Tres soluciones (c) Dos soluciones

2.19. La ecuación3 · x = 2 enZ/(6) admite las soluciones:

(a) x = 9 (b) x = 13 (c) Ninguna

2.20. Las soluciones de la ecuación5 + x = 12 enZ/(5) son:

(a) x = 7 (b) x = 3 (c) x = 4

2.21. La ecuaciónx2 − 5 · x + 6 = 0 enZ/(6) tiene:

(a) 1 solución (b) 3 soluciones (c) 4 soluciones

Teoría de números 11

2.22. La ecuación12 · x + 6 = 9 enZ/(5) tiene como soluciones:

(a) x = 1 (b) x = 4 (c) x = 5

2.23. Las soluciones de la ecuación10 · x + 3 = 9 enZ/(4) son:

(a) Ninguna (b)x = 1 (c) x = 1, x = 3

2.24. La ecuación5 · x = 12 enZ/(13) tiene como soluciones:

(a) x = 1 (b) x = 4 (c) x = 5

2.2. EJERCICIOS

2.25. Demuestra que, para todon ≥ 0, se cumple que 32n + 4n+1 es múltiplo de 5.

2.26. Demuestra que, para todo número naturaln, se cumple que 23n − 1 es divisible entre 7.

2.27. Demuestra que, para todo entero imparn ≥ 1, existe un enterom tal quen2 − 1 = 8m.

2.28. Demuestra que la suma de los cubos de tres números naturales consecutivos cualesquiera siempre esdivisible entre 9.

2.29. Demuestra que, para todon ≥ 1, se cumple que 23n−1 + 5n es múltiplo de 3.

2.30. Demuestra que, para todon ∈ N, se verifica que 42n − 1 es múltiplo de 15.

2.31. Demuestra que, para todon ∈ N, se verifica que 9n − 8n − 1 es múltiplo de 64.

2.32. Demuestra que, para todon ∈ N, se verifica quen3 + 3n2 + 2n es múltiplo de 6.

2.33. Demuestra que, para todon ∈ N, se verifica que 11n+2 + 122n+1 es múltiplo de 133.

2.34. Demuestra por inducción que, para cualquier número naturaln, se cumple:

(a) n2 + 3n es múltiplo de 2.

(b) n3 + 3n2 + 2n es múltiplo de 6.

¿Qué tipo de inducción hay que utilizar? ¿Por qué?

Pista: Usa el resultado del primer apartado en la demostración delsegundo.

2.35. Construye las representaciones de(1985)10 en las bases 2, 8 y 16. Para el último caso usa las letrasmayúsculas deA en adelante para representar cifras con valores mayores que9.

2.36. Construye las representaciones decimales de(11011101)2 y de(4165)7.


2.37. Calcula cuántas veces aparece la cifra 0 al final de la representación decimal del número 1 000! (factorialde mil).

2.38. Sabemos que si dos enterosa, b verificana · b = 1, entonces o biena = b = 1, o biena = b = −1.Utilizando esta propiedad, se pide demostrar que sim, n son enteros tales quem | n y n | m, entonces obienm = n o bienm = −n.

2.39. Para los tres apartados de este ejercicio se suponen dados tres números enterosa, b, c ∈ Z tales quea | b + c y a | b.

(a) Demuestra que entonces también debe cumplirsea | c.

(b) Demuestra mediante un contraejemplo quea | b · c puede ser falso.

(c) Demuestra mediante un contraejemplo quea | mcd(b, c) también puede ser falso.

2.40. Calcula el máximo común divisor de 2 406 y 654 y exprésalo en laforma 2 406m + 654n, siendom, nnúmeros enteros.

2.41. Calcula el máximo común divisor de 721 y 448 y exprésalo en la forma 721m + 448n, siendom, nnúmeros enteros.

2.42. Para dos enterosa, b cualesquiera se verifica que:mcd(a, b) = 1 si y solo si existen enterosm, n talesquem · a + n · b = 1.

2.43. Usando el resultado del ejercicio 2.42, demuestra que simcd(a, b) = d entoncesmcd(a/d, b/d) = 1.

2.44. Seana, b ∈ Z dos enteros tales quemcd(a, b) = 1. Demuestra que entoncesmcd(a + b, a − b) necesa-riamente vale 1 o 2.

Pista:Aplica el teorema de Bézout.

2.45. Dados dos números naturalesa y b tales quemcd(a, b) = 1, demuestra quemcm(a, b) = a · b.

2.46. Demuestra que, dados dos números enterosa y b y un número entero positivok, siempre se cumple

mcd(k · a, k · b) = k · mcd(a, b).

2.47. Se dispone de dos recipientes para medir líquidos cuyas capacidades son de 17 litros y de 55 litros,respectivamente. ¿Cómo pueden usarse estos dos recipientes para medir la cantidad de 1 litro?

2.48. Seana, b > 0 dos enteros tales qued = mcd(a, b). Demuestra que la ecuacióna · x + b · y = c (dondec es una constante entera) tiene solución entera parax, y si y solo sid | c.

2.49. Utilizando el ejercicio 2.48, encuentra enterosx, y que verifiquen la ecuación 966· x + 686· y = 70.

2.50. Dados los númerosa = 432 yb = 234, se pide:

(a) Calcular mediante el algoritmo de Euclides el máximo común divisor dea y b.


(b) Demostrar que la ecuacióna · x + b · y = 36 se puede resolver con soluciones enterasx, y ∈ Z yencontrar una solución entera.

(c) Demostrar que la ecuacióna · x + b · y = 37noadmite soluciones enterasx, y ∈ Z.

2.51. Responde razonadamente a los tres apartados siguientes:

(a) Demuestra que sin ≥ 2 y n no es primo, entonces debe existir un número primop tal quep | n yp2 ≤ n.

(b) Usando el resultado del apartado anterior, demuestra que si 467 no fuese primo, entonces tendría undivisor primop ≤ 19.

(c) ¿Es 467 un número primo?

2.52. Calcula todos los números primos menores que 100 utilizandoel método de lacriba de Eratóstenes,explicado en la sección??.

2.53. Demuestra que todo número naturaln ≥ 1 admite una descomposición como producto de factores pri-mos.

2.54. Calcula las descomposiciones en factores primos de 201, 1 001 y 201 000.

2.55. Aplicando la unicidad de la descomposición de un número en factores primos, demuestra que√

2 esirracional.

2.56. Considera dos númerosx, y expresados en la formax = pu11 pu2

2 . . . pukk , y = pv1

1 pv22 . . . pvk

k , siendop1, . . . , pk primos diferentes yui , vi ∈ N para todoi con 1≤ i ≤ k. Demuestra quex | y si y solo siui ≤ vi para todo 1≤ i ≤ k.

2.57. Sean dos números enterosa, b > 0 expresados comoa = pk11 pk2

2 . . . pkrr , b = pl1

1 pl22 . . . plr

r , donde lospi son primos distintos dos a dos y para todo 1≤ i ≤ r se verifica queki ≥ 0, l i ≥ 0 y ki + l i > 0.

(a) Demuestra que elmáximo común divisor d= mcd(a, b) se puede expresar comod = pu11 pu2

2 . . . purr ,

siendoui = mín(ki , l i ) para todoi entre 1 yr .

(b) Demuestra que elmínimo común múltiplo m= mcm(a, b) se puede expresar comom = pv11 pv2

2 . . . pvrr ,

siendovi = máx(ki , l i ) para todoi entre 1 yr .

(c) Concluye que se verifica la identidad:mcd(a, b) · mcm(a, b) = a · b.

2.58. Demuestra que sim, n, k son enteros que verificanm ≥ 1, n ≥ 1 y m2 = kn2, entoncesk debe de ser elcuadrado de un entero.

Pista:Expresam, n, k como producto de factores primos.

2.59. Justifica que la identidad 2rs − 1 = (2r − 1)(2(s−1)r + 2(s−2)r + · · · + 2r + 1) se cumple siempre quer, s ∈ N1 sean números enteros positivos, y úsala para demostrar que si n ∈ N es un número natural talque 2n − 1 es primo, entonces el propion también es primo.

Pista: La identidad resulta de la suma de loss primeros términos de una progresión geométrica derazón 2r .


2.60. El recíproco del enunciado del ejercicio 2.59 es falso. Demuéstralo encontrando el primern para el cualse cumple quen es un número primo pero 2n − 1 no es un número primo.

2.61. Se dice que un número natural positivo esperfectosi es igual a la suma de sus divisores positivos distintosde él mismo; por ejemplo, 6 y 28 son perfectos. Demuestra que 2p−1(2p − 1) es un número perfectosiempre que 2p − 1 sea primo.

2.62. Demuestra que dadosa, b, c, d, m ∈ Z con m > 0 se verifica que: sia ≡m c y b ≡m d entoncesa − b ≡m c − d.

2.63. Seanm y c números enteros tales quemcd(m, c) = 1.

(a) Usando el teorema de Bézout, demuestra que para cualquier enterod tal quem | d · c se cumplem | d.

(b) Usando el apartado anterior y suponiendom > 0, demuestra que sia y b son dos enteros tales quea · c ≡m b · c entonces también se cumple quea ≡m b.

2.64. Enumera las clases de congruencia de los números 0, 1, 2, 3 y 4 módulo 5. Construye las tablas de lasoperaciones+5 y ·5.

2.65. Construye las tablas de la suma y la multiplicación enZ/(6).

2.66. Trabajando enZ/(5) o Z/(6), según corresponda, resuelve las ecuaciones siguientes, teniendo en cuentaque la solución puede no existir o no ser única.

(a) 2 ·5 x = 3

(b) (3 ·5 x) +5 2 = 4

(c) (2 +6 x) ·6 4 = 5

2.67. ¿Qué soluciones tiene la ecuaciónx2 − 12 · x + 6 = 0 enZ/(6)?

2.68. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a) x2 − 5 · x + 6 = 0, enZ/(6) y enZ/(10).

(b) 5 · x = 12, enZ/(13) y enZ/(7).

(c) x2 − x − 1 = 0, enZ/(6) y enZ/(11).

(d) x2 + 2 · x + 2 = 0, enZ/(6) y enZ/(11).

(e) x2 − 4 · x + 1 = 0, enZ/(6) y enZ/(11).

2.69. Resuelve el sistema de ecuaciones{

x + 2 · y = 44 · x + 3 · y = 4

enZ/(6), enZ/(10) y enZ/(5).

2.70. Resuelve el sistema de ecuaciones{

x + 3 · y = 62 · x + 5 · y = 7

enZ/(6), enZ/(10) y enZ/(3).


2.71. Un profesor confecciona hojas de problemas, todas ellas conel mismo número de ejercicios. Reparte lashojas de problemas entre tres grupos de alumnos. Al primer grupo le da dos hojas y a los otros dos grupossolo una hoja. Los alumnos que forman parte de un mismo grupo se reparten los ejercicios para que lestoque el mismo número a cada uno. En el primer grupo, formado por 5 personas, después del repartoqueda un problema sin asignar. En el segundo, en el que hay 6 alumnos, sobran 2 después del reparto. Enel tercer grupo sobran 3 y son 7. ¿Cuántos ejercicios puede contener cada hoja si como máximo tienen100?

P({∅})

(

nm

)

N

CONJUNTOS Y FUNCIONES

CAPÍTULO

33


3.1. Los conjuntosA = {a, b} y B = {b, {a, b}, c} cumplen:

(a) A ∈ B, A ⊆ B (b) A ∈ B, A 6⊆ B (c) A 6∈ B

3.2. Los conjuntosA = {2, {1, 2}} y B = {1, 2, {1}, {2}, {1, 2}} cumplen:

(a) A ∈ B, A 6⊆ B (b) A ∈ B, A ⊆ B (c) A 6∈ B, A ⊆ B

3.3. Si x ∈ {{y, z}, {y}}, ¿qué se puede asegurar?

(a) x ∈ {y} (b) y ∈ x (c) {y} ∈ x

3.4. Sea el conjuntoA = {{a}, b, {{c}}}. Entonces:

(a)a ∈ A (b) b ∈ A (c) c ∈ A

3.5. Sea el conjuntoA = {∅, 5} ∩ { {∅}, {{∅}, 5} }. Entonces:

(a) A = {∅} (b) A = ∅ (c) A = {∅, 5}

3.6. Si A, B, C, D son conjuntos cualesquiera,(A × C) ∩ (B × D) es igual a:

(a) (A ∩ B) × (C ∩ D) (b) (A ∩ C) × (B ∩ D) (c) (A ∩ D) × (B ∩ C)

3.7. SeanA y B dos conjuntos finitos cualesquiera; se cumple entonces necesariamente:

(a) P(A) ∪ P(B) = P(A ∪ B)

(b) P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪ B)

(c) P(A) ∪ P(B) ⊇ P(A ∪ B)

3.8. Si A 6= ∅ es un conjunto finito, ¿cuál de estas afirmaciones es cierta?

(a)P(A) ∪ {A} = P(A) (b)P(A) ∪ A = P(A) (c)P(A) ∩ A = P(A)


3.9. La función parcialg definida como{(x, y) ∈ N × N | 4x + 2y = 20} cumple:

(a) dom(g) = {n ∈ N | n ≤ 10}

(b) ran(g) = {n ∈ N | n ≤ 10}

(c) g ◦ g = {(5, 10), (4, 6), (3, 2)}

3.10. Definimos una función parcialf = {(x, y) ∈ N×N | 2x + y = 16}. ¿Cuál de las siguientes afirmacioneses cierta?

(a) dom( f ) = {n ∈ N | n ≥ 16}

(b) ran( f ) = {n ∈ N | 0 ≤ n ≤ 28}

(c) f ◦ f = {(4, 0), (5, 4), (6, 8), (7, 12), (8, 16)}

3.11. Sea f : N −→ N la función definida porf (0) = 0 y f (n) = 2 f (n − 1) + 1, paran ≥ 1; entonces

(a) f es inyectiva (b)f es suprayectiva (c)f no es ni (a) ni (b)

3.12. La función f : N \ {0} → Z definida porf (n) ={

n/2 si n es par(1 − n)/2 si n es impar

es:

(a) inyectiva pero no suprayectiva (b) suprayectiva pero noinyectiva (c) biyectiva

3.13. La función f : N → Z definida porf (n) ={

n/2 si n es par(1 − n)/2 si n es impar

es:

(a) inyectiva pero no suprayectiva (b) suprayectiva pero noinyectiva (c) biyectiva

3.14. Consideramos la funciónf : Z → Z definida porf (x) = x2 + 1. Se cumple que:

(a) f es inyectiva (b)f es suprayectiva (c) Las respuestas (a) y (b) son falsas

3.15. ¿Cuál de los tres conjuntos siguientes es infinito numerable?

(a){n ∈ N | 9n2 + 300n < 400} (b) {q ∈ Q | 99 ≥ q2 − 7 ≥ 0} (c)P(Z)

3.16. Siempre queA, B ⊆ N sean dos subconjuntos infinitos deN, se cumple necesariamente:

(a)N \ (A ∪ B) es finito (b)A ∩ B es infinito (c)A ∪ B es infinito

3.17. ¿Cuál de los tres conjuntos siguientes es infinito numerable?

(a){q ∈ Q | 0 ≤ q2 ≤ 40} (b) {n ∈ N | 0 ≤ n2 ≤ 40} (c)P(N)

3.2. EJERCICIOS

3.18. Demuestra que{x ∈ Z | x2 + x = 0} = {−1, 0}.

Conjuntos y funciones 19

3.19. Razona cuáles de las afirmaciones que siguen son verdaderas:

(a) 1∈ {1}, (b) {1} ⊆ {1}, (c) {1} ∈ {1},(d) {1} ⊆ {{1}}, (e){1} ∈ {{1}}, (f) ∅ ⊆ ∅,

(g) ∅ ⊆ {1}, (h) ∅ ∈ {1}, (i) {∅} = ∅.

3.20. Seana, b objetos cualesquiera. Demuestra que sia ∈ {{b}}, entoncesb ∈ a. Construye un contraejemplopara demostrar que el recíproco no es cierto.

3.21. Construye dos conjuntosA, B tales queA ∈ B y A ⊆ B.

3.22. SeanA, B dos conjuntos. Demuestra que si dos cualesquiera de los enunciados siguientes son verdaderos,también lo es el tercero:

(a) A y B son disjuntos, (b)A ⊆ B, (c) A = ∅.

3.23. Encuentra tres conjuntosA, B, C, no vacíos y disjuntos, que verifiquen simultáneamente:

(a) A ⊆ B ∪ C, (b) B ⊆ A ∪ C, (c) C ⊆ A ∪ B.

3.24. SeanX, Y y Z tres conjuntos disjuntos dos a dos. Demuestra que si los conjuntosA y B cumplen queA ⊆ X ∪ Y y B ⊆ X ∪ Z, entoncesA ∩ B ⊆ X.

3.25. SeanA, B, X tres conjuntos tales queA ∩ X = B ∩ X y A ∪ X = B ∪ X. Demuestra queA = B.

3.26. SeanX, A y B tres conjuntos. Demuestra que las tres condiciones siguientes son equivalentes:

(a) X ⊆ A ∪ B, (b) (X \ A) ∩ (X \ B) = ∅, (c) X \ A ⊆ B.

3.27. Dados cuatro conjuntosA, B, C, D, demuestra:

(a) C 6= ∅ y A × C ⊆ B × C H⇒ A ⊆ B,

(b) C 6= ∅ y C × A ⊆ C × B H⇒ A ⊆ B,

(c) (A × B) \ (C × D) = ((A \ C) × B) ∪ (A × (B \ D)).

3.28. Dados los conjuntosA = {1, {2}} y B = {1, 2, {1, 2}}, enumera cada uno de los conjuntos siguientes:

(a) A ∪ B, (b) A ∩ B, (c) A \ B, (d) B \ A,(e)P(A), (f) B ∩ P(A), (g) A × B, (h) (A × B) ∩ (B × A).

3.29. Enumera los conjuntos:P(∅), P(P(∅)), P(P(P(∅))), P(P(P(P(∅)))).

3.30. Dado un conjuntoA, definimosA′ = A ∪ {A}. Enumera los siguientes conjuntos:∅′,∅′′,∅′′′,∅′′′′.

3.31. Demuestra que siA es un subconjunto deB, entonces el conjunto potenciaP(A) formado por todos lossubconjuntos (o partes) deA es un subconjunto deP(B).


3.32. Consideremos los siguientes conjuntos de números naturales: A está formado por los múltiplos de 6,Bpor los múltiplos de 10 yC por los múltiplos de 60. Probar o refutar cada una de las siguientes igualdades:

(a) A ∪ B = C,

(b) A ∩ B = C,

(c) A \ C = B.

