Guia Didactica Unidad13

8/20/2019 Guia Didactica Unidad13

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Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

*Esta programación podrás encontrarla también en el CD Programación.

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1 E S O

G U Í A D I D Á C T I C A UNIDAD 13

Longitudes y áreas

C O N T E N I D O


2/152 Unidad 13 Longitudes y áreas

Para finalizar con la geometría plana y una vez conocidos todos los elementos y figuras del plano, se estudian los con-ceptos de longitud y superficie, y se aprenden métodos y fórmulas para calcularlos.

Es muy importante identificar los conceptos de perímetro y área con la medida del borde y del interior de la figura, res-pectivamente, y usar de forma adecuada sus unidades de medida.

Se debe conseguir que los alumnos utilicen correctamente el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa o algúncateto de cualquier triángulo rectángulo, y reconocer situaciones que requieran de su uso para calcular distancias, así como resolverlas. Por ello es importante que dominen los contenidos referidos a la resolución de ecuaciones

También es importante establecer la utilidad de las fórmulas para calcular el área de las figuras planas sencillas, pues-to que agilizan dicho cálculo y permiten hallar el área de otras figuras más complejas que se obtienen mediante com-posición o descomposición de aquellas.

Unidad 13 Longitudes y áreas

rogramación de aula

OBJETIVOSCRITERIOS

DE EVALUACIÓNCOMPETENCIAS

BÁSICAS

1. Emplear el teorema de Pitágoras ylas fórmulas adecuadas para obte-ner distancias, perímetros o áreas defiguras planas.

1.1 Calcular de la forma más sencilla y rápi-da el perímetro de las figuras planas.

1.2 Estimar y calcular medidas indirectasutilizando el teorema de Pitágoras.

1.3 Reconocer triángulos rectángulos uti-lizando el teorema de Pitágoras.

1.4 Utilizar las fórmulas y procedimientosadecuados para el cálculo directo delárea de las figuras planas más ele-mentales.

1.5 Reconocer, dibujar y describir las figu-ras planas como resultado de la com-posición de otras más sencillas.

• Lingüística

• Matemática

• Interacción con elmundo físico

• Social y ciudadana

• Cultural y artística

• Tratamiento de lainformación ycompetencia digital

• Aprender a aprender

2. Resolver problemas geométricosrelacionados con la vida cotidiana enlos que intervengan longitudes, perí-metros y áreas, utilizando los proce-dimientos y estrategias adecuados.

2.1 Aplicar las fórmulas del cálculo de dis-tancias, perímetros y áreas de figurasplanas elementales para resolver pro-blemas relacionados con el entorno.

• Perímetro y área de una figura plana• Teorema de Pitágoras• Cálculo de medidas indirectas• Identificación de triángulos rectángulos• Área del rectángulo y del cuadrado• Área del paralelogramo y del triángulo• Área del trapecio• Área de polígonos regulares• Triangulación de un polígono

• Área de un polígono irregular• Longitud de una circunferencia• Longitud de un arco de circunferencia• Área del círculo• Área de una corona circular• Área de un sector circular• Cálculo de áreas por composición• Cálculo de áreas por descomposición

CONTENIDOS


3/153Longitudes y áreas Unidad 13

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

1. Conocimientos previosPara el correcto cálculo de longitudes y áreas de figuras planas es necesario que los alumnos dominen las unidades delongitud y superficie del Sistema Métrico Decimal, en especial lo referente al cambio de unidades.

El cálculo de medidas indirectas a través del teorema de Pitágoras implica que los alumnos recuerden la resolución de ecua-ciones y el cálculo de raíces cuadradas.

2. Previsión de dificultadesLa principal dificultad la vamos a encontrar en la comprensión y aplicación del teorema de Pitágoras. De entrada, a losalumnos les cuesta distinguir los catetos de la hipotenusa en un triángulo rectángulo, así como asimilar que el teore-ma relaciona una variable de longitud (los lados del triángulo rectángulo) con una variable de superficie (la superficiede los cuadrados que tienen por lado los lados del triángulo rectángulo en cuestión).

3. Vinculación con otras áreasComo en todas las unidades de geometría, los contenidos de esta unidad están íntimamente relacionados con los de Edu-cación Plástica y Visual. También encontraremos relación con las ciencias sociales, al ser Pitágoras uno de los mate-máticos más destacados de la cultura griega.

4. Esquema general de la unidadEl estudio de la geometría plana se completa en este nivel con el cálculo del perímetro de los polígonos, la longitud de

la circunferencia y el área de todas las figuras planas.Comienza la unidad con el significado y definición de perímetro de un polígono y las unidades de medida con que seexpresa. Y continúa con el cálculo de longitudes, introduciendo el teorema de Pitágoras como un método para obtenermedidas indirectas. En concreto, se aplica al cálculo de la distancia entre dos puntos que junto con otro forman un trián-gulo rectángulo.

