INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA (TÉRMINOS, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN)

1. Identifica los elementos que se piden:

a) Los términos de 5r +sb) Los términos de 5xy2 +2y –7wc) Dos factores de 5z ______________________d) La base en 3xy2

e) El coeficiente numérico en 2xyf) El coeficiente numérico en x/3g) Las variables en 6xyh) Las variables en 6x 5 y 2

i) El grado de la variable m en 7m5nj) El grado de la variable n en 7m5nk) La constante de 7x2 –1

2. Considerando que un monomio es un número variable o producto de números y variables explique por qué las siguientes expresiones no son monomios

a) 5x +y b) 7xy3 c) x2y

3. Considere las siguientes expresiones identificando cada una de ellas con una letra

a) 14x + 10 y –3 d) 2/3 x +1/3 y

b) –17x5y3z2 e) 5x4z –1/2 x2 z2 + xz3 –7z6

c) 7x5y f) x+4

I) Identifique los polinomios:____________________

II) Identifique los monomios:____________________

III) Identifique los binomios:____________________

IV) Para cada polinomio, que no sea monomio, especifique los

términos____________________________________________________

V) Dé los coeficientes numéricos de las expresiones D y E

4. Evalúe cada polinomio para los valores dados:

a) 4x2 –x +3 x=-2

b) x2 –3x +5 x=3/2

c) –x2 +7 x =5

1

d) 4xy –8y2 x=3 y=0,5

5. Eliminar los términos semejantes en los siguientes polinomios:

a) 8x -3x+7x=

b) 3x +9y –2x –6y=

c) 7a2 – 15b3 + 5b3 + 9a 2 – 4b3 =

d) 3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c =

e) 0,01 b2c – 0,2 c2b - 0,8 c2b + 0,99 b2c=

6. Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes en los siguientes polinomios

a) (10b +4) +(6 –9b) –(3b-7)=

b) 20 + (-7 +2x) –(-3x-7)=

7. Dados los polinomios

A: 2b2c –3b + 6cB: 4b - c2b + 12 b2cC: 4 – 2c

Ejecute las siguientes operaciones:

a) A + B=

b) A - C=

c) B - A=

8. Calcular el perímetro de la siguiente figura:

x2 +x

2x2 +x x

3x2 +x –3

9. El perímetro de un rectángulo es 8x –6 y un lado es 3x +7 ¿Cuánto mide el otro lado?

En estudios anteriores has trabajado con operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números naturales, enteros, racionales e irracionales. Este estudio se enmarca dentro de la aritmética, rama de la matemática que se encarga de situaciones específicas, donde las operaciones sólo se hacen con números.

Si profundizamos un poco más en nuestra experiencia, ya sea la que obtuvimos en el bachillerato o en cualquier otra actividad escolar, es posible que recordemos algún conocimiento sobre las operaciones con

2

polinomios, donde de manera similar aplicabas la suma, resta, multiplicación y división, pero ya no sólo intervenían números sino que también se involucraban letras. El estudio de la matemática se tornaba un poco más abstracto, pues aquellas situaciones específicas que se trabajaban en aritmética ahora tomaban un carácter de generalización, es decir, podían representar situaciones diversas en un mismo campo. Ahora la matemática se enfoca desde Álgebra.

A pesar de tener más o menos claro las distintas operaciones con polinomios, es necesario retomar y practicar esos conocimientos hasta dominarlos por completo, pues de ello depende alcanzar las competencias en contenidos pertinentes a la asignatura, como lo son: las inecuaciones y las funciones; además de otras actividades que guardan relación con este tema.

Empecemos definiendo lo que es un polinomio; este término es de origen griego “poli” que significa muchos y “nomio” expresión algebraica. Un polinomio, matemáticamente hablando es una suma algebraica de varias expresiones algebraicas, que representan cantidades desconocidas. Cuando decimos suma algebraica nos referimos a una operación combinada, donde intervienen la suma y la resta, y al hablar de expresiones algebraicas significa los términos que componen la suma. Cada término que compone un polinomio es una estructura matemática que consta de una parte numérica y una parte literal.

Ejemplo de la Estructura de una Término:

CARACTERÍSTICAS DE UN POLINOMIO:

Sea el polinomio:

Vamos a ordenarlo por el exponente de la variable y a describir sus elementos:

Términos

Variable x x xCoeficientes de la variable

Exponentes de la variable 3 2 1* Grado del polinomio 3Término Independiente

*El grado del polinomio lo representa el exponente mayor de la variable

Clasificación de los PolinomiosLos polinomios, según el número de términos, se clasifican en:

- Monomio : Es aquella expresión algebraica que consta de un solo término.