3.33. Para cadak ∈ N definimos la familia de conjuntosAk = {{m ∈ N | m < n} | n ≤ k}. Definimos ademásla familia de conjuntosB = {{m ∈ N | m < n} | n ∈ N}.

(a) EnumeraA0, A1 y A2.

(b) Demuestra queAk ⊂ B, para todok ∈ N.

(c) Demuestra que∅ ∈ Ak, para todok ∈ N.

3.34. SeaC una familia no vacía de conjuntos. Demuestra:

(a) Para todoA ∈ C : A ⊆⋃

C.

(b) Si B es un conjunto tal queA ⊆ B se verifica para todoA ∈ C, entonces⋃

C ⊆ B.

(c) Para todoA ∈ C :⋂

C ⊆ A.

(d) Si B es un conjunto tal queB ⊆ A se verifica para todoA ∈ C, entoncesB ⊆⋂

C.

3.35. Para cadak ∈ N, sean los conjuntosAk = {n ∈ N | n ≤ k} y Bk = {n ∈ N | n > k}. Determina:

(a)⋃

{Ak | k ∈ N}, (b)⋂

{Ak | k ∈ N},(c)

⋃

{Bk | k ∈ N}, (d)⋂

{Bk | k ∈ N}.

3.36. Dado un conjuntoA, calcula la unión⋃

P(A) de la familia de conjuntosP(A).

3.37. Para cada uno de los dos apartados siguientes se pide estudiar si la igualdadL = R que se indica (siendoL y R expresiones construidas por medio de operaciones entre tres conjuntosA, B y C) es válida siempre,cualesquiera que sean los conjuntosA, B y C. En caso afirmativo, se pide demostrarlo. En caso negativo,se pide construir un contraejemplo y razonar si alguna de lasdos inclusionesL ⊆ R o L ⊇ R es válidasiempre.

(a) A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C,

(b) (A \ B) \ C = A \ (B \ C).

3.38. Una de las dos igualdades siguientes es válida siempre, cualesquiera que sean los conjuntosA, B, C y D.La otra igualdad no siempre es válida. Demuestra cuál es la igualdad válida y construye un contraejemplopara la otra.

(a) A × (B ⊕ C) = (A × B) ⊕ (A × C),

(b) (A × B) ⊕ (C × D) = (A ⊕ C) × (B ⊕ D).

3.39. Para cada uno de los dos apartados siguientes se pide estudiar si la igualdadL = R que se indica (siendoL y R expresiones construidas por medio de operaciones entre tres conjuntosA, B y C) es válida siempre,cualesquiera que sean los conjuntosA, B y C. En caso afirmativo, se pide demostrarlo. En caso negativo,se pide construir un contraejemplo y razonar si alguna de lasdos inclusionesL ⊆ R o L ⊇ R es válidasiempre.


(a) A ∩ (B ⊕ C) = (A ∩ B) ⊕ (A ∩ C),

(b) A ∪ (B ⊕ C) = (A ∪ B) ⊕ (A ∪ C).

3.40. Considera los tres conjuntos siguientes:

A = {Aniceto, Herminia}, B = {Aniceto, Bertoldo}, C = {Carlota, Bertoldo},

e indica razonadamente si cada una de las siguientes afirmaciones es cierta o falsa.

(a) A \ (B \ C) = (A \ B) \ C para estos tres conjuntos.

(b) La igualdad anterior se cumple para conjuntosA, B y C cualesquiera.

3.41. Demuestra si es cierto o falso queA × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).

3.42. En Soniquete, pueblo repleto de aficionados a la música, hay tres antiguos clubs musicales:

El club ClasiNoRap, formado por aquellos amantes de la música clásica a los que no les gusta elrap.

El clubClasiJazz, a cuyos miembros les gusta tanto la música clásica como el jazz.

El clubRapJazz, formado por amantes del rap y del jazz simultáneamente.

En los últimos tiempos se han fundado además dos nuevos clubs:

JazzSiRapNo, club al que se han apuntado los miembros delClasiNoRapa los que les gusta el jazz.

RapNoJazzSi, club al que pertenecen los miembros delClasiJazzque no son miembros delRapJazz.

Bertoldo, habitante de Soniquete y consecuente con sus gustos musicales, se ha apuntado a los dos clubsrecientemente fundados, además de seguir perteneciendo a los que ya lo hacía.

(a) ¿A qué clubs de la localidad pertenece Bertoldo y qué podemos decir de sus gustos musicales?

(b) Tras varios meses como orgulloso miembro de los dos nuevos clubs, Bertoldo empieza a sospecharque le están tomando el pelo y que, en realidad, los dos clubs son el mismo club pero con dosnombres para cobrar la cuota mensual dos veces a cada incautosocio. ¿Es cierta su sospecha?

3.43. Usa las leyes de Boole para demostrar las igualdades que siguen:

(a) \(A ∪ (B ∩ C)) = (\C ∪ \B) ∩ \A,

(b) \(\(A ∪ B) ∩ C) = (\C ∪ B) ∪ A,

(c) (\A ∪ B) ∩ A = A ∩ B,

(d) \(\A ∪ B) ∪ B = A ∪ B,

(e) \(\A ∪ B) ∪ A = A.

3.44. Demuestra que los tres conjuntos siguientes son iguales:

(A ∩ B) \ C A∩ (B \ C) (A \ C) ∩ B.

3.45. Demuestra la validez de las siguientes igualdades entre conjuntos.

(a) A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C,

(b) (A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \ C),


(c) (A \ B) \ C = (A \ C) \ B.

3.46. Estudia las siguientes igualdades entre conjuntos. Demuestra las que sean válidas y construye un contrae-jemplo para las que no lo sean.

(a) (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B,

(b) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∩ (A \ C),

(c) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C),

(d) A \ (B \ C) = (A \ B) \ C.

3.47. Dados un conjuntoA y una familia no vacíaC de conjuntos, demuestra:

(a) A \ (⋃

C) =⋂

{A \ C | C ∈ C},(b) (

⋃

C) \ A =⋃

{C \ A | C ∈ C},(c) A \ (

⋂

C) =⋃

{A \ C | C ∈ C},(d) (

⋂

C) \ A =⋂

{C \ A | C ∈ C}.

3.48. SeanC y D dos familias no vacías de conjuntos. Demuestra las igualdades:

(a) (⋃

C) ∪ (⋃

D) =⋃

{C ∪ D | C ∈ C, D ∈ D},(b) (

⋃

C) ∩ (⋃

D) =⋃

{C ∩ D | C ∈ C, D ∈ D},(c) (

⋂

C) ∪ (⋂

D) =⋂

{C ∪ D | C ∈ C, D ∈ D},(d) (

⋂

C) ∩ (⋂

D) =⋂

{C ∩ D | C ∈ C, D ∈ D}.

3.49. Demuestra que la operación de la diferencia simétrica es conmutativa y asociativa, es decir, que las igual-dadesA ⊕ B = B ⊕ A y A ⊕ (B ⊕ C) = (A ⊕ B) ⊕ C son siempre válidas.

3.50. Estudia si la diferencia simétrica cumple o no las propiedades que siguen. En cada caso, da una demos-tración o un contraejemplo.

(a) A ⊕ (B ∩ C) = (A ⊕ B) ∩ (A ⊕ C),

(b) A ⊕ (A ⊕ A) = A,

(c) A ⊆ B H⇒ A ⊕ C ⊆ B ⊕ C.

3.51. Demuestra si es cierta o falsa cada una de las afirmaciones siguientes, en las queU denota el conjuntouniversal.

(a) ((U \ A) \ B) ∩ C = ((U ∩ C) \ A) \ B,

(b) ((U \ A) \ B) ∩ C = ((U ∪ C) \ A) \ B.

3.52. Para cada uno de los tres apartados siguientes, estudia si laigualdadL = R que se indica es válidasiempre, cualesquiera que sean los conjuntosA y B. En caso afirmativo, demuéstrala. En caso negativo,construye un contraejemplo y razona si alguna de las dos inclusiones (L ⊆ R o L ⊇ R) es válida siempre.

(a) P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B).

(b) P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B).

(c) P(A × B) = P(A) × P(B).


3.53. Comprueba si se verifican o no las siguientes igualdades paracualquier función parcialf : A 99K B ycualesquiera subconjuntosS, T de A.

(a) f (S∪ T) = f (S) ∪ f (T),

(b) f (S∩ T) = f (S) ∩ f (T),

(c) f (S\ T) = f (S) \ f (T).

3.54. Demuestra que para cualquier función parcialf : A 99K B y cualesquiera subconjuntosS, T de B severifican las siguientes igualdades:

(a) f −1(S∪ T) = f −1(S) ∪ f −1(T),

(b) f −1(S∩ T) = f −1(S) ∩ f −1(T),

(c) f −1(S\ T) = f −1(S) \ f −1(T).

3.55. Dadas dos funcionesf : A → B y g : B → C, siempre se verifica queran( f ◦ g) ⊆ ran(g). Paracada uno de los dos apartados siguientes, encuentra definiciones diferentes del par de funcionesf, g demanera que se cumpla:

(a) ran( f ◦ g) ⊂ ran(g),

(b) ran( f ◦ g) = ran(g).

3.56. Sean f, g, h : R → R las funciones definidas porf (x) = x + 1, g(x) = 2x y h(x) = x2. Calculadefiniciones explícitas de las funciones compuestasg ◦ f , h ◦ f , f ◦ g, h ◦ g, f ◦ h y g ◦ h.

3.57. Sean f, g, h : R → R las funciones definidas porf (x) = x + 1, g(x) = 2x y h(x) = x2. Demuestrapor inducción sobren ≥ 1 que cualquier funciónF : R → R que esté definida como una composiciónF = G1 ◦ · · · ◦ Gn (donde cadaGi es una de las tres funcionesf , g o h) admite una definición explí-cita de la formaF(x) = p(x), siendop(x) un polinomio cuyo grado es una potencia de 2. Busca doscomposiciones diferentes def , g, h que den lugar a un mismo polinomio.

3.58. Dada una funciónf : A → B, definimos la funciónf∗ : P(B) → P(A) de la siguiente forma: paraT ⊆ B, f∗(T) = {a ∈ A | f (a) ∈ T}. Si g : B → C es otra función, demuestra que( f ◦ g)∗ = g∗ ◦ f∗.

3.59. Dadosn conjuntosA1, . . . , Ai , . . . , An se definenn funciones de proyección

pri : A1 × · · · × Ai × · · · × An → Ai

como:pri (x1, . . . , xi , . . . , xn) = xi .

(a) Demuestra que si losn conjuntosAi son no vacíos, entonces las proyeccionespri son funcionessuprayectivas.

(b) Demuestra que en general las proyecciones no son funciones inyectivas. Encuentra una condiciónsuficiente para quepri sea inyectiva.

3.60. Demuestra que las dos funciones que se definen a continuaciónson biyecciones:

(a) f : N → N donde f (n) ={

n + 1 si n es par,n − 1 si n es impar,

(b) g : Z → Z dondeg(n) = (−1)|n| · n.


3.61. Considera la funciónf : Z → Z definida porf (x) = −x.

(a) Indica el dominio y el rango def .

(b) Razona sif es inyectiva, suprayectiva o biyectiva.

(c) Indica si f tiene inversa, y de ser así calcula la función inversa y demuestra que lo es.

3.62. Sea f : Z × Z → Z una función definida porf (x, y) = x · y.

(a) ¿Esf inyectiva? ¿Y suprayectiva? ¿Y biyectiva?

(b) Calcula las imágenes inversasf −1({0}) y⋃

{ f −1({p}) | p es un número primo}.

3.63. Sea el conjuntoA = {a, b, c} y la función f : P(A) → P(A) definida por f (X) = (A \ X) \ {a}, paratodoX ∈ P(A).

(a) Calculaf (∅) y f (A).

(b) ¿Esf inyectiva? ¿Y suprayectiva? ¿Y biyectiva?

(c) Calcula las imágenes inversasf −1({c}), f −1({a, b}) y⋃

{ f −1(u) | u ∈ P(A)}.

3.64. Demuestra quef : A → B es biyectiva si y solo si existe otra funcióng : B → A tal que f ◦ g = idA yg ◦ f = idB. Además, en caso de existir estag, se tiene queg = f −1.

3.65. Sea f : A → B. Demuestra que las dos condiciones siguientes son equivalentes:

(a) f es inyectiva,

(b) Para cualquier par de funcionesg1, g2 : C → A, g1 ◦ f = g2 ◦ f H⇒ g1 = g2.

3.66. Sea f : A → B. Demuestra que las dos condiciones siguientes son equivalentes:

(a) f es suprayectiva,

(b) Para cualquier par de funcionesg1, g2 : B → C, f ◦ g1 = f ◦ g2 H⇒ g1 = g2.

3.67. SeaX un conjunto fijado. Para cada subconjuntoA ⊆ X, la función característicade A se define comola funciónχA : X → {0, 1} definida por:

χA(x) ={

0 si x /∈ A,

1 si x ∈ A.

ParaX = {a, b, c}, determina todos los subconjuntos deX y sus correspondientes funciones característi-cas.

3.68. Demuestra que las funciones características verifican las propiedades siguientes:

(a) χA∪B(x) = máx(χA(x), χB(x)) = χA(x) + χB(x) − χA(x) · χB(x),

(b) χA∩B(x) = mín(χA(x), χB(x)) = χA(x) · χB(x),

(c) χ\A(x) = 1 − χA(x).

En los apartados anteriores, se supone queA, B ⊆ X y que\A = X \ A, siendoX un conjunto fijado deantemano.


3.69. Demuestra que la funciónχ : P(X) → (X → {0, 1}) que hace corresponder a cadaA ∈ P(X) sufunción característicaχA es una biyección.

3.70. SeaX un conjunto dado. Diremos que una funciónM : X → N es unmulticonjuntoformado porelementos deX, donde cadax ∈ X tiene enM la multiplicidad M(x).

(a) Usando la idea de función característica, discute en quésentido puede decirse que los subconjuntosde X son un caso particular de multiconjunto.

(b) ParaX = {a, b, c}, construye varios multiconjuntos de elementos deX, con la restricción de que lamultiplicidad de cada elemento sea menor o igual que 2.

(c) Discute posibles definiciones de las operaciones de unión, intersección y diferencia entre multicon-juntos de elementos deX, explicando en qué intuiciones te basas.

3.71. SeaA un alfabeto. Dadas dos palabrasu = u0u1 . . . un−1 y v = v0v1 . . . vm−1 enA∗, definimos:

la concatenacióndeu y v como:u · v = u0u1 . . . un−1v0v1 . . . vm−1,

la imagen especularo inversa deu como:uR = un−1un−2 . . . u1u0.

Explica de modo más preciso cómo serían las definiciones deu · v y deuR, teniendo en cuenta que laspalabras son sucesiones finitas de símbolos deA, y razona por qué son ciertas las propiedades siguientes:

(a) u · ε = ε · u = u (ε es neutro), (b)(u · v) · w = u · (v · w) (· es asociativa),(c) εR = ε, (d) (uR)R = u,(e) (u · v)R = vR · uR.

3.72. Dados los alfabetosA = {a, b, c} y B = {0, 1}, considera la función inyectivaα : A → B+ definidacomo:α(a) = 100, α(b) = 101, α(c) = 110 y utilizaα para definir otra funcióncod : A∗ → B∗,poniendo:cod(u0 . . . ui . . . un−1) = α(u0) · α(u1) · . . . · α(un−1).

(a) Demuestra quecodes inyectiva.

(b) Observa quecodes una función decodificación; acod(u) ∈ B∗ se le llamacódigodeu. La funcióninversacod−1 = decodse llama función dedecodificación. Explica cómo reconocer siw ∈ B∗

pertenece o no al dominio dedecody como se puede calculardecod(w).

(c) Encuentra una función inyectivaβ : A → B+ tal que al definir a partir de ella una funcióncod′ :A∗ → B∗ como antes, no se obtenga una función inyectiva. Razona por qué una funciónβ de estetipo no sirve para definir un código.

3.73. Dado un alfabetoA de 27 letras, numeradas entre 0 y 26, considera la función de codificación que hacecorresponder a la letra de númerok la letra de número(k + n) mod27, siendon un número fijo con0 < n < 27.

(a) Demuestra que la función así definida es una biyección diferente de la identidad, que puede usarsepara codificar frases formadas como sucesiones finitas de letras.

(b) Como ejemplo, codifica la frase “EL QUIJOTE”, tomandon = 3.

(c) Demuestra que la función que hace corresponder ak entre 0 y 26 el número(ck+n) mod27, siendoc y n números fijos con 0< c, n < 27, no siempre es inyectiva.

3.74. Si hay 12 signos del zodiaco y consideramos un grupo de más de 61 personas, justifica que al menos 6tienen el mismo signo.


3.75. Supongamos que en una clase hay 9 estudiantes.

(a) Demuestra que en la clase debe haber al menos cinco chicoso al menos cinco chicas.

(b) Demuestra que en la clase debe haber al menos tres chicos oal menos siete chicas.

3.76. ¿Cuántas personas se necesitan para garantizar que al menosdos nacieron el mismo día de la semana y elmismo mes?

3.77. En las reuniones de una comunidad de vecinos, cada uno saludaa todos aquellos con los que todavía sehabla. Demuestra que en cualquiera de tales reuniones siempre hay al menos dos asistentes que saludanal mismo número de vecinos.

3.78. SeaX un conjunto den personas. Demuestra que sin ≥ 2, siempre hay al menos dos personas enX quetienen el mismo número de amigos enX.

3.79. Demuestra que si nos dan 5 puntos diferentes situados en el interior de un triángulo equilátero de lado 1,necesariamente dos de entre ellos están a distancia menor que 1/2.

3.80. Demuestra que si nos dann + 1 números naturales positivos menores o iguales que 2n, siendon ≥ 1,pueden encontrarse dos de entre ellos tales que uno sea divisor del otro.

Pista: Expresa los números dados en la formaxi = 2ki bi , con bi impar, y aplica el principio delpalomar a losbi .

3.81. Demuestra que siA ∼c B y A ∩ B = ∅, entoncesA ∪ B ∼c A × {0, 1}.

3.82. Sean los conjuntos de números enterosA = {x ∈ Z | x = 5k para algúnk ∈ Z} (múltiplos de 5) yB = {x ∈ Z | x = 3k para algúnk ∈ Z} (múltiplos de 3). Demuestra queA ∼c B.

3.83. Demuestra que siA es infinito yB es finito entoncesA ∪ B ∼c A.

3.84. Establece una biyección entre el conjuntoN de todos los números naturales y el conjuntoD de losnúmeros naturales múltiplos de 17. ¿Cuál es el cardinal deD?

