~GUIA DEL INVERSIONISTA PARALA CONFORMACIONDE UN PORTAFOLIO

LUIS EDUARDO PEREZ

Estudiante de la Especialización en Finanzas Universidad ICESI

RESUMENEl autor plantea un método científi­co para invertir en acciones quedesmitifica la decisión.

Se describen los conceptos básicos deestadística, los cuales son necesariospara introducir, a continuación, lateoría matemática del riesgo y el fac­tor beta, o coeficiente de riesgo.

Con el factor beta y el rendimientoesperado por acción, se seleccionanlas inversiones, con base en la teoríade las decisiones y el perfil del inver­sionista.

PALABRAS CLAVEAcciones, Esperanza, Varianza,Covarianza, Desviación, Coeficientede correlación, Riesgo, Factor Beta.

¿CÓMO SE DEBE ENFRENTARLA DECISiÓN DE UNAINVERSiÓN EN LA BOLSADE VALORES?No sé quién dijo que enfrentar unadecisión de inversión de una maneraorganizada, planeada y tratando deevitar al máximo la exposición al ries-

go, es algo que envuelve un gran mis­terio. La verdad, como veremos eneste artículo, es que es más el para­digma sobre el asunto que la reali­dad al respecto. Este es un tema quepuede resultar muy simple y traba­jable a los ojos de cualquier lector quese desenvuelva en el ambiente de lasinversiones.

EL MISTERIO DELAS INVERSIONES EN BOLSAEn la actualidad existen numerosasversiones de la teoría del portafoliode inversiones cuyo único propósitoes planificar las inversiones e inver­tir diversificadamente para minimi­zar el riesgo.

Normalmente hay dos tipos de ase­sores de inversiones: Los que se ga­nan sus comisiones porque se «mue­ven» muy bien, desde el punto de vis­ta comercial. Estos tienen muchas«conexiones», y resultan ser los másexitosos. O están aquellos a los queles gusta «hechar número en forma»y que aunque no siguen esquemasformales de decisión aparentementeson los más «analíticos».

Oic'ifsi ESTUDIOSGERENCIALES 85

¿Por qué sencillamente todos nues­tros corredores de bolsa o nuestrosllamados comisionistas de bolsa noasesoran sin excepción basándose enelementos de juicio más elaborados,más probados y más profundamenteanalizados?

¿Por qué será que siempre el éxito deun comisionista depende en gran par­te de su malicia? ¿Por qué dependede su intuición? ¿Por qué depende desu experiencia y muchas veces hastade su suerte?

Yo me atrevo sin reservas a dar la si­guiente respuesta: Porque «se supo­ne» que es complejo encontrar unabuena teoría, muy difícil de entenderesa teoría y seguramente demasiadolaboriosa de aplicar.

Pues la verdad sea dicha, la teoríamatemática del portafolio es muysencilla de encontrar en cualquiertexto, muy simple de entender y muyfácil de aplicar.

El trabajo de tesis que realicé y so­bre el cual haré una breve exposicióna los lectores se encarga de confirmaresta aseveración.

LA TEORIA MATEMATICADEL PORTAFOLIOComo trabajo de grado en mi maes­tría en Administración de Empresasme concentré no solamente en ense­ñar la teoría matemática del porta­folio sino en demostrar lo sencilla quepuede ser su aplicación. Entenderlaes el resultado de tener unos conoci­mientos mínimos de estadística, exi­gencia lógica para un comisionista debolsa. La esperanza, la media, lavarianza, la desviación estándar y lacovarianza de dos variables son losúnicos elementos probabilísticos quese requieren para trabajar en pos deminimizar el riesgo en una inversión.

Presentaré un cuadro resumen de losanteriores conceptos, para refrescarla memoria de los lectores (cuadro 1).

Para medir los resultados posibles deuna acción se realiza un muestreo deocurrencias de rentabilidades histó­ricas de x, que se pueden obtener delos Informes Resumen que emitentodas las bolsas de Colombia. Sobreesta información se aplican los ante­riores conceptos estadísticos.

