Guía de Ejercicios 1_Álgebra II
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8/19/2019 Guía de Ejercicios 1_Álgebra II http://slidepdf.com/reader/full/guia-de-ejercicios-1algebra-ii 1/7 GUÍA DE EJERCICIOS Nº 1 UNIDAD I_LÓGICA Y CONJUNTOS 1. Si p, q y r son proposiciones, encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas: a) (p⇒q) ^ (p∨q), si p es verdadera y q es falsa b) (q ⇔ r) ⇒ [p ^ ¬q ^ r] si p es verdadera, q es verdadera y r es falsa . Sean p, q y r proposiciones, tales que p es !erdadera, q es falsa y r una proposici"n cualquiera. #eterminar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) (p ⇒ q) ^ (p ∨ q) b) (p ⇒ r) ⇔ (q ∨ r) c) (p ⇒ r) ⇔ (q ⇒ p) $. %&ara que valores de p y q la siguiente proposici"n es falsa' p ⇒ (q ∨ p) . Sean p y q proposiciones, tales que p ⇒ q es una proposici"n falsa. #etermine el valor de verdad de la proposici"n (p ∨ q) ⇔ (q ^ p) . *ealice la tabla de verdad para las siguientes proposiciones a) (p ∨ q) ⇔ [ (p ∨ q) ^ ∼ (p ^ q)] b) ∼ (p ⇔ q) ⇔ (∼p ⇔ q) c) (p ^ q) ⇔ [q ∨ (∼q ^ p)] d) [p ⇒ (q ∨ p)] ^ [p ⇒ (p ∨ q)] e) [p ^ (∼q ⇒ p)] ^ [(∼q ⇔ p) ⇒ (p ⇒ q)] f) [p ⇒ (q ^ ∼r)] ∨ (q ⇔ p) g) [p ⇒ (q ∨ r)] ^ [r ⇒ (q ∨ r)] +) (p ∨ q) ⇔ (p ∨ q) ^ ∼ (p ^ q) i) ∼ (p ⇔ q) ⇔ (∼p ⇔ q) ) (p ^ q) ⇔ (q ∨ (∼q ^ p)) -) [p ⇒ (q ∨ p)] ^ [p ⇒ (p ∨ q)] . /on p, q y r proposiciones, determinar si las siguientes proposiciones son tautolog0as, contradicci"n o contingencia. a) p ⇒ (q ^ p) b) [p ^ (q ∨ r)] ⇒ [(p ^ q) ∨ r] c) [(p ⇒ r) ^ (r ⇒ p)] ⇒ [q ⇔ r] d) [r ⇒ ∼ (p ^ q)] ∨ [p ⇒ ∼ (r ∨ p)] e) [p ⇒ (q ^ r ^ s)] ∨ [(q ^ p) ⇔ r] f) [(p ⇒ (q ⇒ ∼u)) ∨ (∼s ⇒ p)] ∨ u2 ⇒ [(s ∨ u) ⇒ (s ∨ u)] g) [(p ⇒ q) ^ s] ⇔ [(p ^ s) ∨ (q ^ s)] 1
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8/19/2019 Guía de Ejercicios 1_Álgebra II
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GUÍA DE EJERCICIOS Nº 1UNIDAD I_LÓGICA Y CONJUNTOS
1. Si p, q y r son proposiciones, encuentre el valor de verdad de las siguientesproposiciones compuestas:
a) (p⇒q) ^ (p∨q), si p es verdadera y q es falsab) (q ⇔ r) ⇒ [p ^ ¬q ^ r] si p es verdadera, q es verdadera y r es falsa
. Sean p, q y r proposiciones, tales que p es !erdadera, q es falsa y r unaproposici"n cualquiera. #eterminar el valor de verdad de las siguientesproposiciones:
a) (p ⇒ q) ^ (p ∨ q)b) (p ⇒ r) ⇔ (q ∨ r)c) (p ⇒ r) ⇔ (q ⇒ p)
$. %&ara que valores de p y q la siguiente proposici"n es falsa'
p ⇒ (q ∨ p)
. Sean p y q proposiciones, tales que p ⇒ q es una proposici"n falsa. #etermine elvalor de verdad de la proposici"n (p ∨ q) ⇔ (q ^ p)
. *ealice la tabla de verdad para las siguientes proposiciones
a) (p ∨ q) ⇔ [ (p ∨ q) ^ ∼ (p ^ q)]b) ∼ (p ⇔ q) ⇔ (∼p ⇔ q)c) (p ^ q) ⇔ [q ∨ (∼q ^ p)]d) [p ⇒ (q ∨ p)] ^ [p ⇒ (p ∨ q)]e) [p ^ (∼q ⇒ p)] ^ [(∼q ⇔ p) ⇒ (p ⇒ q)]f) [p ⇒ (q ^ ∼r)] ∨ (q ⇔ p)g) [p ⇒ (q ∨ r)] ^ [r ⇒ (q ∨ r)]+) (p ∨ q) ⇔ (p ∨ q) ^ ∼ (p ^ q)i) ∼ (p ⇔ q) ⇔ (∼p ⇔ q)
) (p ^ q) ⇔ (q ∨ (∼q ^ p))-) [p ⇒ (q ∨ p)] ^ [p ⇒ (p ∨ q)]
. /on p, q y r proposiciones, determinar si las siguientes proposiciones son
tautolog0as, contradicci"n o contingencia.
