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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA

“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”

FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MATEMÁTICA IV

SECCIÓN: 01, 02 Y 03

CICLO 02/2013

ING. EDUARDO ESCAPINI.

ING. DANIEL SOSA.

GUIA DE EJERCICIOS SUGERIDA SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Parte I.

En los siguientes ejercicios defina el orden y la linealidad de la ecuación diferencial presentada.

1)

2)

3)

4)

Comprobar que las siguientes funciones son soluciones de las ecuaciones indicadas.

1)

2)

3)

4)


Calcule los valores de m tales que , sea solución de cada ecuación

diferencial.

1)

2)

Determine los valores de m tales que , sea solución de cada ecuación

diferencial.

1)

2)

Hallar la E.D cuya solución es conocida:

1)

2)

PARTE II. Hallar la solución general o particular de las E.D. dadas:

Indicaciones: A continuación se pide resolver los problemas de Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables (E.D.V.S), Homogéneas (E.D.H), de Coeficientes Lineales (E.D.C.L), Exactas (E.D.E), con Factor Integrante (E.D.F.I), Lineales (E.D.L), de Bernoulli (E.D.B), y de Ricatti (E.D.R); ya identificadas.

Ejercicios E.D.V.S

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)


Ejercicios de E.D.H.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Ejercicios E.D.C.L

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Ejercicios E.D.E

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)


9) Determine el valor de K y resuelva la siguiente E.D si es exacta. .

10) Determine la función , tal que la siguiente ecuación

diferencial sea exacta. .

A veces es posible transformar una ecuación diferencial no exacta, en una exacta multiplicándola por un factor integrante . En los siguientes problemas se pide

comprobar que la función , sea un factor integrante de la ecuación diferencial.

1)

2)

3)

Ejercicios de E.D.F.I

1)

2)

3)

Ejercicios E.D.L

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Ejercicios de E.D.B

1)

2)


3)

4)

5)

6)

Ejercicios E.D.R

1)

2)

3)

4)

5)

PARTE III. A continuación se presentan una serie de ejercicios de los cuales se le pide que halle la solución general o particular para cada una de las ecuaciones diferenciales planteadas.

1. ;

solución:

2.

3. ;

solución: =c

4.

5. , para y(0)=6 ;

solución:

6.

7. ;

solución: - =


8.

9. , para y(-3)=0 y sabiendo que: ;

solución:

10.

11. ;

solución:

12.

13. ;

solución:

14.

15. , para y(1)=4;

solución:

16.

17. ;

solución:

18.

19. ;

solución:

20.

21. ;

solución:

22.

23. ;

solución:

24.


25. ;

solución:

26.

27. ;

solución:

28. ;

solución:

No resueltas para la primera derivada.

1. (y’)3-y’=1+x, Sol. x=p3-p-1, y=

2.

3.

4.

5. Y=m(y’)2+n(y’)3, m y n son constantes. Sol. x=2mp+ , y=mp2+np3

6.

Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas dadas.

a)

b)

c)

d)

e)

Encontrar las trayectorias isogonales de la familia de curvas dadas.

1)

2)

3)

4)

5)


Aplicaciones:

Se sabe por observaciones experimentales, que para una precisión satisfactoria en muchas circunstancias, la temperatura de la superficie de un objeto cambia con una rapidez que es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la de sus alrededores (temperatura ambiente). Esto es algunas veces conocido como la “Ley de Enfriamiento de Newton”. Encuentre la ecuación diferencial que obedece la ley de Newton y aplíquela para resolver los siguientes problemas.

a) Si la temperatura del aire es 28°C y la sustancia se enfría de 100°C a 80°C en 12 minutos, ¿en qué momento estará a una temperatura de 50°C?

b) Supóngase que la temperatura de una taza de café es de 200°F inmediatamente que ha sido hervida. Un minuto después se ha enfriado a 190°F en un cuarto a 70°F. ¿Qué período debe transcurrir (suponiendo que es aplicable la ley de enfriamiento de Newton), para que el café esté a 150°F?

c) Un termómetro que está en el interior de una habitación se lleva al exterior, en donde la temperatura del aire es de 5°F. Después de 1 minuto el termómetro marca 55°F y después de 5 minutos marca 30°F. ¿Cuál fue la temperatura inicial de la habitación?

Si se sabe que una población de cualquier índole aumenta en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al número de individuos presentes en dicho instante. Resuelva cada uno de los siguientes problemas que se le plantean.

i) En cualquier tiempo t la cantidad de bacterias en un cultivo crece a razón proporcional al número de bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 bacterias, después de 10 horas hay 2000 especímenes, ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias?

ii) Una estimación de la tasa de crecimiento de cierta población es de 1.5% por año. ¿Cuántos años tomará para que la población se duplique?

iii) Se espera que la población del mundo se duplique en los siguientes 30 años ¿Cuál es la tasa de crecimiento?

iv) El tiempo para duplicarse cierto virus es de 3 años. ¿Cuánto tiempo tomará que el virus aumente 10 veces su nivel de población actual?

v) Un cultivo de bacterias duplica su población cada 4 horas. Si la población inicial es de 100, hallar una expresión para la población en cualquier tiempo. Determinar cuando llegara a 6000 la población.


1) Un gran depósito está lleno con 500 galones de agua pura. Una salmuera que contiene 2 lb de sal por galón se bombea al tanque a razón de 5 gal/min; la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera con la misma rapidez. Halle el número de libras de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. Luego determine la concentración de la mezcla que sale del tanque 3 minutos después.

2) Si un tanque contiene 200 litros de un líquido y en éste se disuelven 30 gramos de sal. Una salmuera que contiene 1 gramo de sal por litro se bombea al tanque con una intensidad de 4 litros por minuto. La solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera con la misma rapidez. Encuentre el número de gramos de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera.

3) Se bombea cerveza con un contenido de 6% de alcohol por galón a un tanque que

inicialmente contiene 400 galones de cerveza con un 3% de alcohol. La cerveza se bombea hacia el interior con una rapidez de 3 gal/min, en tanto que el líquido mezclado se extrae con una rapidez de 4 gal/min.

a) Obtenga el número de galones de alcohol que hay en el tanque en un instante cualquiera.

b) ¿Cuál es el porcentaje de alcohol que hay en el tanque después de 60 minutos? c) ¿Cuánto demorará el tanque en vaciarse?

4) Un tanque está parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 lb de sal disuelta. A dicho tanque le entra salmuera con 0.5 lb de sal por galón y a razón de 6 gal/min. El contenido del tanque está bien mezclado y de él sale a razón de 4 gal/min. Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque a los 30 minutos.

5) Supóngase que una gota de lluvia esférica se evapora a una rapidez proporcional a su área superficial. Si su radio original es de 3 mm y una hora después se ha reducido a 2 mm. Determinar una expresión para el radio de la gota en función del tiempo.

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