Guia Algebra

UTFSM - Departamento de Informática - Fundamentos de Informática I - 1 sem. de 2009 1

1. Cálculo proposicional1. Suponiendo que p y q son verdaderos y r y s son falsos, encuentre los valores de verdad

de las siguientes expresiones:

a) p ∨ (q ∧ r)

b) (p ∨ (q ∧ r)) ∨ ¬((p ∨ q) ∧ (r ∨ s))

c) (¬(p ∧ q) ∨ ¬r) ∨ (((¬p ∧ q) ∨ ¬r) ∧ s)

2. Las variables enteras m y n reciben los valores de 3 y 8 respectivamente durante laejecución de cierto programa en Pascal1. Este programa contiene las siguientes líneasde código sucesivas (o sea, los valores de m y n después de ejecutar un enunciadose convierten en los valores de entrada para el enunciado siguiente). ¾Cuáles son losvalores de m y n después de ejecutar cada uno de los enunciados?

a) if n-m = 5 then n := n-2;b) if ((2*m = n) and (n Div 4 = 1)) then n := 4*m-3;c) if ((n < 8) or (m Div 2 = 2)) then n := 2*m else m := 2*n ;d) if ((n < 20) and (m Div 6 = 1)) then m := m-n-5;e) if ((n = 2 * m) or (n Div 2 = 5)) then m := m+2;f ) if ((n Div 3 = 3) and (m Div 3 <> 1)) then m := n;g) if m * n <> 35 then n := 3*m+7;

3. Construir la tabla de verdad para cada una de las siguientes expresiones. Indique paracada expresión si es una tautología, una contradicción o una contingencia. Obtengapara cada una de ellas las expresiones lógicas más simples.

a) (p ∧ (p → q)) → q

b) (p → q) ↔ (¬p ∨ q))

c) ((p → q) ∨ (q → r)) → (p → r)

d) (p ↔ q) ↔ ((p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q))

e) (q ∧ (p → q)) → p

f ) ¬(p ∨ (q ∧ r)) ↔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))

4. Sea p la proposición 2 = 5. Si es posible, encuentre una proposición q tal que p ∨ q ↔p ∧ q sea verdadera. Si es posible, encuentre una proposición r tal que p ∨ r ↔ p ∧ rsea falsa.

5. Encuentre las tablas de verdad de (p ↔ q) → r y p ↔ (q → r). Encuentre proposicionesp, q, r tal que una de las proposiciones compuestas anteriores sea V y la otra F.

6. Traduzca en lenguaje de lógica la siguiente regulación utilizando las proposicionesdadas:Un empleado es elegible para unas vacaciones de tres semanas si: i) él o ella es unempleado temporal que no recibe pago adicional de vacaciones y que ha estado con la

1El operador Div es división entera.


compañía durante un año, o ii) si él o ella es un empleado permanente que ha estadoal menos seis meses en la compañía.P1: El empleado es elegible para unas vacaciones de tres semanas.P2: El empleado es un empleado temporal.P3: El empleado recibe paga de vacaciones.P4: El empleado ha estado en la compañía al menos durante un año.P5: El empleado es un empleado permanente.P6: El empleado ha estado en la compañía al menos seis meses.

7. Después de dejar un pastel recién horneado en la mesa de la cocina, la tía Natalia se fuede compras dejando a sus 4 sobrinos en la casa. Al regresar, ella descubre que alguiense comió la mitad del pastel e incluso dejó el plato sucio junto a la mitad restante.Puesto que no había nadie más en la casa aparte de los sobrinos, la tía interroga acada uno de ellos. Los cuatro �sospechosos� dicen lo siguiente:Carlos: Ximena se comió el pastel.Delia: Yo no me lo comí.Ximena: Toño se lo comió.Toño: Ximena mintió cuando dijo que yo me comí el pastel.

Si sólo una de estas proposiciones es verdadera, y sólo uno de ellos cometió el terriblecrimen, ¾quién es el culpable que la tía debe castigar severamente?

8. En un café se encontraron tres amigos: el escultor Blanco, el violinista Negro y el pintorRojo. �Es sorprendente que uno de nosotros tiene el cabello blanco, el otro negro yel tercero pelirrojo, pero ninguno tiene el cabello del color que indica su nombre,�dijo el pelinegro. �Tienes razón�, dijo Blanco. ¾De qué color es el cabello del pintor?Justi�que.

