Guía Didáctica de Álgebra 1a Parte

8/17/2019 Guía Didáctica de Álgebra 1a Parte

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Todos los seres humanos tenemos conocimientos y habilidades que adquirimospor diversos medios: al interior del hogar, en la escuela, en charlas, en lecturas derevistas y libros en general, entre otros. Con el propósito de evaluar losconocimientos que dominas de los temas básicos de álgebra, contestando lo querecuerdes y como lo recuerdes, iniciaremos con una…

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

INSTRUCCIONES: Relaciona las columnas, anotando en el paréntesis la letra quecorresponda.

!"a suma de dos n#meros menos eltriple del primero

$! qq%&!'(

! p)! "a mitad de un n#mero menos el

rec*proco de otro

!"a di+erencia de dos n#meros menos

- unidades

C! "a suma de dos n#meros menos

la mitad del segundo n#mero ! b%&( ! a%b! a/b!

!0l producto de la suma de dosn#meros por la di+erencia de losmismos

0! 0l triple del cuadrado de unn#mero menos un tercio de otron#mero

! ( )2

d c d + −

1! h/g!/-

!0l triple del cuadrado de un n#meromenos la mitad del cubo de otron#mero

2! e%+!/-e

! 233nm − 3! 4n n#mero más &( unidades

!0l producto de dos n#merosconsecutivos es igual a (

5! Ra*6 cuadrada de un n#mero

!1

2

t

r −

7! 323

2

t b −

&! 80scribe brevemente que piensas que vamos a estudiar en álgebra9

! 80;plica que entiendes por expresión algebraica9


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-! "a siguiente e;presión algebraica: !x! " #a $ %&'#b 8Cuántos T(r)in*s

Algebraic*s tiene9 escr*belos separados aqu*

ala 8Cuáles son cada uno de sus Ele)en,*s Algebraic*s y

como se llaman9:

es el =52?@ ?egativoA es el

es la A es el

B! "a e;presión algebraica !x! " #a $ %&'#b es un

a! olinomio b! Donomio c! Trinomio d! )inomio

E! 0scribe un Donomio ahora un olinomio:

F! =i tenemos la e;presión, #a! b cuál de los siguientes términos es semeGante a él 9

a! H (a-b b! ab c! H Eab d! & a-b

(! 0ntonces escribe 8Cuándo un ,(r)in* es se)e-an,e a otro9

I! S.)a las siguientes e;presionesA Ea %


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INSTRUCCIONES: Darca con una 5 solamente una de las opciones con la que teidenti+iques.

T o t a l m e n t e d e a c u e r d o

. e a c u e r d o e n c i e r t o s a s p e

c t o s

5 n d e c i s o

0 n d e s a c u e r d o e n c i e r t o s a s p

e c t o s

T o t a l m e n t e e n d e s a c u e r d

o

De gustan las matemáticas, en general.

esde la primaria, he comprendido lo temasmatemáticos

"os temas matemáticos, en general me son de +ácilcomprensión

"as matemáticas son sólo para estudiantes destacados

"os conocimientos matemáticos que obtengo en laescuela tienen poca aplicación en la vida cotidiana


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Del leng.a-e c*)6n al leng.a-e algebraic*

0n álgebra, es muy importante saber e;presar las proposiciones verbales comunes comoproposición con lenguaGe algebraico, observa como las literales sustituyen a losconceptos. or eGemplo: 4n productor agr*cola siembra B hectáreas de +riGol, más (

hectáreas de ma*6, más - hectáreas de calabacitas, tendr*amos: B+ % (m % -c, ésta esuna e;presión algebraica compuesta por signos numéricos y letras, de donde:

+7 representa las B hectáreas de +r*Gol.8) representa las ( hectáreas de ma*6.!c representa las - hectáreas de calabacitas.

9ALGO R;CTICO<=upón que un terreno en +orma rectangular tiene una super+icie área! de < BJJ m ,sabiendo que el ancho mide -J m. 8Cuánto mide el largo9

Como es sabido, para calcular el área de un rectángulo empleamos: área, es igual, alproducto del largo por el ancho, de aqu* surge la necesidad de utili6ar un lenguaGe máspráctico para representar una e;presión verbal en una e;presión con s*mbolos, por eGemplo, en el caso anterior quedar*a

$ ' "! a! donde: A ' representa el área.'


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9DEL LENGUA>E CO/UN AL LENGUA>E ALGE?RAICO


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a H c ! '

-. 5ntegrados en equipos de o - integrantes, hacer ,res planteamientos sencillos delenguaGe algebraico a lenguaGe com#n.

I@ INSTRUCCIONES./ 0scribe en lenguaGe algebraico dentro del rectángulo de laderecha, las siguientes e;presiones verbales.

a! 0l precio de &m. de tela

b! "a leche que da una vaca

c! "a leche que dan B vacas

d! 0l ma*6 que produce una hectárea de terreno, hectáreas y Ihectáreas

e! "a suma de dos n#meros

+! "a suma de dos n#meros al cuadrado

g! "a &B parte de la producción total de huevo en una granGaav*cola.

II@ INSTRUCCIONES: 5denti+ica la e;presión algebraica que corresponda a cada una delas e;presiones verbales.

0l doble del cubo de un n#mero: !

a! a b! a- c! a

4n n#mero más el cuádruplo del mismo n#mero es igual a B: !

a! ; %


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a! a % a b! a / c c! a % m

0l cuadrado de un n#mero más su mitad !

a! a % a b! a % a c! a % a

I@ INSTRUCCIONES: 0scribe en lenguaGe verbal las siguientes e;presiones algebraicas.

a! a


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a! "a suma de la mitad dedos n#meros

b! la suma del cuadrado dedos n#meros

c! "a mitad de un n#meromás otro n#mero

• 0n +orma individual determina una estrategia de solución para conocer lo que nos dicela e;presión algebraica y e;presarla en lenguaGe com#n o coloquial.

• 5ntegrados en equipos, sociali6a las estrategias encontradas se>alando coincidenciasy di+erencias.