3.85. Demuestra que siA es cualquier alfabeto finito no vacío, entonces el conjuntoA∗ formado por todas laspalabras sobreA es infinito numerable.

3.86. Demuestra que el conjunto formado por todos los programas sintácticamente correctos que se puedenescribir en el lenguajePascales infinito numerable.

3.87. Demuestra que los siguientes conjuntos son numerables. Indica si alguno de ellos es finito.

(a) Fn = {X ∈ P(N) | |X| = n} siendon ∈ N, fijo,

(b) F = {X ∈ P(N) | X es finito},(c) C = {X ∈ P(N) | N \ X es finito}.

3.88. ¿Existe un conjuntoX tal queP(X) sea infinito numerable? Razona tu respuesta.

P({∅})

(

nm

)

N

RELACIONES Y ÓRDENES

CAPÍTULO

44


4.1. SeanA = {a, b, c} y R = {(c, c), (a, b), (b, c), (a, c), (c, b), (b, b)}.¿Cuál de las siguientes afirmacioneses cierta?

(a) R es reflexiva (b)R es simétrica (c)R es transitiva

4.2. Sobre el conjuntoN se define la relación binariaR comox R y ⇐⇒ x ≥ 3 e y ≥ 2. ¿Cuál de lassiguientes afirmaciones es cierta?

(a) R es transitiva (b)R es simétrica (c)R es reflexiva

4.3. En el conjuntoN1 de los números naturales positivos, se define la relaciónR dada por la condición:x R y ⇐⇒ mcd(x, y) = 1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

(a) R es reflexiva (b)R es simétrica (c)R es transitiva

4.4. En el conjuntoN1 de números naturales positivos, definimos la relaciónx Ry ⇐⇒ x2 · y es un númeropar. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

(a) R es reflexiva (b)R es una relación de equivalencia (c)R es simétrica

4.5. SeaR la relación definida sobre el conjunto{1, 2, 3, 4} por

R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)}.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

(a) R es reflexiva y no simétrica (b)R es reflexiva y no transitiva (c)R es de equivalencia

4.6. En el conjuntoN1 de los números naturales positivos, definimos la relaciónRpor la condición:x R y ⇐⇒x + 3 ≥ 3y + 2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

(a) R es antirreflexiva (b)R es reflexiva (c)R es de orden


4.7. SeaR la relación definida sobre el conjunto{1, 2, 3, 4} por

R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 3)}.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

(a) R es antirreflexiva (b)R es antisimétrica (c)R no es de orden

4.8. ¿Cuál de los siguientes subconjuntos deN1 está totalmente ordenado con el orden definido por la condi-ción: x ⊑ y ⇐⇒ x | y?

(a){7, 14, 21, 28} (b) {1, 2, 3, 4, 6, 24} (c) {2, 4, 8, 16}

4.9. En el conjuntoN definimos una relacióna R b ⇐⇒ el número a− b es impar positivo. ¿Cuál de lassiguientes afirmaciones es cierta?

(a) R es antirreflexiva (b)R es conexa (c)R es transitiva

4.10. Dada la relación definida sobreZ2 por (x, y) R (x′, y′) ⇐⇒ x ≤ x′ e y < y′, ¿cuál de las siguientesafirmaciones es cierta?

(a) R es un orden estricto (b)R es un orden total (c)R es un orden no estricto

4.11. ¿Cuál de los siguientes afirmaciones acerca de la relación deorden que aparece en el diagrama de Hasseen la figura de la izquierda es cierta?fe d c ba

(a) Solo hay elementos maximales

(b) Hay elementos maximales y minimales

(c) Solo hay elementos minimales

4.12. Se define sobreN1 el ordenx ⊑ y ⇐⇒ x | y. Consideremos el subconjuntoA = {1, 2, 3, 4, 6}. ¿Cuálde las siguientes afirmaciones es cierta?

(a) A tiene mínimo y máximo (b)A tiene mínimo y maximales (c)A tiene máximo

4.13. Dado el conjunto ordenadoA = (P({a, b, c}) \ {{a, b, c}},⊆), ¿cuál de las afirmaciones es cierta?

(a)A tiene máximo y mínimo (b)A no tiene mínimo (c)A no tiene máximo

4.14. ¿Cuál de los siguientes subconjuntos deN1 es retículo con el ordenx ⊑ y ⇐⇒ x | y?

(a){1, 2, 3, 4, 5, 7} (b) {1, 2, 4, 11, 22, 44} (c) {2, 3, 5, 6, 10, 30}

4.15. Sobre el conjuntoA = {1, 2, 3, 4, 6} se considera el ordenx ⊑ y ⇐⇒ x | y. ¿Cuál de las siguientesafirmaciones es cierta?

(a) (A,⊑) es semirretículo superior (b)(A,⊑) es retículo (c)(A,⊑) es semirretículo inferior

Relaciones y órdenes 29

4.2. EJERCICIOS

4.16. Sean los conjuntosA = {5, 6} y B = {a, b, c}. Definimos una relaciónR = {(5, a), (6, b), (5, c)}.Contesta las siguientes cuestiones:

(a) ¿Es R una función? Razona tu respuesta. Si la respuesta esafirmativa, indica si es inyectiva, sobre-yectiva o biyectiva.

(b) CalculaR−1.

(c) ¿EsR−1 una función? Razona tu respuesta. Si la respuesta es afirmativa, indica si es inyectiva,suprayectiva o biyectiva.

4.17. Consideremos el conjuntoA = {a, b, c} y las siguientes relaciones binarias sobreA definidas comoS= {(a, c), (b, a)} y R = {(a, b), (b, c), (c, a)}.

(a) CalculaR ◦ S, S◦ R, R ◦ R y S◦ S.

(b) Comprueba queR ◦ (S◦ R) = (R ◦ S) ◦ R y que(R ◦ S)−1 = S−1 ◦ R−1.

4.18. SeanF, G, H las relaciones binarias sobreR definidas como

F = {(x, y) ∈ R2 | y = x + 1},G = {(x, y) ∈ R2 | y = 2x},H = {(x, y) ∈ R2 | y = x2}.

(a) Determina el dominio y el rango de cada una de ellas.

(b) Calcula definiciones explícitas de las siguientes relaciones compuestas:G◦ F , H ◦ F , F ◦G, H ◦G,F ◦ H y G ◦ H .

4.19. SeanR ⊆ A × B y S ⊆ B × C dos relaciones binarias cualesquiera.

(a) Demuestra quedom(R−1) = ran(R) y ran(R−1) = dom(R).

(b) Demuestra quedom(R ◦ S) ⊆ dom(R) y ran(R ◦ S) ⊆ ran(S).

(c) Busca un ejemplo deR, S tales que las inclusiones anteriores sean estrictas.

4.20. En los apartados que siguen,R, S, T , etc. representan relaciones binarias cualesquiera, del tipo apropiadoen cada caso para que las composiciones tengan sentido. Demuestra:

(a) R ◦ (S∪ T) = (R◦ S) ∪ (R ◦ T),

(b) (R ∪ S) ◦ T = (R◦ T) ∪ (S◦ T),

(c) R ⊆ S H⇒ R−1 ⊆ S−1,

(d) R ⊆ R′ H⇒ R ◦ S ⊆ R′ ◦ S,

(e) S ⊆ S′ H⇒ R ◦ S ⊆ R ◦ S′.

4.21. Dada una relación binariaR sobre un conjuntoA, laspotenciasde R se definen recursivamente como:R0 = idA y Rn+1 = Rn ◦ R, paran ≥ 0. Dada la relaciónS = {(a, c), (b, a)}, definida sobre el conjuntoA = {a, b, c}, calcula:S0, S1, S2, S3,

⋃

{Sn | n ≥ 0}.

4.22. Dada una relación binariaR sobre un conjuntoA, a partir de las potenciasRn, n ∈ N, definidas en elejercicio 4.21, se definen:R∗ =

⋃

{Rn | n ≥ 0} y R+ =⋃

{Rn | n > 0}.


(a) Demuestra queR ⊆ R∗ y queR∗ es reflexiva y transitiva.

(b) Demuestra que siR ⊆ S⊆ A × A y S es reflexiva y transitiva, entoncesR∗ ⊆ S.

(c) Demuestra queR ⊆ R+ y queR+ es transitiva.

(d) Demuestra que siR ⊆ S⊆ A × A y S es transitiva, entoncesR+ ⊆ S.

Debido a las propiedades anteriores, la relaciónR∗ se llamacierre reflexivo-transitivodeR, mientras quela relaciónR+ se llamacierre transitivode R.

4.23. SeaR ⊆ P(A × A) una familia no vacía de relaciones binarias sobre el conjunto A y seaR =⋂

R.Demuestra que si todas las relaciones pertenecientes a la familia R sonreflexivas, entonces también lo esR. Demuestra que lo mismo sucede para las propiedades desimetríay transitividad.

4.24. Demuestra que el cierre reflexivo-transitivoR∗ de una relación binariaR ⊆ A × A es igual a la intersec-ción de la familia formada por todas las relaciones reflexivas y transitivasSque cumplanR ⊆ S ⊆ A×A.

4.25. Demuestra que el cierre transitivoR+ de una relación binariaR ⊆ A × A es igual a la intersección de lafamilia formada por todas las relaciones transitivasSque cumplanR ⊆ S⊆ A × A.

4.26. SeaR la relación definida sobreN1 como:x Ry ⇐⇒ x | y. Estudia qué propiedades cumple la relación,considerando reflexividad, simetría y transitividad.

4.27. SeaR la relación definida sobreN1 como:x R y ⇐⇒ x | y, x 6= y. Estudia qué propiedades cumple larelación, considerando reflexividad, simetría y transitividad.

4.28. SeaR la relación definida sobreN1 como:x R y ⇐⇒ x 6= y. Estudia qué propiedades cumple larelación, considerando reflexividad, simetría y transitividad.

4.29. SeaR la relación definida sobreN1 como:x R y ⇐⇒ al simplificar x/y e y/x resultan dos fraccionescon numeradores y denominadores impares. Estudia qué propiedades cumple la relación, considerandoreflexividad, simetría y transitividad.

4.30. SeaR la relación definida sobreN1 como:x R y ⇐⇒ x < y2. Estudia qué propiedades cumple larelación, considerando reflexividad, simetría y transitividad.

4.31. SeaR la relación definida sobreN1 como: x R y ⇐⇒ existe n ∈ N tal que 2n < x < 2n+1 y2n < y < 2n+1. Estudia qué propiedades cumple la relación, considerandoreflexividad, simetría ytransitividad.

4.32. SeaR la relación definida sobreN1 como:x R y ⇐⇒ y − x + 2 es un número primo. Estudia quépropiedades cumple la relación, considerando reflexividad, simetría y transitividad.

4.33. SeaR la relación definida sobreN1 como:x R y ⇐⇒ |y − x| + 2 es un número primo. Estudia quépropiedades cumple la relación, considerando reflexividad, simetría y transitividad.

4.34. Explica por qué las siguientes relaciones binarias, definidas sobre el conjunto de los seres humanos,noson de equivalencia. Identifica cuáles de las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva se verifican encada caso.


(a) x R y ⇐⇒ x e y tienen un progenitor común.

(b) x R y ⇐⇒ x e y se conocen.

(c) x R y ⇐⇒ x e y hablan un mismo lenguaje.

4.35. Una relaciónR ⊆ A × A se llamatotal si dom(R) = A.

(a) Demuestra por medio de un ejemplo que una relación simétrica y transitiva puede no ser reflexiva.

(b) A continuación, demuestra mediante un razonamiento general que si una relación es simétrica,transitiva y total, entonces siempre es reflexiva.

4.36. Enumera el conjunto formado por todas las relaciones binarias sobre el conjunto{0, 1}. Determina cuálesson reflexivas, cuáles son simétricas y cuáles son transitivas.

4.37. Considera las tres relaciones binarias∼p, ∼d y ∼ definidas sobre el conjunto(N 99K N) de todas lasfunciones parciales deN enN:

(a) f ∼p g ⇐⇒ f (x) = g(x) para todox ∈ dom( f ) ∩ dom(g),

(b) f ∼d g ⇐⇒ dom( f ) = dom(g),

(c) f ∼ g ⇐⇒ f ∼p g y f ∼d g.

Estudia cuáles de las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva verifica cada una de estas relaciones.¿Es alguna de ellas una relación de equivalencia?

4.38. En el conjuntoZ de los enteros, definimos la relaciónR por: x R y ⇐⇒ x + 3y es múltiplo de4.

(a) Prueba queR es una relación de equivalencia.

(b) Indica qué valores pertenecen a las clases de equivalencia [4] y [0]. ¿Se verifica [0]= [4]? Razonatu respuesta.

4.39. Dado el conjuntoA = {a, b, c, d, e, f } con la particiónS = {{a, b}, {c}, {d, e, f }}, definimos la relaciónde equivalenciaR sobreA por x R y ⇐⇒ x, y están en el mismo conjunto de la partición, es decir,existeP ∈ S tal quex, y ∈ P.

(a) Enumera los pares de la relación.

(b) Calcula la clase de equivalencia [e].

4.40. SeaR = {(a, b) ∈ Z × Z | b2 − a2 = 3k para algúnk ∈ Z} una relación binaria sobreZ.

(a) Demuestra queR es una relación de equivalencia.

(b) ¿EsR una función? ¿Por qué?

(c) Indica qué elementos forman las clases de equivalencia [2], [3].

4.41. Sean un conjuntoM y un subconjunto fijoP ⊆ M. Demuestra que la relación∼ ⊆ P(M) × P(M)

definida porA ∼ B ⇐⇒ A ⊕ B ⊆ P es de equivalencia, donde⊕ es la operación sobre conjuntos dediferencia simétrica.

4.42. SeaA un conjunto infinito. Demuestra que la relación binaria∼ definida sobre el conjuntoP(A) como:X ∼ Y ⇐⇒ X ⊕ Y es finito(donde⊕ es la operación de diferencia simétrica) es una relación deequivalencia.


4.43. Demuestra que la relaciónR ⊆ (N × N) × (N × N) definida por(a, b) R(c, d) ⇐⇒ a + d = b + c esde equivalencia. Identifica las clases de equivalencia, describe el conjunto cociente y define sobre él lasoperaciones+ y ·, de tal modo que la clase [(a, b)] se comporte como el número enteroa − b.

Nota: En la solución deben usarse solamente operaciones aritméticas que estén bien definidas en elconjuntoN de los números naturales.

4.44. Sea∼ ⊆ (Z × N1) × (Z × N1) la relación binaria sobreZ × N1 definida por(x1, y1) ∼ (x2, y2) ⇐⇒x1 · y2 = x2 · y1. Resuelve los dos apartados siguientes utilizando solamente operaciones aritméticas queestén definidas en los conjuntosZ de los enteros yN1 de los naturales positivos.

(a) Demuestra que∼ es una relación de equivalencia y explica por qué se puede afirmar que cada clasede equivalencia representa un número racional.

(b) Entre clases de equivalencia de∼ se puede definir la operación⊕ poniendo

[(x1, y1)] ⊕ [(x2, y2)] = [(x1 · y2 + x2 · y1, y1 · y2)].

Demuestra que esta definición es independiente de los representantes y explica cuál es la operaciónentre números racionales representada por⊕.

4.45. Considera la operación binaria⊙ definida enZ/(5) por: [m]5 ⊙ [n]5 = [3m − 2n]5. Demuestra que⊙está bien definida, razonando que la clase [3m−2n]5 es independiente de los representantesm, n elegidospara las clases [m]5 y [n]5.

4.46. Demuestra que la siguiente “definición” de una operación binaria ⊙ en Z/(3) es incorrecta, porque laclase obtenida como resultado no es independiente de los representantes elegidos para las clases dadascomo operandos: [m]3 ⊙ [n]3 = [mn]3.

4.47. Sea f : A → B una función tal queran( f ) = C ⊆ B y la relación binaria∼ f sobreA definida por lacondición:x ∼ f x′ ⇐⇒ f (x) = f (x′).

(a) Demuestra que∼ f es una relación de equivalencia.

(b) Considerando el conjunto cocienteA/∼ f , define una función suprayectivag : A → A/∼ f , unabiyecciónh : A/∼ f → C y una función inyectivak : C → B tales que se verifiquef = g◦h◦k. Aesto se le llama ladescomposición canónicade f . Dibuja un diagrama que represente la situación.

4.48. SeaA = {a, b} un alfabeto y seaA∗ el conjunto de todas las palabras que se pueden escribir con estealfabeto. Llamamosl : A∗ → N a la función que a cada palabra deA∗ le hace corresponder su tamaño,es decir, el número de símbolos que la forman, yf : A∗ → N a la función que a cada palabraw ∈ A∗ lehace corresponder el número de veces que el símboloa aparece enw.

(a) Define la funcióng : A∗ → N que a cada palabraw le hace corresponder el número de veces queel símbolob aparece enw, usando las funcionesl y f . Estudia si las funcionesf , g y l son o noinyectivas, suprayectivas o biyectivas.

(b) Sean ∈ N y seal−1({n}) el conjunto de las palabras relacionadas conn mediante la relaciónl−1.Demuestra que la familiaA = {l−1({n}) | n ∈ N} es una partición deA∗.

(c) Demuestra que el conjunto⋃

A es infinito numerable.

4.49. Construye relaciones binariasR1, R2, R3, R4 sobre el conjunto{0, 1, 2} que verifiquen las propiedadessiguientes:


(a) R1 es simétrica y antisimétrica.

(b) R2 es simétrica, pero no antisimétrica.

(c) R3 no es simétrica, pero sí antisimétrica.

(d) R4 no es ni simétrica ni antisimétrica.

4.50. Consideramos la relaciónR sobre el conjuntoN de todos los números naturales definida por:a R b ⇐⇒a y b tienen la misma paridad, es decir, ambos son pares o ambos son impares. Determina si la relaciónR es reflexiva, antirreflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva. ¿EsR una relación de equivalencia? Encaso afirmativo, ¿cuántas clases de equivalencia hay? ¿EsR una relación de orden?

4.51. Dibuja diagramas de Hasse que representen los siguientes conjuntos ordenados:

(a) {n ∈ N | 1 ≤ n ≤ 25} ordenado por la relación de divisibilidad.

(b) {X ∈ P(5) | |X| es par} ordenado por la relación de inclusión, con5 = {0, 1, 2, 3, 4}.(c) (2 99K 2) ordenado por la relación de inclusión, con2 = {0, 1}.