Finalizadas las medidas de longitud se define el conceptode área, determinando el metro cuadrado como unidadde medida de superficie.

Seguidamente, mediante ejemplos sencillos, se mues-tran las fórmulas que permiten calcular el área de lospolígonos, agrupados en ocasiones por la relación entresus áreas: rectángulo y cuadrado, paralelogramo y trián-gulo, trapecio, polígonos regulares e irregulares, círcu-lo y figuras circulares.

Termina con el cálculo del área de figuras planas quese obtienen por composición o descomposición de lasanteriores.

5. TemporalizaciónSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en 12 sesiones:

1.ª Introducción. Perímetro y área de una figura plana.

2.ª Medidas indirectas. Teorema de Pitágoras.

3.ª Área del rectángulo, del cuadrado, del paralelogramo y del triángulo.

4.ª Área del rombo y del trapecio.

5.ª Área de polígonos regulares.

6.ª Triangulación. Área de polígonos irregulares.

7.ª Longitud de figuras circulares.

8.ª Área de figuras circulares.

9.ª Cálculo de áreas por composición y descomposición.

10.ª y 11.ª Actividades de repaso y consolidación.

12.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad.

En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los

que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades.Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias paradesarrollar la unidad.

Cálculo de áreas por composición y descomposición

Perímetro defiguras planas

Teorema dePitágoras

Área del círculo yfiguras circulares

Área depolígonos

Área de unasuperficie

LONGITUDES Y ÁREAS


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ogramación de aula


CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS

Competencia lingüísticaLa comprensión del texto de los diferentes epígrafes es básica para adquirir las destrezas que se persiguen, por lo queesta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad.

En particular, la sección “Pon a prueba tus competencias” y, en general, los problemas con enunciado contextualizadodesarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetenciacomunicación escrita.

Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, trabajando de forma más detallada las subcom-petencias resolución de problemas y uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físicoEn las sugerencias didácticas se detalla cómo poder desarrollar la subcompetencia conocimiento y valoración del de-sarrollo científico-tecnológico.

Competencia social y ciudadanaLa situación de los descubrimientos matemáticos que aparecen en la unidad permite trabajar el indicador conocer ycomprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo de la subcompetencia desarrollo personaly social.

Competencia cultural y artísticaEl diseño de sombreros con formas geométricas que aparece en las páginas de “Pon a prueba tus competencias” per-mite desarrollar la subcompetencia expresión artística.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalLa unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la reso-lución de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las seccio-nes de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmen-te en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de construcción del

conocimiento.Asimismo, los problemas de cálculo de áreas por composición y descomposición facilitan trabajar de una forma más con-creta el descriptor relacionar la información e integrarla con los conocimientos previos y la propia experiencia.

Otras competencias de carácter transversal

Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido críti-co del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo ycrítico.

En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.


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TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad,en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

Programación de aula

Longitudes y áreas Unidad 13

COMPETENCIA1.er nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR3.er nivel de concreción

DESEMPEÑO4.º nivel de concreción

Lingüística Comunicación escrita.

Adquirir el hábito de la lectura y aprender

a disfrutar con ella considerándola fuente

de placer y conocimiento.

Leer, buscar, recopilar, procesar y

sintetizar la información contenida en un

texto para contribuir al desarrollo del

pensamiento crítico.

– Muestra interés por la lectura.

Pon a prueba tus competencias:Interpreta y concluye

– Extrae información matemática de

un texto y la aplica con diferentes

fines.

Desarrolla tus competencias

Problemas


Matemática

Resolución de

problemas.

Utilizar las matemáticas para el estudio ycomprensión de situaciones cotidianas.

Seleccionar las técnicas adecuadas para

calcular resultados, y representar e

interpretar la realidad mediante medidas

matemáticas.

– Cálculo de áreas y longitudes enun contexto cotidiano.

– Construcción de figuras

geométricas

En toda la unidad

Uso de elementos y

herramientas

matemáticos.

Conocer y utilizar los elementos

matemáticos básicos (distintos tipos de

números, medidas, símbolos, elementos

geométricos, etc.) en situaciones reales o

simuladas de la vida cotidiana.

– Aplica las fórmulas del cálculo de

áreas.

En toda la unidad


Interacción con elmundo físico

Conocimiento y

valoración del desarrollo

científico-tecnológico.

Conocer y valorar la aportación del

desarrollo de la ciencia y la tecnología a

la sociedad.

– Valora y aprecia el descubrimiento

del teorema de Pitágoras.

En toda la unidad

Social y ciudadanaDesarrollo personal y

social.

Conocer y comprender la realidad

histórica y social del mundo y su carácter

evolutivo.

– Sitúa a Pitágoras en su época.

Epígrafe 2

Cultural y artística Expresión artística.Realizar representaciones artísticas de

forma individual y cooperativa.

– Diseña figuras geométricas.

Pon a prueba tus competencias:Imagina y construye

Tratamiento de lainformación y

competencia digital

Obtención,

transformación y

comunicación de la

información.