a) p ⇒ (q ^ p)b) [p ^ (q ∨ r)] ⇒ [(p ^ q) ∨ r]c) [(p ⇒ r) ^ (r ⇒ p)] ⇒ [q ⇔ r]d) [r ⇒ ∼ (p ^ q)] ∨ [p ⇒ ∼ (r ∨ p)]e) [p ⇒ (q ^ r ^ s)] ∨ [(q ^ p) ⇔ r]f) [(p ⇒ (q ⇒ ∼u)) ∨ (∼s ⇒ p)] ∨ u2 ⇒ [(s ∨ u) ⇒ (s ∨ u)]g) [(p ⇒ q) ^ s] ⇔ [(p ^ s) ∨ (q ^ s)]
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. #eterminar el valor de verdad de [(p ⇒ q) ⇒ r] ⇒ [(r ⇒ p) ⇒ (s ⇒ p)] sabiendoque 3r3 es una proposici"n verdadera y 3s3 una proposici"n falsa.
4tros para el :
(l) [p ^ (¬q ⇒ p)] ^ [(¬q ⇔ p) ⇒ (p ⇒ q)](m) [(r ⇒ s) ^ ¬(s ∨ r)] ⇒ ¬[r ∨ (s ^ t)](n) [(p ⇒ s) ∨ t] ⇒ [(¬p ⇒ (t ⇒ s))]
&ara el :d) [r ⇒ ¬(p ^ q)] ∨ [p ⇒ ¬(r ∨ p)]f) [(p ⇒ (q ⇒ ¬u)) ∨ (¬s ⇒ p)] ∨ u2 ⇒ [(s ∨ u) ⇒ (s ∨ u)]
5. /onsidere el conectivo l6gico , de7nido por la siguiente tabla de verdad:p q p8q! ! 9! 9 !9 ! !9 9 !#etermine si la siguiente proposici6n es una tautologa
[(p ⇒ q) ∨ q] ⇔ [(p ^ ¬q) 8 ¬q]
;. Si la siguiente proposici"n (q ^ p) <) (r = s) es falsa, determine el valor deverdad de las siguientes proposiciones
a) +(r <) s) ^ (p = r)i() [r > (q ^ p)]b) [(s ^ q) () q] <) [(r > p) > q]
1?. Sean p@ q@ r@ s proposiciones. Se sabe que 3s3 es verdadera y que s <) [(p <)q) ^ (p <) r)] es verdadera. &robar que q = r es verdadera
11. #etermine el valor de verdad de las proposiciones p@ q@ r@ s sabiendo que la
proposici6n [s <) (r = r)] <) +(p <) q) ^ s ^ ries verdadera.