4.52. Demuestra que el orden de inclusión enP(A) solo es lineal cuandoA es vacío o unitario.

4.53. Estudia si la relación sobreZ2 dada por(x, y) R(x′, y′) ⇐⇒ x ≤ x′, y ≥ y′ es un orden.

4.54. Estudia si la relación sobreZ2 dada por(x, y) R(x′, y′) ⇐⇒ x ≤ x′, y 6= y′ es un orden.

4.55. EnN1 se definen dos relacionesR,≪ del siguiente modo:

x R y ⇐⇒ x | 3y x ≪ y ⇐⇒ 3x | y.

(a) ¿Es R transitiva? Razona tu respuesta.

(b) Demuestra que≪ es un orden estricto.

(c) ¿Es≪ un orden total? Razona tu respuesta.

4.56. Estudia si la relación

X R Y ⇐⇒ (X es finito yX ⊆ Y) o (X es infinito yX ⊇ Y)

es un orden sobreP(N).

4.57. Demuestra que la relación binariaR sobre(N → N) definida por la condición:

f R g ⇐⇒ {n ∈ N | f (n) > g(n)} es finito

no es una relación de orden, dando un contraejemplo de la propiedad que falle.

4.58. Sea una funciónf : A → R, dondeA es un conjunto cualquiera. Demuestra que la relaciónR ⊆ A × Adefinida por la condiciónx R y ⇐⇒ f (x) ≤ f (y) es un orden si y solo sif es inyectiva.

4.59. Sean(A1,⊑1) y (A2,⊑2) dos conjuntos ordenados. Demuestra que la relación sobreA1 × A2 definidapor (x, y) ⊑ (x′, y′) ⇐⇒ x ⊑1 x′, y ⊑2 y′ es un orden.


4.60. Dados dos órdenes≤A,≤B definidos, respectivamente, sobre los conjuntosA y B, demuestra que larelación≤A×B definida por la condición

(u, v) ≤A×B (x, y) ⇐⇒ u <A x o (u = x, v ≤B y),

donde<A es el orden estricto asociado a≤A, es un orden sobreA × B, al que se le denomina habitual-menteorden lexicográfico.

4.61. Una relación binariaR sobre un conjuntoA que sea reflexiva y transitiva se llamapreorden.

(a) Considera la relaciónR ⊆ Z × Z definida por la condiciónx R y ⇐⇒ |x| ≤ |y|. Razona queRes un preorden, pero no un orden.

(b) Demuestra que siR es un preorden sobreA, la relación∼R definida sobreA por la condiciónx ∼R y ⇐⇒ x R y, y R xes de equivalencia.

(c) Demuestra que siR es un preorden sobreA, la relación binaria⊑R definida sobre el conjuntococienteA/∼R por la condición [x] ⊑R [y] ⇐⇒ x R y es independiente de los representantesx, y de las clases [x], [y] y además es un orden sobreA/∼R. Se dice que⊑R es elorden inducidopor R.

(d) Estudia las clases de∼R y el orden⊑R para el preordenR definido en el primer apartado.

4.62. Estudia los elementos extremos y extremales en los siguientes conjuntos de números, ordenados por larelación de divisibilidad.

(a){1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} (b) {2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}(c) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12} (d) {2, 3, 4, 6, 8, 12}

4.63. SeaA un conjunto cualquiera. La familiaOA, formada por todas las relaciones binarias sobreA que sonórdenes parciales, es ella misma un conjunto ordenado parcialmente por la relación de inclusión.

(a) Toma comoA los conjuntos2 = {0, 1} y 3 = {0, 1, 2} y dibuja diagramas de Hasse que representenel ordenOA en cada caso.

(b) Demuestra que, para cualquier conjuntoA, los elementos maximales deOA corresponden exacta-mente a los órdenes totales sobreA.

Pista: Recuerda que cualquier orden parcial sobre un conjuntoA puede extenderse a un orden total.

4.64. Estudia los elementos extremos y extremales en las siguientes familias de conjuntos, ordenadas por larelación de inclusión.

(a) {X ∈ P(3) | X 6= ∅}, donde3 = {0, 1, 2}.(b) F = {X ∈ P(N) | X 6= ∅, X es finito}.(c) CF = {X ∈ P(N) | X 6= N, N \ X es finito}.(d) {X ∈ P(R3) | ∅ 6= X, X es linealmente independiente}.

4.65. SeanF y CF las dos familias de conjuntos definidas en el ejercicio 4.64.

(a) Construye un isomorfismo de ordenf : (F ,⊆) → (CF ,⊇).

(b) Demuestra que(F ,⊆) y (CF ,⊆) no son isomorfos como conjuntos ordenados.

4.66. Define un orden lineal⊑ sobreZ de tal manera que(Z,⊑) y (Z,≤) no sean isomorfos.


4.67. Un orden lineal≤ sobre un conjuntoA se llamadensosi el orden estricto< asociado a≤ satisface lasiguiente condición: para todox, y ∈ A tales quex < y, existez ∈ A tal quex < z < y.

(a) Demuestra que si dos conjuntos ordenados linealmente son isomorfos y uno de ellos es denso,también lo es el otro.

(b) Demuestra que(Z,≤) y (Q,≤) no son isomorfos.

4.68. EnN1 se definen dos relacionesS, T del siguiente modo:

x S y ⇐⇒ x < 2y, x T y ⇐⇒ 2x < y.

(a) Demuestra queS no es un orden estricto. ¿Qué propiedades fallan?

(b) Demuestra queT es un orden estricto.

(c) Demuestra queT no es un orden total.

(d) DadoA = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, dibuja un diagrama de Hasse que represente el ordenT restringido aelementos deA.

(e) Determina las parejas de elementos diferentes del conjunto A que poseen supremo con respecto aT . Haz lo mismo para los ínfimos.

4.69. Definimos enN2 la siguiente relación:

(x, y) ≪ (x′, y′) ⇐⇒ (x + y < x′ + y′) o (x + y = x′ + y′ y x < x′).

(a) Demuestra que≪ es un orden estricto total.

(b) Calcula todos los pares(x, y) ∈ N2 tales que(x, y) ≪ (2, 1).

(c) Estudia si los tres subconjuntos siguientes tienen máximo o mínimo, y en caso afirmativo, di cuálesson:

N × {2} {2} × N {(x, y) ∈ N2 | 13 ≤ x + y ≤ 15}

(d) ¿Puede encontrarse una sucesión{(xn, yn) ∈ N2 | n ∈ N} tal que(x0, y0) ≫ (x1, y1) ≫ (x2, y2) ≫. . . ? ¿Por qué?

(e) Demuestra que todo subconjunto no vacío deN2 tiene elemento mínimo.

(f) ¿Es≪ un buen orden?

4.70. Dado un alfabetoA, decimos que una palabrau ∈ A∗ essegmentode otra palabrav ∈ A∗, y lo escribimoscomou ⊑ v, cuando todos los caracteres deu aparecen consecutivos env, es decir, cuandov = x u ypara algunosx, y ∈ A∗.

Ejemplos:la ⊑ calavera, cala⊑ calavera, vera⊑ calavera, aver⊑ calaveray ε ⊑ calavera

(dondeε representa la palabra vacía, la única palabra que verificauε = εu = u para todou ∈ A∗).

(a) Demuestra que la relación⊑ es una relación de orden.

(b) ¿Es⊑ un orden total? Justifica tu respuesta.

(c) SeaA ⊆ A∗ definido porA = { brazo, antebrazo, ante, a, sala, ala, la, antesala}. Dibuja eldiagrama de Hasse de⊑ restringido al conjuntoA.

(d) Dado el subconjuntoB ⊆ A definido porB = { a, ala, ante}, determina (si existen) los elementosmaximales y minimales, el máximo, el mínimo, las cotas superiores e inferiores y el ínfimo y elsupremo deB.


4.71. Demuestra que si existe un isomorfismo de orden entre los conjuntos ordenados(A,⊑A) y (B,⊑B) y elorden⊑A está bien fundamentado, entonces el orden⊑B también está bien fundamentado.

4.72. El orden habitual≤ no es un buen orden sobre el conjuntoZ de los enteros. Define un buen orden paraZ.

4.73. Demuestra que el conjuntoQ de los números racionales admite un buen orden. (Por supuesto, el ordenhabitual≤ no es un buen orden enQ).

4.74. SeanA, B dos conjuntos, que suponemos bien ordenados por los órdenes≤A,≤B respectivamente. Con-sidera el conjuntoC = (A × {0}) ∪ (B × {1}) y el orden≤C definido sobreC como sigue:

(x, i ) ≤C (y, j ) ⇐⇒ o bieni = 0 y j = 1,o bieni = j = 0 y x ≤A y,o bieni = j = 1 y x ≤B y.

(a) Demuestra que≤C es un orden total sobreC.

(b) Demuestra que≤C es un buen orden sobreC.

(c) Aplica esta construcción tomando los conjuntosA = B = N y los órdenes≤A = ≤B = ≤.

(d) Dibuja un diagrama de Hasse para el orden resultante.

4.75. Demuestra que si≤A,≤B son buenos órdenes definidos, respectivamente, sobre los conjuntosA y B,entonces la relación≤A×B definida por la condición

(u, v) ≤A×B (x, y) ⇐⇒ u <A x o (u = x, v ≤B y)

es un buen orden sobreA × B.

4.76. Sea f : N×N → Z la función definida comof (x, y) = y− x. En cada uno de los apartados que siguen,razona tus respuestas.

(a) ¿Esf inyectiva? ¿Esf suprayectiva?

(b) Demuestra que la relación binaria∼ sobreN × N definida como

(x, y) ∼ (x′, y′) ⇐⇒ f (x, y) = f (x′, y′)

es de equivalencia.

(c) Explica quiénes son los elementos de la clase de equivalencia dada porS = [(0, 3)]∼. ¿EsS unconjunto finito o infinito?

(d) Demuestra que la relación binariaR sobreN × N definida como

(x, y) R(x′, y′) ⇐⇒ f (x, y) ≤ f (x′, y′)

no es de orden.

(e) Demuestra que la relación binaria⊏ sobreN × N definida como

(x, y) ⊏ (x′, y′) ⇐⇒{

(i ) f (x, y) < f (x′, y′), o si no(i i ) f (x, y) = f (x′, y′) y ademásx < x′,

es un orden estricto. ¿Se trata o no de un orden total?


(f) Estudia los elementos extremos y extremales del conjunto S = [(0, 3)]∼ del apartado (c) con res-pecto al orden⊏ del apartado anterior.

4.77. En el conjuntoR2 considera la relación binaria∼ definida por

(x, y) ∼ (z, w) ⇐⇒ x2 + y2 = z2 + w2.

(a) Demuestra que∼ es una relación de equivalencia.

(b) En el conjunto cocienteR2/∼ se define la relación

[(x, y)] ⊑ [(z, w)] ⇐⇒ x2 + y2 ≤ z2 + w2.

Demuestra que está bien definida, es decir, que es independiente de los representantes elegidos.

(c) Demuestra que⊑ es una relación de orden.

(d) Demuestra que(R2/∼,⊑) es un retículo.

4.78. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos deN1 son retículos con el orden definido por la condiciónx ⊑y ⇐⇒ x | y? ¿Por qué?

(a){5, 10, 15, 30} (b) {1, 3, 7, 15} (c) {2, 3, 5, 6, 10, 30}(d) {1, 2, 3, 4, 6, 9} (e){1, 3, 7, 15, 21, 105} (f) {2, 3, 5, 6, 10, 21, 30}

4.79. Razona en cada uno de los casos siguientes si se tiene un retículo, un semirretículo inferior, un semirretí-culo superior, o ninguna de las tres cosas, tomando como orden la relación de inclusión.

(a){A ∈ P(N) | A es finito} (b) {A ∈ P(N) | A es infinito} (c) {A ∈ P(N) | |A| es par}(d) {A ∈ P(N) | N \ A es finito} (e){A ∈ P(N) | |A| ≤ 10} (f) {A ∈ P(N) | |A| > 10}

4.80. Sean(A1,⊑1) y (A2,⊑2) dos retículos. Demuestra que(A1 × A2,⊑) es también un retículo, siendo⊑el orden definido como:(x, y) ⊑ (x′, y′) ⇐⇒ x ⊑1 x′, y ⊑2 y′.

4.81. SobreN1 × N1 se define la siguiente relación binaria:(x, y) ⊑ (x′, y′) ⇐⇒ x | x′ e y ≤ y′.

(a) Demuestra que(N1 × N1,⊑) es un retículo.

(b) Estudia si(N1 × N1,⊑) es o no un orden total.

(c) SeanS1, S2 ⊆ N1 × N1 definidos como sigue:

S1 = {(1, 4), (2, 8), (3, 8), (30, 10), (42, 10)},S2 = {(2, 4), (3, 4), (30, 8), (42, 8), (210, 10)}.

Para cada uno de estos dos subconjuntos, dibuja el diagrama de Hasse correspondiente al orden delenunciado y razona qué elementos extremos y extremales existen.

4.82. Demuestra que en un retículo(A,⊑) cualquier subconjunto finito no vacíoS ⊆ A tiene supremo⊔

S eínfimo

dS.

4.83. Demuestra que en un retículo(A,⊑), el supremo⊔

∅ y el ínfimod

∅ no siempre existen. ¿Qué propiedaddebe de cumplir el retículo para que existan?

4.84. Un retículo(A,⊑) se llamacompletosi cualquier subconjuntoS ⊆ A (finito o infinito) tiene supremo⊔

Se ínfimod

S. Estudia cuáles de los retículos del ejercicio 4.79 son completos.


4.85. Supongamos dados un conjuntoA y dos operaciones binarias⊔,⊓ : A × A → A que cumplan las leyesde conmutatividad, asociatividad, idempotencia y absorción (véase la sección??). Demuestra:

(a) Para todox, y ∈ A : x ⊔ y = y ⇐⇒ x ⊓ y = x.

(b) La relación binaria⊑ definida comox ⊑ y ⇐⇒ x ⊔ y = y es de orden.

(c) (A,⊑) es un retículo y para todox, y ∈ A se cumple quex ⊔ y es el supremo de{x, y} y quex ⊓ yes el ínfimo de{x, y}.

4.86. Demuestra que el retículo(N1, |), donde| denota el orden de divisibilidad, es distributivo. Razona porqué no es un álgebra de Boole.

4.87. SeanF = {A ∈ P(N) | A es finito} y CF = {A ∈ P(N) | A es cofinito}. Razona por qué motivo(F ,⊆)

y (CF,⊆) no son álgebras de Boole.

4.88. EnN1 × N1 se define la relación:(a, b) R(c, d) ⇐⇒ a | c y d | b.

(a) Demuestra queR es un orden.

(b) ¿EsR un orden total?

(c) Dibuja el diagrama de Hasse para el ordenR restringido al subconjuntoA = {1, 2, 4, 6} × {2, 4}.(d) Calcula los elementos maximales, minimales, máximo, mínimo, cotas superiores e inferiores, su-

premo e ínfimo del conjuntoS = {(2, 2), (2, 4), (4, 4)} con el ordenR y con respecto al conjuntoA.

(e) ¿Es(A, R) un retículo?

4.89. Demuestra que si(A, R) es un conjunto ordenado que además es un retículo, entonces:

(a) (A, R−1) es un conjunto ordenado,

(b) (A, R−1) es también retículo.

P({∅})

(

nm

)

N

COMBINATORIA

CAPÍTULO

55


5.1. ¿Cuántos triángulos determinan 24 puntos, entre los cualesno hay tres alineados, del plano?

(a) (24)3 (b)

(

24

3

)

(c) (24)3

5.2. ¿Cuántos números entre 100 y 1 000 se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4, que tengan todas suscifras distintas?

(a) 4· (4)2 (b) (5)3 − (5)2 (c) (5)3

5.3. ¿De cuántas maneras se pueden repartirn estudiantes en dos equipos indistinguibles que contengan almenos un estudiante cada uno?

(a)n! (b) 2n (c) 2n−1 − 1

5.4. ¿Cuál es el número de resultados posibles al tirar tres monedas indistinguibles?

(a) 3! (b)

(

3

2

)

(c)

(

2 + 3 − 1

3

)

5.5. ¿Cuál es el número de resultados posibles al tirar tres dadosindistinguibles?

(a)

(

6

2, 2, 2

)

(b)

(

6 + 3 − 1

3

)

(c)

[

6

2

]

5.6. ¿De cuántas maneras diferentes puede reordenarse la palabraCENICIENTA?

(a) 10! (b)

(

10

2, 2, 2, 2, 1, 1

)

(c)

(

10

6

)

5.7. ¿De cuántas maneras diferentes puede reordenarse la palabra CENICIENTA, si las letras repetidas vansiempre juntas?


(a) 6! (b)

(

6

2, 2, 2

)

(c)

(

6

3

)

5.8. ¿De cuántas maneras diferentes pueden reordenarse las letras de la palabraRIFIRRAFE?

(a)

(

9

3, 2, 2, 1, 1

)

(b) 9! (c)

(

9

3

)

5.9. ¿De cuántas maneras diferentes pueden reordenarse las letras de la palabraRIFIRRAFE, si las letrasrepetidas tienen que ir siempre juntas?

(a)

(

9

3, 2, 2, 1, 1

)

(b) 5! (c)

(

9

5

)

5.10. ¿De cuántas maneras diferentes pueden reordenarse las letras de la palabraTRABAJAR?

(a)

(

8

6

)

(b) 8! (c)

(

8

1, 2, 3, 1, 1

)

5.11. ¿De cuántas maneras diferentes pueden reordenarse las letras de la palabraTRABAJAR, si imponemos larestricción de que las 3 letrasA tienen que ir juntas?

(a)

(

6

1, 2, 1, 1, 1

)

(b) 6! (c)

(

8

6

)

5.12. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 7 personas alrededor deuna mesa circular?

(a) 7! (b) 7· 6 (c) 6!

5.13. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 7 personas alrededor deuna mesa circular, si dos se empeñan ensentarse juntas?

(a) 6! (b) 5!· 2 (c) 5!

5.14. El coeficientek del término de grado 10 en(1 + x)20 cumple:

(a)k =(

20

11

)

(b) k =(

20

10

)

(c) k =(

20

9

)

5.15. El coeficientek del término de grado 15 en(2y + 1)17 cumple:

(a)k =(

17

15

)

215 (b) k =(

17

15

)2

(c) k =(

15

17

)

5.16. El coeficiente dea3b2 en el desarrollo de(a + b + 1)8 es igual a:

(a)

(

8

3

)(

8

2

)

(b) (8)3(8)2 (c)

(

8

3, 2, 3

)

5.17. El coeficiente dex2y2 en el desarrollo de(x + 2 + y)6 es igual a:

Combinatoria 41

(a)

(

6

2

)(

6

2

)

(b)

(

6

2, 2, 2

)

22 (c)

(

6

2, 2, 2

)

5.2. EJERCICIOS

5.18. Demuestra que entre los asistentes a una reunión de seis personas siempre ocurre uno de los dos casossiguientes:

Se pueden encontrar tres personas, cada una de las cuales conoce a las otras dos.