CUADRO ICONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADíSTICA

Esperanza

Varianza

Donde X¡ es la rentabilidad de una aceíón.yPí es la probabilidad deoeurrenciadedil,:harentabilidad.

Que indica la dispersión de los valores de Xcon relación a la media.

Es la raíz positiva de lavarianza que me pero .mite ver el desfaseen términos comparables.

Es el efecto de la convivencia entre dósva­riables.

Es el~ en~l!didas~ que tiene\Q1&'larlllble sobre la otl'l¡ en térlninos~-COSo

86 A I'·C,voE"'S·'I· ESTUDIOSv GERENCIALES

MARCO DE LA TEORIAMATEMATICADEL PORTAFOLIOHabiendo definido brevemente todoslos elementos estadísticos para enten­der la Teoría Matemática del Porta­folio me permitiré enunciarla, comen­zando por exponer la existencia de unparámetro particular a cada acciónen su respectivo sector del mercado.Este parámetro se llama el coeficien­te de riesgo beta, y representa el ni­vel de riesgo asociado a dicha acciónen su mercado.

Este beta representa una medida deriesgo estadístico, pero por sí solo noes criterio suficiente para la toma dedecisiones. No puedo dejar de recor­dar que la aversión al riesgo es par­ticular en cada inversionista, por lotanto las decisiones relacionadas conel tema del riesgo siempre son muysubjetivas y no basta la estadísticacomo criterio único. Distintos inver­sionistas pueden llegar a sentir ni­veles de satisfacción diferentes cuan­do se trata de inversiones que en tér­minos de rentabilidad y riesgo sonidénticas.

Por ejemplo: Una inversión rentablepero riesgosa puede mirarse desdedos puntos de vista diferentes. Parael inversionista menos adepto al ries­go su sensación de satisfacción serádefinitivamente menor, mientras quepara el más adepto al riesgo su satis­facción puede resultar mayor.

Recuerdo a los lectores que existendos tipos de riesgo básicos: El prime­ro consiste en el riesgo sistemáticoque es propio del mercado y la únicamanera de controlarlo es a través delsacrificio del rendimiento. El segun­do tipo de riesgo depende directamen­te de las características de la inver­sión y es el llamado riesgo financiero

único, propio o diversificable, que seelimina parcial o totalmente a travésde las técnicas de diversificación.

Teniendo en cuenta que el propósitode cualquier inversionista es maximi­zar el rendimiento de su inversiónE(X) = ~ X x E(R ), lo más simple

1 p

parecería ser invertir todo el dineroen lo más rentable, pero no podemosolvidar que no van a existir suficien­tes acciones de la misma sociedad quese encuentren simultáneamente a laventa. Esto obligará al inversionistaa realizar la mejor distribución delmonto entre las más rentables y me­nos riesgosas inversiones.

EL CALCULO DEL BETADE RIESGOPara cada una de las acciones en eta­pa de análisis se calcula un beta deriesgo aplicando la siguiente secuen­cia de pasos:

Teniendo la información correspon­diente a n ocurrencias de un eventollamado rendimiento de la acción ase calcula:

E(R) =~ RaIn (1)

Igualmente se calcula el rendimien­to medio del mercado o portafolio R

m

así:

E(Rm

) =~ Rm

In (2)

La covarianza generada por el efectode la variable a con relación al mer­cado se puede calcular de la siguien­te manera:

COV(Rm1

Ra) = ~[(Ra - E(R)) x (Rm -

E(Rm

))] I [n - 2] (3)

Se requiere calcular igualmente lasvarianzas de la acción a y del merca­do de la siguiente manera:

Oic'ifsi ESTUDIOSGERENCIALES 87

CUADRO 2OOCUI.ODELBETADE RIESGO PARA UNA ACCiÓN

Ra"E(Ra) R",-E(Rm) (Ra-E(R.»x (Ra-E(Ra»)2 R",-E(Rm»)2

(Rm-E(Rm»