Ejemplos:

- Binomio : Es aquella expresión algebraica que tiene dos términos:

Ejemplos:

3

Exponente de la variable

Parte literal o variable Parte numérica o coeficiente de la variable

- Trinomio : Es aquella expresión algebraica que tiene tres términos:

Ejemplos:

- Polinomio : Es aquella expresión algebraica que tiene más de tres términos:

Ejemplo:

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Anteriormente se dijo que con las expresiones algebraicas, se cumplen las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Vamos a trabajar cada operación y aprender un poco más de ellas.

Adición de polinomios: La adición consiste en reunir dos o más expresiones algebraicas, llamadas sumandos, en una sola que se le llama suma.

En la aritmética la adición siempre significa aumento, pero en el álgebra es un concepto más general por lo que puede significar aumento o disminución.

En una adición de polinomios se puede dar una agrupación de términos semejantes. Incluso, hasta un polinomio puede tener inmerso términos semejantes.

Hay semejanza entre términos cuando:

Tienen la misma variable o variables.

Tienen igual exponente en la variable o variables.

Ejemplo:Son términos semejantes:

Entonces, se puede hacer una agrupación con estos términos y reducirlos a una sola expresión aplicando una

suma.

Ejemplo Nº 1:

Eliminando los paréntesis queda:

Tomemos los coeficientes formando una suma indicada con ellos y esto lo multiplicamos por la variable con su

respectivo exponente, así:

Efectuamos la suma algebraica entre las cantidades que están dentro del paréntesis:

4

Recuerden que los términos en un polinomio se identifican porque están separados unos de otros por el signo positivo (+) o el negativo (-).

La variable “x” es la misma para los tres términos

El exponente “2” de la variable es igual para los tres términos

Aunque los coeficientes de las variables sean diferentes

Son términos no semejantes los siguientes: , , ,

Los términos y , tienen igual variable pero distintos exponentes, y a pesar que tienen el mismo coeficiente no son términos semejantes. El término no es semejante a ninguno de los otros dos términos, pues su variable es distinta.

Veamos algunos ejemplos de adición de polinomios:

Cuando es una suma de monomios

Ejemplo Nº 2:

Sumar: y

Solución:

Cuando es una suma de binomios

Ejemplo; Sumar: y

Solución:

5Primero sumamos los enteros positivos 3 y 1

Se restan las cantidades por ser de signos diferentes y la diferencia lleva el signo de la mayor (-5 y -4)

Se elimina el paréntesis

Como el 1 es elemento neutro de la multiplicación, sólo se multiplican los signos (+ . - = -)

Observa que, como los términos no son semejantes la suma se deja indicada

Indicamos la operación de los dos binomios agrupando cada uno entre paréntesis

Eliminamos los paréntesis, como el signo que los precede es positivo, no se afecta ningún término

Agrupamos los términos semejantes

Extraemos la variable con su respectivo exponente como factor dejando los coeficientes dentro del paréntesis. Observe que estos nos indican una suma de fracciones con diferente denominador

Luego el polinomio resultante es:

En la adición de trinomios y polinomios se procede igual que en las sumas anteriores, solo debes estar pendiente de la agrupación de términos semejantes. Es importante señalar que la sustracción de polinomios es un caso particular de la adición. Esto lo podemos explicar de la siguiente manera:

Ejemplo Nº 3:

Sea y

y nos piden determinar: A – B =

Es decir, al polinomio le restamos el polinomio

estructuremos la operación:

Observa que el polinomio B por estar precedido del signo negativo se encierra entre paréntesis.

Si

Entonces

- B es el opuesto de B

Luego, la operación quedaría así:

Si eliminamos el paréntesis:

Agrupamos los términos semejantes:

6

Se calcula el mcm entre los denominadoresEsta cantidad es el denominador del resultadoSe multiplica cada fracción por el mcm y estas cantidades forman el numerador del resultadoSe efectúa la operación indicada y obtenemos la fracción resultado

Recordar:Para sumar fracciones de diferente

denominador

1-

2-

3-

4-

Cuando un paréntesis está precedido del signo menos, todos los términos que están dentro de él cambian de signo

Recordar: Para eliminar signos de agrupación

Extraemos la variable de cada paréntesis con su respectivo exponente, dejándola como factor

Observa que dentro de cada paréntesis hay una suma de fracciones con diferente denominador.

