Guia de Metodos Varios

UNIVERSIDASD NACIONAL DE TUCUMAN – FACET DPTO. de CONSTRUCCIONES y OBRAS CIVILES – ESTABILIDAD III

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EJEMPLO RESUELTO Nº1

1) Resolver la siguiente estructura por los siguientes métodos : a) Método de las fuerzas b) Método de las deformaciones c) Método de Cross d) Método de Kani e) Método Matriciales e1) Calcular las matrices de flexibilidad y rigidez del sistema e2) Fuerzas e3) Deformaciones q P 2P 2EI EI h1 EI 2EI h2 L1 L2 DATOS : EI = 900,00 tm2 L1 = 6,0 m L2 = 3,0 m h1 = 3,0 m h2 = 4,5 m q = 3 tn/m P = 6 tn RESOLUCION : Grado de Hiperestaticidad : 2 2 3 3 5 ge = ( M -N + 1 ) x 3 - L = = ( 5 - 5 +1 ) x 3 - 1 = 1 4 = 3 - 1 = 2 BASICO Grado Hiperest. = 2 1 4 5


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a) Método de la Fuerzas : q P 2P 2 3 5 PROPUESTO 1 4 2 3 5 FUNDAMENTAL desplazamientos nulos 1 4 q P 2P 2 3 5 EQUIVALENTE 1 XA , XB : Incog. Hiperestáticas XA 4


Pag.3

XB

I) Determinación de -Mo- q Fv = 0 => q x L1 + P - V1 = 0 P => V1 = 24 tn. 2P 2 3 5 Fh = 0 => 2 x P - H1 = 0 => H1 = 12 tn. M = 0 => -M1 + 2 x P x h1 +

+ q x 2

L 21 + P x (L1 +

L2)=0 M1 1 H1 => M1 = 144 tm. V1 4 M12 = M1 = 144 tm. M21 = M1 - H1 x h1 = 108 tm.

M32 = M21 + q x 2

L 21 x V1 x L1 =18 tm M34 = 0 M35 = M32 = 18 tm.

f = q x 8

L 21 = 13,5 tm.

108 18 108 2 3 5

- M0 - 1 144 4 II) Determinación de - MA - para XA = 1 2 3 5 X1 = 1 , M1 = L1 = 6 m M2 = L1 = 6 m , M3 = 0 1


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M1 V1 4 XA =1

2

6 3 5

-MA- 1 6 4 III) Determinación de - MB - para XB = 1 2 3 5 H1 = 1 , M1 = h1 - h2 = 1,5 m M2 = M1 + H1 x h1 = 4,5 m 1 M3 = h2 = 4,5 m V1 M1 4 XB =1 4,5 4,5 4,5 4,5 2 3 5

-MB-


Pag.5

1 1,5 4 IV) Determinación de Aplicando el Principio de Trabajos Virtuales, tendremos:

1 x = 21 MA x M0 x

IEds

IE1

x ( 144 108 3 +

3 6 6

+ 21 x { 108 18 6 + 6 6 }) =

6 6 6 13,5

=21 { -

21 x 6 x (144 + 108) x 3 +

21 -

61 x 6 x (2 x 108 + 18) x 6 +

61 x 13,5 x 6 x 6}

= = - 3,21

1 x = MB x M0 x IE

ds IE

1

x ( 144 108 1,5 4,5 +

3 3 4

+ 21 x { 108 18 4,5 + 6 4,5 }) =

6 6 6 13,5

=900

1 x

61

x {144 x (2 x1,5 + 4,5) + 108 x (4,5 x 2 + 1,5)} x 3+

+21

x {21

x 4,5 x (108+18) x 6 - 32

x 13,5 x 4,5 x 6}=

= 2,04


Pag.6

1 x = MA x MA x IE

dsIE

1

x 6 6 +21 6 6

= 3 3 6 6

= 900

1 x 6 x 6 x 3 + 21 x

31 x 6 x 6 x 6 =

= 0,16

1 x = MB x MB x IE

dsIE

1

x 4,5 1,5 4,5 1,5 +

3 3

+21

x { 4,5 4,5 + 4,5 4,5 }=

6 6 4,5 4,5

=900

1 31

x (4,52 + 4,5 x 1,5 + 1,52) x 23 + 1 x (4,52 x 6 + 1 x 4,53) =

= 0,1169

1 x = MA x MB x IE

dsIE

1

x 6 3 3 +

3 4,5 1,5

+21

x 6 4,5 = 6 6

= 900

1 21 x 6 x ( 4,5 + 1,5 ) x 3 +

21 x

21 x 62 x 4,5 =

= = - 0,105 V) Ecuaciones de compatibilidad geométrica +XA x+ XB x= 0 0,16 x XA - 0,105 x XB = 3,21 => +XA x+XB x = 0 -0,105 x XA + 0,1169 x XB = -2,04 Por lo tanto : XA = 20,97 tn XB = 1,39 tn


Pag.7

VI) Cálculo de los Momentos Finales Mij = Mo + MA . XA + MB . XB entonces : M12 = -144 + 6 x 20,97 - 1,5 x 1,39 = -20,265 tm M21 = 108 - 6 x 20,97 + 4,5 x 1,39 = -11,585 tm M32 = 18 + 4,5 x 1,39 = 24,255 tm M34 = - 4,5 x 1,39 = -6,255 tm M35 = - 18 tm 24,255 18 11,585 6,255

-Mf- 20,265 b) Método de las Deformaciones : q P 2P 2 3 5 PROPUESTO 1 4

2 3 5


Pag.8

2 3 5 FUNDAMENTAL Giros y desplazamientos impedidos 1 4 I) Cálculo de los Momentos de Empotramiento Perfecto : q

Mº23 = - Mº

32 = - 12q x L1

2 = - 123 x 36 =- 9 tm

2 3 M Nudo 3 = P x L2 = 6 x 3 = 18 tm L1

II) Cálculo de las Rigideces : Kij ij

ijxx

LIE2

K12 39002 x 600 K23

618002 x 600

K34 5,49002 x 800

III) Planteo de las ecuaciones de equilibrio :

Momentos en Nudo 2 : 2 x (K23 +K21) x 2 + K23 x 3 - 3 x 1

21

hK

x 5 + M23 = 0

2 x (600+600) x 2 + 600 x 3 - 3 x3

600x 5 - 9 = 0

2400 x 2 + 600 x 3 - 600 x 5 = 9

Momentos en Nudo 3 : (2 x K23 +1,5 x K34) x 3 + K34 x 2 -1,5 x2

34

hK x 5 +M32 = Mr

(2 x 600+1,5 x 800) x 3 + 600 x 2 -5,45,1 x 800 x 5 + 9 =

18


Pag.9

2400 x 3 + 600 x 2 - 266,666 x 5 = 9 Cortes en columnas 1-2 y 3-4 :

-3x1

12

hK x 2 -1,5 x

2

34

hK

x 3 + {6 x2

1

12

hK +1,5 x 2

2

34

hK }x 5 =2 x P

-3x3

600x 2 - 1,5x

5,4800

x 3 -{6 x9

600 +1,5 x25,20

800 } x 5 =

12

- 600 x 2 - 266,666 x 3 + 459,259 x 5 = 12

IV) Cálculo de las Incógnitas de Deformación : 2 , 3 , 5

2400 x 2 + 600,000 x 3 - 600,000 x 5 = 9

600 x 2 + 2400,000 x 3 - 266,666 x 5 = 9

- 600 x 2 - 266,666 x 3 + 459,259 x 5 = 12

2 3 5

2400 + 600,000 - 600,000 [K] = 600 + 2400,000 - 266,666 - 600 - 266,666 + 459,259

2 = 0,01441369 3 = 0,00549673 5 = 0,048151489 V) Determinación de los Momentos : Mij

M12 = Mº12 + K12 x ( 2 x 1 + 2 - 3 x

1

5

h

) =

= 0 + 600 (2 x 0 + 0,01441369 - 3 x3

90,04815148 ) = - 20,243 tm.

M21 = Mº21 + K12 x ( 2 x 2 + 1 - 3 x

1

5

h

] =

= 0 + 600 x (2 x 0,01441369 - 3 x3

90,04815148 ) = - 11,594 tm.