1. Al conectivo B es la conunci6n negativa@ p B q se lee 3ni p ni q3(a) /onstruir la tabla de verdad para p B q(b) #emuestre las siguientes igualdadesi. p p B pii. p ^ q (p B p) B (q B q)iii. p = q (p B q) B (p B q)
1$. #emuestre sin tabla de verdad que las siguientes proposiciones son unatautologa(a) p <) (p = q)
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(b) (p <) r) <) [(p ^ q) <) r](c) [(p () q) ^ (q () r)] <) (p () r)(d) [(p <) q) ^ (r <) q)] <) (p <) r)(e) [p <) (q <) r)] <) [(p <) q) <) (p <) r)](f) (p <) q) <) [(p ^ r) <) (q ^ r)](g) [(p <) q) ^ (r <) s)] <) [(p ^ r) <) (q ^ s)]
1. Simpli7que las siguientes proposiciones(a)
p = q
^ p(b) [p = (q () p)] <) q(c) (p <) q) = [p ^ (q = r)](d) [(p <) q) ^ (q <) p)] <) p(e) [(p <) q) ^ (r = q) ^ r] <) p(f) [(p <) q) <) q] <) (p = q)
(g)+(p <) q) ^ (p ^ q)i
= [s <) (p = s)](+) (p <) r) <) [(p <) r) <) (p = (q <) r))](i) [((p ^ r) <) (q ^ r)) ^ (p = q)] = [r <) (q = p)]() [p ^ s] <) [p = (p ^ s ^ t ^ r)](-)+(p = r) ^ ri
= [q = (p ^ q)](l) [(p <) q) = r] <) (q <) p)(m) [(p <) q) ^ (t <) n)] <) [(p ^ t) ^ (q <) n)](n) [(p <) q) ^ (p = q)] ^ p(o)+(p <) q) <) qi^+q <) (p = q)i(p) r <) [(r = p) ^ (p <) (q ^ r))]1. ACprese (p ^ q) = (r = t) utiliDando s6lo los conectivos 33y 3 <) 3
1. Se de7ne el conectivo (pq) () p = q: Ascriba usando el conectivo
, prposiciones equivalentes a lassiguientes:(a) p(b) p = q(c) p ^ q
1E. Si p ^ q ^ r 9: #emuestre que la proposici6n mFs simpli7cada de [(p = q) ^ (q = r)] <) (r ^ p) es la
proposici6n p = q = r
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15. #ada la siguiente proposici6n (p q) () (p <) q) : Simpli7que las siguientesproposiciones(a) (p q) p(b) q (p q)
1;. Si p q () [(p <) q) ^ p] Simpli7que la siguiente proposici6n: [p <) (p q)] ^ (p
q)
?. Sea p q () p ^ q(a) #etermine si p q ()+(q p) ^ qi$(b) Simpli7que al mFCimo (p q) <) [(p = q) p]
1. Ascriba las siguientes proposiciones l6gicas, de manera equivalente, s6loutiliDando los conectivos de laimplicaci6n y la negaci6n:
(a) p = q(b) [(p ^ q) <) r] () (r ^ q)(c) (p ^ q) ^ (p = r)
. Se sabe que:Si #iego no es estudiante de la G.!. o &ablo es estudiante de la G.!., entonces &abloes estudiante dela &G/!.Si #iego es estudiante de la G.!. y &ablo no es estudiante de la &G!/., entonces&ablo es estudiantede la G.!HAn que universidad estudia &ablo'
&<#iego es estudiante de la G!I<pablo es estudiante de la G!*<pablo es estudiante de la puc!(pJvq)⇒r(p y rJ) ⇒q
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SOLUCIONES:
1. (a). 9 (b). !. (a) 9 (b) ! (c) depende de r$. p < 9 q < 9
. !erdadera. 9alsa. *ealice la tabla de verdad para las siguientes proposicionesE. /ontingencia(b) [p ^ (q = r)] <) [(p ^ q) = r](c) [(p <) r) ^ (r <) p)] <) [q () r](d)+r <) (p ^ q)i
=+
p <) (r = p)i(e) [p <) (q ^ r ^ s)] > [(q ^ p) () r](f) f[(p <) (q <) u)) = (s <) p)] = ug <) [(s = u) <) (s = u)](g) [(p <) q) ^ s] () [(p ^ s) = (q ^ s)]5. /onsidere el conectivo l6gico , de7nido por la siguiente tabla de verdad:p q p8q! ! 9! 9 !9 ! !9 9 !#etermine si la siguiente proposici6n es una tautologa