9. Refute y exprese cada una de las siguientes proposiciones en español.

a) Karina tendrá una buena educación si pone sus estudios antes que su interés enser estrella de cine.

b) Norma está haciendo su tarea de matemáticas y Claudia está practicando suslecciones de piano.

c) Si Lorenzo se va de vacaciones, entonces el se divertirá si no le preocupa viajaren avión.

d) Si Homero aprueba su curso de programación y termina su proyecto de estructurade datos, podrá tomar el curso de lenguajes de programación el próximo semestre.

10. Demuestre las siguientes equivalencias lógicas, especi�cando en cada paso la propiedad,equivalencia o razón para establecerla:

a) p ∨ (p ∧ (p ∨ q)) ↔ p

b) p ∨ q ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r) ↔ p ∨ q ∨ r

c) ((¬p ∨ ¬q) → (p ∧ q ∧ r)) ↔ p ∧ q

d) p ∧ ((¬q → (r ∧ r)) ∨ ¬(q ∨ ((r ∧ s) ∨ (r ∧ ¬s)))) ↔ p


11. Simpli�que las siguiente expresiones:

a) ((p ∧ ¬q) → (p ∨ r)) ↔ ((r ∨ q) → (p ∧ q))

b) (p → q) ↔ (p → r ∨ q)

c) (p ∨ q) ∧ (p ∨ (r ∧ s)) ∨ (p ∧ q ∧ s)

d) (¬(p ∧ q) ∨ ¬(¬p ∧ r) → ((p ∧ q) ↔ r) ∧ (¬p ∧ q ∧ r)

e) ((p → (q ∨ r)) → ¬(p → (¬q ∨ r))) ↔ ¬(p → r)

12. Una especi�cación es consistente, si existe una asignación de valores de la verdada las variables que hagan cada expresión verdadera. ¾Son consistentes las siguientesespeci�caciones?

a) Si el sistema de archivos no está bloqueado, entonces1) Nuevos mensajes se pondrán a la cola.2) Nuevos mensajes se mandarán al bu�er de mensajes.3) El sistema funciona normalmente y sin demoras.

b) Si los nuevos mensajes no son puestos en cola, entonces se mandan al bu�er delos mensajes.

c) Los nuevos mensajes no se mandarán al bu�er de los mensajes.

2. Cálculo de predicados1. Sean p(x), q(x) y r(x) las siguientes proposiciones abiertas: p(x) : x ≤ 3, q(x) : x + 1

es impar, r(x) : x > 0. El universo es el conjunto de los números enteros.

a) Determine los valores de la verdad de las siguiente proposiciones:1) p(3) ∨ (q(3) ∨ ¬r(3))2) (p(2) ∧ q(2)) → r(2)3) p(0) → (¬q(−1) ↔ r(1))4) (p(−1) ↔ q(−2)) ↔ r(−3))

b) Determine todos los valores de x para los cuales p(x) ∧ q(x) ∧ r(x) da comoresultado una proposición verdadera.

c) Encuentre los cinco enteros positivos más pequeños para los cuales la proposiciónabierta p(x) → (¬q(x) ∧ r(x)) da como resultado una proposición verdadera.

2. Para el universo de los enteros, sean p(x), q(x), r(x), s(x) y t(x) las siguientes propo-siciones:p(x): x > 0 s(x): x es (exactamente) divisible por 4q(x): x es par t(x): x es (exactamente) divisible por 5r(x): x es un cuadrado perfecto

a) Escriba las siguientes proposiciones en forma simbólica y determine, justi�cada-mente, su valor de verdad.1) Al menos un entero es par.2) Existe al menos un entero positivo que es par.


3) Si x es par, entonces x no es divisible por 5.4) Ningún entero par es divisible por 5.5) Existe al menos un entero par divisible por 5.6) Si x es par y es un cuadrado perfecto, entonces x es divisible por 4.

b) Exprese en palabras cada una de las siguientes representaciones simbólicas.1) ∀x (r(x) → p(x))2) ∀x (s(x) → q(x))3) ∀x (s(x) → ¬t(x))4) ∃x (s(x) ∧ q(x))5) ∀x (¬r(x) ∨ ¬q(x) ∨ s(x))

3. Dé un ejemplo de una interpretación que haga verdaderas ∀x p(x) y ∀x(q(x) → p(x))pero que no haga verdadera ∀x q(x).

4. En cada uno de los siguientes casos, decida si la equivalencia lógica expresada es verda-dera o no. En caso de que su respuesta sea negativa, indique si una de las implicacioneslógicas es correcta o si son ambas falsas. Justi�que sus respuestas.