Vamos a realizar cada adición por separado:

360

Finalmente, realizadas las adiciones de los términos semejantes, tenemos:

Practica la Adición de polinomios con los siguientes ejercicios:

- Sean los polinomios

, , ,

Calcula:

1) A + B + C = 3) (D + A) – C = 5) D + B =

2) D + C + A = 4) B – (D + A) = 6) C – A =

7

Observa que es una suma de fracciones con igual denominador. La fracción resultante tendrá el mismo denominador común y el numerador será la suma de los numeradores parciales

Recordar: Para sumar fracciones con igual denominador

Tenemos una suma de fracciones con diferente denominador, calculamos el m.c.m de los denominadores; es decir, m.c.m (1,2) = 2, este m.c.m= 2 representa el denominador común a todas las fracciones; ahora, los numeradores también cambian multiplicando el m.c.m= 2 por las fracciones parciales

Recordar: Para sumar fracciones con diferente denominador

Calculamos el mcm entre los denominadores mcm (4 , 6) = 12, este es el denominador del resultado y esa misma cantidad se multiplica por cada fracción para calcular los nuevos numeradores

Recordar: Para sumar fracciones con diferente

Multiplicación de Polinomios:

La multiplicación de polinomios, es una operación que consiste en multiplicar dos o más polinomios llamados factores para obtener otro polinomio llamado producto. Para multiplicar polinomios es necesario tener claro la regla de los signos, las leyes de la potenciación y la agrupación de términos semejantes.

Veamos algunos casos de la multiplicación:

Multiplicación de Monomios

Multiplicar:

+

8

En esta multiplicación tenemos varios factores con sus respectivos signos, hay factores numéricos y factores literales o variables.

Observa que los coeficientes numéricos de cada monomio, son también factores y se pueden manipular independientemente de la variable, siempre y cuando estén como factores dentro de la misma multiplicación. En la organización es conveniente que los factores numéricos sean los primeros en expresarse.

Si multiplicamos los signos de cada uno de los factores: + . - . - . + . + = + obtenemos el signo del producto. En este caso es positivo

Ahora calculamos el producto de los factores numéricos: 3 . 2 . 5 = 30

Para multiplicar las variables (la parte literal), que son potencias, tienes que estar claro con la ley de la potenciación que dice que “en la multiplicación de potencias de igual base se obtiene otra potencia con la misma base, cuyo exponente resulta de sumar los exponentes parciales de cada potencia” x2 . x = x2+1 = x3

+ * + = + - * - = ++ * - = -- * + = -

Recordar: Regla de los signos

* * * * * *

Recordar: Leyes de la potenciación

Este es el resultado de multiplicar los monomios

Multiplicación de Monomios por polinomios

Multiplicar:

.

Vamos a calcular los productos por separado:

1° producto:

9

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica una propiedad distributiva del producto con respecto a la adición, de esta manera obtenemos una suma algebraica con los productos parciales.

Observa que cada producto parcial es una multiplicación de dos monomios. Recuerde el procedimiento para este caso. En cada multiplicación parcial, realiza primero la multiplicación de los signos, luego, multiplica los coeficientes de cada monomio y por último realiza la multiplicación de las variables o potencias literales.

Coeficientes

PotenciasLiterales

Producto

Ya debes tener claro la regla de los signos (+. - = -) ; los coeficientes o parte numérica son números racionales; es decir, fracciones. Para multiplicar fracciones se hace de forma lineal, numerador por numerador y denominador por denominador.

La multiplicación de las potencias literales se realiza aplicando la ley de potenciación “cuando se multiplican potencias de igual base, el producto que resulta es otra potencia con la misma base y el exponente es la suma de los exponentes parciales”.

2° producto:

3° producto:

Observa que el producto de los coeficientes, resultó una fracción que se simplificó, debido a que al descomponer tanto el numerador como el denominador, resultó un factor común (el 5), el cual se canceló por ley de la potenciación, quedando una fracción irreducible. Luego, reuniendo los productos parciales resultantes conformamos el producto total de la multiplicación inicial:

Multiplicación de un polinomio por otro polinomio

Multiplicar:

Solución:

1° producto:

2° producto:

10

Se procede igual al caso anterior:

Coeficientes

Potencias Literales

Se procede igual al caso anterior:

El polinomio resultante no tiene términos semejantes por lo tanto es un polinomio irreducible.

Observa que el primer factor es un polinomio de dos términos, por lo tanto hay que aplicar la propiedad distributiva dos veces. El primer término del binomio multiplica a todos los términos del trinomio, luego el segundo término del binomio multiplica a todos los términos del segundo factor, es decir, del trinomio.

Después de aplicar la propiedad distributiva hemos obtenido muchos productos parciales, para ser más exactos, seis productos. Vamos a resolverlos uno a uno:

Si observas cada par de líneas notarás como se efectuaron los productos

3° producto:

4° producto:

5° producto:

6° producto:

Luego:Tomamos los productos parciales resultantes y estructuramos el polinomio total.

Revisamos si el polinomio resultante tiene términos semejantes; si los tiene hacemos agrupaciones con ellos:

Como en los casos anteriores, en agrupaciones de términos semejantes extraemos la variable con su respectivo exponente como factor fuera del paréntesis.