1988

1989

1990

1991

1992

25..5% 37.0%

24.6% 32.0%

36.6% 40.0%

40.4% 44.0%

29.0% 34.0%

156.1% 187.0%

(5.72)

5.38

(6.62)

9.18

(2.22)

(0040)

(5.40)

2.60

6.60

(3040)

2.29

(29.05)

(17.21)

60.59

7.55

24.16

32.72

43.82

28.94

84.27

4.93

194.69

0.16

29.16

6.76

43.56

11.56

91.20

E(Ra) =15615 =31.22%

E(Rm

) =187/5 =37.40%

COV(Rm¡Ra)=24.161 (5-2) ;: 8.05

VAR(R.) = 194.69/ (5-1) = 48.67

VAR(Rm)=91.20/ (5-1) =22.8

O"(R.> - "';VAR (Ra)= 6.98

J3 lllll:./C)'> IIa

VAR(R) = L(Ra

- ECR»)2I (n-1) (4)

VAR(Rm

) =L(Rm

- E(Rm))2I (n-1) (5)

Utilizando toda la información esta­dística calculada hasta la ecuación (5)se puede obtener el riesgo beta:

B =COV(R R )NAR (R ) (6)a m, a m

Luego de definir matemáticamentelos anteriores conceptos, los lectoresestarán en condiciones de entenderel siguiente ejercicio.

EJEMPLO DE APLlCACIONPRACTICAEn el Cuadro 2 se ven los cálculosrequeridos en cada columna.

En la columna t nos encontramos losaños que se van a analizar.

En la columna R a hallamos los ren­dimientos de la acción en cada uno

de los años especificados en la colum­na t. Estos valores permitirán elcálculo del promedio de los rendinien­tos E(R).

El rendimiento de mercado R se ob-m

tiene al promediar todas las accionesque rentaron dentro del mismo sec­tor de la economía. Para cada año sesuman todos los rendimientos y sedividen por el número de acciones,obteniendo así el rendimiento prome­dio de dicho mercado.

Estableciendo la relación estadísticaentre la acción y el mercado se puedehallar el nivel de riesgo beta de dichaacción.

Habiendo calculado el riesgo betapara la acción a, ya estarán los lecto­res en condiciones de comprender la

88 Ole'E'si ESTUDIOSGERENCIALES

formulación que permitirá deducir laecuación que rige la teoría matemá­tica del portafolio.

El !"endimiento promedio de las ac­ciones o de los papeles libres de ries­go se obtiene calculando la sumato­ria de todos los rendimientos de lostítulos libres de riesgo de un período(generalmente un año) y dividiéndo­la sobre el número de ocurrencias:

RL= L RL/n (7)

Para continuar con el ejemplo, supon­go que los rendimientos durante elperíodo 1988 a 1992 fueron los si­guientes:

1988 - 16.5%1989 - 16.8%1990 - 15.9%1991 - 16.9%1992 - 17.1%

83.2%/ 5 =16.64%

Realizado el mismo análisis para lasacciones de ocho diferentes empresas,voy a suponer que los betas obteni­dos para cada una de las empresasson los siguientes:

CUADRO 3RESUMEN

0.4800.0201.000 .

4 0.3680.200

·0.332 ..

1.1300.740

Los cálculos de la Empresa 4 se utili­zaron como ejemplo ilustrativo en elcuadro No. 2 Cálculo del riesgo beta.

Después de haber obtenido toda lainformación correspondiente al mer­cado y a cada una de las accionesen el mercado, se puede enunciar laecuación del portafolio de inversio­nes para aplicarla a los diferentestítulos:

E(R) =RL+ [E(Rm) - RL] Ea (8)

Aplicando el resultado de la ecuación(8) obtenemos:

E(Ra) =RL+ [E(R) - RL] Ea (9)

Sustituimos~ de la ecuación (7)

E(R) = 0.1664 + [E(R ) - 0.1664] B (10)a ID a

Sustituimos E(Rm

) del cuadro No. 2 yobtenemos:

E(R ) = 0.1664 + [0.3740 - 0.1664] B (11)a a

= 0.1664 + 0.2076 Ea

En consecuencia, después de habercalculado para cada acción R a el ren­dimiento esperado y el valor del ries­go beta 6a' podemos tratar de confor­mar el portafolio de inversiones de­seado.