Pag.10

M23 = Mº23 + K23 x ( 2 x 2 + 3 ] =

= -9 + 600 (2 x 0,01441369 + 0,00549673 ) = 11,594 tm. M32 = Mº

32 + K23 x ( 2 x 3 + 2 ) = = 9 + 600 ( 2 x 0,00549673 + 0,01441369 ) = 24,243 tm.

M34 = Mº34 + K34 x ( 1,5 x 3 - 1,5 x

2

5

h

) =

= 0 + 800 (1,5 x 0,00549673 - 1,5 x5,4

90,04815148 ) = - 6,243 tm.

Debiéndose verificar que : MNUDO 3 = M32 + M34 = ( 24,243 - 6,243 ) = 18 tn c) Método de Cross : q P 2P 2 3 5 PROPUESTO 1 4 q P 2P 2 3 5 Fo INDESPLAZABLE Ejecución de CROSS conduce a : M0 1 4

1 1


Pag.11

2 3 5 F1 DESPLAZABLE Ejecución de CROSS conduce a : M1 1 4

I) Cálculo de las Rigideces : Kij ij

ijx

LIE

ó 0,75 xij

ijx

LIE

K12 3

900 300 K23 69002 x 300

K34 5,4180075,0 x 300

II) Cálculo de los coeficientes : ij = ij

ij

KK

21

300300

300 0,5 = 23 = 32 = 34

II) Cálculo de los Momentos de Empotramiento Perfecto : Mº q

Mº23 = - Mº

32 =12

Lq 21x

=12

63 2x = - 9 tm

2 3 MNudo 3 = P x L2 = 6 x 3 = 18 tm L1

r r

2 5 Mº21 = Mº

12 =

r1

12 xxx

2hIE6

Mº21

Mº34 Mº34 =

r2

34 xxx

2hIE3

1 Mº12 2,252

hh

M

M1

2

34

21

o

o

4

3


Pag.12

IV) Iteraciones : 2 3 5 1 4 2 3 5

F0 = 14,575

12 tn

0,773

3,480 0,773 1,80

3,604

1,802

1,802

0.5

0.5

0.5

+14.41 - 3.60

- 9.00 +4.50 +1.69 - 0.84 +0.10 - 0.05

- 0.0

5 - 0

.84

+4.5

0

+9.00 +2.25 +3.37 - 0.42 +0.21

-Mo-

0.5

+3.6

0

- 0.0

3 - 0

.42

+2.2

5

+1.8

0

+3.3

8 - 0

.21

+ 3

.59

-18.00

//


Pag.13

1

4 2 3 5 1 4 2 3 5 1

0.5

0.5

0.5

+3.07 +4.72

+4.50 +0.44 - 0.22

- 0.2

2 +4

.50

- 9.0

0

+2.25 +0.88 - 0.11 +0.05

-M1-

0.5

- 4.7

2

- 0.1

1 +2

.25

- 9.0

0

- 6.8

6

- 4.0

0 +0

.88

+0.0

5

- 3.0

7

//

F0 = 4,541

0,682

3,070 0,682 3,85

4,719

6,859

3,859


Pag.14

4 V) Determinación de C1 : F0 + C1 . F1 = 0 => 14,575 - C1 . 4,541 = 0 C1 = 3,210 VI) Determinación de Mij : M12 = M120 + C1 x M121 = 1,802 - 3,21 x 6,859 = -20,215 tm. M21 = -M23 = M210 + C1 x M211 = 3,604 - 3,21 x 4,719 = -11,544 tm. M32 = M320 + C1 x M321 = 14,414 + 3,21 x 3,070 = +24,269 tm. M34 = M340 + C1 x M341 = 3,480 - 3,21 x 3,070 = -6,373 tm. d) Método de Kani : q P 2P 2 3 5 PROPUESTO 1 4

