Guía 5 Resolución de Ecuaciones

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238

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X

VII

I.

Colegios TRILCE La INTELIGENCIA como primera opción

San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó I Bim. / RAZ. MATEMÁTICO / 1ER. AÑO

33

Resolución de Ecuaciones

• 3 x + 5 = 11 → solución: x = 2

incógnita

igualdad

• x 2 = 4 → soluciones:

incógnita

igualdad

Ecuación incompatible Es aquella que no tiene solución posible.

• x + 3 = x - 3

• 0 . x = 3

* 4(x + 3) + 2 = 3(x + 2) - 5 + x 4x + 12 + 2 = 3x + 6 - 5 + x 4x - 4x = 1 - 14 0 = -13

Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se busca obtener en caso que existan.

x + y = 5x - y = 3

(Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.)

x = 4y = 1Solución:

ya que satisface ambas ecuaciones

Hay diversas formas de resolver un sistema de ecuaciones, nosotros nos centraremos en resolver utilizando los siguientes métodos:- M é t o d o d e r e d u c c i ó n o

eliminación.- Método de sustitución.- Método de igualación.

POR REDUCCIÓN O ELIMINACIÓNMultiplicamos la ecuación (II) por 3 y luego sumamos, con lo cual eliminaremos la incógnita “y” y obtendremos el valor de “x”.

2x + 3y = 139x - 3y = 9

11x = 22

→∴ x = 2

Conocido el valor “x” se reemplaza en (I) o (II) para determinar el valor de “y”.

Reemplazamos en (I):2(2) + 3y = 13

∴ y = 3

x = 2y = 3

Solución:

Ecuación

2. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES SEGÚN SUS SOLUCIONES

Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas que tienen como mínimo una variable. A las variables que intervienen en una ecuación se les denomina incógnitas y a los valores que satisfacen la igualdad se les llama soluciones de la ecuación.

Ejemplo:

Pueden ser compatibles o incom-patibles:

Ecuación compatible

Es aquella que tiene al menos una solución posible. Se subdivide en:

DeterminadaSi tiene un número f inito de soluciones.

1. DEFINICIÓN

• 3x + 2 = 14 → Tiene una solución: 4

• x2 = 16 → Tiene dos soluciones: 4 y -4* 3x + 5 = 2x + 11 ⇒x = 6

IndeterminadaSi tiene infinitas soluciones.

Ejemplos:

• x - 5 = x - 3 - 2

• xº - 1 ; x ≠ 0

* 5(x + 3) + 7 = 4(x + 3) + x + 10 ⇒5x+ 15 + 7 = 4x + 12 + x + 10 5x - 5x = 22 - 22 0 = 0

Ejemplos:

3. SISTEMA DE ECUACIONES

Ejemplo:

Ejemplo:

Resuelve el sistema siguiente:

2x + 3y = 13 ... (I)3x - y = 3 ... (II)

u t i l i z a n d o l o s t r e s m é t o d o s mencionados.

Resolución:x = 2 x = -2

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I Bim. / RAZ. MATEMÁTICO / 1ER. AÑO San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó

34

Por sustituciónDe (II) despejamos la variable “y” para luego reemplazarlo en (I).

3x - y = 3 → 3x - 3 = y .... A

2x + 3 y = 132x + 3(3x - 3) = 132x + 9x - 9 = 13 → ∴ x = 2

Con “x” conocido, reemplazamos en A y hallamos “y”.

y = 3

POR IGUALACIÓNDe(I) y (II) despejamos “x” o “y”, en este caso vamos a despejar “y”.

De I: 2x + 3y = 13 → 3y = 13 - 2x

→ y=

De II: 3x - y = 3 → 3x - 3 = y ... B

Igualando A y B :

13 - 2x3

... A

13 - 2x3

= 3x - 3 → 13 - 2x = 9x - 9 22 = 11x ∴x = 2

Nicolás Oresme (1323 - 1382) fue probablemente el primero en usar el signo + para la suma en su libro Algorismus proportionum, escrito supuestamente entre 1356 y 1361. Anteriormente “+” se escribía “et” del latín “y”. Después también se uso p (plus).