Se pueden encontrar tres personas, cada una de las cuales desconoce a las otras dos.

Pista: Expresa el conjuntoX de las personas asistentes a la reunión como la unión{a} ∪ C ∪ D, siendoa cualquiera de los asistentes,C el conjunto de asistentes que son conocidos dea y D el conjunto deasistentes que son desconocidos dea.

5.19. En cierto ecosistema hay 18 especies de animales. Cada especie depredadora caza 2 especies diferentes.A su vez, cada especie no depredadora es perseguida por 4 especies depredadoras diferentes. Además, sesabe que toda especie es perseguida o depredadora y ninguna es las dos cosas a la vez. ¿Cuántas especiesdepredadoras hay?

5.20. En un poblado africano hay 32 misioneros, cada uno de los cuales ha convertido a 5 indígenas. Por otraparte, cada indígena ha sido convertido por 8 misioneros. ¿Cuál es el número de indígenas?

5.21. En un centro docente han decidido, por motivos administrativos, que cada alumno tiene que matricularseexactamente en cuatro de las siete asignaturas existentes.Los profesores informan de que el número deasistentes a ellas son 40, 32, 21, 31, 23, 25 y 16, respectivamente.

(a) ¿Puede obtenerse el número total de alumnos del centro?

(b) ¿Qué conclusiones se podrían deducir en el caso de que la suma de las asistencias fuese 185?

5.22. Supongamos que 14 estudiantes sacan un sobresaliente en el primer examen de matemática discreta yque 18 estudiantes sacan un sobresaliente en el segundo examen. Si un total de 22 alumnos sacaronsobresaliente en alguno de los dos exámenes, ¿cuántos sacaron sobresaliente en ambos exámenes?

5.23. Un experimento realizado con 67 perros guardianes de la urbanización “Sotos del Fijodalgo” ha arrojadolos siguientes resultados: 47 animalillos muerden, 35 ladran y 23 muerden y ladran.

(a) ¿Cuántos cancerberos habrá que ni muerdan ni ladren?

(b) Si posteriores experimentos muestran que 20 de los chuchos están rabiosos, de los cuales 12 muer-den, 11 ladran y 5 muerden y ladran, ¿cuántos canes habrá exentos de ladrido, mordida y rabia?

5.24. En un cohete espacial hay 3 tareas, A, B y C, que resultan fundamentales para el funcionamiento de lanave. Para aumentar la seguridad se exige que:

Exactamente 6 astronautas deben ser capaces de realizar la tarea A, 4 la tarea B y 4 la tarea C.

Exactamente 2 astronautas deben ser capaces de realizar las3 tareas.

Cada pareja de tareas tiene que poder ser realizada por 3 astronautas.

Todos los astronautas deben ser capaces de realizar al menosuna de las tareas.


En estas condiciones, calcula:

(a) ¿Cuántos astronautas componen la tripulación del cohete?

(b) ¿Cuántos astronautas son capaces de realizar únicamente la tarea A?

(c) ¿Cuántos astronautas son capaces de realizar la tarea B pero no la C?

5.25. En una escuela de idiomas hay 65 personas dando clase y cada una de ellas sabe al menos un idiomaextranjero. Hay 50 personas que saben inglés, 35 alemán y 30 francés. Hay 25 que saben inglés y alemán,20 que saben inglés y francés, y 15 que saben alemán y francés.

(a) ¿Cuántas personas saben los tres idiomas?

(b) ¿Cuántas personas saben exactamente dos idiomas?

(c) ¿Cuántas personas saben solo inglés, solo francés y soloalemán?

5.26. En una encuesta realizada sobre una muestra de 100 personas lectoras de periódicos se han obtenido lossiguientes resultados:

no hay nadie que lea los tres periódicos disponibles:El Mulo, El Popurrí y El Revolcón,

4 personas leenEl Mulo y El Revolcón,

9 personas leenEl Popurrí y El Revolcón,

14 leenEl Mulo y El Popurrí,

19 leen únicamenteEl Revolcón,

24 leen solamenteEl Mulo, y

29 solo leenEl Popurrí.

¿Cuántas personas han respondido a la encuesta con “No sabe /No contesta”?

5.27. Calcula cuántos números naturalesn de tres cifras significativas existen tales que:

(a) n es divisible por 3 (respectivamente 7; 11).

(b) n es divisible por 3 y 7 (respectivamente 3 y 11; 7 y 11).

(c) n es divisible por 3, 7 y 11.

Aplicando el principio de inclusión y exclusión, calcula ahora cuántos números naturales de tres cifrassignificativas existen que no sean divisibles ni por 3, ni por7 ni por 11.

5.28. La clave para sacar dinero en cajeros automáticos es una cadena formada por cuatro dígitos. ¿Cuántosclientes debe tener como mínimo una entidad bancaria para garantizar que al menos dos de ellos tienenla misma clave?

5.29. Fructuosa Calamidad, avezada pitonisa, echa las cartas en el Retiro. Trabaja con una baraja de 40 cartasdiferentes. Para determinar el futuro, Fructuosa extrae 5 cartas de su baraja y no tiene en cuenta el orden.

(a) ¿Cuántos futuros distintos puede haber con este método?

(b) ¿Y si decide tener en cuenta el orden?

5.30. Al marcar un número de teléfono, un abonado olvida las tres últimas cifras y, acordándose únicamentede que estas cifras son diferentes, las marca al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la llamada se haga alnúmero correcto? Recuerda que laprobabilidadde un suceso se calcula como el cociente entre el númerodecasos favorablesy el número decasos posibles.

Combinatoria 43

5.31. En un ascensor de un edificio de 4 plantas viajan 5 personas. Sesabe que todas las personas se van abajar en alguna planta (aunque puede haber plantas en las queno se baje ninguna persona). ¿Cuántasposibilidades hay?

5.32. Supongamos que se fabrican llaves haciendo incisiones en varias posiciones de una llave virgen. Supo-niendo que haya 8 profundidades posibles para las incisiones, ¿cuál es el menor número de posicionesque permite fabricar un millón de llaves diferentes?

5.33. Carpanta ha sido invitado por Don Pantuflo a consumir comidasde 4 platos diferentes a elegir de un menúde 10 platos. El mecenas pagará día tras día a tocateja mientras la imaginación del comensal alcance ano repetir una comida ya seleccionada en algún día anterior.¿Por cuántos días, como máximo, subsistiráCarpanta a costa de su bienhechor?

5.34. Los estudiantes de un instituto van a vender camisetas para financiar el viaje de fin de curso. Todas lascamisetas tienen el mismo diseño, pero hay cuatro tallas distintas: M, L, XL y XXL. Si cada estudiantetiene que vender 20 camisetas, eligiendo entre las cuatro tallas, calcular el número total de eleccionesposibles.

5.35. Se tienen 4 pelotas de golf y 10 cajas distintas. Determinar de cuántas maneras diferentes pueden distri-buirse las pelotas en las cajas si:

(a) Todas las pelotas son distintas y en ninguna caja cabe másde una pelota.

(b) Las pelotas son todas iguales y en ninguna caja cabe más deuna pelota.

(c) Las pelotas son todas iguales y en cada caja caben cuantaspelotas se quieran meter.

(d) Las pelotas son distintas y en cada caja caben cuantas pelotas se quieran meter.

5.36. La palabra clave para acceder a un servidor de internet está formada por 4 caracteres, que se pueden elegirentre 26 letras minúsculas y 10 dígitos. Calcular el número de palabras clave que se pueden formar

(a) sin ninguna restricción adicional,

(b) usando solamente letras,

(c) usando solamente letras, sin repetirlas,

(d) usando al menos un dígito.

5.37. Bertoldo Follón, programador de profesión, está intentando arreglar un programa de 10 000 líneas queno funciona correctamente. Un compañero le ha dicho que seguramente basta con intercambiar el ordende dos líneas del programa para que este funcione. Bertoldo decide entonces probar todos los posiblesintercambios de líneas: la 1 con la 2, la 1 con la 3, y así sucesivamente.

(a) En el peor de los casos y si su amigo está en lo cierto, ¿cuántos intercambios de líneas tendrá quehacer Bertoldo para arreglar el programa?

(b) Bertoldo descubre que hay 3 líneas que se repiten 100, 25 y250 veces, respectivamente. ¿Cuántosintercambios de líneas tendrá que hacer Bertoldo en el peor caso, a la luz de esta nueva información?

5.38. Demuestra que, cuando se arrojan cuatro dados indistinguibles, el número de resultados posibles es 126.¿Cuál sería el número de resultados posibles al arrojarn dados indistinguibles?


5.39. En un rebaño de 15 “ovejas” hay, en realidad, solo 5 ovejas y 10lobos disfrazados. Uno de los lobosdecide tomarse de merienda dos de las ovejas. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de susvíctimas sea un colega?

5.40. En un rebaño de 15 “ovejas” hay, en realidad, solo 5 ovejas y 10lobos disfrazados. El pastor escoge alazar 5 animalillos. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de entreellos sean lobos?

5.41. En un taller trabajan 6 hombres y 4 mujeres. Por sorteo se han escogido 7 personas al azar. Hallar laprobabilidad de que entre las personas seleccionadas haya 3mujeres.

5.42. La directiva de la asociación de gaiteros coruñeses está formada por 8 mujeres y 7 hombres. ¿De cuántasformas posibles puede constituirse un comité formado por 3 mujeres y 4 hombres? ¿Y con la restricciónadicional de que la Sra. Grelos y el Sr. Lacón no figuren simultáneamente en el comité?

5.43. En una clase de 100 estudiantes hay 40 hombres y 60 mujeres. Sedesea formar un equipo de baloncesto,que deberá estar compuesto por 10 personas.

(a) ¿De cuántas maneras se puede formar el equipo, sin imponer ninguna restricción al sexo de suscomponentes?

(b) ¿Cuál es el número de posibilidades, si se impone la restricción de que en él haya 4 hombres y 6mujeres?

(c) Curro y Macarena no se soportan y no aceptan formar parte de un mismo equipo. Con esta restric-ción adicional, ¿de cuántas maneras se puede formar un equipo de 4 hombres y 6 mujeres?

5.44. ¿Cuántas palabras de longitud 8 pueden formarse con las cinco vocales, si se impone la restricción de quea aparezca exactamente 3 veces yu aparezca exactamente 2 veces?

5.45. Una heladería tiene 14 sabores diferentes, 4 tipos de crema y6 complementos para añadir al helado.

(a) ¿Cuántas elecciones de tarrinas pequeñas hay, si una tarrina pequeña consiste en una bola de helado,una crema y un complemento?

(b) ¿Cuántas elecciones de tarrinas grandes hay, si una tarrina grande se compone de tres bolas de heladode sabores diferentes, dos tipos diferentes de crema y tres complementos distintos, y el orden de losingredientes no importa?

5.46. Se distribuyen 100 sillas iguales entre cinco seminarios; en los dos mayores se colocan en total 50 sillas.¿Cuántas distribuciones distintas pueden plantearse?

5.47. Calcula de cuántas maneras diferentes pueden reordenarse las letras de la palabraPALIO de manera queni LA ni PIO sean parte de la palabra resultante.

5.48. El barrio viejo de una ciudad se puede representar mediante una cuadrícula de dimensión 12× 12, comose indica en la siguiente figura. Horacio (H) ha ido de copas a la taberna, situada en la esquina Noroestedel barrio, y tiene que regresar a su casa (C), situada en la esquina Sureste, siguiendo un camino queavance en cada paso en una de las direcciones Sur o Este, sin dirigir ningún paso hacia el Norte o elOeste. Maruja (M), la mujer de Horacio, está emboscada a medio camino para darle un rapapolvo cuandovuelva, mientras el amigo Bartolo (B) espera en otro lugar a encontrarse con Horacio para acompañarle.

Combinatoria 45

uH

uM

uB

uC

(a) ¿Cuántos caminos diferentes puede seguir Horacio para llegar a casa?

(b) ¿Cuántos caminos pasan por el lugar donde está Maruja? ¿Cuántos pasan por el sitio donde estáBartolo? ¿Cuántos caminos pasan por los dos lugares?

(c) Suponiendo que Horacio (medio beodo) escoja un camino alazar, ¿cuál es la probabilidad de queregrese a casa evitando a Maruja y encontrando a Bartolo?

5.49. Calcula el número de términos que resultan al desarrollar(x + y+ z)n y agrupar términos según las leyesdel álgebra elemental; por ejemplo, paran = 2 se obtienen 6 términos, ya que

(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz+ 2yz.

5.50. Explica un método sistemático para construir todas las variaciones sin repetición de 3 letras, tomadas deentre las 5 vocales. Generalízalo al caso de las variacionessin repetición dem elementos tomados deentren.

5.51. Demuestra que el número de palabras binarias (usando los caracteres 0 y 1) de longitudn que contienen

exactamentem veces el carácter 1 es

(

n

m

)

.

5.52. Demuestra que el número den-tuplas(x1, x2, . . . , xn) ∈ Nn de números naturales que satisfacen la

ecuaciónx1 + x2 + · · · + xn = m es igual a

(

n + m − 1

m

)

.

5.53. Bart’Ohlo está organizando una campaña de venta de burros y tractores en el poblado de Otheka, quetiene 8 familias. En Otheka, la ley obliga a que cada familia tenga o bien un burro o bien un tractor o bienlas dos cosas. Bart’Ohlo quiere estudiar de cuántas manerasdistintas pueden las 8 familias adquirir burrosy tractores, de modo que haya una familia que adquiera un burro, 4 familias que adquieran un tractor y 3familias que adquieran ambas cosas. Ayúdale.

5.54. Bertoldo tiene 6 libros de informática. Está pensando en colocarlos todos en una misma estantería en laque caben justos. Calcula de cuántas formas puede colocarlos si:

(a) Se trata de 6 libros diferentes.


(b) De los 6 libros, uno está repetido 3 veces y otro repetido 2veces. A Bertoldo no le importa si loslibros repetidos quedan juntos o no.

(c) De los 6 libros, uno está repetido 3 veces y otro repetido 2veces. Bertoldo quiere que los librosrepetidos queden juntos.

(d) Entre los 6 libros hay 3 libros de Matemática Discreta diferentes, que quiere que queden juntos.

5.55. Calcula cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabraPATATA. ¿Y si soloconsideramos palabras en las que las dosT aparecen juntas?

5.56. Consideremos la palabraPEPPERCORN.

(a) ¿Cuántas cadenas distintas se pueden formar con todas las letras de esa palabra?

(b) ¿Cuántas de esas cadenas empiezan y terminan con la letraP?

(c) ¿En cuántas de las cadenas del primer apartado aparecen juntas las tres letrasP?

5.57. Suponiendo quem1 + · · · + mn = k, encuentra una fórmula para calcular el número de palabras delongitudk que pueden formarse con un alfabeto den letras, obedeciendo la restricción de que lai -ésimaletra del alfabeto debe aparecer en la palabra exactamentemi veces (para todo 1≤ i ≤ n).

5.58. El examen de Matemática Discreta se va a realizar en las aulasA, B, C y D. Si van a examinarse 164alumnos, ¿de cuántas maneras pueden distribuirse en las aulas?

(a) Si no hay restricción en el número de alumnos que se colocan en cada aula.

(b) Si en cada aula se coloca el mismo número de alumnos.

(c) Si las aulas fueran indistinguibles y en cada aula se colocara el mismo número de alumnos.

5.59. Se dispone de tres símbolos para formar palabras de longitudseis. ¿Cuántas palabras distintas puedenformarse con dichos símbolos de forma que cada uno de ellos aparezca como máximo cuatro veces enuna palabra?

5.60. En la corte del rey Leocadio y la reina Leonora hay un total de 16 bufones, cada uno de los cuales conoceun solo arte de entretenimiento. Hay 4 bufones flautistas, 5 bufones malabaristas y 7 bufones acróbatas.En cada uno de los apartados que siguen, hay que razonar las fórmulas utilizadas y presentar la soluciónen la forma más simplificada posible.

(a) Para entretener por las tardes a la princesa Petronila, se forma un equipo de bufones compuestopor 2 flautistas, 3 malabaristas y 4 acróbatas. La princesa esmuy caprichosa y desea cada tarde unequipo diferente. ¿Durante cuántos días será posible complacerla sin enrolar nuevos bufones?

(b) ¿Cuál sería la respuesta a la cuestión anterior con la restricción adicional de que los acróbatasJorobeta y Cojuelo no puedan formar parte del mismo equipo?

(c) Para el día de Año Nuevo, sus majestades desean obsequiara tres nobles del reino, enviando 2bufones acróbatas al conde de Coca, otros 2 bufones acróbatas al marqués de Raya y otros 3 bufonesacróbatas al duque de Peta. ¿De cuántas maneras diferentes se puede organizar el envío?

(d) ¿Cuál sería la respuesta al apartado anterior con la restricción adicional de que el acróbata Jorobetano sea enviado al duque de Peta?

5.61. En un taller hay plazas numeradas para aparcar los coches en espera de ser reparados según su orden deentrada. En una colisión resultan averiados 16 vehículos que son llevados simultáneamente a dicho taller.

Combinatoria 47

Se sabe que 3 son de la marcaOpel, 5 de la marcaRenaulty los restantes de la marcaCitroën, pero nohay distinción entre los vehículos de la misma marca.

(a) Calcula el número total de formas distintas de colocar los vehículos averiados en las plazas deespera.

(b) Repite el cálculo, con la restricción de que no pueden aparecer dos vehículos de la marcaCitroënseguidos.

Pista: Empieza viendo las posibles formas de colocar losCitroënen las plazas de aparcamiento.

(c) ¿Cuántas colocaciones distintas habrá, si no se pueden poner dos coches de la misma marca segui-dos?

5.62. Dados conjuntos finitos,A y B, de cardinales respectivos|A| = m y |B| = n, calcula:

(a) El número de funciones diferentesf : A → B.

(b) El número de funciones inyectivas diferentesf : A → B.

(c) El número de funciones biyectivas diferentesf : A → B.

5.63. SeanA y B conjuntos finitos de cardinales respectivos|A| = m y |B| = n.

(a) Utiliza el principio de inclusión-exclusión para hallar el número de funciones suprayectivas deA enB, si n = 3 y m ≥ 3.

(b) Generaliza el resultado del apartado anterior paran, m ∈ N1 cualesquiera conm ≥ n (notemos quesi m < n no puede haber funciones suprayectivas deA en B).