I) Cálculo de las Rigideces Relativas : Kij ij

ij

LI

K12 3

900 300 K23 6

1800 300


Pag.15

K34 5,4180075.0 x 300

II) Cálculo de los coeficientes de distribución : ijij

ij

K2K

x

21

6002

300x

- 0,25 23

6002

300x

- 0,25

32

6002

300x

- 0,25 34

6002

300x

- 0,25

Nudo 2 Nudo 3 ij = - 0,5 ij = - 0,5

III) Cálculo de los coeficientes: Cij y ij donde : Cij = ij

c

hh

hc = 4,5 m C12 = 1,5 C34 = 1,0

2322

ijCjikijCijk2ijCjik3

xxx

xx

ij

87108,03001666,05,13002

5,13003xxxx

xx2212

2322

ijCijkijCijk2ijCjik2

xxxx

xx

ij


Pag.16

38715,03001666,05,13002

0,13002xxxx

xx2234

IV) Determinación de los Momentos de Empotramiento Perfecto : Mijº M23º = - 9,0 tm = - M32º Mnudo 3 = - 18,0 tm

Mr = Qr x 3hr = 12 tn x

3m5,4 = 18 tm.

V) Iteraciones : 1era. Ecuación : Mij’ = ij x ( Mijº + Mji’ + Mij” )

2da. Ecuación : Mij” = ij x [ Mr + Cij x (Mij’ + Mji’ ) +32 x Cij x Mij’ ]

2 3 5 1 4 Mij = Mijº + 2 x Mij’ + Mji’ + Mij”

- -0.25 --0

.25 -0.25

-0.25

-0.38715 -0.87108

8.650 8.649 8.648 8.645 8.635 8.601 8.482 8.051 6.170

3.298 3.298 3.298 3.297 3.294 3.282 3.236 3.033 2.450

2.450 3.033 3.236 3.282 3.294 3.297 3.298 3.298 3.298 -15.679

-25.164 -27.961 -28.641 -28.824 -28.876 -28.890 -28.895 -28.896

- 6.969 -11.184 -12.427 -12.370 -12.811 -12.834 -12.840 -12.842 -12.843

Mr = 18

C34= 1,0 C12= 1,5

8.650 8.649 8.648 8.645 8.635 8.601 8.482 8.051 6.170

11.597

-9.000 17.300 3.298

24.246

9.000 6.596 8.650

18.0000

18.000

-6.246

0.000 6.596

-11.597

0.000 17.300


Pag.17

2 3 5 1 4 e) Método de las Deformaciones Matricial : q P 2P 2 3 5 PROPUESTO 1 4 I) Elección de las coordenadas del sistema : q P 2P 2 3 5 3 1 2 1


Pag.18

4 D1 { D } = D2 D3 II) Elección de las coordenadas en barras. 5 6 10 4 2 7 8 12

1 3

11 9

d1 p1

d2 p2

d3 p3

d4 p4

d5 p5

d6 p6

{ d } = d7 { p } = p7

d8 p8

d9 p9

d10 p10 d11 p11 d12 p12 12 x 1 12 x 1 III) Transporte de cargas a Nudos. q P


Pag.19

2P 2 3 5 9 9 18

1

4

IV) Vector de cargas exteriores. 9 { P } = 9 3 x 1 12 V) Construcción de la Matriz [A] : D1=1 D2=1 D3=1 0 0 0 1

1 0 0 12 = 2

0 0 0 12 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 21

1 0 0 2 [A] = 0 1 0 23 = 3 =>[A]T= 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 0 23

0 0 0 32

0 0 0 3 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 34 = 4 3x9 0 0 0 34 0 0 -1 43

