Guía de problemas de programación lineal

8/12/2019 Gua de problemas de programacin lineal

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Lic. Elda Gmez de Huck - Lic. Cristian BergesseU.T.N. Fac. Reg. Rafaela - Investigacin Operativa

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En la seccin armado tenemos 7000 min. utilizables, necesitando las aspiradoras 12 min. y las lustradoras 10min., por unidad.

Se sabe tambin que la capacidad mxima del mercado de aspiradoras es de 600 unidades y lo mximo que sepuede vender en el caso de las lustradoras es de 450 unidades.

Resolver e interpretar todos los resultados

EJERCICIO 4:La terapia de radiacin incluye el uso de mquinas de rayos externos que pasa radiacin ionizante a travs del

cuerpo del paciente daando tanto tejidos cancerosos como sanos. Lo normal es que se administren los rayos conprecisin desde diferentes ngulos en un plano de dos dimensiones. Debido a la atenuacin, cada rayo descarga msradiacin sobre el tejido cercano al punto de salida. La dispersin tambin causa que parte de la radiacin se descarguesobre los tejidos que estn fuera de la trayectoria directa del rayo. Como las clulas del tumor casi siempre seencuentran diseminadas de manera microscpica entre clulas sanas, la dosis de radiacin a travs de la regin deltumor debe ser suficiente para matar las clulas malignas que son un poco ms sensibles a sta, pero losuficientemente pequea como para no matar a las clulas sanas. Al mismo tiempo, la dosis agregada que reciben lostejidos crticos no debe exceder los niveles de tolerancia establecidos con el objeto de prevenir complicaciones quepuedan resultar ms serias que la enfermedad misma. Por la misma razn la dosis que recibe la anatoma sana debe

minimizarse.

Debido a la necesidad de balancear cuidadosamente todos estos factores, el diseo de la terapia de radiacin es unproceso muy delicado. La meta principal del diseo es elegir la combinacin de rayos que debe utilizarse y laintensidad de cada uno para generar la mejor distribucin de la dosis posible. (La fuerza de la dosis en cualquier puntodel cuerpo se mide en unidades llamadas kilorads).

En base a un anlisis anatmico de un tipo especial de tumor, un grupo de mdicos ha estimado con detalle losdatos necesarios para aplicarle un tratamiento suponiendo por cuestin de simplicidad que se utilizaran solo dos tiposde rayos y sabiendo que la absorcin de la radiacin es aditiva cuando se administra ms de un rayo (en formasecuencial).

Los datos para el diseo del tratamiento de radiacin figuran en la siguiente tabla:

Fraccin de la dosis de entrada absorbidapor rea (en promedio por kilorads de entrada)

REA RAYO 1 RAYO 2Tejido crtico 0.3 0.1Regin del tumor 0.5 0.5Centro del tumor 0.6 0.4Anatoma sana 0.4 0.5

Adems se sabe que la absorcin promedio de la dosis para los tejidos crticos no debe exceder 2.7 kilorads, elpromedio sobre el tumor debe ser igual a 6 kilorads y en el centro del tumor debe ser de por lo menos 6 kilorads.

Calcular la dosis en kilorads en el punto de entrada de los rayos 1 y 2 para que la absorcin promedio de la dosispara la anatoma sana sea mnima. Resolver por Mtodo Simplex.

EJERCICIO 5:Una cervecera produce cerveza comn y la de tipo ale. La cerveza se vende a 5 dlares el barril y el de ale a 2

dlares el barril. La produccin de un barril de cerveza comn requiere 5 libras de cebada y 2 libras de lpulo. Laproduccin de un barril de cerveza ale requiere 2 libras de cebada y 1 libras de lpulo. Se dispone de 600 libras decebada y de 250 libras de lpulo y solo se desea elaborar como mximo 9 barriles de cerveza ale.

Determine grficamente la solucin que permita maximizar los ingresos.


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* Plantear el problema que permita maximizar las utilidades de la compaa.* Resolver grficamente e interpretar los resultados. Calcular disponibilidad ociosa (utilizar una escala adecuada

que permite visualizar bien los puntos de interseccin).

