REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL P.P.P LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA

UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELAPROGRAMA DE FORMACIÓN DE GRADO EN HIDROCARBURO

MATURÍN-MONAGAS

GUÍA DE MÉTODO NUMÉRICO E INFORMATICO

Ecuación Diferencial: una que contiene las derivadas de unas o más variables independientes y una o más variables dependientes, es una Ecuación Diferencial (E.D).

Estas se clasifican según:

Su Tipo: si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependiente

con respecto a una o más variables independiente se llama ecuación diferencial ordinaria

(E.D.O), denotado pordydx,d2 yd x2

,d3 yd x3

,d 4 yd x4

,…. ,dn yd xn

o y , , y , , , y ,, , , y4 ,……, yn

Toda ecuación diferencial tiene por lo menos una variable dependiente que se ubica en el numerador, y tambien por lo menos una variable independiente que se ubica en el denominador.

Ejemplo:

dydx

+5 y=ex ; d2 yd x2

−dydx

+6 y=0 ; dxdt

+ dydt

=2 x+ y

Esta ultima contiene 2 variables dependiente que son “X” y “Y”, y una variable independiente “T”

si una ecuación con derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial

(E.D.P), denotado por ∂2u∂ x2

=∂2u∂ t 2

−2 ∂u∂ t

o Uxx = Utt – 2Ut

Ejemplo:

∂2u∂ x2

+ ∂2u∂ y2

=0 ; ∂2u∂ x2

=∂2u∂ t 2

−2 ∂u∂ t

; ∂u∂ y

=∂u∂ x

El Orden y Grado: El orden de una E.D ya sea E.D.O ó E.D.P es el orden de la derivada Mayor de la

ecuación. El grado lo indica el exponente Mayor de las derivadas y la variable dependiente de dicha

ecuación.

Ejemplo:

d2 yd x2

+5( dydx )3

−4 y=ex ; esta ecuación es E.D.O, orden 2 porque la derivada Mayor es la

segunda derivada ( d2 yd x2

), grado 3 porque el exponente Mayor es ( dydx )3

La Linealidad:Se dice que una E.D.O de orden “n” es lineal cuando se haya:

An(X)Yn + a(n-1)(X)Y(n-1) +……+ a2(X)Y , , + a1(X)Y , + a0(X)y – g(x) = 0

Hay 2 casos especiales importante de la función anterior son las E.D lineales

1. De primer orden (n = 1): a1(X)Y , + a0(X)y = g(x)

2. De segundo orden ( n = 2 ): a2(X)Y , , + a1(X)Y , + a0(X)y = g(x)

Las E.D lineales tienen 2 caracteristicas:

1. La variable dependiente “Y” y todas sus derivadas y , , y , , , y ,, , , y4 ,……, yn son de primer

grado.

2. Los coeficientes a0 , a1 , a2 ,…., an de y , y , , y , , , y ,, , , y4 ,……, yn depende solo de la

variable independiente “X”

Nota: las funciones no lineales de las variables dependientes o sus derivadas tales como

sin ( y ) ó e y,

, no pueden estar en una E.D linea.

Ejemplo:

1. (y – x)dx + 4xdy = 0 , es una E.D lineal porque cumple con las 2 caracteristicas.

2.d3 yd x3

+x dydx

−5 y=ex , es una E.D lineal porque cumple con las 2 caracteristicas.

3. (1− y ) y ,+2 y=ex , no es una E.D lineal porque no cumple con la segunda

caracteristica de una E.D lineal.

4.d2 yd x2

+sin ( y )=0 , no es una E.D lineal porque hay una funcion no lineal que contiene

la variable dependiente “Y” ( sin ( y ) ).

5.d4 yd x4

+ y2=0 , no es una E.D lineal porque no cumple con la primera caracteristica de

una E.D lineal.

Ejercicios:Clasificar las siguientes E.D de la siguiente manera: variable independiente, variable dependiente, tipo de E.D, orden, grado y linealidad.

1) x2dydx

+( dydx )2

=0, vi: “X”, vd: “Y”, E.D.O, orden 1, grado 2 y no es lineal.