• =eleccionar una estrategia en cada equipo para e;ponerla al grupo.

lantear por equipos las di+erentes +ormas de representar el lenguaGe algebraico allenguaGe com#n.

lantear por equipos un problema semeGante al grupo para su solución.

Reali6ar las actividades de aprendi6aGe correspondientes.

lantear por equipos las di+erentes +ormas de representar el lenguaGe algebraico y dereali6ar problemas similares.

lantear por equipos un problema semeGante al grupo para su solución. resentar al grupo los trabaGos desarrollados en el equipo.

"as matemáticas y en especial el álgebra, +ueron desarrolladas por personas quetrataban de resolver problemas reales y de describir el mundo que los rodeaba.

Expresión Algebraica


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5ncluso en la actualidad se contin#a con el desarrollando de las matemáticas y elálgebra, es el lenguaGe que se utili6a para e;presarlas.

0n la vida diaria es +recuente el uso de s*mbolos para simpli+icar anotaciones y+acilitar las operaciones. Como el signo $ que signi+ica pesos, el s*mbolo que

signi+ica que nos apro;imamos a una curva, el s*mbolo ° , que signi+ica grados yotros que vemos en cada momentoA pero los más usados son simples abreviaturasen las que la primera letra de una palabra reempla6a a toda la palabra, por eGemplo m metro!, l litro!, r radio!, c.p. código postal!, 3a hectárea!, .D.pasado meridiano! y varios más que son de uso com#n.

0n este curso se pretende primero, que te +amiliarices con conocimientos másabstractos que la aritmética, que solo utili6a n#merosA y resuelvas problemas endonde se presentan valores por medio de letras.

B.e es ;lgebra

Cuando las cantidades son representadas por medio de letras para lograr lagenerali6ación, se habla de Ulgebra. 0l hombre al conte;tuali6ar abstractamente eln#mero, después de muchos siglos que empe6ara a medir y contar, crea las basespara la +ormación de la ciencia algebraicaA por lo tanto Ulgebra es la rama de lasmatemáticas que generali6a los métodos y procedimientos para e+ectuar cálculosy resolver problemas.

Expresión algebraica4na e;presión algebraica es el conGunto de n#meros y letras relacionadasLseparadasM! por los s*mbolos de operación suma, resta, multiplicación, división,potencia, ra*ces, etc.A que sirve como modelo para representar algunos problemasde la vida real, como estoA a H ab % -b- o también $ ' b! h!

Las expresi*nes algebraicas las podemos clasi+icar seg#n el n#mero detérminos algebraicos que posean:a! Monomio: 0;presión algebraica que consta de un sólo término, eGemplos: /(p- A & m- n A


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; % , Fy %


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"as operaciones dentro de un s*mbolo de agrupación deben e+ectuarse antes queninguna otra. 8Como obtener el valor numérico de a H ab % -b- si para a ' -, b' Variables ' c*ns,an,esPariable es una letra o s*mbolo que puede tomar cualquier valor de un conGunto den#meros, es decir, puede cambiar de valor. =i tenemos la +unción ' #x y si leasignamos valores a L;M, resulta que el valor de LyM cambiará con+orme Lvar*aM elvalor de L;M. 0n cambio, C@?=T$?T0 es cualquier letra o s*mbolo con un valor +iGo, es decir, no puede cambiar su valor. or eGemplo los n#meros , I, B, …! sonconstantes porque tienen un solo valor y no pueden variar. 0l LpiM! es unaconstante que vale apro;imadamente -.&ANTES

istinguir los términos semeGantes es muy importante, porque en álgebra sólo podemose+ectuar las operaciones de s.)a '* res,a, cuando los términos son semeGantesA a estose le llama reducción de términos semeGantes.

0n cada una de las siguientes e;presiones subraya los términos semeGantes:

a! Fm , Em- ,


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c! /Fm, /(m, - m- n* s*n ,(r)in*s se)e-an,es. B d! Fa- / Fb- % F c- n* s*n ,(r)in*s se)e-an,es.

8odr*as decir por qué ra6ón los términos de los eGemplos c3 ' 1! no son términossemeGantes9:

c!:

d!:

ACTIVIDADES DE ARENDIKA>E:

I./ INSTRUCCIONES: e las siguientes e;presiones algebraicas: Coloca sobre lasl*neas la respuesta correcta !

BC.án,*s ,(r)in*s ,iene BC.áles s*n se)e-an,es

a!./ a; % Fa; / B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tres,. . . . a; A Fa;

b!./ ; % ; % -; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . .

c!./ ;y % B6 % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . .

d!./ y- H ; % ;- H y- . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .

e).- pq2 – 9pq2 + p3 – 3p3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ___________ . . . . .___________________

Escribe con tus alabras !"uándo un término es seme#ante a otro

____________________________________________________________________________


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BCÓ/O REDUCIR TJR/INOS SE/E>ANTES

"a reducción de términos semeGantes es una operación que consiste en convertir en un sólotérmino, dos o más términos semeGantes en una e;presión si es que los hay!A lo cual lo

hacemos sumando yo restando los coe+icientes numéricos aritméticamente, a>adiendo alresultado la literal o literales con su respectivo e;ponente.

Reali6a la reducción de los siguientes términos semeGantes:

Fm % Em- / E

I@ INSTRUCCIONES: 0+ect#a la siguiente reducción de términos algebraicos

a!./ -a % b % b % Ba ' . . . .. . . . . . . :

b!./ ;y % ;y H E;y '. . . . . . . . . . . . :

¿Al

ge

bar


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c!./ I;- % Iy- % (; H


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/=omos hermanos, e;plicó el más vieGo, y recibimos como herencia esos -Bcamellos. =eg#n la voluntad e;presa de mi padre, me corresponde la mitad, a mihermano 3amed ?amur una tercera parte y a 3arim, el más Goven, solo la novenaparte. ?o sabemos, sin embargo, cómo e+ectuar la partición y a cada repartopropuesto por uno de nosotros sigue la negativa de los otros dos. ?inguna de las

particiones ensayadas hasta el momento, nos ha o+recido un resultado aceptable.=i la mitad de -B es &F y medio, si la tercera parte y también la novena de dichacantidad tampoco son e;actas 8cómo proceder a tal partición9/Duy sencillo, diGo el 3ombre que Calculaba. Xo me comprometo a hacer con