Buscar y seleccionar información con

distintas técnicas según la fuente o el

soporte, valorando su fiabilidad.

– Busca en diferentes páginas de

internet para complementar la

información.

En la red


– Visita la página librosvivos.net

Actividades 20, 34 y 45, organizatus ideas, autoevaluación

Aprender a aprenderConstrucción del

conocimiento.

Relacionar información e integrarla conlos conocimientos previos y con la propia

experiencia.

– Calcula áreas por composición ydescomposición.

Actividad 72


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ogramación de aula


SM

Repaso de contenidos de cursos anteriores

• Cuaderno de Matemáticas básicas.

– Unidad 5. Polígonos y círculos.

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.° de ESO.

– Unidad 5. Geometría.

• Cuadernos de matemáticas. 1.° de ESO: N.° 5: “Geometría”.– Unidad I: Elementos geométricos del plano.

– Unidad II: Polígonos.

• Cuaderno de Matemáticas para la vida. 1.° de ESO.

– Los mil y un centros del triángulo.

Otros NELSEN, R.: Demostraciones sin palabras. Granada, Proyecto Sur, 2001.

SMwww.smconectados.com

www.librosvivos.net

Otros

Página en la que aparecen varios puzles pitagóricos que permiten realizar una demostraciónvisual del teorema:

www.e-sm.net/1esomatprd25

Unidad interactiva de perímetros y áreas:

www.e-sm.net/1esomatprd26

Película Donald en el país de las matemágicas. El comienzo de esta película se sitúa en la época de Pitá-goras y describe brevemente las aportaciones matemáticas que hicieron los pitagóricos.

El programa GeoGebra es muy útil para realizar construcciones que demuestran el teorema de Pitágoras. O t r o s

m a t e r i a l e s

I n t e r n e

t

B i b l i o g r á f i c o s

EDUCACIÓN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos per-miten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores:

• Educación para la igualdad: actividad 74.

• Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar laedu-cación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDADEn este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permi-ten trabajar la diversidad del alumnado.

• Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.

• Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cadaunidad del libro.

• Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-milación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.

• Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve paraevaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situa-ciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS


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Sugerencias didácticas

Entrada


Para que los alumnos tengan clara la idea de lo que esun patrón, podríamos llevar al aula revistas de patrones,dividir la clase en cuatro grupos y distribuir a cada unode ellos una de las láminas que aparecen en las revistascon los diferentes patrones. Les pediríamos que selec-cionasen uno de los modelos de la revista y que, con las

indicaciones que en ella aparezcan, marcasen en la “mara-ña” de patrones el correspondiente a su modelo elegido.Una vez que lo tuvieran marcado, trasladarían, a escala,el patrón en un folio y les pediríamos que reconocieranen él figuras planas.

1. Perímetro y área de una figura plana• Conviene que los alumnos obtengan el perímetro de algu-

nos objetos mediante medida directa para que com-prendan el significado de la palabra perímetro.

• También es interesante que les propongamos activida-des con polígonos regulares e irregulares. Ellos encon-trarán la forma de simplificar el cálculo del perímetroutilizando la multiplicación en lugar de la suma en el casode las figuras regulares.

• Se pueden utilizar geoplanos o poliminós para que com-prendan no solo el significado del área, sino también la

importancia de la unidad de medida utilizada: no es lomismo tomar como unidad un cuadrito o uno de los trián-gulos rectángulos en que se puede dividir. Así compro-barán que la superficie es la misma, pero la medida varíadependiendo de la unidad elegida.

• Con esos mismos materiales se puede estudiar cómofiguras que encierran superficies distintas tienen la mis-ma área o cómo figuras de igual perímetro encierransuperficies diferentes.

1. Los alumnos deberán interpretar la figura del patrón dela falda, indicando a qué parte del cuerpo pertenece cadauna de las medidas que en ella se indican.

2. Una vez que los alumnos hayan realizado sus patrones,

los agruparemos juntando a aquellos que hayan dise-ñado el patrón de la misma prenda para que los com-paren entre sí y decidan cuál sería el adecuado.

3. Esta actividad ayudará a que los alumnos enriquezcan suvocabulario y les pediremos que, además de estos con-ceptos, busquen todos aquellos que aparecen en el tex-to, y de los cuales no conozcan su significado.

4. Esta última actividad puede servirnos para poner demanifiesto la necesidad de tener un patrón de medidaspara poder comparar.


ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico 1 a 3 y 46

Medio 4, 47 y 48

Alto 86


Básico 6 a 8, 49, 50, 74 y 77

Medio 9, 10 y 51 a 54

Alto 55, 56 y 87

3. Área del rectángulo y del cuadrado• En lugar de darles la fórmula para calcular el área del rec-

tángulo, se les pueden proponer ejercicios en los que

tengan que hallar el área de rectángulos de distintasmedidas contando cuadritos como en el epígrafe ante-rior. A partir de los resultados, ellos deducirán una for-ma rápida para obtener esa área.