[(p <) q) = q] () [(p ̂ q) q]Soluci6n: As tautologa;. Si la siguiente proposici6n (q ^ p) <) (r = s) es falsa, determine el valor deverdad de las siguientesproposiciones(a)+(r <) s) ^ (p = r)i() [r > (q ^ p)](b) [(s ^ q) () q] <) [(r > p) > q]Soluci6n: (a) ! (b) 91?. Sean p@ q@ r@ s proposiciones. Se sabe que 3s3 es verdadera y que s <) [(p <)q) ^ (p <) r)] es verKdadera.&robar que q = r es verdadera11. #etermine el valor de verdad de las proposiciones p@ q@ r@ s sabiendo que laproposici6n [s <) (r = r)] <) +(p <) q) ^ s ^ ries verdadera.Soluci6n:p < ! q < 9 r < 9 s < !1. Al conectivo B es la conunci6n negativa@ p B q se lee 3ni p ni q3(a) /onstruir la tabla de verdad para p B q(b) #emuestre las siguientes igualdades
i. p p B pii. p ^ q (p B p) B (q B q)
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iii. p = q (p B q) B (p B q)1$. #emuestre sin tabla de verdad que las siguientes proposiciones son unatautologa(a) p <) (p = q)(b) (p <) r) <) [(p ^ q) <) r](c) [(p () q) ^ (q () r)] <) (p () r)
(d) [(p <) q) ^ (r <) q)] <) (p <) r)(e) [p <) (q <) r)] <) [(p <) q) <) (p <) r)](f) (p <) q) <) [(p ^ r) <) (q ^ r)](g) [(p <) q) ^ (r <) s)] <) [(p ^ r) <) (q ^ s)]1. Simpli7que las siguientes proposiciones(a)
p = q
^ p(b) [p = (q () p)] <) q(c) (p <) q) = [p ^ (q = r)]
(d) [(p <) q) ^ (q <) p)] <) p(e) [(p <) q) ^ (r = q) ^ r] <) p(f) [(p <) q) <) q] <) (p = q)(g)+(p <) q) ^ (p ^ q)i
= [s <) (p = s)](+) (p <) r) <) [(p <) r) <) (p = (q <) r))](i) [((p ^ r) <) (q ^ r)) ^ (p = q)] = [r <) (q = p)]() [p ^ s] <) [p = (p ^ s ^ t ^ r)](-)
+(p = r) ^ ri
= [q = (p ^ q)](l) [(p <) q) = r] <) (q <) p)(m) [(p <) q) ^ (t <) n)] <) [(p ^ t) ^ (q <) n)](n) [(p <) q) ^ (p = q)] ^ p(o)+(p <) q) <) qi^+q <) (p = q)i(p) r <) [(r = p) ^ (p <) (q ^ r))]1. ACprese (p ^ q) = (r = t) utiliDando s6lo los conectivos 33y 3 <) 31. Se de7ne el conectivo (pq) () p = q: Ascriba usando el conectivo
, prposiciones equivalentes a lassiguientes:(a) p(b) p = q(c) p ^ q1E. Si p ^ q ^ r 9: #emuestre que la proposici6n mFs simpli7cada de [(p = q) ^ (q
= r)] <) (r ^ p) es laproposici6n p = q = r
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15. #ada la siguiente proposici6n (p q) () (p <) q) : Simpli7que las siguientesproposiciones(a) (p q) p(b) q (p q)1;. Si p q () [(p <) q) ^ p] Simpli7que la siguiente proposici6n: [p <) (p q)] ^ (pq)
?. Sea p q () p ^ q(a) #etermine si p q ()+(q p) ^ qi$(b) Simpli7que al mFCimo (p q) <) [(p = q) p]1. Ascriba las siguientes proposiciones l6gicas, de manera equivalente, s6loutiliDando los conectivos de laimplicaci6n y la negaci6n:(a) p = q(b) [(p ^ q) <) r] () (r ^ q)(c) (p ^ q) ^ (p = r)
. Se sabe que:Si #iego no es estudiante de la G.!. o &ablo es estudiante de la G.!., entonces &abloes estudiante dela &G/!.Si #iego es estudiante de la G.!. y &ablo no es estudiante de la &G!/., entonces&ablo es estudiantede la G.!HAn que universidad estudia &ablo'Soluci6n: &ablo estudia en &G/!
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