Gusticia ese reparto, mas antes perm*tanme que una a esos -B camellos de laherencia este espléndido animal que nos traGo aqu* en buena hora. 0n este puntointervine en la cuestión./8Cómo voy a permitir semeGante locura9 8Cómo vamos a seguir el viaGe si nosquedamos sin el camello9/?o te preocupes, )agdal*, me diGo en vo6 baGa )eremi6. =é muy bien lo que estoyhaciendo. Cédeme tu camello y verás a que conclusión llegamos. X tal +ue el tonode seguridad con que lo diGo que le entregué sin el menor titubeo mi bello +amal ,que, inmediatamente, pasó a incrementar la cá+ila que deb*a ser repartida entrelos tres herederos./$migos m*os, diGo, voy a hacer la división Gusta y e;acta de los camellos, quecomo ahora ven son -E. X volviéndose hacia el más vieGo de los hermanos, hablóas*:/Tendr*as que recibir, amigo m*o, la mitad de -B, esto es: &F y medio. ues bien,recibirás la mitad de -E y, por tanto, &(. ?ada tienes que reclamar puesto quesales ganando con esta división. X dirigiéndose al segundo heredero, continuó:/X t#, 3amed, tendr*as que recibir un tercio de -B, es decir && y poco más.Recibirás un tercio de -E, esto es, &. ?o podrás protestar, pues también t# salesganando en la división. X por +in diGo al más Goven:/X t#, Goven 3arim ?amur, seg#n la #ltima voluntad de tu padre, tendr*as querecibir una novena parte de -B, o sea - camellos y parte del otro. =in embargo, tedaré la novena parte de -E o sea, eroA otro es Gusto que me corresponda,por haber resuelto a satis+acción de todos el complicado problema de la herencia./0res inteligente, e;tranGero, e;clamó el más vieGo de los tres hermanos, yaceptamos tu división con la seguridad de que +ue hecha con Gusticia y equidad.X el astuto )eremi6 Hel 3ombre que Calculaba/ tomó posesión de uno de los másbellos Gamales del hato, y me diGo entregándome por la rienda el animal que mepertenec*a:/$hora podrás, querido amigo, continuar el viaGe en tu camello, manso y seguro.Tengo otro para mi especial servicio.X seguimos camino hacia )agdad.


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B.e1es explicar )a,e)á,ica)en,e l* .e s.ce1ió

N3a6lo puesO


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S.)a ' res,a 1e p*lin*)i*s:

ara s.)ar dos o más e;presiones algebraicas del tipo que sea, monomio o polinomio,se colocan los términos semeGantes uno a continuación del otro, respetando los signos oen columna si son varios y se reducen los términos semeGantes, si los hay

=umar: -;, /; % &, / -; /; %

lanteamiento: =e escriben las e;presiones entre paréntesis y conectadas entre si con elsigno de la s.)a 2"3

-; ! % /; % &! % / -; /; % ! '

=e eliminan los paréntesis:-; / ; % & / ; / -; %

=e reducen los términos semeGantes, si los hay:

or lo tanto: -; ! % /; % &! % / ; / -; % ! ' x# +x " !

ara res,ar dos e;presiones algebraicas, se debe tomar en cuenta que intervienen doscantidades, la primera que se escribe, es el )in.en1* y es la cantidad a la que se le vaa quitar la segunda llamada s.s,raen1*. 0l planteamiento de una resta es minuendo!menos sustraendo! igual a di+erencia.

+emplo Restar *a - b / 0c +de, )a / *b - c

1lanteamiento2

! )a / *b - c # - ! *a - b / 0c # 3

liminación $e par"ntesis2 )a / *b - c - *a / b - 0c 3

4e re$ucen t"rminos seme+antes,2 5a / 0b - )c

1or lo tanto2 Restar *a - b / 0c +a, )a / *b - 3 -a . /b 0 1c

6tro e+emplo2 +a, -0x / 7y 8 *z Restar )y 8 '9x 8 0z

1lanteamiento2 ! - 0x / 7 y 8 *z # 8 ! )y 8 '9x 8 0z #

liminación $e par"ntesis - 0x / 7y 8 *z 8 )y / '9x / 0z

4e re$ucen t"rminos seme+antes,1or lo tanto2 +a, -0x / 7y 8 *z Restar )y 8 '9x 8 0z 3 /x 2 3 . 45

!Te quedó entendible Entonces 6'delante7

6peraciones un$amentales


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'"T898'E; E 'PREx 8 '

:espuesta;;;;;;;;;;;;;;;;;

888?0 8


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?ASES M E5ONENTES

BTe a,re0es a res*l0er el sig.ien,e pr*ble)a

=e deGa caer una pelota desde una altura de &


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"os matemáticos han convenido en colocar las bases con signos negativos entreparéntesis. $s* el signo negativo en la e;presión H 4n signo negativo antes de una base signi+ica L el inverso $eM,no una base negativa: H


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8u" suce$e con los exponentes cuan$o multiplicamos9

$hora utili6ando la propiedad de simpli+icación de las +racciones, vamos a escribir las

siguientes e;presiones con una sola base y e;ponente.

T# resuelve aqu* el siguiente:

8Wué otras e;presiones con e;ponentes producir*an ; 9

8ue suce$e con los exponentes cuan$o $ivi$imos9

/UCAS =ELICIDADES SI CONTESTASTE ACERTADA/ENTE si n* p*nle )asganas ' a,ención

"as propiedades de la multiplicación y división con bases se)e-an,es son:

ara multiplicar e;presiones, conserva la base y suma los exponentes ;a @ ;b ' ; a/ b

ara dividir e;presiones, conserva la base y resta los exponentes:

r*pie1a1 1e las p*,encias

Pamos a simpli+icar las e;presiones siguientes, utili6ando la de+inición de los e;ponentespositivos enteros para escribir cada e;presión sin los paréntesis.

a! ;- ! ' ;- ! ;- ! ' ; -%- ' ; E b! ; !- ' ;! ;! ;! ' @ @ @ ; % % ' (;E

resuelve el siguiente: J.By

Mu3 bienA elicidadesC aDora odemos resumir la roiedad de las otencias as:

!