Realizamos la adición dentro de cada paréntesis paso a paso:

1º Adición:25

223

22

23

11

23

2° Adición:

Luego, resueltas las adiciones, volvemos al polinomio.

De esta manera, hemos llegado al producto final de la multiplicación de dos polinomios.

Para que practiques los procedimientos en la multiplicación de polinomios te proponemos los siguientes ejercicios:

Dadas las expresiones algebraicas:

11

Calcula:

1) 2) 3) 4)

5)

División de polinomios

Dividir polinomios es tan sencillo, como dividir cantidades enteras, sólo que un polinomio es como un grupo de números enteros descompuestos en una adición de muchos sumandos. Vamos a explicarlo por medio de un ejemplo:

Sabemos que el proceso de dividir consiste en: dadas dos cantidades “dividendo” y “divisor”, se debe buscar otra cantidad llamada “cociente” que multiplicada por el “divisor” nos resulte el “dividendo”.

Resolveremos la siguiente división de polinomios paso a paso:

Se ordenan los dos polinomios tomando en cuenta los exponentes de la variable (x) en orden decreciente y completando con coeficiente cero (0) la potencia faltante.

Se divide el primer término del polinomio dividendo entre el primer término del divisor

Para efectuar esto se divide el coeficiente del dividendo entre el del divisor y con la variable se aplica la regla de potencia de un cociente de igual base.

Este es el primer término del cociente

Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, a estos productos se les cambia el signo y se ordenan debajo del dividendo según el exponente de la variable.

Estos productos se resta del dividendo

Se repite todo el procedimiento considerando que ahora el primer término del nuevo dividendo es 8x4

12

Continuamos ahora dividiendo los demás términos

El cociente de la división es :

Y el residuo: (como el grado de este residuo es inferior al del divisor, no se puede continuar dividiendo por lo que la división es inexacta)

Ejercicios propuestos:

1-

2-

3-

4-

5- ¿Cuál debe ser el valor de a, b y c para que se cumpla la siguiente igualdad?

Objetivo: 1. Identificar tipos de factorizaciones. 2. Factorizar expresiones algebraicas.

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:

1) 3a2b2 + 15ab2 – 45ab3 =

2) x2 - xy + xz - xz2 =

3) y2 – y – 30 =

4) x2 + 5x – 24 =

5) 4x2 –12xy + 9y2 =

6) 25x4 – 25y4 =

7) 0,09 – 4x2 =

13

8) 21ax + 35ay + 20y + 12x =

9) b4 - b3 =

10) (a + 1 )(a - 1 ) - x ( a - 1 )

11) 3m2 - 7m - 20 =

12) 8y2 - 18 =

13) x3 - 125=

14)ac - a - bc + b + c2 - c =

15) 22

3649

259 ba

16) x3 –3x2y + 3xy2 – y3 =

17)35a2b2 + 15ab2 – 45ab =

18)x2 - xy + xz - yz =

19)y2 +11 y + 30 =

20)27x3 – 125=

GUIA DE APRENDIZAJE

Recordemos algunas definiciones básicas para nuestro trabajo algebraico.

Expresión Algebraica: Conjunto de cantidades expresadas con letras y números unidos entre sí por operaciones. Ejemplos:a) 4ax – 7y b) –5a2b3 c) a + b – c + d

Término: Expresión algebraica conformada exclusivamente por productos y/o cuocientes.Ejemplo: 2mn3

En un término hay que distinguir el factor numérico y el factor literal.El factor numérico (o coeficiente) que indica las veces que el factor literal se repite como sumando.En el término 2m2 el coeficiente es 2. En el término –5ab el coeficiente es –5.El factor literal, que es la letra con su exponente.En el término 4a3 el factor literal es a3 En el término 7a2b4 el factor literal es a2b4

Grado de un término algebraico: Corresponde a la suma de los exponentes de la parte literal. Ejemplo: El grado de –3x2yz3 es 6 que resulta de sumar los exponentes 2 + 1 + 3.

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Clasificación de las expresiones Algebraicas: las expresiones Algebraicas se clasifican de acuerdo al número de términos que la componen en:

a) Monomio: Expresión algebraica de un solo término.Ejemplos:a) 7k b) –0,5xy

b) Polinomio: Es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes. Ejemplos:a) -7x2 + 4x – 5xyb) 6x4 - 5x3 + x2 + 4x + 9

De acuerdo a la cantidad de sumando, el polinomio recibe otras denominaciones:

c) Binomio: Polinomio que consta de dos términos.Ejemplos: a) 5x2y + 2x2y3

b) -4x + 3y

d) Trinomio: Polinomio que consta de tres términos. Ejemplos: a) 5x + 6y + 3zb) –1 + ab + 3a2b

Evaluación de expresiones algebraicasEvaluar o valorar una expresión algebraica significa asignar un valor a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.