Podemos aprovechar este epígrafe para que los alumnosbusquen en la red información sobre la vida y obras de Pitá-goras, situándolo en el siglo que vivió.

Para completar esta información podemos ponerles el frag-mento de la película Donald en el país de las matemáticas en

el que se narra la historia de los pitagóricos.

Además, para que vean la importancia que ha tenido Pitá-goras, podemos pedirles que hagan una encuesta, en subarrio o en su comunidad de vecinos, preguntando por nom-bres de matemáticos. Una vez realizadas las encuestascontabilizaremos las veces que ha salido Pitágoras en ellasy nos quedaremos asombrados.

2. Medidas indirectas: teoremade Pitágoras

• Es interesante que los alumnos realicen la comproba-ción gráfica del teorema de Pitágoras, dibujando y midien-do, recortando o con el ordenador, utilizando alguna delas páginas que hay en internet. Es más fácil recordarlas fórmulas si se hace alguna práctica que contribuya asu comprensión.

• Por otro lado, se deben realizar muchos ejercicios parautilizar la fórmula correctamente:

En el cálculo de la hipotenusa no suelen tener dificulta-des, solo algún problema al despejarla de la igualdadfinal y en particular cuando no toma un valor entero; porejemplo: a2 = 30.

• En el caso en que se utilice para calcular la medida de uncateto, se plantean problemas al despejar. Es importantehacerles razonar las relaciones de la fórmula: si apare-ce, por ejemplo, c2+16=25, explicarles que hay que encon-

trar un valor para c2

que sumado a 16 dé 25, y que ellosdeduzcan cómo se obtiene.

• Se debe insistir en que los alumnos realicen dibujos querepresenten las situaciones planteadas en los proble-mas, que busquen en ellos triángulos rectángulos y queanoten los datos y lo que deben calcular.

• Proponer actividades variadas con un grado de dificul-tad cada vez mayor. Así se animarán a enfrentarse a losproblemas y a aprender el mecanismo de resolución.

• Como contenido de ampliación puede considerarse laclasificación de triángulos en acutángulos, rectángulos yobtusángulos a partir del teorema de Pitágoras.


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gerencias didácticas


• La fórmula del área del cuadrado se puede obtener dela misma forma o como se indica en el epígrafe, tenien-do en cuenta que es un rectángulo con todos los ladosiguales.


Básico 12, 57 a, 58 a, 73 y 75

Medio 13 a 15, 79 y 81Alto 85 y 88

4. Área del paralelogramo y deltriángulo

• Siempre es interesante intentar que los alumnos deduz-can las fórmulas mediante métodos sencillos. En estecaso se puede utilizar el ejemplo del epígrafe pidiéndo-les que dibujen el paralelogramo y recorten el triángulorectángulo de la izquierda para que al colocarlo a la dere-cha comprueben que se forma un rectángulo de igualbase y altura que el paralelogramo inicial.

• Otra opción es que el profesor prepare la actividad y,mediante transparencias, realice él mismo ese proceso.También sería interesante preparar una animación conGeoGebra.

• De igual forma (realizado por los alumnos o con las trans-parencias) se puede actuar con el triángulo demostran-do que su área es la mitad de la del paralelogramo, y conel rombo indicando que su área es la mitad del parale-logramo que tiene por dimensiones las diagonales del rombo.


Básico 17, 57 b y 58 b

Medio 18, 19, 59, 61 a y 80

Alto 63 b y 64 a


Básico 22

Medio 23 y 61 b

Alto 63 a

5. Área del trapecio• De nuevo se puede recortar y pegar para obtener una

figura de área conocida. En este caso, siguiendo las ins-trucciones del epígrafe y colocando de forma consecuti-va e invertida un trapecio, se obtiene un paralelogramoque tiene la misma altura que el trapecio y cuya base esla suma de las dos bases del trapecio.

• Es más interesante si la actividad la realizan los alumnos,pero también es un buen recurso la utilización de trans-parencias, puesto que el proceso es seguido por todosde una forma más constructiva que si se observa el dibu-

jo del libro o en la pizarra.

6. Área de polígonos regulares• Es conveniente e interesante que los alumnos observen

que las fórmulas surgen por un proceso de construcciónde figuras de área conocida.

• En los polígonos regulares resulta algo complicado obte-ner la fórmula, por eso lo mejor es centrarnos en el hexá-gono regular (es el más sencillo de dibujar) y realizar latriangulación del mismo desde su centro. Una vez obte-nida el área de cada triángulo, basta sumar el área detodos y hacer ver a los alumnos que el resultado estárelacionado con el perímetro del polígono.

7. Área de polígonos irregulares• En los polígonos irregulares se puede insistir en la trian-

gulación, pero no siempre es posible conocer la base y laaltura de los triángulos obtenidos. Por eso se les puedeorientar para que intenten descomponer la figura en otrasmás sencillas de medidas conocidas para calcular el áreade cada una de ellas.