2

3

4

2

2

) . . . . 1.1.1. .

) . . . 1.1. .

x xxxxx x x xa x x x x x

x xxx x x x

x xxxx x xb x x x x x

x xx x x

= = = =

= = = =

a

a b

b

x x

x

−

=

7

!) x

c

x


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$l aplicar un e;ponente a una e;presión elevada a una potencia,multiplicamos los exponentes: ; a !b ' ; a ! b !

ACTIVIDADES DE ARENDIKA>E

=impli+ica las siguientes e;presiones:

?o se te olvide resolver el problema inicial ?la altura $e la pelota (ue rebotaM

( )

8

!

7

2

4 3

)

) .

)

)

aa

a

b a a

c b

d x y

=

=

=

=

( )3

2 3

2 3

32 3

2!

2

)

)

)

3)

e a b

x y f

xy

a b g

ab

x yh

xy

=

=

=

−=


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/ULTILICACIÓN M DIVISIÓN DE OLINO/IOS

9EL SR@ RODRIGUEK M SUS DOS TRA?A>OS<

"as operaciones algebraicas nos ayudan a resolver problemas de nuestra vida cotidiana.Como en el caso del…

L4r. :o$riguez (ue traba+a en $os empresas $ierentes. n una $e ellas tiene unsuel$o $e 4x esos diarios y en la otra /x esos diarios? Como esta persona$esaortuna$amente no sabe contar, necesita (ue le ayu$es y le $igas@ :

BC.án,* le pagar*n en s.s 1*s 9Ca)bas< p*r .na se)ana 1e ,raba-* PPPPPPPPPPPPPPPPP

BC.án,*s 1Qas necesi,a ,raba-ar para ganar HH%x pes*sPPPPPPPPPPP

BExplica bre0e)en,e c*)* enc*n,ras,e la s*l.ción

&! $nali6ar el material escrito en la antolog*a relacionado con la multiplicación y divisiónalgebraica.

! 0studiar otros materiales impresos para reali6ar eGercicios de multiplicación y división.

-! Contrastar los procedimientos utili6ados y saberes recuperados del problema planteado.

Con la +inalidad de reali6ar un cierre a este peque>o problema anali6a tus

resultados obtenidos y consénsalos con los de tus compa>eros de asesor*a. lasmar las conclusiones por equipo en hoGa rota +olio y presentarla para suanálisis y discusión grupal.

Resolver otros eGercicios o actividades de aprendi6aGe.

ropiciar la libre e;presión de las emociones y sentimientos generados duranteel desarrollo del tema.

RODUCTOS O /ULTILICACIÓN ALGE?RAICA:

ara reali6ar la ).l,iplicación de polinomios se aplican las leyes de los e;ponentes, leyde los signos, y la propiedad distributiva.

&. Ley $e los xponentes: a! am @ an ' am % n 4e suman los exponentes!

b! am ! n ' am n 4e multiplican los exponentes!

c! ab! m ' am bm 4e multiplican los exponentes!


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. Ley $e los signos: % por % ' % / por / ' % % por / ' / / por % ' /

-. Ley Distributiva: "a cual nos indica que el monomio se multiplica por cada uno delostérminos del polinomio.

a b % c ! ' ab % ac

monomio polinomio0n álgebra para indicar multiplicación generalmente usamos paréntesis y punto @ ,por eGemplo. B < en aritmética B!

$l desarrollar la multiplicación de e;presiones algebraicas procedemos a lo siguiente.Dultiplicar


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! E;y -;- y / F;y % ! ' &(;E@

5. 0ncuentra los productos de las siguientes e;presiones algebraicas:

&. -a! Ba%-a%a! '


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. ;y! /B;-y-! '

-. ;- / -;

a! aB ] a ' a- exponente positivo

b! a ( ' a ( / ( ! ' aJ ' & exponente cero


27/56

a(

c! a - ' a - / F ! ' a/


28/56

+emplo : ividir


29/56


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RODUCTOS NOTA?LES

L0" UR0$ 0 TR0= T0RR0?@=M

&. Te presentamos el siguiente reto:

Lres amigos, Luis, Carlos y Joseina tienen ca$a uno un terreno y lo mi$ieron para el área $esu respectivo terreno. l problema es (ue no tenían cinta m"trica y con una cuer$a (ueencontraron, icieron D64 me$i$as en ca$a terreno, para $espu"s me$irla en su casa con lacinta. l terreno $e Luis mi$ió ! 1m?. Fm # $e largo y H1m?. Fm # $e anco= l $e Carlos mi$ió! Jm? . /m # $e largo y ! Jm? . -m # $e anco= el $e Joseina mi$ió ! Km? . 4m # $e largo y ! Km? 24m # $e ancoM.

a! 4tili6a lápi6, regla y una hoGa cuadriculada para cada terreno.b! Dide en cent*metros las dos medidas de largo y las dos de ancho se>aladas para cada terreno.c! @bserva cada terreno y reali6a una cuadricula en cada medida para que obtengas las áreas

correspondientes.8=on iguales los terrenos9 =i o ?o.

Calcula el área de cada terreno y se>ala: Cuanto midió el terreno de "uis9 cuanto el de Carlos9 y el de 7ose+ina9

A*ra represen,a c*n 1i7eren,es c*e7icien,es ' li,erales cada una de las medidas de los lados delos tres terrenos y as* puedas comparar el contenido del tema de productos notables.

8e que otra manera se puede reali6ar dicho calculo9

&! @perar la multiplicación de binomios y anali6ar los contenidos del tema de productosnotables de las páginas subsecuentes.! resentar los cálculos reali6ados en equipos de - a < estudiantes.-! 0n una plenaria en equipos presenta y sociali6a los resultados obtenidos, para anali6ar di+erentes estrategias de solución al reto presentado.alados.

lasma tus conclusiones por equipo en hoGa rota +olio y preséntalo para su análisis ydiscusión en el grupo.

lantea por equipos un reto semeGante al grupo para su solución.