Ejemplo:Valoremos la expresión 4x2y – 5xy2 - xy, considerando que x = -1 e y = 2.

4x2y – 5xy2 – xy = 4·(-1)2·2 - 5·(-1) ·22 – (-1) ·2 = 4·1·2 - 5·(-1) ·4 – (-1) ·2 = 8 + 20 + 2 = 30

Términos semejantesDos términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal.Ejemplos:a) 4m y –2m son términos semejantesb) pq y p2q NO son términos semejantes

Adición de términos algebraicosPara sumar dos o más términos algebraicos, éstos deben ser términos semejantesEjemplos:1. 8x – 4x + 3x – x = 6x2. –2ab + 6ab + 4ab – 8ab – ab = - ab 3. x2y + 5 x2y – 2x2y = 4x2y

Eliminación de paréntesisTenemos dos situaciones: que al paréntesis lo anteceda un signo positivo o un signo negativo.Si es positivo, no varían los términos al eliminar el paréntesis. Si es negativo, los términos cambian al signo opuesto que tenía.

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Ejemplos: a) a + (b + c) = a + b + cb) a – (b + c) = a – b – c c) x + (y + z) – (x – y + z) = x + y + z – x + y – z = 2y

PRODUCTOS ALGEBRAICOS Y FACTORIZACIÓN

Multiplicación de términos algebraicos:Se debe multiplicar cada término del primer factor por cada término del otro factor, considerando en la parte literal la regla correspondiente a la multiplicación de potencias de igual base, y luego reducir los términos semejantes, si los hay.Ejemplos:1. 5xy2 · -7x3y2 =

2. 2xy·(-5x + 4y – 3xy) =

3. (3x – 2y)(4x + 5y)=

4. (2a – 5b)(a – 2b + 5ab – 7) =

En los productos algebraicos existen algunos casos que pueden ser resuelto a través de una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Éstos productos reciben el nombre de productos notables.

Cuadrado del Binomio:Corresponde al producto de un binomio por sí mismo. Multipliquemos (a + b)(a + b) que puede expresarse como (a + b)2 y luego (a - b)(a - b) que puede expresarse como (a - b)2

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2

En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo.Luego podemos enunciar que:

“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término”

La estructura que representa esta fórmula es:

Donde representa al primer término del binomio y al segundo.

Ejemplos:a) (x + 7)2 = x2 + 2·x·7 + 72 = x2 + 14x + 49b) (2a – 3b)2 = (2a)2 - 2·2a·3b + (3b)2 = 4a2 – 12ab + 9b2

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Suma por DiferenciaCorresponde al producto de la suma de dos términos por su diferencia.Multipliquemos la suma de (a + b) por su diferencia, o sea (a – b)

(a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2

Podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:

Es decir, “El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo”

Ejemplos:a) (2x + 5y)(2x – 5y) = (2x)2 – (5y)2 = 4x2 – 25y2

b) (7m2 + 5n3)(7m2 – 5n3) = (7m2)2 – (5n3)2 = 49m4 – 25n6

Multiplicación de Binomios con un Término ComúnEste producto notable corresponde a la multiplicación de binomios (x + a) por (x + b), siendo el término común “a”.

Desarrollemos 2 ejemplos para extraer una conclusión.

(x + 5)(x + 3) = x2 + 3x + 5x + 15 = x2 + 8x + 15Observa que 5 + 3 = 8 y que 5·3 = 15

(x – 7)(x + 2) = x2 + 2x – 7x – 14 = x2 – 5x - 14Observa que –7 + 2 = -5 y que -7·2 = -14

La estructura formada en los ejemplos anteriores es la siguiente:

Concluimos entonces que

“El producto de binomios con un término común es igual al cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos”

Ejemplos:a) (x + 6)(x + 12) = x2 + (6 + 12)x + 6·12 = x2 + 18 x + 72b) (a + 7)(a – 3) = a2 + (7 – 3)a + 7·-3 = a2 + 4a – 21

FACTORIZACIÓN

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Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

Factorizar un polinomio cuyos términos tienen un factor común.

Sabemos que m( x - y + z ) = mx - my + mz.

Luego, factorizar este último polinomio es simplemente proceder a la inversa, buscando el factor común. O sea mx - my + mz = m( x - y + z ).

Ejemplos: Factorizara) 6ab2 – 18a2b3 = 6ab2(1 – 3b)b) 5a2bx4 - 15ab2x3 - 20ab3x4 = 5abx3(ax - 3b - 4b2x ). Factorizar un trinomio cuadrado perfecto .

Sabemos que (a b)2 = a2 2ab + b2.

Luego, se tendrá inversamente que a2 2ab + b2=(a b)2.