2) d2 y

d x2=3 x [1+( dydx )

2]32; 3) e

d3 yd x3=x dy

dx ; 4)

d3 yd x3

+ 2 yd3 yd x3

=2 x ; 5)

log( dydx )+log (x2 )=2 y

6) x2d2 yd x2

−x dydx

+ y=3x3 ; 7) ∂4 z∂ x4

−( ∂2 z∂ x2 y )2

=0 ; 8) ∂ z∂ y

+x ∂ z∂ x

= y

Ecuaciones de variables separables y separadas de primer orden:Las ecuacines de primer orden que pueden resolverse por integración es la formada por aquellas que son separables.

Una E.D de primer orden: dydx

=f (x , y ) es separable si la función f (x , y ) se puede escribir como

un producto de una función de “X” y una función de “Y” es decir: dydx

=h ( x ) . g(x )

Ejemplo:

1)dydx

= y2cos ( x ) , y≠ 0

→ dy

y2=cos ( x )dx se paso y2 a dividir al 1er miembro que esta multiplicado en el 2do

miembro.

→ ∫ dyy2

=∫cos (x )dx se le aplica integral ha ambos miembros de la ecuación luego de

separar las variables.

→ −1y

=sin ( x )+C resultado de las integrales.

→ y=−1

sin ( x )+C despeje de la variable “Y”

2) (x y2− y2+x−1 )dx+(x2 y−2xy+x2+2 y−2 x+2 )dy=0

→ [ y2 ( x−1 )+( x−1 ) ]dx+ [ y ( x2−2x+2 )+(x2−2 x+2 ) ]dy=0 en la 1er función se hace

factor común “y2” y para la 2da función se hace factor común “Y”.

→ ( x−1 ) ( y2+1 )dx+(x2−2 x+2 ) ( y+1 )dy=0 en la 1er función se hace factor común “

( x−1 )” y para la 2da función se hace factor común “(x2−2 x+2 )”.

→ (x2−2 x+2 ) ( y+1 )dy=−( x−1 ) ( y2+1 )dx se traslada ( x−1 ) ( y2+1 )dx que esta en el 1er

miembro al 2do miemdro con signo contrario.

→ ( y+1 )dy( y2+1 )

=− ( x−1 )dx(x2−2 x+2 )

se paso (x2−2 x+2 ) que esta en el 1er miembro multiplicando al

2do miembro dividiendo, y tambien se paso ( y2+1 ) que esta en el 2do miembro multiplicando al

1er miembro dividiendo.

→ ∫ ( y+1 )dy( y2+1 )

=∫ −( x−1 )dx(x2−2 x+2 )

se le aplica integral en ambos miembros de la ecuación.

→ ∫ ydy

( y2+1 )+∫ dy

( y2+1 )=∫ − (x−1 )dx

(x2−2 x+2 ) se separo la integral de el 1er miembro.

→ ln ( y2+1 )2

+ tan−1 ( y )=−ln (x2−2 x+2 )2

+C resultado de las integrales.

→ ln ( y2+1 )2

+ln (x2−2 x+2 )

2=−tan−1 ( y )+C se traslada tan−1 ( y ) que esta en el 1er

miembro al 2do mimbro cambiando de signo, y tambien se traslada ln (x2−2 x+2 )

2 que esta en

el 2do miembro al 1er mimbro cambiando de signo.

→ ln ( y2+1 )+ ln ( x2−2x+2 )=−2 tan−1 ( y )+C se multiplico por 2 la ecuación.

→ ln [ ( y2+1 ) (x2−2 x+2 ) ]=−2 tan−1 ( y )+C propiedad de logaritmo.

→ ( y2+1 ) (x2−2 x+2 )=e−2 tan−1 ( y )+C se aplico la inversa del logaritmo natural.

→ ( y2+1 ) (x2−2 x+2 )=ec e−2 tan−1 ( y ) se aplico propiedad de potencia.

→ ( y2+1 ) (x2−2 x+2 )e2 tan−1 ( y )=K se transformo ec por K y se despejo la misma.