a) ∀x (p(x) → q(x)) ↔ ∀x (p(x)) → ∀x (q(x))

b) ∃x (p(x) → q(x)) ↔ ∃x (p(x)) → ∃x(q(x))

c) ∀x (p(x) ∨ q(x)) ↔ ∀x (p(x)) ∨ ∀x (q(x))

d) ∃x (p(x) ∨ q(x)) ↔ ∃x (p(x)) ∨ ∃x (q(x))

e) ∀x (p(x) ∧ q(x)) ↔ ∀x (p(x)) ∧ ∀x (q(x))

f ) ∃x (p(x) ∧ q(x)) ↔ ∃x (p(x)) ∧ ∃(q(x))

3. Demostraciones formales1. Considere el siguiente argumento: "Fue X o Y quien cometió el crimen. X estaba fuera

del pueblo cuando el crimen fue cometido. Si X estaba fuera del pueblo, no pudo haberestado en la escena del crimen. Si X no estaba en la escena del crimen, no pudo habercometido el crimen."Formule esto como una demostración formal y derive la conclusión. Use P1 para "Xcometió el crimen", P2 para "Y cometió el crimen", Q para "X estaba fuera del pueblo",y R para "X no estuvo en la escena del crimen".

2. Traducir los siguientes argumentos a lógica proposicional usando los operadores ∧, ∨,¬, → y ↔. Determinar si la deducción es correcta o no. Si es incorrecta, identi�car elescenario en el cual los antecedentes se cumplen, pero no la conclusión.

a) El plato principal será pescado ó carne. El acompañamiento será arvejas ó cho-clo. No comeremos pescado como plato principal y choclo como acompañamiento.Entonces, no comeremos carne como plato principal y arvejas como acompaña-miento.

b) O John o Bill están diciendo la verdad. O Sam o Bill están mintiendo. Entonces,o John está diciendo la verdad, ó Sam miente.


c) O las ventas aumentan y el jefe estará feliz, o los gastos aumentan y el jefe noestará feliz. Entonces, las ventas y los gastos no aumentarán ambos.

3. Establezca la validez de los siguientes argumentos.

a) [(p ∧ ¬q) ∧ r] → ((p ∧ r) ∨ q)

b) [p ∧ (p → q) ∧ (¬q ∨ r)] → r

c) [(p ∧ q) ∧ (p → (r ∧ q)) ∧ (r → (s ∨ t)) ∧ ¬s] → t

d) [(p → (q → r)) ∧ (p ∨ s) ∧ (t → q) ∧ ¬s] → (¬r → ¬t)

e) [(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r) ∧ ¬r] → q

4. Muestre con un contraejemplo que ninguno de los siguientes argumentos es válido; esdecir, dé una asignación de valores de verdad a las proposiciones primitivas p, q, r y sde modo que las premisas sean verdaderas y que la conclusión sea falsa.

a) [(p ∧ ¬q) ∧ (p → (q → r))] → ¬r

b) [((p ∧ q) → r) ∧ (¬q → r)] → p

c) [(p ↔ q) ∧ (q → r) ∧ (r ∨ ¬s) ∧ (¬s → q)] → s

d) [p ∧ (p → r) ∧ (p → (q ∨ ¬r)) ∧ (¬q ∨ ¬s)] → s

5. Considere la expresión: ∃x p(x) ∧ ∀x∀y(p(x) ∧ p(y) → (x = y))∃x(p(x) ∧ ∀y(p(y) → (x = y)))

Paso Líneas, Razón1. ∃x p(x) ∧ ∀x∀y(p(x) ∧ p(y) → (x = y)) Premisa2. p(a) ∧ ∀x∀y(p(x) ∧ p(y) → (x = y)) 1, Particularización existencial3. ∀x∃y(p(x) ∧ p(y) → (x = y)) 2, Simpli�cación4. ∀y(p(a) ∨ p(y) → (x = y)) 3, Particularización universal5. p(a) ∧ p(y) → (x = y) 4, Particularización universal6. p(y) → (x = y) 5, Simpli�cación7. ∀(p(y) → (x = y)) 6, Generalización universal8. p(a) 2,5, Modus tollens9. p(a) ∧ ∀y(p(y) → (x = y)) 7,8, Combinación10. ∀x(p(x) ∧ ∃y(p(y) → (x = y)) 9, Generalización existencial

6. Demuestre la validez de los siguientes argumentos:

a)

(p ∨ q) → rr → s¬s → ¬q

¬p

b)p → (q ∨ r)¬(p → (¬q ∨ r))¬(p → r)

c)∀xp(x) → ∃xq(x)∀x¬q(x)∃x¬p(x)


d)∀x∀yq(x, y) → ∀x∀yq(x, y)∃x∃y¬q(x, y)¬(∀x∀y¬p(x, y))

e)

