Guía 9 - Sólidos Geométricos I Poliedros y Poliedros Regulares
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GEOMETRA
267
Nace Isaac Newton enLincolnshire, Inglaterra.
Virrey del Per Jos de Armendriz,marqus de Castelfuerte.
1687
1643
1706
1676
1704
Virrey del Per, Melchor de Navarra yRocafull, quien fortific Lima y Trujillopara defenderlos de los piratas.
PublicaArithmeticauniversalis.
Virrey del Per, Miguel Nuez deSanabria (oidor decano de la RealAudiencia de Lima).
La Royal Society reconstruye con xito elexperimento de Newton (composicin de laluz y los colores) en su propia sede.
Publica Philosophiaenatural i s pr inc ip iamathematica.
Publica Enumeracin de lascurvas de tercer orden.
Publica ptica.
Virrey del Per,Baltasar de la CuevaHenrquez.
Vi rrey del Per,Pedro lvarez deToledo y Leiva.
1727
Fallece IsaacNewton.
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ACTUALIZACIN DOCENTE 2010
268
Slidos Geomtricos IPoliedros y Poliedros
Regulares
Slido GeomtricoEs aquella porcin del espacio separadodel espacio inmediato por un conjuntode puntos que conforman la superficiedel slido.Un slido de acuerdo a su superficiepuede ser: poliedro (pirmide, prisma,etc.) o cuerpo redondo (esfera, cilindro,etc.).
Cuerpo redondo(Esfera)
Poliedro(Pirmide)
PoliedroEs aquel slido geomtrico cuyasuperficie est formada por cuatroo ms regiones poligonales planas alas cuales se les denomina caras delpoliedro.Al lado comn de dos caras sele denomina arista y al punto deconcurrencia de las aristas, vrtice delpoliedro.
DIAGONAL DEL POLIEDROEs el segmento cuyos extremos son dosvrtices ubicados en caras distintas.
* Los poliedros se nombran de acuerdoa su nmero de caras y pueden ser:
- Tetraedro ......... (4 caras)- Pentaedro ......... (5 caras)- Hexaedro ......... (6 caras)
Tipos de Poliedros
Teorema de Euler1. En todo poliedro, el nmero de
caras ms el nmero de vrticeses igual al nmero de aristasaumentado en dos.
C: Nmero de caras.V: Nmero de vrtices.A: Nmero de aristas.
Poliedros convexos
Poliedros no convexos
C+V=A+2
2. En todo poliedro, la suma de lasmedidas de los ngulos internos detodas las caras es igual a 360 porel nmero de vrtices disminuidoen dos.
Scaras: Suma de medidas de losngulos internos de todas lascaras.
V: Nmero de vrtices.
S caras=360(v-2)
3. Para calcular el nmero de artistasde un poliedro, usaremos lasiguiente frmula:
Donde:a : Cantidad de caras de m lados.b : Cantidad de caras de n lados.c : Cantidad de caras de p lados.. . .. . .. . .
N. de Aristas= a.m+b.n+c.p+...2
Diagonal delPoliedro
Aristas
VrticeCaras
-
GEOMETRA
269
1. Tetraedro regular:
POLIEDROS REGULARES
Son aquellos poliedros cuyas caras sonpolgonos regulares. Solamente existen5 poliedros regulares y son:
Poliedro formado por cuatro tringulosequilteros.
a
Forma de cara(Tringuloequiltero)