Ejercicios:

1) x2 y ,+ y2=0 ; 2) dydx

=2x √ y−1 ; 3) dydx

= xy+3 x− y−3x y−2 x+4 y−8

; 4) dydx

=sin (5 x ) ;

5) dydx

=( x+1 )2 ; 6) dx+e3x dy=0 ; 7) dx+x2dy=0 ; 8) ( x+1 ) dydx

=x+6

9) exdydx

=2x ; 10) x y ,=4 y ; 11) dydx

+2 xy=0 ; 12) dydx

= y3

x2 ; 13)

dydx

= y+1x

;

14) dxdy

= x2 y2

1+x ; 15)

dxdy

= 1+2 y2

y sin ( x ) ; 16)

dydx

=e3x+2 y ; 17) exdydx

=e− y+e−2x− y ;

18) (4 y+ y x2 )dy−(2x+x y2 )dx=0 ; 19) (1+x2+ y2+ x2 y2 )dy= y2dx ;

20) 2 y (x+1 )dy=xdx ; 21) x2 y2dy=( y+1 )dx ; 22) y ln ( x ) dxdy

=( y+1x )2

;

23) dydx

=( 2 y+34 x+5 )2

; 24) ( sec (x ) )2dy+csc ( y )dx=0 ; 25) sin (3 x )dx+2 y (cos (3 x ) )3dy=0

;

26) e y sin (x )dx+cos ( x ) (e2 y− y )dy=0 ;

Ecuación diferencial lineal de primer orden:

La ecuación de la forma a1(X)dydx

+ a2(X)y = h(X) (1). En donde a1(X), a2(X) y h(X) son

funciones continuas en un intervalo I y a1(X) ≠ 0 en I (Normal, una ecuación es normal cando

el coeficiente principal no se anula en ningún punto de I), luego podemos escribir la ecuación

(1) de laforma dydx

+a2(X)a1(X)

y=h(X )a1(X )

y si hacemos a2(X )a1(X )

=p(x ) y h(X )a1(X )

=q (x)

tenemos que: dydx

+ p (x) y=q (x) (2).

Ahora la solución de la ecuación esta representada como Y ( x )=Yh ( x )+Yp(x ) , en donde

Yh ( x ) es la solución Homogénea asociado con: dydx

+ p (x) y=0donde su solución es:

dydx

+ p (x) y=0

→ dydx

=−p(x ) y , se traslado p(x ) y que estaba en el 1er miembro sumando para el 2do con

signo contrario.

→ dyy

=−p(x )dx , se traslado dx que estaba en el 1er miembro dividiendo para el 2do

miembro a multiplicando y tambien se traslado “y” que estaba en el 2do mienbro multiplicando para el 1er dividiendo.

→ ∫ dyy =−∫ p(x )dx , se aplica integral en ambos miembros.

→ ln ( y )=−∫ p ( x )dx+C , solución de la integral que esta en el 1er miembro.

→ y=e−∫ p ( x )dx+C , se aplico la inversa del logaritmo natural en ambos miembros.

→ y=ec e−∫ p ( x )dx , se aplico propiedad de potenciación.

→ Yh(x )=K e−∫ p ( x )dx , se transformo ec por K y esta es la solución Homogénea de la

ecuación.

Yp(x) es una solución particular donde supangamos que fuera posible encontrar una función μ(x) continua en todos los puntos de I tal que:

d [μ( x) y ]dx

=q(x )μ (x) , se parte de esta ecuación para hallar la solución particular donde

conocemos quien es q(x) pero no conocemos a μ(x) (μ(x) se llama mi o mu de “x” ó factor

integante) pero se puede calcular de μ(x) por la siguiente ecuación: μ ( x )=e∫ p ( x )dx

d [μ( x) y ]dx

=q(x )μ (x)

→ d [ μ(x) y ]=q(x )μ(x )dx , se traslado dx que estaba en el 1er miembro dividiendo para el

2do miembro a multiplicando.

→ ∫ d [ μ(x ) y ]=∫ q(x )μ (x)dx , se aplico integral en ambos miembros.

→ μ ( x ) y=∫ q(x )μ (x)dx , solución de la integral que esta en el 1er miembro.

→ y=1μ ( x )∫ q( x)μ (x)dx , se traslado μ ( x ) que estaba en el 1er miembro multiplicando

para el 2do miembro a dividir.

→ Yp(x)=e−∫ p ( x )dx∫q (x)e∫ p ( x )dxdx , se cambio μ ( x ) por e∫

p ( x )dx y esta es la solución

particular.

problema de valor iniciales:

Teorema: sea L un operador diferencial lineal normal de primer orden definido en un intervalo I, y sea X0 un punto cualquiera en I. entonce para todo numero real Y0 el problema de valor inicial L(y) = H(x) y Y(x0) = y0 tiene al menos una solución.

Teorema: todo problema de valor inicial con respecto a un operador diferencial lineal normal de primer orden tiene cuando más una solución.