5.64. SeanA = Z/(5) y B = Z/(3).

(a) Calcula el número de funciones diferentes deA en B.

(b) Calcula el número de funciones inyectivas diferentes deA en B. ¿Cuántas funciones inyectivasdiferentes hay deB en A?

(c) Calcula el número de funciones sobreyectivas diferentes deA en B.

5.65. Aplica el teorema binomial para desarrollar las expresiones siguientes:

(a) (1 + x)4.

(b) (1 − x)7.

(c) (x + 2y)5.

(d) (x2 + y)4.

5.66. Demuestra que, param, n > 0, se verifica la identidad siguiente:(

n + m

m

)

=(

n + m − 1

m

)

+(

n + m − 2

m − 1

)

+ · · · +(

n

1

)

+(

n − 1

0

)

.

Pista: Comienza aplicando la identidad(

n + m

m

)

=(

n + m − 1

m

)

+(

n + m − 1

m − 1

)

y sigue desarrollando del mismo modo el segundo sumando.


5.67. Usa la identidad(1 + x)m+n = (1 + x)m(1 + x)n para demostrar que:(

m + n

k

)

=(

m

0

)(

n

k

)

+(

m

1

)(

n

k − 1

)

+ · · · +(

m

k

)(

n

0

)

,

siendom ≥ k ≥ 0, n ≥ k ≥ 0.

5.68. Una máquina tragaperras genera al azar un resultado cada vezque se inserta una moneda de un euro.Cada resultado posible es una serie ordenada formada por cinco figuras de frutas, cada una de las cualespuede ser una naranja, un limón o un plátano. Calcula razonadamente el número de resultados posiblesen cada uno de los siguientes casos:

(a) Unpremio limónse obtiene si en la serie de figuras que muestra la máquina aparecen tres limones(no necesariamente seguidos) y otras dos frutas que no sean limones.

(b) Unpremio naranjase gana si en la serie de figuras aparecen dos naranjas (no necesariamente segui-das) y otras tres frutas que no sean naranjas.

(c) Un premio cítricose obtiene si en la serie de figuras que muestra la máquina aparecen tres limones(no necesariamente seguidos) y dos naranjas (no necesariamente seguidas).

(d) Un resultadoperdedores aquel que no es ni un premio limón ni un premio naranja (con lo cual,necesariamente, tampoco es un premio cítrico).

5.69. El político Gundisálvez es famoso por el cuidado con el que prepara sus discursos, según las diferentesaudiencias a las que debe dirigirse. Su vocabulario consta de un total de 510 palabras, de las cuales utiliza:

400 cuando habla en el Parlamento,

300 cuando habla ante las cámaras de TV,

60 cuando le oye su señora,

200 en los discursos parlamentarios televisados,

45 en los discursos parlamentarios que son escuchados por suseñora,

27 cuando habla por TV y es escuchado por su señora.

(a) ¿A cuántas palabras queda reducido el vocabulario de Gundisálvez para discursos parlamentariosque sean a la vez televisados y escuchados por su señora?

(b) En sus discursos parlamentarios, Gundisálvez siempre repite 50 veces la palabra “crisis”, no repiteninguna otra palabra disponible para la audiencia de que se trate y habla lo más posible. En estascondiciones, ¿cuántos discursos parlamentarios diferentes puede pronunciar nuestro personaje antelas cámaras de TV y siendo oído por su señora?

(c) En la intimidad de su domicilio, Gundisálvez pronuncia cada noche ante su señora discursos do-mésticos de la mayor amplitud posible, en los cuales la palabra “crisis” es censurada, las palabras“cena” y “estúpida” se repiten 20 y 15 veces, respectivamente, y ninguna otra palabra disponible serepite. La señora de Gundisálvez ha decidido pedir el divorcio por crueldad mental, tan pronto comosu marido cometa la torpeza de endosarle por segunda vez alguno de estos discursos domésticos.¿Por cuántos años (de 365 días) se sostendrá, como máximo, elmatrimonio de nuestro héroe?

Nota: A efectos de todo lo anterior, suponemos que la elocuencia de Gundisálvez le arrastra a hilvanar ensus discursos series cualesquiera de palabras, por incoherentes que estas puedan parecer, aunque siempredentro de las limitaciones antedichas.

5.70. En la Facultad de Cibernáutica de la Universidad Pitufense hay un total de 61 alumnos que saben tocaralgún instrumento musical. De entre ellos, 32 tocan la flauta, 25 tocan el violín, 31 tocan el clarinete, 8tocan la flauta y el violín, 10 tocan el violín y el clarinete, y12 tocan la flauta y el clarinete.

Combinatoria 49

(a) ¿Cuántos alumnos saben tocar la flauta, el violín y el clarinete?

(b) ¿Cuántos saben tocar el violín y el clarinete, pero no la flauta?

(c) ¿Cuántos saben tocar el violín y la flauta, pero no el clarinete?

(d) ¿Cuántos saben tocar solamente el violín?

(e) ¿De cuántas maneras distintas se puede organizar un quinteto de alumnos cibernautas pitufensesformado por: dos músicos que toquen el violín, la flauta y el clarinete, dos músicos que toquensolamente el violín y el clarinete, y un músico que toque soloel violín?

5.71. La horda del Clan del Oso Piojoso se compone de 29 cavernícolas, de los cuales 14 saben manejar lacachiporra de abedul, 17 saben manejar la lanza de fresno, 16saben manejar el cuchillo de sílex, 7 sabenmanejar la cachiporra y la lanza, 8 saben manejar la cachiporra y el cuchillo, 10 saben manejar la lanza yel cuchillo, y 3 dominan el manejo de las tres armas.

(a) Considerandoineptosa aquellos cavernícolas que no sepan manejar ninguna de las tres armas,¿cuántos cavernícolas ineptos se encuentran en la horda?

(b) Considerandohábilesa los cavernícolas que sepan manejar al menos dos armas diferentes ynovatosa quienes sepan manejar un solo tipo de arma, ¿cuántos cavernícolas hábiles y cuántos novatos seencuentran en la horda?

(c) Según las tradiciones del clan, una partida de caza se debe componer de: un cazador jefe, quedomine el manejo de las tres armas; otros tres cazadores hábiles, que no dominen el manejo delas tres armas; dos cazadores novatos; y, finalmente, dos ineptos, encargados de acarrear las piezascobradas. Calcula cuántas partidas de caza diferentes se pueden organizar en la horda del Clan delOso Piojoso.

5.72. En la sala de pequeñines de la guarderíaEl Enano Gruñónhay un total de 10 enanos, de los cuales sesabe que 5 lloran, 4 gritan, 5 patalean, 2 lloran y gritan, y 2 lloran y patalean. Se sabe, además, que unsolo crío, llamado Barrabás, llora, grita y patalea a la vez,y que Angelito es la única criatura que ni llora,ni grita, ni patalea.

(a) Calcula razonadamente cuántos enanos hay que griten y pataleen.

(b) En los carnavales, los enanos se van a disfrazar. Se dispone de 3 disfraces de indio, 3 de vaquero y 4de caballo. Suponiendo que los disfraces de un mismo tipo sonindistinguibles entre sí, ¿de cuántasmaneras diferentes se puede organizar el reparto de disfraces?

(c) Suponiendo que el reparto de disfraces se haga al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el disfraz deBarrabás no sea de caballo?

(d) ¿Cuál es la probabilidad de que Barrabás no vaya disfrazado de caballo, si pedimos además queAngelito vaya de indio?

5.73. En la corte del rey Leocadio hay un total de 60 bufones, de los cuales 21 tocan la flauta, 20 tocan elsalterio, 22 tocan el pandero, 7 tocan la flauta y el salterio,8 tocan la flauta y el pandero, 9 tocan elsalterio y el pandero, y 18 no tocan ninguno de los tres instrumentos. Responde razonadamente a lascuestiones siguientes, justificando las fórmulas empleadas y simplificando el resultado lo más posible.

(a) ¿Cuántos bufones saben tocar los tres instrumentos?

(b) ¿Cuántos bufones sonpercusionistas, entendiendo por tales a los que toquen el pandero pero notoquen ni la flauta ni el salterio?

(c) El rey planea regalar tres bufones percusionistas al conde de Malasaña y otros dos a la duquesa deRascafría. Suponiendo que los bufones regalados se elijan al azar, ¿cuál es la probabilidad de queMatracas, uno de los bufones percusionistas, vaya a parar a manos de Malasaña?


5.74. En la biblioteca del licenciado Vidrieras hay un total de 36 libros, de los cuales 27 son gordos, 21 sonfranceses,x son licenciosos, 18 son gordos y franceses, 7 son gordos y licenciosos, 5 son franceses ylicenciosos, y 3 son al mismo tiempo gordos, franceses y licenciosos. Responde razonadamente a lascuestiones siguientes, justificando las fórmulas empleadas y simplificando los resultados lo más posible.

(a) ¿Cuál es el númerox de libros licenciosos que hay en la biblioteca del licenciado?

(b) En opinión de Vidrieras, los libros gordos y franceses que no sean licenciosos son aburridos. ¿Cuán-tos libros aburridos tiene el licenciado en su biblioteca?

(c) Vidrieras ha decidido repartir los libros aburridos de su biblioteca en cuatro lotes: un lote de treslibros que se quedará él mismo y otros tres lotes con el mismo número de libros cada uno, queregalará al alcalde, al boticario y al cura de su pueblo. ¿De cuántas maneras diferentes se puedehacer el reparto?

(d) Terminado el reparto, Vidrieras se dispone a colocar loslibros que le quedan en la gran estanteríade su biblioteca, donde hay espacio para todos. ¿Cuántas maneras hay de efectuar la colocación,suponiendo que los libros licenciosos se coloquen todos seguidos al comienzo de la estantería y loslibros aburridos que él se ha quedado vayan todos seguidos alfinal?

5.75. Entre los 60 alumnos de primero y segundo de un colegio de primaria, se ha realizado una encuesta sobrela marca de chocolate consumida alguna vez entreNestlé, Zahor y Lindt. La encuesta ha arrojado elsiguiente resultado: el chocolateNestlélo consumen 26 alumnos, de los cuales 15 son de segundo;Zahorlo consumen 21 alumnos en total; en cuanto aLindt, lo han probado 13 de primero y 15 de segundo.Finalmente, 5 alumnos de cada curso manifiestan no haber consumido ninguno de estos tres chocolates.En segundo, 4 consumenNestléy Zahor, 5 Zahory Lindt, mientras que otros 5 dicen haber consumidolos chocolatesNestléy Lindt. En primero, el recuento pone de manifiesto que la suma de los alumnosque consumenNestléy Zahor, los que consumenZahory Lindt, y los que consumenNestléy Lindt da15. Teniendo en cuenta que ningún alumno está en dos cursos, contesta razonadamente a las siguientespreguntas:

(a) ¿Cuántos alumnos consumen las tres marcas de chocolate?

(b) Si de los anteriores, 3 son de primero, ¿cuántos alumnos de segundo consumen exclusivamente loschocolatesNestléy Lindt?

(c) Si los formularios de la encuesta fueran firmados, indicacuántos resultados posibles admite la en-cuesta, justificando tu respuesta (observa que el resultadodel enunciado dado más arriba es unocualquiera de todos los posibles).

(d) Supuesto ahora que los formularios son anónimos, ¿cuántos resultados diferentes puede haber quereflejen la siguiente situación: 30 alumnos consumenNestléy 10 consumenLindt, pero noNestlé?

5.76. En un conservatorio trabajan un total de 65 profesores de música, de los cuales 50 tocan el piano, 35tocan el violín, 30 tocan la flauta, 25 tocan el piano y el violín, 20 tocan el piano y la flauta, y 15 tocan elviolín y la flauta. Además, cada profesor sabe tocar al menos uno de estos tres instrumentos.

(a) ¿Cuántos profesores del conservatorio saben tocar los tres instrumentos?

(b) ¿Cuántos profesores tocan dos instrumentos, pero no lostres? ¿Cuántos tocan un solo instrumento?

(c) ¿Es posible repartir a los profesores del conservatorioque saben tocar solamente el piano en tresgrupos del mismo tamaño? En caso afirmativo, ¿cuál es el número de repartos posibles?

(d) ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar un trío compuesto por un pianista, un violinista yun flautista, elegidos de entre los profesores del conservatorio?

P({∅})

(

nm

)

N

GRAFOS

CAPÍTULO

66


6.1. Cualquier grafo con 6 vértices y 15 aristas tiene que ser necesariamente:

(a) completo (b) euleriano (c) bipartito

6.2. Cualquier grafo de 5 vértices y 3 aristas tiene que ser inevitablemente:

(a) conexo (b) euleriano (c) no hamiltoniano

6.3. SeaG = (V, E) un grafo conexo con|E| = 17 y gd(v) ≥ 3 para todos sus vérticesv ∈ V . ¿Cuál es elmáximo valor de|V |?

(a) 17 (b) 14 (c) 11

6.4. ¿Cuantos vértices se necesitan para obtener un grafo con 12 aristas y todos sus vértices de grado 3?

(a) 8 vértices (b) 3 vértices (c) 6 vértices

6.5. SeaG = (V, E) un grafo conexo con|E| = 25 y con gd(v) ≤ 3 para todos sus vérticesv ∈ V . ¿Cuál esel mínimo valor de|V |?

(a) 17 (b) 12 (c) 18

6.6. SeaG = (V, E) un grafo conexo con|E| = 6 y con gd(v1) = gd(v2) = gd(v3) = 3 para vérticesv1, v2, v3 ∈ V . ¿Cuál es el mínimo valor de|V |?

(a) 3 (b) 4 (c) 5

6.7. Dado un grafo conexo y eulerianoG = (V, E) tal que|E| = 28 y todos sus vérticesv ∈ V tienengd(v) > 3, se puede asegurar:

(a) |V | ≤ 14 (b)|V | > 15 (c)|V | = 14

6.8. SeaG = (V, E) un grafo tal que|V | = 25 y todos sus vérticesv ∈ V tienen gd(v) ≥ 3; entonces


(a) |E| = 25 (b)|E| ≥ 38 (c)|E| < 30

6.9. SeaG = (V, E) un grafo conexo con|E| = 2n y V = {v1, . . . , vn+1} para cierton ∈ N. Se sabe ademásque gd(vi ) = 3, para todovi ∈ V con 1≤ i ≤ n. ¿Cuál es el valor de gd(vn+1)?

(a) 2n + 2 (b)n − 1 (c)n

6.10. SeaG = (V, E) un grafo conexo tal que|V | = 2100 + 1 y gd(vi ) = 1 para todovi ∈ V con 2≤ i ≤2100+ 1. ¿Qué se puede asegurar de gd(v1)?

(a) gd(v1) = 1 (b) gd(v1) = 0 (c) gd(v1) es par

6.11. El número de hojas de un árbol ternario completo de tallan es:

(a) 3n−1 (b) 3n − 1 (c) 3n

6.12. Un árbol binario completo con 16 hojas, ¿cuántos nodos internos (ni) y cuántas aristas (ar) posee?

(a)ni = 15 yar = 24 (b)ni = 15 y ar = 30 (c)ni = 14 yar = 28

6.13. Un árbol binario completo con 15 nodos internos y 30 aristas,¿cuántas hojas posee?

(a) 8 (b) 16 (c) 32

6.14. ¿Cuál es el número de hojas de un árbol binario completo con 31nodos internos?

(a) 8 (b) 16 (c) 32

6.15. ¿Cuántas aristas tiene un bosque de árboles binarios completos de 8 hojas cada uno, si el bosque tiene 45vértices?

(a) 43 (b) 42 (c) 44

6.16. Un árbol binario de 16 hojas que no sea completo, tiene necesariamente:

(a) talla 4 (b) talla> 4 (c) talla 3

6.17. SeaG el grafo resultante de eliminar una arista de un árbol conn vértices, sin quitar ningún vértice.Entonces:

(a) G es conexo (b)G tienen − 2 aristas (c)G es hamiltoniano

6.18. Al quitar una arista a un árbol conn vértices (sin eliminar vértices) resulta un grafo,G, que cumple:

(a) G tiene 2 componentes conexas (b)G tienen − 1 aristas (c)G contiene un ciclo

6.2. EJERCICIOS

6.19. En cada una de las 5 torres de Wormtown está encerrada una hijadel rey Marschall. Desde la torre de laprincesa Dignata (D) no se ve la torre de Consumata (C), aunque sí las otras tres. Las princesas Adelhata(A), Zebedea (Z) y Omata (O) también ven solamente tres torres cada una. Consumata solove dos torres.

Grafos 53

Construye la tabla de adyacencia y la matriz de adyacencia deun grafo que tenga como vértices las torresy tal que dos vértices estén conectados por una arista cuandodesde la torre correspondiente a uno de ellosse pueda ver la torre correspondiente al otro. Dibuja el grafo.

6.20. El profesor Cerebelo y su mujer Florinda celebran una fiesta con otras cuatro parejas. Los invitadoshablan animadamente entre ellos, pero los miembros de cada pareja no hablan entre sí. Cerebelo es muyceloso y al final de la fiesta quiere averiguar con cuánta genteha hablado su mujer. Haciéndose el tonto,le pregunta a Florinda (que se fija en todos los detalles) con cuántas personas ha hablado cada uno delos asistentes, incluyéndola naturalmente a ella y excluyéndose a sí mismo. Florinda no quiere darle unarespuesta directa y le dice que no hay dos personas que hayan hablado con el mismo número de gente.Cerebelo hace un cálculo utilizando un grafo y al cabo de tressegundos se pone muy nervioso. Florinda letranquiliza diciéndole: “Querido, no estés celoso; las mujeres somos más parlanchinas que los hombres”.En medio segundo Cerebelo se tranquiliza y responde: “Así megusta, querida; vamos a casa”. Florindaasiente y observa: “Aunque no me he preocupado de controlarte, sé que has hablado solo con mujeres y ,además, con todas”.

¿Qué es lo que calculó Cerebelo en la primera ocasión? ¿Y en lasegunda? ¿Cómo supo Florinda conquién había hablado Cerebelo, sin necesidad de llevar el control durante la fiesta?

Pista: Piensa en un grafo con 10 vértices, uno por cada persona presente en la fiesta. Averigua concuántas personas tiene que haber hablado Florinda y, a partir de ahí, deduce el resto de las respuestas.

6.21. Demuestra que, siG es un grafo con más de un vértice, se pueden encontrar dos vértices diferentes deGque tengan el mismo grado.

6.22. Disponemos de 9 cables para montar una red de conexiones entre 6 ordenadores. ¿Es posible montar unared en la que cada ordenador esté conectado con otros cuatro?¿Y con otros tres? En caso afirmativo, ¿esúnica la red?