Resuelve las actividades de aprendi6aGe de t# 2u*a didáctica

BUE SON LOS RODUCTOS NOTA?LES

1ro$uctos notables son ciertos casos $e multiplicaciones $e polinomios y se pue$en obtener $irectamente aplican$o reglas notables, (ue nos permiten llegar al resulta$o sin necesi$a$ $e realizar las multiplicaciones parciales.


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EL PRIMER PRODUCTO NOTABLE QUE TRATAREMOS ES EL...

)5?@D5@= C@?742$@= o

R@4CT@ 0 "$ =4D$ @R "$ 510R0?C5$ 0 @= C$?T5$0=2a " b 3 2 a b3

"os primeros términos son idénticos y los segundos sólo son di+erentes en el signoó dicho de otra manera: 0n éste binomio e;iste .n ,(r)in* c*)6n quecorresponde al termino que tiene la misma literal e igual signo en el eGemplo esLaM y su signo %! ! ' *,r* ,(r)in* se)e-an,e per* si)(,ric* que tiene igualliteral pero signo di+erente es LbM con signo di+erente uno % b y otro H b!.

AnaliFa 1e,eni1a)en,e el sig.ien,e es.e)a 1*n1e .,iliFare)*s li,erales2le,ras3 ' n6)er*s@

Con literales a % b ! a H b ! y con n#meros < % ! < H !

"rminos Comunes a& '

con letras ' a H ab % ab H b

" )ás con n#meros ' &E H ( % ( / <

b ! "ab 0 b4 se re1.cen términos semeGantes /ab % ab!

%( -5 o / ( % (!

a2 se elimina 1 (-a" , –8)

Con letras ' a

H b

Con n#meros ' &E H < # 12m2

Se elimina - "2

(+ a" , + 8 ) - 4


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0n base en lo anterior tenemos con letras a % b ! a H b! ' a H b

que en los binomios conGugados: con n&meros < % ! < H ! ' &E H < o sea ' & m

Comenta con tus compa>eros y asesor los aspectos que no comprendas, lo que tellame más la atención y utili6a el eGemplo para relacionarlo con alg#n hecho real dela vida cotidiana.

En conclusión: %a suma de dos cantidades multilicada or su diferenciaA también conocida como binomios con#ugados es igual al cuadrado del minuendo Hen la diferenciaI menos el cuadrado del sustraendo?

1or e+emplo : al desarrollar:i+erencia

a! m % I ! m / I ! ' E@

etermine el producto de los siguientes bin*)i*s c*n-.ga1*s aplicando las dosreglas anteriores:

&. ; % y ! ; / y !' E. E; / m; ! E; % m; !'

. m / n ! m % n ! ' F. && / ab ! && % ab !'

-. ; % a ! ; / a !'(. ; % &- ! &- / ;!'


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rimer caso a % b ! o a % b ! a % b! signos positivos=egundo caso a H b ! o a H b ! a H b! signo positivo y negativo

0n el primer caso el binomio tiene dos términos iguales hasta sus signos!, esto es, elprimer término es LaM y es positivoA el segundo término es LbM y también es positivoA o sea,

es el producto de la =4D$ de dos cantidades.

0n el segundo caso el primer término es LaM y es positivoA el segundo término es LbM y esnegativoA o sea, es el producto de la 510R0?C5$ de dos cantidades.

AnaliFa 1e,eni1a)en,e el sig.ien,e es.e)a 1*n1e .,iliFa)*s li,erales 2le,ras3 'n6)er*s@

070D"@ 0" R5D0R C$=@ a % b ! y < % !

Con literales a % b ! o sea a % b! a % b ! y con n#meros < % ! o sea < % ! < % !rimero se identi+ica cuál es el &er. Término LaM o el L


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$nalicemos con el mismo esquema en el =024?@ C$=@: a H b! o < H !

a (4) - menos -" (-2 )

a2

- ab '7 /( a (4) con letras ' a / ab / ab % b

con n#meros ' &E / ( / ( % <

- menos-ab + b2 suma términos semeGantes /ab / ab! o /( / (!

- " (-2) / ( % 5

'e suma a2 e% término 1 semejante

(- a", -8) /on %etras # a2 - 2ab + b2

/on n&meros # 16 -16 + 4 #4m2 'e suma e% + "2

término semejante + 4 (- a", - 8)

0n base en lo anterior tenemos con letras a % b ! ' a % ab % b

que los binomios al cuadrado : a / b ! ' a H ab % b con n&meros < % ! ' &E % &E % <

< H ! ' &E H &E % <o ! ' <

@bserva con cuidado cada uno de los eGemplos desarrollados anteriormente,notarás que en el resultado aparecen ciertas semeGan6as o reglas:

El rimer término del resultado es E% "&'R') E% PR8MER TLRM8


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&. a " b ! rimer segundo

Término término

• Cuadrado del primer término //////////////////////// a ! /////////////// ' a • oble producto del primero por el segundo //// a ! b ! ////////// ' ab• Cuadrado del segundo término /////////////////////// b ! ///////////// ' b

0l resultado +inal es a# " #ab " b#

. x ' !primer segundo

término término

• Cuadrado del primer término //////////////////////// ; ! /////////////// ' ; • oble producto del primero por el segundo //// ; ! / y ! ///////// ' / ;y• Cuadrado del segundo término /////////////////////// y ! //////////// ' y

0l resultado +inal es ' x 4 0 4x3 . 3 4

El resultado de eleNar un binomio al cuadrado recibe el nombre de

TR8


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O,r* pr*1.c,* n*,able es:

PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA ; %a ! ; % b ! :

ara este caso es necesario que identi+iques que el producto de 1*s bin*)i*s 1e la7*r)a 2 x " a 3 2 x " b 3 tienen como caracter*stica que el primer término en ambosbinomios es igual y se llama ,(r)in* c*)6n en este caso es la Lx


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otro eemp%o( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) # 0 + (- 3 - 2 ) 0 + ( -3 . -2 )