Ejemplo:

1) x y ,+ y=ex , con y(1) = 1

→ xdydx

+ y=ex , se cambio y , por dydx

→ dydx

+ yx= e

x

x , se dividio la ecuación por “x”

Solución homogénea:

→ dydx

+ yx=0 , se iguala a cero el 1er miembro.

→ dydx

=− yx

, se traslado yx

que estaba en el 1er miembro sumando para el 2do miembro

cambiandole el signo.

→ dyy

=−dxx

, se traslado dx que estaba en el 1er miembro dividiendo para el 2do miembro a

multiplicando y tambien se traslado “y” que estaba en el 2do mienbro multiplicando para el 1er dividiendo.

→ ∫ dyy =−∫ dxx , se aplico integral en ambos miembros.

→ ln ( y )=¿−ln (x )+C ¿, el resultado de las 2 integrales respectivamente.

→ y=e−ln (x )+C , aplicando la inversa del logaritmo natural que ”e”.

→ y=ec e ln (x−1) , se aplico propiedad de potenciación y de logaritmo.

→ Y=K x−1 , se transformo ec por K y se cancelan el logaritmo natural con el exponencial

por ser mutuamente inversa la una de la otra. Solución (a)

→ 1=K (1 )−1 , se sustituye las variebles “x” y “y” por sus valores correspondientes que nos

dan en las calores iniciales.

→ K=1 , se despejo K.

→ Yh(x )=1x−1 , se sustituye el valor de K en la solución (a) y nos genera la solución

homogénea.

Solución particular:

dydx

+ yx= e

x

x , recordando que la ecuación general de una E.D.O lineal es

dydx

+ p (x) y=q (x)

y de aca se puede saber cual es el valor de p(x) = 1x

, q(x) = ex

x .

Recordemos que para buscar la solución particular se debe empezar con la formula

d [μ( x) y ]dx

=q(x )μ (x) ya se conoce el valor de q(x) pero no se conoce lo que equivale el

factor integrante (μ(x ) ) que se halla por la siguiente formula:

μ ( x )=e∫ p ( x )dx

→ μ ( x )=e∫ 1x dx , se cambia p(x) por

1x

→ μ ( x )=e ln ( x ) , se integro.

→ μ ( x )=x , se cancelan el logaritmo natural con el exponencial por ser mutuamente inversa.

d [μ( x) y ]dx

=q(x )μ (x)

→ d [x y ]dx

= ex

xx , se sustituyo μ(x ) y q(x) por sus valor correspondiente.

→ d [ x y ]=e xdx , se traslado dx que estaba en el 1er miembro dividiendo para el 2do miembro

a multiplicando y se cancelaron las “x” que una estaba multiplicando y la otra dividiento.

→ ∫ d [ x y ]=∫ exdx , se aplico integral en ambos miembros.

→ x y=ex+C , resultados de las integrales respectivamente.

→ y= ex

x+Cx

, se traslado la “x” que estaba en el 1er miembro multiplicando para el 2do

miembro a dividir. solución de (2)

→ 1= e1

1+C1

, se sustituye las variebles “x” y “y” por sus valores correspondientes que nos

dan en las calores iniciales.

→ 1−e1=C , se traslado e1 que esta en el 2do miembro sumando al 1er miembro con signo

contrario.

→ C=−1,72 , solución de la operación que estaba en el 1er miembro.

→ Yp(x)=ex

x+−1,72

x , se sustituye el valor de C en la solución (b) y nos genera la solución

particular.

Solución general:La solución de una E.D.O lineal esta dada por:

Y ( x )=Yh ( x )+Yp(x ) por lo tanto solo sutituimos las soluciones homogénea y particular por su

valor correspondiente.

Y ( x )=1x−1+ ex

x+−1,72

x .

2) xdydx

−3 y=x5

→ dydx

−3 yx

=x4 , se dividio la ecuación por “x”.

Solución homogénea:

→ dydx

−3 yx

=0 , se iguala el 1er miembro a cero.

→ dydx

=3 yx

, se paso 3 yx

que estaba en el 1er miembro que estaba restando para el 2do

miembro cambiandole el signo.

→ dyy

=3dxx

, se traslado dx que estaba en el 1er miembro dividiendo para el 2do miembro a

multiplicando y tambien se traslado “y” que estaba en el 2do mienbro multiplicando para el 1er dividiendo.

→ ∫ dyy =∫ 3dxx , se aplico integral en ambos miembros.