Observemos que existen acciones,como el caso de la Empresa 6, queno alcanzan a cubrir el rendimiento

Oic'ifsi ESTUDIOSGERENCIALES 89

mínimo ofrecido en el mercado librede riesgo donde la tasa esperada esdel 16.64%. Esta evidentemente nosería una inversión adecuada. Estepuede considerarse el ejemplo de unportafolio con riesgo bajo si se obser­van los betas obtenidos, y consecuen­temente se trata de un conjunto deacciones que no ofrecen rentabilida­des altas.

El rendimiento esperado del portafo­lio está dado por la formulación

E(R ) = L R(E) Q. (12)p 1 1

donde Rp

es el rendimiento del porta­folio, R(E) es el valor esperado derendimiento para la acción de laEmpresa E¡ y Q¡ es la cantidad de di­nero invertida en las acciones de laEmpresa i. La sumatoria de todas lasQ¡ donde i va de 1 a n es igual a lacantidad total de capital disponiblepara ser invertido.

Hasta el momento, todo el procesoparece estar completo. Sin embargo,aún no se ha tocado el tema de la pers­pectiva con que los inversionistasmiran el riesgo asociado a las accio­nes. Para entrar en esta materia voya presentar enseguida la Teoría de lasDecisiones que permitirá consolidartoda la información y exponer las con­clusiones del artículo.

LA TEORIADELAS DECISIONESVoy a suponer que existen dos inver­sionistas con diversos niveles de gus­to por la rentabilidad y con distintosniveles de aversión al riesgo. Ambosdisponen de 10.000.000 (diez millo­nes) de pesos para ser invertidos, perosu comportamiento es disímil.

El inversionista optimista esperaque todo resulte bien y el inversio­nista pesimista espera que las cosasno resulten tan bien. En la prácticase van a presentar distintas actitu­des para poder seleccionar las accio­nes que van a ser adquiridas y porlo tanto las acciones escogidas serándiferentes. Existe un método deorientación llamado Teoría de lasDecisiones que le permitirá a cadaquien hacer la selección de acuerdocon sus preferencias.

En este punto, nos haremos las si­guientes preguntas: ¿Cuáles son lasacciones que se seleccionan? Esto de­pende en cierta medida de una opi­nión eminentemente subjetiva y re­lacionada con el gusto. ¿Cómo «esta­blezco» claramente cuáles son mispreferencias y cómo decido cuál es eltipo de acciones que a mí me gustan?La respuesta a estas preguntas se vaa relacionar con un tema referente ala cuantificación de las creencias ygustos, y a los axiomas de la Teoríade las Decisiones.

Para elegir una opción entre un gru­po de alternativas hablamos del pe­simista que siempre cree que la na­turaleza será malevolente y por lotanto cuando compre acciones siem­pre se darán los rendimientos míni­mos. De estos rendimientos mínimosseleccionará por lo menos el mejor oel mayor de todos. El escogerá «Lomejor de lo peor», concepto que se co­noce como el máximo de los mínimosomaximin.

El optimista por su parte siemprecree que la naturaleza será benevo­lente con él y los rendimiento de lasacciones serán buenos. Entre estosrendimientos buenos se selecciona­rá el mejor o mayor de todos. Esco-

90 Oic'ifsi ESTUDIOSGERENCIALES

4.12

3.15

3.16

5.12

6.90

CUADROSRENDIMIENJE(R.)-o'. E(R. -G.

El E2

26.14 28.20

25.04 26.61

23.96 25.54

26.10 28.66

27.22 30.67

gerá «Lo mejor de lo mejor» conocidocomo el máximo de los máximos omaximax.