+

1. Resuelve: 3(x - 7) + 5 = 2x + 4

Primero desaparecemos los paréntesis, multiplicando 3 por (x - 7).

Transponiendo términos:3x - 2x = 4 - 5 + 21 x = 20

2. Resuelve: (x + 3)2 + 7 = (x + 6) (x + 4)

Primero desaparecemos los paréntesis, aplicando productos notables.

(x + 3)2 + 7 = (x + 6) (x + 4)

Se tiene:

x2 + 6x + 9 + 7= x2 + 10x + 24

Transponiendo y agrupando términos:9 + 7 - 24 = x2 - x2 - 6x + 10x

Reduciendo: -8 = 4xLuego: -2 = x

Observación: Nota que se procura tener a la incógnita con coeficiente positivo.

3. Resuelve: 10x + 2x + 3(x + 8) - 30 = 0

Efectuando el paréntesis:

10x + 2x + 3x + 24 - 30 = 0

15 x - 6 = 0

3x - 21 + 5 = 2x + 4

Reemplazando en A o B obtenemos:

y = 3

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Despejando “x”: 15x = 6

→ x = 615

4. Resuelve:

2 4 9 12 21 2 9 6 21 1 9 3 31 1 3 1 31 1 1 1

3x2

+14 =

13x9 +

512

MCM = 2 x 2 x 3 x 3MCM = 36

18 (3x) + 9(1) = 4(13x) + 3(5) 54x + 9 = 52x + 15 54x - 52x = 15 - 9 2x = 6 x = 3

5. Resuelve:

x = 4x2 - 5x + 50 - x

x + x = 4x2 - 5x + 50

2x = 4x2 - 5x + 50

Elevando al cuadrado:

(2x)2 = 4x2 - 5x + 50 4x2 = 4x2 - 5x + 50 0 = -5x + 50

x = 505

x = 10

Resolución:

Resolución:



35

1) 3x + 18 = 39

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9c) 7

Nivel I

Nivel II

En cada uno de los siguientes ejercicios, halla x.

2) 7x - 12 = 9

a) 1 d) 5 b) 2 e) 3c) 4

3) x + 9 = 18

a) 7 d) 10 b) 8 e) 11c) 9

4) 2x + 3 = x + 5

a) 0 d) 3 b) 1 e) 4c) 2

5) 3x + 1 = x + 13

a) 2 d) 8 b) 4 e) 10c) 6

6) 3x - 1 = x + 9

a) 1 d) 7 b) 3 e) 9c) 5

7) 3(x - 2) = 27

a) 26 d) 6b) 11 e) 8 c) 7

8) 2x/3 = 4

a) 2 d) 8 b) 4 e) 10c) 6

9)

a) 2 d) 5 b) 3 e) 6c) 4

2x - 13

= 3

10) 3x - 5 + 2x = 7x + 2

a) 5 d) 2/7b) 3/2 e) - 2/3c) - 7/2

11) 3(2x + 14) + 20 = 6(3x - 5)- 28

a) 6 d) 10b) 8 e) 12c) 9

12) 5(x - 1) + 3(x + 2) = 7(x + 1)

a) -4 d) 1/2b) 6 e) -6c) 5/3

13)

a) 21 d) 29b) 23 e) 30c) 27

2x + 64

= 3x - 75

14)

a) 4 d) 7b) 5 e) 8c) 6

x2 +

x3

256

15)

a) 4 d) 7b) 5 e) 8c) 6

x2

- x3

= 1

Resuelve las siguientes ecuaciones:

16) 4x - 4 = x . 16

a) 1 d) -3b) -2 e) -1c) -4

17) 2x - 4,2 = 3,8

a) 1 d) 5b) 4 e) 3c) 2

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36

18) -3x - 9 + 5x + 10 = 4x + 8 - x

a) -7 d) -6 b) 7 e) 5c) 6

19)

a) 10 d) 5 b) 13 e) -6c) 12

x + 52x - 2

= 34

20)

a) 5/4 d) 11/3 b) 1/2 e) 3/8 c) -3/5

4(x - 2)5 =

2(5 - x)2

21) Resuelve: 5(x - 2) + 3x = 2(3x + 4)

a) 9 d) 2 b) 6 e) -3c) 7

-2x - 13

=3x + x + 13

245(x + 1)