→ ln ( y )=3 ln (x )+C , solución de las integrales que estan en ambos miembros.

→ y=e3 ln ( x ) +C , se aplica la inversa del logaritmo natural que es “e”.

→ y=ec e ln (x3 ) , se aplico propiedad de potenciación y de logaritmo.

→ Yh(x )=kx3 , se transformo ec por K y se cancelan el logaritmo natural con el exponencial

por ser mutuamente inversa la una de la otra. Es la solución homogénea.

Solución particular:

dydx

−3 yx

=x4 , recordando que la ecuación general de una E.D.O lineal es

dydx

+ p (x) y=q (x) y de aca se puede saber cual es el valor de p(x) = −3x

, q(x) = x4 .

Recordemos que para buscar la solución particular se debe empezar con la formula

d [μ( x) y ]dx

=q(x )μ (x) ya se conoce el valor de q(x) pero no se conoce lo que equivale el

factor integrante (μ(x ) ) que se halla por la siguiente formula:

μ ( x )=e∫ p ( x )dx

→ μ ( x )=e−∫ 3x dx , se cambia p(x) por

−3x

→ μ ( x )=e−3 ln ( x ) , se integro.

→ μ ( x )=e ln (x−3) , propiedad de logaritmo.

→ μ ( x )=x−3 , se cancelan el logaritmo natural con el exponencial por ser mutuamente

inversa.

d [μ( x) y ]dx

=q(x )μ (x)

→ d [x−3 y ]dx

=x4 x−3 , se sustituyo μ(x ) y q(x) por sus valor correspondiente.

→ d [ x−3 y ]=xdx , se traslado dx que estaba en el 1er miembro dividiendo para el 2do

miembro a multiplicando y se aplico rpoducto de igual base.

→ ∫ d [ x−3 y ]=∫ xdx , se aplico integral en ambos miembros.

→ x−3 y= x2

2+C , resultados de las integrales respectivamente.

→ y= x2

2 x−3+ cx−3

, se paso x−3 que estaba en el 1er miembro multiplicando para el 2do

miembro a dividir.

→ Yp (x)= x5

2+cx3 , se aplico divición de igual base y la propiedad inversa. Es la solución

particular.

Solución general:La solución de una E.D.O lineal esta dada por:

Y ( x )=Yh ( x )+Yp(x ) por lo tanto solo sutituimos las soluciones homogénea y particular por su

valor correspondiente.

Y ( x )=kx3+ x5

2+cx3 .

Ejercicios:

1) 2 xdy=(2 x3− y )dx , 2) y , ( sec ( y ) )2+ x tan ( y )x2+1

=x , 3) x2 y , ,+2 x y ,=2 ,

4) dx−dy (x+ ln ( y ) )=0 , 5) y ,+ ycos ( x )=e−sin (x ) , 6) 3 xydx=sin (2 x )dx−dy ,

7) y ,+2xy+¿ e− x2

, 8) cos (x )dx−4sin ( x )dy= y2dy , 9) dx+xdy

√1− y2=earc cos( y ) dy ,

10) dydx

+ y=e3x , 11) y ,+2xy=x3 , 12) (x+4 y2 )dy+2 ydx=0 ,

13) xdy=( x sin ( x )− y )dx , 14) dydx

+ ycot ( x )=2cos ( x ) ,

15) (cos ( x ) )2sin ( x )dy+( y (cos ( x ) )3−1) dx=0 , 16) ydx−4 (x+ y6 )dy=0 ,

17) dydx

+ y=1−e−2x

ex+e− x , 18) y ,+ y tan ( x )=(cos ( x ) )2 , 19) ( x+1 ) dy

dx+ y=ln ( x ) ,

20) x y ,+2 y=4 x2 , 21) y ,− y=2 x e2 x ,

Ecuaciones Homogéneas:

Si una ecuación en la forma diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 y tiene la propiedad M(tx,ty) = tnM(x,y) y N(tx,ty) = tnN(x,y) decimos que tiene coeficientes Homogéneos o que es una ecuación Homogénea.

Def: se dice que F(x,y) es una función Homogénea de grado n, si para algún número real n, ocurre que F(tx,ty) = tnF(x,y), y el grado de la función la indica el valor de “n”.

Ejemplo: verificar si las siguientes funciones son Homogéneas.

