Universidad Tecnica Federico Santa Marıa MAT-270

Ayudantıa Lunes 13, Miercoles 15 y Viernes 17 de Abril

Aritmetica flotante y problemas bien condicionados. Ecuaciones algebraicas no lineales. Sistemas

algebraicos no lineales. Metodos de punto fijo de orden superior.

Problema 1

La amplitud de la solucion particular de la oscilacion forzada del sistema masa resorte:

my′′ + cy′ + ky = F0cos(ωt) (1)

esta dada por la formula:

C∗ =F0√

m2 (ω2 − ω20)

2+ ω2c2

(2)

en que ω20 = k

m define la frecuencia natural ω0 del sistema.

Se considerara el caso en que F0 = m = k = 1.

i) Utilizando las formulas en la sugerencia establecer los factores de condicionamiento respecto de ω y c.

ii) Establezca que el factor de condicionamiento respecto de c es, en valor absoluto, menor que 1.

iii) En el caso de valores pequenos de c el factor de condicionamiento respecto de ω es, en valor absoluto,

menor que 1 para valores de ω pequenos. No si los valores de ω son mayores que la frecuencia natural.

Para observar que esto tambien ocurre para valores menores que la frecuencia natural, calcular el factor

de condicionamiento respecto de ω para c = 0, 1; ω = 0, 95.

Sugerencia:

∂C∗

∂ω= −

2c2ω + 4ω(−1 + ω2

)2(c2ω2 + (−1 + ω2)

2) 3

2

(3)

∂C∗

∂c= − cω2(

c2ω2 + (−1 + ω2)2) 3

2

(4)

Problema 2

Considere el problema de calcular w = z(x, y) en z esta definida implıcitamente por la ecuacion:

xyz + sen2(z + x)− (π2 + 1) = 0 (5)

en torno del punto de coordenadas (x, y) =(π4 , 16

)donde z = π

4 .

i) Determinar los factores de condicionamiento del problema asociado al calculo de w con los datos x e y

tales que cos(x+ z) ≈ 0.

ii) Si los datos tienen un error relativo inferior al EPS = 5 · 10−3, ¿Cual es estimacion del error relativo de

w?

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Problema 3

Una flotilla naval de suministros se desplaza siguiendo la curva γ(t), −10 ≤ t ≤ 0 y tiene por objetivo llegar

a γ(0) = (0, 0) esto es, al origen O. Pero la flotilla se separa en un punto P (t0) de la ruta de modo que la

longitud PO por la curva es igual al camino recto PA, en que A(−2, 0) es un segundo objetivo. Una primera

estimacion de t0 es -1. Mejore esta estimacion.

Datos:

γ(t) = (t, t2) (6)

Y para t0 = −1 la longitd aproximada del arco PO es 1,479.

Sugerencia: La longitud entre dos puntos por la curva correspondiente a t1 < t2 es:

ˆ t2

t1

∥ γ′(t) ∥ dt (7)

Problema 4

Sea

L(x) =

ˆ x

0

δ(θ)dθ ; 0 ≤ θ ≤ 2π (8)

Se sabe que L(3) ≈ 4,9348. Se quiere resolver la ecuacion L(x)− π2

2 = 0. Sin embargo se sabe que el metodo

de Newton muestra convergencia lineal lo cual hace sospechar que se esta frente a un caso de raız multiple o de

tangencia.

Implementar el metodo de Newton recomendado para el caso de raız multiple o de tangencia sabiendo que:

δ(3) ≈ 0,1416 y δ′(3) ≈ −1 (9)

Problema 5

Considere la familia de trayectorias rs(t) =(s · t2, 2 · t · s

); 0 < t < 3 para 0,8 < s < 1,5 que forman un

haz saliendo desde el origen de coordenadas e impactando la circunferencia de centro (4, 4) y de radio 2. Las

longitudes de las trayectorias medidas desde el origen hasta el impacto son crecientes con s. Para s = 0,8 la

longitud de la trayectoria es 3,81 y para s = 1,5 es de 4,2.

Se sabe que para s = 1,0 el impacto ocurre mas o menos en t = 1,5 y la longitud de la trayectoria es 3,9.

Realizar una iteracion con un metodo localmente y al menos cuadraticamente convergente para lograr los

valores aproximados de (s, t) de modo que la longitud de la trayectoria sea 3,95.

Cite algun argumento para justificar que, en este caso, tiene convergencia cuadratica.

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