EJERCICIO 11:Una compaa fabrica tabicn y ladrillo, la empresa obtiene un margen de utilidad de $3.25 y $6.00 por cada 100ladrillos y por cada 100 tabicones, respectivamente. En estos momentos la compaa no tiene compromisos porpedidos de clientes de ladrillos o de tabicones. No existe inventario de ninguno de los dos productos. La produccin deladrillo y tabicn requiere un proceso de dos etapas. Primero se les moldea y despus se le hornea. En el proceso demoldeado se requieren 4 hs. de tiempo para fabricar 100 ladrillos y de 8 hs. para fabricar 100 tabicones. El proceso dehorneado no difiere para ninguno de los dos productos; se requieren 8 hs. por cada 100 piezas de cada uno. Existendisponibles un mximo de 80 hs. de tiempo de moldeado y el mximo tiempo disponible para el proceso de horneadoes de 120 hs. por semana. Es posible vender todas las piezas que se pueden fabricar.

* Plantear el problema que permita maximizar las utilidades de la compaa.* Resolver e interpretar los resultados.

EJERCICIO 12:Una compaa automotriz produce automviles y camiones. Cada vehculo tiene que pasar por un taller de pintura

y por un taller de montaje de la carrocera. Si el taller de pintura pintara solamente camiones, se podran pintar 40camiones al da.

Si el taller de pintura pintara solamente automviles, se podran pintar 60 automviles diariamente. Si el taller decarrocera produjera solamente automviles, podra fabricar 50 automviles al da. Si el taller de carrocera produjerasolamente camiones, podra fabricar 50 camiones al da. Cada camin aporta 300 dlares a la utilidad, y cadaautomvil , 200. Utilice la programacin lineal para determinar la produccin diaria que maximizar la ganancia de lacompaa.

EJERCICIO 13:Un criador de ganado porcino dispone para la alimentacin de los mismos de dos tipos de alimentos A1 y A2,

deseando que el consumo diario de cada animal no supere los 400 grs. de azcar pero no sea inferior a los 800 grs. degrasa.

La cantidad de azcar contenida en cada alimento es de 20 grs. por kg. de A1 y de 90 grs. por kg. de A2, mientrasque hay 60 grs. de grasa por kg. de A1 y 30 grs. por kg. de A2.

El costo por kg. de A1 es de $ 4 y por cada kg. de A2 de $12.

- Resolver por el mtodo grfico e interpretar

EJERCICIO 14:Dorian Auto fabrica automviles de lujo y camiones. La compaa opina que sus clientes ms probables son

hombres y mujeres de ingresos altos. Para llegar a estos grupos, Dorian Auto lanz una campaa ambiciosa depublicidad por televisin y decidi comprar comerciales de 1 minuto en dos tipos de programas: series cmicas y

juegos de ftbol. 7 millones de mujeres de ingresos altos y 2 millones de hombres de ingresos altos ven cada comercialen series cmicas. 2 millones de mujeres de ingresos altos y 12 millones de hombres de ingresos altos ven cadacomercial en juegos de ftbol. Un comercial de 1 minuto en una serie cmica, cuesta 50 dlares y un comercial de 1minuto en un juego de ftbol, cuesta 100 dlares. Dorian quisiera que por lo menos 28 millones de mujeres de ingresosaltos y 24 millones de hombres de ingresos altos vieran los comerciales.

Determine grficamente que debera hacer Dorian Auto para alcanzar sus requerimientos comerciales a un costomnimo.


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EJERCICIO 15:Una fbrica textil desea optimizar el beneficio mensual del sector que impermeabiliza lonas.Se conocen los datos referentes a tiempos estndar de operacin en ese sector, capacidad neta de horas mquina,

caractersticas del mercado y capacidad de despacho.Existe la restriccin adicional de entregar al mercado, en forma mensual 6000 m. de lona Playera.El objetivo de la direccin de la empresa, es hallar el programa que haga mximo el margen de contribucin a

gastos generales.

