I BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO

Definitivamente las matemáticas, en sus orígenes estuvieron directamente relacionadas con las condiciones de vida de la época. El hombre primitivo necesitaba el número (al menos los primeros números naturales) para verificar la cuenta de su rebaño, para efectuar rudimentarios intercambios comerciales o para llevar la cuenta de su calendario que les permitía controlar las cosechas.Solo con los Egipcios se puede comenzar a hablar de ciencia matemática. Obligados por las inundaciones anuales se vieron en la necesidad de manejar líneas y números. Conocieron hechos matemáticos, supieron manejar formulas y razonar con

figuras geométricas, pero solo por una necesidad práctica, sin una concepción de la ciencia teórica.Sin embargo, las cosas cambian radicalmente cuando abordamos "La Época Griega". De la mano de Thales de Mileto (640 - 560 a.C.), Pitágoras (580 - 500 a.C.), Demócrito (460 - 370 a.C.) y Euclides (360 - 275 a.C.) aparecen conceptos precisos como la abstracción, generalización, análisis y la síntesis. La escuela de Pitágoras se apasiono por estas cuestiones : "Todas las cosas son números".La obra de Euclides "Los Elementos" (320 a.C.), que le origino una gran reputación ha sido usado como texto de estudios cerca de 2000 años. Dicha obra, constituida por trece libros, es la coronación de las investigaciones realizadas por los Geómetras de Atenas y de sus antecesores.Como encargado de la Biblioteca de Alejandría, era tal su entusiasmo que diariamente le comunicaba de sus avances matemáticos a Tolomeo II (308 - 246 a.C.) Rey de Egipto, sumiéndolo constantemente en situaciones por demás incomodas.

Observemos las siguientes figuras:

Es un cuadrado de lado (a + b), hacemos 2 cortes imaginarios tal que se forman 2 cuadrados (lados a y b) y 2 rectángulos.Área Total = (a + b)2

96

900 a.C. 800 a.C. 700 a.C. 600 a.C. 500 a.C. 400 a.C. 300 a.C. 200 a.C.

CULTURA OLMECA (1200 - 400 a.C.)

CULTURA CHAVIN (850 - 200 a.C.)

IMPERIO ASIRIO (883-612 a.C.) IMPERIO PERSA (550 - 331 a.C.)

COMERCIO FENICIO (900 - 600 a.C.)

PRIMERAS CIUDADES GRIEGAS-GRECIA CLÁSICA (750-330 a.C.)

REPÚBLICA ROMANA (509 - 27 a.C.)

EUCLIDES(360 - 275 a.C.)

1

2

4

3

ba

a

b

PRODUCTOS NOTABLES I

I BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO

Pero también: AT = A1 + A2 + A3 + A4

(a + b)2 = a2 + b2 + ab + ab(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Ahora es un cuadrado de lado “a” y hacemos nuevamente 2 cortes imaginarios tal que se forman 2 cuadrados (lados “b” y “a - b”) y 2 rectángulos.

A1 = AT – A2 – A3 – A4

(a - b)2 = a2 – b2 – b(a - b) – b(a - b)(a - b)2 = a2 – b2 – ab + b2 – ab + b2

(a - b)2 = a2 – 2ab + b2

Otra vez hacemos el par de cortes imaginarios y obtenemos lo siguiente:

AT – A1 = A2 + A3

a2 – b2 = a(a - b) + b(a - b)Extrayendo factor común obtenemos:

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

PRODUCTOS NOTABLESSon los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva, ello por la forma como la presentan.

1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTOEs el desarrollo del binomio suma o diferencia al cuadrado.

97

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 4 QUINTO AÑO

1

2

3

4

ba - b

b

aa - b

a

a-b

b

2

13

ba - ba

a

a-b

b

¡Interesante Verdad!

¡Soy un genio!

I BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

TCP(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Ejm.: (a + 3)2 = a2 + 6a + 9 (2x + 5)2 = 4x2 + 20x + 25 (x - 7)2 = x2 – 14x + 49 (3x - 1)2 = 9x2 – 6x + 1

(x + 6)2 = (4x + 3)2 = (m - 4)2 = (5m - 2)2 =

De acá se generan las identidades de Legendre:(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)

(a + b)2 – (a - b)2 = 4ab

Ejm.: (3x + 2)2 + (3x - 2) 2 = (4x + 7)2 – (4x – 7) 2 =

(3x + 5)2 + (3x - 5)2 = (x + 9)2 - (x - 9)2 =

2. DIFERENCIA DE CUADRADOSEs el resultado generado de la multiplicación del binomio suma por su diferencia.

(a + b) (a - b) = a2 – b2

Ejm.: (x + 3) (x - 3) = x2 - 9 (3x + 5)(3x - 5) = 9x2 – 25 (2x3 + 5)(5 – 2x3) = 25 – 4x6

(x + 7)(x - 7) = (2x – 4)(2x + 4) = (x4 + 8)(8 – x4) =

3. BINOMIO AL CUBO (SUMA) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

= a3 + b3 + 3ab(a + b) *

BINOMIO AL CUBO (DIFERENCIA)(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

= a3 - b3 - 3ab(a - b) *

Ejm.: (x + 3)3 = x3 + 3x2 . 3 + 3x . 9

+ 27= x3 + 27 + 3(3x)(x + 3)

(a - 5)3 = a3 – 3a2.5 + 3a.25 - 125

= a3 – 125 – 3(5a)(a - 5)

(y + 2)3 =

(m - 1)3 =

4. SUMA DE CUBOS (a3 + b3) = (a + b)(a2 – ab + b2)

DIFERENCIA DE CUBOS(a3 - b3) = (a - b)(a2 + ab + b2)

98

Diferencia de Cuadrados

Las equivalencias que aparecen con asterisco son para

problemas con condición.

I BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO

Ejm.: (x + 2)(x2 – 2x + 4) = x3 + 23 = x3 +

8 (y - 5)(y2 + 5y + 25) = y3 – 53 = y3 –

125 (2x + 3)(4x2 – 6x + 9) = (2x)3 + 33 =

8x3 + 27 (5x - 1)(25x2 + 5x + 1) = (5x)3 – 13 =

125x3 - 1

(a + 4)(a2 – 4a + 16) = (m - 2) ( ) = m3 - 23

(4x + 3) ( ) = (4x)3 + 33

(x2 - 2) (x4 + 2x2 + 4) =

5. PRODUCTO DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Ejm.: (x + 3) (x + 5) = x2 + 8x + 15 (x + 4) (x - 2) = x2 + 2x - 8 (x + 7) (x - 9) = x2 – 2x – 63 (2x - 5) (2x - 3) = 4x2 – 8(2x) +

15

(x + 1) (x + 6) = (x - 5) (x + 9) = (x + 4) (x - 10) = (3x - 1) (3x - 6) =

1. Reducir:A = (2x + 3)2 – (2x - 3)2 + (3x - 4)2 – 8x2 -

16

a) 0 b) 2 c) xd) x2 e) 2x2

2. Efectuar:

a) x2 b) 1 c) 0d) 2x2 e) 2

3. Reducir:

a) 15 b) 20 c) 25d) 60 e) 67

4. Simplificar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

5. Efectuar:E = (x + 2)(x - 2)(x2 + 4)(x4 + 16) + 256

a) x b) x2 c) x4

d) x6 e) x8

6. Multiplicar:M = (x + 1)(x2 + x + 1)(x - 1)(x2 – x + 1)

+ 1

a) x3 b) x4 c) x6

d) x9 e) N.A.

7. Efectuar:

a) 1 b) 10 c) 2d) 8 e) 1

99

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

En este último producto notable debemos tener muy presente los signos de cada término, de los

factores en cuestión.

I BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO

8. Reducir:A = (xn + 8)(xn + 2) – (xn + 3)(xn + 7)

a) xn b) x2n c) 2xn

d) -5 e) -19. Simplificar:

a) x2 + x b) x2 + x + 1 c) x2 + x - 1d) x2 – x + 1 e) N.A.

10. Simplificar:

a) x6 + 1 b) x6 – 1c) x2 + 2

d) x2 – 2 e) N.A.

11. Reducir:M = (2x + 3y - z)3 + (3x – 3y + z)3 –

124x3 + 15x(2x + 3y - z) (3x – 3y + z)

a) 0 b) x2 c) x3

d) 1 e) 2z

12. Hallar “E” en:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

13. Evaluar:

a) 9 b) 3 c) 81d) 1 e) 6

14. Simplificar:

a) m b) a c) 2ad) b e) c

15. Reducir:

a) 1 b) 12 c) 13d) 14 e) 18

TAREA DOMICILIARIA Nº 4

1. Reducir:

M = (x + 2)2 – (2 - x)2 + (x - 4)2 – x2 - 16

a) 0 b) 2 c) xd) 4x e) x + 2

2. Efectuar:

a) 0 b) 1 c) 2d) x2 e) 2x2

3. Reducir:

a) 10 b) 13 c) 20d) 18 e) 36

4. Simplificar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Efectuar:E = (a + 5)(a - 5)(a2 + 52)(a4 - 54) – a8

a) 54 b) -58 c) -56

d) -254 e) Hay dos claves correctas

6. Multiplicar:M = (a + b)(a2 + ab + b2)(a - b)(a2 – ab +

b2)

a) a6 – b3 b) a3 – b6 c) (a - b)6

d) a6 – b6 e) Hay dos claves correctas

7. Efectuar:

a) 3 b) 4 c) 8d) -4 e) N.A.

8. Reducir:M = (x5 + 4) (x5 + 7) – (x5 + 2) (x5 + 9)

a) 5 b) x10 c) x20

d) 10 e) 15

9. Simplificar:

a) x2 + 5x + 5 b) x2 – 5x + 5 c) x2 - 5d) –x2 – 5x – 5 e) N.A.

100

I BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO

10. Simplificar:

a) a6 + b6 b) a6 – b6

c) a3 + b3

d) a3 – b3 e) N.A.

11. Reducir:M = (x + 2y – 7z)3 + (x – 2y + 7z)3 – 8x3

+ 6x(x + 2y – 7z) (x – 2y + 7z)

a) x b) 2xyz c) 0d) x – y e) 2y2

12. Hallar “M” en:

a) 1 b) 6 c) 20d) 4 e) 8

13. Evaluar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14. Simplificar:

a) 1 b) 2x c) xd) 3x e) 8x

15. Reducir:

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) -1

101