4
4
6
a a
a
2. Hexaedro regular o cubo:Poliedro formado por seis cuadrados.
a
3. Octaedro regular:Poliedro formado por ocho tringulosequilteros.
8
6
12
a a
a
a
a
4. Dodecaedro regular:Poliedro formado por doce pentgonosregulares.
a
a
5. Icosaedro regular:Poliedro formado por veinte tringulosequilteros.
20
12
30
a a
a
a
a
. Tetraedro regular:
P R O P I E DA D E S D E LO SPOLIEDROS REGULARES
a
Baricentro de la base
a
aa
h
h=a 63
V= a3 212
A=a2 3
h: alturaA: reaV: volumen
Forma de cara(cuadrado)
6
8
12
a aa
a
Nmero de carasC
Nmero devrtices
V
Nmero de aristasA
12
20
30
a
a
a
aaForma de cara
(Pentgono regular)
Nmero de carasC
Nmero devrtices
V
Nmero de aristasA
Nmero de carasC
Nmero devrtices
V
Nmero de aristasA
Forma de cara(Tringuloequiltero)
Nmero de carasC
Nmero devrtices
V
Nmero de aristasA
Forma de cara(Tringuloequiltero)
Nmero de carasC
Nmero devrtices
V
Nmero de aristasA
-
ACTUALIZACIN DOCENTE 2010
270
Nivel I
1) Un poliedro est formado por12 tringulos y 8 cuadrilteros,entonces el nmero de aristas y elnmero de vrtices del poliedroes:
a) 24 y 18 d) 34 y 16b) 26 y 18 e) 48 y 24c) 32 y 14
Calcula el nmero de aristas yvrtices que tiene un poliedro queest formado por 6 tringulos, 8cuadrilteros y 10 pentgonos.
. Octaedro regular:
d: diagonal delslido
A: reaV: volumen
a
aa a
a
d
V= a3 23
d=a 2
A=2a2 3
. Hexaedro regular (cubo):
d: diagonal delcubo
A: reaV: volumen
d=a 3
A=6a2
da
a
a
a
a
V=a3
POLIEDROS CONJUGADOSSon conjugados aquellos poliedrosregulares en los que el nmero de carasde uno, es igual al nmero de vrticesdel otro (uniendo los centros de lascaras de uno, se obtiene el otro). As,por ejemplo, el conjugado del hexaedroes el octaedro.
Resolucin:
C=6+8+10=24
A=
A=50
Teorema de Euler: C+V=A+2
24+V=50+2V=28
(6x3)+(8x4)+(10x5)2
La superficie de un cubo es T,entonces la diagonal de dicho cuboes igual.
Resolucin:
Da
aa
D=a 3= 3a2 ............. (1)
Dato: 6a2=T 3a2=
En (1): D= =
T2
T2
2T2
El volumen del octaedro que seobtiene al unir los centros de lascaras contiguas de un cubo de ladoL es:
Resolucin:
F
DB
E
ChL
hA
L2
L2
ABCD es cuadrado
BA= ; h=
V=
V= .
V=
L2
L 22
2(SABCD.h)3
23
L2
L 22( )
2
L36
Resolucin:
2
O
A
C
B
H
NM
2
2
2
3
3
En AOC: OH=2 3ABC: BH=2 3HOB: ON=NH; OM=MB
x= (Teorema puntos medios)
\ x= 3
BH2
En un tetraedro regular O-ABC dearista 4 u, calcula la distancia entrelos puntos medios de OB y OH (Hpunto medio de AC).
-
GEOMETRA
271
2) Un poliedro est formadopor 2K pentgonos, 4Kcuadrilteros y 6K tringulos.Calcula K si el nmero devrtices es 62.
a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 10
3) La suma entre el nmero decaras, vrtices y aristas de unpoliedro convexo es 98. Calculael nmero de caras, sabiendo quela suma de los ngulos internosde todas sus caras es igual a7200.
a) 28 b) 30 c) 24d) 22 e) 32
4) Halla el rea y la diagonal de uncubo, sabiendo que la suma detodas sus aristas es 60 u.
a) 300 y 10 3 d) 384 y 8 3b) 150 y 5 3 e) 600 y 10 3c) 216 y 6 3
5) El volumen de un cubo equivalea K veces el cubo de lo quemide su diagonal. Calcula K.
a) 3 b) 3/3 c) 3/6d) 3/9 e) 3
6) Calcula el volumen de untetraedro regular en el cual laaltura de una de sus caras mide
3u.
a) 2/3u3 b) 2 2/3u3 c)8 2/3u3
d)6 2/3u3 e) N.A.