6.23. Suponiendo que en una reunión de vecinos el número total de vecinos esimpar, demuestra que al menosun asistente saluda a un número par de vecinos.

6.24. Construye la tabla de adyacencia y la matriz de adyacencia delos dos grafos siguientes y demuestra queson isomorfos. a f bge j

d chi1 2 345689

71 0

G1 G2


6.25. Suponiendo queG y G′ sean dos grafos isomorfos, demuestra que, para cada númerok ∈ N, el númerode vértices de gradok debe ser el mismo en ambos grafos.

6.26. El complementariode un grafoG = (V, E) es el grafoG = (V, E), cuyo conjuntoV de vértices es elmismo deG y cuyo conjuntoE de aristas está formado por todas las aristas{u, v} entre vértices deV queno pertenezcan aE (es decir, que no sean aristas deG). Suponiendo queG tengan vértices de gradosd1, . . . , dn, ¿cuáles serán los grados de los vértices deG?

6.27. Construye un grafo con 5 vértices de grado 2 que sea isomorfo asu complementario.

6.28. Dados los siguientes multigrafos, indica cuáles son isomorfos entre sí. Razona tus respuestas.

a bcd 2 3 4

1A B1 24 3

4 13 2

C D

6.29. Dados los siguientes grafos, indica cuáles de los grafosB, . . . , I pueden ser o no subgrafos deA. Razonatus respuestas.

Grafos 55be cdaA B C

D E F

G H I

6.30. Considera el grafo completoK5 y el grafoW4 dibujado a la derecha en la siguiente figura:

K5 W421 30 4

24 301

Demuestra que

(a) W4 es un subgrafo deK5, pero no un subgrafo completo.

(b) K4 es un subgrafo completo deK5.

6.31. Considera el grafoG dibujado en la figura siguiente:

56 Matemática Discreta para Informáticos a b cd e f j kg hi¿Es posible realizar enG un recorrido que pase exactamente una vez por cada arista? Encaso afirmativo,enumera las aristas en el orden correspondiente al recorrido.

6.32. El grafoQn = (Vn, En) corresponde a unhipercubode dimensiónn. Su conjunto de vérticesVn = {0, 1}n

tiene 2n elementos, que son todas las palabras binarias de longitudn, mientras que su conjunto de aristasEn viene determinado por la relación de adyacencia en la cual dos palabrasu, v ∈ Vn son adyacentes siy solo si difieren exactamente en un bit.

(a) Demuestra queQ1, Q2 y Q3 son hamiltonianos.

(b) Razonando por inducción sobren, demuestra queQn es un grafo hamiltoniano para todon ≥ 1.

6.33. Durante aquella época, que se conoció como la de lamovida, había cinco garitos de lo más peculiares:Ambigú, Barrabás,Cielo, Danzón yÉxtasis. Todos ellos se encontraban en el barrio de las callesdecolores, situados de la siguiente manera:

A estaba en el principio de la calle azul,B en el medio yC al final.

C (que estaba en una esquina) también se encontraba al principio de la calle negra,D en el medio yE al final.

E estaba situado en el cruce de 4 calles: por la calle rosa se llegaba aA, por la calle verde aB, porla amarilla aC y, como ya se dijo antes, por la calle negra aD.

(a) Dibuja un grafo que represente la situación descrita, demodo que los vértices sean los cinco garitosy las aristas se correspondan con tramos de calles.

(b) ¿Podían los marchosos de aquel entonces elegir un garitodesde el cual fuera posible un recorrido quepasara exactamente una vez por cada tramo de calle? ¿Podía hacerse este recorrido desde cualquierlocal? Justifica adecuadamente tu respuesta.

6.34. En la siguiente figura aparecen 5 regiones y 10 puentes:

Grafos 57

Construye un multigrafo que represente la situación, tomando como vértices las regiones y como aristaslos puentes. ¿Es posible un recorrido que cruce cada puente una sola vez y regrese al lugar de partida? ¿Esposible un recorrido que cruce cada puente una sola vez, finalizando en un lugar diferente del de partida?Razona tus respuestas.

6.35. Bertoldo vive en la ciudad deAlbricia. Las ciudades más cercanas sonBenitogrado,Cistundia,Diricetey Euloquia. Entre estas ciudades existen los siguientes caminos c(A, B) = 10, c(B, E) = 20, c(E, D) = 5,c(D, A) = 5, c(E, C) = 5, c(C, D) = 3, donde c(X,Y) = d indica que existe un camino de ida y vuelta dedkilómetros entre las ciudadesX e Y.

(a) Representa las ciudades y los caminos mediante un grafo valorado.

(b) Bertoldo quiere darse una vuelta por la zona, empezando yacabando en su ciudad y recorriendocada ciudad colindante una sola vez, ¿es esto posible? Si la respuesta es afirmativa, ¿qué recorridodebe seguir para hacer el trayecto lo más corto posible?

(c) Tras la excursión anterior, Bertoldo observa que conoceya todas las ciudades, pero no todos loscaminos. Decide hacer otra excursión empezando y acabando en Albricia, pero que esta vez recorratodos los caminos, pasando por cada uno una sola vez. ¿Es estoposible? Si la respuesta es afirmativa,¿qué recorrido debe hacer? Y si la respuesta es negativa, justifícala.

6.36. Consideremos el grafo no dirigido dado por la siguiente matriz de adyacencia:

A =

0 1 1 11 0 0 11 0 0 01 1 0 0

(a) Dibuja una posible representación gráfica del grafo dadopor la matrizA y calcula, a partir de lamatriz (explicando cómo), los grados de todos los vértices.

(b) Usa la matriz adecuadamente para calcular el número de caminos de longitud 2 entre cada par devértices.

(c) ¿Es el grafo dado porA euleriano? ¿Y semieuleriano? En caso afirmativo, da un recorrido apropiado.

(d) ¿Es el grafo dado porA hamiltoniano? En caso afirmativo, da un recorrido apropiado.

6.37. Consideremos el grafo no dirigido dado por la siguiente matriz de adyacencia:

A =

0 1 1 01 0 0 11 0 0 10 1 1 0

(a) Multiplica la matrizA consigo misma para calcular el número de caminos de longitud2 entre cadapar de vértices.

(b) Dibuja una posible representación gráfica del grafo dadopor la matrizA y calcula a partir de lamatriz (explicando cómo) el grado gd(vi ) de cada vérticevi , parai = 1, 2, 3, 4.

(c) Comprueba que, para todo vérticevi , se tiene que gd(vi ) = A2(i , i ) y justifica por qué esta propie-dad es cierta en general para cualquier grafo no dirigido.

6.38. En la superexposición mundial acerca de los próximos descubrimientos que ocurrirán a partir del año2020, se van a pronunciar ocho conferencias, que representamosA, B, C, . . . ,H, todas ellas sobreInteli-gencia Natural. Se han seleccionado los asistentes según su coeficiente intelectual y ha resultado que hay


asistentes capacitados para escuchar más de una conferencia. Tienen asistentes comunes las siguientesconferencias:A y B; B y C; D y E; F y H; A y E; G y H. La organización de la superexpo ha recibidola consigna de programar simultáneamente el mayor número posible de conferencias. ¿Cuántas sesionesparalelas hay que programar para que todos los asistentes puedan escuchar todas las conferencias para lasque están capacitados? Representa gráficamente el resultado.

6.39. Tal como se ha definido en el ejercicio 6.32,Qn es el grafo formado por los vértices y aristas de unhipercubo de dimensiónn. Construye diferentes ordenaciones de los vértices deQ3, para las cuales elalgoritmo voraz de coloreado de vértices requiera, respectivamente, 4, 3 y 2 colores.

6.40. Comprueba si los dos grafos siguientes son bipartitos; de noserlo, usa el algoritmo voraz de coloreadopara averiguar su número cromático.

a bd c

a bf c

e di jh g

G1 G2

6.41. Para cadan ≥ 3, el grafo cíclico Cn está formado por losn vértices de unn-ágono, conectados poraristas correspondientes a los lados. Para cadan ≥ 2, definimos el grafoMn como el resultado de añadira C2n aristas adicionales, correspondientes a las diagonales que conectan cada par de vértices opuestos.Demuestra que:

(a) χ(M2) = 4.

(b) χ(Mn) = 3 paran par,n > 2.

(c) Mn es bipartito paran impar.

6.42. SeaG un grafo conexo con número cromáticoχ(G) = k. Demuestra que existe una ordenación de losvértices deG para la cual el algoritmo voraz de coloreado de vértices requiere precisamentek colores.

6.43. Dado el grafo no dirigido que aparece en la figura, contesta a las siguientes cuestiones, justificandoapropiadamente las respuestas.

Grafos 59ab c d e fhg(a) ¿Es euleriano? Si lo es, indica un circuito

euleriano. ¿Es semieuleriano? ¿Por qué?

(b) ¿Se trata de un grafo bipartito? Si lo es, in-dica un posible coloreado.

(c) ¿Es hamiltoniano? Si lo es, indica un ciclohamiltoniano.

6.44. Considera los siguientes grafos:g ha b c d eif

j kt vo p q r sw

ux y

A B1 3 42 6 5a b cf d e

C D

(a) Estudia siA y B son isomorfos. En caso afirmativo, define el isomorfismo.

(b) Estudia siC y D son isomorfos. En caso afirmativo, define el isomorfismo.

(c) Estudia si los cuatro grafos son eulerianos o semieulerianos y determina un ciclo euleriano para losque lo sean.

(d) Estudia si los cuatro grafos son bipartitos. Para los quelo sean, escribe una partición que los hagabipartitos ; para los que no lo sean, usa el algoritmo voraz decoloreado de vértices para averiguarcuál es su número cromático.

6.45. Considera los cuatro grafos siguientes:

60 Matemática Discreta para Informáticosab d c

ae bd c

A B

ad

bc

e fh ga

db c

eC D

Indica cuáles de ellos son eulerianos, hamiltonianos o bipartitos. Razona tus respuestas.

6.46. Sea el conjunto de vérticesV = {a, b, c, d}.

(a) Calcula el número de posibles grafos que tengan aV como conjunto de vértices y un total de 5aristas.

(b) Dibuja todos los grafos que cumplen la condición del apartado anterior.

(c) Estudia si los grafos son isomorfos.

(d) Estudia si los grafos son eulerianos o semieulerianos y determina un circuito euleriano para los quesean eulerianos.

(e) Estudia si los grafos son bipartitos. Para los que sí lo sean, escribe una partición que los hagabipartitos; para los que no lo sean, usa el algoritmo voraz decoloreado de vértices para averiguarcual es su número cromático.

6.47. Considera los dos grafos siguientes:

Grafos 617 85 63 41 2

a bc de fg hG1 G2

Contesta razonadamente a las siguientes cuestiones:

(a) ¿EsG1 euleriano? Si lo es, encuentra en él un circuito euleriano.

(b) ¿EsG1 bipartito? Si lo es, encuentra una partición que lo muestre.

(c) ¿SonG1 y G2 isomorfos? Si lo son, indica cuál es la función biyectiva quelo prueba.

6.48. Los siguientes planos representan dos modelos de chalets deuna ciudad dormitorio:A B CDEFG A B DCEDibuja los grafosG1 y G2 correspondientes a los dos planos, obtenidos al considerarcada habitación

como un vértice, el jardín que rodea la casa como un vértice y cada puerta como una arista.

Responde a continuación a las preguntas siguientes:

(a) Estudia si los grafos son isomorfos.

(b) Estudia si los grafos son bipartitos. Para los que sí lo sean, escribe una partición que muestre que loson; para los que no lo sean, usa el algoritmo voraz de coloreado de vértices para averiguar cuál essu número cromático.

(c) ¿Es posible recorrer la casa y el jardín, volviendo al punto de partida y de modo que cada puerta seatraviese una sola vez?

(d) ¿Es posible recorrer la casa y el jardín, volviendo al punto de partida y de modo que cada habitacióny el jardín se atraviese una sola vez?

6.49. El siguiente plano representa las salas de exposición del Museo de Arte ni Antiguo ni Moderno.


C a l l e A B C D EF C a l l eDibuja el (multi)grafo asociado a este plano y úsalo para responder a las siguientes preguntas.

(a) ¿Es posible recorrer toda la exposición de forma que se entre desde la calle, se pase una única vezpor cadapuertay se vuelva a la calle? En caso afirmativo, indica el recorrido. En caso negativo,estudia si es posible hacer un recorrido que pase una única vez por cada puerta del museo.

(b) ¿Es posible recorrer toda la exposición de forma que se entre desde la calle, se pase una únicavez por cadasalay se vuelva a la calle? En caso afirmativo, indica el recorrido. En caso negativo,justifícalo detalladamente.

(c) La dirección del museo desea pintar las distintas salas de forma que las salas comunicadas porpuertas tengan colores distintos, que además no coincidan con el color rojo de las fachadas. ¿Cuál esel mínimo número de colores necesario para acometer tal reforma? Calcúlalo detallando la ejecuciónpaso a paso de un algoritmo apropiado.

6.50. DadoX = {1, 2, 3, 4}, seaV = P2(X) el conjunto formado por todos los subconjuntos deX que tienencardinal 2. SeaE el conjunto de todas las parejas no ordenadas{A, B} tales queA, B ∈ V y A, B sondisjuntos.

(a) CalculaV y E.

(b) Dibuja el grafoG = (V, E). ¿Es conexo? ¿Por qué?

(c) ¿EsG euleriano? ¿Es hamiltoniano? ¿Es bipartito? ¿Por qué?

6.51. Dado X = {1, 2, 3, 4, 5}, seaV = P2(X) el conjunto formado por todos los subconjuntos deX quetienen cardinal 2. SeaE el conjunto de todas las parejas no ordenadas{A, B} tales queA, B ∈ V y A, Bson disjuntos.

(a) CalculaV y E.

(b) Dibuja el grafoG = (V, E). ¿Es conexo? ¿Por qué?

(c) ¿EsG euleriano? ¿Es hamiltoniano? ¿Es bipartito? ¿Por qué?

(d) Utilizando el algoritmo voraz de coloreado de vértices,construye un coloreado deG. ¿Cuántoscolores necesitas? Explica cómo se ejecuta el algoritmo.

6.52. Para cada número naturaln ≥ 3, definimos el grafo no dirigidoGn = (Vn, En) cuyos vértices y aristasson:

Vn = {i ∈ N | 0 ≤ i < n}En = {{i , j } | i , j ∈ Vn y j ≡n i + 1} ∪ {{i , j } | i , j ∈ Vn y j ≡n i + 2}.

La idea es que de cada vérticei de Vn salen dos aristas que lo conectan a “los dos vértices siguientes”,calculando módulon para que el “siguiente” den − 1 sea 0.

Justifica adecuadamente todas tus respuestas a las siguientes cuestiones:

(a) DibujaGn paran = 3, 4, 5, 6.

Grafos 63

(b) ¿Para qué valores den esGn completo?

(c) ¿Para qué valores den esGn regular?

(d) ¿Para qué valores den esGn hamiltoniano?

(e) ¿Para qué valores den esGn conexo?

(f) Demuestra queGn es euleriano para cualquiern ≥ 5. Dibuja un recorrido euleriano deG5 y estudiasi G3 y G4 son eulerianos o no.

(g) Calcula el número cromático deGn paran = 3, 4, 5.

(h) Usando el algoritmo voraz de coloreado de vértices, construye paso a paso un coloreado deG6 con3 colores y demuestra queχ(G6) = 3.

6.53. Considera grafos (no multigrafos) conexos y eulerianos de 10 aristas.

(a) Construye aquellos que tengan todos sus vértices del mismo grado.

(b) Estudia si alguno de los grafos del apartado anterior es hamiltoniano.

(c) Calcula el número cromático de los grafos del primer apartado.

(d) Construye aquellos grafos que tengan 4 vértices de grado2 y el resto del mismo grado.

(e) Estudia si alguno de los grafos del apartado anterior es hamiltoniano.

(f) Calcula el número cromático de los grafos del apartado (d).


















(c) Estudia si alguno de los grafos del primer apartado es bipartito; si no lo es, coloréalo.





6.57. Considera los tres grafos siguientes:g h id e fa b cb a edc b c f eda

G1 G2 G3

(a) Indica razonadamente cuáles de los tres grafos anteriores son bipartitos. Para los que lo sean, indicauna partición de su conjunto de vértices que cumpla la condición exigida en la definición de grafobipartito.

(b) Indica razonadamente cuáles de los tres grafos son eulerianos. Para los que lo sean, muestra uncircuito euleriano.

(c) Indica razonadamente cuáles de los grafos consideradosno eulerianos son semieulerianos.

(d) Encuentra un grafo hamiltoniano entreG1, G2 y G3. Para comprobar que es hamiltoniano, muestraun ciclo hamiltoniano.

(e) Indica razonadamente cuáles de los grafos son árboles.

6.58. El siguiente diagrama representa un laberinto:AZ

(a) Marca los puntos de encrucijada y lospuntos muertos.

(b) Dibuja el grafo que representa el labe-rinto y construye su tabla de adyacencia.

(c) Observando el dibujo, construye un ca-mino que lleve deA a Z.

6.59. Demuestra que si un grafoG tiene la propiedad de que entre cada dos vértices hay unúnico camino,entoncesG es un árbol.

6.60. Demuestra que un árbol con al menos dos vértices tiene al menos dos vértices de grado 1.

6.61. Dos árboles con raíz sonisomorfossi son isomorfos como grafos a través de un isomorfismo que llevela raíz de uno en la raíz del otro. Representemos comon5(t) el número de árboles con raíz que tengan 5vértices y tallat , no isomorfos entre sí. Comprueba la tabla siguiente, dibujando en cada caso todos losárboles posibles.

t 1 2 3 4n5(t) 1 4 3 1

Grafos 65

6.62. Demuestra que siB = (V, E) es un bosque conk ≥ 1 árboles (componentes conexas), entonces|E| =|V | − k.

6.63. Hay exactamente seis árboles con seis vértices que sean diferentes (es decir, no isomorfos). Dibújalos.

6.64. Dibuja el grafoG = (V, E) cuya tabla de adyacencia es la siguiente:

a b c d e f g hb a b a b g c ad c d b f gh d g c h

e

(a) Construye un árbol de búsqueda en profundidad con raíz enel vérticea. Muestra la evolución de lapila durante la construcción del árbol.

(b) Construye un árbol de búsqueda por niveles con raíz en el vérticea. Muestra la evolución de la coladurante la construcción del árbol.

(c) ¿Es el grafo conexo?