8

22) Halla “x” en la ecuación: 3(x - 1) - 4(5 - x)= 2(6 + x)

a) 3 d) -4 b) 4 e) 6c) 7

23) Halla “x” en la ecuación: 4(x + 1) = 20

a) 1 d) 3 b) 4 e) 5c) 2

24) Resuelve: 3(x + 1) + 4(x - 2) = 16

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5c) 3

25) Indica el valor que verifica: 3(x - 1) + 4(x + 2) = 26

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5c) 3

26) Resuelve:

a) 4 d) 7 b) 5 e) 8c) 6

x + x2 +

x3

= 11

27) Resuelve:

a) 4 d) 1 b) 3 e) 0c) 2

5x - 5x + 1 = 3

28)

a) 0 d) 3b) 1 e) 4c) 2

x - 12

+ x - 24 = 2

29)

a) 0 d) 3b) 1 e) 4c) 2

x - 23

+ x + 32 =

53

30)

a) 6 d) 11b) 8 e) 13c) 10

3 x2

- x5 =

x10

+ 12

Nivel III

31) 5(x + 8) + 4(x - 6) = 71

a) 6 d) 5

b) 5 e) 6

c) 6

1929

3723

32) (-x -4) - (4x - 2 + 3) = -(6x - 8) + (2x - 4 + 3)

a) 7 d) 5b) -12 e) 8c) -5

33) Indica el valor de “x” que verifica las siguientes igualdades:

a) 12 d) -8b) 8 e) 9c) -6

-x2

x4

x = - 9

34)

a) 12 d) -8b) 8 e) 9c) -6



37

35)

a) -12 d) 8b) 15 e) -7c) 9

2a7

+34 =+5a

927

3a4

- 6a13+

613+

59

-

12

+ x - x6

= 13

+ 16 - 2 x9

36)

a) -3 d) -6b) -4 e) -7c) -5

14(x-2)+

13

- x -13

(2x- 1) = 0

37) Calcula "x" en: 5x = 4y x(x + 2y) = (9 + y) (9 - y)

a) 3 d) 5b) 3.5 e) 6c) 4

38) Resuelve:

a) 0 d) 5b) 1 e) 4c) 2

x3

- 13

x4 +

14 =

x5

- 15+

16

x6

- -

39) Calcula el valor de "a" en:

a) -1 d) -2b) 0 e) 2c) 1

40) Calcula el valor de "x" en:

a) a d) abb) b e) a - bc) a+b

x +1x - 1

a + b + 1a + b -1

41) Calcula "x" en :

a) 6 d) 24b) 32 e) 56c) 40

x +34 +

x6 =

x4

+ 434

42) Si 4 y = 9 x y - x = 40 , calcula "x".

a) 24 d) 48b) 32 e) 56c) 40

43) Calcula x . y en:

2x + y = 6

x - y + 1 = 4

a) 17 d) 18b) 34 e) 36c) 51

44) Calcula "x" si:

a) 2 d) 5b) 3 e) 6c) 4

x2 =

6y∧ 2y + 1

2+3x =2x

45) Resuelve: 3x + 2y = 18 x - y = -4

a) x = 2 d) x = 4 y = 2 y = 3

b) x = 3 e) x = 5 y = 6 y = 6

c) x = 2 y = 6

46) Calcula a + b si: 3a - 8 = -b a = b + 4

a) -1 d) 3b) 0 e) 4c) 2

47) Si x = 2y 2y = 3z x + y + z = 11, halla x + 2 y + 2z .

a) 32 d) 18b) 26 e) 29c) 27

48) Halla “2a” en:

a) 1 d) 4b) 2 e) 5c) 3

49) Si x + y = 12 y + z = 8 x + z = 10, calcula x + y + z .

a) 15 d) 12b) 14 e) 11c) 13

50) Si a - b + c = 5 b - c + d = 7 c - d - e = 4 a + b + d = 9 e - a + f = 2 , calcula 2(a + b + c + d + f).

a) 27 d) 26b) 54 e) -28c) -14

7a + 110 +

3(a-1)10 =

2(a+1)5

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