Básico 25 y 26

Medio 62


Medio 27, 60 y 82

Alto 28 y 65

8. Longitudes de figuras circulares• Muchos alumnos ya conocen (y presumen de ello) la fór-

mula para hallar la longitud de una circunferencia. Poreso hay que insistir, sobre todo, en que la comprendan.Si es posible, sería conveniente realizar experienciascomo las que se proponen en el epígrafe del libro, paraque mediante la toma de distintas mediciones com-prueben de un modo experimental que en cualquier cir-cunferencia, la relación entre la longitud y el diámetro esalgo mayor que 3. Para ello llevaremos al aula botes derefrescos, platillos de los que se lanzan, etc. Llevare-mos además lana de colores para repartir entre los alum-

nos y que así puedan medir el contorno de todos estosobjetos.

• También hay que hacer mucho hincapié para que sepanutilizar la fórmula tanto si se tiene la longitud del radiocomo si se tiene la del diámetro.

• Hay que insistir en que el valor de π es aproximado: toma-mos 3,14, pero en ningún caso se trata de un valor exacto,ya que π tiene una cantidad ilimitada de cifras decimales.

• La longitud del arco de un sector circular se puede tra-bajar como aplicación de la fórmula anterior utilizando unaproporción con los grados del sector.

• Cuando se trata de calcular la longitud del arco de un sec-tor circular correspondiente a un cuarto de círculo o a unsemicírculo, basta con dividir la longitud de la circunfe-rencia de igual radio por 4 o por 2, respectivamente.


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Sugerencias didácticas



Básico 29 a 32, 66 y 76

Medio 33 y 67

Alto 48 y 84


Básico 36, 37, 69 y 70

Medio 38, 71, 78 y 83

Alto 89

Organiza tus ideasPara ayudarles en la elaboración del esquema de la unidadse les puede pedir que:

1. Distingan dos conceptos: longitud y área.

2. Agrupen en el concepto de longitud los epígrafes de launidad relacionados con él y añadan un ejemplo de cadauno de ellos.

3. Definan el concepto de área y sus unidades de medida,y después, dibujen cada una de las figuras planas queaparecen en la unidad y a su lado escriban la fórmulaque permite obtener su área y un ejemplo.

Actividades de ampliaciónCon estas actividades desarrollamos las competencias deaprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal.Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, deci-diendo cuáles son los más apropiados para resolver cadauna de las actividades.

Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para

resolver los problemas, dado que estos no son guiados nise ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, loque puede resultarles muy estimulante, aunque al comien-zo les asuste un poco.

Pon a prueba tus competenciasIMAGINA Y CONSTRUYE: PATRONES DE CABEZA

Aprovecharemos esta actividad para fomentar la lecturaentre nuestros alumnos. Seguro que muchos de ellos tie-nen el libro de Harry Potter y la piedra filosofal y podemospedirles que lleven varios ejemplares a clase y leer en vozalta el pasaje de la primera cena en Hogwarts.

Para realizar las actividades es preciso que dibujen en unacartulina negra todas las piezas, empleando para ello tizablanca. Antes de realizar el montaje del sombrero, nosdetendremos en el sector circular y calcularemos su área.

INTERPRETA Y CONSTRUYE: LA PARCELA

Para realizar esta actividad indicaremos a los alumnos querealicen una tabla con dos filas y dos columnas. Les dire-mos que lean atentamente cada uno de los anuncios y queanoten en las celdas los datos correspondientes a cada unode ellos. A continuación, en la misma celda calcularán elprecio del metro cuadrado de cada terreno.

De este modo organizarán y ordenarán toda la informacióny podrán contestar con facilidad a las actividades.

OBSERVA Y CALCULA: EL TEOREMA DE PICK

Para realizar esta actividad sería conveniente llevar al aulauna plantilla de geoplano donde habremos dibujado pre-viamente el primer polígono. De esta manera podrán mar-car sin problemas los nudos sobre ella.

Una vez que hayan comprobado que el área es de 28 cm2,podemos pedirles que recorten la figura de tal manera quepuedan construir un rectángulo de 7 cuadrados de anchopor 4 de largo.

Para calcular el área de los tres polígonos que aparecenen la actividad, en primer lugar los dibujarán en el geo-plano que les hayamos entregado y a continuación aplica-rán el teorema de Pick.


Básico 43

Medio 44, 72 e y f

9. Área de figuras circulares

• Aunque algunos alumnos conocen también la fórmulapara hallar el área del círculo, la mayoría suele confun-dirla con la de la longitud de la circunferencia. Para quelas asocien correctamente sería práctico que identifica-sen las unidades que resultan en cada caso: 2 ⋅ π ⋅ r daráunidades de longitud, y π ⋅ r 2 dará unidades de superficie.

• Para obtener el área de la corona circular pueden calculary colorear el área del círculo mayor. Después, señalar conotro color o con rayas o puntos la zona que hay que quitar-le para que solo quede la corona. Observarán que es el áreadel círculo más pequeño y entonces se escribe la fórmula.