Tiempos estndar, capacidad de equipos:LonasEquipos

Playera Camionera Campera Disp. Equipos(hs./ mes)

1 2 3 1 500

2 1 - 2 4803 0,5 3 1 720

Los tiempos estndar estn dados en horas/100 m.

DemandasLonas Playera Camionera Campera

Demandamximam/mes

80000 70000 20000

Margen de contribucinLonas Playera Camionera Campera

Margen 4 $/m 7 $/m 3$/m

Capacidad de despacho total mxima: 100000 m/mes.Plantear el problema.

EJERCICIO 16:PROTRAC, Inc. produce dos lneas de equipo pesado. Una de estas lneas de produccin (llamada equipo de

remocin de escombros) se destina esencialmente a aplicaciones de construccin. La otra lnea (llamada equiposforestales) est destinada a la industria maderera. El miembro ms grande de la lnea de equipos para removerescombros (el E-9) y el miembro mayor de la lnea de equipos forestales (el F-9) se producen en el mismodepartamento y con el mismo equipo. Haciendo uso de las predicciones econmicas para el prximo mes, el gerente de

mercadotecnia de PROTRAC juzga que durante ese perodo ser posible vender todos los E-9 y F-9 que la empresapueda producir. La administracin debe ahora recomendar una meta de produccin para el prximo mes. Es decir,cuntos E-9s y F-9s deben producirse?.

En la toma de esta decisin, los principales factores a considerar son los siguientes:PROTRAC tendr una utilidad de $5000 por cada E-9 que venda y de $4000 por cada F-9.Cada producto pasa por operaciones mecnicas tanto en el departamento A como en el departamento B.Para la produccin del prximo mes, estos dos departamentos tienen disponibles 150 y 160 hs., respectivamente.

Cada E-9 consume 10 hs. de operacin mecnica en el departamento A y 20 hs. en el departamento B, mientras quecada F-9 consume 15 hs. en el departamento A y 10 hs. en el departamento B.

Con el objeto de cumplir un compromiso con el sindicato, el total de hs. de trabajo que se dedicarn a laverificacin de los productos terminados del prximo mes no puede ser menor a 135 hs. Esta verificacin se realizaen un tercer departamento que no tiene relacin con las actividades de los departamentos A y B. Cada E-9 requiere de

30 hs. de comprobacin y cada F-9 de 10.


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Con el objeto de mantener su posicin actual en el mercado, es necesario construir al menos un F-9 por cada 3E-9s. (3 E-9


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EJERCICIO 20:En una fbrica de harinas se desea establecer un programa ptimo de produccin. La medida de eficiencia

determinada para el mismo es el margen de contribucin a gastos generales, tratndose entonces de maximizar esevalor.

Se pueden producir cuatro tipos de harinas, H1, H2, H3 y H4, cuyas caractersticas de proceso y comercializacinse detallan en las tablas adjuntas.

* TIEMPOS DE PROCESO (min/kg.)

HARINAS DISPONIBILIDADEQUIPOS H1 H2 H3 H4 (min./mes)

Molienda 10 16 4 20 28000Tamizado 10 10 12 30000Empaquetado 20 4 4 12 40000

* CARACTERSTICAS DE COMERCIALIZACIN

RUBROS CONSIDERADOS UNIDAD H1 H2 H3 H4

Produccin mnima Kg./mes 200 800Cant. demandada mxima Kg./mes 1000 500 500 2000Margen de contribucin $/Kg. 2 3 6,5 5

* CONDICIONES FINANCIERAS

Por razones financieras la empresa no desea mantener inmovilizada una cantidad superior a $140000 en conceptode stock de materias primas. Se conocen los niveles de inmovilizacin de materia prima, que son los siguientes,medidos en $/Kg. de producto terminado:

HARINASH1 H2 H3 H4

INMOVILIZACINDE MATERIA PRIMA 5 1 1 5

($/Kg.)

EJERCICIO 21:Existen siete tipos de pldoras vitamnicas que contienen, cada una de ellas una cierta proporcin de vitaminas de

tres tipos diferentes. La siguiente tabla da los valores de unidades vitamina/pldora.