∀x[(c(x) → s(x)) ∧ (¬e(x) → ¬p(x))]∃x[(s(x) ∧ e(x)) → (c(x) ∨ p(x))]∃x¬(c(x) ∨ p(x))∃x¬s(x) → ¬e(x)[c(a) ∨ e(a)] ∧ p(a)s(a)

4. Conjuntos1. Determine conjuntos A y B que satisfacen simultáneamente (justi�que):

A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A ∩B = {1, 2}, A−B = {5}2. Sea:

A = {x ∈ N |x es impar ∧ x ≤ 11}B = {x ∈ N | (∃k ∈ N : x = 3k) ∧ (x ≤ 12)}C = {x ∈ N |x ≤ 12}

Expresar cada uno de los conjuntos siguientes en términos de uniones, intersecciones,complementos y diferencias de A, B, C:

a) El conjunto de los números pares del 2 al 12b) El conjunto de los elementos de C que al dividirlos por 3 dejan resto 2c) El conjunto {3, 9}d) El conjunto {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}

3. Sean A, B y C ⊆ Z2, donde A = {(x, y)| y = 2x + 1}, B = {(x, y)| y = 3x} yC = {(x, y)|x− y = 7}. Determine lo siguiente:

a) A ∩B

b) B ∩ C

c) A ∪ C

d) B ∪ C

e) ¾Cómo afecta las respuestas anteriores si A, B y C ⊆ Z+ × Z+?

4. Suponiendo que A,B,C son conjuntos en un universo de referencia, demuestre:

a) A 6= B ↔ ∃x((x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B))

b) A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C)

c) A× (B − C) = (A×B)− (A× C)

d) (A× C = B × C) ∧ (C 6= ∅) ↔ A = B

e) A− (B − C) = (A−B) ∪ (A ∩ C)

f ) (A−B)− C = (A− C)− (B − C)

g) (A ∩B ∩ C) ⊆ (A ∩B)


h) (A ∪B) ⊆ (A ∪B ∪ C)

5. Demuestre ó refute, suponiendo que A,B,C son conjuntos en un universo de referencia:

a) A ∩B = A ∩ C → B = C

b) A ∪B = A ∪ C → B = C

c) A ∩B = A ∩ C ∧ A ∪B = A ∪ C → B = C

d) A ∩B = A ∩ C ∧ A ∪B = A ∪ C → B = C

e) A ∪ P(A) = P(A)

f ) A ∩ P(A) = P(A)

g) {A} ∪ P(A) = P(A)

5. Funciones1. Encontrar el dominio y el rango de las siguientes funciones:

a) función f que asigna a un entero no-negativo su último dígitob) función f que asigna a un entero el número positivo inmediatamente más grandec) función f que asigna a una cadena de bits la diferencia entre la cantidad de 1 y

la cantidad de 0 de esa cadenad) función f que asigna a un entero positivo el mayor perfecto cuadrado que es

menor que ese númeroe) función f que asigna a un par de enteros positivos el primer entero del par

2. Demostrar que la función estrictamente creciente es inyectiva.

3. Determinar si la función f : Z × Z → Z es uno-a-uno. Adicionalmente, determinar sifes sobre. Justi�car su decisión en ambos casos.

a) f(m,n) = m− n

b) f(m,n) = m + n

c) f(m,n) = m2 − n2

d) f(m,n) = |n|e) f(m,n) = m2 − 4

4. Sea f : A → B una función, un conjunto S ⊆ A y un conjunto T ⊆ A. Demostrar quef(S ∪ T ) = f(S) ∪ f(T ).

5. Sean g : A → B y f : B → C funciones.

a) Demostrar que si f y g son uno-a-uno, entonces f ◦ g también lo es.b) Demostrar que si f y g son sobre, entonces f ◦ g también lo es.

6. Sean f , g : R→ R. f(x) = x2 + 1 y g(x) = x + 2. Encontrar f ◦ g y g ◦ f .

7. Sean f , g : R → R. f(x) = ax + b y g(x) = cx + d, donde a, b, c y d son constantes.Determine para cuales constantes a, b, c y d es verdad que f ◦ g = g ◦ f .