# x² - 5 x + 6 ------que es e% resu%tado fna%. éste es un trinomio de la forma x2 + bx + c

Término común (x ) Términos NO comunes

e lo anterior podemos concluir las siguientes tres reglas del producto de dosbinomios con ,(r)in* c*)6n * bin*)i*s 1e la 7*r)a 2 x " a 3 2 x " b 3, es iguala:

EL CUADRADO DEL TJR/INO CO/N

LA SU/A ALGE?R;ICA DE LOS TJR/INOS NO CO/UNES OR ELTJR/INO CO/N

EL RODUCTO 2).l,iplicación3 DE LOS TJR/INOS NO CO/UNES@

a:amos otros eer$$os y presta mu$;a aten$5n

*p%$ando %6 anteror tenemos

1. (m3 + 4 ) ( m3 + ! ) # ( m3 ) + ( 4 + ! ) m3 + ( 4 ) ( ! ) # m6 + 9m3 + 2

% $uadrado de% trmno $om&n (m3)2 # m6

a suma a%:e"ra$a de %os trmnos no $omunes por e% $om&n (4 + !) m 3 # 9m3

% produ$to de %os trmnos no $omunes ( 4 ) ( ! ) # 2

2. ( y + ) ( y - 3 ) # ( y ) + ( - 3 ) y + ( ) ( - 3) # !² + 3! - 1"

% $uadrado de% trmno $om&n (y)2 # !2

a suma a%:e"ra$a de %os trmnos no $omunes por e% $om&n ( - 3)y # 3! % produ$to de %os trmnos no $omunes ( ) (-3 ) # -1"

"on esto conclu3e este temaA ara refor5arlo e#ercita lo arendido?

ACTIVIDADES DE ARENDIKA>E@

Resuelve los siguientes RODUCTOS DE DOS ?INO/IOS DE LA =OR/A 2 x " a 3 2 x "b 3 aplicando sus tres reglas:

&. ; % ! ; % B ! ' E. y % F ! y / & ! '

. a % < ! a % - ! ' F. n % & ! n % B ! '


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-. m / F ! m / & ! ' (. ; % - ! B % ; ! '


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uarto paso /B6 C 'IC6 FG@E6 C BE6E6H ( " )< # b$&or lo tanto ' a + b ($ # a$ + 3a² b + 3a b² + b$

6tro eemp%o Cesarro%%ar e% "nomo a% $u"o (3m + 2n)


40/56

(0 + 2y )< #___________________________________________ # ___________________

( 2a" - 4)< #___________________________________________ #___________________

(3a + 8 )< #___________________________________________ # ___________________

=ACTORIKACIÓN@

9?USCANDO =ACTORES


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ACTIVIDADES

&. Pamos a rescatar tus conocimientos previos acerca de la multiplicación y divisiónalgebraica, productos notables, para iniciar el tema de 1actori6ación.

. Cierto d*a un asesor del =$0T$ planteó el siguiente problema a sus alumnos:

n la eria $el elote $e la locali$a$ $e alisco, vamos a poner una exposición para promover y $iun$ir el 4AA, pero solamente nos rentan locales con áreas $e O m4 . Cuántos locales y cuáles son las $imensiones !largo y anco# (ue pue$en tener, si los la$os $eben me$ir metros completos y no $eben exce$er $e 4 metrosK

-. Reali6a dibuGos, recortes de materiales si lo consideras necesario.

alando alguna estrategia de solución.

Resolver las actividades de aprendi6aGe de la antolog*a, re+erente al tema de 1actori6ación

4na ve6 que encontraron las respuestas correctas al problema, sociali6arlo en unaplenaria de todo el grupo.

0;poner las estrategias utili6adas para llegar al resultado.

Comparar los resultados y sobre todo las estrategias encontradas.

Wue los alumnos mani+iesten sus emociones y sentimientos durante el desarrollo ysolución del problema.

=ac,*riFar quiere decir descomponer en +actores.Tenemos que exresar el conceto de factori5ación?


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015?5C5S?: La actorización es un pro$ucto contrario a la multiplicación, es$ecir, el pro$ucto se pue$e $escomponer en actores.emp%o 8,,:

24 # (2)(2)(2)(3)24 # (4)(3)(2)24 # ()(4) *TO+,S 24 # (8)(3)24 # (12)(2)

;


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puede +actori6arse mediante el uso de la propiedad distributiva sólo cuando sustérminos tienen un 7ac,*r c*)6n.

"lamamos 1$CT@R C@D4? al +actor que aparece en T@@= lostérminos de un polinomio

-inomio Trinomioemp%o 2 0 + 2 y # 2 ( 0 + y ) otro eemp%o 2 0 + 0 y + 3 0 y2 # 0 ( 2 + y +3y2 )

Na$tor $om&n (2 ) Na$tor $om&n ( 0 )

*s>, para fa$tor?ar un po%nomo pro$edemos $omo en e% s:uente eemp%o8actori>ar el binomio 5x + 5 !

DrmeroH "us$amos e% fa$tor $om&n y ese e%emento N*/F6@ /6O 'er uno de %os fa$tores.

! 0 + ! y # ! ( ) alta encontrar el otro factor

'e:undoH Dara en$ontrar e% otro fa$tor d=dmos $ada trmno de% po%nomo entre e% ! 0 + ! y # 5 ' x + ! (

fa$tor $om&n !0 # 0 !y # y ! !

