UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA

“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”

MATEMATICA IV

SECCIÓN 03 CICLO 02-2014

“Funciones Gamma y Beta”

Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate.

Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.

Parte I.

Calcular el valor de cada uno de los problemas que a continuación se le presentan.

1. 𝛤(3)𝛤(

3

2)

𝛤(9

2)

R/16

105

2. 𝛤 (1

2) 𝛤 (

3

2) 𝛤 (

5

2) R/

3

8𝜋

3

2

3. 𝛤 (7

2) R/

15

8√𝜋

4. 𝛤 (−7

2) R/

16

105√𝜋

5. 𝛽(3,5) R/1

105

6. 𝛽 (1

2,

1

2) R/π

7. 𝛽 (1

3,

2

3) R/

2𝜋

√3

Parte II.

Calcular el Valor de las siguientes integrales:

8. ∫𝑑𝑥

√− ln(𝑥)

1

0 R/√𝜋

9. ∫ 𝑒−𝑥3𝑑𝑥

∞

0 R/

1

3𝛤 (

1

3)

10. ∫ 𝑒−√𝑥 √𝑥4∞

0𝑑𝑥 R/

3

2√𝜋

11. ∫ (ln(𝑥))41

0𝑑𝑥 R/24

12. ∫ 𝑦3𝑒−2𝑦5∞

0𝑑𝑦 R/

𝛤(4

5)

5 √165

13. ∫ √ln (1

𝑥)

31

0𝑑𝑥 R/

1

3𝛤 (

1

3)

14. ∫ (4 − 𝑥2)3

22

0𝑑𝑥 R/3π

15. ∫ 𝑥2(1 − 𝑥)31

0𝑑𝑥 R/

1

60

16. ∫𝑑𝑦

√𝑎4−𝑦4

𝑎

0 R/

{𝛤(1

4)}

2

4𝑎√2𝜋

17. ∫ (4 − 𝑥)3

22

0𝑑𝑥 R/

64

5

18. ∫ 𝑐𝑜𝑠5(𝜃)𝑠𝑒𝑛2(𝜃)𝜋

20

𝑑𝜃 R/8

105

19. ∫1

√3𝑥−𝑥2

3

0𝑑𝑥 R/π

20. ∫𝑥

1+𝑥6

∞

0𝑑𝑥 R/

𝜋

3√3

21. ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)𝑐𝑜𝑠2(𝜃)𝜋

20

𝑑𝜃 R/𝜋

16

22. ∫𝑑𝑥

1+𝑥4

∞

0 R/

𝜋√2

4

23. ∫ 𝑠𝑒𝑛5(𝜃)𝜋

0𝑑𝜃 R/

16

15

24. ∫ 𝑦4√𝑎2 − 𝑦2𝑎

0𝑑𝑦 R/

𝑎6

32𝜋

25. ∫ √tan(𝜃)𝜋

20

𝑑𝜃 R/𝜋

√2

Parte III.

Demostrar el valor de las siguientes integrales.

a) ∫ 𝑥𝑚(ln(𝑥))𝑛1

0𝑑𝑥 =

(−1)𝑛𝑛!

(𝑚+1)𝑛+1 ; 𝑛 ∋ ℕ, 𝑚 > −1; 𝑆𝑈𝐺𝐸𝑅𝐸𝑁𝐶𝐼𝐴: 𝑥 = 𝑒−𝑦

b) ∫ (𝑥 − 𝑡)𝑎𝑡𝑏𝑑𝑡𝑥

0=

𝑎!𝑏!

(𝑎+𝑏+1)!𝑥𝑎+𝑏+1; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎, 𝑏, 𝑥 > 0

c) ∫𝑥𝑝−1

1+𝑥

∞

0𝑑𝑥 = 𝛤(𝑝)𝛤(1 − 𝑝)

Parte IV.

Calcular el valor de los problemas que se le presentan a continuación.

i. 𝜞(𝟑)𝜞(𝟐∗𝟓)

𝜞(𝟓∗𝟓)

ii. 𝜞 (−𝟏

𝟐)

iii. 𝜞 (−𝟓

𝟐)

iv. ∫ 𝒙𝟔𝒆−𝟐𝒙∞

𝟎𝒅𝒙

v. ∫ √𝒚∞

𝟎𝒆−𝒚𝟑

𝒅𝒚

vi. ∫ 𝟑−𝟒𝒛𝟐∞

𝟎𝒅𝒛

vii. ∫ 𝒙𝟒𝟏

𝟎(𝟏 − 𝒙)𝟑𝒅𝒙

viii. ∫𝒙𝟐

√𝟐−𝒙

𝟐

𝟎𝒅𝒙

ix. ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒(𝜽)𝒅𝜽𝝅

𝟎