CERTAMEN # 1 MAT 014 1.- Dada la función f(t) = ( t, 2t3 , cos(t2) )

i.- Calcule el límite cuando t - pi/2ii.- Demuestre el límite encontrado en i.iii.- Dado Epsilon = 0.01, cuanto debe ser Delta.

2.- En el instante t, una partícula se encuentra en (t2, t4 / 2) sobre la curva 2 y = x2.Encuentre i) r(t), ii) v(t),iii) a(t), iv) aT, v) aN. vi) k, la curvatura cuando t = 2.

3.- Una figura con forma de triángulo, cuyos vértices están dados por los puntos A(1,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,3) donde se define:a) lado 1 como el segmento AB, con densidad 1b) lado 2 como el segmento BC, con densidad 2c) lado 3 como el segmento CA, con densidad 3.

Determinar:i) la masa total del triánguloii) determinar las coordenadas X e Y del centro de masa del triángulo.

4.- Un astronauta viaja a lo largo de una curva dada por G(t) = t2 i + t j + t k y otro astronauta a lo largo de F(t) = cos( . Cuando t = 1, el primer astronauta apaga sus cohetes y sigue a lo largo de la recta tangente.

a.- ¿Existe algún t >= 1, tal que el astronauta 2 apague sus motores e impacte al astronauta 1?

b.- ¿Cuál debiera ser el t adecuado tal que el astronauta 2 lance un rayo láser en la dirección de su recta tangente e impacte al astronauta 1?