• Para el sector circular hay que partir de que el círculo

tiene 360° y, desde este hecho, realizar una proporción.


Medio 40, 41, 72 a, b, c y d

10. Cálculo de áreas por composición• Para calcular el área de figuras planas no elementales, se

dividirá la figura en figuras de las que se conozca la fórmula

del área, para posteriormente calcular el área de cada unade estas figuras y dar el área de la figura original como lasuma de estas áreas. El problema que puede surgir aquí es que los alumnos dividan la figura de formas distintas,pero comprobarán que el resultado final es el mismo.

11. Cálculo de áreas por descomposición• A menudo, la figura de la que tenemos que calcular el

área proviene de una figura conocida a la que se le hanquitado figuras conocidas y calcular el área resulta muyrápido como resta de áreas de figuras conocidas.

• Conviene realizar el ejercicio resuelto 42 descomponien-do la figura en un triángulo y tres rectángulos, y que ellosvean que es más corto el procedimiento aplicado en el libro.

72. Para realizar esta actividad podríamos dibujar cada unade las figuras en la pizarra y pedir que salgan volunta-riamente alumnos a la pizarra para resolverlas y quevayan contando a sus compañeros cómo lo van haciendo.


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Actividades de refuerzo

Unidad 13 Longitudes y áreasORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Es importante que los alumnos comprendan la diferencia entre perímetro y área, y utilicen correctamente sus unida-des de medida. Además deben aprender el teorema de Pitágoras y calcular uno de los lados de un triángulo rectán-gulo a partir de los otros dos. También deben conocer y aplicar adecuadamente las fórmulas que permiten obtener elárea de los polígonos y del círculo.

• Proponer actividades para comprobar que conocen el significado de perímetro y de área. Por ejemplo: colorear la super-ficie de las figuras, pintar de rojo el perímetro o unir mediante flechas esas palabras con distintas unidades de medida.

• Utilizar el teorema de Pitágoras para comprobar si un triángulo es rectángulo.

• Realizar muchos ejercicios de aplicación del teorema de Pitágoras para que aprendan el mecanismo que permite obte-ner un cateto, conocidos el otro y la hipotenusa.

• Permitirles utilizar el esquema de la unidad hasta que aprendan las fórmulas del cálculo del área de figuras planas.

• Plantear problemas sencillos que tengan relación con la vida cotidiana.

• Insistir en que realicen dibujos y anoten lo conocido y lo desconocido.

1.

2. a) 5 cm b) 12 dm

3.

Triángulo Pentágono Cuadrado

Rectángulo 2 2 1

Trapecio 1 2 6

Rombo 2 0 9

15 cm

3 dm

1 , 8

d m

3 dm STOP

140 mm

45 cm 9,6 dm 9,42 dm 1120 mm

cm dm dm mm

cm2 dm2 dm2 mm2

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Mide y calcula tu entorno

Puede ser una actividad a realizar dentro o fuera del aula, pero siempre es más motivador salir, al menos al patio. Encaso de que no sea factible la salida, utilizar los elementos que proporciona el aula para realizarla.

En todos los centros suele haber un campo de deportes donde se puede practicar fútbol, baloncesto, balonmano… El másinteresante por la variedad de figuras planas que presenta es el de baloncesto, pero cada grupo se puede encargar deuno distinto, y así trabajarán más cómodos.

El objetivo es que calculen el perímetro y el área de todas las figuras planas que se encuentran pintadas en el suelo. Paraello:

• Organizar a los alumnos en grupos de tres o cuatro personas.

• Cada grupo llevará una cinta métrica, un cuaderno y un lapicero.

• Dibujarán en el cuaderno el contorno, las zonas, los círculos… y cualquier otra figura plana que encuentren, anotan-do en ella las medidas necesarias para el posterior cálculo de áreas y perímetros.

• Después, en clase, harán todos los cálculos y expondrán el trabajo al resto de compañeros, explicándoles qué tipo depolígonos y figuras circulares han encontrado, qué medidas tienen, cuáles necesitan para calcular el perímetro y cómolo han hecho, qué otras han necesitado hallar para obtener el área y cómo las han averiguado…

ACTIVIDAD DE GRUPO

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En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.



11/1511

1. Dibuja el perímetro en rojo y la superficie en azul, y completa la siguiente tabla:

2. Marca con una cruz la respuesta correcta.

a) Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4 cm, la hipotenusa mide:

5 cm 8 cm 6 cm

b) Si la hipotenusa mide 13 dm, y un cateto, 5 dm, el otro cateto mide:

10 cm 16 dm 12 dm

3. En el siguiente crucigrama debes escribir un dígito en cada cuadro de manera que en horizontal y ver-tical aparezca el área de las figuras que hay dibujadas en cada fila y en cada columna.