8. Demostrar que:

a) ∀x ∈ R dbxce = bxcb) ∀x ∈ R ∀y ∈ R dx + ye = dxe+ dyec) ∀x ∈ R ∀y ∈ R bx + yc = bxc+ bycd) ∀x ∈ R ∀y ∈ R dxye = dxedyee) ∀x ∈ R ∀y ∈ R ∀z ∈ R ddx + ye+ ze = dx + dy + zeef ) ∀x ∈ R ∀y ∈ R ∀z ∈ R bbxyczc = bxbyzcc

9. Dibujar el grá�co de las siguientes funciones:

a) f(x) = bx + 12c

b) f(x) = dx− 2e+ bx + 2cc) f(x) = dx

2 eb2xcd) f(x) = bx2c

6. Inducción1. Demuestre que ∀n ∈ N:

a) 7n − 2n es divisible por 5, ∀n ∈ N.b) 11n − 4n es divisible por 7, ∀n ∈ N.c) 5n+1 + 2 · 3n + 1 es divisible por 8, ∀n ∈ N.d) 8n+1 + 92n+1 es divisible por 73, ∀n ∈ N.e) Todo entero formado por 3n dígitos idénticos, es divisible por 3n.f ) n2 − 1 es divisible por 8 para todo entero impar positivo.

2. Demuestre que 2n ≤ (n + 1)!.

3. Demuestre que∑n

k=1 k2 = n(n+1)(2n+1)6 , n ≥ 1.


k=1 2k−1 = 2n − 1.


k=1 k3 = (∑n

k=1 k)2.

6. Demuestre que (∑n

k=1 akbk)2 ≤∑n

k=1 a2k

∑nk=1 b2

k.

7. Demuestre que 2n−1(an + bn) > (a + b)n, donde a + b > 0, a 6= b y n > 1.

8. Demuestre ∀n ∈ N:

a)n∑

i=1

1√i≥ √

n

b)n∑

i=1

1√i≤ 2

√n− 1


9. Demuestre que ∀n ∈ N:

a)2n · n!∏n

k=1(3k + 2)<

(23

)n

b)n∏

i=1

(1 +

1i

)i+1

=(n + 1)n+1

n!

10. Si ∀n ∈ N : an =(

1− 122

)(1− 1

32

)· · ·

(1− 1

(n + 1)2

)demuestre que an =

n + 22(n + 1)

7. De�nciones recursivas e inducción1. Sea (an)n∈N la sucesión tal que: a1 = 2, an+1 =

121 + an

. Demuestre que ∀k ∈ N:a) a2k−1 < a2k+1 b) a2k > a2k+2

c) a2k−1 < 3 d) a2k > 3

2. De�na recursivamente la sucesión (an)n∈N si:

(a) an = 6n (b) an = 4n− 2 (c) an = 1 + (−1)n (d) an = n2

3. De�na recursivamente el conjunto de los enteros positivos impares, el de los enterosque son potencia de 3, y el de los polinomios con coe�cientes enteros.

4. De�na recursivamente cada uno de los siguientes conjuntos de pares ordenados deenteros positivos:

a) S = {(a, b) : a ∈ Z+, b ∈ Z+, a + b es impar}b) S = {(a, b) : a ∈ Z+, b ∈ Z+, a divide a b}c) S = {(a, b) : a ∈ Z+, b ∈ Z+, 3 divide a a + b}

5. En cada una de las siguientes sucesiones de�nidas de manera recursiva, demuestre lavalidez de la expresión cerrada para el n-ésimo término ∀n ∈ N:

a) a1 = 1, a2 = 6, an =16(an−1 − an−2) para n > 2, entonces

an = 68 · 2−n − 99 · 3−n

b) a1 = 10, a2 = 47, an = 23an−1 − 60an−2 para n ≥ 3, entoncesan = 20n−1 + 3n+1

c) a1 = 1, a2 = 3, an = 12(an−1 + an−2) para n ≥ 2, entonces

an =73− 4

3

(−1

2

)n−1

d) a1 = 0, a2 = 1, an+1 = n(an + an−1), entoncesan = n!

(1− 1

1!+

12!− 1

3!+ · · ·+ (−1)n

n!

)

6. Considere la sucesión de Fibonacci (fn)n∈N, con f0 = 1, f1 = 1. Demuestre que∀n ∈ N:


(a)n∑

i=0

fi = fn+2 − 1 (b)n∑

i=0

f2i−1 = f2n − 1 (c)n∑

i=0

f2i = f2n+1

(d)n∑

i=0

f2i = fn · fn+1 (e) fn+m = fn−2fm + fn−1fm+1 (f) fn+5 > 10fn

7. Considere el conjunto T ⊆ N× N de�nido recursivamente de la siguiente forma:i) (0, 0) ∈ T ii) (m,n) ∈ T → (m + 1, n), (m + 1, n + 1), (m + 1, n + 2) ∈ T .

a) Liste seis elementos de T

b) Demuestre que si (m,n) ∈ T , entonces 2m ≥ n, ∀n ∈ N

8. De�na recursivamente la función unos(s), que cuenta la cantidad de unos en unacadena de bits. Use la inducción estructural para demostrar que unos(s+t) = unos(s)+unos(t).