7) El rea total de un octaedroregular es 18 3u 2. Halla lalongitud de su diagonal.
a) 2 u b) 3 u c) 2 3 ud) 3 2 u e) 2 2 u
8) La arista de un cubo mide 2u.Calcula la distancia desde unvrtice hacia el centro de la caraopuesta.
a) 3 u b) 5 u c) 6 ud) 2 3 u e) 2 2 u
9) Calcula el volumen del octaedroregular que se forma al unirlos centros de las caras de unhexaedro regular de arista 6m.
a) 36m3 b) 72m3 c) 216m3
d) 36 2m3 e) 72 2m3
10) Halla la altura de un tetraedroregular cuya rea total es 6 3u2.
a) 1 u b) 2 u c) 3 ud) 4 u e) 6 u
11) En el cubo mostrado, O es elcentro de la cara EFGH. Calculael rea del tringulo AOC.
a) 80 2u2 b) 10 2u2 c) 50 2u2
d) 20 2u2 e) 25 2u2
12) En un cubo, la distancia desde unvrtice a la diagonal del mismomide 6. Halla el volumen y elrea del slido.
a) 8 y 24 d) 2 2 y 12b) 27 y 54 e) 3 3 y 18c) 64 y 96
13) La arista de un tetraedro regularmide a. Un plano pasa por unaarista y el punto medio de laarista opuesta. Calcula el reade la seccin determinada.
a) a2 2 b) a2 2/2 c) a2 2/4d) a2 3/2 e) N.A.
14) La altura de un tetraedro regularmide 6. Calcula el rea de lasuperficie total de su respectivopoliedro conjugado.
a) 3m2 b) 2 3m2 c) 3m2
d) 6m2 e) 3 3m2
15) Calcula el nmero de diagonalesde un poliedro que est formadopor 6 tringulos, 8 cuadrilterosy 4 pentgonos.
a) 36 b) 66 c) 100d) 106 e) 126
Nivel II
16) Cuntas caras tiene aquelpoliedro que tiene 20 aristas y12 vrtices?
a) 5 b) 10 c) 15d) 12 e) 20
17) Halla la diferencia entre elnmero de aristas y vrtices deun icosaedro.
a) 16 b) 17 c) 18d) 20 e) 24
18) Un poliedro est formado por 8tringulos y x cuadrilteros.Halla x si el nmero de aristases 28.
a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 20
B
A E
H
GC
F
O10 u
D
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ACTUALIZACIN DOCENTE 2010
272
Nivel III
19) Halla el ngulo formado porlas diagonales de dos carascontiguas de un cubo si ambasdiagonales parten del mismovrtice.
a) 30 b) 60 c) 45d) 15 e) 75
20) El rea total de un tetraedroregular es 9 3 u2. Calcula elvolumen de dicho tetraedro.
a) 9 2/2 u3 d) 9 2/4 u3
b) 7 2/2 u3 e) 9 2/5 u3
c) 8 2/3 u3
21) Halla la relacin en la que seencuentran las reas totalesde un tetraedro regular y unoctaedro regular si la aristadel primero es el doble delsegundo.
a) 1:2 b) 2:1 c) 3:2d) 3:1 e) 4:1
22) Calcula el volumen del cubo siel rea sombreada es 2 2 u2.
a) 2 u3 b) 2 u3 c) 2 2 u3
d) 4 u3 e) 4 2 u3
23) El rea de una cara de untetraedro regular es de 40 cm2.Cul es el rea del polgonoque se obtiene al unir los puntosmedios de tres aristas que partende un mismo vrtice?
a) 20 cm2 b) 10 cm2 c) 5 cm2
d) 2,5 cm2 e) 12 cm2
24) Calcula el volumen de unoctaedro regular cuya rea esigual al rea de un cubo de aristaigual a 4 3 cm.
a) 2 cm3 d) 6 cm3
b) 3 cm3 e) 12 cm3
c) 5 cm3
25) Calcula el volumen de untetraedro regular cuya altura esigual a la arista de un cubo cuyovolumen es igual a 144 m3.
a) 9 3 m3 d) 18 6 m3
b) 12 3 cm3 e) 12 6 m3
c) 18 3 m3
26) Calcula la relacin entre losvolmenes de un cubo y untetraedro regular inscrito en l.
a) 2 b) 4 c) 5d) 3/2 e) 3
27) Calcula la distancia entre loscentros de dos caras de untetraedro regular cuya aristamide a.
a) a/2 b) a/6 c) 2a/3d) a/3 e) 2a/5
28) Calcula el volumen del slidoque se forma al unir los centrosde las caras de un cubo cuyaarista es igual a 2 cm.