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7

V1 5 0 2 0 3 1 2

V2 3 1 5 0 2 0 1

V3 1 0 3 1 2 0 6

COSTO ($/U.) 40 10 50 6 35 7 40

Se desea hallar una combinacin de pldoras que proporcione exactamente 100 unidades de V1, 80 unidades de

V2 y entre 120 y 160 unidades de V3. Cul es la combinacin que cumple con estas restricciones mseconmicamente?.


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EJERCICIO 22:

Un fabricante de aberturas prepara un programa de produccin para dos nuevos productos. La informacin enhoras de fabricacin (ambos necesitan utilizar dos mquinas) y pulidos ocupadas por cada producto en cada tarea conla respectiva ganancia se da en la siguiente tabla:

MQUINA A MQUINA B PULIDO GANANCIAPOR UNIDAD

PUERTA CORREDIZA 2 Horas 1 Hora 1 Hora $ 4

PUERTA PLEGADIZA 1 Hora 1 Hora 3 Hora $ 6

Las horas disponibles de operacin por semana son 70 y 40 horas respectivamente para cada mquina y de 90horas para la seccin pulido.

a) Definir con precisin todas las variables del problema.b) Plantear el modelo matemtico.c) Resolver por Mtodo Simplex.d) Interpretar los resultados.

EJERCICIO 23:Sea el siguiente problema lineal:

Mx Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3

S.a.a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 >= B1

a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 >= B2

X1, X2, X3 >= 0

Ck Xk X1 X2 X3 X4 X5 1 2 B Q R H 1L T G 1CJ /// C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 /// ///Z1 /// Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z ///

ZJ - CJ /// P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 /// ///

Establezca condiciones a los elementos de dicha tabla para que cumplida la condicin de optimidad:a) el problema no tenga solucinb) posea solucin ptima nicac) posea solucin ptima alternativa

Establezca condiciones a los elementos de dicha tabla para que no cumplida la condicin de optimidad:a) el problema no tenga solucinb) posea solucin bsica pero no ptimac) posea soluciones degeneradasd) una variable de la base tenga valor cero


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EJERCICIO 24:I) Son verdaderas las siguientes afirmaciones? Justificar.

a) Todo punto factible maximiza a la funcin econmica.b) Si un problema tiene soluciones degeneradas no tiene solucin ptima.c) Las soluciones bsicas factibles de un problema de mnimo estn en el borde de la regin factible.d) Un problema con regin factible no acotada no tiene solucin.e) Si una variable de holgura (representa disponibilidad de recurso), se agota tendr en la lnea de ZJ CJ unvalor igual a cero.II) Dada una tabla del Simplex correspondiente a un PL de mximo con tres variables y tres inecuaciones, qu

sucede si: en Zj- Cj existen todos valores menores o iguales a cero en Zj- Cj hay tres ceros y los restantes son valores positivos en la base existe una variable artificial, en Zj- Cj hay un valor negativo y ya se sabe que es el ltimo paso del

Simplex en la lnea de Zj- Cjno existen valores positivos y no puede sacar ninguna variable de la base

Seguimos resolviendo ejercicios de prctica:

EJERCICIO 25:Una empresa embotelladora de bebidas refrescantes tiene dos productos principales, D1 y D2, cuya produccin se

realiza en dos secciones, una de envasado y otra de embalaje de los productos. La capacidad semanal, en horas detrabajo, de la seccin de envasado es de 230 mientras que la seccin de embalaje dispone de 250 horas de trabajosemanales. El envasado y embalaje de 1000 litros de ambos tipos de bebidas requieren la utilizacin del siguientenmero de horas en cada seccin:

D1 D2 Disponibilidad

Envasado 2 1 230Embalaje 1 2 250

La empresa tiene una provisin casi ilimitada de materia prima para la produccin de las bebidas, sin embargo sesabe que D2 tiene una demanda semanal nunca superior a los 120000 litros. Si estimamos un margen de beneficio de30 centsimos de euro por litro para D1 y de 50 centsimos de euro para D2, determinar el plan de produccin semanalque hace mximo el beneficio de la empresa.