Na$tor?ar 5x + 5! # 5 ' x + ! ( resu%tado $orre$to

* =e$es no es tan f$% en$ontrar e% fa$tor $om&n, por eemp%o en e% "nomo 20 + 4y,aparentemente no ;ay fa$tor $om&n pero d$;o "nomo puede es$r"rse de %as:uente manera

2 0 + 4 y fa$tor $om&n (2) ue:o podemos fa$tor?ar

d$;o "nomo as>................ 20 + 4y # 2 ( 0 + 2y ) 20 + 2 ( 2y )

20 # 0 4y # 2y fa$tor $om&n 2 2 Na$tor?ar 20 + 4y # 2 'x +2! ( resultado correcto

Ahora requerimos de toda tu atención para continuar aprendiendo la Factorización

*% :ua% que un n&mero, un msmo po%nomo puede ser fa$tor?ado de dstntas maneras, por eemp%o e% "nomo 802 + 40 puede ser fa$tor?ado de %as s:uentes formas


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*). ( 80 ) (0 ) + 4 0 # 0 ( 80 + 4 ) B) 802 + 40

fa$tor $om&n ( 0 ) 4 ( 202 ) + 4 0 # 4 ( 202 + 0 )

Na$tor $om&n ( 4 )/) 802 + 40

20 ( 40 ) + 40 ( 1 ) # 4x ' 2x + 1 ( resultado correcto

Na$tor $om&n (40)

Ce %as tres anterores fa$tor?a$ones o"tendas, %a ms $omp%eta es %a /), ya que en %asotras dos, %as e0presones P 80 + 4 Q y P 20 + 0 Q a&n tenen un fa$tor $om&n, (e% . en la primera y %a x en la segunda) %o $ua% no su$ede en e% &%tmo $aso, de"do a queen$ontramos e% RSE6 N*/F6@ /6O.

&ero momento... ¿Que es eso delmáximo factor común ?

,l /012/O *TO+ O/3N es el mayor de los factores comunes y para obtenerlo debemos encontrar el Máximo Común Divisor de los coeficientes(o números) y escogemos las literales (o letras) "ue apare4can en todos losTérminos con su /,NO+ ,1PON,NT,%

/6 /** *I*6' TD6 y pra$tquemos e% m0mo $om&n d=sor $on$oef$entes (n&meros) y %tera%es (%etras) '* J... D' *E6 U *C*F.

8actori>ar el %olinomio7 12 x2 !2 + 24 x3 !2 – 6 x4 !

&rimer %aso Obtener el m5ximo factor común6*) Dara esto es ne$esaro en$ontrar e% m0mo $om&n d=sor (m$d) de %os $oef$entes (on&meros).

os $oef$entes son 12 H 24 H 2 (mtad)

H 12 H 3 3 (ter$a)2 H 4 H 1

ya NO hay un número "ue di7ida a TO8OS


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/omo ya no son d=s"%es e% 2H 4H y 1H se mu%tp%$an %os n&meros que ' d=deron 2(mtad) y 3 (ter$a) y se o"tene e% m0mo $om&n d=sor m.c.d. que ser ( 20 3 ) # 6

B) *;ora es$o:emos las literales 'letras( que apare?$an en 0 %os trmnos$on su ; ex%onente.

Do%>:ono que =amos a fa$tor?ar # 12x2!3 + 24x3 !2 - 6x4! n todos %ostrmnos apare$e %a %tera% P0Q y %a PyQ pero...

Dara %a P0Q e% e0ponente menor es ( x2 ) Dara %a PyQ e% e0ponente menor es ( ! )

/) por todo %o anteror e% RSE6 N*/F6@ /6O es 6x2!

e*undo %aso7 n$ontrar e% 6F@6 N*/F6@ d=dendo $ada trmno de% po%nomo, entree%

m0mo fa$tor $om&n o"tendo

Do%nomo por fa$tor?ar 12x2!3 + 24x3!2 – 6x4! # 02y ( 2y2 + 40y – 02 )

12 02y3 entre 02y # 2!2

24 03y2 entre 02y # 4x!

- 04y entre 02y # x2

Dor %o tanto

Na$tor?ar 12x2!3 + 24x3!2- 6x4! # 6x2! ' 2!2 + 4x! – x2 ( resu%tado $orre$to.

' tenemos a%:una duda so"re nuestro resu%tado o"tendo, podemos /6D@6B*@ %arespuesta, efe$tuando %a mu%tp%$a$5n de e% m0mo fa$tor $om&n D6@ %os trmnoso"tendos, y as> %%e:ar a e% po%nomo n$a% que se nos nd$5 fa$tor?ar.

02y (2y2 + 40y - 02 ) # 1202y3 + 2403y2 – 04y

( 02y) ( 2y2) # 12x2!3

8ebido a "ue es el polinomio dado (02y) (40y) # 24x3!2 la actori4aci9n es correcta%


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(02y ) ( -02 ) # - 6x4!

,/00 0 &0

1. n$uentra e% máximo com?n di@isor (m.$.d.) de $ada uno de %os $onuntos de n&merosa) ( 2, 4, , ) # ________ ") ( , 24, 3 )# _________ $) ( !, 1, 1!)# ______

d) (8, 3, 1) #________ e) ( 24, 4, !)# ________ f) (9, 21, 3 ) #______

2. n$uentra %a(s) %tera%(es) que apare?$a(n )en todos los términos $on su menore0ponente.

a) ( a, a2, a3)# _________ ") ( 02yH 0y2 ) # _________ $) (a"2$H "3$2H a"3$2)#_____

d) (m2, m3, m!) #________ e) (03y2, 0y3 )#__________ f) (a2, a", a"2) # _______

3. Dra$t$a %as s:uentes d=sones de %os trmnos s:uentes

a) 0 ! # ______ ") -1202 y3 #_______ $) 28 a3 "2 #______ d) – !0!