a) 2/2 cm3 d) 3 cm3
b) 2/3 cm3 e) 6 2 cm3
c) 8 cm3
29) Se dan un octaedro regular y untetraedro regular, donde la aristadel segundo es el triple de la aristadel primero. Halla la relacin dereas de estos slidos.
a) 2/7 b) 2/11 c) 3/8d) 2/9 e) 4/9
30) Si la diagonal de un octaedroregular mide 3 2u, calcula suvolumen.
a) 4,5 2 u3 d) 9 2 u3
b) 6 2 u3 e) 12 u3
c) 3 6 u3
31) Halla el volumen del tetraedroregular cuya altura mide h.
a) 9h3 2/8 d) 3h3 3/8b) h3 3/8 e) 3h3 3/4c) 3h3 2/5
32) En un cubo de 4cm de aristase une el punto medio de unaarista con los extremos de laarista diametralmente opuesta.Halla el permetro del tringuloformado.
a) 16 cm d) (5 6+1)cmb) (2 3+1)cm e) (2 5+4) cmc) 4( 2+2)cm
33) Calcula el nmero de caras quetiene el poliedro mostrado.
a) 8 b) 6 c) 4d) 12 e) 16
34) Calcula el nmero de caras quetiene el poliedro mostrado.
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
-
GEOMETRA
273
35) La figura muestra un cubo en lacual se pide el ngulo que formanlos segmentos alabeados BE yCF.
a) 30 b) 45 c) 60d) 120 e) 90
A
E H
G
CB
D
F
36) Un poliedro est formado por 10pentgonos, 15 cuadrilteros y20 tringulos. Cuntas aristasy cuantos vrtices tiene?
a) 85 y 42 d) 170 y 56b) 105 y 40 e) 190 y 62c) 150 y 38
37) En un poliedro la suma delnmero de caras, vrtices yaristas es 32. Calcula el nmerode aristas.
a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16
38) Calcula el nmero de vrtices deun poliedro en el cual el nmerode aristas es el doble del nmerode caras, adems el nmero dearistas excede al nmero devrtices en 8.
a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13
39) El volumen de un hexaedroregular es igual a su diagonal alcubo dividido entre:
a) 2 2 b) 3 2 c) 2 3d) 3 3 e) 3
40) La distancia entre los centrosde dos caras contiguas de unoctaedro regular es de 4m.Calcula su volumen.
a) 216 m3 b) 244 m3 c) 250 m3
d) 270 m3 e) 288 m3
41) Si se unen los baricentros de lascaras de un octaedro regular dearista 6 cm, se forma un slidode volumen:
a) 16 cm3 d) 16 3 cm3
b) 8 cm3 e) 16 2 cm3
c) 8 2 cm3
42) En la figura se pide la aristadel cubo, sabiendo que el reasombreada es 3 3 m2.
a) 2 m b) 3 m c) 1 md) 2 m e) 3 m
43) En el cubo de arista a,GP=PQ=QD. Halla el rea dela regin sombreada.
a) a2 2/4 d) 3a2 2/4b) 2a2 e) 3a2
c) 2a2 2/3
44) En un tetraedro regular, ladistancia entre dos aristas quese cruzan es 3 2. Calcula lalongitud de la arista del poliedroconjugado del tetraedro.
a) 1 b) 4 c) 2d) 3,5 e) 3
46) Calcula el rea de la proyeccinde un tetraedro regular, cuyaarista mide 2m, sobre un planoperpendicular a una arista.
a) 2 m2 b) 3 m2 c) 2 m2
d) 3 m2 e) 4 m2
45) E n un o c t a ed ro r eg u la rP-ABCD-Q, M es punto mediode PC, tal que AM=2 5 cm.Calcula su volumen.
a) 64 cm3 d) 32 3cm3
b) 72 cm3 e) 64 2/3 cm3
c) 80 cm3
47) En el octaedro mostrado, calculala distancia de G a ABCD siAG=3 2 y G es baricentro dela cara OCD.
a) 1 b) 3 c) 2d) 5 e) 6
48) En la figura se muestra untetraedro regular de arista 4cm.Calcula el rea de la reginsombreada.
a) 2 b) 6 c) 4 3d) 4 e) 3/4
O
A
C
BH
M
E
A D
C
GF
H
QB
P
A
O
DCB