6.65. SeaG = (V, E) el grafo definido por la tabla de adyacencia:

a b c d e f g h i j kb a a a a b d e g h ec e d c b e e g h i fd f e d k h i j k he g f i j j

g khk

(a) Construye un árbol de búsqueda en profundidad con raíz enel vérticeg. Muestra la evolución de lapila durante la construcción del árbol.

(b) Construye un árbol de búsqueda por niveles con raíz en el vérticec. Muestra la evolución de la coladurante la construcción del árbol.

(c) ¿Es el grafo conexo? Responde a esta pregunta sin dibujarel grafo.

6.66. Dibuja el grafoG = (V, E) cuya tabla de adyacencia es la siguiente:

a b c d e f g h ie d e b a c b b ai g f g c e d d c

h i h f i f

Para ello, determina los vértices de cada una de sus componentes conexas, mediante:

Un árbol de búsqueda en profundidad para cada una de sus componentes.

Un árbol de búsqueda por niveles para cada una de sus componentes.

Explicita los pasos de construcción de cada uno de los árboles.

6.67. Usando el algoritmo de Prim, construye tres árboles recubridores para el grafoG siguiente:

66 Matemática Discreta para Informáticos a bd c

6.68. Usando el algoritmo de Prim, construye árboles recubridores para los dos grafos siguientesa bf gi hd ca b

f ce d

i jh gG1 G2

6.69. Se dispone de diez ordenadores conectados por cable, según la figura siguiente:A BC DE FG HJI

2 1 2 22 0 2 8 1 94 7 2 82 32 8 2 3 1 8Los números anotados en cada conexión representan los metros de cable entre un ordenador y otro.

Responde a las siguientes cuestiones:

Grafos 67

(a) Se quiere comprobar el estado de la red, transmitiendo datos de un ordenador a cualquier otroconectado por un tramo de cable con él, de manera que los datospasen por todos los cables unaúnica vez. ¿Es posible trazar un recorrido con estas características, que parta del ordenadorA yque acabe también enA? ¿Es posible hacer esto mismo, pero partiendo de algún otro ordenador sinnecesidad de acabar en el ordenador de partida? Cuando sea posible, traza el recorrido. Cuando nolo sea, justifícalo razonadamente.

(b) Se quiere apagar la mitad de los ordenadores y dejar encendidos la otra mitad, de manera que si dosordenadores están conectados por un cable, uno esté apagadoy otro encendido. ¿Es esto posible?Si lo es, determina qué ordenadores quedan encendidos y cuáles apagados. Si no lo es, justifica larespuesta.

(c) Para economizar conexiones, se decide eliminar algunosde los cables de manera que el total demetros de cable utilizado sea mínimo, pero sigan todos los ordenadores conectados entre sí. Propónuna red que verifique esta propiedad. Explica detalladamente los pasos del algoritmo utilizado paraello. Justifica por qué no se pueden quitar más cables.

6.70. Considera el grafo valoradoG, cuyos vértices son los subconjuntos de cardinal 2 del conjunto{1, 2, 3, 4}y cuyas aristas están dispuestas como sigue: dos vértices diferentes están conectados por una arista si ysolo si corresponden a conjuntos con un único elemento común, en cuyo caso la arista tiene asociado uncoste igual al valor del elemento común.

(a) Calcula el conjunto de vérticesV y el de aristasE, así como el coste de cada una de las aristas.Dibuja el grafoG.

(b) ¿EsG completo? ¿Es hamiltoniano? ¿Es euleriano? ¿Es bipartito?Razona tus respuestas.

(c) Utilizando el algoritmo voraz de coloreado de vértices,construye un coloreado deG con tres colo-res. Explica cómo se ejecuta el algoritmo.

(d) Explica qué es un árbol recubridor de coste mínimo. Utilizando el algoritmo de Prim, construye unárbol recubridor de coste mínimo deG. Indica cómo se ejecuta el algoritmo.

6.71. Utilizando el algoritmo de Prim, construye un árbol recubridor de coste mínimo para el grafo valoradosiguiente. ba c

f e d13 2 4 5 6789

¿Es única la solución que el algoritmo es capaz de construir?

6.72. Utilizando el algoritmo de Prim, construye un árbol recubridor de coste mínimo para el grafo valoradosiguiente.

68 Matemática Discreta para Informáticos eg

a chb

jk

df i

1 2 94 2

19 43 69

35 12

67

2817

1¿Es única la solución que el algoritmo es capaz de construir?

6.73. Utilizando el algoritmo de Prim, construye un árbol recubridor de coste mínimo para el grafo valoradosiguiente. i

ga f

jl

ne

h k3 6

2332 3

7 5 291

324

86

247

1c o

mbd3

1 1 67 547 4

¿Es única la solución que el algoritmo es capaz de construir?

6.74. En una huerta existen 8 canales que llevan el agua de una plantación a otra. Entre dos plantaciones nuncaexiste más de un canal. La tercera parte de las plantaciones es el extremo de dos canales y las restantesde tres.

(a) ¿Cuántas plantaciones hay en dicha huerta? Demuéstraloformalmente.

(b) En cada plantación hay una compuerta que puede estar abierta o cerrada, pero siempre tiene laposición contraria a las compuertas de las plantaciones queestán unidas a ella por medio de uncanal. Representa la situación mediante un grafo, que satisfaga todas las condiciones anteriores. ¿Essemieuleriano el grafo resultante?

(c) Propón una canalización con el menor número de canales, de manera que todas las plantacionesestén conectadas entre sí. Razona por qué el número de canales propuesto es realmente mínimo.

6.75. En los albores del año 3001, la Villa de Mandril estaba regidapor el alcalde López del Ciruelo (L.C. paralos amigos) y disponía de una moderna red de metro con las ochoestaciones deLuna, Pera, Cascao, TuTía, Rodapiés, Alfonso Pepínez, Baldaoy Triburral, y once tramos de vía conectando estaciones: deLunaaPera, Cascao, Tu Tíay Rodapiés; deCascaoaPeray Tu Tía; deAlfonso PepínezaBaldao, Triburral yTu Tía; y deTriburral aTu Tíay Baldao.

Grafos 69

(a) Dibuja un grafo no dirigido con estaciones como vérticesy tramos de vía como aristas que representela situación descrita. Escribe su matriz de adyacencia.

(b) Para celebrar el nuevo milenio, L.C. quiso organizar un recorrido triunfal en un tren festivo, saliendode la estación deLunay regresando a la misma, habiendo pasado exactamente una vezpor cada unode los tramos. ¿Fue posible complacer al edil de Mandril? ¿Por qué?

(c) L.C. deseaba, asimismo, amenizar los trayectos de los mandrileños. Para ello, ordenó pintar las es-taciones del metro con alegres y variados colores, de tal modo que en los dos extremos de cualquiertramo de vía se encontrasen siempre estaciones de diferentecolor. El ecónomo municipal, Sr. Grato,aseguró a L.C. que para realizar este plan había que comprar pintura de tres colores distintos (ver-bigracia: rojo, gualda y azul). Demuestra que Grato estaba en lo cierto, razonando por qué no bastacon dos colores y construyendo un coloreado del grafo con tres colores. Explica qué algoritmo usas.

(d) Allá por el 3011, L.C. seguía ocupando la poltrona municipal, pero la economía flaqueaba y eranecesario apretarse el cinturón. El viejo Grato, tan sabio como siempre, le aconsejó suprimir cuatrotramos de vía, manteniendo tramos suficientes para circularentre dos estaciones cualesquiera. De-muestra que Grato tenía razón, eligiendo siete tramos de víaque basten para mantener la conexiónentre cada dos estaciones. Razona por qué no se pueden quitarmás de cuatro tramos de vía y explicaqué algoritmo utilizas.

6.76. En el año 3001 la humanidad ha establecido una federación interplanetaria, compuesta por los seis pla-netasAlma, Brío, Coraje, Dragón, Emir y Fénix. La compañía Averías ofrece un total de nueve vuelosinterplanetarios comerciales, con diversos precios. Los vuelosAlma – Bríoy Emir – Dragónvalen 100créditos; los vuelosAlma – Emiry Brío – Dragónvalen 200 créditos; finalmente, los vuelosFénix –Alma, Fénix – Emir, Coraje – Brío, Coraje – Dragóny Emir – Brío valen 300 créditos. Cada vuelo sepuede realizar en cualquiera de los dos sentidos.

(a) Dibuja un grafo que represente los planetas y los vuelos.¿Se trata de un grafo hamiltoniano? Razonatu respuesta.

(b) El director general de Averías ha ordenado pintar los seis astropuertos con diferentes colores, demodo que los viajeros nunca vean un mismo color en el origen y en el destino de un vuelo inter-planetario. Encuentra una solución a este problema, usandoel menor número de colores posible.Explica qué método utilizas y por qué no se puede reducir más el número de colores.

(c) El presidente de la federación interplanetaria quiere hacer un viaje de incógnito en nueve etapasconsecutivas, utilizando en cada etapa un vuelo diferente de la compañía Averías. Diseña un posibleitinerario para él, explicando qué método usas.

(d) Horrorizado por los gastos de su viaje, el presidente solicita al consejo interplanetario que se suprimael mayor número posible de vuelos de la compañía Averías. El recorte se debe hacer de tal modo queningún planeta quede incomunicado y la suma de los precios delos vuelos que se mantengan debeser lo menor posible. Encuentra una solución a este problema, explicando qué método empleas.

6.77. Un sistema de carreteras comunica 7 pueblos distintos,A, B, C, D, E, F y G, de la siguiente manera:

La carretera N-1 comunicaA y C pasando porB.

La carretera N-2 comunicaC y D; después, pasa porB hasta llegar aF.

La carretera N-3 comunicaD y A pasando porE.

La carretera N-4 comunicaF y B pasando porG.

La carretera N-5 comunicaD y G.

Contesta a las siguientes preguntas:

(a) Dibuja un grafo que represente la situación descrita, demodo que los vértices correspondan a lospueblos y las aristas correspondan a los tramos de carretera. Construye la matriz de adyacencia delgrafo.


(b) ¿Cuántos caminos hay deG aA que no contengan ciclos? Indícalos.

(c) ¿Puede elegirse un pueblo a partir del cual sea posible unrecorrido que pase exactamente unavez por cada tramo de carretera? ¿Es válido cualquier pueblopara un recorrido así? Justifica tusrespuestas.

(d) El gobierno de esta comunidad autónoma decide pintar lasfachadas de los ayuntamientos de talmanera que los ayuntamientos de pueblos vecinos (esto es, comunicados directamente por un tramode carretera) queden pintados de distinto color. El ingeniero McPelas diseña un plan para realizar elproyecto con 3 colores, demostrando además que 2 colores no bastan. ¿Cómo lo hace?

(e) El presidente Gundisálvez, queriendo poner coto a los dispendios de McPelas y a los gastos demantenimiento de las carreteras, ordena suprimir algunos tramos de carretera de manera que todoslos pueblos sigan estando interconectados, pero se haga posible pintar los ayuntamientos usandoexclusivamente 2 colores. McPelas ejecuta la orden con ejemplar resignación. ¿Cómo lo consigue?

6.78. El condado de Malasaña se compone de las seis villasAlmagro, Buitrago, Coca, Doñana, Eresoy Figo,conectadas entre sí por un total de nueve rutas con longitudes diversas. Las rutasAlmagro – BuitragoyEreso – Doñanamiden 100 leguas cada una; las rutasAlmagro – Eresoy Buitrago – Doñanamiden 200leguas cada una; finalmente, las rutasFigo – Almagro, Figo – Ereso, Coca – Buitrago, Coca – Doñanay Ereso – Buitragomiden 300 leguas cada una. Todas las rutas se pueden transitar en cualquiera delos dos sentidos. Dibuja un grafo no dirigido y valorado,G, que represente esta situación y responderazonadamente a cada uno de los apartados que siguen, explicando qué teoremas o algoritmos utilizas:

(a) El conde de Malasaña quiere inspeccionar todas las villas, haciendo un viaje que comience en unade ellas y visite todas las demás una única vez antes de regresar a la villa de partida. ¿Es posible?En caso afirmativo, construye un recorrido enG que represente el viaje deseado.

(b) El conde de Malasaña ordena colocar estandartes de colores en las puertas de entrada de todas lasvillas, de modo que siempre se vean estandartes de distinto color en la villa de partida y en la villade llegada de cualquiera de las nueve rutas del condado. Encuentra una solución a este problema,usando el menor número posible de colores.

(c) El conde de Malasaña quiere ahora inspeccionar las nueverutas del condado, haciendo un viaje quepase una sola vez por cada una de ellas. ¿Es posible? En caso afirmativo, construye un recorrido enG que represente el viaje deseado.

(d) Con el fin de ahorrar dinero en las pagas de los guardianes de las rutas del condado, el conde deMalasaña ordena ahora suprimir el mayor número posible de rutas, pero manteniendo rutas sufi-cientes para que se pueda viajar de cualquier villa del condado a cualquier otra y eligiendo las rutasque se mantengan de tal manera que la suma de sus longitudes sea lo menor posible. Encuentra unasolución a este problema.

6.79. En el condado de Osuna existen 7 villas principales, conectadas entre sí por caminos. Hay dos caminosque unen a Almendralejo con Burgillo y Cañofrío, respectivamente. Desde Miraflores hay caminos quellevan a Navata, Peñagrande y Doñana. Desde Doñana hay caminos a Burgillo, Cañofrío y Navata. Final-mente, hay un camino de Navata a Peñagrande. Cualquiera de los caminos existentes se puede recorreren ambas direcciones.

(a) Dibuja un grafo no dirigido, con villas en los vértices, que represente la situación descrita.

(b) Para celebrar el cincuentenario de su mandato, el conde de Osuna desea organizar una cabalgataque recorra todas las villas del condado, pasando exactamente una vez por cada camino. ¿Cuálesson las villas que se pueden elegir para iniciar y finalizar elrecorrido? Justifica tu respuesta y señalaun posible recorrido.

(c) Con la edad, el conde de Osuna se ha vuelto tacaño y ha ordenado suprimir el mayor número posiblede caminos para ahorrarse los gastos de mantenimiento. ¿Cuántos caminos hay que suprimir? ¿De

Grafos 71

qué manera se pueden elegir los caminos a mantener, de modo que siga siendo posible viajar desdecualquier villa del condado a todas las demás? Construye unasolución, explicando qué métodoutilizas.

6.80. Considera el siguiente grafoG: v 1v 2 v 3v 4 v 5 v 6

(a) Construye un circuitoC deG que no sea un ciclo, de modo que el subgrafoSdeG formado por losvértices y aristas que aparezcan enC sea semieuleriano. DibujaSy demuestra que es semieuleriano.

(b) ¿EsG hamiltoniano? ¿Es bipartito? Demuestra tus respuestas.

(c) Calcula razonadamente el número cromáticok deG y construye un coloreado deG conk colores,usando el algoritmo voraz conocido para dicho propósito.

(d) Calcula razonadamente el menor númeron tal que, quitandon aristas deG, se pueda obtener unárbol. Una vez calculadon, construye dos árboles distintosT y T ′ (obtenidos quitando en cadacason aristas deG), que tengan talla 2 al considerarlos con raízv1. Demuestra queT y T ′ no sonisomorfos.

6.81. Considera el grafoG = (V, E) cuyos vértices y aristas son:

V = {(x, y, z) ∈ N × N × N | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2}(que es un conjunto finito de puntos del espacio discreto de dimensión 3),

E = {{u, v} | u, v ∈ V y u, v se diferencian exactamente en una de las tres coordenadas}.

(a) Haz un dibujo que representeG. ¿Qué valen|V | y |E|? ¿Cuántos vértices de gradon tieneG, paran = 4, 3, 2?

(b) Demuestra queG es conexo y razona si es o no posible construir un recorrido que atraviese cadaarista exactamente una vez.

(c) Estudia siG es bipartito.

(d) Construye un coloreado deG con 4 colores, usando el algoritmo voraz de coloreado de vértices.

(e) Elimina el mayor número posible de aristas deG (sin eliminar vértices) de manera que el graforesultante sea conexo. Razona cuál debe ser el número de aristas que se eliminen y explica quémétodo utilizas para eliminarlas.

6.82. La siguiente tabla de adyacencia representa un grafo dirigido:

a b c d e fb c e c ec d f


Dibuja el grafo y construye su matriz de adyacencia.

6.83. Dado el siguiente grafo dirigido, construye su tabla de adyacencia y su matriz de adyacencia.b ca de6.84. Un torneo es un grafo dirigidoD = (V, A) tal que

Para cualquierx ∈ V , (x, x) /∈ A.

Parax, y ∈ V conx 6= y se verifica que o bien(x, y) ∈ A o bien(y, x) ∈ A, pero no ambos.

La siguiente tabla de adyacencia representa un grafo dirigido:

a b c d e fd a b b f ae c

e

(a) Dibuja el grafo y construye una matriz de adyacencia.

(b) ¿Es este grafo un torneo? Razona tu respuesta.

6.85. Para solicitar una beca de estudios, el ministerio correspondiente requiere que se entregue, convenien-temente cumplimentado, el impresoI27/4. Sin embargo, para lograr este impreso hay que realizar unapetición formal, que se realiza a través del impresoI17b. Este impreso se puede obtener fácilmente, sim-plemente presentando bien el impresoI13 o bien elI52-bis. El impresoI13 se puede solicitar en cualquierventanilla a cambio delI123, mientras que elI52-bis tan solo requiere el resguardo de haber entregado elimpresoI14. Por su parte, elI14 se recoge automáticamente a la entrega delI5-II . Este último impreso seobtiene cuando se entrega elI13. Finalmente, y para facilitar los trámites, elI123 se expende en cualquierestanco de forma gratuita con solo presentar el formularioI52-bis.

(a) Representa mediante un grafo adecuado las dependenciasentre los formularios.

(b) Construye la tabla de adyacencia y la matriz de adyacencia del grafo anterior.

(c) A la vista del grafo, ¿es posible solicitar la beca de estudios?

6.86. SeaD = (V, A) un grafo dirigido. Demuestra que, si se suman los grados de entrada y los grados desalida de todos los vértices deD, resulta el doble del número de arcos. Este resultado es válido incluso siel grafo contienebucles, es decir, arcos de la forma(v, v) que conectan un vértice consigo mismo.

6.87. El recíproco de un grafo dirigido D= (V, A) es el grafo dirigidoDr = (V, Ar ) tal que(u, v) ∈ A si ysolo si(v, u) ∈ Ar . Demuestra que siD1 y D2 son dos grafos dirigidos isomorfos cualesquiera, entonceslos recíprocos deD1 y D2 son también isomorfos.

Matemática discreta: Listas de Ejercicios Propuestos

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