Ejemplos: Factorizara) x2 – 10x + 25 = (x – 5)2

b) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2

Factorización de la diferencia de dos cuadrados . Sabemos que (a + b)(a - b) = a2 - b2.

Luego, se tendrá inversamente que: a2 - b2 = (a + b)(a - b).

Ejemplos: Factorizara) 9a2 - 16b2 = (3a)2 - (4b)2 = (3a + 4b)(3a - 4b).b) 4x2 – 0,01 = (2x)2 – (0,1)2 = (2x + 0,1)(2x – 0,1)

Factorizar un trinomio de la forma x 2 + mx + n . Sabemos que (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab.

Luego, se tendrá inversamente que: x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

Ejemplos: Factorizara) x2 + 7x + 12 = x2 + (4 + 3)x + 4·3 = (x + 4)(x + 3)b) x2 + 5x – 14 = x2 + (7 – 2)x - 7·-2 = (x + 7)(x – 2)

GUIA DE EJERCICIOS 1

Objetivos: Deberása) Expresar el valor numérico de una expresión algebraica que resulta al sustituir los factores literales por valores numéricos y luego efectuar las operaciones indicadas.

I) Encuentra el valor de cada uno de los siguientes términos:

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1) k2 ; si k= 5 ............................................ 2) n3 ; si n=10 ............................................

3) a1 ; si a= 150 ............................................ 4) 2w2 ; si w=6 ............................................

5) (a + 3)2 si a=5 ............................................ 6) (5 + a)3 ; si a= -1 ............................................

II) Si a=1 ; b= -1 ; c=2 ; d= ½ ; e=0 , determine el valor de cada una de las siguientes expresiones:

7) a+ b = ....................................... 8) 2a - b + c =.......................................

9) (a + b) * c = ....................................... 10) (c+d)*e +ab =.......................................

11) (a-b)2 + (c-d)2 =.......................................12) d2 - ea - b =.......................................

13) a + d =....................................... 14) a + a - c=....................................... b c b

15) a + d =....................................... 16) ( a + b-c)2 =....................................... d c

III) Evalúa cada una de las siguientes expresiones:

17) Area de un cuadrado: Ac Ac =a2 , si a vale 15 cms.

18) Volumen de un cubo: Vc

Vc = a3 , si a vale 15 cms.

19) Volumen de una esfera: 4 r 3 si = 3,14 y r=24cms. 3

20) Energía Cinética = mv 2 Si m=5grs. y v= 10cms/seg 2

21) Volumen de un cilindro r2h ; SI = 3,14 ; r= 1,2 cms. y h=26cms.

22) Calcule el perímetro de unrectángulo de lados a= 4,2 m y b= 2,3 m

23) Completa el siguiente cuadro:

A b c a + b - c a2 - bc 2a -3b2

19

1 -2 3

5 0 -1

½ -4 -2

2/3 1 1/8

-2 3 1

0 1 -2

½ 1 1/4

0 -1 -1

GUIA DE EJERCICIOS 2

1. Resuelve:

1. (x + 5)²= 11. (6x - 8y)² =

2. (x - 7)² = 12. (0,2x – 3)² =

3. (a + 1)² = 13. (5a - 0,3)² =

4. (m + 21)²= 14. ( x – 5)²

5. (x - 2)² = 15. =

6.(x – 18)² = _ _ 16. ( 0,7 a + 0,2 b)2 =

7. (p + 5q)² = 17. ( x – y) 2 =

8. (x – 3y)² = 18. ( 0,3M -0, 5 N )2 =

9. (2x + 6)² = 19. ( 8m – ½ n )2 =10. (3x - 5)² =

20

20. ( 2 mn + 6m2n2 )2 =

II.- Calcula las siguientes sumas por diferencia:

a) (a + 3)(a - 3)=

b) (x + 7)(x - 7)=

c) (m - 12)(m + 12)=

d) (y + 27)(y - 27)=

e) (2a - 6)(2a + 6)=

f) (3x - 4y)(3x + 4y)=

g) (4mn + 7pq)(4mn - 7pq)=

h) (a2 + b2)(a2 - b2)=

i) (5x2 - 8y2)(5x2 + 8y2)=

j) (0,4p + 1,2q)(0,4p - 1,2q)=

k) (2/5 m + 3/4 n)(2/5 m + 3/4 n)=

l) (1 - 3/8 a)(1 + 3/8 a)=

III.-  Desarrolla los siguientes productos:  

a) (a + 3)(a + 7)=

b) (x + 8)(x - 5)=

c) (m - 9)(m - 3) =

d) (2x + 5)(2x + 4) =

e) (7m - 6)(7m + 1) =

f) (m2 + 8)(m2 – 2) =

21

g) (8 + a)(5 + a) =

h) (-6 + x)(3 + x) =

GUIA DE TRABAJO 3Identifica de que producto notable proviene cada expresión:1) 6x – 12 =……(……-……) 2)……(……-……) =24a + 12ab

3) 4x – 8y = ……(……-……) 4) ……(……-……)= 10x - 15x2

5) ……(……-……)= 14m2n + 7mn 6) 6x4 - 30x3 + 2x2 )= ……(……-……+……..)