La verdad es que en la vida real na­die es completamente adepto al ries­go o completamente opuesto al ries­go, por lo tanto se requiere un índiceque permita clasificar los niveles deaceptación de riesgo y una ecuaciónque permita involucrar dicho índiceen la toma de decisiones.

Esta ecuación es la siguiente:

Hi = IX MAX + (1 - IX)MIN (13)

En donde IX es el índice mencionado ocoeficiente de optimismo, que puedetomar valores entre <r y 1. Como sepresentó previamente, los pesimistastrabajan con el concepto de maximiny los optimistas trabajan con el con­cepto maximax.Aplicando estos con­ceptos a (13) llegamos a la siguienteecuación:

D.= MAX[a MAX[PJ +(l-a)MIN[PJJ (14)1)

donde P es la matriz de pagos o ren­dimiento de acciones y donde IX seaplica como complemento entre eloptimista (IX MAX [PD y el pesimis­ta ((1 - IX) MIN [P]).

La aplicación de esta teoría colaboraen la toma de las decisiones en cuan-

to a la selección de las acciones quese van a utilizar para realizar el aná­lisis de viabilidad, desde el punto devista de la inversión.

Voy a exponer un ejemplo de la se­lección de acciones, aplicando la teo­ría de las decisiones, luego de haberobtenido los cuadros de rendimien­tos esperados separados por cadamercado o del total del mercado(Cuadro 4).

Aplicaré la teoría de las decisionesutilizando los rendimientos probablesde una acción. Estos rendimientosson los siguientes:

E(R)-<ra

que equivale al rendimientoesperado menos la desviación están­dar en el más pesimista de los casos.

E(R )-<r que equivale al rendimientoesp:rado menos la mitad de la des­viación estándar que es un caso decuidado, aunque no sea tan gravecomo la suposición previa.

E(R) que equivale al rendimientoesperado según la estadística.

E(R )+<r /2 que equivale al rendimien-a a

to esperado más la mitad de la des-viación estándar, en un caso en queel resultado obtenido es bueno.

A UI"C'''E'''S·AI• ESTUDIOS 91V GERENCIALES

E(Ra)+O"a que equivale al rendimien­to esperado más la desviación están­dar en el más optimista de los casos.

El número de eventos que se puedenllegar a registrar o sea los E. puedenser tantos como el analist~ desee,dependiendo del grado de compleji­dad con que se vaya a realizar al aná­lisis que soportará las decisiones deinversión.

Un hombre optimista con un coefi­ciente ex = 1 tomaría la siguiente de­cisión:

Dij = MAX(aMAX[PI + (l-)MIN[Pll

= MAXfaMAXfP) + (l-l)MIN[P))

= MAX(aMAX[Pll

= MAX[34.38, 31.34, 30.28, 36.34, 41.02)

= 41.02 = D51

Un hombre moderado con un coefi­ciente ex = 0.5 tomaría la siguientedecisión:

Dij = MAXfaMAX[P) + (l-a)MIN[P)J

= MAXfO.5MAXfPJ + (1-0.5)MIN[Pll

= MAXfO.5MAX[PJ + 0.5MIN[PJJ

= MAXfO.5(34.38, 31.34, 30.28,36.34,41.02)+0.5(26.14,25.04,23.96,26.10,27.22J

=MAXf(l7.19,15.67,15.14,18.17,20.51l+(13.07,12.52,11.98,13.05,13.61))

=MAX(30.26,28.19,27.12,31.22,34.12)

= 34.12 D15

que resulta ser el másaproximado

Un hombre pesimista con un coefi­ciente ex =Otomaría la siguiente de­cisión:

Dij = MAXfaMAX[PI +(l-a)MIN[Pll

= MAXfOMAXfPI +(1-0)MIN[Pll

= MAX[MIN[Pll

= MAX[26.14, 25.04, 23.96, 26.10, 27.22J

=26.14 =Dn

Para realizar la selección de las ac­ciones se define el cuadro de rendi­mientos probables, equivalente alCuadro No. 5 en cada uno de los sec­tores económicos sobre los que se de­sea realizar inversiones. Se aplica lateoría de las decisiones haciendo laselección del evento D. asociado a una

lJ

acción. Si del mismo cuadro (mismosector) se desea seleccionar más ac­ciones, se excluyen todas aquellasacciones que hayan resultado elegi­das previamente. Ya en este momen­to se habrá incluido en el análisis elcriterio subjetivo que genera el gustopor la rentabilidad y la aversión alriesgo.