9. Use la inducción estructural para demostrar que n(T ) ≥ 2h(T )+1, donde T es el árbolbinario completo, n(T ) es el número de nodos y h(T ) es la altura del árbol T .

10. Demuestre que un árbol no vacío de n nodos contiene exactamente n + 1 subárbolesvacíos.

8. Principios fundamentales de conteo1. ¾Cuántas cadenas de 8 letras de alfabeto latino (26 letras) hay, tales que

a) no contienen vocales, y las letras se pueden repetir?b) no contienen vocales, y las letras no se pueden repetir?c) empiezan con una vocal, y las letras se pueden repetir?d) empiezan con una vocal, y las letras no se pueden repetir?e) contienen al menos una vocal, y las letras se pueden repetir?f ) contienen exactamente una vocal, y las letras se pueden repetir?g) empiezan con letra x, contienen al menos una vocal, y las letras se pueden repetir?h) empiezan y terminan con letra x, contienen al menos una vocal, y las letras se

pueden repetir?

2. Un palindromo es una cadena, cuya cadena inversa es idéntica al original. ¾Cuántascadenas de bits de largo n son palindromos?

3. ¾De cuántas maneras el fotografo de una boda puede ordenar a 6 personas para unafoto, si

a) la novia debe estar al lado del novio?b) la novia no está al lado del novio?c) la novia está en alguna parte a la izquierda del novio?

4. Un cajón contiene 12 calcetines marrones y 12 calcetines negros, todos sin emparejar.Un hombre saca calcetines en la oscuridad.


a) ¾Cuántos calcetines debe sacar para asegurarse de tener al menos 2 del mismocolor?

b) ¾Cuántos calcetines debe sacar para asegurarse de tener al menos 2 calcetinesnegros?

5. a) Demostrar que si cinco enteros se seleccionan de los primeros ocho enteros posi-tivos, debe haber un par de enteros cuya suma es igual a 9.

b) ¾Se mantendrá la conlcusión de la parte (a), si se sacan 4 enteros en ves de cinco?

6. Una moneda se lanza al aire 10 veces, saliendo cara ó sello cada vez. ¾Cuántos resul-tados posibles

a) son en total?b) contienen exactamente 2 caras?c) contienen a lo más 3 sellos?d) contienen el mismo número de caras y sellos?

7. Un club tiene 25 miembros.

a) ¾De cuántas maneras se puede elegir 4 miembros del club para servir en un comitéejecutivo?

b) ¾De cuántas maneras se puede elegir un presidente, un vice-presidente, un secre-tario y un tesorero del club?

8. Una heladeria vende conos simples (de un sabor) de helado de vanilla, frutilla, alme-dras, chocolate, frambuesa, piña, lucuma y café. ¾Cuántas maneras hay para elegir

a) 6 helados?b) 12 helados?c) 24 helados?d) 12 helados con al menos 1 sabor de cada uno?e) 12 helados con al menos 3 de frutilla y no más de 2 de piña?

9. ¾Cuántas soluciones tiene la ecuación x1 +x2 +x3−x4 +x5 = 21, donde xi son enterosno-negativos, i = 1, 2, . . . , 5, tales que

a) x1 ≥ 1?b) xi ≥ 2, i = 1, 2, . . . , 5?c) 0 ≤ x1 ≤ 10?d) 0 ≤ x1 ≤ 3, 1 ≤ x2 ≤ 4, x3 ≥ 15?

10. ¾Cuántas maneras hay de distribuir 6 bolas iguales en 9 canastas iguales?

11. Se requiere ir del punto A = (0, 0, 0) al punto B = (4, 3, 5) tomando pasos de unaunidad en el sentido positivo de cada coordenada, es decir, no es posible devolverse oir en el sentido negativo. ¾Cuántos caminos distintos hay para ir del punto A al puntoB?


9. Relaciones1. Sean A el conjunto de estudiantes y B el conjunto de libros de la biblioteca. Sea

R1 la relación consistente de pares ordenados (a, b) tal que el estudiante a debe leerel libro b en un curso, y sea R2 la relación consistente de pares ordenados (a, b)tal que a leyó el libro b. Describa los pares ordenados en las siguientes relaciones:a) R1 ∪R2 b) R1 ∩R2

c) R1 −R2 d) R2 −R1

2. Sea R la relación sobre el conjunto de personas consistente de pares (a, b) donde a espadre de b. Sea S la relación consistente de pares (a, b) donde a es hermano(a) de b.¾Qué representan las relaciones S ◦R y R ◦ S?