7) 4m2 + 20 am = ……(……+……) 8) 4a3bx + 4bx = ……(……+……)

9)(………+………..) 2 = m2 - 2m + 1 10) x2 + 26x + 25 =(……….+……….)(……….+……….)

11) (………+………..) 2 =y2 - 10y + 25 12) 4c2 – 20cd + 25d2= (………- ………..) 2

13) (………+………..) 2 = y2 + 6y + 9 14) (……… + ……..) 2 = h2 + 4h + 4

15) (………- ………..) 2 = 9a2 - 12 ab + 4b2 16) (……… - ………..) 2 =4x2 – 20xy + 25y2

17) (………- ………..) 2 = 49x2 - 14x + 1 18) 16m2 - 40mn + 25n2= (………-………..) 2

19) (………- ………)(………+ ……)= y2 - 4 20) (………..+…………)(…………- …………)=4x2 - 9

21) (………- ………)(………+ ……)= a2 - 1 22) (………..- ………)(………+ ..……)= m2 - 25

23) 49x2 - 36y2= (………+ ………)(………- ……)

24) (………+ ………)(………- ……)=121p2 - 400q2

25) (………- ………)(………+ ……)=16a2b2 - 49

26) (………- ………)(………+ ……)= m2n4 - x8

27) (………+ ………)(………- ……)=¼ - x4 28 (………- ………)(………+ ……) =) n 2 - 4a 2 y2 9x2

29)……………………………….= 2ab + 4a2b - 6ab2

30)…………………………………….= b2 - 3b – 28

31)……………………20xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2

32)…………………………………….= z2 + 6z + 8

33)…………………………..=5a + 25ab = 34)…………………………..= bx + bx2 –bx3

35) …………………………….=4 - 12y + 9y2 36) …………………………=a2x2 - b4y4

37) ………………………………=x2 - x + ¼ 38) ……………………………………..=x2 + 4x

22

+ 4 39)……………………………………=36m2 - 12mn + n2

40)……………………………………= 4a2 - 12ab + 9b2

II. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas. 1) 6x - 6y = 18) + =

2) 9a + 9b =

19) x2 + 9x + 18 =

3) 5x – 5 = 20) m2 - 3m – 10=

4)18m – 12 = 21) x2 - 5x + 6=

5) 48x + 60 = 22) x2 - x – 30=

6) 8x + 16y - 32z= 23) x2 – 25=

7) 18a + 27b - 45c= 24) m2 – 144=

8) ax – ay = 25) 9 - x2 =

9) xy – x = 26) x2 - 14x + 49=

10) m2 – m = 27) p2 + 12pq + 36q2=

11) x -  x2 = 28) x2 - 2xy + y2 =

12) 8a2 + ab= 29) 25x2 - 49y2 =

13) 4x2 + xy - 2x = 30) 9/16 x2 - 81/4y2 =

14) 6ab - 12a + 8ac = 31) x2 -3x + 2=

15) 12xy2 - 42x2y + 54xy = 32) 12x2 - x – 6=

16) xy2 - x2y + x2y2 = 33) 4x2 + 12x + 9=

17) 0,16ª + 0,8b = 34) 0,7p - 0,7 =

GUIA DE TRABAJO 4FACTOR COMUN MONOMIO1) …(………….) = 4x + 20 2) …(………….) =4x - 16y

3) ……(………….) = 48a - 24ab 4) …(………….) =20x - 25x2

5) ……(………….) = 49x2y + 7xy 6) ……(………….) =8x4 - 24x3 + 32x2

7) ……(………….) =4m2 - 20 am 8) ……(………….) =18a3by - 6by

9) ……(………….) = 12n3 – 6m2 10) ……(………….) =7m – 21n + 42

23

11) ……(………….) = ax + bx 12) ……(………….) ==y2 – y

13) ……(………….) =3ab + 30ac - 27ad 14) ……(………….) =40a – 24ay + 8az

15) ……(………….) =5a2y – 15ay2 + 25ay 16) ……(………….) =6x2n + 12x3n2 – 30x4n3

TRINOMIO ORDENADO PERFECTO: Factorización como cuadrado de binomioEjercicios: Los siguientes polinomios ¿son trinomios ordenados perfectos?