Después de realizar este proceso demanera iterativa se preseleccionanlos grupos de acciones de cada unode los sectores económicos en los cua­les se va a trabajar. Si el deseo esbuscar una mayor diversificación, loscuadros resumen serán más nume­rosos.

De los grupos de acciones preselec­cionadas se puede realizar la escogen­cia definitiva que garantiza el logrode los objetivos.

Un decisor optimista hará la elecciónpara la distribución de sus 10.000.000de pesos, como se ve en el cuadro 6.

Donde se observan niveles de renta­bilidad mayores que incluyen nivelesde riesgo más altos.

Contrario al anterior, un decisor pe­simista hará la elección para la dis­tribución de sus 10.000.000 (diez mi­llones) de pesos. según el cuadro 7.

Donde se observan niveles de renta­bilidad más moderados, con nivelesde riesgo mínimos.

92 ESTUDIOSGERENCiAlES

CUADRO 6PROPUESTA DEL DECISOROPTIMISTA

Valor presente Valor futuro Empresa

5.000.000 $ (1+0.4010)=7.005.000 $ Empresa 7

2.000.000 $ (1+0.3740)=2.748.000 $ Empresa :3

1.000.000 $ (1+0.3200)=1.320.000 $ Empresa 8

1.000.000 $ (1+0.2666)=1.266.000 $ Empresa 1

1.000.000 $ (1+0.2349)=1.234.000 $ Empresa 4

Totales 10.000.000 $ 13.574.500 $

CUADRO 7PROPUESTA DEL DECISOR PESIMISTA

Valor presente Valor futuro Empresa

5.000.000 $ (1+0.032)=6.600.000 $ Empresa 8

2.000.000 $ (1+0.2660)=2.532.000 $ Empresa 1

1.000.000 $ (1+0.2349)=1.234.900 $ Empresa 4

1.000.000 $ (1+0.2079)=1.207.900 $ Empresa 5

1.000.000 $ (1+0.1706)=1.170.600 $ Empresa 2

Totales 10.000.000 $ 11.538.400 $

CONCLUSIONES

Después de que en la investigaciónse revisó toda la teoría y luego que semostraron ejemplos empíricos yejem­plos con información de la vida real,se pudo llegar a la siguiente conclu­sión con relación a este tema: Aun­que todas nuestras bolsas presentanun desarrollo incipiente, es muy im­portante el modelo de inversiones enacciones como fuente primordial parala capitalización del ahorro.

El trabajo expone de una manera sen­cilla, didáctica y de fácil comprensióntodos los fundamentos teóricos querespaldan la validez del modelo ma­temático planteado. La estadísticaelemental, trabajada con algo de co­nocimiento matemático, permite ve­rificar a través de ejemplos sencillos

que las decisiones de inversión no tie­nen que ser una elección dejada com­pletamente al azar.

Como la selección de cualquier inver­sión es una consecuencia de la acti­tud al riesgo, no queda por fuera elelemento de subjetividad, que se in­cluyó a través de la Teoría de lasDecisiones.

La cantidad de información, la vera­cidad de la misma, su oportunidad ysu confiabilidad son las únicas ma­neras de obtener el resultado espe­rado.

Para finalizar, es importante recor­dar a todos los lectores que no existeninguna herramienta que reempla­ce el sentido común, ni la subjetivi­dad del gusto por las circunstanciasque rodean el riesgo. €O

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