3. Sean R1 y R2 las relaciones de congruencia módulo 3 y módulo 4 respectivamentesobre el conjunto de números enteros. Eso signi�ca que R1 = {(a, b)|a ≡ b(mod 3)} yR2 = {(a, b)|a ≡ b(mod 4)}. Encuentre:a) R1 ∪R2 b) R1 ∩R2

c) R1 −R2 d) R2 −R1

4. Encuentre el error en la siguiente "demostración"del "teorema":"Teorema": Sea R una relación sobre el conjunto A que es simétrica y transitiva.Entonces, R es re�exiva."Demostración": Sea a ∈ A. Tomemos un elemento b ∈ A tal que (a, b) ∈ R. Ya queR es simétrica, tenemos que (b, a) ∈ R. Usando la transitividad de R para (a, b) ∈ Ry (b, a) ∈ R, obtenemos que (a, a) ∈ R. Generalizando, la relación R es re�exiva. /

5. Liste los pares ordenados de las relaciones sobre {1, 2, 3, 4} correspondientes a lassiguientes matrices (las �las y columnas corresponden a los enteros en orden creciente).

a)

1 1 0 11 0 1 00 1 1 11 0 1 1

b)

1 1 1 00 1 0 00 0 1 11 0 0 1

c)

0 1 0 01 0 1 00 1 0 11 0 1 0

d)

1 1 0 10 0 1 00 1 0 11 0 0 1

6. Determine si las relaciones del ejercicio 5 son re�exivas, simétricas, antisimétricas y/otransitivas. Dibuje además el grafo dirigido para cada una de estas relaciones.

7. ¾Cuáles de las siguientes relaciones sobre el conjunto de personas son relaciones deequivalencia? Fundamente su decisión.

a) R1 = {(a, b)|a y b son de la misma edad}b) R2 = {(a, b)|a y b tienen los mismos padres}c) R3 = {(a, b)|a y b son parientes}d) R4 = {(a, b)|a y b se conocen}


e) R5 = {(a, b)|a y b hablan el mismo idioma}f ) Describa las clases de equivalencia en aquellas relaciones anteriores que sean de

equivalencia.

8. ¾Cuáles de las siguientes colecciones de los subconjuntos son particiones del conjuntode números enteros?

a) el conjunto de enteros pares y el conjunto de enteros imparesb) el conjunto de enteros positivos y el conjuntos de enteros negativosc) el conjunto de enteros divisibles por 3, el conjunto de enteros que deja el resto 1

al ser divididos por 3, y el conjunto de enteros que deja el resto 2 al ser divididospor 3

d) el conjunto de enteros menores que 100, el conjunto de enteros cuyo valor absolutono excede 100, y el conjunto de enteros mayores que 100

e) el conjunto de enteros divisibles por 3, el conjunto de enteros pares, y el conjuntode enteros que deja resto 3 al ser divididos por 6

9. En A = {0, 1, 2, 3, · · · , 1,000,000} considere la relación aRb ↔ a tiene el mismo númerode dígitos que b. Pruebe que R es de equivalencia, determine el número de clases deequivalencia determinado por R en A y determine explícitamente el cardinal de cadaclase de equivalencia.

10. Sea A = {a1, a2, · · · , an}. ¾Cuántas relaciones simétricas hay en A? ¾Cuántasrelaciones re�exivas hay en A? ¾Cuántas relaciones simétricas y re�exivas hay en A?

11. Demostrar que si R1 y R2 son relaciones de A en B, entonces R1 ⊆ R2 → R−11 ⊆ R−1

2 .

12. Sea R ⊆ A2. Demostrar:

a) R es re�exiva ↔ iA ⊆ R

b) R es simétrica ↔ R ⊆ R−1

c) R es transitiva ↔ R ◦R ⊆ R

d) R es antisimétrica ↔ R ∩R−1 ⊆ R

10. Complejidad de algoritmos1. Use la de�nición de O grande para demostrar que x4 + 9x3 + 4x + 7 es O(x4).

2. Demuestre que (x2+1)(x+1) es O(x).

3. Estime el orden de complejidad O para las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x3 + x2 log2 x

b) f(n) = 3 + sin 1n

c) f(x) = 2x2 + x2 log2 x

d) f(x) = 3x3 + (log2 x)4

e) f(x) = x4+x2+1x3+1


f ) f(x) = x4+5 log2 xx4+1

g) f(n) = (n2 + 8)(n + 1)

h) f(n) = (n log2 n + n2)(n3 + 2)

i) f(n) = (n! + 2n)(n3 + log2(n2 + 1))

4. Demuestre que si f(x) es O(logb x), b > 1, entonces f(x) es O(loga x), a > 1.

5. Sean f, g : N −→ R, f(n) ={

n, n impar1, n par y g(n) =

{1, n imparn, n par

Demuestre que f /∈ O(g) y g /∈ O(f).