1)(….………)2 = 4m2 - 8m + 4 2) (….………)2 =x2 + 10x + 25

3) (….………)2 =y2 - 10y + 25 4) (….………)2 = 4c2 - 20cd + 25d2

5) (….………)2 =y2 + 6y + 9 6) (….………)2 = h2 + 4h + 8

7) (….………)2 =9a2 - 12 ab + 4b2 8) (….………)2 = 4x2 - 20xy + 25y2

9) (….………)2 =49x2 - 14x + 1 10) (….………)2 =16m2 - 30mn + 25n2

v) DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS: Suma por diferenciaEJERCICIOS: Escribe como suma por diferencia:

1)(……..)(……….)= 4y2 - 1 2) (……..)(……….)= 16x2 - 9

3) (……..)(……….)= 25a2 - 1 4) (……..)(……….)= 49m2 - 25

5) (……..)(……….)= x2 - 36y2 6) (……..)(……….)= 144p2 - 900q2

7) (……..)(……….)= 81a2b2 - 100 8) (……..)(……….)= m2n4 – x12

9) (……..)(……….)= 25n 2 - 4a 2 10) (……..)(……….)= ¼ - 25x8 16y2 9x2

EJERCICIOS DIVERSOS: Factoriza:1) 2ab + 4a2b - 6ab2 = 2) 20xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =

3) b2 - 3b - 28 = 4)z2 + 6z + 8 =

5) 5a + 25ab = 6) bx - ab + x2 - ax=

7) 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab = 8) ax + ay + x + y =

9) 8x2 - 128 = 10) 4 - 12y + 9y2 =

11) x4 - y2 = 12) a2x2 - b4y4 =

13) x2 + 2x + 1 - y2 = 14) x2 - y2 - 4x + 4 =

15) a2 - x2 + 2xy - y2 = 16) ( a + b)2 - ( c+d)2 =

24

17) a2 + 2ab + b2 - c2 + 2cd - d2 = 18) (a + 3)2 - (3a - 6)2 =

19) x3 + x2 + x + 1 = 20) 3a4 + a3 + 15a + 5 =

21) x2 + 4x + 4 = 22) a2 + 12ab + 36b2 =

23) 9x2 + 24xy + 16y2 = 24) 36m2 - 12mn + n2 =

25) 4a2 - 12ab + 9b2 = 26) x2 - x + ¼ =

27) a( x+1) + b(x+1) = 28) x(2a+b) + p(2a + b)=

29)x2 ( p + q) + y2 ( p + q) = 30) 1 - x + 5 ( 1 - x) =

31) a ( 2 + x ) - 2 - x = 32) a2 + 1 - b ( a2 + 1 ) =

33) ( x + y)( n + 1 ) - 3 ( n + 1 ) = 34) ( a + 1 ) ( a - 1 ) - 2 ( a + 1)=

35) a( a + b) - b ( a + b) = 36) ( 2x + 3) ( 3 - r ) - (2x -r) (3 -r)=

37) a + ab + ax + bx = 38) ab + 3a + 2b + 6 =

39) ab - 2a - 5b + 10= 40) 2ab + 2a - b - 1 =

41) 3x2 - 3bx + xy - by = 42) 6ab + 4a - 15b - 10=

43) sm - bm + sn - bn = 44) 3x3 - 9ax2 - x + 3a =

45) 3a - b2 + 2b2x - 6ax = 46) a3 + a2 + a + 1=

Cuestiones de Geometría39. Un rectángulo tiene un perímetro de 392 metros. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide 52 metros más de largo que de ancho.

40. Un rectángulo mide 40 m2 de área y 26 metros de perímetro. Calcula sus dimensiones.

41. El perímetro de un rectángulo mide 36 metros. Si se aumenta en 2 metros su base y se disminuye en 3 metros su altura el área no cambia. Calcula las dimensiones del rectángulo.

42. Calcula las dimensiones de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5 metros y se disminuye la altura en otros 5 la superficie no varía; pero si se aumenta la base en 5 y disminuye la altura en 4, la superficie aumenta en 4 metros cuadrados.

43. El área de un triángulo rectángulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos?

44. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18º mayor que el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo del triángulo?

45. La altura de un trapecio isósceles mide 4 cm, la suma de las bases es de 14 cm, y los lados oblicuos miden 5 cm. Averigua las bases del trapecio.

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46. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m2. Calcula los catetos.

47. La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 m. Si a las dos las aumentamos en 2 m el área aumenta en 16 m2. Calcula las longitudes de las diagonales, el perímetro y el área de dicho rombo.

48. Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm, respectivamente, y los no paralelos 13 y 20 cm. Calcula la altura del trapecio.

DESARROLLE LOS PROBLEMAS Y ENTREGUELOS EN HOJA DE EXAMEN EN UNA FECHA POR DETERMINAR

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