EJERCICIO 26:Una empresa fabrica tres productos P1, P2 y P3 utilizando dos sistemas de fabricacin mecnica F1 y F2. La tabla

adjunta muestra las unidades fabricadas de cada uno de los productos empleando los sistemas de fabricacin a nivel

unitario:

P1 P2 P3F1 4 3 2F2 2 3 5

La demanda semanal estimada para cada uno de los tres productos es de 12, 15 y 25 unidades respectivamente,siendo los costos unitarios de fabricacin de 12 dlares para el sistema de fabricacin F1 y 5 dlares para F2.Determina el plan de produccin semanal que satisfaga la demanda prevista a un costo mnimo.

EJERCICIO 27:Una empresa se dedica a la produccin de lmparas de mesa y lmparas de techo; a tal efecto tiene organizados

cuatro departamentos de produccin: A, B, C y D. A y B son comunes para los dos productos, mientras que C es


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especfico para lmparas de mesa (M) y D para lmparas de techo (T). La capacidad mxima de cada departamento almes, expresada en las unidades de cada producto que se podran elaborar (en el caso de que no se produjera nada delotro), viene recogida en la siguiente tabla:

M T

A 500 200

B 400 300C 250 -D - 150

Los beneficios que se obtienen por la venta de una unidad de estos productos son: 1000 u.m. y 2000 u.m. para My T respectivamente. Calcular los productos a elaborar, en qu cuanta, el beneficio mximo y la capacidad ociosa delos distintos departamentos.

EJERCICIO 28:Una refinera de petrleo destila tres tipos de crudos: el Arabia (ligero), el Venezuela (medio) y el Mxico

(pesado), cuyos precios en el mercado libre son de $ 40, de $ 36 y de $ 32 el barril, respectivamente.De cada uno de los crudos en el proceso de destilacin y refino se obtiene gasolina, keroseno y gas-oil, as como

unas prdidas por obtencin de residuos inservibles. Por cada barril de crudo se obtienen los siguientes barriles de losproductos refinados:

Gasolina Keroseno Gas-oil

1 barril Arabia 0.40 0.20 0.301 barril Venezuela 0.30 0.20 0.401 barril Mxico 0.20 0.30 0.40

La refinera ha firmado un contrato con una compaa multinacional para el suministro de 1.500.000 barriles de

gasolina, 400.000 de keroseno y 700.000 de gas-oil, durante el prximo ao. Qu cantidad debe adquirir de cada tipode crudo para el costo sea mnimo?

EJERCICIO 29:Una empresa se dedica a la elaboracin de dos productos P1 y P2, que le proporcionan un beneficio de $ 50 por

m3y $ 60 por m3, respectivamente. Dicha elaboracin da lugar a la aparicin de dos gases txicos G1 y G2, que sonevacuados a la atmsfera en la proporcin indicada en la tabla adjunta:

Tipo de gas txico Por m3de P1 Por m

3de P2

G1 24 36G2 8 12

Debido a la aparicin de nuevas normas en materia de polucin, la emisin diaria de G1 y G2 no deber superarlos 600 litros y 800 litros respectivamente.

El director de produccin de la citada empresa, mediante la aplicacin de un mecanismo antipolucin (MAP) enel proceso de fabricacin de P1 y/o P2, puede eliminar los gases txicos G1 y G2 en un 75% y un 50%,respectivamente, independientemente del proceso al que lo aplique. La utilizacin del citado mecanismo (MAP) encualquiera de los dos procesos de fabricacin produce una disminucin de $ 10 en el beneficio obtenido por m 3delproducto correspondiente.

La direccin desea conocer: las cantidades de P1 y P2 que se deben obtener diariamente a fin de conseguiroptimizar el beneficio sin incumplir la nueva normativa.


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Lic. Elda Gmez de HuckU.T.N. Fac. Reg. RafaelaInvestigacin Operativa

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