53 cm

8 cm

11 dm

8 dm

13 cm

17 dm

13 dm

12 cm

16 cm

9 cm

22 cm

19 cm

FIGURA

15 cm 3 dm

1,8 dm3 dm

STOP

140 mm

Perímetro

Unidad demedida delperímetro

Unidad demedida de la

superficie


P á g i n a

f o t o c

o p i a b l e

ACTIVIDADES de REFUERZO



12/152

Actividades de ampliación

Unidad 13 Longitudes y áreasORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Como estos alumnos utilizan correctamente el teorema de Pitágoras, lo que deben conseguir es aplicarlo a la resolu-ción de actividades y problemas en los que sea necesario calcular una distancia como paso intermedio para obtenerla solución. Y puesto que también conocen y aplican las fórmulas del cálculo de áreas de figuras planas, han de avan-zar en este sentido y ser capaces de obtener el área de figuras circulares y de otras que son el resultado de la com-

posición y descomposición de figuras más sencillas.

• Mostrar el teorema de Pitágoras como un método para calcular medidas indirectas necesarias en la resolución deproblemas.

• Proponer problemas relacionados con la vida cotidiana insistiendo en que hagan un esbozo de la situación y anotenlos elementos conocidos y desconocidos, así como las fórmulas que los relacionan.

• Animarles en la búsqueda de distintas formas de descomposición de una figura para calcular su área.

• Utilizar el arte y la naturaleza como elementos geométricos susceptibles de ser medidos.

• Realizar alguna actividad fuera del aula, como, por ejemplo, un paseo por los alrededores del centro, para buscar lageometría en la calle.

1.

El lado del rombo mide 15 cm. Su perímetro, 60 cm.

2. a) ATriángulo = 240 cm2 b) ACírculo = 127,41 cm

2

3. AHexágono= 41,52 cm2 ACuadrado= 72 cm

2

La baldosa cuadrada ocupa mayor superficie.

4. Si la circunferencia es exterior, r = 5,40 cm.

Si la circunferencia es interior, r = 4,56 cm.

5. a) 70,32 cm2 b) 156,78 cm2

6. Asuelo = 2,25 m

2

, A

ducha = 0,5762 m

2

Quedan libres 1,68 m2 aproximadamente.

7.

8. 24 ⋅ 18 − (24 ⋅ 2,8 + 18 ⋅ 2,2 − 2,2 ⋅ 2,8 + 3,14 ⋅ 1,252) =

= 326,45 m2

9. El área aumenta en 25 cm2 más 10 veces la longituddel lado inicial.

314 3

2

314 4

2

314 5

2

6 8

2

2 2 2, , ,⋅+

⋅−

⋅−

⋅

= cm224

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Logotipos

Se trata de que los alumnos observen cómo las matemáticas están en cualquier rincón. En este caso estudiaremos lageometría a nuestro alrededor. Se propone a los alumnos que busquen en la prensa algunos de los logotipos de las mar-cas de coches para estudiar su diseño geométrico.

• Organizamos a los alumnos en grupos de tres o cuatro personas.

• Cada grupo debe tener varios logotipos. Si no han encontrado ninguno, se lo podemos facilitar nosotros.

• Deben descomponer los logotipos en figuras planas más sencillas y clasificarlas; después deben calcular las dimen-siones de sus lados para seguidamente proponerles calcular el perímetro y el área de cada uno de ellos.

• En el último logotipo aparecen tres sectores circulares iguales. ¿Cuál es el área de cada uno de ellos?

Se puede complicar el ejercicio si les pedimos que nos digan si algún logotipo se ha conseguido por medio de simetríaso giros de alguna misma figura. Además se les puede animar a que diseñen su propio logotipo utilizando figuras planas.

NISSAN

ACTIVIDAD DE GRUPO

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En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.



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1. Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 24 y 18 centímetros.

2. Calcula el área de:

a) Un triángulo isósceles sabiendo que sus lados iguales miden 26 centímetros, y el lado desigual, 20centímetros.

b) Un círculo circunscrito en un cuadrado de 9 centímetros de lado.

3. La forma de una baldosa es un hexágono regular de 4 centímetros de lado, y la de otra, un cuadrado de12 centímetros de diagonal. ¿Cuál de las dos ocupa mayor superficie?

4. Por la dificultad de esta actividad, podrían organizarse en parejas.

En un círculo de 5 centímetros de radio se dibuja un sector circular cuyo ángulo central es de 60°.

¿Con qué radio habría que dibujar una circunferencia concéntrica con la anterior para que la corona cir-cular que determinen tenga el mismo área que el sector circular anterior?

5. Calcula el área de las siguientes figuras mediante composición o descomposición en otras más sencillas:

a) b)

6. El suelo de un baño tiene forma cuadrada de 1,50 m de lado. Se va a instalar una ducha con forma de sec-tor circular de 85 centímetros de radio y cuyo ángulo central es de 90°. ¿Qué superficie del baño quedalibre para colocar el resto de los sanitarios?

7.