1) f ( x , y )=x−3√ xy+5 y ,

→ f ( tx ,ty )=tx−3√txty+5 ty , por definición se le aplica t a la función es decir, que donde

este las variables “x” y “y” se le multipica por “t”.

→ f (tx ,ty )=tx−3√t 2 xy+5 ty , multiplique las “t” que estan en la raiz cuadrada.

→ f (tx ,ty )=tx−3 t √xy+5 ty , propiedad de radical.

→ f (tx ,ty )=t (x−3 √xy+5 y ) , se aplico factor común.

→ f (tx ,ty )=tf (x , y ) , se sustituyo por la representación de la función. Como nos da que

f (tx ,ty )=tf (x , y ) entonce la funcion es Homogénea de grado “1”

2) f ( x , y )=√ x3+ y3 ,

→ f (tx ,ty )=√ t3 x3+ t3 y3 , por definición se le aplica t a la función es decir, que donde este

las variables “x” y “y” se le multipica por “t”.

→ f (tx ,ty )=√ t3 (x3+ y3 ) , se aplico factor común.

→ f (tx ,ty )=√ t3√ x3+ y3, propiedad radical.

→ f ( tx ,ty )=t32 f (x , y ) , se sustituyo por la representación de la función y se propiedad de

potencia. Como nos da que f ( tx ,ty )=t32 f (x , y ) entonce la funcion es Homogénea de grado “

32

”.

Ejercicios:

1) f ( x , y )=3 x+5 y−1 , 2) f ( x , y )=sin( xy )+ tan( yx ) , 3) f ( x , y )= x+ yx2

Método para resolver una ecuación Homogénea:Para resolver las ecuaciones homogéneas se hace un cambio que es x= vy ó y= vx y su diferencial dx= vdy +ydv ó dy = vdx +xdv nos queda una ecuación de variable separable.

Ejemplo:

1) (2 y−x )dy− ydx=0 hallar la solución de la ecuación y para eso debemos verificar si la

ecuación es homogénea o no, aplicandole “t” a las funciones M(x,y) =− y y N(x,y) = 2 y−x

y vereficar si las dos funciones tienen el mismo grado

a¿ M(tx,ty) =−ty , la función es homogénea y de grado “1”.

b¿ N(tx,ty) = 2 yt−xt , se aplico “t” a la función N(x,y).

→ N(tx,ty) = t (2 y−x ), se aplico factor común y nos da que la función es homogénea y de

grado “1”.

Como las funciones M(x,y) y N(x,y) son homogéneas y del mismo grado entonce la ecuación

(2 y−x )dy− ydx=0 es homogénea. Ahora se debe hacer un cambio de variable, se puede

cambiar cualquiera de las variables “x” ó “y”.Nota: escojan la variable que indica el diferencial de la función más sencilla.

En este caso como la función más sencilla es M(x,y) =− y y el diferencial que lo acompaña es

“dx” entonce la variable donde se le aplicara el cambio es “x” y el cual es x= vy y dx= vdy + ydv.

(2 y−x )dy− ydx=0

→ (2 y−vy )dy− y (vdy+ ydv )=0 , se aplico el cambio correspondiente

→ (2−v ) ydy− yvdy− y2dv=0 , se aplico factor común “y” y propiedad distributiva.

→ (2−v−v ) ydy= y2dv , se aplico factor común “ydy” y se traslado “y2dv” que estaba

restando en el 1er miembro restando al 2do miembro con signo contrario.

→ ydy

y2= dv

(2−2v ) , se traslado “(2−2v )” que estaba restando en el 1er miembro

multiplicando al 2do miembro dividiendo y también se traslado “y2” que estaba restando en el

2do miembro multiplicando al 1er miembro dividiendo.

→ ∫ dyy =12∫

dv(1−v )

, se aplico integral en ambos miembros.

→ ln ( y )=−12ln (1−v )+C , los resultados de las integrales respectivamente.

→ e ln ( y )=e−12ln (1−v )+C , se aplica la inversa del logaritmo natural que es “e”.

→ e ln ( y )=ece ln((1− v )

−12 ) , se aplico propiedad de logaritmo y de potencia.

→ y=K (1−v )−12 , se transformo ec por K y se cancelan el logaritmo natural con el

exponencial por ser mutuamente inversa la una de la otra. Y ya tenemos la solución de la

ecuación: (2 y−x )dy− ydx=0 y la solución es y=K (1−v )−12 .