#02 40y2 -7a" !0!

e) 2?y4 #______ f) 18 m3 n2 #________ :) 1"2 a2 # _______2?y - m3n 1 "a2

4. n$uentra e%, m0mo fa$tor $om&n de %os po%nomos s:uentes y %ue:o fa$tor?ar%os

1olinomio Eáximo actor Com&n actorizacióna) !0 + 1

") 20 + 30 + !0

$) 102 –403 +804

d) 1203y + 402 –y2

e) 2!0y2 + 303y2 +1!y204

f) 4202y – 703+ 14y302

:) 32 m4n2- 1m2n – 8m3n


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; ' ;

ara obtener términos opuestos de los binomios e;traemos ra*6 cuadrada alsustraendo as*: ; / y ' ; % y ! ; / y !

sustraendo Términos opuestos sim"tricos!

y ' y

e donde podemos concluir lo siguiente:

ara 7ac,*riFar .na 1i7erencia 1e c.a1ra1*s 7*r)a)*s bin*)i*s c*n-.ga1*s*b,enien1* s. ,(r)in* c*)6n al ex,raer la raQF c.a1ra1a al )in.en1* ' l*s,(r)in*s *p.es,*s al ex,raer raQF c.a1ra1a al s.s,raen1*@

+emplo : Dinuendo =ustraendo I; /


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! m /

g! B%-p

-

! B/-p

-

!-. Completa los espacios vac*os con la e;presión que haga +alta para que las

igualdades se cumplan.

a! ;


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1or e+emplo: @bservemos si el trinomio:


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+emplos2

a! I % ; % E; ordenando queda ; % E; % I

; % E; % I 8 es ;! -! ' E; 9 or lo que ; % E; % I

es cuadrado per+ecto ; - M 4i lo es N

b! ; % ACTIVIDADES DE ARENDIKA>E@&. 0scribe dentro del paréntesis una ! si el trinomio es cuadrado per+ecto.

a! ; % ;y % y ! b! y % 6 % y6 !

c!


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9 ' < e!


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; % F; % &J F ' bdonde

&J ' c ; % b; % c

"o cual quiere decir que para +actori6ar el trinomio ; % F; % &J, debemosencontrar dos binomios que tengan un término com#n. 8Cómo lo hacemos9

&. 0l término com#n lo podemos obtener si e;traemos ra*6 cuadrada al términocuadrático ; !.

; % F; % &J ' ; ! ; !

; término com#n. ara encontrar los términos no comunes buscamos dos n#meros que cumplanlas siguientes condiciones:

p % q ' F sumados den F!p @ q ' &J multiplicados den &J!

rimero veamos los +actores de &J $hora veamos cuáles de los +actorespositivo, ambos +actores son los dos anteriores suman F.positivos o los dos negativos. &J &J . &J! @ & ! &J ! @ & ! ////////// &J % & ' && B ! @ ! B ! @ 3 + " # /&J ! @ /& ! /&J ! @ / ! /&J!%/! ' /& /B ! @ / ! /B ! @ / ! /B !%/! ' /F

"uego B y cumplen las condiciones, por lo que:x# " x " %& será +actori6ado en ' 2 x " + 3 2 x " # 3

or lo tanto: Al 7ac,*riFar .n ,rin*)i* 1e la 7*r)a x# " bx " c 7*r)a)*s .npr*1.c,* 1e bin*)i*s c*n ,(r)in* c*)6n 1*n1e:

%@ El ,(r)in* c*)6n es *b,eni1* al ex,raer la raQF c.a1ra1a al ,(r)in*c.a1rá,ic* 2x# 3@

#@ L*s ,(r)in*s n* c*).nes se *b,ienen al enc*n,rar 1*s n6)er*s .ec.)plan las sig.ien,es c*n1ici*nes:

p % q ' b 3 p @ q ' c

+emplos2 1actori6ar los siguientes trinomios.

&. ; / B; % Ea! Checamos que dicho trinomio sea de la +orma ; % b; % c

; % b; % c


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; / B; % E

observa que el coe+iciente del término cuadrático debe ser &.

b! @btenemos el término com#n

;

/ B; % E ' ; ! ; !

; término com#n c! Como b ' /B y c ' E )uscamos dos n#meros que multiplicados nos de E ysumados /B, para encontrar los términos no comunes.

! ! ' E y ! % ! ' /B

"uego como E es positivo, tenemos que los +actores pueden ser los dos positivos,o los dos negativos, as*:

E 8 Cuáles de dichos +actoressuman /B 9Peamos

luego "os términoscomunes son:/- y /

E ! . & !/ E ! . / N ! - ! . !

E ! % & ! ' F / E ! % / & ! ' /F - ! % ! ' B/ - ! % / ! ' /B

or lo que el trinomio puede +actori6arse as*: x 4 0 /x . O H x 0 F I H x 0 4 I

ACTIVIDADES DE ARENDIKA>E@

&. 0ncuentra dos n#meros `p` y `q` tales que cumplan con las condiciones que sese>alan. @bserva el e+emplo.

p @ p % q p q p @ p % q p q

a! & ( E d! & / F

b! J I e! /&B /

c! BE &B +! / - <

. 1actori6a los siguientes trinomios


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a! ; / -; / &J ' d! ; % I; / -E '

b! m % Im % &< ' e! ;&J / &J;B % < '

c! y / (y % & ' +! y< / y '

-8Cuáles serán las dimensiones de un rectángulo cuya área es de y / By % E9

$ ' "argo ; ancho $ ' y / By % E

$rea ' '# +' " *n$;o_____

ar:o #_____________


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c! 0l segundo término es % o H y el ,riple del c.a1ra1* 1e la raQF c6bica 1elpri)er ,(r)in* por la ra*6 c#bica del segundo.

d! 0l tercer término es % el ,riple de la ra*6 c#bica del primero por el c.a1ra1* 1ela raQF c6bica 1el seg.n1*.

=i todos los términos son positivos, la e;presión dada corresponde al cubo de las.)a de dos términosA si los términos son, alternativamente, positivos ynegativos, la e;presión dada es el cubo de la 1i7erencia de dos términos.

0Gemplo: 1actori6ar 8'! " %# '# " ' " %

$nali6amos la e;presión para ver si cumple con las condiciones se>aladas:a! Tiene c.a,r* términos,b! Ra*6 c#bica de (y- es #' A Ra*6 c#bica de & es %c! 0l segundo término - y!&! ' %#'#

d! 0l tercer término -y! &! ' '

Como cumple con todas las condiciones y los términos son positivos por lo tanto el1actori6ar 8'! " %# '# " ' " % su resultado correcto es 2#' " % 3!

ACTIVIDADES DE ARENDIKA>E:Resuelve las siguientes +actori6ación de cubos per+ectos de binomios :

&/ -b % -b H b- ' '

F H F % Ia Ha- ' '

;- %-;y % -;y % y- ' '

Guía Didáctica de Álgebra 1a Parte

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