8. Un jardín rectangular de 24 metros de largo por 18 de ancho está cruzado por dos caminos perpendicu-lares. El camino más largo mide 2,8 metros de ancho, y el corto, 2,2. Además, en una de las esquinas hayuna fuente circular de 2,5 metros de diámetro.

¿Cuál es la superficie útil que queda en el jardín para plantar césped?

9. ¿Cuánto aumenta el área de un cuadrado si prolongamos cada uno de sus lados 5 centímetros?

10 cm

6 cm

8 cm

El triángulo inscrito de la circunferencia es rectángulo, y las regionessombreadas reciben el nombre de lúnulas de Arquímedes.

Calcula el área total de la superficie sombreada.

1 2

c m

18 cm

4 cm

9 cm


ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN

P á g i n a

f o t o c

o p i a b l e



14/154

APELLIDOS: NOMBRE:

FECHA: CURSO: GRUPO:

1. Halla el perímetro de cada una de las siguientes figuras.

a) Un rombo de 9 centímetros de lado.

b) Un decágono regular de 2,5 centímetros de lado.

c) Un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 8 centímetros, y cada uno de sus lados iguales, 10 cen-tímetros.

2. Calcula el valor de x en los siguientes triángulos rectángulos.

a) b)

3. Calcula la diagonal del rectángulo, d , y el lado del cuadrado, l.

a) b)

4. Calcula el área de las siguientes figuras.

a) Triángulo isósceles de altura 5 centímetros y lado desigual 120 milímetros.

b) Heptágono regular de lado 2 centímetros y apotema 3 centímetros.

c) Trapecio rectángulo de bases 80 y 50 metros, respectivamente, y altura 4 decámetros.

d) Círculo de diámetro 6 decímetros.

5. Halla el área de las siguientes figuras circulares.

a) Una corona circular formada por dos circunferencias concéntricas de 6 y 10 centímetros de radio.

b) Un sector circular determinado por un ángulo de 150° en un círculo de 8 centímetros de diámetro.

6. Tres hermanos han comprado una finca con forma rectangular de la que conocen su ancho, 200 metros,y la distancia del camino que forma la diagonal, 250 metros. Si la dividen en partes iguales, ¿cuántos metroscuadrados le corresponden a cada uno?

7. Calcula el área de estas figuras.

a) b)

8 cm

l

l

15 cm

8 cm d

13 cm

x

5 cm

3 cm

3 cm x

4 cm

2 cm

7,2 dm

5,4 dm

3,4 dm

Página fotoc

opiable


PROPUESTA de EVALUACIÓN



15/15

P á g i n a

f o t o c

o p i a b l e

1. a) P rombo = 4 ⋅ 9 = 36 cm

b) P decágono = 10 ⋅ 2,5 = 25 cm

c) P triángulo = 8 + 2 ⋅ 10 = 28 cm

2. a) x 2 = 32 + 32 = 18 ⇒ x 2 = 18 ⇒ x = 4,25 cm

b) cm

3. a)

b)

4. a) Expresamos previamente todas las medidas en centímetros, base = 12 cm.

b)

c) Expresamos previamente todas las medidas en decámetros, bases = 8 y 5 dam, respectivamente.

d)

5. a)

b)

6. ⇒ 2502 = h2 + 2002

⇒ h2 = 2502 − 2002 = 22 500

⇒ h = 150

Atotal = b ⋅ h = 200 ⋅ 150 = 30 000 m2

30 000 : 3 = 10 000 m2

A cada hermano le corresponden 10 000 m2.

7. a) Podemos descomponer la figura en dos triángulos de área conocida.

b)Podemos descomponer la figura como la suma de las áreas de dos semicírculos de 6 y 4 cm de radio, y luego restar el área de un semicírculo de 2 cm de radio.

A r n°

°

°

°=

⋅ ⋅=

⋅ ⋅=

π π2 2

360

4 150

3602093, ccm2

A R r ( ) (10 ) 64 22= ⋅ − = ⋅ − = ⋅ =π π π2 2 26 000,96cm2

250 m

200 m

A =⋅

+⋅

−⋅

=314 6

2

314 4

2

314 2

2

75 32 2 2, , ,

, 66 cm2

A dm2=⋅

+⋅

=7 2 3 4

2

5 4 3 4

22142

, , , ,,

A r dm2= ⋅ = ⋅ =π π2 23 28 26,

A B b

h dam2=+

⋅ =+

⋅ =

2

8 5

24 26

A b h

cm2=⋅

=⋅

=

2

12 5

230

8 8 2 32 52 2 2 2 2 2= + ⇒ = ⇒ = ⇒ =l l l l l ,,66 cm

d d 2 2 28 15 289 17 cm= + = ⇒ =

A p a n l a

cm2=⋅

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅

=

2 2

7 2 3

221

13 5 13 5 144 12 2 2 2 2 2= + ⇒ = − = ⇒ = x x x 22

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN

Propuesta de evaluación


Guia Didactica Unidad13

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