6. Demuestre que si f(x) es O(g(x)), y f(x) y g(x) son funciones no acotadas y crecientes,entonces log2(|f(x)|) es O(log2(|g(x)|)).

7. Use O grande para estimar el número de comparaciones de los siguientes algoritmos,que se pide describir usando pseudocódigos:

a) Algoritmo que tenga como entrada una lista de n enteros y genere como salidala mayor diferencia entre dos enteros consecutivos.

b) Algoritmo que determine si una función de un conjunto �nito en otro conjunto�nito es sobreyectiva.

c) Algoritmo que determine si una función de un conjunto �nito en otro conjunto�nito es inyectiva.

d) Algoritmo que cuente el número de `1' en una cadena de `0' y `1', examinandocada bit de la cadena para determinar si es o no un `1'.

8. Analice la complejidad del caso promedio del algoritmo de búsqueda lineal, si exacta-mente la mitad de las veces el elemento x no se encuentra en la secuencia, y si x estáen la secuencia, puede estar en cualquier posición.

9. El algoritmo convencional de evaluación del polinomio anxn+an−1xn−1+. . .+a1x

1+a0

en x = c se expresa en pseudocódigo de la siguiente manera:

procedure polinomial(c, a0, a1, . . . , an−1, an: real)potencia := 1y := a0

for i := 1 to nbegin

potencia := potencia ∗ cy := y + ai ∗ potencia

end

donde el valor �nal de y es el valor del polinomio en x = c. Calcule el número demultiplicaciones y adiciones necesario para evaluar el polinomio de grado n en x = c.No cuente las adiciones usadas para incrementar el contador del bucle.

10. El algoritmo de Horner de evaluación del polinomio anxn +an−1xn−1 + . . .+a1x

1 +a0

en x = c se expresa en pseudocódigo de la siguiente manera:


procedure Horner(c, a0, a1, . . . , an−1, an: real)potencia := 1y := an

for i := 1 to ny := y ∗ c + an−i

donde el valor �nal de y es el valor del polinomio en x = c. Calcule el número demultiplicaciones y adiciones necesario para evaluar el polinomio de grado n en x = c.No cuente las adiciones usadas para incrementar el contador del bucle.

11. Analice la complejidad del peor caso de los siguientes algoritmos:

a) sum := 0i := nwhile (i > 0)begin

sum := sum + 1i := bi/2c

endb) sum := 0

for i := 1 to nbeginj := nwhile (j > 0 )

beginsum := sum + 1j := bj/2cend

end

12. Analice la complejidad temporal del algoritmo Palindrome check, que determina si lacadena de caracteres es un palíndromo, es decir, se lee de la misma manera de derechaa izquierda que de izquierda a derecha. Para el caso promedio asuma que la mitad delas veces la cadena no es un palíndromo, y las diferencias pueden empezar en cualquiercaracter.

procedure Palindrome check(a1a2 . . . an−1an: string)respuesta := Truemitad := bn/2ci := 1while (respuesta and i <= mitad)

if not (ai = an+1−i) then respuesta := Falseelse i := i + 1

13. Analice la complejidad temporal del algoritmo que encuentra el primer elemento de lasecuencia que es mayor que un cierto número dado u:

procedure encontrar(a1, a2, . . . , an−1, an: integer ordenados de formacreciente; u: integer)


location := 0i := 1while (location = 0 and i <= n)

if ai > u then location := ielse i := i + 1

14. Analice la complejidad temporal de la función utilizada para encontrar el k-ésimoentero más pequeño en un arreglo de enteros sin ordenar:

function k −menor(a0, a1, . . . , an−1, an: integer; k, n: integer)for i := 0 to k

mini := ifor j := i + 1 to n

if aj < amini then mini := jtmp := ai

ai := amini

amini := tmpreturn ak−1

15. Analice la complejidad del peor caso medida en términos de comparaciones del algo-ritmo de la búsqueda ternaria descrito de la siguiente manera:

procedure busqueda ternaria(x: integer,a1, a2, . . . , an−1, an: integer en orden creciente)

i := 1j := nwhile i < j − 1begin

l := b(i + j)/3cu := b2(i + j)/3cif x > au then i := u + 1

else if x > al thenbegin

i := l + 1j := u

endelse j := l

endif x = ai then location := i

else if x = aj then location := jelse location := 0

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