VI) Determinación de [K] (formado por cada barra desarticulada) : 4/h1 2/h1 6/h1

2 6/h1

2 4 2 2 2

[K1] = E x I 2/h1 4/h1 6/h12 6/h1

2 = 3

900 x 2 4 2 2

6/h1

2 6/h12 12/h1

3 12/h13 2 2 4/3 4/3


Pag.20

6/h1

2 6/h12 12/h1

3 12/h13 2 2 4/3 4/3

2(4/L1) 2(2/L1 ) 2(6/h1

2) 2(6/h12) 4 2 1 1

[K2] = E x I 2(2/L1) 2( 4/L1) 2( 6/L12) 2( 6/L1

2) = 3

900 x 2 4 1 1

2(6/L1

2) 2( 6/L12) 2(12/L1

3) 2(12/L13) 1 1 1/3 1/3

2(6/L1

2) 2( 6/L12) 2(12/L1

3) 2(12/L13) 1 1 1/3 1/3

0 0 0 0 0 0 0 0

[K3] = E x I 0 2(3/h2) 2(3/h22) 2(3/h2

2) = 3

900 x 0 4 8/9 8/9

0 2(3/h2

2) 2(3/h23) 2(3/h2

3) 0 8/9 16/81 16/81 0 2(3/h2

2) 2(3/h23) 2(3/h2

3) 0 8/9 16/81 16/81 4 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 4/3 4/3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 4/3 4/3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 1 1 0 0 0 0 [K]12x12 = 300 x 0 0 0 0 1 1 1 1/3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1/3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 8/9 8/9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8/9 16/81 16/81 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8/9 16/81 16/81 VII) Generar : [] = [A] T . [K] . [A] , e invertir : 2 0 -2 4 0 -2 2 0 -4/3 2 0 -4/3 4 2 0 8 2 -2

2 4 0 [K] . [A] = 300 x 1 1 0 => [] = 300 x 2 8 -8/9 1 1 0 0 0 0


Pag.21

0 4 -8/9 -2 -8/9 124/81 0 8/9 -16/81 0 8/9 -16/81 4 1 -1 => [] = 600 x 1 4 -4/9 -1 -4/9 62/81 = 992/81 + 4/9 +4/9 – 4 - 64/81 - 62/81 = 614/81 232/81 -26/81 32/9

[]-1 = 614x600

81 x -26/81 167/81 7/9

32/9 7/9 15 232 -26 288

[]-1 = 368400

1 x -26 167 63

288 63 1215 VIII) Cálculo del Vector {D} = []-1 . {P} , constituido por :

D1 = Giro en sentido horario en nudo 2. D2 = Giro en sentido horario en nudo 3. D3 = Desplazamiento de izquierda a derecha en dintel.

232 -26 288 9 D1

{D} = D2 = 368400

1 x -26 167 63 x 9 =

D3 288 63 1215 12 5310 0,01441368


Pag.22

= 368400

1 x 2025 = 0,00549674

17739 0,04815146 IX) Cálculo del Vector {p} = [K] . {d} = [K] . [A] . {D} : -24858 -20,2426 p1 M‘12 -14238 -11,5944 p2 = M‘21 -13032 -10,6123 p3 Q‘12 -13032 -10,6123 p4 Q‘21 +25290 +20,5944 p5 M‘23 {p} = 300/368400 +18720 = +15,2443 = p6 = M‘32 + 7335 + 5,9731 p7 Q‘23 + 7335 + 5,9731 p8 Q‘32 - 7668 - 6,2443 p9 M‘34 0 0 p10 = M‘43 - 1704 - 1,3876 p11 Q‘34

- 1704 - 1,3876 p12 Q‘43

X) Cálculo de los Momentos y Cortes Finales : {s} = {p} + { p0 } s1 -20,2426 0 -20,2426 M12 s2 -11,5944 0 -11,5944 = M21 s3 -10,6123 0 -10,6123 Q12 s4 -10,6123 0 -10,6123 Q21 s5 +20,5944 -9 +11,5944 M‘32 {s} = s6 = +15,2443 + +9 = +24,2443 = M32 s7 + 5,9731 -9 -3,0269 Q23 s8 + 5,9731 +9 +14,9731 Q32 s9 - 6,2443 0 - 6,2443 M34 s10 0 0 0 = M43 s11 - 1,3876 0 - 1,3876 Q34

s12 - 1,3876 0 - 1,3876 Q43

f) Cuadro comparativo de resultados de los distintos Métodos :

Momentos Flectores en (tn.m)


Pag.23

Barra Métodos Fuerzas Deformaciones Cross Kani Matricial

1-2 -20.265 -20.243 -20.215 -20.247 -20.243 2-1 -11.585 -11.594 -11.544 -11.597 -11.594 2-3 +11.585 +11.594 +11.544 +11.597 +11.594 3-2 +24.255 +24.243 +24.269 +24.246 +24.244 3-4 - 6.255 - 6.343 - 6.373 - 6.246 - 6.244 3-5 -18.000 -18.000 -18.000 -18.000 -18.000

Guia de Metodos Varios

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